线性代数期中考试试卷
线代期中(A类)试卷及答案 (2)
一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二． 计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。
线性代数期中考试试卷
线性代数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 设矩阵A是一个3阶方阵，如果A的行列式值为0，则下列哪个结论是正确的？A) A是可逆的B) A的秩小于3C) A的迹等于0D) A的逆矩阵存在2. 对于向量组的线性相关性，以下哪个说法是错误的？A) 非零向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其他向量线性表示B) 零向量与任何向量线性相关C) 一组向量线性无关，则它们不能表示为其他向量的线性组合D) 两个向量线性无关，它们可以构成一个平面3. 如果一个向量空间的基由n个向量构成，则该向量空间的维数是：A) 0B) nC) 1D) 24. 以下哪个矩阵不是正交矩阵？A) 单位矩阵B) 反射矩阵C) 对称矩阵D) 旋转矩阵5. 线性变换的核是变换的零向量，以下哪个说法是正确的？A) 核是变换的像B) 核是变换的值域C) 核是变换的零空间D) 核是变换的基二、填空题（每空1分，共10分）6. 若矩阵B是矩阵A的转置，则称矩阵B是矩阵A的_________。
7. 向量空间V中，若向量v满足Av=0，其中A是矩阵，则称v是A的_________。
8. 一个向量空间的基的向量个数称为该向量空间的_________。
9. 若矩阵A的秩等于其行数，则称矩阵A是_________的。
10. 线性变换的像空间是变换的_________。
三、解答题（每题15分，共30分）11. 证明如果矩阵A和矩阵B可交换，则它们的迹相等。
12. 给定两个向量v1和v2，证明它们线性无关的充分必要条件是它们构成的矩阵的行列式不为零。
四、应用题（每题15分，共30分）13. 已知矩阵A和向量b，求解线性方程组Ax=b。
14. 给定一个线性变换T: R^3 → R^2，其矩阵表示为T，求T的核和像，并证明核和像的直和等于R^3。
五、附加题（10分）15. 讨论矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3阶方阵A的特征值和特征向量的计算方法。
福建师范大学线性代数期中卷
6、计算 n 阶行列式
a a (1) Dn = L a a + xn 其中x1 x2 L xn ≠ 0 a a L L a a + x2 L a a a + x1 a L a a ,
L L a + xn −1 L a L
0 (2) Dn = y L y
x 0 L y
L L L L
x x L 0 , 其中 x ≠ y
7. 已知 A 的伴随矩阵 4 3 3 ∗ A = diag ( , , ,9), 3 2 2 −1 −1 且A B = E + A BA, 求B
x1 + (1 + λ ) x2 + x3 = 3 8、解线性方程组 (1 + λ ) x1 + x2 + x3 = 0 x + x + (1 + λ ) x = λ 3 1 2
21222324ab计算3设ab为三阶方阵且14如果均是可逆阵问a是否可逆
10 5 2 0 4 1、设 D= 0 、 1 1 2 4 1 1 7 2 0 2
D的（i,j）元的代数余子式记为 的 ）
Aij
，
求 D 和 A21 + A22 + A23 + A24 的值
2、设 A = (1, 2,3, 4 ) , B = ( 2, −1, 0,3) ,
附加题、 附加题、 证明：任何秩为r的矩阵都可以表示为r 证明：任何秩为r的矩阵都可以表示为r 个秩为1的矩阵之和. 个秩为1的矩阵之和.
