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2021年湖南省中考数学复习题及答案 (80)

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2021年湖南省岳阳市中考数学试卷(附答案详解)

2021年湖南省岳阳市中考数学试卷(附答案详解)

2021年湖南省岳阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)在实数√3，−1，0，2中，为负数的是()A. √3B. −1C. 0D. 22.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)下列品牌的标识中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)下列运算结果正确的是()A. 3a−a=2B. a2⋅a4=a8C. (a+2)(a−2)=a2−4D. (−a)2=−a24.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)已知不等式组{x−1<02x≥−4，其解集在数轴上表示正确的是()A. B. C. D.5.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a//b，则∠1的大小为()A. 45°B. 60°C. 75°D. 105°6.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)下列命题是真命题的是()A. 五边形的内角和是720°B. 三角形的任意两边之和大于第三边C. 内错角相等D. 三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点7.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0(单位：分)，这五个有效评分的平均数和众数分别是()A. 9.0，8.9B. 8.9，8.9C. 9.0，9.0D. 8.9，9.08.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形OABC中，点A(0,2)，点C(2,0)，则互异二次函数y=(x−m)2−m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是()A. 4，−1B. 5−√172，−1C. 4，0D. 5+√172，−1二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）9.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)因式分解：x2+2x+1=______ ．10.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹.据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为______ ．11.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为______ ．12.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)已知关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则实数k的值为______ ．13.(2021·北京市·模拟题)要使分式5x−1有意义，则x的取值范围为______．14.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)已知x+1x =√2，则代数式x+1x−√2=______ ．15.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为______ ．16.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE=8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是______ .(写出所有正确结论的序号)①AE=BC；②∠AED=∠CBD；③若∠DBE=40°，则DE⏜的长为8π9；④DFEF =EFBF；⑤若EF=6，则CE=2.24．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）17.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)计算：(−1)2021+|−2|+4sin30°−(√83−π)0．18.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是______ ；(2)添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．19.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)如图，已知反比例函数(k≠0)与正比例函数y=2x的图象交于A(1,m)，y=kxB两点．(1)求该反比例函数的表达式；(2)若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．20.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理.某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t(单位：ℎ)进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：组别睡眠时间分组频数频率A t<640.08B6≤t<780.16C7≤t<810aD8≤t<9210.42E t≥9b0.14请根据图表信息回答下列问题：(1)频数分布表中，a=______ ，b=______ ；(2)扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是______ °；(3)请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；(4)研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率.请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．21.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)星期天，小明与妈妈到离家16km的洞庭湖博物馆参观.小明从家骑自行车先走，1h后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达.已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度．22.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥.如图，该河旁有一座小山，山高BC=80m，坡面AB的坡度i=1：0.7(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，点C、A 与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE= 45°，∠DBF=31°．(1)求山脚A到河岸E的距离；(2)若在此处建桥，试求河宽EF的长度.(结果精确到0.1m)(参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)23.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α(60°<α<120°)得到线段ED，且ED交线段BC于点G，∠CDE的平分线DM交BC于点H．=______ ；(1)如图1，若α=90°，则线段ED与BD的数量关系是______ ，GDCD(2)如图2，在(1)的条件下，过点C作CF//DE交DM于点F，连接EF，BE．①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；②求证：BEFH =√33；(3)如图3，若AC=2，tan(α−60°)=m，过点C作CF//DE交DM于点F，连接EF，BE，请直接写出BEFH的值(用含m的式子表示)．24.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)如图，抛物线y=ax2+bx+2经过A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接BC．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图2，直线l：y=kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ//y轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M(点M在点Q的右侧)，以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；(3)如图3，设抛物线的顶点为D，在(2)的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF=∠DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【知识点】实数的概念【解析】解：在√3，−1，0，2这四个数中，负数是−1，故选：B．根据负数的定义，可以判断题目中的哪个数是负数．本题考查正数和负数，解题的关键是明确负数的定义．2.【答案】A【知识点】轴对称图形【解析】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．3.【答案】C【知识点】同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项【解析】解：3a和a属于同类项，所以3a−a=2a，故A项不符合题意，根据同底数幂的乘法运算法则可得a2⋅a4=a6，故B项不符合题意，根据平方差公式(a+2)(a−2)=a2−4，故C项符合题意，(−a)2=a2，故D项不符合题意，故选：C．根据合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则正确计算即可求出正确答案．本题主要考查合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则，熟练运用运算法则是解题的关键．4.【答案】D【知识点】在数轴上表示不等式的解集、一元一次不等式组的解法【解析】解：解不等式x−1<0，得：x<1，解不等式2x≥−4，得：x≥−2，则不等式组的解集为−2≤x<1，故选：D．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5.【答案】C【知识点】平行线的性质【解析】解：由题意知，∠ABC=45°+60°=105°，∵a//b，∴∠1+∠ABC=180°，∴∠1=180°−∠ABC=180°−105°=75°，故选：C．根据平行线的性质可得∠1+∠ABC=180°，进而可求出∠1．本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．6.【答案】B【知识点】证明与定理【解析】解：A、五边形的内角和为540°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：B．利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及三角形的重心的性质分别判断后即可确定正确的选项．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及三角形的重心的定义等知识，难度不大．7.【答案】C【知识点】算术平均数、众数【解析】解：x −=9.0+9.2+9.0+8.8+9.05=9.0，该组数众数为：9.0，∴这五个有效评分的平均数和众数分别为9.0，9.0，故选：C ．根据平均数的计算方法对这组数先求和再除以5即可，众数即出现次数最多的数，便可选出正确答案．本题考查算术平均数以及众数，熟练掌握平均数的求法以及众数的求法是解题的关键． 8.【答案】D【知识点】二次函数的性质、正方形的性质【解析】解：如图，由题意可得，互异二次函数y =(x −m)2−m 的顶点(m,−m)在直线y =−x 上运动，在正方形OABC 中，点A(0,2)，点C(2,0)，∴B(2,2)，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A ，再逐渐经过点O ，点B ，点C ，最后再经过点B ，且在运动的过程中，两次经过点A ，两次经过点O ，点B 和点C ，∴只需算出当函数经过点A 及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值． 当互异二次函数y =(x −m)2−m 经过点A(0,2)时，m =0，或m =−1；当互异二次函数y =(x −m)2−m 经过点B(2,2)时，m =5−√172或m =5+√172．∴互异二次函数y =(x −m)2−m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是5+√172，−1．故选：D ．画出图象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A ，再逐渐经过点O ，点B ，点C ，最后再经过点B ，且在运动的过程中，两次经过点A ，两次经过点O ，点B 和点C ，只需算出当函数经过点A 及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值．本题为二次函数综合题，考查了二次函数图象性质．解答关键是研究动点到达临界点时图形的变化，从而得到临界值．9.【答案】(x +1)2【知识点】因式分解-运用公式法【解析】解：x 2+2x +1=(x +1)2，故答案为：(x +1)2．本题运用完全平方公式进行因式分解即可．本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键． 10.【答案】5.5×107【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：55000000=5.5×107，故答案为：5.5×107．根据科学记数法的方法对55000000进行科学记数即可．本题考查用科学记数法表示较大的数，掌握科学记数法的基本方法是解题的关键． 11.【答案】35【知识点】概率公式【解析】解：∵从袋子中随机摸出一个小球共有5种等可能结果，摸出的小球是白球的结果数为3，∴摸出的小球是红球的概率为35，故答案为：3．5用白球的个数除以球的总个数即可．本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．12.【答案】9【知识点】根的判别式【解析】解：根据题意，△=62−4k=0，解得k=9，故答案为9．利用判别式的意义得到△=62−4k=0，然后解关于k的方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根．13.【答案】x≠1【知识点】分式有意义的条件有意义，【解析】解：∵分式5x−1∴x−1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．14.【答案】0【知识点】分式的化简求值、二次根式的化简求值、完全平方公式=√2，【解析】解：∵x+1x∴x+1−√2=√2−√2=0，x故答案为：0．把x+1的值代入计算即可．x本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的减法法则是解题的关键．15.【答案】(x−6.8)2+x2=102【知识点】勾股定理的应用【解析】解：设门高AB为x尺，则门的宽为(x−6.8)尺，AC=1丈=10尺，依题意得：AB2+BC2=AC2，即(x−6.8)2+x2=102．故答案为：(x−6.8)2+x2=102．设门高AB为x尺，则门的宽为(x−6.8)尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16.【答案】②④⑤【知识点】弧长的计算、线段垂直平分线的概念及其性质、圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质【解析】解：①∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，又在Rt△ABC中，∠C=90°，∴BE>BC，∴AE>BC，故①错误；②由题可知，四边形DBCE是⊙O的内接四边形，∴∠AED=∠CBD，故②正确；③连接OD，若∠DBE=40°，则∠DOE=80°，∴DE⏜的长为80°⋅π⋅4180∘=16π9，故③错误；④∵EF是⊙O的切线，∴∠BEF=90°，又DE⊥AB，∴∠EDF=∠BEF=90°，∴△EDF∽△BEF，∴DFEF =EFBF，故④正确；⑤在Rt△BEF中，EF=6，BE=8，∴BF=10，由①AE=BE=8，∴∠A=∠ABE，又∠C=∠BEF=90°，∴△BEF∽△ACB，∴BE：AC=EF：BC=6：8，设BE=6m，则AC=8m，则CE=8m−8，在Rt△BCE中，由勾股定理可得，EC2+BC2=BE2，即(8m−8)2+(6m)2=82，解得m=1.28，∴CE=8m−8=2.24.故⑤正确．故答案为：②④⑤．①DE垂直平分AB，AE=BE，BE>BC，则AE>BC，故①错误；②由题可知，四边形DBCE是⊙O的内接四边形，则∠AED=∠CBD，故②正确；③连接OD，若∠DBE=40°，则∠DOE=80°，则DE⏜的长为80°⋅π⋅4180∘=16π9，故③错误；④易得△EDF∽△BEF，则DFEF =EFBF，故④正确；⑤在Rt△BEF中，EF=6，BE=8，BF=10，又△BEF∽△ACB，则BE：AC=EF：BC=6：8，设BE=6m，则AC=8m，则CE=8m−8，由勾股定理可得，EC2+BC2= BE2，即(8m−8)2+(6m)2=82，解得m=1.28，则CE=8m−8=2.24.故⑤正确．本题主要考查相似三角形的性质与判定，切线的性质，弧长的计算等内容，熟知相关性质及定理是解题关键．17.【答案】解：原式=−1+2+4×12−1=−1+2+2−1=2．【知识点】绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、实数的运算【解析】按照实数的运算法则依次展开计算即可得出答案．本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、正整数幂，特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握其运算法则，细心运算是解题的关键．18.【答案】AE=CF【知识点】平行四边形的判定【解析】解：(1)添加条件为：AE=CF，故答案为：AE=CF；(2)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE//CF，∵AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形．(1)由题意添加条件即可；(2)证AE//CF，再由AE=CF，即可得出结论．本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．19.【答案】解：(1)把A(1,m)代入y=2x中，得m=2，∴点A的坐标为(1,2)，把点A(1,2)代入y=kx中，得k=2，∴反比例函数得解析式为y=2x；(2)过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，设点C的坐标为(a,0)，∵点A与点B关于原点对称，∴点B的坐标为(−1,−2)，∴BD=|−2|=2，OC=|a|，S△BOC=12BD⋅OC=12×2×|a|=3，解得：a=3或a=−3，∴点C的坐标为(3,0)或(−3,0)．【知识点】一次函数与反比例函数综合【解析】(1)先把A(1,m)代入y=2x中，即可算出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式中即可得出答案；(2)过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，设点C的坐标为(a,0)，根据反比例函数与正比例函数的性质可得点B的坐标，由题意可得BD=|−2|=2，OC=|a|，再根据三角形面积计算方法即可算出a的值，即可得出答案．本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关知识进行求解是解决本题的关键．20.【答案】0.27 72【知识点】扇形统计图、用样本估计总体、频数(率)分布表【解析】解：(1)本次调查的同学共有：8÷0.16=50(人)，a=10÷50=0.2，b=50--8−10−21=7，故答案为：0.2，7；(2)扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小是：360°×1050=72°，故答案为：72；(3)600×4+850=144(人)，答：该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数有144人；(4)按时入睡，保证睡眠时间．(1)根据B组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据频数分布表中的数据，即可计算出a、b的值；(2)根据C组的频率可计算出扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小；(3)根据每天睡眠时长低于7小时的人数所占比例可以计算出该校学生每天睡眠时长低于7小时的人数．(4)根据调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议即可．本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21.【答案】解：设小明骑自行车的平均速度为x km/ℎ，则妈妈开车的平均速度为4x km/ℎ，依题意得：16x −164x=1，解得：x=12，经检验，x=12是原方程的解，且符合题意，∴4x=48．答：妈妈开车的平均速度为48km/ℎ．【知识点】分式方程的应用【解析】设小明骑自行车的平均速度为x km/ℎ，则妈妈开车的平均速度为4x km/ℎ，根据时间=路程÷速度，结合小明比妈妈多用1h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22.【答案】解：(1)在RtABC中，BC=80，∵AB的坡度i=1：0.7，∴BCAC =10.7，∴80AC =10.7，∴AC=56，在RtBCE中，BC=80，∠BEC=∠DBE=45°，∴∠CBE=90°−∠BEC=90°−45°=45°，∴∠BEC=∠CBE，∴CE=BC=80，∴AE=CE−AC=80−56=24(m)，答：山脚A到河岸E的距离为24m；(2)在RtBCF中，BC=80，∠BFC=∠DBF=31°，tan∠BFC=BCCF，∴80CF≈0.6，∴CF≈133.33，∴EF=CF−CE=133.33−80=53.33≈53.3(m)，答：河宽EF的长度约53.3m．【知识点】解直角三角形的应用【解析】(1)在RtABC中，根据AB的坡度求出AC，在RtBCE中，根据等腰直角三角形的性质可得CE=BC，由线段的和差即可求得AE；(2)在RtBCF中，由三角函数的定义求出，根据线段的和差即可求出．本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是23.【答案】ED=BD√33【知识点】四边形综合【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴AD=CD=BD，∵∠A=60°，∴∠B=30°，△ABD是等边三角形，∴∠DCB=30°，∵∠CDE=α=90°，∴tan∠CGD=tan60°=CDDG=√3，∴GDCD =√33．∵线段CD绕点D顺时针旋转α(60°<α<120°)得到线段ED，∴ED=CD=BD，故答案为：ED=BD；√33．(2)①四边形CDEF是正方形，理由如下，∵DM平分∠CDE，∠CDE=90°，∴∠CDM=∠EDM=45°，∵CF//DE，∴∠CFD=∠EDM=45°，∴∠CFD=∠EDM=∠CDM，∴CF=CD=ED，∴四边形CDEF是菱形，∵∠CDE=90°，∴菱形CDEF是正方形．②由(1)可知，∠ADC=60°，∠CGD=60°，BD=DE，∴∠BDE=30°，∠EGB=60°，∴∠DBE=∠DEB=75°，∴∠EBG=45°，∵∠GDB=90°−∠ADE=30°，∠ABC=30°，∴∠GDB=∠ABC，由①知∠CFD=∠CDF=45°，∠DCF=90°，∴∠FCH=60°，∴∠EGB=∠FCH，∠EBG=∠CFD，∴△BEG∽△FHC，∴BEFH =BGFC，∵DG=BG，CD=CF，∴BEFH =BGFC=GDCD=√33．(3)如图3，过点D作DN⊥BC于点N，∴AC//DN，∴∠ACD=∠CDN，∵△ACD是等边三角形，AC=2，∴CD=AC=2，∠CDN=∠ACD=60°，∴∠NDG=α−60°，DN=1，∴tan∠NDG=tan(α−60°)=NGDN=m，∴NG=m，∴DG=√DN2+NG2=√1+m2，∵∠ADC=60°，∠ADG=α，∴∠BDE=120°−α，∴∠BEG=∠EBG=30°+α2，∴∠EBG=α2，∴∠BGE=150°−α，∵DM平分∠CDE，∠CDE=α，∴∠CDM=∠EDM=α2，∵CF//DE，∴∠CFD=∠EDM=α2，∠DCF+∠CDE=180°，∴∠DCF=180°−α，∴∠FCG=150°−α，∴∠EGB=∠FCG，∠EBG=∠CFD，∴△BEG∽△FHC，∴BEFH =BGFC，∵DG=BG，CD=CF，∴BEFH =BGFC=GDCD=√m2+12．(1)根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可以得到AC=CD=BD，根据旋转的性质可以得到CD=DE，则DE=BD；又在Rt△CGD中，含30°的直角三角形边之间的关系可得结论；(2)①由∠CFD=∠EDM=∠CDM，得CF=CD=ED，又CF//DE，则四边形CDEF是菱形，又∠CDE=90°，可得结论：菱形CDEF是正方形．②由题意可得，∠EGB=∠FCH，∠EBG=∠CFD，则△BEG∽△FHC，又DG=BG，CD=CF，所以BEFH =BGFC=GDCD=√33．(3)过点D作DN⊥BC于点N，由tan∠NDG=tan(α−60°)=NGDN=m，得NG=m，所以DG=√DN2+NG2=√1+m2，又△BEG∽△FHC，DG=BG，CD=CF，所以BEFH=BG FC =GDCD=√m2+12．本题主要考查相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30°的直角三角形的边角关系，正方形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和等内容，得到△BEG∽△FHC是解题关键．24.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x−x1)(x−x2)，即y=a(x+1)(x−4)=a(x2−3x−4)=ax2−3ax−4a，即−4a=2，解得a=−12，故抛物线的表达式为y=−12x2+32x+2；(2)将点A的坐标代入直线l的表达式得：0=−k+3，解得k=3，故直线l 的表达式为y =3x +3，设点Q 的坐标为(x,−12x 2+32x +2)，则点P 的坐标为(x,3x +3)，由题意得，点Q 、M 关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x =32， 故点M 的横坐标为3−x ，则QM =3−x −x =3−2x ，设矩形周长为C ，则C =2(PQ +QM)=2[3−2x +3x +3−(−12x 2+32x +2)]=x 2−x +8，∵1<0，故C 有最小值， 当x =12时，矩形周长最小值为314；(3)当x =12时，y =−12x 2+32x +2=218，即点Q 的坐标为(12,218)， 由抛物线的表达式知，点D 的坐标为(32,258)，过点D 作DK ⊥QM 于点K ， 则DK =y D −y Q =258−218=12，同理可得，QK =1， 则tan∠DQM =DKQK =12， ∵∠CBF =∠DQM ，故tan∠CBF =tan∠DQM =12， 在△BOC 中，tan∠CBO =COOB =24=12， 故BF 和BO 重合， 故点F 和点A 重合， 即点F 的坐标为(−1,0)．【知识点】二次函数综合【解析】(1)用待定系数法即可求解；(2)设点Q的坐标为(x,−12x2+32x+2)，则点P的坐标为(x,3x+3)，设矩形周长为C，则C=2(PQ+QM)=2[3−2x+3x+3−(−12x2+32x+2)]=x2−x+8，即可求解；(3)过点D作DK⊥QM于点K，则DK=y D−y Q=258−218=12，同理可得，QK=1，则tan∠DQM=DKQK =12，在△BOC中，tan∠CBO=COOB=24=12，即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。

2021年湖南省衡阳市中考数学试卷(附答案)

2021年湖南省衡阳市中考数学试卷(附答案)

