北京市初二数学竞赛试题(含解答)
八年级数学竞赛试题及参考答案
八年级数学竞赛试题及参考答案八年级数学竞赛试题(一)一、选择题（每小题5分，共30分） 1．已知2220082008,2ca b a b c k k +=-==++=，且那么的值为（ ）． A ．4 B ．14 C ．－4 D ．14- 2．若方程组312433x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨+=⎩的解为，，且，则的取值范围是（ ）． A ．102x y <-<B ．01x y <-<C ．31x y -<-<-D ．11x y -<-< 3．计算：2399100155555++++++=（ ）．A ．10151- B ．10051- C ．101514- D ．100514-4．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（ ）． A ．100° B ．105° C ．110° D ．120°5．已知5544332222335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（ ）． A ．a b c d >>> B ．a b d c >>> C ．b a c d >>> D ．a d b c >>> 6．如果把分数97的分子、分母分别加上正整数913a b 、，结果等于，那么a b +的最小 值是（ ）．A ．26B ．28C ．30D ．32 二、填空题：（每小题5分，共30分）（第4题图）DCB（第15题图）EDCBA7．方程组200820092007200720062008x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是 ．8．如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ：∠COG=4：7，则∠GOH= ．9．小张和小李分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，第一次在距A 地5千米处相遇，继续往前走到各地（B 、A ）后又立即返回，第二次在距B 地4千米处两人再次相遇，则A 、B 两地的距离是 千米．10．在△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且2∠B=5∠A ，若∠B 的最大值为m °，最小值为n °，则m °+n °= ．11．已知21()()()04b c b c a b c a a a+-=--≠=，且，则 ． 12．设p q ，均为正整数，且7111015p q <<，当q 最小时，pq 的值为 ． 以下三、四、五题要求写出解题过程． 三、（本题满分20分）13．在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数． 四、（本题满分20分）14．已知2211x x y y x y =+=+≠，，且． ⑴ 求证：1x y +=． ⑵ 求55x y +的值．五、（本题满分20分）15．如图，在△ABC 中AC ＞BC ，E 、D 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAD=∠ABE ，AE=BD ．求证：∠BAD=12∠C ．G（第8题图）HOFED CBA参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 二、填空题： 7、21x y =⎧⎨=⎩ 8、72.5° 9、11 10、175° 11、2 12、68213、解：依题意得：A+B=16，B+C=20，C+D=34∵A ＜B ＜C ＜D ，∴A ＜8，B ＞8，B ＜10，C ＞10，C ＜17，D ＞17 由8＜B ＜10且B 只能取整数得，B=9 ∴C=11，D=23，A=7答：A 、B 、C 、D 各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。
2020北京 初二数学竞赛 数论专题：整数的整除性质(包含答案)
2020北京 初二数学竞赛 数论专题：整数的整除性质（含答案）1. 下面这个41位数20555L 123个2099L 23个能被7整除，问中间方格代表的数字是几？ 解析 因为5555555111111=⨯，9999999111111=⨯，11111137111337=⨯⨯⨯⨯，所以555555和999999都能被7整除，那么由18个5和18个9分别组成的18位数，也能被7整除．而原数=185230555000L L 123123个个1851890999+L L 123123个个，因此右边的三个加数中，前后两个数都能被1整除，那么只要中间的能被7整除，原数就能被7整除．把拆成两个数的和：5599BA B +.因为7|55300，7|399336+=．评注 记住111111能被7整除很有用．2. 一位魔术师让观众写下一个六位数a ，并将a 的各位数字相加得b ，他让观众说出a b -中的5个数字，观众报出1、3、5、7、9，魔术师便说出余下的那个数，问那个数是多少？