2019年第十一届全国大学生数学竞赛

1 x
= 2k
在区间 (0, 1)
内有实根，求常
数 k 的取值范围.
3
三 、(13 分) 设 f 是一连续函数
(a)
令
g(t1,
t2)
=
f
(t1)·f
(t2)，证明
Leabharlann Baidu∫t
0
dt1
∫ t1
0
g(t1,
t2)dt2
=
1 2
(∫0t
f
(x)dx)2.
(b) 请把上述结果推广到 g 为 3 元函数的情形，并证明之.
形式:


01

0
... ...
1
(1)
1
0
特别地，m = 1 时，上式为 1 阶矩阵 (1). 设 n 阶矩阵 A 的每一行每
一列元素均为一个 1，其余元素均为 0，证明:A 与如下形式准对角矩
阵 J 相似，其中

J1 . . .

(2)
Js
其中 (2) 式中的 Ji(i = 1, 2, · · · , s) 均为形如 (1) 式的矩阵.
4
四
、(13
分)
设 f (x) 是
[0,
+∞)
上的单调递减函数，且
∫∞
0
f (x)dx
收敛，
试证 lim xf (x) = 0.
x→∞
5
五
、(12 分) 设 对于 |x| < 1
3
，a2幂=级a数1 =∑a∞ n>=10a,naxnn+−11=收a敛n +，2并an求−1其, n和=函2数, 3.,
·
·
·
，证明:
6
六 、(15 分) 设 A 是复数域上的一个 n 阶方阵，f (x) = |xE − A| 是 A 的特征多项式，g(x) 是一个复系数多项式. 证明:g(A) 是可逆的充分必 要条件为 g(x) 与 f (x) 互素.
7
七 、(20 分) 将 m 阶单位矩阵的第一行移到最后一行所得矩阵具有如下
2019 年 (第十一届) 全国大学生数学竞赛 (数学类)
预赛模拟试题
一 、(15 分) 设点 P, Q, R 分别分三角形的边 AB, BC, CA 成定比 l, m, n， 证明: 三点 P, Q, R 共线的充要条件为 lmn = −1.
1
2
二
、(12 分) 已知方程
1 ln(1 + x)
−