T T
计算 A B 和 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB
T
T
3、设A，B为三阶方阵，且 、 为三阶方阵， 求
A =-1，B = 2
解析几何与线性代数(二)期中试卷
《解析几何与线性代数(二)》期中试卷一. 单项选择题1.两个同级矩阵相似的充分必要条件是( )A. 它们有相同的因子B.两个矩阵相等C.两个矩阵互逆D.两个矩阵的行列式相等2. f(x 1x 2……x n ) 是一实二次型,对于任意一组不全为零的实数x 1x 2……x n, 如果都有f(x 1x 2……x n )<0,那么f(x 1x 2……x n )称为 ( )A. 负定B. 半正定C. 半负定D.不定3.下列说法错误的是( )A. 2341是一个4级排列B.对换改变排列的奇偶性C. 2341是一个奇排列D. 45321是一个奇排列4.找出下面错误的结论( )B. 次数≧1的复系数多项式的分解式是若干个一次因式的乘积C. 次数>1的复系数多项式都可约D. n 次复系数多项式有n 个复根E. n 次复系数多项式复根的个数可能少于n 个5.下面结论中有一个是错误的,它是( )A. 次数≧1的实系数多项式在复数域上至少有一个根B. 次数≧1的实系数多项式在复数域上至少含有一个一次因式C. 复系数域上所有次数大于1的多项式一定可分解为两个次数比它低的多项式的乘积D. 复数域上任意多项式都至少有一根6.下面的结论中有一个是错误的,它是( )A. 若非零有理系数多项式在有理域上可约,那么它在整数环上可约B. 若非零整系数多项式在有理域上可约,那么它在整数环上可约C. 若非零整系数多项式在整数环上可约,那么它在有理域上可约7.A 是s 行n 列的矩阵,B 是t 行m 列的矩阵,AB 满足什么条件时才能相加?( )A. s=n,t=mB.n=m,a ij =b ijC.s=t,n=mD.s=m,n=t8.当多项式f(x),g(x)满足以下哪个条件时互素?( )A.(f(x),g(x))=0B. (f(x),g(x))=1C. (f(x),g(x))=2D. (f(x),g(x))=39.45321是一个多少级的排列( )A.3B.4C.5D.610. 5．计算此排列415362的逆序数为（ ）。
线性代数期终考试卷
线性代数期终考试卷一、 试卷一1)填空题（每小题4分，共20分）（1）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300220111,则A T A= （2）在分块矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O C B O 中，已知1-B 、1-C 存在，则=-1A（3）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963042321，B 为三阶非零矩阵，满足AB=O ，则r(B)= （4）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡3152X=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1264，则X= （5）三次代数方程321842184211111x x x--=0的根是2）选择题（每小题3分，共15分）（1）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231332221131211a a a a a a a a a ,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a P 1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010，P 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001，则必有（ ） (A)AP 1P 2=B (B)AP 2P 1=B(C)P 1P 2A=B (D)P 2P 1A=B(2)设A 是三阶矩阵，A*是其转置伴随矩阵，又k 为常数k ≠0,1±，则(kA)*=( ) (A)kA* (B)k 2A* (C)k 3A* (D)31A* (3)若r(A)=r<n,则n 元线性代数方程Ax=b ( ) （A ） 又无穷多个解 (B)有唯一解 (C)无解 (D)不一定有解(4)下列说法中正确的是（ ）(A ）对向量组kαα,,1 ，若有全不为零的数k c c ,,1 使011=++k k c c αα ，则k αα,,1 线性无关(B) 若有全不为零的数k c c ,,1 使011≠++k k c c αα ，则kαα,,1 线性无关(C)若向量组kαα,,1 线性相关，則其中每个向量皆可由其余向量线性表示 (D)任何n+2个n 维向量必线性相关(5)矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100的特征值是（ ） (A)1，1，0 (B)-1，1，1 (C)1，1，1 (D) 1，-1，-13）（每小题6分，共12分）（1）计算行列式D= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+y y x x1111111111111111 （2）已知q 1=T⎥⎦⎤⎢⎣⎡313131,q 2=T⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21021，求q 3，使Q=[]321q q q为正交阵。
线性代数期中考试试题+答案
线性代数期中考试试题+答案.⼀、填空题（共30分，每填对⼀空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿⽅向(1,2,3)有最⼤⽅向导数，最⼤⽅向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ?=?22y x y+， 22z x ?=?()2222xyx y -+．.3、函数(,)z z x y =由⽅程230zx y z e ++-=确定；则 z x ?=?21z x e -， z y ?=?231z y e -．4、微分⽅程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．.5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+??，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =??14，(,)f x y =14xy +．⼆、单项选择题（共20分，每题4分）=+，则点=的全微分d d dz f x yO(D) ．(0,0)(A) 不是(,)f x y的连续点；(B) 不是(,)f x y的极值点；(C) 是(,)f x y的极⼤值点；(D) 是(,)f x y的极⼩值点．..2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．.3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+??，332sin()d d DI x y x y =+??，443sin()d d DI x y x y =+??，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．.4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则()d d D．(A)11d ()d x f xy y -??； (B) 2002d ()d y f xy x ??；(C) 2sin 20d (sin cos )d f r r πθθθθ??