2021年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）8的相反数是( )A ．8-B ．8C ．18-D ．8±2．（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为( )A ．698.9910⨯B ．79.89910⨯C ．4989910⨯D ．80.0989910⨯3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）下列运算结果为6a 的是( )A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．32()aD ．321()2a 5．（3分）下列计算正确的是( )A ．164=±B ．0(2)1-=C ．257+=D ．393=6．（3分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是( )A ．众数是82B ．中位数是84C ．方差是84D ．平均数是857．（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是( )A．B．C．D．8．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为(sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)(︒≈)A．7.5米B．8米C．9米D．10米9．（3分）下列命题是真命题的是()A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B．正六边形的每一个内角为120︒C．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D．对角线相等的四边形是矩形10．（3分）不等式组1026xx+<⎧⎨-⎩的解集在数轴上可表示为()A．B．C．D．11．（3分）下列说法正确的是( )A ．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式B ．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖C ．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是34D ．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人12．（3分）如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，8BC =，点M 、N 分别在矩形的边AD 、BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．下列结论：①四边形CMPN 是菱形；②点P 与点A 重合时，5MN =；③PQM ∆的面积S 的取值范围是45S ．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）13．（33x -x 的取值范围是 ．14．（3分）计算：11a a a-+= ． 15．（3分）因式分解：239a ab -= ．16．（3分）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 ．（结果保留)π17．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树 棵．18．（3分）如图1，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，P 、Q 两点同时从O 点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O A D O ---，点Q 的运动路线为O C B O ---．设运动的时间为x 秒，P 、Q 间的距离为y 厘米，y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A D-段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）19．（6分）计算：2(2)(2)(2)(4)++-++-．x y x y x y x x y20．（6分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB DE=，//BC EF．求AC DF，//证：ABC DEF∆≅∆．21．（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是度；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．22．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，90∆绕A点逆时针方AEB∠=︒，将Rt ABE向旋转90︒得到ADF∆，DF的延长线交BE于H点．（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知7BC=，求DH的长．BH=，1323．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x cm，单层部分的长度为y cm．经测量，得到表中数据．双层部分长度()x cm281420单层部分长度()y cm148136124112（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；（3）设背带长度为L cm，求L的取值范围．24．（8分）如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，E 为BD 的中点，点C 在BA 的延长线上，且CDA B ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若2DE =，30BDE ∠=︒，求CD 的长．25．（10分）如图，OAB ∆的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，(6,0)B ，动点P 、Q 同时从点O 出发，分别沿x 轴正方向和y 轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P 到达点B 时点P 、Q 同时停止运动．过点Q 作//MN OB 分别交AO 、AB 于点M 、N ，连接PM 、PN ．设运动时间为t （秒)．（1）求点M 的坐标（用含t 的式子表示）；（2）求四边形MNBP 面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l ，总能平分四边形MNBP 的面积？如果存在，请求出直线l 的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接AP ，当OAP BPN ∠=∠时，求点N 到OA 的距离．26．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如(1,1)，(2021,2021)⋯都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点” E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线223y x x =-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC ∆，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2021年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）8的相反数是( )A ．8-B ．8C ．18-D ．8±【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此8的相反数是8-． 故选：A ．2．（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为( )A ．698.9910⨯B ．79.89910⨯C ．4989910⨯D ．80.0989910⨯【解答】解：7989900009.89910=⨯，故选：B ．3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．是轴对称图形，故本选项符合题意；B ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D ．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A ．4．（3分）下列运算结果为6a 的是( )A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．32()aD ．321()2a 【解答】解：A ．235a a a ⋅=,故此选项不合题意；B ．12210a a a ÷=,故此选项不合题意；C ．326()a a =,故此选项符合题意；D ．32611()24a a =,故此选项不合题意； 故选：C ．5．（3分）下列计算正确的是( )A 4=±B ．0(2)1-=CD 3=【解答】解：16的算术平方根为44，故A 不符合题意；根据公式01(0)a a =≠可得0(2)1-=，故B 符合题意；≠，故C 不符合题意；3，故D 不符合题意；故选：B ．6．（3分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是( )A ．众数是82B ．中位数是84C ．方差是84D ．平均数是85【解答】解：将数据重新排列为82，82，83，85，86，92，A 、数据的众数为82，此选项正确，不符合题意；B 、数据的中位数为8385842+=，此选项正确，不符合题意； C 、数据的平均数为828283858692856+++++=， 所以方差为222221[(8585)(8385)2(8285)(8685)(9285)]126⨯-+-+⨯-+-+-=，此选项错误，符合题意；D 、由C 选项知此选项正确；故选：C ．7．（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：这个组合体的三视图如下：故选：A ．8．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为(sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)(︒≈ )A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6BC =米，3sin sin370.65BC BAC AB ∠==︒≈=， 5561033AB BC ∴≈=⨯=（米)， 故选：D ．9．（3分）下列命题是真命题的是( )A ．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B ．正六边形的每一个内角为120︒C ．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D ．对角线相等的四边形是矩形【解答】解：A ．每个多边形的外角和都是360︒，故错误，假命题；B ．正六边形的内角和是720︒，每个内角是120︒，故正确，真命题；C ．有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形，故错误，假命题；D ．对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，假命题．故选：B ．10．（3分）不等式组1026x x +<⎧⎨-⎩的解集在数轴上可表示为( ) A ．B ．C ．D ．【解答】解：解不等式10x +<得，1x <-,解不等式26x -得，3x -， ∴不等式组的解集为：31x -<-,在数轴上表示为：故选：A ．11．（3分）下列说法正确的是( )A ．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式B ．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖C ．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是34D ．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人【解答】解：全国中学生人数很大，应采用抽样调查方式，A ∴选项错误，彩票的中奖机会是1%说的是可能性，和买的数量无关，B ∴选项错误，根据概率的计算公式，C 选项中摸出红球的概率为37， C ∴选项错误， 200名学生中有85名学生喜欢跳绳，∴跳绳的占比为85100%42.5%200⨯=， 320042.5%1360∴⨯=（人)，D ∴选项正确，故选：D ．12．（3分）如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，8BC =，点M 、N 分别在矩形的边AD 、BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．下列结论：①四边形CMPN 是菱形；②点P 与点A 重合时，5MN =；③PQM ∆的面积S 的取值范围是45S ．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③【解答】解：//PM CN ，PMN MNC ∴∠=∠，MNC PNM ∠=∠，PMN PNM ∴∠=∠，PM PN ∴=，NC NP =，PM CN ∴=，//MP CN ，∴四边形CNPM 是平行四边形，CN NP =，∴四边形CNPM 是菱形，故①正确；如图1，当点P 与A 重合时，设BN x =，则8AN NC x ==-，在Rt ABN ∆中，222AB BN AN +=，即422(8)2x x +=-，解得3x =，835CN ∴=-=，4AB =，8BC =， 2245AC AB BC ∴=+=，1252CQ AC ∴==， 225QN CN CQ ∴=-=，225MN QN ∴==，故②不正确；由题知，当MN 过点D 时，CN 最短，如图2，四边形CMPN 的面积最小，此时1144444CMPN S S ==⨯⨯=菱形， 当P 点与A 点重合时，CN 最长，如图1，四边形CMPN 的面积最大，此时15454S =⨯⨯=， 45S ∴正确，故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）13．（33x -x 的取值范围是 3x ．【解答】解：根据题意，得30x -，解得，3x ；故答案为：3x ．14．（3分）计算：11a a a-+= 1 ． 【解答】解：原式111a a -+==． 故答案为：1．15．（3分）因式分解：239a ab -= 3(3)a a b - ．【解答】解：239a ab -3(3)a a b =-，故答案为：3(3)a a b -．16．（3分）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 12π ．（结果保留)π【解答】解：圆锥的侧面积234212ππ=⨯⨯÷=．故答案为：12π．17．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树 500 棵．【解答】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树(125%)x +棵， 依题意得：600060003(125%)x x-=+，解得：400x =，经检验，400x =是原方程的解，且符合题意，(125%)500x ∴+=．故答案为：500．18．（3分）如图1，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，P 、Q 两点同时从O 点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O A D O ---，点Q 的运动路线为O C B O ---．设运动的时间为x 秒，P 、Q 间的距离为y 厘米，y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，当点P 在A D -段上运动且P 、Q 两点间的距离最短时，P 、Q 两点的运动路程之和为 (233)+ 厘米．【解答】解：由图分析易知：当点P 从O A →运动时，点Q 从O C →运动时，y 不断增大， 当点P 运动到A 点，点Q 运动到C 点时，由图象知此时3y PQ cm ==，23AC cm ∴=，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，132OA OC AC cm ===， 当点P 运动到D 点，Q 运动到B 点，结合图象，易知此时，2y BD cm ==，112OD OB BD cm ∴===， 在Rt ADO ∆中，2222(3)12()AD OA OD cm ++，2AD AB BC DC cm ∴====，如图，当点P 在A D -段上运动，点P 运动到点E 处，点Q 在C B -段上运动，点Q 运动到点F 处时，P 、Q 两点的最短，此时，31322OA OD OE OF AD ⋅⨯====， 2233342AE AF OA OE ==-=-=， ∴当点P 在A D -段上运动且P 、Q 两点间的距离最短时，P 、Q 两点的运动路程之和为：3(3)2233()2cm +⨯=+ 故答案为：(233)+．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）19．（6分）计算：2(2)(2)(2)(4)x y x y x y x x y ++-++-．【解答】解：原式22222(44)(4)(4)x xy y x y x xy =+++-+-222224444x xy y x y x xy =+++-+-23x =．20．（6分）如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，AB DE =，//AC DF ，//BC EF ．求证：ABC DEF ∆≅∆．【解答】证明：//AC DF ，CAB FDE ∴∠=∠ (两直线平行，同位角相等),又//BC EF ，CBA FED ∴∠=∠ (两直线平行，同位角相等),在ABC ∆和DEF ∆中，CAB FDE AB DECBA FED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ()ABC DEF ASA ∴∆≅∆．21．（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是 64.8 度；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．【解答】解：（1）由题意可知，其他垃圾所占的百分比为：120%7%55%18%---=， ∴其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是：36018%64.8︒⨯=︒，故答案为：64.8；（2）50020%100⨯=（吨)，1000.220⨯=（万元）， 答：该天可回收物所创造的经济总价值是20万元；（3）由题意可列树状图：()82 123P∴==一男一女．22．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，90AEB∠=︒，将Rt ABE∆绕A点逆时针方向旋转90︒得到ADF∆，DF的延长线交BE于H点．（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知7BH=，13BC=，求DH的长．【解答】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：Rt ABE∆绕A点逆时针方向旋转90︒得到ADF∆，Rt ABE Rt ADF∴∆≅∆，90AEB AFD∴∠=∠=︒，90AFH∴∠=︒，Rt ABE Rt ADF∆≅∆，DAF BAE∴∠=∠,又90DAF FAB∠+∠=︒，90BAE FAB∴∠+∠=︒，90FAE∴∠=︒，在四边形AFHE中，90FAE∠=︒，90AEB∠=︒，90AFH∠=︒，∴四边形AFHE是矩形，又AE AF =，∴矩形AFHE 是正方形；（2）设AE x =．则由（1）以及题意可知：AE EH FH AF x ====,7BH =,13BC AB ==, 在Rt AEB ∆中，222AB AE BE =+，即22213(7)x x =++,解得：5x =,5712BE BH EH ∴=+=+=,12DF BE ∴==,又DH DF FH =+，12517DH ∴=+=．23．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x cm ，单层部分的长度为y cm ．经测量，得到表中数据． 双层部分长度()x cm2 8 14 20 单层部分长度()y cm 148 136 124 112（1）根据表中数据规律，求出y 与x 的函数关系式；（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm 时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；（3）设背带长度为L cm ，求L 的取值范围．【解答】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，由题知14821368k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得2152k b =-⎧⎨=⎩， y ∴与x 的函数关系式为2152y x =-+；（2）根据题意知1302152x y y x +=⎧⎨=-+⎩， 解得22108x y =⎧⎨=⎩， ∴双层部分的长度为22cm ；（3）由题知，当0x =时，152y =， 当0y =时，76x =， 76152L ∴．24．（8分）如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，E 为BD 的中点，点C 在BA 的延长线上，且CDA B ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若2DE =，30BDE ∠=︒，求CD 的长．【解答】（1）证明：连结OD ，如图所示：AB 是直径，90BDA ∴∠=︒，90BDO ADO ∴∠+∠=︒， 又OB OD =，CDA B ∠=∠， B BDO CDA ∴∠=∠=∠，90CDA ADO ∴∠+∠=︒，OD CD ∴⊥，且OD 为O 半径，CD ∴是O 的切线；（2）解：连结OE ，如图所示：30BDE ∠=︒，260BOE BDE ∴∠=∠=︒，又E 为BD 的中点，60EOD ∴∠=︒，EOD ∴∆为等边三角形，2ED EO OD ∴===，又120BOD BOE EOD ∠=∠+∠=︒，180********DOC BOD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，在Rt DOC ∆中，60DOC ∠=︒，2OD =，tan tan6032CD CD DOC OD ∴∠=︒== 23CD ∴= 25．（10分）如图，OAB ∆的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，(6,0)B ，动点P 、Q 同时从点O 出发，分别沿x 轴正方向和y 轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P 到达点B 时点P 、Q 同时停止运动．过点Q 作//MN OB 分别交AO 、AB 于点M 、N ，连接PM 、PN ．设运动时间为t （秒)．（1）求点M 的坐标（用含t 的式子表示）；（2）求四边形MNBP 面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l ，总能平分四边形MNBP 的面积？如果存在，请求出直线l 的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接AP ，当OAP BPN ∠=∠时，求点N 到OA 的距离．【解答】解：（1）过点A 作x 轴的垂线，交MN 于点E ，交OB 于点F ，由题意得：2OQ t =，3OP t =，63PB t =-，(0,0)O ，(3,4)A ，(6,0)B ，3OF FB ∴==，4AF =，22345OA AB ==+，//MN OB ，OQM OFA ∴∠=∠，OMQ AOF ∠=∠，OQM AFO ∴∆∆∽， ∴OQ QM AF OF =， ∴243t QM =， 32QM t ∴=， ∴点M 的坐标是3(,2)2t t ． （2）//MN OB ，∴四边形QEFO 是矩形，QE OF ∴=，332ME OF QM t ∴=-=-， OA AB =，ME NE ∴=，263MN ME t ∴==-，MNP BNP MNBP S S S ∆∆∴=+四边形1122MN OQ BP OQ =⋅+⋅⋅11(63)2(63)222t t t t =-⋅+⋅-⋅ 2612t t =-+26(1)6t =--+，点P 到达点B 时，P 、Q 同时停止，02t ∴，1t ∴=时，四边形MNBP 的最大面积为6．（3）63MN t =-，63BP t =-，MN BP ∴=，//MN BP ，∴四边形MNBP 是平行四边形，∴平分四边形MNBP 面积的直线经过四边形的中心，即MB 的中点，设中点为(,)H x y ， 3(,2)2M t t ，(6,0)B ， 133(6)3224x t t ∴=⋅+=+， 202t y t +==． 334x y ∴=+， 化简得：443y x =-， ∴直线l 的解析式为：443y x =-． （4）OA AB =，AOB PBN ∴∠=∠，又OAP BPN ∠=∠， AOP PBN ∴∆∆∽，∴OA OP BP BN=， ∴535632t t t =-， 解得：1118t =．63MN t =-，AE AF OQ =-，332ME t =-， 112563186MN ∴=-⨯=， 112542189AE =-⨯=， 31125321812ME =-⨯=， 22222525125()()12936AM ME AE ∴=+=+=． 设点N 到OA 得距离为h ，1122AMN S MN AE AM h ∆=⋅⋅=⋅⋅， ∴125251125269236h ⋅⋅=⋅⋅， 解得：103h =． ∴点N 到OA 得距离为103．26．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如(1,1)，(2021,2021)⋯都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点” E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线223y x x =-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC ∆，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：4x x=，解得2x =±， 当2x =±时，42y x ==±， 故“雁点”坐标为(2,2)或(2,2)--；（2）① “雁点”的横坐标与纵坐标相等， 故“雁点”的函数表达式为y x =，物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点” E ， 则25ax x c x ++=，则△2540ac =-=，即4ac =，1a >，故4c <；②4ac =，则250ax x c ++=为2450ax x a++=， 解得4x a =-或1a -，即点M 的坐标为4(a-，0)，由25ax x c x ++=，4ac =， 解得2x a =-，即点E 的坐标为2(a -，2)a-， 故点E 作EH x ⊥轴于点H ，则2HE a =，242()E M MH x x HE a a a =-=---==， 故EMN ∠的度数为45︒；（3）存在，理由：由题意知，点C 在直线y x =上，故设点C 的坐标为(,)t t ， 过点P 作x 轴的平行线交过点C 与y 轴的平行线于点M ，交过点B 与y 轴的平行线于点N ，设点P 的坐标为2(,23)m m m -++，则223BN m m =-++,3PN m =-,PM m t =-,223CM m m t =-++-, 90NPB MPC ∠+∠=︒,90MPC CPM ∠+∠=︒, NPB CPM ∴∠=∠,90CMP PNB ∠=∠=︒,PC PB =,()CMP PNB AAS ∴∆≅∆，PM BN ∴=，CM PN =，即2|23|m t m m -=-++，223|3|m m t m -++-=-，解得1m =1-或32，故点P 的坐标为，3)2或3(2，15)4或(1+，3)2．。

2021年湖南省长沙市中考数学试卷(附答案详解)

2021年湖南省长沙市中考数学试卷(附答案详解)

2021年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.(2021·湖南省长沙市·历年真题)下列四个实数中，最大的数是()A. −3B. −1C. πD. 42.(2021·湖南省长沙市·历年真题)2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为()A. 1.004×106B. 1.004×107C. 0.1004×108D. 10.04×1063.(2021·湖南省长沙市·历年真题)下列几何图形中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.(2021·湖南省长沙市·历年真题)下列计算正确的是()A. a3⋅a2=a5B. 2a+3a=6aC. a8÷a2=a4D. (a2)3=a55.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，AB//CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE=100°，则∠DHF的度数为()A. 100°B. 80°C. 50°D. 40°6.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=54°，则∠BOC的度数为()A. 27°B. 108°C. 116°D. 128°7.(2021·湖南省长沙市·历年真题)下列函数图象中，表示直线y=2x+1的是()A. B. C. D.8.(2021·湖南省长沙市·历年真题)“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是()A. 24，25B. 23，23C. 23，24D. 24，249.(2021·湖南省长沙市·历年真题)有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数.将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是()A. 19B. 16C. 14D. 1310.(2021·湖南省长沙市·历年真题)在一次数学活动课上，某数学老师将1∼10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上(每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下).他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17.根据以上信息，下列判断正确的是()A. 戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9B. 丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7C. 丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4D. 甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.(2021·湖南省长沙市·历年真题)分解因式：x2−2021x=______ ．12.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为______ ．13.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE=6，则BC的长为______ ．14.(2021·湖南省长沙市·历年真题)若关于x的方程x2−kx−12=0的一个根为3，则k的值为______ ．15.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BD的长为______ ．16.(2021·湖南省长沙市·历年真题)某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动.先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图.那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为______ ．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）17.(2021·湖南省长沙市·历年真题)计算：|−√2|−2sin45°+(1−√3)0+√2×√8．18.(2021·湖南省长沙市·历年真题)先化简，再求值：(x−3)2+(x+3)(x−3)+2x(2−x)，其中x=−1．219. (2021·湖南省长沙市·历年真题)人教版初中数学教科书八年级上册第35−36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：△ABC ．求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC ．作法：如图．(1)画B′C′=BC ；(2)分别以点B′，C′为圆心，线段AB ，AC 长为半径画弧，两弧相交于点A′；(3)连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．请你根据以上材料完成下列问题：(1)完成下面证明过程(将正确答案填在相应的空上)：证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC 中，{B′C′=BCA′B′=( )A′C′=( )∴△A′B′C′≌ ______ ．(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______ .(填序号)①AAS②ASA③SAS④SSS20.(2021·湖南省长沙市·历年真题)“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市.本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球(每个球除颜色外，其他都相同)的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物.据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．(1)求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；(2)请你估计纸箱中白球的数量接近多少？21.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB=4．(1)求证：▱ABCD是矩形；(2)求AD的长．22.(2021·湖南省长沙市·历年真题)为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．(1)若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？23.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD=CD，延长BC至E，使得CE=CA，连接AE．(1)求证：∠B=∠ACB；(2)若AB=5，AD=4，求△ABE的周长和面积．24.(2021·湖南省长沙市·历年真题)我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”.根据该约定，完成下列各题．(1)若点A(1,r)与点B(s,4)是关于x的“T函数”y={−4x(x<0)tx2(x≥0,t≠0,t是常数)的图象上的一对“T点”，则r=______ ，s=______ ，t=______ (将正确答案填在相应的横线上)；(2)关于x的函数y=kx+p(k,p是常数)是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；(3)若关于x的“T函数”y=ax2+bx+c(a>0，且a，b，c是常数)经过坐标原点O，且与直线l：y=mx+n(m≠0,n>0，且m，n是常数)交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，当x1，x2满足(1−x1)−1+x2=1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．25.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在AB⏜上，四边形MNPQ为正方形，点C在QP⏜上运动(点C与点P，Q不重合)，连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．(1)求sin∠AOQ的值；(2)求AMMN的值；(3)令ME=x，QD=y，直径AB=2R(R>0,R是常数)，求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．答案和解析1.【答案】D【知识点】实数大小比较【解析】解：∵−3<−1<π<4，∴最大的数是4，故选：D．先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最大的数即可．本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．2.【答案】B【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：10040000=1.004×107．故选：B．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定a与n的值是解题的关键．3.【答案】C【知识点】中心对称图形【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；C.是中心对称图形，故本选项符合题意；D.不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.【答案】A【知识点】同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项【解析】解：A.a3⋅a2=a5，故此选项符合题意；B.2a+3a=5a，故此选项不合题意；C.a8÷a2=a6，故此选项不合题意；D.(a2)3=a6，故此选项不合题意；故选：A．直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别判断得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.【答案】A【知识点】平行线的性质【解析】解：∵AB//CD，∴∠CHG=∠AGE=100°，∴∠DHF=∠CHG=100°．故选：A．先根据平行线的性质，得出∠CHG的度数，再根据对顶角相等，即可得出∠DHF的度数．本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时关键是注意：两直线平行，同位角相等．6.【答案】B【知识点】圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系【解析】解：∵∠A=54°，∴∠BOC=2∠A=108°，故选：B．直接由圆周角定理求解即可．本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7.【答案】B【知识点】一次函数的性质【解析】解：∵k=2>0，b=1>0时，∴直线经过一、二、三象限．故选：B．根据一次函数的性质判断即可．本题考查了一次函数的性质，当k>0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限．8.【答案】C【知识点】中位数、众数【解析】解：将这组数据从小到大重新排列为22，23，23，23，24，24，25，25，26，∴这组数据的众数为23cm，中位数为24cm，故选：C．将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9.【答案】A【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】解：列表如下：由表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的情况有4种，∴两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率为436=19，故选：A．列表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的情况有4种，再由概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10.【答案】A【知识点】有理数的加法【解析】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，∴每人手里的数字不重复．由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；由丙：16，可知丙手中的数字可能是6和10，7和9；由丁：7，可知丁手中的数字可能是1和6，2和5，3和4；由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；∴丁只能是2和5，甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9．∴各选项中，只有A是正确的，故选：A．根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．本题考查的是有理数加法的应用，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．11.【答案】x(x−2021)【知识点】因式分解-提公因式法【解析】解：x2−2021x=x(x−2021)．故答案为：x(x−2021)．直接提取公因式x，即可分解因式．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12.【答案】45°【知识点】垂径定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系【解析】解：∵OC⊥AB，∴AC=BC=12AB=12×4=2，∵OC=2，∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠AOC=45°，故答案为：45°．利用垂径定理可得AC=BC=12AB=12×4=2，由OC=2可得△AOC为等腰直角三角形，易得结果．本题主要考查了垂径定理和等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键．13.【答案】12【知识点】菱形的性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，且BD⊥AC，又∵点E是边AB的中点，∴OE=AE=EB=12AB，∴BC=AB=2OE=6×2=12，故答案为：12．根据四边形ABCD是菱形可知对角线相互垂直，得出OE=12AB，AB=BC，即可求出BC．本题主要考查菱形和直角三角形的性质，熟练应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．14.【答案】−1【知识点】一元二次方程的解【解析】解：把x=3代入方程x2−kx−12=0得：9−3k−12=0，解得：k=−1，故答案为：−1．把x=3代入方程得出9−3k−12=0，求出方程的解即可．本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能理解方程的解的定义是解此题的关键．15.【答案】2.4【知识点】角平分线的性质【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵DE=1.6，∴CD=1.6，∴BD=BC−CD=4−1.6=2.4．故答案为：2.4由角平分线的性质可知CD=DE=1.6，得出BD=BC−CD=4−1.6=2.4．本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．16.【答案】50【知识点】扇形统计图、条形统计图【解析】解：∵30÷25%=120(份)，∴一共抽取了120份作品，∴此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为：120−30−28−12=50(份)，故答案为：50．利用共抽取作品数=A等级数÷对应的百分比求解，即可一共抽取的作品份数，进而得到抽取的作品中等级为B的作品数．本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图，能从统计图中获得准确的信息．17.【答案】解：原式=√2−2×√2+1+√162=√2−√2+1+4=5．【知识点】特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算、零指数幂【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算法则、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算、零指数幂的性质、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：原式=x2−6x+9+x2−9+4x−2x2=−2x，当x=−12时，原式=−2×(−12)=1．【知识点】整式的混合运算【解析】直接利用乘法公式结合整式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．19.【答案】△ABC(SSS)④【知识点】尺规作图与一般作图、全等三角形的判定与性质【解析】解：(1)由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，{B′C′=BC A′B′=AB A′C′=AC，∴△A′B′C′≌△ABC(SSS)．故答案为：△ABC(SSS)．(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS，故答案为：④．(1)根据SSS证明三角形全等即可．(2)根据SSS证明三角形全等．本题考查作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图像信息，属于中考常考题型．20.【答案】解：(1)参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为1500060000=0.25；(2)设袋子中白球的数量为x，则1212+x=0.25，解得x=36，经检验x=36是分式方程的解且符合实际，所以估计纸箱中白球的数量接近36．【知识点】利用频率估计概率、用样本估计总体【解析】(1)用发放景点吉祥物的数量除以游客的总数量即可；(2)设袋子中白球的数量为x，用袋子中红球的数量除以球的总个数=0.25列出方程求解即可．本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．21.【答案】(1)证明：∵△AOB为等边三角形，∴∠BAO=∠AOB=60°，OA=OB，∵四边形ABCD是平行四边形∴OB=OD=12BD，OA=OC=12AC，∴BD=AC，∴▱ABCD是矩形；(2)解：∵▱ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠ABO=60°，∴∠ADB=90°−60°=30°，∴AD=√3AB=4√3．【知识点】平行四边形的性质、等边三角形的性质、矩形的判定与性质【解析】(1)由等边三角形的性质得OA=OB，再由平行四边形的性质得OB=OD=1 2BD，OA=OC=12AC，则BD=AC，即可得出结论；(2)由矩形的性质得∠BAD=90°，则∠ADB=30°，再由含30°角的直角三角形的性质求解即可．本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质以及等边三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．22.【答案】解：(1)设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了(25−1−x)道题，依题意得：4x−(25−1−x)=86，解得：x=22．答：该参赛同学一共答对了22道题．(2)设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了(25−y)道题，依题意得：4y−(25−y)≥90，解得：y≥23．答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．【知识点】一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用【解析】(1)设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了(25−1−x)道题，根据总得分=4×答对题目数−1×答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；(2)设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了(25−y)道题，根据总得分=4×答对题目数−1×答错题目数，结合总得分大于或等于90分，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23.【答案】解：(1)证明：在△ADB和△ADC中：{AD=AD∠ADB=∠ADC BD=CD，∴△ADB≌△ADC(SAS)，∴∠B=∠ACB；(2)在Rt△ADB中，BD=√AB2−AD2=√52−42=3，∴BD=CD=3，AC=AB=CE=5，∴BE=2BD+CE=2×3+5=11，在Rt△ADE中，AE=√AD2+DE2=√42+82=4√5，∴C△ABE=AB+BE+AE=5+11+4√5=16+4√5，S△ABE=12×BE×AD=12×11×4=22．【知识点】线段垂直平分线的概念及其性质、三角形的面积【解析】(1)通过SAS求证△ADB≌△ADC即可证明∠B=∠ACB；(2)利用勾股定理分别计算出BD和AE即可求出△ABE的周长和面积．本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积的计算等知识，熟练掌握全等三角形的判定和基本性质以及勾股定理的应用是解题的关键．24.【答案】4 −1 4【知识点】二次函数综合【解析】解：(1)∵A，B关于y轴对称，∴s=−1，r=4，∴A的坐标为(1,4)，把A(1,4)代入是关于x的“T函数”中，得：t=4，故答案为r=4，s=−1，t=4；(2)当k=0时，有y=p，此时存在关于y轴对称得点，∴y=kx+p是“T函数”，当k≠0时，不存在关于y轴对称的点，∴y=kx+p不是“T函数”；(3)∵y=ax2+bx+c过原点，∴c=0，∵y=ax2+bx+c是“T函数”，∴b=0，∴y=ax2，联立直线l和抛物线得：{y=ax 2y=mx+n，即：ax2−mx−n=0，x1+x2=ma ，x1x2=−na，又∵(1−x1)−1+x2=1，化简得：x1=x2，∴ma =−na，即m=−n，∴y=mx+n=mx−m，当x=1时，y=0，∴直线l必过定点(1,0)．(1)由A，B关于y轴对称求出r，s，由“T函数”的定义求出t；(2)分k=0和k≠0两种情况考虑即可；(3)先根据过原点得出c=0，再由“T函数”得出b的值，确定二次函数解析式后，和直线联立求出交点的横坐标，写出l的解析式，确定经过的定点即可．本题主要考查和二次函数有关的新定义题型，关键在于读明白新定义的函数的特点，要理解本题中存在关于y轴对称的点是什么意思，过定点问题一般要先写出解析式，然后取x的值得出y．25.【答案】解：(1)如图，连接OP．∵四边形MNPQ是正方形，∴∠OMN=∠ONP=90°，MQ=PN，∵OQ=OP，∴△OMQ≌△ONP(HL)，∴OM=ON，设OM=ON=m，则MQ=2m，OQ=√OM2+MQ2=√5m，∴sin∠AOQ=MQOQ =2m√5m=2√55．(2)由(1)可知OM=ON=m，OQ=OA=√5m，MN=2m，∴AM=OA−OM=√5m−m，∴AMMN =√5m−m2m=√5−12．(3)∵AB=2R，∴OA=OB=OQ=r，∵QM=2MO，∴OM=√5R5，MQ=2√5R5，∵AB是直径，∴∠ACB=∠DCE=90°，∵∠CED=∠AEM，∴∠A=∠D，∵∠AME=∠DMB=90°，∴△AME∽△DMB，∴AMDM =EMBM，∴R−√5R 5y+2√5R5=xR+√5R5，∴y=4R25x −2√5R5，当点C与P重合时，AMAN =EMPN，∴R−√5R 5R+√5R5=2√5R5，∴x=3√5−55R，∴3√5−55R<x<2√55R.【知识点】圆的综合【解析】(1)利用全等三角形的性质证明OM=ON，设OM=ON=m，则MQ=2m，求出OQ，可得结论．(2)利用(1)中结论，求出AM，MN(用m表示即可)．(3)证明△AME∽△DMB，可得AMDM =EMBM，由此构建关系式，可得结论．本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。

