数理逻辑的发展及未来趋向_王力钢

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2010年11月
第29卷第11期
安庆师范学院学报(社会科学版)
Journal of Anqing Teachers College(Social Science Edition)
Nov.2010
Vol.29 No.11
数理逻辑的发展及未来趋向
王力钢
(第三军医大学人文社科学院,　重庆　400038)
摘　要:近代数学理念的复兴和数学工具的应用推动了自然科学的巨大发展,为数理逻辑的产生提供了思想契机。
数理逻辑源于莱布尼茨提出的思维可计算构想,其展开和深化是建立了命题演算和谓词演算等公理系统和对形式系统
的元层次研究。数理逻辑未来发展将扬弃纯形式发展阶段,达到形式与内容在更高层面的统一。
关键词:传统逻辑;数理逻辑;发展逻辑;未来趋向
中图分类号: B813 文献标识码: A 文章编号: 1003- 4730(2010)11- 0048- 04
传统的形式逻辑自亚里士多德创建以来,作
为思维的工具被人们应用了两千余年。随着人类
活动广度上的扩大和深度上的增加,亚氏逻辑的
缺陷逐渐显露出来,如不包括关系推理,不区别单
称命题和全称命题等,更重要的是它没有获得完
全的公理化和形式化,不能使人类对逻辑工具的
客观有效性要求得到完全满足,难以使人类思维
获得高度的明确化和清晰化。
近代科学的发展为新逻辑理论的建立和发展
提供了启示和契机。从文艺复兴到17世纪后期,
近代自然科学在物理学尤其是力学方面取得巨大
进步,其中最重要思想动力是数学精神的复兴和
数学方法的应用。哥白尼因信奉数学的“简单”、
“和谐”理念,才以“日心说”代替“地心说”[1]27;伽
利略坚信“自然这部书是一本由上帝用数学语言
写成的书”[2]105,确立了“数学+实验”的科学研究
方法;牛顿以《自然哲学的数学原理》为自己的科
学巨著命名。随着数学理念和方法重要性的不断
彰显,将数学方法引进逻辑学研究,模仿数学建立
一种全新的逻辑理论成为一种历史必然,数理逻
辑由此产生。
本文通过回顾和分析数理逻辑产生建立和深
化发展的历史,梳理其内在发展逻辑,从逻辑与历
史相统一的高度理解数理逻辑的学科性质,有助
于把握数理逻辑的未来发展趋向。
一、发展起点:思维可计算构想的提出与实现
数理逻辑产生的思想渊源是莱布尼茨提出的
思维可计算构想。其后,布尔和弗雷格为实现这
一伟大构想,模仿数学对传统逻辑进行符号改写,
建立的布尔代数系统和真值函项理论成为数理逻
辑发展的真实逻辑起点。
莱布尼茨是试图以数学方法处理逻辑问题的
第一人。他看到在数学中有代数式、方程式和方
程变形,而逻辑学中有概念、判断和推理,两者在
结构上有相似性。因此,似乎可以参照数学符号
建立一套人工符

号语言———先设计出表意的字
母,通过字母运算构成复杂概念的符号,最后用字
母、等式排列作为句子符号。这样,通过它们就有
可能进行“思维的演算”,可以对传统的形式逻辑
进行可计算性的量化。“他预言,如果新的语言是
完善的,那么对于解决任何方面的争端怀有善良
愿望的人们将把他们的笔拿在手中,并且说进行
演算吧”[3] 423。虽然莱布尼茨未能最终创立他所
期望的符号语言,但他提出的符号化方案具有划
时代的意义,并因此被尊为现代逻辑的创始人。
紧随莱布尼茨之后的布尔尝试以人工语言改写亚
里士多德的三段论逻辑并获得成功,建立了布尔
代数系统。莱布尼茨只从语法方面看到代数符号
和自然语言之间的类似,布尔却更为高明地从语
法和语义两方面看问题,他认为语法规则与语义
＊收稿日期: 2010- 05- 24
作者简介:王力钢,男,河北黄骅人,重庆沙区高滩岩第三军医大学人文社科学院讲师,硕士,浙江大学语言与认知研究中心访问学
者。内容间存在制约关系,若修改语法规则就改变了
语义内容。这样,适当修改语法规则就可以对代
数系统进行重新解释,就能使它在逻辑领域内获
得意义。在这个思想的指导下,布尔构造了一个
抽象代数系统———布尔代数,并对它做了新的逻
辑解释。于是他在逻辑史上最先提出了一个逻辑
演算,实现了莱布尼茨的一部分设想[4] 598- 603。
数理逻辑的首要目标是将日常思维变成具有
演算性质的科学,在这个过程中需要跨越由思维
非数量转变为数量化的障碍。布尔虽然成功地将
三段论这个不属于量化范畴的日常思维系统改写
成具备可计算性质的数学系统,部分地完成了这
个任务,但由于此系统仅适用于主谓结构的日常
思维,在应用上有较大的局限性。因此在他之后,
逻辑学家面临的是如何在更大范围内将非数学对
象转化为数学对象的问题。
在这方面取得重大突破的是弗雷格的真值函
项理论。他通过抽象日常用语中的联结词,创造
了五个重要的逻辑算子“∧”、“∨”、“※”、“「”、“→
※”,分别标示日常思维中的“并且”、“或者”、“如
果…则…”、“并非”、“等于”五个联结词。通过它
们,日常思维可以被符号化并达到可计算的目的。
虽然真值函项理论是建立在外延理论之上,只能
解决那些能够归结为真假情况的问题,只能在外
延方面刻画日常思维中的重要概念,但在沟通数
量和非数量领域,使日常思维获得可计算性性质
方面起着至关重要作用[4] 612- 613。
二、逻辑展开:形式系统的构造
通过莱布尼茨、布尔、弗雷格三人的努力,逻
辑学在近代突破了原有的局限性,