； (D)2sin 2d (sin cos )d r f r r πθθθθ??．.5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的⼀个充分条件是 (D) ． (A) (,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=；(C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)0x y f x y f →-=．.三、（10分）求微分⽅程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．解特征⽅程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次⽅程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分设原⽅程的特解* 2()xy ax b e =+并代⼊原⽅程，解得: *2xy xe = -----9分原⽅程的通解: 212xxxy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L：2226x y zx y z++=++=在点(1,2,1)P-处的切线和法平⾯⽅程．解对x求导，得2220 10x yy zzy z''++=?''在点(1,2,1)P-处，211y zy z''-+=-''+=-，得0y'=，1z'=-------6分切线⽅程：121101x y z-+-==------8分法平⾯⽅程：0x z-=-----10分..五、（10分）计算⼆重积分 2(3)d d DI x y x y =+??，其中D ：221x y +≤．22(96)d d (9)d d DDI x y xy x y x y x y =++=+（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2D Dx y x y x y x y x y ??=+++=+ （轮换对称性） -------4分213055d d 2r r πθπ==?------10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯26x y z +-=的最近点、最远点．解点(,,)x y z 到平⾯的距离26x y z +--，---2分设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分.令 2224(26)402(26)202(26)20210xyz L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=??'=+--+=??'=-+--+=??'=++-=? ------6分解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P -- -----10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯∏：26x y z +-=的最近点、最远点．解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球⾯S 过0P 切平⾯⽅程1000:2 1.x x y y z z ∏++=令12//∏∏，有:0002211x y z ==-， (1)⼜： 22221x y z ++=， (2)解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --.定理设0000(,,)P x y z S ∈，⽽S 为实⼆次曲⾯22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H, Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则⼆次曲⾯S 在0000(,,)P x y z 处的切平⾯⽅程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=.七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞内⼆阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =满⾜22220z zx y+=，求()f u ．解u =，则()z xf u x u'=，222232()()z y x f u f u x u u ?'''=+?； ()z y f u y u'=，222232()()z x y f u f u y u u ?'''=+?. --4分.代⼊原⽅程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分从⽽ 1()u f u c '=。
线性代数期中测试题
－24
b a L b
的值为多少？ 的值为多少？ (a + ( n − 1)b )(a − b )
n −1
M
M
M
M
b b b L a n× n 5． 如果非齐次线性方程组 Ax = b （ b ≠ 0 ）中方程个数少于未知数个数，那 中方程个数少于未知数个数， ．
么 (a) Ax = b 必有无穷多解； 必有无穷多解； (b) Ax = 0 必有非零解； 必有非零解； (c) Ax = 0 仅有零解； 仅有零解； (d) Ax = b 一定无解。 一定无解。 因为秩(A)< 未知数个数 请说明理由 (b) 因为秩
答案将于今日中午12点在公共邮箱公布 答案将于今日中午 点在公共邮箱公布 下次上课点评 xxdaishu@ 密码： 密码： cumtdaishu
5
答案
6
1．已知 a = [1 , 1 , 3] , b = [2, 0 , 2] , 则 (ba ) ．
T T T
2008
2 2 6 = 8 2007 0 0 0 2 2 6
2
=?
−1
=?
3．设 3 阶方阵的列分块矩阵 A = [a1 , a 2 , a 3 ] ，且 det A = 3 ，若三阶方 ． 阵 B = [ a1 ,−2a 2 ,3a 3 ] ，则 A + B =?
a b b L b b a b L b 4．n 阶行列式 D = b b a L b ．
的值为多少？ 的值为多少？
（3）有无穷多解 ）
2 A=λ 4
λ
−1 5
−1
1 = 0 且 R( A) = R([A, b])
线性代数期终考试卷
线性代数期终考试卷一、 试卷一1)填空题（每小题4分，共20分）（1）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300220111,则A T A= （2）在分块矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O C B O 中，已知1-B 、1-C 存在，则=-1A（3）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963042321，B 为三阶非零矩阵，满足AB=O ，则r(B)= （4）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡3152X=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1264，则X= （5）三次代数方程321842184211111x x x--=0的根是2）选择题（每小题3分，共15分）（1）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231332221131211a a a a a a a a a ,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a P 1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010，P 