湖南省长沙市2021年中考数学试卷 试题真题(Word版,含答案解析)

湖南省长沙市2021年中考数学试卷 试题真题(Word版,含答案解析)

湖南省长沙市2021年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1.下列四个实数中，最大的数是（）A. -3B. -1C. πD. 4【答案】 D【考点】实数大小的比较【解析】【解答】解：∵π≈3.14，∴−3<−1<π<4，即这四个实数中，最大的数是4，故答案为：D.【分析】根据实数的大小比较法则“正数大于负数；0大于负数；0小于正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”即可求解.2.2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为（）A. 1.004×106B. 1.004×107C. 0.1004×108D. 10.04×106【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：科学记数法：将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，则10040000=1.004×107，故答案为：B.【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.3.下列几何图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】中心对称及中心对称图形【解析】【解答】A、不是中心对称图形，此项不符题意；B、不是中心对称图形，此项不符题意；C、是中心对称图形，此项符合题意；D、不是中心对称图形，此项不符题意；故答案为：C.【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.4.下列计算正确的是（）A. a3⋅a2=a5B. 2a+3a=6aC. a8÷a2=a4D. (a2)3=a5【答案】A【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，幂的乘方【解析】【解答】A、a3⋅a2=a5，此项正确；B、2a+3a=5a，此项错误；C、a8÷a2=a6，此项错误；D、(a2)3=a6，此项错误；故答案为：A.【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可得原式=a5；B、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可得原式=5a；C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可得原式=a6；D、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可得原式=a6.5.如图，AB//CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE=100°，则∠DHF的度数为（）A. 100°B. 80°C. 50°D. 40°【答案】A【考点】平行线的性质【解析】【解答】解：∵AB//CD,∠AGE=100°，∴∠CHE=∠AGE=100°，∴∠DHF=∠CHE=100°（对顶角相等），故答案为：A.【分析】根据两直线平行同位角相等和对顶角相等可求解.6.如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=54°，则∠BOC的度数为（）A. 27°B. 108°C. 116°D. 128°【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】解： ∵∠BAC =54° ，∴ 由圆周角定理得： ∠BOC =2∠BAC =108° ，故答案为：B.【分析】根据圆周角定理“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”得∠BOC=2∠BAC 可求解. 7.下列函数图象中，表示直线 y =2x +1 的是（ ）A. B. C. D.【答案】 B【考点】一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解： ∵ 一次函数 y =2x +1 的一次项系数为 2>0 ，∴y 随 x 的增大而增大，则可排除选项 A,C ，当 x =0 时， y =1 ，则可排除选项 D ，故答案为：B.【分析】由直线解析式可得k=2＞0，b=1＞0，根据一次函数的图象与系数之间的关系可知：当k ＞0时，直线经过一、三象限，且y 随x 的增大而增大；当b ＞0时，直线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上；结合各选项可求解.8.“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm ）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（ ）A. 24，25B. 23，23C. 23，24D. 24，24【答案】 C【考点】中位数，众数【解析】【解答】解：因为23出现的次数最多，所以这组数据的众数是23，将这组数据按从小到大进行排序为 22,23,23,23,24,24,25,25,26 ，则这组数据的中位数是24，故答案为：C.【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；根据定义并结合已知条件可求解.9.有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数.将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是（ ）A. 19B. 16C. 14D. 13【答案】 A【考点】列表法与树状图法【解析】【解答】解：由题意，画树状图如下：由此可知，投掷两次的所有可能的结果共有36种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的结果有4种，则所求的概率为P=436=19，故答案为：A.【分析】由题意，画出树状图，由树状图的信息可知：投掷两次的所有可能的结果共有36种，其中，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的结果有4种，根据概率公式计算即可求解.10.在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）.他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17.根据以上信息，下列判断正确的是（）A. 戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9B. 丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7C. 丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4D. 甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9.【答案】A【考点】有理数的加法【解析】【解答】解：由题意得：11,4,16,7,17是由1∼10中的两个不相同的数字相加所得的数，∴4只能是1与3的和，即乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，∵7=1+6=2+5=3+4，∴丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，∵11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，∴甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，∵16=6+10=7+9，∴丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，∴戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9，故答案为：A.【分析】由题意，将每一个数字可能是由哪两个数构成表示出来，再根据4=1+3且每一个数只用一次，可依次得到每一个同学所拿到的卡片.二、填空题（共6题；共6分）11.分解因式：x2−2021x=________.【答案】x（x-2021）【考点】提公因式法因式分解【解析】【解答】解：x2−2021x=x(x−2021)，故答案为：x（x-2021）.【分析】观察多项式可知每一项都含有公因式x，所以提公因式x可求解.12.如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心O到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为________.【答案】45°【考点】垂径定理【解析】【解答】解：由题意得：OC⊥AB，AB=4，AB=2，∴AC=12∵OC=2，∴AC=OC，∴Rt△AOC是等腰直角三角形，∴∠AOC=45°，故答案为：45°.AB，结合已知易证Rt△AOC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质【分析】由垂径定理可得AC=12可求解.13.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE=6，则BC的长为________.【答案】12【考点】菱形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，∵点E是边AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴BC=2OE=2×6=12，故答案为：12.【分析】由菱形的对角线互相垂直平分可得OA=OC，AC⊥BD，由已知可知OE是三角形ABC的中位线，根据中位线定理得BC=2OE可求解.14.若关于x的方程x2−kx−12=0的一个根为3，则k的值为________.【答案】-1【考点】一元二次方程的根【解析】【解答】解：由题意，将x=3代入方程x2−kx−12=0得：32−3k−12=0，解得k=−1，故答案为：-1.【分析】由题意把x=3代入方程可得关于k的方程，解方程可求解.15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BD的长为________.【答案】2.4【考点】角平分线的性质【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，DE=1.6，∴CD=DE=1.6，∵BC=4，∴BD=BC−CD=4−1.6=2.4，故答案为：2.4.【分析】由题意根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得CD=DE，根据线段的构成BD=BC-CD=BC-DE 可求解.16.某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动.先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图.那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为________.【答案】50份【考点】扇形统计图，条形统计图【解析】【解答】解：抽取的作品总份数为30÷25%=120（份），则B等级的作品份数为120−30−28−12=50（份），故答案为：50份.【分析】观察条形图和扇形图可知A等级的频数和百分数，根据样本容量=频数÷百分数可求得抽取的作品总份数，再根据各小组频数之和等于样本容量可求得B等级的作品数.三、解答题（共9题；共84分）17.计算：|−√2|−2sin45°+(1−√3)0+√2×√8.+1+√16，【答案】解：原式=√2−2×√22=√2−√2+1+4，=5【考点】0指数幂的运算性质，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值【解析】【分析】由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（1-√3）0=1，由特殊角的，由二次根式的乘法法则“√a×√b=√ab(a≥0,b≥0)”可得√2×√8=三角函数值可得sin45°=√22√16=4，再根据二次根式的混合运算法则计算即可求解.18.先化简，再求值：(x−3)2+(x+3)(x−3)+2x(2−x)，其中x=−1.2【答案】解：原式=x2−6x+9+x2−9+4x−2x2，=−2x，代入得：原式=−2x将x=−12)=−2×(−12=1【考点】利用整式的混合运算化简求值【解析】【分析】根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”、完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”和根据单项式与多项式的乘法法则“单项式与多项式相乘，就是依据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”可去括号，再根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可将多项式化简，然后把x的值代入化简后的代数式计算即可求解.19.人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知： △ABC .求作： △A ′B ′C ′ ，使得 △A ′B ′C ′ ≌ △ABC .作法：如图.（ 1 ）画 B ′C ′=BC ；（ 2 ）分别以点 B ′ ， C ′ 为圆心，线段 AB ， AC 长为半径画弧，两弧相交于点 A ′ ； （ 3 ）连接线段 A ′B ′ ， A ′C ′ ，则 △A ′B ′C ′ 即为所求作的三角形.请你根据以上材料完成下列问题：（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：证明：由作图可知，在 △A ′B ′C ′ 和 △ABC 中，{B ′C ′=BC,A ′B ′=_____,A ′C ′=_____,∴ △A ′B ′C ′ ≌_▲_.（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是________.（填序号）①AAS ；②ASA ；③SAS ；④SSS【答案】 （1）AB ；AC ；△ABC（2）④【考点】三角形全等的判定（SSS ），作图-三角形【解析】【解答】（1）证明：由作图可知，在 △A ′B ′C ′ 和 △ABC 中，{B ′C ′=BC A ′B ′=AB A ′C ′=AC，∴ △A ′B ′C ′≅△ABC .故答案为： AB,AC,△ABC .（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 SSS ，故答案为：④.【分析】（1）由作图可得{B ′C ′=BCA ′B ′=AB A ′C ′=AC；（2）根据边边边可证△A ′B ′C ′≅△ABC .20.“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市.本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物.据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个.（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？【答案】（1）解：由题意得：15000÷60000=0.25，答：参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为0.25（2）解：设纸箱中白球的数量为x个，由（1）可知，随机摸出一个球是红球的概率约为0.25，则1212+x=0.25，解得x=36，经检验，x=36是所列分式方程的解，且符合题意，答：纸箱中白球的数量接近36个【考点】概率的简单应用【解析】【分析】（1）由题意用概率公式计算即可求解；（2）设纸箱中白球的数量为x个，由概率公式可得关于x的方程，解方程可求解.21.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB=4.（1）求证：▱ABCD是矩形；（2）求AD的长.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=12AC,OB=OD=12BD，∵△OAB是等边三角形，∴OA=OB，∴AC=BD，∴▱ABCD是矩形（2）解：∵△OAB是等边三角形，AB=4，∴OB=AB=4，∴BD=2OB=8，由（1）已证：▱ABCD是矩形，∴∠BAD =90° ，则在 Rt △ABD 中， AD =√BD 2−AB 2=√82−42=4√3【考点】勾股定理，矩形的判定与性质【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC=12AC ，OB=OD=12BD ，由等边三角形的性质和已知条件可证得AC=BD ，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得平行四边形ABCD 是矩形； （2）由（1）的结论可得BD=2OB=2AB ，在直角三角形ABD 中，用勾股定理可求得AD 的值.22.为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分.（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？ （2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？【答案】 （1）解：设该参赛同学一共答对了 x 道题，则该参赛同学一共答错了 (25−1−x) 道题， 由题意得： 4x −(25−1−x)=86 ，解得 x =22 ，答：该参赛同学一共答对了22道题（2）解：设参赛者需答对 y 道题才能被评为“学党史小达人”，则参赛者答错了 (25−y) 道题， 由题意得： 4y −(25−y)≥90 ，解得 y ≥23 ，答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”.【考点】一元一次不等式的应用，一元一次方程的实际应用-和差倍分问题【解析】【分析】（1）由题意可得相等关系： 参赛同学答对x 道题的分数-参赛同学答错的分数=所得分数，根据相等关系列方程可求解；（2）由题意可得不等关系： 参赛同学答对x 道题的分数-参赛同学答错的分数≥90，根据不等关系可列不等式可求解.23.如图，在 △ABC 中， AD ⊥BC ，垂足为 D ， BD =CD ，延长 BC 至 E ，使得 CE =CA ，连接 AE .（1）求证：∠B=∠ACB；（2）若AB=5，AD=4，求△ABE的周长和面积. 【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△ACD中，{AD=AD∠ADB=∠ADCBD=CD，∴△ABD≅△ACD(SAS)，∴∠B=∠ACB（2）解：∵△ABD≅△ACD，AB=5，∴AB=AC=5，∵CE=CA，∴CE=5，∵AB=5,AD=4,AD⊥BC，∴BD=√AB2−AD2=3，∵BD=CD，∴CD=3，∴BE=BD+CD+CE=11,DE=CD+CE=8，∴AE=√AD2+DE2=4√5，则△ABE的周长为AB+BE+AE=5+11+4√5=16+4√5，△ABE的面积为12BE⋅AD=12×11×4=22【考点】勾股定理，三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】（1）由题意用边角边可证△ABD≌△ACD，由全等三角形的对应角相等可求解；（2）由（1）中的全等三角形可得AB=AC，在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的值；由线段的构成BE=BD+CD+CE，DE=CD+CE可求得BE和DE的值；用勾股定理可求得AE的值；再根据三角形的周长和三角形的面积公式可求解.24.我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”.根据该约定，完成下列各题.（1）若点A(1,r)与点B(s,4)是关于x的“T函数” y={−4x(x<0),tx2(x≥0,t≠0,t是常数).的图象上的一对“T 点”，则r=________，s=________，t=________（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x的函数y=kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是，请说明理由；（3）若关于x的“T函数” y=ax2+bx+c（a>0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l:y=mx+n（m≠0，n>0，且m，n是常数）交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，当 x 1 ， x 2 满足 (1−x 1)−1+x 2=1 时，直线 l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由.【答案】 （1）4；-1；4（2）解：由题意，分以下两种情况：①当 k ≠0 时，假设关于 x 的函数 y =kx +p （ k ， p 是常数）是“ T 函数”，点 (x 0,y 0)(x 0≠0) 与点 (−x 0,y 0) 是其图象上的一对“ T 点”，则 {kx 0+p =y 0−kx 0+p =y 0， 解得 k =0 ，与 k ≠0 相矛盾，假设不成立，所以当 k ≠0 时，关于 x 的函数 y =kx +p （ k,p 是常数）不是“ T 函数”；②当 k =0 时，函数 y =kx +p =p 是一条平行于 x 轴的直线，是“ T 函数”，它有无数对“ T 点”；综上，当 k ≠0 时，关于 x 的函数 y =kx +p （ k,p 是常数）不是“ T 函数”；当 k =0 时，关于 x 的函数 y =kx +p （ k,p 是常数）是“ T 函数”，它有无数对“ T 点”；（3）解：由题意，将 O(0,0) 代入 y =ax 2+bx +c 得： c =0 ，∴y =ax 2+bx ，设点 (x 3,y 3)(x 3≠0) 与点 (−x 3,y 3) 是“ T 函数” y =ax 2+bx 图象上的一对“ T 点”，则 {ax 32+bx 3=y 3ax 32−bx 3=y 3，解得 b =0 ， ∴y =ax 2(a >0) ，联立 {y =ax 2y =mx +n得： ax 2−mx −n =0 ， ∵ “ T 函数” y =ax 2 与直线 y =mx +n 交于点 M(x 1,y 1) ， N(x 2,y 2) ，∴x 1,x 2 是关于 x 的一元二次方程 ax 2−mx −n =0 的两个不相等的实数根，∴x 1+x 2=m a,x 1x 2=−n a ， ∵(1−x 1)−1+x 2=1 ，∴x 1+x 2=x 1x 2 ，即m a =−n a ， 解得 n =−m ，则直线 l 的解析式为 y =mx −m ，当 x =1 时， y =m −m =0 ，因此，直线 l 总经过一定点，该定点的坐标为 (1,0)【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：（1）由题意得：点 A(1,r) 与点 B(s,4) 关于 y 轴对称，∴r =4,s =−1 ，∴A(1,4) ，∵1>0 ，∴ 将点 A(1,4) 代入 y =tx 2 得： t =4 ，故答案为： 4,−1,4 ；【分析】（1）由A ，B 关于y 轴对称求出r ，s ，由“T 函数”的定义求得t 的值；（2）由题意分两种情况：k ＝0和k≠0并结合“T 函数”的定义即可求解；（3）先根据“T 函数”过原点可求得c ＝0，再由“T 函数”的定义求得b 的值，确定二次函数解析式后，和直线联立解方程组求出交点的横坐标，写出l 的解析式，确定经过的定点即可求解．25.如图，点 O 为以 AB 为直径的半圆的圆心，点 M ， N 在直径 AB 上，点 P ， Q 在 AB⌢ 上，四边形 MNPQ 为正方形，点 C 在 QP ⌢ 上运动（点 C 与点 P ， Q 不重合），连接 BC 并延长交 MQ 的延长线于点 D ，连接 AC 交 MQ 于点 E ，连接 OQ .（1）求 sin ∠AOQ 的值；（2）求 AM MN 的值；（3）令 ME =x ， QD =y ，直径 AB =2R （ R >0 ， R 是常数），求 y 关于 x 的函数解析式，并指明自变量 x 的取值范围.【答案】 （1）解：如图，连接 OP ，则 OP =OQ ，∵ 四边形 MNPQ 为正方形，∴PN =QM =MN,∠QMO =∠PNO =90° ，在 Rt △OPN 和 Rt △OQM 中， {PN =QM OP =OQ， ∴Rt △OPN ≅Rt △OQM(HL) ，∴ON =OM ，设 QM =MN =2a ，则 ON =OM =a ，在 Rt △OQM 中， OQ =√QM 2+OM 2=√5a ，则sin∠AOQ=QMOQ =√5a=2√55（2）解：设QM=MN=2a，则ON=OM=a，OQ=√5a，∴OA=OQ=√5a，∴AM=OA−OM=(√5−1)a，∴AMMN=(√5−1)a2a=√5−12（3）解：∵AB=2R，∴OA=OQ=OB=R，∵sin∠AOQ=QMOQ =2√55，∴QMR =2√55，解得QM=2√55R，∴OM=√OQ2−QM2=√55R，∴BM=OB+OM=5+√55R，AM=AB−BM=5−√55R，∵QD=y，∴DM=QD+QM=y+2√55R，由圆周角定理得：∠ACB=90°，∴∠DBM+∠BAC=90°，∵∠QMO=90°，∴∠DBM+∠D=90°，∴∠D=∠BAC，在△DBM和△AEM中，{∠D=∠EAM∠DMB=∠AME=90°，∴△DBM∼△AEM，∴DMAM =BMME，即y+2√55R5−√55R=5+√55Rx，解得y=4R25x −2√55R，如图，连接AP，交QM于点F，∵PN =MN =QM =2√55R ， AM =5−√55R ， ∴AN =AM +MN =5+√55R ， ∵ 四边形 MNPQ 为正方形，∴QM //PN ，∴△AFM ∼△APN ，∴FM PN =AM AN ，即 2√55R=5−√55R 5+√55R ， 解得 FM =3√5−55R ，∵ 点 C 在 QP⌢ 上运动（点 C 与点 P,Q 不重合）， ∴ 点 E 在线段 QF 上运动（点 E 与点 F,Q 不重合），∴FM <ME <QM ，即 3√5−55R <x <2√55R ， 综上， y =4R 25x −2√55R(3√5−55R <x <2√55R) 【考点】圆的综合题【解析】【分析】（1）由HL 定理证得Rt △OPN ≌Rt △OQM ，由全等三角形的性质可得OM ＝ON ，设OM ＝ON ＝a ，则MQ ＝2a ，在Rt △OQM 中，用勾股定理求得OQ 的值，根据锐角三角函数sin ∠AOQ=QM OQ 可求解；（2）由（1）中的结论，求出AM ，MN （用a 的代数式表示），再求比值即可；（3）证明△AME ∽△DMB ，可得比例式DM AM =BM ME ， 由此得y 与x 之间的关系式，连接AP ，交QM 于点F ，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似 可得△AFM ∽△APN ，得比例式FM PN =AMAN ， 可将FM 用含R 的代数式表示出来，由题意可知FM ＜ME ＜QM ，可求得x 的范围，则结论可求解．。

2021年湖南省永州市中考数学试卷及答案(Word解析版)

2021年湖南省永州市中考数学试卷及答案(Word解析版)

2021年湖南省永州市中考数学试卷及答案(Word解析版)湖南省永州市2021年中考数学试卷一、多项选择题（每个子题3分，共24分）。

1.（3分）（2022？永州）A.B.的倒数是（）2021c．d．2021考点：倒数．分析：根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．解答：解：∵（）×（2021）=1，∴的倒数为2021．故选d．点评：本题考查了倒数的定义，熟记概念是解题的关键．2．（3分）（2021?永州）运用湘教版初中数学教材上使用的某种电子计算器求键顺序正确的是（）a．c．．考点：计算器―数的开方分析：根据计算器上的键的功能，是先按最后按6，即可得出答案．解答：解：是先按，再按8，是先按2nd 键，再按则+的顺序先按，最后按6，，再按8，按+，按2nd键，按，最后按6，+的近似值b．，再按8，是先按2nd键，再按，故选a．点评：此题主要考查了计算器的使用方法，由于计算器的类型很多，可根据计算器的说明书使用．3．（3分）（2021?永州）下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（）a、 B.c.d.试验场地：中心对称图；简单几何的三视图分析：首先判断每个图形的主视图，然后结合中心对称性的定义进行判断；b、主视图是一个三角形，它不是一个中心对称的图形，所以这个选项是正确的；c、主视图是一个圆形，是一个中心对称的图形，所以这个选项是错误的；d、主视图是一个正方形，而正方形是一个中心对称的图形，所以这个选项是错误的；所以选择B.评论：这个问题考察了三个视图的知识和简单几何的中心对称性。

判断中心对称图形就是找到对称中心，旋转180度后与原始图形重合。

4.（3点）（2022？永州）如图所示，在以下条件下可以确定L1‖L2线为（）∠1=∠2∠1+∠3=180°∠3=∠5a．c．d．考点：平行线的判定．分析：平行线的判定定理有①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，根据以上内容判断即可．解答：解：a、根据∠1=∠2不能推出l1∥l2，故本选项错误；b、∵∠5=∠3，∠1=∠5，∴∠1=∠3，即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2，故本选项错误；c、∵∠1+∠3=180°，∴l1∥l2，故本选项正确；d、根据∠3=∠5不能推出l1∥l2，故本选项错误；故选c．点评：本题考查了平行线的判定的应用，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．5．（3分）（2021?永州）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）∠1=∠5b。

湖南省常德市2021年中考数学真题试卷(Word版,含答案与解析)

湖南省常德市2021年中考数学真题试卷(Word版,含答案与解析)