终于获得了符
号化和可计算性质,数理逻辑初步建立。按照其
发展逻辑的展开线索,对形式化公理系统的构造
成为数理逻辑研究的中心课题。在这个发展阶段
上,逻辑学家建立了很多公理系统,其中最基础、
最重要的是命题演算和谓词演算。
弗雷格在引入特制人工符号语言的基础上,
突破词项逻辑的传统,以原子命题为基本单元通
过逻辑算子联结命题变元构造复合命题,得到一
系列真值函项。在古典二值逻辑的讨论范围内,
通过命题符号的赋值计算,可以将这些无穷尽的
真值函项分为三类:可满足式———它的取值可真
可假,是可以满足的;永假式———不管命题变元如
何取值,函项的取值永远为假;重言式———它的取
值永远为真。经过分析,逻辑学家认识到重言式
是反映有效推理的语法形式,也就是说,如果一个
推理经过翻译、赋值、计算而断定其为重言式,就
可以宣布这个推理形式是正确有效的。在这个认
识基础上,就能够构造一个命题演算系统,该系统
具有如下特征:从语义层面上看,它要涵盖命题逻
辑的一切有效推理形式;从语法层面上看,它要将
一切重言式包含在系统之内。
经由弗雷格、皮亚诺、罗素以及后人的努力,
现在我们已经得到一个经过严格证明的形式化的
命题演算系统,它主要有四个要点和两个部分构
成。四个要点是:基本符号、语言生成规则、公理、
变形规则;两个部分是:由基本语言生成其他语
言,由基本定理生成其他定理。对于这个系统,需
要把握三点:
其一,它是严格证明的。该系统要求推理所
遵循的规则必须是已给出且十分明确的,没有不
按已给定规则而进行的推演。它还要求除了已给
定的公理和已证明的定理外,在证明过程中不得
不自觉地附加其他隐含前提。
其二,它是一个由命题逻辑重言式组成的公
理系统。该系统是从一些作为初始命题的重言式
出发,应用明确的推演规则,推导出一系列重言式
的演绎体系。
其三,它是进一步形式化的形式系统。虽然
命题逻辑使用表意的人工符号,但在形式化过程
中,逻辑词项的含义被消解或搁置,人们看到只是
不同形状的符号按照一定的规则而进行的排列和
变形。系统中的可证公式需要经过解释才能成为
逻辑定理。
命题演算是将逻辑演算的基本单位规定为原
子命题变元,这一策略扩大了逻辑学的应用范围,
但会导致逻辑分析不深入,有的命题不能被准确
刻画。为了解决这一问题,弗雷格在命题演算的
基础上又引入数学中的函数概念,提出了命题函
项理论,将真值函项命题中的主、谓词分开,同时
还创造了约束变项,引进量词的概念。在他及后
来逻辑学