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001，则必有（ ） (A)AP 1P 2=B (B)AP 2P 1=B(C)P 1P 2A=B (D)P 2P 1A=B(2)设A 是三阶矩阵，A*是其转置伴随矩阵，又k 为常数k ≠0,1±，则(kA)*=( ) (A)kA* (B)k 2A* (C)k 3A* (D)31A* (3)若r(A)=r<n,则n 元线性代数方程Ax=b ( ) （A ） 又无穷多个解 (B)有唯一解 (C)无解 (D)不一定有解(4)下列说法中正确的是（ ）(A ）对向量组kαα,,1Λ，若有全不为零的数k c c ,,1Λ使011=++k k c c ααΛ，则k αα,,1Λ线性无关(B) 若有全不为零的数k c c ,,1Λ使011≠++k k c c ααΛ，则kαα,,1Λ线性无关(C)若向量组kαα,,1Λ线性相关，則其中每个向量皆可由其余向量线性表示 (D)任何n+2个n 维向量必线性相关(5)矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100的特征值是（ ） (A)1，1，0 (B)-1，1，1 (C)1，1，1 (D) 1，-1，-13）（每小题6分，共12分）（1）计算行列式D= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+y y x x1111111111111111 （2）已知q 1=T⎥⎦⎤⎢⎣⎡313131,q 2=T⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21021，求q 3，使Q=[]321q q q为正交阵。
x09线性代数期中考试卷及答案详解
(C) B 2 − A 2 = ( B + A)( B − A)
(C) A + B = A + B
(D)
A⋅B = A ⋅ B
) (D) A1,A2 都不一定可逆
⎛ A1 7. 设分块矩阵 A = ⎜ ⎜A ⎝ 3
O⎞ ⎟ ，其中的子块 A1, A2 为方阵，O 为零矩阵，若 A 可逆，则 ( A2 ⎟ ⎠
n
设
⎛1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎟ A=⎜ ⎜ ⎟ ，则 A = 1 ， B = 1 ，而 A + B = 0 ， A − B = 4 ⎜ 1⎟ ⎟, B=⎜ − 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7. (C)； 解：由于 A = 8. (B)； 解：用初等矩阵去左乘一个矩阵 A，相当于对 A 作相应的初等行变换，故选项(C)(D)不正确；由于题设初等矩阵是由 E 作 初等行变换 r2 ↔ r3 得到的，因此选项(B)正确。 9. (B)； 解：显然 P 是可逆矩阵，根据矩阵秩的性质，有 R ( PA) = R ( A) = 2 ，选项(B)正确。 10. (C) 解：对于非齐次线性方程组 Ax=b，①有解的充要条件 R( A) = R( A, b) ，[等价命题为：无解的充要条件 R( A) ≠ R( A, b) ]； ②有唯一解的充要条件是 R ( A) = R ( A, b) = A 的列数(即未知量的个数)； ③有无穷多解的充要条件是 R ( A) = R ( A, b) < A 的列数。 故选项(C)正确。
线代期中考试卷及答案详解
2012《线性代数》期中考试试卷及答案详解一、单项选择题 (每小题4分，共20分) 1. 下列各式中，哪个是5阶行列式det (a ij )的项( B )(A) 5541342312a a a a a (B) 2451421533a a a a a (C) 4124335215a a a a a (D) 5433451122a a a a a解 根据n 阶行列式的定义，行列式的算式中，每一项都是不同行、不同列的n 个数的乘积，并且带有符号：(1) 若行标排列是标准排列，则该项的符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；(2) 若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；(3) 若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断).题中每个选项都是5阶行列式不同行、不同列的5个数的乘积，因此，需进一步判断各项是否带有正确的符号.选项(A)错误。
其行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t (23415)=3, 故，列标排列为奇排列，(或者，由于将列标排列23415变成标准排列12345需要进行奇数次对换，也可得23415为奇排列)。
所以选项(A)缺少“-”.选项(B)正确。
其行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标排列和列标排列的逆序数之和t (31452)+t (35214)=4+6=10，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a 15a 24a 33a 42a 51，此时列标排列54321为偶排列，故取“+”.同理，选项(C)和(D)错误，都应带“-”.2. 已知n 阶行列式D =1，将D 逆时针旋转90o ，得行列式D ~，则D ~的值为( C )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (n -1)/2 (D) (-1)n /2解 将D 逆时针旋转90o ，相当于对D 先作转置(这不会改变行列式的值)，再作上下翻转[即交换n (n -1)/2次相邻行的位置，每次交换都改变行列式的符号]，因此，应选(C).参见“行列式的性质”布置的思考题，或者教材习题一第7题的解答.3. n 阶行列式D n =0的必要条件是( D )(A) 有一行(列)元素全为零 (B) 有两行(列)元素对应成比例 (C) 各列元素之和皆为零(D) 以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解解 选项(A)(B)(C)都是D n =0的充分条件(但不是必要条件). 只有选项(D)为充分必要条件.4. 已知A , B 均为n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，则下列命题中正确的是( D ) (A) 若AB ，则A B(B) 若(A -E )(B -E )=O ，则A =E 或B =E (C) A 2-B 2=( A +B )( A -B ) (D) A 2-E =( A +E )( A -E )解 答案为(D).选项(A)错误，反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112B 选项(B)错误。
线性代数期中考试试题
考试科目:线性代数与解析几何(期中)2012年10月
题号
一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二
三
四
五
总分
分数
评卷人
1.已知 、 、 与 + + 均为单位向量，则 。
2.抛物面 与抛物面 所围成
空间立体，在 平面上的投影区域面积为 。
3.已知 ，则 中x的一次项系数为 。
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.以下平面中，与直线 垂直的平面是（）。
A． B．
C． D．
1.计算行列式 的值。
2.已知行列式。
3.计算行列式
4.求过点 且与直线 和 都相交的直线方程。
5.求三张不同平面 、
与 所有交点的坐标。
6.过点 ,且与平面 和 平行.