湖南省常德市2021年中考数学试卷一、单选题（共7题；共14分）1.若a>b，下列不等式不一定成立的是（）A. a−5>b−5B. −5a<−5bC. ac >bcD. a+c>b+c【答案】C【考点】不等式及其性质【解析】【解答】解：A.在不等式a>b两边同时减去5，不等式仍然成立，即a−5>b−5，故答案为：A不符合题意；B. 在不等式a>b两边同时除以-5，不等号方向改变，即−5a<−5b，故答案为：B不符合题意；C.当c≤0时，不等得到ac >bc，故答案为：C符合题意；D. 在不等式a>b两边同时加上c，不等式仍然成立，即a+c>b+c，故答案为：D不符合题意；故答案为：C.【分析】利用不等式的性质1，可对A作出判断；利用不等式的性质3，可对B作出判断；利用不等式的性质2，可对C作出判断；利用不等式的性质1，可对D作出判断.2.一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形是（）边形.A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】 D【考点】多边形内角与外角【解析】【解答】根据题意得：（n﹣2）×180 °=1800 °，解得：n=12.故答案为：D.【分析】利用n边形的内角和定理，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.3.下列计算正确的是（）A. a3⋅a2=a6B. a2+a2=a4C. (a3)2=a5D. a3a2=a(a≠0)【答案】 D【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方【解析】【解答】A、a3⋅a2=a5原计算错误，该选项不符合题意；B、a2+a2=2a2原计算错误，该选项不符合题意；C、(a3)2=a6原计算错误，该选项不符合题意；D、a3a2=a(a≠0)正确，该选项符合题意；故答案为：D.【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用合并同类项的法则，可对B 作出判断；利用幂的乘方法则，可对C作出判断；利用同底数幂相乘的法则，可对D作出判断.4.舒青是一名观鸟爱好者，他想要用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的数量变化情况，以下是排乱的统计步骤：①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势；②从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；③按统计表的数据绘制折线统计图；④整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表.正确统计步骤的顺序是（）A. ②→③→①→④ B. ③→④→①→②C. ①→②→④→③D. ②→④→③→①【答案】 D【考点】折线统计图，收集数据的过程与方法【解析】【解答】解：将用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的数量变化情况的步骤如下：②从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；④整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表.③按统计表的数据绘制折线统计图；①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势；所以，正确统计步骤的顺序是②→④→③→①故答案为：D.【分析】利用折线统计图的制作步骤，可得答案.5.计算：(√5+12−1)⋅√5+12=（）A. 0B. 1C. 2D. √5−12【答案】C【考点】二次根式的混合运算【解析】【解答】解：(√5+12−1)⋅√5+12= √5−12⋅√5+12= 5−12=2.故答案为：C.【分析】先算括号里的运算，再利用二次根式的乘法法则进行化简.6.如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于P.则下列结论成立的是（）A. BE=12AE B. PC=PD C. ∠EAF+∠AFD=90° D. PE=EC 【答案】C【考点】正方形的性质，三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=CA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∵已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，∴BE= 12BC= 12AB< 12AE，故A选项错误，不符合题意；在△ABE和△DAF中，{AB=DA∠ABE=∠DAF=90°BE=FA，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠BAE=∠ADF，∵∠ADF+∠AFD=90°，∴∠BAE+∠AFD =90°，∴∠APF=90°，∴∠EAF+∠AFD=90°，故C选项正确，符合题意；连接FC，同理可证得△CBF≌△DAF（SAS），∴∠BCF=∠ADF，∴∠BCD-∠BCF=∠ADC-∠ADF，即90°-∠BCF=90°-∠ADF，∴∠PDC=∠FCD>∠PCD，∴PC>PD，故B选项错误，不符合题意；∵AD>PD，∴CD>PD，∴∠DPC>∠DCP，∴90°-∠DPC<90°-∠DCP，∴∠CPE<∠PCE，∴PE> CE，故D选项错误，不符合题意；故答案为：C.【分析】利用正方形的性质可证得AB=BC=CD=CA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，；利用线段中点的定义可对A作出判断；再利用SAS证明△ABE≌△DAF，利用全等三角形的性质可证得∠BAE=∠ADF，由此可证得∠EAF+∠AFD=90°，可对C作出判断；连接FC，利用SAS证明△CBF≌△DAF，利用全等三角形的性质可得到∠BCF=∠ADF，由此可推出∠PDC=∠FCD>∠PCD，可得到PC＞PD，可对B作出判断；然后证明∠CPE<∠PCE，利用大角对大边，可对D作出判断.7.阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m=a2+b2，那么称m为广义勾股数.则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数.依次正确的是（）A. ②④B. ①②④C. ①②D. ①④【答案】C【考点】勾股数【解析】【解答】∵7=1+6或2+5或3+4∴7不是广义勾股数，即①正确；∵13=4+9=22+32∴13是广义勾股数，即②正确；∵5=12+22，10=12+32，15不是广义勾股数∴③错误；∵5=12+22，13=22+32，65=5×13，且65不是广义勾股数∴④错误；故答案为：C.【分析】如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m=a2+b2，那么称m为广义勾股数，再对各选项逐一判断即可.二、填空题（共8题；共8分）8.求不等式2x−3>x的解集________.【答案】x＞3【考点】解一元一次不等式【解析】【解答】解：2x−3>x，移项解得：x＞3，故答案是：x＞3.【分析】先移项，再合并同类项，可求出不等式的解集.9.今年5月11日，国家统计局公布了第七次全国人口普查的结果，我国现有人口141178万人.用科学计数法表示此数为________人.【答案】1.41178×109【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：141178万=1411780000=1.41178×109.故答案为：1.41178×109.【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.10.在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是________班.【答案】甲【考点】分析数据的波动程度，分析数据的集中趋势【解析】【解答】解：甲、乙两个班参赛人数都为45人，由甲、乙两班成绩的中位数可知，甲班的优生人数大于等于23 人，乙班的小于等于22人，则甲班的优生人数较多，故答案为：甲.【分析】利用中位数的意义及甲乙两班的中位数，可作出判断.11.分式方程1x +1x−1=x+2x(x−1)的解为________.【答案】x=3【考点】解分式方程【解析】【解答】解：1x+1x−1=x+2x(x−1)通分得：2x−1x(x−1)=x+2x(x−1)，移项得：x−3x(x−1)=0，∴x−3=0，解得：x=3，经检验，x=3时，x(x−1)=6≠0，∴x=3是分式方程的解，故答案是：x=3.【分析】将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验，可得方程的解.12.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=80°，则∠BCD的度数是________.【答案】140°【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵∠BOD=80°，∴∠A=40°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD=180°-40°=140°，故答案为140°.【分析】利用一条弧所对圆周角等于圆心角的一半，可求出∠A的度数；再利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠BCD的度数.13.如图.在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD=3,BD=5，则BE的长为________.【答案】4【考点】勾股定理，三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：由题意：AD平分∠CAB，DE⊥AB于E,∴∠CAD=∠EAD，∠AED=90°，又∵AD为公共边，△ACD≌△AED(AAS)，∴CD=DE=3，在Rt△DEB中，BD=5，由勾股定理得：BE=√BD2−DE2=√52−32=4，故答案是：4.【分析】利用角平分线的定义及垂直的定义可证得∠CAD=∠EAD，∠AED=∠C=90°，利用AAS证明△ACD≌△AED，利用全等三角形的性质可求出DE的长；再利用勾股定理求出BE的长.14.刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中16为红珠，14为绿珠，有8个黑珠.问刘凯的蓝珠最多有________个.【答案】21【考点】简单事件概率的计算【解析】【解答】解：设弹珠的总数为x个, 蓝珠有y个，根据题意得，{16x +14x +8+y =x ①x ≤50②， 由①得， x =96+12y 7 ， 结合②得， 96+12y 7≤50 解得， y ≤2116所以，刘凯的蓝珠最多有21个.故答案为：21.【分析】设弹珠的总数为x 个, 蓝珠有y 个，根据题意列出关于x ，y 的方程，根据总数不超过50个，可知x≤50，由此可求出y 的最大整数解.15.如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有 1×1 个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有 2×2 个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有 3×3 个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为________.(用含n 的代数式表示)【答案】 2n 2+2n【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数 S 1=4×1=2×2×1,第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数 S 2=6×2=2×3×2,第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数 S 3=8×3=2×4×3,第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数 S 4=10×4=2×5×4,…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数 S n =2(n +1)·n =2n 2+2n,故答案为：2n 2+2n.【分析】观察图形，分别求出第1个图案共用的木条根数 ；第2个图案共用的木条根数 ；第3个图案共用的木条根数 ；第4个图案共用的木条根数 … ， 由此可得到第n 个网格所有线段的和.三、解答题（共10题；共95分）16.计算： 20210+3−1⋅√9−√2sin45° .【答案】 解： 20210+3−1⋅√9−√2sin45°=1+33−√2×√22=1+1−1=1【考点】实数的运算，0指数幂的运算性质，负整数指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时代入特殊角的三角函数值；再算乘法运算，然后利用有理数的加减法法则进行计算.17.解方程：x2−x−2=0【答案】解：由原方程，得：（x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=2，x2=﹣1【考点】因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解.18.化简：(aa−1+5a+9a2−1)÷a+3a−1【答案】解：(aa−1+5a+9a2−1)÷a+3a−1=(a2+aa2−1+5a+9a2−1)×a−1a+3=a2+6a+9(a+1)(a−1)×a−1a+3=(a+3)2(a+1)(a−1)×a−1a+3=a+3a+1【考点】分式的混合运算【解析】【分析】将括号里的分式通分计算，再将分式除法转化为乘法运算；然后约分化简.19.如图，在Rt△AOB中，AO⊥BO. AB⊥y轴，O为坐标原点，A的坐标为(n,√3)，反比例函数y1=k1x 的图象的一支过A点，反比例函数y2=k2x的图象的一支过B点，过A作AH⊥x轴于H，若△AOH的面积为√32.（1）求n的值；（2）求反比例函数y2的解析式.【答案】（1）解：∵A (n,√3)，且AH⊥x轴∴AH= √3，OH=n又△AOH的面积为√32.∴12AH·OH=√32,即12×√3×n=√32解得，n=1（2）解：由(1)得，AH= √3，OH=1∴AO=2如图，∵AO⊥BO，AB⊥y轴，∴∠AEO=∠AOB=90°，四边形AHOE是矩形，∴AE=OH=1又∠BAO=∠OAE∴ΔAOE∼ΔABO∴AOAB =AEAO，即：2BE+1=12解得，BE=3∴B(-3,1)∵B在反比例函数y2=k2x的图象上，∴k2=−3×1=−3∴y2=−3x【考点】待定系数法求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）利用点A的坐标可得到AH，OH的长，利用三角形的面积公式建立关于n的方程，解方程可求出n的值.（2）利用已知条件可证得四边形AHOE是矩形，利用矩形的性质可证得AE=OH，再利用有两组对应角相等的两个三角形相似，可得到△AOE∽△ABO，利用相似三角形的对应边成比例可求出BE的长，即可得到点B的坐标；再利用待定系数法求出反比例函数y2的解析式.20.某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元.（1）求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？（2）该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？【答案】（1）解：设每台A型车的利润为x万元，每台B型车的利润为y万元，根据题意得，{2x +5y =3.1x +2y =1.3解得， {x =0.3y =0.5答：销售每台A 型车的利润为0.3万元，每台B 型车的利润为0.5万元（2）解：因为每台A 型车的采购价为：12万元，每台B 型车的采购价为：15万元，设最少需要采购A 型新能源汽车m 台，则需要采购B 型新能源汽车(22-m)台，根据题意得，12m +15×(22−m)≤300∴−3m ≤−30,解得， m ≥10∵m 是整数，∴m 的最小整数值为10，即，最少需要采购A 型新能源汽车10台.【考点】一元一次不等式的应用，二元一次方程组的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）2×每一辆A 型车的利润+5×每一辆A 型车的利润=3.1；1×每一辆A 型车的利润+2×每一辆A 型车的利润=1.3；再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解.（2）此题的等量关系为：A 新能源汽车的数量+B 两种新能源汽车的数量=22；不等关系为：该公司准备的资金≤300；设未知数，列出不等式，然后求出不等式的最小整数解.21.今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式.仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A 处测得国旗D 处的仰角为 45° ，站在同一队列B 处的小刚测得国旗C 处的仰角为 23° ，已知小明目高 AE =1.4 米，距旗杆 CG 的距离为15.8米，小刚目高 BF =1.8 米，距小明24.2米，求国旗的宽度 CD 是多少米？（最后结果保留一位小数）（参考数据： sin23°≈0.3907,cos23°≈0.9205,tan23°≈0.4245 ）【答案】 解：由题意得，四边形GAEM 、GBFN 是矩形，∴ME=GA=15.8（米），FN=GB=GA+BA=15.8+24.2=40（米），MG=AE=1.4（米），NG=BF=1.8（米）， 在Rt △DME 中， ∠DME =90°,∠DEF =45°∴ ∠EDM =45°∴ DM =ME =15.8 （米），∴DG=DM+MG=15.8+1.4=17.2（米）；在Rt△CNF中，∠CNF=90°,∠CFN=23°∴tan23°=CN，即CN=FN·tan23°=40×0.4245≈17.0（米），FN∴CG=CN+NG=17.0+1.8=18.8（米），∴CD=CG−DG=18.8−17.2=1.6（米）答：国旗的宽度CD是1.6米。

湖南省岳阳市2021年中考[数学]考试真题与答案解析

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湖南省岳阳市2021年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项。

1．在实数，﹣1，0，2中，为负数的是( )A．B．﹣1C．0 D．2答案解析：在，﹣1，0，2这四个数中，负数是﹣1，故选：B．2．下列品牌的标识中，是轴对称图形的是( )A．B．C．D．答案解析：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．3．下列运算结果正确的是( )A．3a﹣a＝2 B．a2•a4＝a8C．(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4 D．(﹣a)2＝﹣a2答案解析：3a和a属于同类项，所以3a﹣a＝2a，故A项不符合题意，根据同底数幂的乘法运算法则可得a2•a4＝a6，故B项不符合题意，根据平方差公式(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4，故C项符合题意，(﹣a)2＝a2，故D项不符合题意，故选：C．4．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是( )A．B．C．D．答案解析：解不等式x﹣1＜0，得：x＜1，解不等式2x≥﹣4，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，故选：D．5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为( )A．45° B．60°C．75° D．105°答案解析：由题意知，∠ABC＝45°+60°＝105°，∵a∥b，∴∠1+∠ABC＝180°，∴∠1＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，故选：C．6．下列命题是真命题的是( )A．五边形的内角和是720°B．三角形的任意两边之和大于第三边C．内错角相等D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点答案解析：A、五边形的内角和为540°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：B．7．在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0(单位：分)，这五个有效评分的平均数和众数分别是( ) A．9.0，8.9 B．8.9，8.9C．9.0，9.0 D．8.9，9.0答案解析：＝＝9.0,该组数众数为：9.0，∴这五个有效评分的平均数和众数分别为9.0，9.0，故选：C．8．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A(0，2)，点C(2，0)，则互异二次函数y ＝(x﹣m)2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是( ) A．4，﹣1B．，﹣1C．4，0D．，﹣1答案解析：如图，由题意可得，互异二次函数y＝(x﹣m)2﹣m的顶点(m，﹣m)在直线y＝﹣x上运动，在正方形OABC中，点A(0，2)，点C(2，0)，∴B(2，2)，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．当互异二次函数y＝(x﹣m)2﹣m经过点A(0，2)时，m＝2，或m＝﹣1；当互异二次函数y＝(x﹣m)2﹣m经过点B(2，2)时，m＝或m＝．∴互异二次函数y＝(x﹣m)2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是，﹣1．故选：D．二、填空题9．因式分解：x2+2x+1＝ ．答案解析：x2+2x+1＝(x+1)2,故答案为：(x+1)2．10．2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为 ．答案解析：55000000＝5.5×107，故答案为：5.5×107．11．一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为 ．答案解析：∵从袋子中随机摸出一个小球共有5种等可能结果，摸出的小球是白球的结果数为3，∴摸出的小球是红球的概率为，故答案为：．12．已知关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等的实数根，则实数k的值为 ．答案解析：根据题意，△＝62﹣4k＝0，解得k＝9，故答案为9．13．要使分式有意义，则x的取值范围为 ．答案解析：∵分式有意义，∴x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．14．已知x+＝，则代数式x+﹣＝ ．答案解析：∵x+＝，∴x+﹣＝﹣＝0，故答案为：0．15．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为 ．答案解析：设门高AB为x尺，则门的宽为(x﹣6.8)尺，AC＝1丈＝10尺，依题意得：AB2+BC2＝AC2,即(x﹣6.8)2+x2＝102．故答案为：(x﹣6.8)2+x2＝102．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号)①AE＝BC；②∠AED＝∠CBD；③若∠DBE＝40°，则的长为；④＝；⑤若EF＝6，则CE＝2.24．答案解析：①∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，又在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴BE＞BC，∴AE＞BC，故①错误；②由题可知，四边形DBCE是⊙O的内接四边形，∴∠AED＝∠CBD，故②正确；③连接OD，若∠DBE＝40°，则∠DOE＝80°，∴的长为＝，故③错误；④∵EF是⊙O的切线，∴∠BEF＝90°，又DE⊥AB，∴∠EDF＝∠BEF＝90°，∴△EDF∽△BEF，∴＝，故④正确；⑤在Rt△BEF中，EF＝6，BE＝8，∴BF＝10，由①AE＝BE＝8，∴∠A＝∠ABE，又∠C＝∠BEF＝90°，∴△BEF∽△ACB，∴EF：BE＝BC：AC＝6：8，设BC＝6m，则AC＝8m，则CE＝8m﹣8，在Rt△BCE中，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，即(8m﹣8)2+(6m)2＝82，解得m＝1.28，∴CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正确．故答案为：②④⑤．三、解答题本大题共8小题，满分64分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

湖南省怀化市2021年中考数学试卷(含解析)

湖南省怀化市2021年中考数学试卷(含解析)

2021年怀化市中考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．下列数中，是无理数的是（）A．﹣3B．0C．D．2．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a6÷a2＝a4C．（2ab）3＝6a3b3D．a2•a3＝a63．《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为（）A．3.5×106B．0.35×107C．3.5×102D．350×1044．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．95．如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β的度数为（）A．140°B．50°C．60°D．40°6．小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的（）A．众数B．中位数C．方差D．平均数7．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（）A．3B．C．2D．68．已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±29．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（）A．4B．6C．8D．1010．在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示、则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（）A．x＜1B．x＞3C．0＜x＜1D．1＜x＜3二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．代数式有意义，则x的取值范围是．12．因式分解：x3﹣x＝．13．某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为分．14．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝°．15．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（结果保留π）．16．如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．计算：+2﹣2﹣2cos45°+|2﹣|．18．先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．19．为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：（1）本次被抽查的学生共有名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为度；（2）请你将条形统计图补全；（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．20．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上求古树CD的高度．（已知：≈1.414，≈1.732，结果保留整数）21．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．22．某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．23．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D ＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．24．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O 为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每小题3分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．下列数中，是无理数的是（）A．﹣3B．0C．D．【分析】根据无理数的三种形式求解即可．解：﹣3，0，是有理数，是无理数．故选：D．2．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a6÷a2＝a4C．（2ab）3＝6a3b3D．a2•a3＝a6【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、积的乘方与同底数幂的乘法法则计算各项，进而可得答案．解：a2与a3不是同类项，不能合并，因此选项A计算错误，不符合题意；a6÷a2＝a4，因此选项B计算正确，符合题意；（2ab）3＝8a3b3≠6a3b3，因此选项C计算错误，不符合题意；a2•a3＝a5≠a6，因此选项D计算错误，不符合题意．故选：B．3．《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为（）A．3.5×106B．0.35×107C．3.5×102D．350×104【分析】科学记数法的形式是：a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．所以a＝3.5，n取决于原数小数点的移动位数与移动方向，n是小数点的移动位数，往左移动，n为正整数，往右移动，n为负整数．本题小数点往左移动到3的后面，所以n＝6．解：350万＝350×104＝3.5×102×104＝3.5×106．故选：A．4．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．9【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝1080，解此方程即可求得答案．解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n﹣2）＝1080，解得：n＝8．故选：C．5．如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β的度数为（）A．140°B．50°C．60°D．40°【分析】首先根据对顶角相等可得∠1的度数，再根据平行线的性质可得∠β的度数．解：∵∠α＝40°，∴∠1＝∠α＝40°，∵a∥b，∴∠β＝∠1＝40°．故选：D．6．小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的（）A．众数B．中位数C．方差D．平均数【分析】根据题意，结合该公司所有员工工资的情况，从统计量的角度分析可得答案．解：根据题意，小明到某公司应聘，了解这家公司的员工的工资情况，就要全面的了解中间员工的工资水平，故最应该关注的数据是中位数，故选：B．7．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（）A．3B．C．2D．6【分析】根据角平分线的性质即可求得．解：∵∠B＝90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴由角平分线的性质得DE＝BE＝3，故选：A．8．已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值．解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，解得：k＝±4．故选：C．9．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（）A．4B．6C．8D．10【分析】根据矩形的性质得到OA＝OB＝OC＝OD，推出S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，即可求出矩形ABCD的面积．解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，故选：C．10．在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示、则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（）A．x＜1B．x＞3C．0＜x＜1D．1＜x＜3【分析】根据函数图象得到两个交点的横坐标，再观察一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，即可得到x的取值范围．解：由图象可得，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为1＜x＜3，故选：D．二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．代数式有意义，则x的取值范围是x＞1．【分析】根据二次根式和分式有意义的条件可得x﹣1＞0，再解不等式即可．解：由题意得：x﹣1＞0，解得：x＞1，故答案为：x＞1．12．因式分解：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故答案为：x（x+1）（x﹣1）13．某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为72分．【分析】根据综合成绩笔试占60%，面试占40%，即综合成绩等于笔试成绩乘以60%，加上面试成绩乘以40%，即可求解．解：根据题意知，该名老师的综合成绩为80×60%+60×40%＝72（分）故答案为：72．14．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝130°．【分析】根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，根据平行线的性质得出∠D＝∠B，代入求出即可．【解答】证明：∵在△ADC和△ABC中，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠D＝∠B，∵∠B＝130°，∴∠D＝130°，故答案为：130．15．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是24π（结果保留π）．【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．解：由三视图可知该几何体是圆柱体，其底面半径是4÷2＝2，高是6，圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，且底面周长为：2π×2＝4π，∴这个圆柱的侧面积是4π×6＝24π．故答案为：24π．16．如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为（2，0）．【分析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E ⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数解析式，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，即可发现一般规律．解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x 轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C＝OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，t），把B1（t，t）代入y＝得t•t＝，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D＝m，则B2的坐标表示为（2+m，m），把B2（2+m，m）代入y＝得（2+m）×m＝，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍去），∴A1D＝，A1A2＝，OA2＝，∴A2（，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为n，B3的坐标表示为（2+n，n），把B3（2+n，n）代入y＝得（2+n）•n＝，∴A2E＝，A2A3＝，OA3＝，∴A3（，0），综上可得：A n（，0），故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．计算：+2﹣2﹣2cos45°+|2﹣|．【分析】按照公式、特殊角的三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号进行运算，最后计算加减即可．解：原式＝＝＝＝．18．先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．【分析】根据分式的运算法则进行运算求解，最后代入x＝0求值即可．解：原式＝＝＝＝．∵x+1≠0且x﹣1≠0且x+2≠0，∴x≠﹣1且x≠1且x≠﹣2，当x＝0时，分母不为0，代入：原式＝．19．为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：（1）本次被抽查的学生共有50名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为72度；（2）请你将条形统计图补全；（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．【分析】（1）用条形统计图中D类的人数除以扇形统计图中D类所占百分比即可求出被抽查的总人数，用条形统计图中A类的人数除以总人数再乘以360°即可求出扇形统计图中A类所占扇形的圆心角的度数；（2）用总人数减去其它三类人数即得B类人数，进而可补全条形统计图；（3）用C类人数除以总人数再乘以600即可求出结果；（4）先利用列表法求出所有等可能的结果数，再找出王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果数，然后根据概率公式计算即可．解：（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50（名），扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为；故答案为：50，72；（2）B类人数是：50﹣10﹣8﹣20＝12（人），补全条形统计图如图所示：（3）名，答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；（4）列表如下：A B C DA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率＝．20．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上求古树CD的高度．（已知：≈1.414，≈1.732，结果保留整数）【分析】设CB＝CD＝x，根据tan30°＝即可得出答案．解：由题意可知，AB＝20，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC＝45°，∵△BCD是等腰直角三角形，∴CB＝CD，设CD＝x，则BC＝x，AC＝20+x，在Rt△ACD中，tan30°＝＝，解得x＝10+10≈10×1.732+10＝27.32≈27，∴CD＝27，答：CD的高度为27米．21．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是④；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．【分析】（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；（2）根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得到AC＝DE，再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果；（3）过点O作OE⊥BD，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理和锐角三角函数即可得到⊙O的半径．解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选：④；（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，∴AC∥DE，又∵AD∥BC，∴四边形ADEC是平行四边形，∴AC＝DE，又∵∠DBC＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE，∴BD＝AC，又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是垂等四边形；（3）如图，过点O作OE⊥BD，∵四边形ABCD是垂等四边形，∴AC＝BD，又∵垂等四边形的面积是24，∴AC•BD＝24，解得，AC＝BD＝4，又∵∠BCD＝60°，∴∠DOE＝60°，设半径为r，根据垂径定理可得：在△ODE中，OD＝r，DE＝，∴r＝＝＝4，∴⊙O的半径为4．22．某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．【分析】（1）根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可；（2）根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函数关系式得到当x取最小值时，y有最大值，将x＝12代入函数解析式求出结果即可．解：（1）由题意得：y＝（2000﹣1600）x+（3000﹣2500）（20﹣x）＝﹣100x+10000，∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y＝﹣100x+10000；（2）由题意得：，解得12≤x≤15，∵x为正整数，∴x＝12、13、14、15，共有四种采购方案：①甲型电脑12台，乙型电脑8台，②甲型电脑13台，乙型电脑7台，③甲型电脑14台，乙型电脑6台，④甲型电脑15台，乙型电脑5台，∵y＝﹣100x+10000，且﹣100＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x取最小值时，y有最大值，即x＝12时，y最大值＝﹣100×12+10000＝8800，∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元．23．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D ＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．【分析】（1）连接OC，∠CAD＝∠D＝30°，由OC＝OA，进而得到∠OCA＝∠CAD ＝30°，由三角形外角定理得到∠COD＝∠A+∠OCA＝60°，在△OCD中由内角和定理可知∠OCD＝90°即可证明；（2）证明AC是∠EAG的角平分线，CB是∠FCG的角平分线，得到CE＝CG，CF＝CG，再证明△AEC∽△CFB，对应线段成比例即可求解．【解答】（1）证明：连接OC，如右图所示，∵CA＝CD，且∠D＝30°，∴∠CAD＝∠D＝30°，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO＝30°，∴∠COD＝∠CAD+∠ACO＝30°+30°＝60°，∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠COB＝60°，且OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∴∠CBG＝60°，又∵CG⊥AD，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＝∠CGB﹣∠CBG＝30°，又∵∠GCD＝60°，∴CB是∠GCD的角平分线，∵BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF＝BG，又∵BC＝BC，∴Rt△BCG≌Rt△BCF（HL），∴CF＝CG．∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠E＝90°，∴∠EAD＝60°，又∵∠CAD＝30°，∴AC是∠EAG的角平分线，∵CE⊥AE，CG⊥AB，∴CE＝CG，∵∠E＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，∴△AEC∽△CFB，∴，即AE•BF＝CF•CE，又CE＝CG，CF＝CG，∴AE•BF＝CG2．24．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O 为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令抛物线解析式中x＝0即可求出C点坐标，写出抛物线顶点式，即可求出顶点M坐标；（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，设N（n，n2﹣2n﹣3），求出BC解析式，进而得到Q点坐标，最后根据S△BCN＝S△NQC+S△NQB即可求解；（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），然后分成①DG是对角线；②DB是对角线；③DC是对角线时三种情况进行讨论即可求解；（4）连接AC，由CE＝CB可知∠B＝∠E，求出MC的解析式，设P（x，﹣x﹣3），然后根据△PEO相似△ABC，分成和讨论即可求解．解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，故C点坐标为（0，﹣3），又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1，∴B（3，0），A（﹣1，0），设直线BC的解析式为：y＝ax+b，代入C（0，﹣3），B（3，0）得：，解得，∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，则＝＝，（其中x Q，x C，x B分别表示Q，C，B 三点的横坐标），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，x B﹣x C＝3，故，其中0＜n＜3，当时，S△BCN有最大值为，此时点N的坐标为（），（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）分情况讨论：①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：线段DG的中点坐标为，即，线段BC的中点坐标为，即，此时DG的中点与BC的中点为同一个点，∴，解得，经检验此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为（2，﹣3）；②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：线段DB的中点坐标为，即，线段GC的中点坐标为，即，此时DB的中点与GC的中点为同一个点，∴，解得，经检验此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为（4，5）；③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：线段DC的中点坐标为，即，线段GB的中点坐标为，即，此时DB的中点与GC的中点为同一个点，∴，解得，经检验此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为（﹣2，1）；综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，1）；（4）连接AC，OP，如图2所示：设MC的解析式为：y＝kx+m，代入C（0，﹣3），M（1，﹣4）得，解得∴MC的解析式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，∴E点坐标为（﹣3，0），∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，∴CE＝CB，∴∠B＝∠E，设P（x，﹣x﹣3），又∵P点在线段EC上，∴﹣3＜x＜0，则，，由题意知：△PEO相似△ABC，分情况讨论：①△PEO∽△CBA，∴，∴，解得，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为；②△PEO∽△ABC，∴，∴，解得x＝﹣1，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为（﹣1，﹣2）．综上所述，P点的坐标为或（﹣1，﹣2）．。