解析 由于一个数除以9所得的余数与这个数的数字和除以9所得的余数相同，所以a b -是9的倍数．设余下的那个数为x ，则()9|13579x +++++，即 ()9|7x +，由于09x ≤≤，所以，2x =．3. 若p 、q 、21p q -、21q p-都是整数，并且1p >，1q >．求pq 的值． 解析 若p q =，则212112p p q p p--==- 不是整数，所以p q ≠．不妨设p q <，于是2121212p q q q q q--<<=≤， 而21p q -是整数，故211p q-=，即21q p =-．又 214334q p p p p--==- 是整数，所以p 只能为3，从而5q =．所以3515pq =⨯=．4. 试求出两两互质的不同的三个正整数x 、y 、z 使得其中任意两个的和能被第三个数整除．解析 题中有三个未知数，我们设法得到一些方程，然后从中解出这些未知数．不妨设x y z <<，于是y z x +、z x y +、x y z+都是正整数．先考虑最小的一个：12x y z z z z++<=≤， 所以1x y z+=，即z x y =+．再考虑z x y +，因为()|y z x +，即()|2y y x +，所以|2y x ，于是2212x y y y <=≤， 所以21x y=，即2y x =，从而这三个数为x 、2x 、3x ．又因为这三个数两两互质，所以1x =．所求的三个数为1、2、3．5. 证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．解析 要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．设三个连续的奇数分别为21n -、21n +、23n +（其中n 是整数），于是 ()()()()22222121231121n n n n n -+++++=++． 所以 ()()()22212|212123n n n ⎡⎤-++++⎣⎦． 又()2111n n n n ++=++，而n 、1n +是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以()1n n +是偶数，从而21n n ++是奇数，故()()()22224212123n n n ⎡⎤-++++⎣⎦Œ． 6. 若x 、y 为整数，且23x y +，95x y +之一能被17整除，那么另一个也能被17整除． 解析 设23u x y =+，95x y =+．若17|u ，从上面两式中消去y ，得3517v u x -=．① 所以 17|3v ．因为（17，3）=1，所以17|v 即17|95x y +．若17|v ，同样从①式可知17|5u ．因为（17，5）=1，所以17|u ，即17|23x y +．7. 设n 是奇数，求证：60|6321n n n ---．解析 因为260235=⨯⨯，22、3、5是两两互质的，所以只需证明22、3、5能整除6321n n n ---即可．由于n 是奇数，有22|62n n -，22|31n +，所以22|6231n n n ---；又有3|63n n -，3|21n +，所以3|6321n n n ---；又有5|61n -，5|32n n +，所以5|6321n n n ---．所以60|6321n n n ---．评注 我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用2k 表示，奇数常用21k +表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数a 被3除时，余数只能是0、1、2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k 、31k +、32k +这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理．8. 设n 为任意奇正整数，证明：15961000270320n n n n +--能被2006整除．解析 因为200621759=⨯⨯，所以为证结论成立，只需证n 为奇正整数时，15961000270320n n n n +--能被2、17、59整除．显然，表达式能被2整除．应用公式，n 为奇数时，()()121n n n n n a b a b a a b b ---+=+-++L ，()()121n n n n n a b a b a a b b ----=-+++L .由于159610005944+=⨯，2703205910+=⨯，所以15961000270320n n n n +--能被59整除.又159627013261778-==⨯，10003206801740-==⨯，所以15961000270320n n n n +--能被17整除．9. 若整数a 不被2和3整除，求证：()224|1a -．解析 因为a 既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k 、61k +、62k +、63k +、64k +、65k +这六类．由于6k 、62k +、64k +是2的倍数，63k +是3的倍数，所以a 只能具有61k +或65k +的形式，有时候为了方便起见，也常把65k +写成61k -（它们除以6余数均为5）．