1.设 为一平面在三坐标轴上的截距， 为原点与该平面之间的距离，求证： 。
线性代数期中试卷
[H3PO4 Ka1=7.6×10-3 、
Ka2=6.3×10-8 、
Ka3=4.4×10-13]（ ）
A.12.36 B.2.12 √C.7.21 D.6.91
1.在10ml0.10 mol·L-1KBr溶液中加入8
ml0.10 mol·L-1AgNO3溶液，则形成胶体溶液
的胶团结构表示式为：
。
1.溶胶粒子区别于其它分散系的本质特征是（ ）
√A.粒子的直径
B.粒子的电学性质
C.粒子的光学性质 D.粒子吸附带电
2.测定血红素等大分子摩尔质量最好方法是（ ）
A.沸点升高法
B.凝固点下降法
√C.渗透压法
D.蒸气压下降法
3. 等 质 量 摩 尔 浓 度 的 下 列 物 质 ① C6H12O6② HCOOH③Na2SO4④KNO3的凝固点由高到低的顺序 正确的是（ ）
6.标准平衡常数表示式中各组分分压或浓度为平 衡时的分压或浓度。
7.PH3是sp2杂化，是平面三角形结构，是非 极性分子。 8.酸碱质子理论认为：酸碱反应的实质是质 子的转移。 9.KW是水的离子积常数，与温度无关。
10.质量作用定律适用于复杂反应。
1.（8分）测得某难挥发非电解质稀溶液的凝 固点下降值为0.56K，求该物质在310K时的渗透 压。（已知Kf=1.86）
2.（10分）配制1.0L，pH=9.80，c（NH3） =0.10mol·L-1的缓冲溶液。需用6.0 mol·L-1的 NH3·H2O多少ml和固体（NH4）2SO4多少克？（已 知Kb（NH3）=1.8×10-5，（NH4）2SO4摩尔质量 132g·mol-1）
10.下列量子数不合理的一组是（ ） A.3，0，0，－1/2 B. 2，1，－1，＋1/2 C. 2，1，1，＋1/2 D√. 3，0，1，－1/2
苏州大学线性代数期中课程试卷
六.(12分)为何值时下列线性方程组
(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多解,有无穷多解时请求出解.
七.(8分)已知A为n阶可逆对称矩阵,B为n阶对称矩阵,证明：当E+AB可逆时，(E+AB)–1A为对称矩阵
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3.(6分)解方程 = 0.
三.(8分)若矩阵A,B满足AB=BA,则称A,B可交换.求出所有与
A= 可交换的矩阵ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ其中ij(请写出过程).
四.(8分)证明：当ab时,
Dn=
五.(8分)已知：A,B,C为三阶可逆阵,A= ,B= ,
资料仅供参考！
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线性代数期中测验
线性代数期中测验一、 选择题1.设行列式==1111034222,1111304zy x zy x 则行列式（ ） A.32 B.1C.2D.38 2.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ ）A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n ）3.设3阶方阵A 的行列式为2，则12A -=( ) A.-1 B.14-C.14D.1 4.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵,且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为（ ）A.-8B.-2C.2D.85.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211333a a a a a a a a a ，P =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001，Q =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100013001，则B =（ ） A.P A B.AP C.QA D.AQ6.已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ）A.若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2B.若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2C.若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0D.若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为07．设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，则|2A *|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 8.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量，若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.129.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有A. α1，α2，α3，α4线性无关B. α1，α2，α3，α4线性相关C. α1可由α2，α3，α4线性表示D. α1不可由α2，α3，α4线性表示10．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2 B. 3 C ．4 D ．511.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )A. α1, α2,β线性无关B. β不能由α1, α2线性表示C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一12.设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )A.0B.1C.2D.313．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( )A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出二、 填空题1.设行列式304222,532D =-其第3行各元素的代数余子式之和为__________.2.设方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，且数0,λ<则λ=__________.3.行列式111123149=___________.4．设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，k 为正整数，则A k = ． 5．设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则矩阵A =__________． 6．设同阶方阵A ，B 的行列式分别为-3，5，则det （AB ）=_________.7．三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________.8.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为________________. 9.设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则|A |=__________________.10.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.三、 解答题1.求行列式D=.0120101221010210的值2.计算行列式D =333222c c b b a a c b a cb a +++的值。
线性代数期中测试题及答案
一、填空题（每小题5分，共30分）1、三阶方阵A=1230 0 0 0 0 0λλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（其中1230 λλλ≠）的逆矩阵A -1 = 。
2、已知A= 3 5 01-1 -2 02 0 0 2⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A*是矩阵A 的伴随矩阵，则 (A*)-1 = 。
3、n 阶方阵A ，B 满足A+B=AB ，则B-E 可逆且（B-E ）-1 = 。
4、A 为三阶方阵， 1A =，则 1*(2) A A -- =________ 。
5、A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对调得到矩阵B ，则 AB -1 = 。
