数学专业发展前沿学习心得

数学专业发展前沿学习心得

李阳数学0801 40763014

数学源自于古希腊语，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门科学。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。

数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。虽然不同的传统学派可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用，以及它们综合起来的努力，才构成了数学科学的生命力、可用性和它的崇高价值。

基础数学的知识与是个人与团体生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见。从那时开始，其发展便持续不断地有小幅度的进展，直至16世纪的文艺复兴时期，因着和新科学发现相作用而生成的数学革新导致了知识的加速，直至今日。

今日，数学被使用在世界不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展。数学家也研究纯数学，也就是数学本身，而不以任何实际应用为目标。虽然许多以纯数学开始的研究，但之后会发现许多应用。

1.运筹与最优化

1）历史上的运筹·最优化问题

古老的运筹问题：道路交通设计

今有物不知其數，三三數之剩二；五五數之剩三；七七數之剩二，問物幾何？

2）运筹学的应用领域：

军事经济计划金融物理化学生物

信息分类人工智能图像处理数字信号处理医疗社会学

天文工业设计航空航天农业通信等等

3）从线性规划到整数规划

线性规划的可行域为空间中的超多面体；

求解线性规划的迭代法：

Fourier-Motzkin 消去法

单纯形方法

椭球法

内点法（障碍法）

单纯形法

Dantzig, 1947: 单纯形法；

Lemke, 1954; Beale, 1954: 对偶单纯形法；

Dantzig, 1953: 改进单纯形法

椭球法

Shor, 1970 - 1979

Yudin & Nemirovskii, 1976

Khachiyan, 1979

M. Grötschel, L. Lovász, A. Schrijver, 1988

给定一个线性规划，如何能求得一个可行解？

求解线性规划的迭代法：

Fourier-Motzkin 消去法：不会再有人用了

单纯形方法：很不错

对偶单纯形方法：更好

椭球法：理论上还算有意思

内点法/障碍法：经常是最快的

能够在较短时间内求解的LP规模

500,000 个变量

5,000,000 个约束

比较容易解的整数规划：

最小支撑树；

匹配问题；

最大流问题；

最小费用流问题；

整数规划问题的解法：

分支定界；

割平面。

TSP问题及其应用

上界：近似求解方法

下界：LP松弛

TSP问题的工业应用：芯片制造打孔

2.数学中的“混沌”

混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性--不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。

1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。时至今日，这一论断仍为人津津乐道，更重要的是，它激发了人们对混沌学的浓厚兴趣。

与我们通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究似乎总是把人们对“正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。例如，孤波不是周期性振荡的规则传播；“多媒体”技术对信息贮存、压缩、传播、转换和控制过程中遇到大量的“非常规”现象产生所采用的“非常规”的新方法；混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种“奇异吸引子”现象等。

混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间发展变化的过程，并且这样的系统产生于生活的各个方面。

混沌系统对初始条件很敏感。

3.多尺度数学方法在材料科学凝固过程中的应用

1）数学流体力学发展历史的回顾

主要是航空航天产业的百年辉煌，从人类历史上第一次飞行到向宇宙深处的不断探索，涉及到了理想不可压缩流体的绕流问题。

2）材料科学中金属凝固理论研究进展

背景：材料是人类文明的物质基础，是社会进步和高新技术发展的先导。自20世纪70年代开始，人们把信息、能源和材料誉为人类文明的三大支柱，80年代以来又把新材料技术与信息技术、生物技术列为高新技术革命的重要标志。新材料技术的研究、开发与应用反映了一个国家的科学技术和工业化水平。

典型凝固加工的加工技术、理论体系和工艺技术：

理论进展有：

a．液固相变形核理论-----1940s-50s年代，Turnbull建立了液—固相变中的形核理论

b．晶体界面生长动力学理论-----1951年Burton、Cabrera和Frank 建立了晶体光滑界面的结构模型与生长动力学理论

c. 成分过冷理论-----1953年Chalmers等提出了界面稳定性概念和成分过冷理论，揭示单相凝固组织出现复杂形态的内在原因