2021年湖南省中考数学复习题及答案 (1)

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2021年中考数学复习题6．如果a ＞b ，c ＜1，那么下列不等式一定成立的是（ ）A ．ac ＞bcB ．a +c ＞bC ．ac ＜bcD ．a ﹣c ＞b ﹣c【解答】解：c 是正是负无法确定，根据不等式的基本性质，A 、C 无法判定； 当c ＜0时，a +c ＜b ，则B 不一定成立；不等式a ＞b 两边都减去同一个数c ，不等号方向不改变，则D 正确．故选：D ．7．下列调查中，最适宜采用普查方式的是（ ）A ．对全国初中学生视力状况的调査B ．对“十一国庆”期间全国居民旅游出行方式的调查C ．旅客上飞机前的安全检查D ．了解某种品牌手机电池的使用寿命【解答】解：A 、对全国初中学生视力状况的调査，范围广，适合抽样调查，故A 错误；B 、对“十一国庆”期间全国居民旅游出行方式的调查范围广，适合抽样调查，故B 错误；C 、旅客上飞机前的安全检查，适合普查，故C 正确；D 、了解某种品牌手机电池的使用寿命，适合抽样调查，故D 错误；故选：C ．8．用加减法解方程组{3x −2y =3①4x +y =15②时，如果消去y ，最简捷的方法是（ ） A ．①×4﹣②×3 B ．①×4+②×3 C ．②×2﹣① D ．②×2+①【解答】解：用加减法解方程组{3x −2y =3①4x +y =15②时，如果消去y ，最简捷的方法是②×2+①．故选：D ．9．不等式组{2−x ≥332x +1＞x −32，的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【解答】解：解不等式2﹣x ≥3，得：x ≤﹣1，解不等式32x +1＞x −32，得：x ＞﹣5，则不等式组的解集为﹣5＜x ≤﹣1，故选：A ．10．通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：①快餐总质量为300g ；②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；③蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占85%．若设一份营养快餐中含蛋白质x （g ），含脂肪y （g ），则可列出方程组（ ）A ．{x +y =300x +2y =300×15%B ．{x +y =300×50%x =2yC ．{x +y =300300×85%−x +2y =300×50%D ．{x +y =300×50%3y =300×15%【解答】解：设一份营养快餐中含蛋白质x （g ），含脂肪y （g ），根据题意得： {x +y =300×50%x +y +(300×85%−x)+2y =300， 即{x +y =300×50%3y =300×15%， 故选：D ．。

2021年湖南省中考数学复习题及答案 (72)

2021年湖南省中考数学复习题及答案 (72)

2021年中考数学复习题24．（10分）华联超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）甲乙进价（元/件）2030售价（元/件）2540（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍：甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？【解答】解：（1）设第一次购进乙种商品x件，则购进甲种商品2x件，根据题意得：20×2x+30x＝7000，解得：x＝100，∴2x＝200件，答：该超市第一次购进甲种商品200件，乙种商品100件．（2）（25﹣20）×200+（40﹣30）×100＝2000（元）答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润2000元．（3）方法一：设第二次乙种商品是按原价打y折销售根据题意得：（25﹣20）×200+（40×y10−30）×100×3＝2000+800，解得：y＝9答：第二次乙商品是按原价打9折销售．方法二：设第二次乙种商品每件售价为y元，根据题意得：（25﹣20）×200+（y﹣30）×100×3＝2000+800，解得：y＝363640×100%＝90%答：第二次乙商品是按原价打9折销售．方法三：2000+800﹣100×3＝1800元∴1800−10003×100=6， ∴30+640×100%＝90%，答：第二次乙商品是按原价打9折销售．25．（10分）如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC ＝58°，OD 平分∠AOC ，∠DOE ＝90°．（1）求出∠BOD 的度数；（2）请通过计算说明：OE 是否平分∠BOC ．（3）与∠AOE 互补的角是 ∠BOE 和∠COE ；【解答】解：（1）∵∠AOC ＝58°，OD 平分∠AOC ，∴∠AOD ＝∠DOC ＝29°，∴∠BOD ＝180°﹣529°＝151°；（2）OE 平分∠BOC ，理由如下：∵∠DOC +∠COE ＝90°，∠DOC ＝29°，∴∠COE ＝61°．∵∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝122°，∴∠COE =12∠BOC ＝61°．∴∠EOC ＝∠BOE ＝61°，∴OE 平分∠BOC ．（3）与∠AOE 互补的角是∠BOE 和∠COE ．。

2021年湖南省中考数学复习题及答案 (70)

2021年湖南省中考数学复习题及答案 (70)

2021年中考数学复习题11．（4分）据测算，我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5 400 000万元，这个数用科学记数法表示为 5.4×106 万元．【解答】解：5 400 000＝5.4×106万元．故答案为5.4×106．12．（4分）观察下面的一列单项式：2x ；﹣4x 2；8x 3；﹣16x 4，…根据你发现的规律，第n 个单项式为 （﹣1）n +1•2n •x n ．【解答】解：∵2x ＝（﹣1）1+1•21•x 1；﹣4x 2＝（﹣1）2+1•22•x 2；8x 3＝（﹣1）3+1•23•x 3；﹣16x 4＝（﹣1）4+1•24•x 4；第n 个单项式为（﹣1）n +1•2n •x n ，故答案为：（﹣1）n +1•2n •x n ．13．（4分）若单项式2x 2a +b y 2与−13x 3y 3a−b 的和是单项式，则a ﹣b ＝ 0 ．【解答】解：由题意得：{2a +b =33a −b =2， 解得：{a =1b =1， 则a ﹣b ＝0，故答案为：0．14．（4分）已知3x +1和2x +4互为相反数，则x ＝ ﹣1 ．【解答】解：∵3x +1和2x +4互为相反数，∴3x +1+2x +4＝0，∴3x +2x ＝﹣4﹣1，∴5x ＝﹣5，∴x ＝﹣1．故答案为﹣1．15．（4分）若4a +9与3a +5互为相反数，则a 的值为 ﹣2 ．【解答】解：根据题意得：4a +9+3a +5＝0，移项合并得：7a ＝﹣14，解得：a＝﹣2，故答案为：﹣2．16．（4分）已知线段AB＝10cm，直线AB上有一点C，且BC＝4cm，M是线段BC的中点，则AM的长是8或12cm．【解答】解：①如图1所示，当点C在点A与B之间时，∵线段AB＝10cm，BC＝4cm，∴AC＝10﹣4＝6cm．∵M是线段BC的中点，∴CM=12BC＝2cm，∴AM＝AC+CM＝6+2＝8cm；②当点C在点B的右侧时，∵BC＝4cm，M是线段BC的中点，∴BM=12BC＝2cm，∴AM＝AB+BM＝10+2＝12cm．综上所述，线段AM的长为8cm或12cm．故答案为：8或12．17．（4分）已知∠α＝26°，则∠α的补角是154度．【解答】解：∵∠α＝26°，∴∠α的补角是：180°﹣26°＝154°，故答案为154．。

2021年湖南省永州市中考数学真题试卷 (word版,含解析)

2021年湖南省永州市中考数学真题试卷 (word版,含解析)

2021年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题只有一个正确选项请将正确的选项填涂到答题卡上）1．﹣|﹣2021|的相反数为（）A．﹣2021B．2021C．﹣D．2．如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（）A．B．C．D．3．据永州市2020年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居民人均可支配收入约为24000元，比上年增长6.5%，将“人均可支配收入”用科学记数法表示为（）A．24×103B．2.4×104C．2.4×105D．0.24×1054．已知一列数据：27，12，12，5，7，12，5．该列数据的众数是（）A．27B．12C．7D．55．下列计算正确的是（）A．（π﹣3）0＝1B．tan30°＝C．＝±2D．a2•a3＝a66．在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（）A．4B．5C．6D．77．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x 人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（）A．B．C．D．9．小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为（）A．B．C．D．10．定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（）A．5B．2C．1D．0二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡的答案栏内）11．在0，，﹣0.101001，π，中无理数的个数是个．12．已知二次根式有意义，则x的取值范围是．13．请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式：．14．某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试．其中A班甲、乙两位同学6个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如图所示．为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A班需从甲、乙两位同学中选1人进入班球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策A班应该选择的同学是．15．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为．16．如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段P A+PB 的值最小，则点P的坐标是．17．已知函数y＝，若y＝2，则x＝．18．若x，y均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则：（1）43xy•47xy＝（）x+y；（2）+＝．三、解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．20．（8分）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．21．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动根据竞赛结果，抽取了200名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．200名学生党史知识竞赛成绩的频数表组别频数频率A组（60.5～70.5）a0.3B组（70.5～80.5）300.15C组（80.5～90.5）50bD组（90.5～100.5）600.3请结合图表解决下列问题：（1）频数表中，a＝，b＝；（2）请将频数分布直方图补充完整；（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是组；（4）若该校共有1000名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．22．（10分）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF．（1）求证：△AEC≌△BFD．（2）判断四边形DECF的形状，并证明．23．（10分）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植A、B两种经济作物．预计B种经济作物亩产值比A种经济作物亩产值多2万元，为实现2022年A种经济作物年总产值20万元，B种经济作物年总产值30万元的目标，问：2022年A、B两种经济作物应各种植多少亩？24．（10分）已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝．（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．25．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，且不与A，B两点重合，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC2＝2AD•AO；（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC 的延长线于点P，∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有∠P＝∠Q．26．（12分）已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．2021年湖南省永州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题只有一个正确选项请将正确的选项填涂到答题卡上）1．﹣|﹣2021|的相反数为（）A．﹣2021B．2021C．﹣D．【分析】根据绝对值的定义、相反数的定义解题即可．【解答】解：∵﹣|﹣2021|＝﹣2021，∴﹣2021的相反数为2021．故选：B．2．如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（）A．B．C．D．【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案．【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，五角星图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，得到的图案是C．故选：C．3．据永州市2020年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居民人均可支配收入约为24000元，比上年增长6.5%，将“人均可支配收入”用科学记数法表示为（）A．24×103B．2.4×104C．2.4×105D．0.24×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：24000＝2.4×104．故选：B．4．已知一列数据：27，12，12，5，7，12，5．该列数据的众数是（）A．27B．12C．7D．5【分析】根据众数的意义求解即可．【解答】解：这组数据中出现次数最多的是12，共出现3次，因此众数是12，故选：B．5．下列计算正确的是（）A．（π﹣3）0＝1B．tan30°＝C．＝±2D．a2•a3＝a6【分析】根据零次幂，特殊锐角三角函数值，平方根以及同底数幂乘法逐项进行计算即可．【解答】解：A．因为π﹣3≠0，所以（π﹣3）0＝1，因此选项A符合题意；B．tan30°＝，因此选项B不符合题意；C.＝2，因此选项C不符合题意；D．a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项D不符合题意；故选：A．6．在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，即可得出答案．【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣0.5，解不等式②得：x≤5，∴不等式组的解集为﹣0.5＜x≤5，∴不等式组的整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，故选：C．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则DA＝DB，所以∠DAB＝∠B＝50°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAC，然后计算∠BAC﹣∠DAB即可．【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝50°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝80°﹣50°＝30°．故选：A．8．中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x 人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，，故选：A．9．小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为（）A．B．C．D．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化分别记为：A、B、C、D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的结果有2种，∴小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为＝，故选：D．10．定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（）A．5B．2C．1D．0【分析】根据题意，按照题目的运算法则计算即可．【解答】解：（lg2）2+lg2•lg5+lg5＝lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2+lg5＝1g10＝1．故选：C．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡的答案栏内）11．在0，，﹣0.101001，π，中无理数的个数是1个．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：0，，是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；﹣0.101001是有限小数，属于有理数；无理数有π，共1个．故答案为：1．12．已知二次根式有意义，则x的取值范围是x≥﹣3．【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．【解答】解：根据二次根式的意义，得x+3≥0，解得x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．13．请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式：y＝﹣．【分析】根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可．【解答】解：∵图象在第二、四象限，∴y＝﹣，故答案为：y＝﹣．14．某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试．其中A班甲、乙两位同学6个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如图所示．为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A班需从甲、乙两位同学中选1人进入班球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策A班应该选择的同学是甲．【分析】根据折线统计图中甲、乙成绩的起伏情况判断即可得解．【解答】解：根据折线统计图可得，甲的投篮技能测试成绩起伏小，比较平稳，乙的投篮技能测试成绩起伏大，不稳定，因此A班应该选择的同学是甲．故答案为：甲．15．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为10．【分析】设此圆锥的母线长为l，利用扇形的面积公式得到×2π×6×l＝60π，然后解方程即可．【解答】解：设此圆锥的母线长为l，根据题意得×2π×6×l＝60π，解得l＝10，所以此圆锥的母线长为10．故答案为10．16．如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段P A+PB 的值最小，则点P的坐标是（2，0）．【分析】连接AB交x轴于点P'，求出直线AB的解析式与x轴交点坐标即可．【解答】解：如图，连接AB交x轴于点P'，根据两点之间，线段最短可知：P'即为所求，设直线AB的关系式为：y＝kx+b，，解得，∴y＝，当y＝0时，x＝2，∴P'（2，0），故答案为：（2，0）．17．已知函数y＝，若y＝2，则x＝2．【分析】根据题意，进行分类解答，即可求值．【解答】解：∵y＝2．∴当x2＝2时，x＝．∵0≤x＜1．∴x＝（舍去）．当2x﹣2＝2时，x＝2．故答案为：2．18．若x，y均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则：（1）43xy•47xy＝（2021）x+y；（2）+＝1．【分析】（1）将43xy•47xy化成（43x）y•（47y）x代入数值即可计算；（2）由（1）知43xy•47xy＝2021（x+y），43xy•47xy＝（43×47）xy＝2021xy，得出xy＝x+y 即可求．【解答】解：（1）43xy•47xy＝（43x）y•（47y）x＝2021y×2021x＝2021x+y，故答案为：2021；（2）由（1）知，43xy•47xy＝2021（x+y），∵43xy•47xy＝（43×47）xy＝2021xy，∴xy＝x+y，∴+＝＝1，故答案为：1．三、解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【解答】解：（x+1）2+（2+x）（2﹣x）＝x2+2x+1+4﹣x2＝2x+5，当x＝1时，原式＝2+5＝7．20．（8分）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．【分析】（1）利用根与系数的关系得到2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，然后分别解方程求出p与q的值；（2）利用根与系数的关系得到m+n＝﹣，mn＝﹣，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）根据题意得2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，所以p＝1，q＝﹣8；（2）根据m+n＝﹣＝﹣，mn＝﹣，所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣﹣＝﹣1．21．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动根据竞赛结果，抽取了200名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．200名学生党史知识竞赛成绩的频数表组别频数频率A组（60.5～70.5）a0.3B组（70.5～80.5）300.15C组（80.5～90.5）50bD组（90.5～100.5）600.3请结合图表解决下列问题：（1）频数表中，a＝60，b＝0.25；（2）请将频数分布直方图补充完整；（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是C组；（4）若该校共有1000名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．【分析】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出a、b、c的值；（2）根据（1）中a、b的值，可以将频数分布直方图补充完整；（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出本次党史知识竞赛成绩超过80分的学生人数．【解答】解：（1）∵30÷0.15＝200，∴a＝200×0.3＝60，b＝50÷200＝0.25，故答案为：60，0.25；（2）由（1）知，a＝60，如图，即为补全的频数分布直方图；（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是C组；故答案为：C；（4）1000×（0.25+0.3）＝1000×0.55＝550（人），即本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数有550人．22．（10分）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF．（1）求证：△AEC≌△BFD．（2）判断四边形DECF的形状，并证明．【分析】（1）根据已知条件得到AC＝BD，根据平行线的判定定理得到∠A＝∠B，由全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠BDF，CE＝DF，．由平行线的判定定理得到CE∥DF，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AD＝BC，∴AD+DC＝BC+DC，∴AC＝BD，∵AE∥BF，∴∠A＝∠B，在△AEC和△BFD中，，∴△AEC≌△BFD（SAS）．（2）四边形DECF是平行四边形，证明：∵△AEC≌△BFD，∴∠ACE＝∠BDF，CE＝DF，∴CE∥DF，∴四边形DECF是平行四边形．23．（10分）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植A、B两种经济作物．预计B种经济作物亩产值比A种经济作物亩产值多2万元，为实现2022年A种经济作物年总产值20万元，B种经济作物年总产值30万元的目标，问：2022年A、B两种经济作物应各种植多少亩？【分析】设2022年A种经济作物应种植x亩，则B种经济作物应种植（30﹣x）亩，根据“预计B种经济作物亩产值比A种经济作物亩产值多2万元”列出方程并解答．【解答】解：设2022年A种经济作物应种植x亩，则B种经济作物应种植（30﹣x）亩，根据题意，得+2＝．解得x＝20或x＝﹣15（舍去）．经检验x＝20是原方程的解，且符合题意．所以30﹣x＝10．答：2022年A种经济作物应种植20亩，则B种经济作物应种植10亩．24．（10分）已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝．（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．【分析】（1）由边角关系式可求解；（2）由边角关系式可求∠B＝60°，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求CD的长．【解答】解：∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠A＝60°，∵＝＝，∴＝，∴b＝2；（2）∵＝，∴＝，∴sin B＝，∴∠B＝60°，∴tan B＝＝，∴BD＝CD，∵AC2＝CD2+AD2，∴196＝CD2+（10﹣CD）2，∴CD＝8，CD＝﹣3（舍去），∴CD的长度为8米．25．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，且不与A，B两点重合，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC2＝2AD•AO；（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC 的延长线于点P，∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有∠P＝∠Q．【分析】（1）连接OC，由角平分线的定义、等腰三角形性质、三角形外角性质和切线的定义证明；（2）由△CDA∽△BCA，得证AC2＝2AD•AO；（3）由外角性质、直径所对的圆周角是直角和角平分线定义证明．【解答】证明：（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠BOC＝2∠OAC，∵AC平分∠BAE，∴∠BAE＝2∠OAC，∴∠BAE＝∠BOC，∴CO∥AD，∵∠D＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠CAD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵∠D＝90°，∴∠D＝∠BCA，∴△BAC∽△CAD，∴，∴AC2＝AB•AD，∵AB＝2AO，∴AC2＝2AD•AO．（3）∵∠CAB、∠CBM的角平分线交于点Q，∴∠QAM＝∠CAB，∠QBM＝∠CBM，∵∠Q是△QAB的一个外角，∠CBM是△ABC的一个外角，∴∠Q＝∠QBM﹣∠QAM＝（∠CBM﹣∠CAM），∠ACB＝∠CBM﹣∠CAM，∴∠Q＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠Q＝45°，同理可证：∠P＝45°，∴∠P＝∠Q．26．（12分）已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．【分析】（1）由待定系数法，及对称轴为直线x＝﹣，可求出二次函数的表达式；（2）需要分三种情况：①b＜﹣；②b﹣3＞﹣；③b﹣3≤﹣≤b分别进行讨论；（3）根据二次函数图象的增减性可得结论．【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点（0，4），∴c＝4；∵对称轴为直线：x＝﹣＝1，∴b＝﹣2，∴此二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4．（2）当b2﹣c＝0时，b2＝c，此时函数的表达式为：y1＝x2+bx+b2，根据题意可知，需要分三种情况：①当b＜﹣，即b＜0时，二次函数的最小值在x＝b处取到；∴b2+b2+b2＝21，解得b＝，b＝﹣舍去；②b﹣3＞﹣，即b＞2时，二次函数的最小值在x＝b﹣3处取到；∴（b﹣3）2+b（b﹣3）+b2＝21，解得b＝4，b＝﹣1（舍去）；③b﹣3≤﹣≤b，即0≤b≤2时，二次函数的最小值在x＝﹣处取到；∴（﹣）2+b•（﹣）+b2＝21，解得b＝±2（舍去）．综上，b的取值为或4．（3）由（1）知，二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4，对称轴为直线：x＝1，∵1＞0，∴当0≤x≤1时，y随x的增大而减小，且最大值为4；∵二次函数y2＝2x2+x+m的对称轴为直线：x＝﹣，且2＞0，∴当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，且最小值为m，∵当0≤x≤1时，总有y2≥y1，∴m≥4，即m的最小值为4．。

2021年湖南省湘潭市数学中考真题含答案解析(含答案)

2021年湖南省湘潭市数学中考真题含答案解析(含答案)

湖南省湘潭市2021年中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题,每小题3分,满分24分）1．（2012•湘潭）下列运算正确的是（ ）　A．|﹣3|=3B．C．（a2）3=a5D．2a•3a=6a考点：单项式乘单项式。