6、111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121111132221212332313133 a a a a B a a a a a a a a +⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，10 1 01 0 00 0 1P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2 1 0 10 1 00 0 1P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B = 。
（用12,,A P P 表示B ）答案：1、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 0 /10 1/ 0 1/ 0 0 123λλλ 2、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2 0 0 0 2- 1-0 5 3 2 3、A-E 4、-1/8 5、E n (i,j ) 6、A P 2P 1二、（30分）1、计算行列式123410123110125D =--- （10分）解：7014101231107-25D =---327 1 4 (1)(1) 1 1 2 7 -2 -5+=-- 6 0 21 1 2 9 0 -1=226 2(1)-249 -1+=-=2、计算行列式D n = a a a b a a b aa b a a b a a a----(a ≠-b ) (10分)解：将第2、3、…、n 列同时加到第一列，并提取公因子，得n 1 a a b 1 a b aD [(n 1)a b] .................................1 b a a 1 a a a--=---0 0 0 -b-a 0 0 -b-a 0[(n 1)a b] .................................0 -b-a 0 0 1 a a a=--n(n 1)n 1n 12(1)(1)(b a)[(n 1)a b]---=--+--(n 1)(n 2)n 12(1)(a b)[(n 1)a b]-+-=-+--3、求下列矩阵的逆矩阵（10分）11000130000020********001A ⎛⎫⎪- ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭答案： 341400014140000012000001200001-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪⎝⎭三、（40分）1. 已知011111010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，112113B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且满足AX +B =X ，用初等变换法求X （10分） 解：由AX +B =X 知 B =X -AX =(E -A )X()100011111010111101001010011E A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭且10E A -=≠所以E -A 可逆，由此得1()XE A B -=-()111111012101113E A B ---⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭010121012101113---⎛⎫⎪−−→-⎪⎪⎝⎭ 010121002200101---⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ 100220101200101⎛⎫ ⎪−−→ ⎪⎪⎝⎭2、已知矩阵A =0 1 01 2 00 0 -1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A *是矩阵A 的伴随矩阵，若矩阵B 满足（B-E ）-1 =A *-E ， 求矩阵B 。
线性代数B期中考试试题
中国农业大学 2014~2015学年秋季学期 线性代数（B ）课程期中考试试题、一、填空题（本题满分15分，共5道小题，每道小题3分） 1．设B A ,都是5阶矩阵,且2,31=-=-B A ,则B A = .2．A 是34⨯矩阵，其秩()1R A =，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0030000108532001B ，则()R BA = .3．设A是n阶矩阵，E为单位矩阵，EAA T =，1-=A ,则()=*TA .·4.已知矩阵(0,1,0,1).Tα=若矩阵T E b αα+是矩阵2T E αα+的逆矩阵（其中b是数），则b = ．5设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+432132ηη，则该方程组的通解为 .二、选择填空题（本题满分１５分，共有５道小题，每道小题３分）．以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中．1． 设A 为n 阶方阵，且A A =2.则以下结论正确的是（ ）. @(A)A =0或者A E =； (B)A 不可逆； (C)A 能写成一些初等矩阵的乘积； (D) A =0或者A E 0-=．2．设n 阶矩阵A 与B 等价,则下列结论不正确的是（ ）. (A) ()()R A R B = ； (B)；当0=A 时,0=B、考生诚信承诺1.本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行。
2．本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信。
学院： 班级： 学号： 姓名： >(C) A B =； (D)A 与B 有相同的标准形． 3. n 维向量12,,,(3)s s n ααα≤≤线性无关的充分必要条件是( )3.n 维向量12,,,(3)s s n ααα≤≤线性无关的充分必要条件是( )(A ) 存在不全为零的数12,,,s k k k ，使11220s s k k k ααα++≠．"（B ）12,,,s ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示． （C ） 12,,,s ααα中任意两个向量线性无关．（D ） 12,,,s ααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示．4. 已知C B A ,,均为n 阶可逆矩阵,且E ABC =, 则下列结论一定成立的是（ ）．（A ）E ACB =；（B ）E BCA = ；（C ）E CBA =； （D ）E BAC =． （5. 设A 为m n ⨯矩阵，且m n <，若A 的行向量组线性无关，则( ) (A) 方程组=Ax b 有无穷多解；(B) 方程组=Ax b 仅有零解； (C) 方程组=Ax b 无解；(D) 方程组=Ax 0仅有零解． 三、（14分）计算行列式(1)45555555344444442333333312222222233445233445233445233445⨯---⨯---⨯---⨯---》><(2)计算n 阶行列式nn a a a a a a D n n 1321112211----=--【 [ ||四、（6分）已知)(33E A A A -=，证明：A E -可逆，并求1)(--A E ． — ~（学院： 班级： 学号： 姓名： 五、（10分）已知矩阵X 满足193AX A X A X E *-+=+，其中E 为单位矩阵，,200120012⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求X.$· $ `; 六、(10分) 设r r αααβααβαβ+++=+== 2121211,,,,且向量组r ααα,,,21 线性无关,证明向量组r βββ,,,21 线性无关. 》 ,七、（12分）当k为何值时，线性方程组1232123123424x x kxx kx x kx x x++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩有唯一解，并求出该解．\—-<# ￥学院： 班级： 学号： 姓名： 八、(10分)求向量组()12011=α，()10212=α，()03123=α，()41524-=α，()13115--=α的秩和最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示：九 (8分）设n阶方阵A满足：()．证明：A可以表示成r个秩为1的R A r矩阵之和．。
线性代数期中测验题
n 1
T
2. 设 A 是 n阶 方 阵 , 满 足 A A
求 A+E .