家的努力下,建立了另一个成熟的公理
系统———狭谓词演算系统。该系统应用命题函项
理论和两个量词( 、 ),将命题逻辑和三段论逻
辑统一在一个更大的系统中[4]613。
三、逻辑深化:对形式系统的元层次研究
在构造逻辑演算系统并将其形式化的过程
中,人们逐渐掌握了公理化、形式化等强大逻辑工
具,认识到形式系统对于数理逻辑理论的重要意
·49·第11期 王力钢:数理逻辑的发展及未来趋向义。作为前一阶段研究主题的进一步深化,相应
地,数理逻辑的研究重心逐渐由构造演算的形式
化系统转换到研究形式系统本身,将形式系统作
为数理逻辑研究的客体,回答形式系统的一致性
和完备性问题。这种研究属于对形式系统的元逻
辑、元数学层面探讨。
在元逻辑方面,数理逻辑学家们先对命题演
算系统的一致性问题做了肯定性回答,1921年波
斯特证明了命题演算的完全性。而哥德尔的《逻
辑谓词演算公理的完备性》一文的发表标志谓词
演算完全性证明的完成。1928年希尔伯特和阿
克曼在《理论逻辑基础》一书中将狭谓词演算从逻
辑演算中分离出来并证明了其一致性。总之,在
对形式系统的元逻辑追问中,逻辑系统的一致性
和完备性在古典演算部分得到证明。在此基础
上,逻辑学家用古典演算的元逻辑方法来处理非
古典逻辑,在逻辑演算方向上取得很大进展。主
要有两条进路:一是增加逻辑常项或赋予古典逻
辑的常项以不同解释,同时减少或增加一些基本
公理,在构造逻辑、多值逻辑等非古典的纯逻辑理
论上获得突破。二是建立各种不同的应用逻辑体
系,如认知逻辑、道义逻辑、算法逻辑等等,主要做
法是在古典逻辑以外增加一些非逻辑的常项和公
理[5]。这两条进路不断丰富着数理逻辑的演算系
统。
在元数学方面,对形式化数学公理系统的元
数学追问深化了关于数学基础问题的研究。19
世纪中叶以后,随着数学基础研究不断获得新成
果,关于什么是数学的出发点、数学证明的性质、
如何认识无穷等问题的争论愈演愈烈,甚至导致
古典数学能否成立的争论。为了从根本上回答这
些问题,消除人们对数学理论的怀疑,希尔伯特提
出了著名的“希尔伯特纲领”,将数学公理系统形
式化并力图证明形式化后的数学系统是一致的和
完备的。他从形式主义的数学观点出发,提出了
证明论思想,认为可以用有穷方法去证明具有无
穷对象域的古典数学的形式系统而不会导致矛
盾[6]。然而,哥德尔在《PM及有关系统中的形式
不可判定命题》一文中提出了两个著名的不完全
定理并给出严格证明:(一)一个

包括初等数论的
形式系统P,如果是一致的,那么就是不完全的;
(二)如果这样的系统是一致的,那么其一致性在
本系统中不可证明。这就宣布了希尔伯特方案的
破产[7]。但证明论并未因此终结,在得知不完全
结果后,证明论允许在有穷方法以外使用超穷归
纳,并且还尝试用直觉主义数学解释古典数学或
通过二者的关系来论证古典数学的一致性。除证
明论外,现代数理逻辑四论中还有另外两论的建
立和发展得益于已取得的元数学成果:递归论是
关于数学系统的可计算性和可判定性研究的学
科;模型论则要研究形式系统与其解释或模型的
关系。可见,对形式系统的元数学研究使人们对
于数学基础和逻辑的认知发生了革命性变革。
四、未来趋向:形式与内容的统一
以上我们对数理逻辑三百多年的历史进行了
扼要回顾,梳理出其发展的基本逻辑线索:用抽离
内容的符号语言改写传统逻辑来实现思维可计算
构想的努力奠定了数理逻辑发展的逻辑起点;专
注于形式化公理系统的构造是其逻辑展开;对形
式系统的元层次研究是数理逻辑的进一步深化。
按照马克思主义哲学的观点,矛盾是事物发
展的根本动力。从数理逻辑的发展脉络中,可以
分析出形式与内容的矛盾是推动其发展的基本矛
盾。众所周知,传统逻辑是从形式的角度研究人
类思维规律,但它主要使用自然语言,这就决定了
它难以脱离思维的内容而纯粹研究形式,在一定
程度上限制了其刻画的范围和能力。因此,莱布
尼茨才有了把数学理念和工具引进逻辑研究,从
形式上进行思维演算的构想。其后数理逻辑的建
立和发展,主要是在追求形式化道路上的不断深
化拓展,主要表现在使用抽离内容的人工符号语
言构造形式化系统并对其进行元层次研究。在这
个过程中,逻辑学形象也发生了重要转型———从
研究人类思维规律发展成为与数学极为相似的形
式科学。可见,自数理逻辑建立之始,走了一条抽
离内容而单纯进行形式化研究的发展之路。
反思历史是为了从逻辑与历史相统一的高度
理解现实并启示未来。从传统逻辑兼顾思维的内
容与形式到数理逻辑只专注于形式化系统研究,
无疑是一个巨大的进步,但过分注重形式而置内
容不顾,却蕴含着使逻辑学完全脱离人类思维和
语言,沦为自话自说的变形游戏的巨大风险。任
何事物的发展从来都是否定之否定,内容与形式
矛盾的辩证运动规律决定了数理逻辑发展的逻辑
前景必然是扬弃追求纯粹形式化的片面发展,在
更高层面上实现形式与内容的统一。我们做出这
种展望,主要基于以下三点:
首先,从数理逻辑研究领域的拓展看,逐渐把