故a 具有61k ±的形式，其中k 是整数，所以()()222161136121231a k k k k k -=±-=±=±． 由于k 与31k ±为一奇一偶（若k 为奇数，则31k ±为偶数，若k 为偶数，则31k ±为奇数），所以()2|31k k ±，于是便有()224|1a -．10. 求证：31n +（n 为正整数）能被2或22整除，但不能被2的更高次幂整除． 解析 按模2分类．若2n k =为偶数，k 为正整数，则()22313131n k n +=+=+． 由3k 是奇数，()23k 是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设()2381k l =+，于是 ()3182241n l l +=+=+，41l +是奇数，不含有2的因数，所以31n +能被2整除，但不能被2的更高次幂整除． 若21n k =+为奇数，k 为非负整数，则()()()22131313313811461n k k l l ++=+=⋅+=++=+． 由于61l +是奇数，所以此时31n +能被22整除，但不能被2的更高次幂整除．11. 设p 是质数，证明：满足22a pb =的正整数a 、b 不存在.解析 用反证法．假定存在正整数a 、b ，使得22a pb =.令() , a b d =，1a a d =，1b b d =，则()11 , 1a b =.所以222211a d pb d =，2211a pb =，所以21|p a ．由于p 是质数，可知，1|p a .令12a pa =，则22221a p pb =，所以2221pa b =．同理可得，1|p b .即1a 、1b 都含有p 这个因子，这与()11 , 1a b =矛盾．12. 如果p 与2p +都是大于3的质数，那么6是1p +的约数.解析 每一整数可以写成6n 、61n -、61n +、62n -、62n +、63n +中的一种（n 为整数），其中6n 、62n -、62n +、63n +在1n ≥时都是合数，分别被6、2、2、3整除．因此，质数p 是61n -或61n +的形式.如果()611p n n =+≥，那么()263321p n n +=+=+是3的倍数，而且大于3，所以2p +不是质数．与已知条件矛盾．因此()611p n n =-≥．这时16p n +=是6的倍数．评注 本题是将整数按照除以6，所得的余数分为6类．质数一定是61n +或61n -的形式．当然，反过来，形如61n -或61n +的数并不都是质数．但可以证明形如61n -的质数有无穷多个，形如61n +的质数也有无穷多个．猜测有无穷多个正整数n ，使61n -与61n +同为质数．这是孪生质数猜测，至今尚未解决．13. 已知a 、b 是整数，22a b +能被3整除，求证：a 和b 都能被3整除．证 用反证法.如果a 、b 不都能被3整除，那么有如下两种情况：（1）a 、b 两数中恰有一个能被3整除，不妨设3|a ，3b Œ．令3a m =，31b n =±（m 、n 都是整数），于是()222222996133321a b m n n m n n +=+±+=+±+，不是3的倍数，矛盾．（2）a ，b 两数都不能被3整除.令31a m =±，31b n =±，则()()2222223131961961a b m n m m n n +=++±=±++±+()22333222m n m n =+±±+，不能被3整除，矛盾．由此可知，a 、b 都是3的倍数．14. 若正整数x 、y 使得2x x y+是素数，求证：x y ≤. 解析 设2x p x y =+是素数，则()py x x p =-，所以()|p x x p -，故|p x ，或者|p x p -，故可得|p x ，且p x <.令x kp =，k 是大于1的整数，则()1y x k x =-≥．15. 证明：形如abcabc 的六位数一定被7、11、13整除．解析 100171113abcabc abc abc =⨯=⨯⨯⨯． 由此可见，abcabc 被7、11、13整除．16. 任给一个正整数N ，把N 的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的正整数N '，试证明：N N '-被9整除．解析 N 除以9，与N 的数字和除以9，所得余数相同．N '除以9，与N '的数字和除以9，所得余数相同．N 与N '的数字完全相同，只是顺序相反，所以N 与N '的数字和相等．N 除以9与N '除以9，所得的余数相同，所以N N '-被9整除．17. 19991999199919991999N =L 144424443连写个.求N 被11除所得的余数．解 显然，N 的奇数位数字和与偶数位数字和的差为()1999999119998⨯+--=⨯.19998⨯除以11的余数与88⨯除以11的余数相同，即余数为9．从而N 除以11，所得的余数为9．18. 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5分别整除．符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？