T
E E 是 n 阶 单 位 矩 阵 , A 是 A的 转 置 矩 阵 , A 0,
3.设n阶方阵A的伴随矩阵为 A 且
2 4.设 A 1 1 2 1 2 3 1 A . 0 ,求 1
3.作业提交时间:第十五周周一上课时间,各组把打印好的作业交给 助教.
说明: 教学9班,10班做第一题; 教学11班,12班做第二题.
2.某地区有三个重要产业:一个煤矿、一个发电厂和一条 地方铁路.开采1元钱的煤,煤矿要支付0.25元的电费及0.25 元的运输费.生产1元钱的电力,发电厂要支付0.65元的煤 费、0.05元的电费及0.05元的运输费.创收1元钱的运输费, 铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内,煤 矿接到外地金额为50000元的订货,发电厂接到外地金额 为25000元的订货,外界对地方铁路没有需求.问三个企业 在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求? 作业要求A 5,来自试求 5 A .
5.
2 x1 x 2 x 3 1 6. 取何值时,方程组 x1 x 2 x 3 2 无解,有唯一解, 4 x 5 x 5 x 1 2 3 1
有无穷多解?并在有无穷多解时,写出方程组的通解.
二.应用题(共1道题)
1.一组同学先讨论每道题目,再在word中作出答案,每组用A4纸打印 一份答案上交即可.作业首页中要有完成作业同学的姓名和学号. 汉字一律用宋体小四号字体,数字和英文字母一律用Times New Roman小四号字,1.2倍行距,所有数学公式均在Mathtype软件中编辑 好再粘贴到word中.
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线性代数期中考试试卷（06）一、判断下列各题是否正确1．1．若A、B是同阶方阵，则（A＋B）2 ＝A＋2AB＋B 2。
（）2．2．矩阵A、B的积AB＝0，则A＝0或B＝0。
（）3．3．设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC＝E，则BCA＝E。
（）4．4．设A为一任意矩阵，则A＋A T，AA T均为对称矩阵。
（）5．5．设对矩阵A施行初等变换得到矩阵B，且已知秩(A)＝r，秩(B)=s,则r= s。
（）二、选择题（单选，括号中填所选项前的字母）1．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=++229873232321xtxxxxxx存在非零解，则常数t = [ ]。
（A）2（B）4（C）－2（D）－42．设有n阶方阵A与B等价，则[ ]。
(A)| A | = | B | (B) | A | ≠| B | (C) 若| A |≠0,则必有| B |≠0 (D) | A | = －|B |3．若A为n阶可逆矩阵，下列各式正确的是[ ]。
（A）（2A）-1 = 2 A-1(B) |2A| = 2 | A | (C) ()AAA11*--=(D) (A-1 )T = ( A T )-14．设611521112344321--=A，则4A41+3A42+2A43+A44 = [ ](A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 35．已知可逆方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-21731A，则A＝[ ]。
（A）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3172（B）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3172（C）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2173（D）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21736．设矩阵A、B、C满足AB＝AC，则B＝C成立的一个充分条件是[ ]。
(A) A为方阵（B）A为非零矩阵(C) A为可逆方阵(D) A为对角阵7．4321111321434324321)(xxxxxf=，则x4的系数是[ ]。
(A) 2 (B) 1 (C) -1 (D) -2三、计算下列各题1．1．求111111ΛMOMMΛΛ=A2．2．已知AB＝A＋2B，其中矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=32111324A，求矩阵B。
3．3．已知A、B为4阶方阵，且｜A｜＝－2，｜B｜＝3，求(1) | 5AB | ; (2) |- A B T | ;(3) | ( AB )-1 |。
4．4．已知AP＝PB，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112121,11PB，求矩阵A及A5。
5．5．设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3512121ΛΛΛΛOΛnnA，求其逆矩阵。
四、证明题：1．1．设方阵A满足A2－A－2E＝0，证明：A和A＋2E都可逆。
2．2．设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，证明：(A*)*=|A|n-2 A。
3．3．设A为n阶方阵，且A 2 = A，证明：r(A) + r (A－E) =线性代数期中考试解答（06）一、判断下列各题是否正确6．1．若A、B是同阶方阵，则（A＋B）2 ＝A＋2AB＋B 2。
（×）7．2．矩阵A、B的积AB＝0，则A＝0或B＝0。
（×）8．3．设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC＝E，则BCA＝E。
（√）9．4．设A为一任意矩阵，则A＋A T，AA T均为对称矩阵。