·50·安庆师范学院学报(社会科学版) 2010年思维和语言的内容纳入研究视野。数理逻辑的研
究领域一开始专注语形研究,后来逐渐拓展到语
义研究。在语义研究领域,又经历了从外延形式
语义学到内涵形式语义学再到情境语义学的发展
历程[8]。在此基础上,语用研究逐渐兴起成为数
理逻辑研究的重要领域。从语形到语义再到语用
的过程,体现数理逻辑研究逐渐扬弃静态的形式
系统构造,不断加大对自然语言的内容和使用关
注程度。
其次,从数理逻辑在人类知识系统中的作用
定位看,其中内含对思维和语言内容的关注。虽
然数理逻辑与传统逻辑相比较,数理逻辑的形象
发生了巨大变化,但其基本作用定位未发生根本
改变,仍然是以精确性、可靠性为人类思维提供坚
实的基础。从这个意义上讲,数理逻辑与传统逻
辑一样,仍然深深植根于人类思维、语言之中,完
全脱离思维和语言内容的逻辑学是无源之水,没
有生命力。因此,从弗雷格、罗素到维也纳学派以
至今天的分析哲学家,都强调以数理逻辑为工具
来分析哲学问题,使后者得到澄清。在当代哲学
面临语言学转向的背景下,数理逻辑更是用来消
除日常语言的模糊性、歧义性,帮助人们获得可靠
结论。可见,数理逻辑的功能定位决定了它必然
要在注重形式化技术手段的基础上,关注思维和
语言的实质内容,追求两者的统一。
再次,从数理逻辑研究的实际应用看,形式研
究必须与具体内容相结合才能富有生命力。数理
逻辑蓬勃发展了三百多年,衍生出众多的理论分
支,其旺盛的生命力来自于形式研究与具体内容
的紧密结合。比如,众多应用逻辑的出现,就在于
将形式系统与人类思维推理中的标志性内容结合
起来,才产生了如模态逻辑、道义逻辑、认知逻辑
等逻辑分支。当前的人工智能研究,也是借助数
理逻辑的研究成果来对人类思维和推理进行模拟
和运算。再比如,元逻辑研究为人类理论知识的
公理化、系统化提供了方法论启示。通过对形式
系统的研究及其元逻辑追问,人们进一步认清形
式系统的基本性质、本质特征,为其他学科(尤其
是自然科学)的理论化、形式化提供了逻辑规则上
的工具支持,提供了一种理论发展的方法论指导。
离开了与人类思维和其他知识体系具体内容的紧
密结合,数理逻辑就失去了内在生命力。
总之,单纯构造和研究形式化符号系统不是
数理逻辑研究的最终目的,而是其必经的一个不
完善阶段。随着数理逻辑发展的内在逻辑的进一
步展开,最终会扬弃这一阶段,在更高层面上实现
形式与内容的统一,在更深层次上深化

对人类思
维和语言的认知。
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责任编校:贺长元
The Development Logic and Future Trend of Mathematical Logic
WANG Li-gang
(Faculty of Humanities and Social Science, Third Military Medical University, Chongqing 400038, China)
Abstract:The great development of modern science, which is based on the revival of mathematics concept and the ap-
plication of mathematical tools, provides an opportunity of the creation of mathematical logic. Mathematical logic origi-
nates from Leibniz's speculation of thinking calculability. Its expanding and deepening lie in the establishment of proposi-
tional and predicate calculus as well as the meta-level research of formal system. In the future mathematical logic will auf-
heben the pure form to achieve the dialectic unification of form and content.
Key words:classic logic; mathematical logic; development logic; future trend
·51·第11期 王力钢:数理逻辑的发展及未来趋向