解析 要命名这个六位数尽可能小，而且能被5整除，百位数字和个位数字都应选0．这样，已知的五个数位上数字之和是5+6+8+0+0=19．要使这个六位数能被3整除，十位上可填2、5、8．由能被4整除的数的特征（这个数的末两位数应该能被4整除）可知，应在十位上填2．这个六位数是568020．19. 已知四位数abcd 是11的倍数，且有b c a +=，bc 为完全平方数，求此四位数． 解析 在三个已知条件中，b c a +=说明给出b 和c ，a 就随之给定，再由11|abcd ，可定d .而bc 为完全平方数，将b 和c 的取值定在两位平方数的十位和个位数字范围中，只要从这个范围中挑选符合要求的即可．由bc 完全平方数，只可能为16、25、36、49、64、81这六种情况．由b c a +=，此时相应的a 为7、7、9、13、10、9．其中13和10显然不可能是四位数的千位数字． 在716d 、725d 、936d 、981d ，这四种可能性中，由11|abcd ，应有()()11|d b a c +-+．()()11|176d +-+时，d 可为1；()()11|275d +-+时，这种d 不存在；()11|396d +-+时，d 可为1；()11|891d +-+时，d 可为2．故满足条件的四位数有：7161、9361、9812．评注 bc 为完全平方数，表示bc 是两位整数，0b ≠，因此，不考虑00、01、04、09这四种情况，否则还应加上1012、4048、9097这三个四位数.20. 用0，1，2，…，9这十个数字组成能被11整除的最大的十位数是多少？解析 因为0+1+2+…+9=45．这个最大十位数若能被11整除，其奇数位上数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）为0或11的倍数．由于这十个数字之和是45（奇数），所以这个差不可能是0、22、44（偶数）．若这个差为33，则只能是396-，但0+1+2+3+4=10，即最小的五个数字之和都超过6，不可能．若这个差为11，()4511228+÷=，452817-=．如果偶数位为9、7、5、3、1，其和为25；奇数位为8、6、4、2、0，其和为20．交换偶数位上的1与奇数位上的4，可得偶数位上的数为9、7、5、4、3，奇数位上的数为8、6、2、1、0．于是所求的最大十位数为9876524130．21. 一个六位数88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？解析 设这个六位数为1234A B ，因为它是88的倍数，而88811=⨯，8与11互质，所以，这个六位数既是8的倍数，又是11的倍数．由1234A B 能被8整除，可知34B 能被8整除（一个数末三位组成的数能被8整除，这个数就能被8整除），所以B 是4．由能被11整除的数的特征（一个数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除，这个数就能被11整除），可知奇数位数字之和与偶数位数字之和的差()()234144A A ++-++=-能被11整除，则40A -=，即4A =．124344881413÷=． 所以，这个六位数是124344，它除以88的商是1413．22. 如果六位数105整除，那么，它的最后两位数是多少？解析 因为这个六位数能被105整除，而105357=⨯⨯，3、5、7这三个数两两互质，所以，这个六位数能同时被3、5、7整除．根据能被5整除的数的特征，它的个位数可以是0或5．根据能被3整除的数的特征，可知这个六位数有如下七种可能：199320，199350，199380，199305，199335，199365，199395．而能被7整除的数的特征是：这个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小）能被7整除．经试算：395199196-=，196能被7整除．所以，199395能被105整除，它的最后两位数是95．23. 形如1993199319931993520n L 1442443个，且能被11整除的最小数是几？ 解析 本题实质上确定n 的最小值．利用被11整除的数的特征：偶数位数字之和与奇位数字之和的差能被11整除．该数的偶数位数字之和为122n +，奇数位数字之和为105n +，两者之差为()12210523n n n +-+=-．要使()11|23n -，不难看出最小的7n =，故所求最小数为71993199319931993520L 1442443个． 24. 是否存在100个不同的正整数，使得它们的和与它们的最小公倍数相等？解析 存在满足条件的100个数．事实上，对任意正整数()3n ≥，下述n 个数3，23⨯，223⨯，…，223n -⨯，13n -，它们的最小公倍数为123n -⨯，和为221222132323233323233n n n n ----+⨯+⨯++⨯+=+⨯++⨯+L L 33211113232333323n n n n n -----=+⨯++⨯+==+=⨯L L ．所以，这几个数的和等于它们的最小公倍数．取100n =，可知存在符合要求的100个数．。