（√）10．5．设对矩阵A施行初等变换得到矩阵B，且已知秩(A)＝r，秩(B)=s,则r= s。
（√）二、选择题（单选，括号中填所选项前的字母）1．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=++229873232321xtxxxxxx存在非零解，则常数t = [ D ]。
（A）2（B）4（C）－2（D）－42．设有n阶方阵A与B等价，则[ C ]。
(A)| A | = | B | (B) | A | ≠| B | (C) 若| A |≠0,则必有| B |≠0 (D) | A | = －|B |3．若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是 [ D ]。
（A ）（2A ）-1 = 2 A -1 (B) |2A | = 2 | A | (C)()A A A 11*--=(D) (A -1 )T = ( A T )-14．设6115210112344321--=A ，则4A 41+3A 42+2A 43+A 44= [ A ](A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 35．已知可逆方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-21731A ，则A ＝ [B ]。
（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3172 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3172 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2173 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2173 6．设矩阵A 、B 、C 满足AB ＝AC ，则B ＝C 成立的一个充分条件是 [ C ]。
(A) A 为方阵 （B ）A 为非零矩阵 (C) A 为可逆方阵 (D) A 为对角阵7．432011113214304324321)(x x x x x f =，则x 4的系数是 [ C ]。
(A) 2 (B) 1 (C) -1 (D) -2 三、计算下列各题6． 1． 解：011101110ΛMO M M ΛΛ=A ＝（－1）n-1 (n-1)7． 2． 已知AB ＝A ＋2B ，其中矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011324A ，求矩阵B 。
()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==--91221006920106830013211210110113243222;)2(1行初等变换解：AE A B A B E A Θ8． 3． 已知A 、B 为4阶方阵，且｜A ｜＝－2，｜B ｜＝3，求 (1) | 5AB | ; (2) |- A B T | ;(3) | ( AB )-1 |。
解：(1) ｜5AB ｜＝54｜A ｜｜B ｜＝-3750(2) ｜-AB T ｜＝（－1）4｜A ｜｜B ｜＝-6 (3) ｜（AB ）-1｜＝｜AB ｜-1＝－1/6已知AP ＝PB ，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112012001,100000001P B ，求矩阵A 及A 5。
.,;;;116002001;114012001,155155121121111A PBP A B B P PB A P PB PBP PBP A PBP A PBP A P P =======⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---------故而解：先求Λ9． 4． 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3500001200000000000100000200000010ΛΛΛΛO Λn n A ，求其逆矩阵。
解：,250000130000000)1/(100002/1000000100/100025132,0)1/(1000002/10000110001,0111201,0121101,0001000200001012001,2001111111111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---------ΛΛM M M ΛOM MO ΛOM M ΛΛΛO Λn nA A n n A A A A A A A n n A A A A A A A A 分块成分块成四、证明题：4． 1． 设方阵A 满足A 2－A －2E ＝0，证明：A 和A ＋2E 都可逆。
()() 亦可逆。
故 又可逆，故证：由已知有E A A E A E A A A E E A A E E A A E A A 22.21212)(2212+=+-==-⋅⇒=-⇒=--5． 2． 设A 为n 阶可逆矩阵(n ≥2)，证明：(A *)*=|A | n -2 A 。
()()()()AA A A A A E A AE A A AA A E A A A E A AA A A A A A n n n 2**1***********11*;,;;,----==⇒====⋅=∴于是两边同左乘同理又可逆，证：Θ6． 3． 设A 为n 阶方阵，且A 2 = A ，证明：r (A ) + r (A －E ) = n 。
()nE A r A r n E A r A r A E r A r A E A r E r n A E r E A r n E A r A r r n E A r r A r E A A A A ＝故有于是又于是则 组，若将其看作齐次线性方程即证：由已知 )()()()(),()()()();()(.)()(,)()(0,02-+≥-+-+≤-+==-=-≤-+-≤-==-=-。