相反数。

绝对值。

幂的乘方与积的乘方。

分析：A、根据绝对值的性质可知负数的绝对值是它的相反数。

B、根据相反数的定义可知负数的相反数是正数。

C、根据幂的乘方法则计算即可。

D、根据单项式与单项式相乘,把他们的系数分别相乘,相同字母的幂分别相加,其余字母连同他的指数不变,作为积的因式,计算即可．解答：解：A、|﹣3|=3,正确。

B、应为﹣（﹣）=,故本选项错误。

C、应为（a2）3=a2×3=a6,故本选项错误。

D、应为2a•3a=6a2,故本选项错误．故选D．点评：综合考查了绝对值的性质,相反数的定义,幂的乘方和单项式乘单项式,是基础题型,比较简单．2．（2012•湘潭）已知一组数据3,a,4,5的众数为4,则这组数据的平均数为（ ）　A．3B．4C．5D．6考点：算术平均数。

众数。

分析：要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可。

众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个．依此先求出a,再求这组数据的平均数．解答：解：数据3,a,4,5的众数为4,即的4次数最多。

即a=4．则其平均数为（3+4+4+5）÷4=4．故选B．点评：本题考查平均数与众数的意义．平均数等于所有数据之和除以数据的总个数。

众数是一组数据中出现次数最多的数据．3．（2009•广州）下列函数中,自变量x的取值范围是x≥3的是（ ）　A．y=B．y=C．y=x﹣3D．y=考点：函数自变量的取值范围。

分式有意义的条件。

二次根式有意义的条件。

分析：分式有意义,分母不等于0。

二次根式有意义：被开方数是非负数就可以求出x的范围．解答：解：A、分式有意义,x﹣3≠0,解得：x≠3。

B、二次根式有意义,x﹣3＞0,解得x＞3。

2021年湖南省中考数学真题分类汇编：数与式(附答案解析)

2021年湖南省中考数学真题分类汇编：数与式(附答案解析)

2021年湖南省中考数学真题分类汇编：数与式一．选择题（共10小题）1．（2021•郴州）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a3）2＝a5C．＝3D．（a+b）2＝a2+b22．（2021•娄底）2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加．阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚．5万用科学记数法表示为（）A．0.5×105B．5×104C．50×104D．5×105 3．（2021•衡阳）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（）A．98.99×106B．9.899×107C．9899×104D．0.09899×1084．（2021•衡阳）下列计算正确的是（）A．＝±4B．（﹣2）0＝1C．+＝D．＝3 5．（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是（）A．B．C．D．6．（2021•永州）下列计算正确的是（）A．（π﹣3）0＝1B．tan30°＝C．＝±2D．a2•a3＝a6 7．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10B．10﹣2m C．10D．4 8．（2021•常德）计算：（﹣1）•＝（）A．0B．1C．2D．9．（2021•衡阳）下列运算结果为a6的是（）A．a2•a3B．a12÷a2C．（a3）2D．（a3）2 10．（2021•湘西州）下列计算结果正确的是（）A．（a3）2＝a5B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2C．a÷b•＝D．1+＝二．填空题（共10小题）11．（2021•岳阳）2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为．12．（2021•郴州）使有意义的x的取值范围是．13．（2021•湘西州）北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，400000用科学记数法可以表示为．14．（2021•岳阳）已知x+＝，则代数式x+﹣＝．15．（2021•怀化）比较大小：（填写“＞”或“＜”或“＝”）．16．（2021•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．17．（2021•湘西州）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数a n ＝.（用含n的式子表达）18．（2021•怀化）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是．19．（2021•常德）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为.（用含n的代数式表示）20．（2021•益阳）若实数a的立方等于27，则a＝．三．解答题（共10小题）21．（2021•郴州）计算：（2021﹣π）0﹣|2﹣|+（）﹣1•tan60°．22．（2021•湘潭）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．23．（2021•怀化）计算：．24．（2021•湘西州）计算：（﹣2）0﹣﹣|﹣5|+4sin45°．25．（2021•娄底）计算：（﹣π）0++（）﹣1﹣2cos45°．26．（2021•娄底）先化简，再求值：•（1﹣），其中x是1、2、3中的一个合适的数．27．（2021•怀化）先化简，再求值：，其中x＝．28．（2021•株洲）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．29．（2021•郴州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．30．（2021•湘潭）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．2021年湖南省中考数学真题分类汇编：数与式参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021•郴州）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a3）2＝a5C．＝3D．（a+b）2＝a2+b2【考点】算术平方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【专题】整式；二次根式；运算能力．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，二次根式的性质以及完全平方公式逐一判断即可．【解答】解：A．x2•x3＝x5，故A选项不符合题意；B．（a3）2＝a6，故B选项不符合题意；C．，故C选项符合题意；D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查二次根式的性质、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，牢记完全平方公式，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算，注意二次根式的化简是解题的关键．2．（2021•娄底）2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加．阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚．5万用科学记数法表示为（）A．0.5×105B．5×104C．50×104D．5×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：5万＝50000＝5×104，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．3．（2021•衡阳）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（）A．98.99×106B．9.899×107C．9899×104D．0.09899×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【解答】解：98990000＝9.899×107，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（2021•衡阳）下列计算正确的是（）A．＝±4B．（﹣2）0＝1C．+＝D．＝3【考点】算术平方根；立方根；零指数幂．【专题】计算题；数据分析观念；运算能力．【分析】根据相关概念和公式求解，选出正确答案即可．【解答】解：16的算术平方根为4，即，故A不符合题意；根据公式a0＝1(a≠0)可得（﹣2）0＝1，故B符合题意；、无法运用加法运算化简，故，故C不符合题意；，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了算术平方根的定义、立方根的定义、公式a0＝1(a≠0)的运用等知识点，熟记运算法则是解题关键．5．（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【专题】二次根式；运算能力．【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：＝＝，故选：D．【点评】本题考查了最简二次根式的定义和二次根式的性质，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．6．（2021•永州）下列计算正确的是（）A．（π﹣3）0＝1B．tan30°＝C．＝±2D．a2•a3＝a6【考点】算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；整式；数感；运算能力．【分析】根据零次幂，特殊锐角三角函数值，平方根以及同底数幂乘法逐项进行计算即可．【解答】解：A．因为π﹣3≠0，所以（π﹣3）0＝1，因此选项A符合题意；B．tan30°＝，因此选项B不符合题意；C.＝2，因此选项C不符合题意；D．a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查零次幂，特殊锐角三角函数值，算术平方根以及同底数幂乘法，掌握零次幂，特殊锐角三角函数值，算术平方根以及同底数幂乘法的计算方法是正确判断的前提．7．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10B．10﹣2m C．10D．4【考点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系．【专题】二次根式；符号意识．【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，∴5﹣2＜m＜5+2，故3＜m＜7，∴+＝m﹣3+7﹣m＝4．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．8．（2021•常德）计算：（﹣1）•＝（）A．0B．1C．2D．【考点】二次根式的混合运算．【专题】二次根式；运算能力．【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣1）•＝×＝×＝＝＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式计算是解题关键．9．（2021•衡阳）下列运算结果为a6的是（）A．a2•a3B．a12÷a2C．（a3）2D．（a3）2【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【专题】整式；运算能力．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A．a2•a3＝a5,故此选项不合题意；B．a12÷a2＝a10,故此选项不合题意；C．（a3）2＝a6,故此选项符合题意；D．（a3）2＝a6,故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．10．（2021•湘西州）下列计算结果正确的是（）A．（a3）2＝a5B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2C．a÷b•＝D．1+＝【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；分式的混合运算．【专题】计算题；整式；分式；运算能力．【分析】根据幂的乘方，幂的混合运算，分式的混合运算法则进行计算，然后作出判断．【解答】解：A、（a3）2＝a6，故此选项不符合题意；B、（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝（﹣bc）2＝b2c2，故此选项不符合题意；C、a÷b•，正确，故此选项符合题意；D、1+，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查幂的乘方，幂的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则是解题基础．二．填空题（共10小题）11．（2021•岳阳）2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为 5.5×107．【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【分析】根据科学记数法的方法对55000000进行科学记数即可．【解答】解：55000000＝5.5×107，故答案为：5.5×107．【点评】本题考查用科学记数法表示较大的数，掌握科学记数法的基本方法是解题的关键．12．（2021•郴州）使有意义的x的取值范围是x＞0．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；符号意识．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围．【解答】解：使有意义，则≥0且x≠0，解得：x＞0．故答案为：x＞0．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．13．（2021•湘西州）北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，400000用科学记数法可以表示为4×105．【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：400000＝4×105．故答案为：4×105．【点评】本题考查了用科学记数法表示较大的数．掌握用科学记数法表示较大数的方法是解决本题的关键．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．（2021•岳阳）已知x+＝，则代数式x+﹣＝0．【考点】二次根式的化简求值．【专题】二次根式；运算能力．【分析】把x+的值代入计算即可．【解答】解：∵x+＝，∴x+﹣＝﹣＝0，故答案为：0．【点评】本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的减法法则是解题的关键．15．（2021•怀化）比较大小：＞（填写“＞”或“＜”或“＝”）．【考点】算术平方根；实数大小比较．【专题】实数；数感．【分析】先估算出12，再除以2即可．【解答】解：∵1＜＜2，∴＜1，即＞，故答案为：＞．【点评】本题考查了算术平方根和估算无理数的大小，能估算的范围是解此题的关键．16．（2021•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【分析】根据二次根式的被开方数不小于0，列出不等式，解不等式即可．【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，∴x≥．故答案为：x≥．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，注意整式的取值范围可以是全体实数，二次根式的被开方数不小于0，分式的分母不等于0．17．（2021•湘西州）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数a n＝.（用含n的式子表达）【考点】数学常识；规律型：图形的变化类．【专题】规律型；推理能力．【分析】由所给的图形可得：第1个图形表示的三角形数为1；第2个图形表示的三角形数为1+2＝3；第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6；......据此即可得出第n个图形的三角形数．【解答】解：第1个图形表示的三角形数为1，第2个图形表示的三角形数为1+2＝3，第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6，第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4＝10，....．第n个图形表示的三角形数为1+2+3+4+......+（n﹣1）+n＝．故答案为：．【点评】本题考查了规律型中的数字的变化类，找到图形的序号与三角形数之间的关系是解答的关键．18．（2021•怀化）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是m2﹣m．【考点】有理数的混合运算；列代数式；规律型：数字的变化类．【专题】规律型；运算能力；创新意识．【分析】归纳出数字的变化规律，给已知数列求和，并用含m的代数式表示出来即可．【解答】解：由题意得：2100+2101+2102+ (2199)＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299），＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2），＝（2100）2﹣2100，＝m2﹣m，故答案为：m2﹣m．【点评】本题主要考查数字的变化规律，观察数字变化规律并利用规律用m的代数式表示出结果是解题的关键．19．（2021•常德）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为2n（n+1）.（用含n的代数式表示）【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型；几何直观；应用意识．【分析】根据每个图形可得所有线段的和，找规律可得：①这些数是偶数；②这些数是三个数的积；③三个因数中有一个数是2，另外一个与图形的序号相同，最后一个比图形的序号大1，可得第n个网格中所有线段的和为2n（n+1）．【解答】解：∵第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4＝2×1×2，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12＝2×2×3，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24＝2×3×4，•，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为2n（n+1）；故答案为：2n（n+1）．【点评】本题考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律是解题的关键．20．（2021•益阳）若实数a的立方等于27，则a＝3．【考点】立方根．【专题】实数；运算能力．【分析】根据立方根的定义即可得出答案．【解答】解：∵a3＝27，∴a＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键，即：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x 叫做a的立方根．记作：．三．解答题（共10小题）21．（2021•郴州）计算：（2021﹣π）0﹣|2﹣|+（）﹣1•tan60°．【考点】绝对值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣（2﹣2）+2×＝1﹣2+2+2＝3．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算性质是解答本题的关键．22．（2021•湘潭）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．【考点】绝对值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣1+3﹣4×1＝2﹣1+3﹣4＝0．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．23．（2021•怀化）计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2+9+4×+1＝1﹣2+9+2+1＝11．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．24．（2021•湘西州）计算：（﹣2）0﹣﹣|﹣5|+4sin45°．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【分析】利用绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂法则、二次根式化简方法计算即可求出值．【解答】解：原式＝1﹣2﹣5+4×＝1﹣2﹣5+2＝﹣4．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（2021•娄底）计算：（﹣π）0++（）﹣1﹣2cos45°．【考点】零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【分析】根据零指数幂，分母有理化，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝1++2﹣2×＝1+﹣1+2﹣＝2．【点评】本题考查了零指数幂，分母有理化，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，考核学生的计算能力，正确进行分母有理化是解题的关键．26．（2021•娄底）先化简，再求值：•（1﹣），其中x是1、2、3中的一个合适的数．【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝•＝，由题意得：x≠1，x≠±3，当x＝2时，原式＝＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则、分式的分母不为0是解题的关键．27．（2021•怀化）先化简，再求值：，其中x＝．【考点】分式的化简求值；二次根式的混合运算．【专题】分式；运算能力．【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．【解答】解：原式＝+•＝+＝+＝＝＝，当x＝+2时，原式＝＝＝．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．28．（2021•株洲）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．【考点】分式的化简求值；二次根式的混合运算．【专题】分式；运算能力．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝﹣，当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．29．（2021•郴州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：（﹣）÷＝[﹣]•（a﹣1）＝•（a﹣1）＝•（a﹣1）＝•（a﹣1）＝，当a＝时，原式＝＝．【点评】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，还要注意运算顺序．30．（2021•湘潭）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【分析】先算括号内的加法，同时把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：（+1）÷＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．【点评】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．。

2021年湖南省中考数学复习题及答案 (87)

2021年湖南省中考数学复习题及答案 (87)

2021年中考数学复习题11．（4分）若零上8℃记作+8℃，则零下5℃记作 ﹣5 ℃．【解答】解：根据正数和负数表示相反的意义，可知如果零上8℃记作8℃，那么零下5℃记作﹣5℃．故答案为：﹣5．12．（4分）已知单项式﹣3a m +5b 3与16a 2b n−1是同类项，则m n ＝ 81 ． 【解答】解：∵﹣3a m +5b 3与16a 2b n﹣1是同类项，∴m +5＝2，n ﹣1＝3，∴m ＝﹣3，n ＝4，∴m n ＝（﹣3）4＝81．故答案为：81．13．（4分）已知|a +2|+（b ﹣1）2＝0，则a +b ＝ ﹣1 ．【解答】解：依题意得：a +2＝0，b ﹣1＝0，∴a ＝﹣2，b ＝1．∴a +b ＝﹣2+1＝﹣1．故答案为：﹣1．14．（4分）若x 3n ﹣5+5＝0是关于x 的一元一次方程，则n ＝ 2 ． 【解答】解：∵x 3n ﹣5+5＝0是关于x 的一元一次方程， ∴3n ﹣5＝1，解得：n ＝2，故答案为：2．15．（4分）某种商品的标价为220元，为了吸引顾客，按9折出售，这时仍可盈利10%，则这种商品的进价是 180 元．【解答】解：设进价为x 元，则：x +x ×10%＝220×0.9解得x ＝180．16．（4分）已知：点A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB ＝4cm ，C 为线段AB 的中点，CD ＝3cm ，则A 、D 两点的距离为 1或5 ．【解答】解：如图所示：①点D在线段AB的延长线上时，如图1，∵C为线段AB的中点，AB＝4cm∴AC＝BC=12AB，又∵AB＝4cm，∴BC=12×4=2cm，又∵BD＝CD﹣BC，∴BD＝3﹣2＝1cm，又∵AD＝AB+BD，∴AD＝4+1＝5cm；②点D在线段AB的r反向延长线上时，如图2，同理可得：∴AC=12×4=2cm，又∵CD＝AC+AD，∴AD＝3﹣2＝1cm，综合所述：A、D两点的距离为1cm或5cm，故答案为1cm或5cm．17．（4分）按照下列程序计算输出值为2018时，输入的x值为202．【解答】解：根据题意得2（5x﹣1）＝2018，5x﹣1＝1009，所以x＝202．故答案为202．。

湖南省娄底市2021年中考数学试卷试题真题(Word版,含答案解析)

湖南省娄底市2021年中考数学试卷试题真题(Word版,含答案解析)