2013年北京市初二数学竞赛试题及解答
（2）同样道理，一个月有 31 天，就不可能仅有星期一的天数比星期二的天数多．
（3）一个月 28 天，则星期一的天数和星期二的天数同样多. 也不会发生“仅有星
期一的天数比星期二的天数多”的情况．
（4）一个月 29 天，1 日是星期一，29 日也是星期一，共有 5 个星期一，4 个星期
二；所以“仅有星期一的天数比星期二的天数多”的情况只能在 29 日的月份里发生．
A
D
B
于是，∠BDE=∠CED−∠DBE=∠A−∠B=∠B=∠DBE，
所以△BDE 是等腰三角形，BE=DE．
因此，BC=BE+CE=AD+AC=8+16=24．
2013 年北京市中学生数学竞赛初二年3 级竞赛试题及解答 共 5页 第 3页
4．已知质数 p 和 q，使得 p3−q5=(p+q)2，则 8( p2013 − p q 2010 5) =
．2013 年北京市中学生数学竞赛 初二年级竞赛试题及解答
2013 年 5 月 12 日 13:00～15:00
一、选择题（满分 25 分，每小题只有一个正确答案，答对得 5 分，将答案写在下面相 应的空格中）
题号
1
2
3
4
5
答案
A
C
D
D
B
1．2013+2012−2011−2010+2009+2008−2007−2006+…+5+4−3−2+1 等于
4
4
5．如图，在直角△ABC 的两直角边 AC、BC 上分别
G
作正方形 ACDE 和 CBFG，连接 DG，线段 AB、BF、FG、
I
2018年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)
2018年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，且这些自然数的和为2018．请问这个学生写出的这17个自然数中，最小的数是多少？（请给出详细解题过程）解：设这17个自然数分别为a1,a2,…,a17，则有：a1+a2+…+a17=2018由于每个自然数的个位数码只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，所以每个自然数的个位数字之和一定是45，即这17个自然数的个位数字之和为765．设b1,b2,…,b17分别为这17个自然数的十位数字，则有：b1+b2+…+b17=765由于每个自然数的十位数字也只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，所以每个自然数的十位数字之和一定是45，即这17个自然数的十位数字之和为765．设c1,c2,…,c17分别为这17个自然数的百位数字，则有：c1+c2+…+c17=765由于每个自然数的百位数字也只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，所以每个自然数的百位数字之和一定是45，即这17个自然数的百位数字之和为765．由此可得，这17个自然数中最小的数为100+10+1=111．一、1.A在1到100这100个自然数中，有25个质数，分别是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.因此，质数在这100个自然数中所占的百分比是25%。
2.C将10分拆成三个正整数之和，共有8种情况：1+1+8、1+2+7、1+3+6、1+4+5、2+2+6、2+3+5、2+4+4、3+3+4.根据“三角形两边之和大于第三边”的原则，只有（2，4，4）和（3，3，4）两组可以构成三角形。
由于等腰三角形的两个底角都是锐角，因此以2、4、4为边的等边三角形中，最小边2对的顶角也是锐角。
以3、3、4为边的等腰三角形中，由3的平方加3的平方大于4的平方可知顶角也是锐角。
最新北京市中学生数学竞赛(初二)
2014年北京市中学生数学竞赛（初二）试题一、选择题（每小题5分，共25分）1.若5=+b a ，则ab bab a b b a a 3224224+++++=（ ） A ．5 B. 253 C. 52 D. 255 2.已知一个面积为S 且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为A 的小正六边形的顶点. 则SA =（ ） A ．41 B. 31 C. 22 D. 23 3.在数29 998，29 999，30 000，30 001中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是（ ）A ．30 001 B. 30 000 C. 29 999 D. 29 9984.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数xy 1=在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3512=-x x . 则=∆AOB S （ ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 14132 5.