湖南省娄底市2021年中考数学试卷一、单选题（共12题；共24分）1.2021的倒数是（）A. 2021B. －2021C. 12021D. −12021【答案】C【考点】有理数的倒数【解析】【解答】A：倒数是本身的数是1和-1，选项错误.B：－2021是2021的相反数，选项错误.C：2021×12021=1，选项正确.D：2021×(−12021)=−1，选项错误.故答案为：C【分析】乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此判断即可.2.下列式子正确的是（）A. a3−a2=aB. (a2)3=a6C. a3⋅a2=a6D. (a2)3=a5【答案】B【考点】同底数幂的乘法，合并同类项法则及应用，幂的乘方【解析】【解答】A、a3−a2=a，因为a3和a2不属于同类项，不能进行加减合并，故A错误；B、(a2)3=a2×3=a6，故B正确；C、a3⋅a2=a3+2=a5，故C错误；D、(a2)3=a2×3=a6，故D错误.故答案为：B.【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法分别进行计算，然后判断即可.3.2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加.阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚.5万用科学记数法表示为（）A. 0.5×105B. 5×104C. 50×104D. 5×105【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：5万=50000= 5×104.故答案为：B.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此解答即可.4.一组数据17,10,5,8,5,15的中位数和众数是（）【考点】中位数，众数【解析】【解答】这组数据按照从小到大的顺序排列为：5，5，8，10，15，17，9，众数为：5，因此中位数为：8+102=故答案为：C.【分析】中位数：先把数据从小到大（或从大到小）进行排列，如果数据的个数是奇数，那么最中间的那个数据就是中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间的那两个数据的平均数就是中位数；众数：是一组数据中出现次数最多的数据，据此解答即可.5.如图，点E,F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE=DF，则四边形AECF是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形【答案】A【考点】平行四边形的判定，矩形的性质，三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：由题意：∵AD//BC,∴∠ADB=∠CBD，∴∠FDA=∠EBC，又∵AD=BC,BE=DF，∴△ADF≌△CBE(SAS)，∴AF=EC，∴∠AFD=∠CEB,∴AF//EC，∴四边形AECF为平行四边形，故答案为：A.【分析】证明△ADF≌△CBE(SAS)，利用全等三角形的性质得出AF=EC∠AFD=∠CEB利用内错角相等两直线平行，可得AF∥CE，根据一组对边平行且相等可证四边形AECF为平行四边形.6.如图，AB//CD，点E,F在AC边上，已知∠CED=70°,∠BFC=130°，则∠B+∠D的度数为（）【考点】平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角及其性质【解析】【解答】解：取 ED,FB 的交点为点 G ，过点 G 作平行于 CD 的线 MN ，如下图：根据题意： ∠CED =70°, ∠BFC =130° ， ∴∠EFG =50° ，∴∠EGF =180°−50°−70°=60° ， ∵MN//CD//AB ，∴∠B =∠BGN,∠D =∠DGN ，∴∠B +∠D =∠BGN +∠DGN =∠BGD ， ∵ED,BF 相交于点 G ， ∴∠EGF =∠BGD =60° ， ∴∠B +∠D =60° ， 故答案为：C.【分析】取 ED,FB 的交点为点 G ，过点 G 作平行于 CD 的线 MN ， 利用邻补角定义及三角形内角和求出∠EGF=60°，根据平行线的性质得出∠B =∠BGN,∠D =∠DGN ， 从而可得∠B +∠D =∠BGN +∠DGN =∠BGD ，由对顶角相等可得∠EGF =∠BGD =60° ， 继而得出结论.7.从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（ ） A. 14 B. 12 C. 34 D. 1 【答案】 B【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形，概率公式【解析】【解答】解： ∵ 分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形，圆；∴ 现从中任意抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为 24=12 ， 故答案为：B.【分析】 由四张形状、大小相同的卡片中分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形，圆,然后利用概率公式计算即可. 8.2,5,m 是某三角形三边的长，则 √(m −3)2+√(m −7)2 等于（ ） A. 2m −10 B. 10−2m C. 10 D. 4【答案】 D【考点】二次根式的性质与化简，三角形三边关系【解析】【解答】解：∵2,3,m是三角形的三边，∴5−2<m<5+2，解得：3<m<7，∴√(m−3)2+√(m−7)2=m−3+7−m=4，故答案为：D.【分析】根据三角形的三边关系，可得3<m<7，然后根据二次根式的性质求解即可.9.如图，直线y=x+b和y=kx+4与x轴分别相交于点A(−4,0)，点B(2,0)，则{x+b>0kx+4>0解集为（）A. −4<x<2B. x<−4C. x>2D. x<−4或x>2【答案】A【考点】一次函数与不等式（组）的综合应用【解析】【解答】解：∵直线y=x+b和y=kx+4与x轴分别相交于点A(−4,0)，点B(2,0)，∴观察图象可知{x+b>0kx+4>0解集为−4<x<2，故答案为：A.【分析】根据图形可得当x＞-4时，直线y=x+b的图象在x轴上方，当x＜2时，直线y=kx+4的图象在x轴上方，然后求出x的公共部分即可.10.如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l:y=512x只有一个公共点时，点A的坐标为（）A. (−12,0)B. (−13,0)C. (±12,0)D. (±13,0)【答案】 D【考点】勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】如下图所示，连接AB，过B点作BC//OA，此时B点坐标可表示为(x,512x)，∴OC=512|x|，BC=|x|，在Rt△OBC中，OB=√BC2+OC2=√x2+(512x)2=1312|x|，又∵⊙A半径为5，∴AB=5，∵BC//OA，∴△AOB∽△OBC，则OABO =ABOC=OBBC，∴OA1312|x|=5512|x|，∴OA=13，∵左右两侧都有相切的可能，∴A点坐标为(±13,0)，故答案为：D.【分析】连接AB，过B点作BC//OA，此时B点坐标可表示为(x,512x)，从而求出OC、BC、OB，证明△AOB∽△OBC，可得OABO =ABOC=OBBC，代入相应数据可求出OA，由于左右两侧都有相切的可能，据此求出点A坐标.11.根据反比例函数的性质、联系化学中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数y=xa+x（a为常数且a>0,x>0）的性质表述中，正确的是（）①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③ 0<y<1；④ 0≤y≤1A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A【考点】反比例函数的图象，反比例函数的性质【解析】【解答】解：y=xa+x=x+a−aa+x=1−aa+x=−aa+x+1，又∵ a >0,x >0 ，∴随着x 的增大， a+x 也会随之增大， ∴a a+x随着x 的增大而减小，此时aa+x越来越小，则 1−aa+x 越来越大，故随着x 的增大y 也越来越大. 因此①正确，②错误； ∵ a >0,x >0 ， ∴ 0<a a+x<1 ，∴ 0<1−aa+x <1 ， 故 0<y <1 ， 因此③正确，④错误； 综上所述，A 选项符合. 故答案为：A.【分析】利用反比例函数的性质，将原函数进行变形y =1-aa+x ， 由于a >0,x >0 ， 可得随着x 的增大a a+x越来越小，则 1−aa+x 越来越大，据此判断①②；由于a >0,x >0 ， 可得 0<a a+x<1 ，即得 0<1−aa+x <1 ，据此判断③④.12.用数形结合等思想方法确定二次函数 y =x 2+2 的图象与反比例函数 y =2x 的图象的交点的横坐标 x 0 所在的范围是（ ）A. 0<x 0≤14 B. 14<x 0≤12 C. 12<x 0≤34 D. 34<x 0≤1 【答案】 D【考点】反比例函数的图象，二次函数y=ax^2+bx+c 的图象【解析】【解答】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：由图知，显然12<x0<1，当x0=34时，将其分别代入y=x2+2与y=2x计算得；y1=916+2=4116,y2=234=83，∵y2−y1=83−4116=548>0，∴此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，∴34<x0≤1故答案为：D.【分析】在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，根据函数图象进行判断即可.二、填空题（共6题；共7分）13.函数y=√x−1中自变量x的取值范围是________.【答案】x≥1【考点】二次根式有意义的条件【解析】【解答】根据题意得：x-1≥0，解得：x≥1.故答案为：x≥1.【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x-1≥0，解不等式可求x的范围.14.如图所示的扇形中，已知OA=20,AC=30,AB⌢=40，则CD⌢=________.【答案】100【考点】弧长的计算【解析】【解答】解：设扇形圆心角度数为n°，∵OA=20,AB⌢=40，∴在扇形AOB中，AB⌢=2π·OA·n360，解得：n=360π，∴在扇形COD中，OC=OA+AC=20+30=50，CD⌢=2π·OC·n360=2π×50×360π360=100故答案为：100.【分析】先求出扇形圆心角度数360π，再求出OC=OA+AC=50，利用弧长公式计算即可.15.如图，△ABC中，AB=AC=2,P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F，若S△ABC=1，则PE+PF=________.【答案】1【考点】三角形的面积，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：连接AP，如下图，∵PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F，S△ABC=S△APC+S△APB=1S△APC+S△APB=12AC⋅PF+12AB⋅PE∵AB=AC=2，S△APC+S△APB=PF+PE=1，∴PE+PF=1，故答案是：1.【分析】连接AP，由S△APC+S△APB=12AC⋅PF+12AB⋅PE=1，即可求出结论.16.已知t2−3t+1=0，则t+1t=________. 【答案】3【考点】代数式求值【解析】【解答】解：t+1t =t2t+1t=t2+1t，又∵t2−3t+1=0，∴t2+1=3t，则t+1t =t2+1t=3tt=3，故答案为：3.【分析】先求出t2+1=3t，由t+1t =t2+1t，然后代入计算即可.17.高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行.如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，BE⊥AB,∠CBE=α，过B作AD的垂线，垂足为A′（A点的视觉错觉点），若sinα=0.05,AB=300mm，则AA′=________ mm.【答案】15【考点】平行四边形的性质，解直角三角形的应用【解析】【解答】解：如图所示，∵A′B⊥AD且四边形ABCD为平行四边形，∴A′B⊥BC，∠A′BC=∠ABC+∠A′BA=90°，又∵BE⊥AB，∴∠ABE=∠ABC+∠α=90°，∴∠A′BA=∠α，∴sin∠A′BA=sinα=AA′=0.05，AB又∵AB=300mm，∴AA′=AB·sin∠A′BA=300×0.05=15mm.故答案为：15.【分析】根据平行四边形的性质，可求出∠A′BA=∠α，由于sin∠A′BA=sinα=AA′=0.05，AB即可求出结论.18.弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad.已知α=1rad,β=60°，则α与β的大小关系是α________ β.【答案】＜【考点】角的概念【解析】【解答】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad，当β=60°时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，∴圆心角所对的弧长比半径大，∴α<β，故答案是：＜.【分析】当β=60°时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，从而求出圆心角所对的弧长比半径大，据此判断即可.三、解答题（共8题；共68分）19.计算：(√2021−π)0√2+1(12)−1−2cos45°.【答案】解：(√2021−π)0√2+1+(12)−1−2cos45°=1√2−1(√2+1)(√2−1)2−2×√22=1+√2−1+2−√2=2.【考点】0指数幂的运算性质，负整数指数幂的运算性质，分母有理化，特殊角的三角函数值【解析】【分析】根据零指数幂、分母有理化、负整数指数幂、特殊角三角函数值进行计算即可.20.先化简，再求值：x−3x−1⋅(1−2x−10x2−9)，其中x是1,2,3中的一个合适的数.【答案】解：x−3x−1⋅(1−2x−10x2−9)=x−3x−1⋅[x2−9(x+3)(x−3)−2x−10(x+3)(x−3)]=x−3x−1⋅x2−2x+1 (x+3)(x−3)=x−3x−1⋅(x−1)2 (x+3)(x−3)=x−1x+3，∵x≠1，x≠±3，∴x=2，原式=2−12+3=15.【考点】利用分式运算化简求值【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再进行乘法运算即可化简，最后选取一个使分式有意义的值代入计算即可.21.“读书，点亮未来”，广泛的课外阅读是同学们搜集和汲取知识的一条重要途径.学校图书馆计划购进一批学生喜欢的图书，为了了解学生们对“A文史类、B科普类、C生活类、D其它”的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每个学生只选其中一类），将所得数据进行分类统计绘制了如下不完整的统计图表，请根据图中的信息，解答下列问题：统计表：（1）本次调查的学生共________人；（2）m=________，n=________；（3）补全条形统计图.【答案】（1）200（2）0.25；40（3）解：补全直方图如图所示：.【考点】频数（率）分布表，条形统计图【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生有：90÷0.45=200（名），故答案是：200；（2）m=50÷200=0.25，n=200×0.2=40；【分析】（1）利用B类频数除以其频率，即得调查学生的总数；（2）利用A类频数除以调查总人数，即得m值；利用调查总人数乘以0.20，即得n值；（3）利用（2）结论，直接补图即可.22.我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心.当天舟二号从地面到达点A 处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升75秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，求天舟二号从A处到B处的平均速度.（结果精确到1m/s，取√3=1.732,√2=1.414）【答案】解：根据在P处测得A点的仰角∠DPA为30°且A与P两点的距离为6千米知；在Rt△ADP中，AP=6,∠DPA=30°，∴AD=12AP=3(千米)，∴DP=√AP2−AD2=3√3≈3×1.732=5.196，又由在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，∴Rt△BDP为等腰直角三角形，∴BD=DP，∴AB=BD−AD=2.196（千米），∴天舟二号从A处到B处的平均速度为：v̅=st =219675≈29m/s，答：天舟二号从A处到B处的平均速度为29m/s.【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】利用含30°角的直角三角形的性质得出AD=12AP=3(千米)，由勾股定理求出DP的长，求出△BDP为等腰直角三角形，可得BD=DP，由AB=BD-AD可求出AB的长，由路程÷时间=平均速度计算即得结论.23.为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生.已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元.（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值.【答案】（1）解：设购进甲种纪念品每个需要x元，乙种纪念品每个需要y元，根据题意得： {x +2y =202x +5y =45， 解得： {x =10y =5； 答：购进甲种纪念品每个需要10元，乙种纪念品每个需要5元；（2）解：设购进甲种纪念品m 个，则购进乙种纪念品（100-m ）个，所花资金为 w 元，∴ w =10m +5(100−m)=5m +500 ，根据题意得： {5m +500≥7665m +500≤800， 解得：53.2≤m≤60.∵m 为整数，∴m=54、55、56、57、58、59或60.∴共有7种进货方案；∵5>0，∴ w 随m 的增大而增大，∴m=54时， w 有最小值，最小值为770元.【考点】一次函数的实际应用，二元一次方程组的应用-和差倍分问题【解析】【分析】（1）设购进甲种纪念品每个需要x 元，乙种纪念品每个需要y 元，根据“ 购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45 ”列出方程组，求解即可；（2） 设购进甲种纪念品m 个，则购进乙种纪念品（100-m ）个，所花资金为 w 元， 利用利润=单件利润×数量，列出w 关于m 的函数关系式，再根据“ 投入资金不少于766元又不多于800元”求出m 的范围，根据一次函数的性质求解即可.24.如图，点A 在以 BC 为直径的⊙ O 上， ∠ABC 的角平分线与 AC 相交于点E ，与⊙ O 相交于点D ，延长 CA 至M ，连结 BM ，使得 MB =ME ，过点A 作 BM 的平行线与 CD 的延长线交于点N.（1）求证： BM 与⊙ O 相切；（2）试给出 AC,AD,CN 之间的数量关系，并予以证明.【答案】 （1）证明：如图所示，∵MB=ME，BD是∠ABC的角平分线，∴∠MBE=∠MEB，∠ABE=∠EBC，又∵BC为直径，∴∠BAC=90°，∴∠ABE+∠MEB=90°，∴∠EBC+∠MBE=90°，即BM与⊙O相切.（2）解：∵∠ABE=∠EBC，∴AD⌢=CD⌢，∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∴△ADC为等腰三角形，又∵∠BDC=90°，∴∠BDN=90°，∴∠N+∠NGD=90°，又∵∠NGD=∠BGF，且由（1）可得∠MBC=90°，NF∥BM，∴∠NFB=90°，即∠N=∠EBC=∠ABE=∠DCA，∴△NAC为等腰三角形，在△ADC和△NAC中，∠N=∠DAC=∠DCA，∴△ADC∽△NAC，∴ADNA =DCAC=ACNC，∴AC2=DC·NC，又∵AD=CD，故：AC2=AD·NC.【考点】等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义及等腰三角形的性质，得出∠MBE=∠MEB，∠ABE=∠EBC，由BC为直径得出∠BAC=90°，利用直角三角形两锐角互余可得∠ABE+∠MEB=90°，从而可得∠EBC+∠MBE=90°=∠MBC，根据切线的判定定理即证；（2）由∠ABE=∠EBC可得AD⌢=CD⌢从而求出AD=CD，继而可求出△ADC、△NAC为等腰三角形，证明△ADC∽△NAC，可得ADNA =DCAC=ACNC，从而求出AC2=DC·NC，继而得出结论.25.如图①，E、F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF=45°,CD⊥BC且CD= BE.（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：EF2=BE2+CF2；（3）如图②，作AH⊥BC，垂足为H，设∠EAH=α,∠FAH=β，不妨设AB=√2，请利用（2）的结论证明：当α+β=45°时，tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ成立.【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵CD⊥BC，∴∠DCB=90°，∴∠DCA=90°-∠ACB=90°-45°=45°=∠ABE，在△ABE和△ACD中，{AB=AC∠ABE=∠ACDBE=CD，∴△ABE≌△ACD（SAS），（2）证明：∵△ABE≌△ACD，∴∠BAE=∠CAD，AE=AD，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠FAC=90°-∠EAF=90°-45°=45°，∴∠FAD=∠FAC+∠CAD=∠FAC+∠BAE=45°=∠EAF，在△AEF和△ADF中，{AE=AD∠EAF=∠DAFAF=AF，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴EF=DF，在Rt△CDF中，根据勾股定理，DF2=CD2+CF2，即EF2=BE2+CF2；（3）解：将△ABE逆时针绕点A旋转90°到△ACD，连结FD，∴∠BAE=∠CAD，BE=CD，AE=AD，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=∠B=∠ACD=45°，∠DCF=∠DCA+∠ACF=45°+45°=90°，∵AB=√2，∴AC= AB=√2，在Rt△ABC中由勾股定理BC=√AB2+AC2=√(√2)2+(√2)2=2∵AH⊥BC，∴BH=CH=AH= 12BC=1，∴EF=EH+FH=AHtanα+AH tanβ= tanα+ tanβ，BE=BH-EH=1-tanα，CF=CH-HF=1-tanβ，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠CAF=90°-∠EAF=45°，∴∠DAF=∠DAC+∠CAF=∠BAE+∠CAF=45°=∠EAF，在△AEF和△ADF中，{AE=AD∠EAF=∠DAFAF=AF，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴EF=DF，在Rt△CDF中，DF2=CD2+CF2即EF2=BE2+CF2，∴(tanα+tanβ)2=(1−tanα)2+(1−tanβ)2，整理得2tanα⋅tanβ=1−2tanα+1−2tanβ，即tanα⋅tanβ=1−tanα−tanβ，∴tanα+tanβ=1−tanα⋅tanβ，∴tanα+tanβ=1=tan45°=tan(α+β)，1−tanα⋅tanβ∴tan(α+β)=tanα+tanβ.1−tanα⋅tanβ【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形，三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，根据垂直的定义可得∠DCB=90°，从而可求∠DCA=90°-∠ACB=45°，根据SAS可证△ABE≌△ACD；（2）证明△AEF≌△ADF（SAS），可得EF=DF，在Rt△CDF中，根据勾股定理DF2=CD2+CF2，据此即得结论；（3）将△ABE逆时针绕点A旋转90°到△ACD，连结FD，利用等腰直角三角形及解直角三角形，可求出EF=EH+FH=AHtanα+AH tanβ= tanα+ tanβ，BE=BH-EH=1-tanα，CF=CH-HF=1-tanβ，证明△AEF≌△ADF（SAS），可得EF=DF，在Rt△CDF中，DF2=CD2+CF2即EF2=BE2+CF2，即得(tanα+tanβ)2=(1−tanα)2+(1−tanβ)2，据此进行整理即可求出结论.26.如图，在直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于点A(−1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C.（1）求b、c的值；（2）点P(m,n)为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l:y=x于点Q.①当0<m<3时，求当P点到直线l:y=x的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值.【答案】（1）解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），∴ {1−b +c =09+3b +c =0， 解得： {b =−2c =−3， ∴b= −2 ，c= −3 ；（2）解：①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x 2 −2x −3 ，设点P （m ，m 2-2m-3），则点Q （m ，m ），∵0<m<3，∴PQ=m-( m 2-2m-3)=-m 2+3m+3=- (m −32)2 +214 ， ∵-1<0，∴当 m =32 时，PQ 有最大值，最大值为214 ；②∵抛物线的函数表达式为：y=x 2-2x-3，∴C （0，-3），∴OB=OC=3，由题意，点P （m ，m 2-2m-3），则点Q （m ，m ），∵PQ ∥OC ，当OC 为菱形的边，则PQ=OC=3，当点Q 在点P 上方时，∴PQ= −m 2+3m +3=3 ，即 −m 2+3m =0 ，∴ m(m −3)=0 ，解得 m =0 或 m =3 ，当 m =0 时，点P 与点O 重合，菱形不存在，当 m =3 时，点P 与点B 重合，此时BC= √2OC =3√2≠OC ，菱形也不存在；当点Q 在点P 下方时，若点Q 在第三象限，如图，∵∠COQ=45°，根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合，此时OA=1 ≠OC=3，菱形不存在，若点Q在第一象限，如图，同理，菱形不存在，综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形.【考点】待定系数法求二次函数解析式，菱形的判定，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）将点A（-1，0），B（3，0）代入抛物线解析式中，可得关于b、c的方程组，解出b、c的值即可；（2）① 由（1）知y=x2−2x−3，设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），可求出)2，根据二次函数的性质求解即可；PQ=m-( m2-2m-3)=-(m−32②求出OB=OC=3，设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），由PQ∥OC，当OC为菱形的边，则PQ=OC=3，分二种情况：当点Q在点P上方时；当点Q在点P下方时，即是若点Q在第三或第一象限，据此分别解答即可.。

2021年湖南省中考数学复习题及答案 (84)

2021年湖南省中考数学复习题及答案 (84)

2021年中考数学复习题24．（10分）如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝58°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）求出∠BOD的度数；（2）请通过计算说明：OE是否平分∠BOC．（3）与∠AOE互补的角是∠BOE和∠COE；【解答】解：（1）∵∠AOC＝58°，OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠DOC＝29°，∴∠BOD＝180°﹣529°＝151°；（2）OE平分∠BOC，理由如下：∵∠DOC+∠COE＝90°，∠DOC＝29°，∴∠COE＝61°．∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝122°，∴∠COE=12∠BOC＝61°．∴∠EOC＝∠BOE＝61°，∴OE平分∠BOC．（3）与∠AOE互补的角是∠BOE和∠COE．25．（10分）已知数轴上有两点A、B，点A表示的数是4，点B表示的数是﹣11，点C是数轴上一动点．（1）如图1，若点C在点B的左侧，且BC：AB＝3：5，求点C到原点的距离．（2）如图2，若点C在A、B两点之间时，以点C为折点，将此数轴向右对折，当A、B两点之间的距离为1时，求C点在数轴上对应的数是多少？（3）如图3，在（1）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度的2倍少5个单位长度/秒．经过4秒，点P、Q之间的距离是点Q、R之间距离的一半，求动点Q的速度．【解答】解：（1）设点C表示的数为a，∵BC：AB＝3：5，∴（﹣11﹣a）：（4+11）＝3：5，∴a＝﹣20，∴点C到原点的距离为20；（2）设点C表示的数为x，根据题意得：（4﹣x）﹣（x+11）＝1，或（x+11）﹣（4﹣x）＝1，∴x＝﹣4或﹣3，∴C点在数轴上对应的数是﹣4或﹣3；（3）设点R的速度为y个单位长度/秒，则点P的速度3y个单位长度/秒，点Q的速度是（2y﹣5）个单位长度/秒，由题意得：|（﹣20+4×3y）﹣[4+4（2y﹣5）]|=12×4×（y+2y﹣5）解得：y＝3或1.4，∴2y﹣5＝1或﹣2.2（不合题意舍去）答：动点Q的速度为1个单位长度/秒．。

2021年长沙市中考数学总复习：一元二次方程(含答案解析)

2021年长沙市中考数学总复习：一元二次方程(含答案解析)

2021年长沙市中考数学总复习：一元二次方程一．选择题（共11小题）1．用配方法解方程4x2﹣2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x−12）2=12B．（x−14）2=12C．（x−14）2=316D．（x−14）2=5162．小亮根据x的取值：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5分别代入x2+12x﹣15求值，估算一元二次方程的近似解x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x﹣15﹣0.590.84 2.29 3.76 5.25由此可确定一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解x的范围正确的是（）A．1.1＜x＜1.2B．1.2＜x＜1.3C．1.3＜x＜1.4D．1.4＜x＜1.5 3．一元二次方程x2+6x+9＝0的常数项是（）A．0B．1C．6D．94．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜14B．k≤14C．k＞14D．k≥145．设a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（）A．﹣2018B．2018C．2020D．20226．关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1 7．下列关于x的方程ax2﹣bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（）A．无实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．有且只有一个实数根8．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（）A．（1+n）2＝931B．n（n﹣1）＝931C．1+n+n2＝931D．n+n2＝9319．某超市2020年3月份的猪肉价格为60元/千克，经过两个月连续两次降价后，5月份的猪肉价格为40元/千克，设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．60（1﹣2x ）＝40 B ．60（1﹣x ）2＝40 C ．40（1+2x ）＝60D ．40（1+x ）2＝6010．一次围棋比赛，要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x 个参赛棋手，则可列方程为（ ） A ．12x （x ﹣1）＝45B ．12x （x +1）＝45C ．x （x ﹣1）＝45D ．x （x +1）＝4511．若12﹣3k ＜0，则关于x 的一元二次方程x 2+4x +k ＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断二．填空题（共19小题）12．若关于x 的方程kx 2﹣kx +1＝0有两个相等的实数根，则实数k 的值为 ． 13．如果关于x 的一元二次方程（m +1）x 2﹣2x ﹣1＝0有两个实数根，那么m 的取值范围是 ．14．已知关于x 的一元二次方程（14m ﹣1）x 2﹣x +1＝0有实数根，则m 的取值范围是 ．15．若一元二次方程x 2﹣c ＝0的一个根为x ＝1，则另一个根为 ． 16．一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣2）＝x ﹣2的根是 ．17．若关于x 的一元二次方程x 2+3x +a ＝0有一个实数根为x ＝﹣2，则另一个实数根为 ． 18．若关于x 的方程2x 2+x ﹣m ＝0有两个相等的实数根，则实数m 的值等于 ． 19．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣2x +n ﹣3＝0有两个相等实数根，则1m−n 的值是 ．20．如果（m +2）x |m |+x ﹣2＝0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为 ． 21．已知a ，b 是方程x 2+3x ﹣1＝0的两根，则a 2b +ab 2的值是 ．22．若a ，b 是方程x 2﹣x ﹣5＝0的两个不同的实数根，则a 3﹣a 2+5b ﹣2＝ ． 23．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣3x +2＝0无实数根，则k 的取值范围是 ． 24．若方程x 2﹣3x ﹣4＝0的两个根分别为x 1和x 2，则1x 1+1x 2= ．25．关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c ＝0的系数满足ac ＞0，则此方程的根x ＝ ．26．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子3m2+6m﹣mn的值为．27．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为．28．如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．29．已知关于x的方程x2﹣mx+1＝0的一个根为1，那么m的值是．30．已知关于x的方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为．三．解答题（共20小题）31．解方程：（1）5x2﹣3x＝x+1；（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．32．若一元二次方程x2﹣x＝1的两个实数根分别为x1，x2，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值．33．已知关于x的方程2x2﹣5x+k＝0的一个根是1，求k的值和另一个根．34．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是1，求另一个根．35．“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．36．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0∴n＝4，m＝4．根据上述材料，解答下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x+2y的值；（2）已知a﹣b＝6，ab+c2﹣4c+13＝0，求a+b+c的值．37．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，化简：|1−m|+√m2+4m+4．38．解方程：（2x+3）2＝（x﹣1）2．39．解下列一元二次方程（1）x2+4x﹣8＝0（2）（x﹣3）2＝5（x﹣3）40．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．41．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？42．解下列方程（x﹣2）2﹣9＝0．43．解方程：x2+5＝6x．44．如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．45．已知关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．46．已知Rt△ABC的两条直角边长为一元二次方程x2+kx+12＝0的两根．（1）当k＝﹣7时，求Rt△ABC的周长；（2）当Rt△ABC为等腰直角三角形时，求k的值及△ABC的周长．47．在实数范围内，对于任意实数m、n（m≠0）规定一种新运算：m⊗n＝m n+mn﹣3，例如：3⊗2＝32+3×2﹣3＝12．（1）计算：（﹣2）⊗（﹣1）；（2）若x⊗1＝﹣27，求x的值；（3）若（﹣y）⊗2的最小值为a，求a的值．48．小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率．（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？49．解方程：（1）x2﹣16＝0；（2）4x2+1＝﹣4x．50．解方程：（1）3x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0．（2）3x2﹣5x﹣1＝0．2021年长沙市中考数学总复习：一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．用配方法解方程4x2﹣2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x−12）2=12B．（x−14）2=12C．（x−14）2=316D．（x−14）2=516【解答】解：4x2﹣2x﹣1＝0，x2−12x=14，x2−12x+（14）2=14+（14）2，（x−14）2=516．故选：D．2．小亮根据x的取值：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5分别代入x2+12x﹣15求值，估算一元二次方程的近似解x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x﹣15﹣0.590.84 2.29 3.76 5.25由此可确定一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解x的范围正确的是（）A．1.1＜x＜1.2B．1.2＜x＜1.3C．1.3＜x＜1.4D．1.4＜x＜1.5【解答】解：由表可以看出，当x取1.1与1.2之间的某个数时，y＝0，即这个数是x2+12x ﹣15＝0的一个根．x2+12x﹣15＝0的一个解x的取值范围为1.1＜x＜1.2．故选：A．3．一元二次方程x2+6x+9＝0的常数项是（）A．0B．1C．6D．9【解答】解：方程x2+6x+9＝0是一元二次方程的一般形式，其中常数项是9．故选：D．4．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜14B．k≤14C．k＞14D．k≥14【解答】解：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4k≥0，解得k≤1 4．故选：B．5．设a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（）A．﹣2018B．2018C．2020D．2022【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2020，则原式＝ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2020+1+1＝﹣2018．故选：A．6．关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，∴x1x2＝﹣2x2＝﹣2，x1+x2＝﹣2+1=−k 2，解得：x2＝1，k＝2，则方程的另一个根x2和k的值为x2＝1，k＝2．故选：A．7．下列关于x的方程ax2﹣bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（）A．无实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．有且只有一个实数根【解答】解：∵△＝（﹣b）2﹣4a×0＝b2，而a，b是不为0的常数，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．8．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（）A ．（1+n ）2＝931B ．n （n ﹣1）＝931C ．1+n +n 2＝931D ．n +n 2＝931【解答】解：由题意，得 n 2+n +1＝931， 故选：C ．9．某超市2020年3月份的猪肉价格为60元/千克，经过两个月连续两次降价后，5月份的猪肉价格为40元/千克，设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．60（1﹣2x ）＝40 B ．60（1﹣x ）2＝40 C ．40（1+2x ）＝60D ．40（1+x ）2＝60【解答】解：设平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程： 60（1﹣x ）2＝40． 故选：B ．10．一次围棋比赛，要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x 个参赛棋手，则可列方程为（ ） A ．12x （x ﹣1）＝45B ．12x （x +1）＝45C ．x （x ﹣1）＝45D ．x （x +1）＝45【解答】解：本次比赛共有x 个参赛棋手， 所以可列方程为：12x （x ﹣1）＝45．故选：A ．11．若12﹣3k ＜0，则关于x 的一元二次方程x 2+4x +k ＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断【解答】解：△＝42﹣4k ＝16﹣4k ， ∵12﹣3k ＜0， ∴k ＞4，∴16﹣4k ＜0，即△＜0， ∴方程无实数根． 故选：C ．二．填空题（共19小题）12．若关于x 的方程kx 2﹣kx +1＝0有两个相等的实数根，则实数k 的值为 4 ． 【解答】解：根据题意得k ≠0且△＝k 2﹣4k ＝0， 解得k ＝4． 故答案为4．13．如果关于x 的一元二次方程（m +1）x 2﹣2x ﹣1＝0有两个实数根，那么m 的取值范围是 m ≥﹣2且m ≠﹣1 ．【解答】解：根据题意得m +1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（m +1）×（﹣1）≥0， 解得m ≥﹣2且m ≠﹣1． 故答案为m ≥﹣2且m ≠﹣1．14．已知关于x 的一元二次方程（14m ﹣1）x 2﹣x +1＝0有实数根，则m 的取值范围是 m ≤5且m ≠4 ．【解答】解：∵一元二次方程有实数根， ∴△=1−4×(14m −1)≥0且14m −1≠0，解得：m ≤5且m ≠4， 故答案为：m ≤5且m ≠4．15．若一元二次方程x 2﹣c ＝0的一个根为x ＝1，则另一个根为 x ＝﹣1 ． 【解答】解：把x ＝1代入方程得：c ＝1， 方程为x 2﹣1＝0，即x 2＝1， 开方得：x ＝1或x ＝﹣1， 则另一根为x ＝﹣1． 故答案为：x ＝﹣1．16．一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣2）＝x ﹣2的根是 x 1＝2，x 2＝4 ． 【解答】解：（x ﹣3）（x ﹣2）＝x ﹣2， （x ﹣3）（x ﹣2）﹣（x ﹣2）＝0， （x ﹣2）（x ﹣3﹣1）＝0， x ﹣2＝0或x ﹣3﹣1＝0， 所以x 1＝2，x 2＝4． 故答案为：x 1＝2，x 2＝4．17．若关于x 的一元二次方程x 2+3x +a ＝0有一个实数根为x ＝﹣2，则另一个实数根为 ﹣1 ．【解答】解：设另一个实数根为t，根据题意得﹣2+t＝﹣3，解得t＝﹣1．故答案为﹣1．18．若关于x的方程2x2+x﹣m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于−18．【解答】解：∵关于x的方程2x2+x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣m）＝0，解得：m=−1 8，故答案为：−1 8．19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+n﹣3＝0有两个相等实数根，则1m−n的值是﹣3．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x+n﹣3＝0有两个相等实数根，∴m≠0，△＝（﹣2）2﹣4m（n﹣3）＝0，解得：mn﹣3m＝1，除以m得：n﹣3=1 m，∴1m−n＝﹣3，故答案为：﹣3．20．如果（m+2）x|m|+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为2．【解答】解：由题意得：|m|＝2且m+2≠0，解得m＝±2，m≠﹣2，∴m＝2，故答案为：2．21．已知a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则a2b+ab2的值是3．【解答】解：∵a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，∴根据根与系数的关系得：a+b＝﹣3，ab＝﹣1，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3，故答案为：3．22．若a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两个不同的实数根，则a3﹣a2+5b﹣2＝3．【解答】解：∵a ，b 是方程x 2﹣x ﹣5＝0的两个不同的实数根，∴a 2﹣a ＝5，a +b ＝1，∴a 3﹣a 2＝5a ，∴a 3﹣a 2+5b ﹣2＝5a +5b ﹣2＝5（a +b ）﹣2＝5×1﹣2＝3．故答案为：3．23．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣3x +2＝0无实数根，则k 的取值范围是 k ＞98 ．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣3x +2＝0无实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k ×2＜0且k ≠0，解得k ＞98，故答案为：k ＞98．24．若方程x 2﹣3x ﹣4＝0的两个根分别为x 1和x 2，则1x 1+1x 2= −34 ． 【解答】解：根据题意得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝﹣4，所以1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=3−4=−34． 故答案为−34．25．关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c ＝0的系数满足ac ＞0，则此方程的根x ＝b±√b 2+4ac 2a ．【解答】解：∵ax 2﹣bx ﹣c ＝0，∴△＝b 2+4ac ，∵对于任意实数b ，b 2≥0，ac ＞0，∴b 2+4ac ＞0，∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根．∴x =b±√b 2+4ac 2a ． 故答案为：b±√b 2+4ac 2a ．26．已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣1＝0的两个实数根，则式子3m 2+6m ﹣mn 的值为 4 ．【解答】解：∵m 是方程x 2+2x ﹣1＝0的根，∴m 2+2m ﹣1＝0，∴m 2+2m ＝1，∴3m 2+6m ﹣mn ＝2（m 2+2m ）﹣mn ＝2×1﹣mn ＝2﹣mn ，∵m ，n 是方程x 2+2x ﹣1＝0的两个实数根，∴mn ＝﹣1，∴3m 2+6m ﹣mn ＝2﹣2×（﹣1）＝4．故答案为4．27．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x 步，根据题意，可列方程为 x （x +12）＝864 ．【解答】解：∵矩形的宽为x 步，且宽比长少12步，∴矩形的长为（x +12）步．依题意，得：x （x +12）＝864．故答案为：x （x +12）＝864．28．如果关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有两个相等的实数根，那么实数k 的值是94 ．【解答】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k ＝0，解得k =94．故答案为94． 29．已知关于x 的方程x 2﹣mx +1＝0的一个根为1，那么m 的值是 2 ．【解答】解：当x ＝1时，方程x 2﹣mx +1＝0为12﹣m +1＝0，即2﹣m ＝0，解得m ＝2，故答案为：2．30．已知关于x 的方程a （x +c ）2+b ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x 的方程a （x +c ﹣2）2+b ＝0的两根分别为 3，0 ．【解答】解：方法一：∵方程a （x +c ）2+b ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的两根分别为﹣2，1，∴a （﹣2+c ）2+b ＝0或a （1+c ）2+b ＝0，∴（﹣2+c ）2=−b a 或（1+c ）2=−b a ，∴﹣2+c +1+c ＝0，解得，c＝0.5，∴（﹣2+0.5）2=−b a，∴−ba=94，∵a（x+c﹣2）2+b＝0，∴（x+0.5﹣2）2=9 4，解得，x1＝3，x2＝0，故答案为：3，0．方法二：∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，∴方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为：﹣2+2＝0或1+2＝3，故答案为：3，0．三．解答题（共20小题）31．解方程：（1）5x2﹣3x＝x+1；（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．【解答】解：（1）将方程整理为一般式为5x2﹣4x﹣1＝0，则（x﹣1）（5x+1）＝0，∴x﹣1＝0或5x+1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣0.2；（2）∵x（x﹣2）＝3x﹣6，∴x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，则（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．32．若一元二次方程x2﹣x＝1的两个实数根分别为x1，x2，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值．【解答】解：∵x2﹣x＝1，∴x2﹣x﹣1＝0，∴x1+x2＝1、x1x2＝﹣1，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝﹣1﹣1+1＝﹣1．33．已知关于x 的方程2x 2﹣5x +k ＝0的一个根是1，求k 的值和另一个根．【解答】解：将x ＝1代入原方程，得：2×12﹣5×1+k ＝0，解得：k ＝3，∴原方程为2x 2﹣5x +3＝0，∴方程的另一个根为52−1=32． 34．已知：关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是1，求另一个根．【解答】（1）证明：∵a ＝1，b ＝﹣（m ﹣1），c ＝﹣m ，∴△＝b 2﹣4ac ＝[﹣（m ﹣1）]2﹣4×1×（﹣m ）＝m 2+2m +1＝（m +1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：将x ＝1代入原方程，得：12﹣（m ﹣1）×1﹣m ＝0，解得：m ＝1，∴原方程为x 2﹣1＝0，∴方程的另一个根为0﹣1＝﹣1．35．“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x 元/件（20≤x ≤40）．（1）请用含售价x （元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．【解答】解：（1）∵该商品的售价为x 元/件（20≤x ≤40），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，∴每天能售出该工艺品的件数为60+3（40﹣x ）＝（180﹣3x ）件．（2）①依题意，得：（x ﹣20）（180﹣3x ）＝900，整理，得：x 2﹣80x +1500＝0，解得：x 1＝30，x 2＝50（不合题意，舍去）．答：该商品的售价为30元/件．②0.5×（180﹣3×30）＝45（元）．答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．36．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0∴n＝4，m＝4．根据上述材料，解答下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x+2y的值；（2）已知a﹣b＝6，ab+c2﹣4c+13＝0，求a+b+c的值．【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝x2﹣2xy+y2+y2﹣2y+1＝（x﹣y）2+（y﹣1）2＝0，∴x﹣y＝0，y﹣1＝0，∴y＝1，x＝1，∴x+2y＝1+2＝3；（2）∵a﹣b＝6，即a＝b+6，代入得：b（b+6）+c2﹣4c+13＝0，整理得：（b2+6b+9）+（c2﹣4c+4）＝（b+3）2+（c﹣2）2＝0，∴b+3＝0，c﹣2＝0，解得b＝﹣3，c＝2，则a＝3，则a+b+c＝3﹣3+2＝2．37．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，化简：|1−m|+√m2+4m+4．【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4（m﹣1）2﹣4（m2+5）＞0，即﹣8m﹣16＞0，解得：m＜﹣2，则|1−m|+√m2+4m+4＝|1﹣m|+|m+2|＝1﹣m﹣m﹣2＝﹣2m﹣1．38．解方程：（2x+3）2＝（x﹣1）2．【解答】解：方法一：∵（2x+3）2＝（x﹣1）2，∴2x+3＝x﹣1或2x+3＝1﹣x，解得x1＝﹣4，x2=−2 3．方法二：∵（2x+3）2＝（x﹣1）2，∴（2x+3）2﹣（x﹣1）2＝0，则（2x+3+x﹣1）（2x+3﹣x+1）＝0，∴3x+2＝0或x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2=−2 3．39．解下列一元二次方程（1）x2+4x﹣8＝0（2）（x﹣3）2＝5（x﹣3）【解答】解：（1）∵x2+4x﹣8＝0，∴x2+4x＝8，则x2+4x+4＝8+4，即（x+2）2＝12，∴x+2＝±2√3，∴x1＝﹣2+2√3，x2＝﹣2﹣2√3；（2）∵（x﹣3）2＝5（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣5（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣3﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣8＝0，解得x1＝3，x2＝8．40．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．【解答】解：（1）根据题意得：△＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，解得：m＜0．∴m的取值范围是m＜0．（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝12，∴(x1+x2)2−2x1x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），∴m的值是﹣2．41．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？【解答】解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：20（1+x）2＝28.8，解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为20%．（2）设每杯售价定为a元，由题意得：（a﹣6）[300+30（25﹣a）]＝6300，解得：a1＝21，a2＝20．∴为了能让顾客获得最大优惠，故a取20．答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．42．解下列方程（x ﹣2）2﹣9＝0．【解答】解：∵（x ﹣2）2﹣9＝0，∴（x ﹣2）2＝9，∴x ﹣2＝±3，∴x ﹣2＝3或x ﹣2＝﹣3，解得，x 1＝5，x 2＝﹣1．43．解方程：x 2+5＝6x ．【解答】解：x 2+5＝6x ，x 2﹣6x +5＝0，（x ﹣1）（x ﹣5）＝0，x ﹣1＝0，x ﹣5＝0，x 1＝1，x 2＝5．44．如图1，有一张长40cm ，宽20cm 的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm ，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm 2，求纸盒的高．【解答】解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×3）÷2＝17（cm ），纸盒底面长方形的宽为20﹣2×3＝14（cm ）．答：纸盒底面长方形的长为17cm ，宽为14cm ．（2）设当纸盒的高为xcm 时，纸盒的底面积是150cm 2，依题意，得：(40−2x)2×（20﹣2x ）＝150，化简，得：x 2﹣30x +125＝0，解得：x 1＝5，x 2＝25．当x ＝5时，20﹣2x ＝10＞0，符合题意；当x ＝25时，20﹣2x ＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．答：若纸盒的底面积是150cm2，纸盒的高为5cm．45．已知关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．【解答】解：根据题意得k≠0且△＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤94且k≠0，∵x1+x2=−3k，x1x2=1k，而x1+x2+x1x2＝4，∴−3k+1k=4，解得k＝1，经检验，k＝1为分式方程的解，∴k的值为1．46．已知Rt△ABC的两条直角边长为一元二次方程x2+kx+12＝0的两根．（1）当k＝﹣7时，求Rt△ABC的周长；（2）当Rt△ABC为等腰直角三角形时，求k的值及△ABC的周长．【解答】解：（1）当k＝﹣7时，方程为x2﹣17x+12＝0，解得x1＝3，x2＝4，此时直角三角形的两直角边分别为3，4，所以斜边为√32+42=5，所以Rt△ABC的周长为3+4＝5＝12；（2）当Rt△ABC为等腰直角三角形时，即一元二次方程x2+kx+12＝0的两根相等，则△＝k2﹣4×12＝0，解得k＝±4√3，因为两直角边的和为﹣k＞0，所以k＝﹣4√3，所以两直角边为2√3，2√3，所以斜边为2√3×√2=2√6，所以△ABC的周长为2√3+2√3+2√6=4√3+2√6．47．在实数范围内，对于任意实数m、n（m≠0）规定一种新运算：m⊗n＝m n+mn﹣3，例如：3⊗2＝32+3×2﹣3＝12．（1）计算：（﹣2）⊗（﹣1）；（2）若x⊗1＝﹣27，求x的值；（3）若（﹣y）⊗2的最小值为a，求a的值．【解答】解：（1）（﹣2）⊗（﹣1）＝（﹣2）﹣1+（﹣2）×（﹣1）﹣3=−32；（2）由题意得x⊗1＝x+x﹣3＝﹣27，解得x＝﹣12；（3）（﹣y）⊗2＝y2﹣2y﹣3＝（y﹣1）2﹣4，∵（y﹣1）2﹣4的最小值为﹣4，∴a的值为﹣4．48．小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率．（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？【解答】解：（1）设每月盈利的平均增长率为x，依题意，得：6000（1+x）2＝7260，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：每月盈利的平均增长率为10%．（2）7260×（1+10%）＝7986（元）．答：按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到7986元．49．解方程：（1）x2﹣16＝0；（2）4x2+1＝﹣4x．【解答】解：（1）x2﹣16＝0，x2＝16，x＝±4，即x1＝4，x2＝﹣4；（2）4x2+1＝﹣4x，4x2+4x+1＝0，（2x+1）2＝0，2x+1＝0，即x1＝x2=−1 2．50．解方程：（1）3x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0．（2）3x2﹣5x﹣1＝0．【解答】解：（1）3x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，（x﹣4）（3x﹣2）＝0，x﹣4＝0，3x﹣2＝0，x1＝4，x2=2 3；（2）3x2﹣5x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣1）＝37，x=5±√37 2×3，x1=5+√376，x2=5−√376．第21 页共21 页。

湖南省2021年中考数学真题分项汇编—专题02 整式和因式分解(含答案解析)

湖南省2021年中考数学真题分项汇编—专题02 整式和因式分解(含答案解析)

专题02 整式和因式分解一、单选题1. （2021·湖南衡阳市·中考真题）下列运算结果为的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方法则逐项计算即可.【详解】A选项, , 不符合题意；B选项, , 不符合题意；C选项, , 符合题意；D选项, , 不符合题意．故选: C.【点睛】本题考查同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方和积的乘方法则．同底数幂相乘, 底数不变, 指数相加；同底数幂相除, 底数不变, 指数相减；幂的乘方, 底数不变, 指数相乘；积的乘方, 等于把积的每一个因式的积的乘方, 再把所得的幂相乘．2. （2021·湖南中考真题）下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据零指数幂, 特殊角三角函数值, 算术平方根的定义, 同底数幂乘法的计算法则分别计算即可. 【详解】解: A., 此选项正确；B., 此选项错误；C., 此选项错误；D., 此选项错误；故选: A.【点睛】本题考查零指数幂, 特殊角三角函数值, 算术平方根的定义, 同底数幂乘法, 熟知相关计算法则即定义是解决本题的关键.3．（2021·湖南中考真题）已知, 下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据合并同类项、整式的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即可得.【详解】A., 此项错误, 不符题意；B., 此项错误, 不符题意；C., 此项正确, 符合题意；D., 此项错误, 不符题意；故选: C.【点睛】本题考查了合并同类项、整式的乘法、同底数幂的除法、积的乘方, 熟练掌握各运算法则是解题关键．4. （2021·湖南娄底市·中考真题）下列式子正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据幂的乘方, 底数不变, 指数相乘;同底数幂相乘, 底数不变指数相加;合并同类项法则. 对各选项分析判断后利用排除法求解选择正确选项即可.【详解】A、, 因为不属于同类项, 不能进行加减合并, 故A错误；B.,故B正确；C., 故C错误；D., 故D错误．故选: B.【点睛】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项, 熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．5. （2021·湖南张家界市·中考真题）下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】直接利用合并同类项, 完全平方差公式、幂的乘方、同底数幂的除法来计算即可.【详解】解: A, 不能合并同类项, 故选项错误, 不符合题意；B, , 故选项错误, 不符合题意；C, , 故选项正确, 符合题意；D, , 故选项错误, 不符合题意；故选: C.【点睛】本题考查了合并同类项, 完全平方差公式、幂的乘方、同底数幂的除法, 解题的关键是: 熟练掌握合并同类项, 完全平方差公式、幂的乘方、同底数幂的除法的基本运算法则．6. （2021·湖南常德市·中考真题）下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项可直接进行排除选项.【详解】A.原计算错误, 该选项不符合题意；B.原计算错误, 该选项不符合题意；C.原计算错误, 该选项不符合题意；D.正确, 该选项符合题意；故选: D.【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项, 熟练掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项是解题的关键．7. （2021·湖南中考真题）下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】分别根据同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则、二次根式的性质以及完全平方公式分别计算各项后, 再进行判断即可得到答案.【详解】解: A., 故选项A计算错误, 不符合题意；B., 故选项B计算错误, 不符合题意；C., 此选项计算正确, 故符合题意；D.故选项D计算错误, 不符合题意；故选: C.【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方运算、二次根式的性质以及完全平方公式, 熟练掌握运算法则是解答此题的关键．8. （2021·湖南长沙市·中考真题）下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方法则逐项判断即可得.【详解】A., 此项正确；B., 此项错误；C., 此项错误；D., 此项错误；故选: A.【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方, 熟练掌握各运算法则是解题关键．9. （2021·湖南岳阳市·中考真题）下列运算结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】逐一分析各选项, 利用对应法则进行计算即可判断出正确选项.【详解】解: A选项中: , 因此错误；B选项中: , 因此错误;C选项中: , 因此正确；D选项中: , 因此错误；故选: C.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、平方差公式、乘方的运算性质等内容, 解决本题的关键是牢记相关运算法则和公式即可．二、填空题10. （2021·湖南株洲市·中考真题）计算: __________.【答案】.【分析】根据单项式乘以单项式法则以及同底数的幂的乘法, 底数不变, 指数相加, 计算即可．【详解】解: .故答案: .【点睛】本题考查单项式乘以单项式, 熟练掌握单项式乘以单项式法则, 同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．11. （2021·湖南长沙市·中考真题）分解因式：______.x x【答案】(2021)【分析】利用提公因式法进行因式分解即可得.【详解】解: ,故答案为: .【点睛】本题考查了利用提公因式法进行因式分解, 熟练掌握提公因式法是解题关键．12. （2021·湖南株洲市·中考真题）因式分解：__________.【答案】()232x x y -【分析】直接提出公因式即可完成因式分解.【详解】解: ;故答案为: .【点睛】本题考查了提公因式法进行因式分解, 解决本题的关键是找到它们的公因式, 提出公因式后再检查分解是否彻底即可, 本题为基础题, 考查了学生对基础知识的掌握与运用．13. （2021·湖南岳阳市·中考真题）因式分解: ______.【答案】.【详解】解: .故答案为: .【点睛】此题考查了运用公式法因式分解, 熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键．14. （2021·湖南邵阳市·中考真题）因式分解：______.【答案】()()x y x y x -+【分析】提公因式与平方差公式相结合解题.【详解】解: ,故答案为: .【点睛】本题考查因式分解, 涉及提公因式与平方差公式, 是重要考点, 难度较易, 掌握相关是解题关键． 15. （2021·湖南衡阳市·中考真题）因式分解：__________.【答案】()33a a b -【分析】利用提取公因式法因式分解即可【详解】解:故答案为:()33a a b -【点睛】本题考查提取公因式法因式分解, 熟练掌握因式分解的方法是关键16．（2021·湖南中考真题）若x, y 均为实数, , , 则______；_______．【答案】20211【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等计算法则进行等量代换即可.【详解】解: ∵,∴, ,4347(43)(47)202120212021xy xy x y y x y x x y +⋅=⨯=⨯=，故答案为: 2021；∵=4)3(4347202147xy xy xy xy =⋅⨯，即20212021xy x y +=，∴xy x y =+， ∴111x y x y xy++==， 故答案为: 1.【点睛】本题主要考查同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点, 熟练掌握以上知识点的运算法则是解决本题的关键.17．（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：, , , ……, 已知按一定规律排列的一组数：, , , ……, , 若, 用含的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将, , , ……, 用含的代数式表示, 再计算的和, 即可计算的和.【详解】由题意规律可得：.∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++==， ∵22991001012222222+++++=-，∴10123991002222222=++++++12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++3248=2m m m m m m =+++=． ……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++． 令012992222S ++++=①12310022222S ++++=②②-①, 得 ∴10010110110199992222222m m m ++++=+++=100(21)m -故答案为: . 【点睛】本题考查规律问题, 用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键.18．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格, 其中第一个图形有个正方形, 所有线段的和为4, 第二个图形有个小正方形, 所有线段的和为12, 第三个图形有个小正方形, 所有线段的和为24, 按此规律, 则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1.2.3和4个图案找出普遍规律, 进而得出第n 个图案的规律为Sn=4n+2n ×(n -1), 得出结论即可.【详解】解: 观察图形可知:第1个图案由1个小正方形组成, 共用的木条根数第2个图案由4个小正方形组成, 共用的木条根数第3个图案由9个小正方形组成, 共用的木条根数第4个图案由16个小正方形组成, 共用的木条根数…由此发现规律是:第n 个图案由n2个小正方形组成, 共用的木条根数故答案为: 2n2+2n.【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类, 熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．三、解答题19. （2021·湖南衡阳市·中考真题）计算: .【答案】23x【分析】利用完全平方公式,平方差公式,单项式乘以多项式的法则, 计算合并同类项即可【详解】解:22222=+++-+-x y y x y x xy4x4442=.3x【点睛】本题考查了完全平方公式, 平方差公式, 单项式乘以多项式, 合并同类项, 熟练掌握公式, 准确合并计算是解题的关键.20. （2021·湖南中考真题）先化简, 再求值: , 其中.【答案】, 7.【分析】先计算完全平方公式、平方差公式, 再计算整式的加减法, 然后将代入求值即可得.【详解】解：原式,25=+，x将代入得: 原式.【点睛】本题考查了整式的化简求值, 熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键.21. （2021·湖南长沙市·中考真题）先化简, 再求值: , 其中.【答案】, 1.【分析】先计算完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式, 再计算整式的加减, 然后将的值代入即可得.【详解】解：原式,=-，2x将代入得: 原式.【点睛】本题考查了整式的化简求值, 熟练掌握整式的运算法则是解题关键．。

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2021年中考数学复习题
6．下列说法正确的是（ ）
A ．a 是单项式，它的系数为0
B ．3x +3xy ﹣3y 2+5是一个多项式
C ．多项式x 2﹣2xy +y 2是单项式x 2、2xy 、y 2的和
D ．如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3
【解答】解：A ．a 是单项式，它的系数为1，故本选项不合题意；
B .3x +3xy ﹣3y 2+5不是整式，故本选项不合题意；
C ．多项式x 2﹣2xy +y 2是单项式x 2、﹣2xy 、y 2的和，故本选项不合题意；
D ．如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3，正确，故本选项符合题意．
故选：D ．
7．已知2x ﹣1与35互为倒数，则x 的值是（ ） A ．43 B ．34
C ．13
D ．14 【解答】解：根据题意得2x ﹣1=53，
2x =53
+1， 2x =83，
x =43，
故选：A ．
8．对方程7x−53=−1−5x−14
进行去分母，正确的是（ ） A ．4（7x ﹣5）＝﹣1﹣3（5x ﹣1）
B ．3（7x ﹣5）＝﹣12﹣4（5x ﹣1）
C ．4（7x ﹣5）＝﹣12+3（5x ﹣1）
D ．4（7x ﹣5）＝﹣12﹣3（5x ﹣1） 【解答】解：方程
7x−53=−1−5x−14
进行去分母得：4（7x ﹣5）＝﹣12﹣3（5x ﹣1）， 故选：D ． 9．已知a ，b 两数在数轴上对应的点如图所示，在下列结论中，①b ＞a ；②a +b ＞0；③a
﹣b＞0；④ab＜0；⑤b
a
＞0；正确的是（）
A．①②⑤B．③④C．③⑤D．②④【解答】解：根据数轴上点的位置得：b＜0＜a，且|b|＞|a|，
∴b＜a，a+b＜0，a﹣b＞0，ab＜0，b
a
＜0，
故选：B．
10．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，如果AB＝CD，那么比较AC与BD的大小关系为（）
A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．不能确定
【解答】解：根据题意和图示可知AB＝CD，而CB为AB和CD共有线段，故AC＝BD．故选：C．。

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