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ）A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008二、填空题（每小题7分，共35分）1.在1～10 000的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有 个.2.=⨯+++]2015[]2014[]2016[]2015[]2014[]2013[ （][x 表示不超过实数x 的最大整数）.3.在四边形ABCD 中，已知BC=8，CD=12，AD=10，∠A=∠B=60°.则AB= .4.已知M 是连续的15个自然数1，2，…，15的最小公倍数.若M 的约数中恰被这15个自然数中的14个数整除，称其为M 的“好数”.则M 的好数有 个.5.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -的最大值为 .三、（10分）已知0)()()(222=-+-+-b a c a c b c b a .证明：a ，b ，c 三个数中至少有两个相等.四、（15分）在凸四边形ABCD 中，已知∠BAC=30°，∠ADC=150°，且AB=DB.证明：AC 平分∠BCD.五、（15分）某校对参加数学竞赛的选手的准考证进行编号，最小号为0001，最大号为2014.无论哪名选手站出来统计本校其他所有选手准考证号数的平均值时，发现所得的平均值均为整数.问这所学校参加竞赛的选手最多有多少名？参考答案一、选择题（每小题5分，共25分）5.设2 015个整数为1x ，2x ，…，2015x .记1x +2x +…+2015x =M.不妨设M-i x =i （i =1，2，…，2014），M-2015x =A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A 除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当i x =1008-i （i =1，2，…，2014），2015x =1时取到.二、填空题（每小题7分，共35分）4.M=1311753223⨯⨯⨯⨯⨯，则M 的约数中恰能被这15个自然数中的14个整除的有四个，即2M 、3M 、11M 、13M . 5.由题意记S=21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -. 该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如48-+74-+17-+51-+25-+62-+36-+83-=32.三、由左边进行因式分解得到0))()((=---c a c b b a 即可.四、提示：作点B 关于AC 的对称点E ，连接AE 、BE 、DE.则△ABE 为正三角形，下面证明E 、D 、C 三点共线即可.可设∠DBE=θ，可得到∠EDA=30°.五、设该校共有n 名选手参赛，其准考证号依次为20141121=<<<<=-n n x x x x . 依题意知+∈=--++=Z n k n x x x x S k n k ),,2,1(121 . 对任意)1(,n j i j i ≤<≤均有+∈--=-Z n x x S S ij j i 1. 于是，1-≥-n x x i j .故2122111)1()()()(-≥-++-+-=----n x x x x x x x x n n n n n 452013)1(12≤⇒=-≤-⇒n x x n n . 由于112014--n 为整数，从而，1-n 为2013的约数. 注意到，2013=3×11×61不超过45的最大约数为33.于是，n 的最大值为34，即参赛选手最多有34名.这样的34名选手的号码是可以实现的.如2014),33,,2,1(323334==-=x i i x i . 因此，该校参加竞赛的选手最多有34名.。
2019年北京市中学生数学竞赛初二数学竞赛试题
三、解答题共 3 小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
11.
若1−
1 2
+
1 3
−
1 4
+ ··· +
1 1343
−
1 1344
=
m n
,
其中
m,
n
为自然数,
且
(m,
n)
=
1,
求证:
2017 | m.
12. 如图, 在 △ABC 中, 已知 ∠ACB = 45◦, 过 BC 上一点 DAB = HD, 求证: AE2 = 2DH2 + 2DE2.
△AOB 的面积等于 ( )
√ (A) 2 3
(B) 3
√ (C) 3
√
(D)
3 2
5. 设 |xi| < 1, i = 1, 2, · · · , n, 若 |x1| + |x2| + · · · + |xn| = 2016 + |x1 + x2 + · · · + xn|, 则 n 的最小值 为 ( )
2017 年北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题 第 1 页（共 2 页）
8.
不超过 x 的最大整数记为 [x], 若 a
=
√ 6+
√ 6+···+
√ 6, b
=
√
3
6
+
√
3
6
+
·
·
·
+
√3 6,
则
[a + b] = ＿＿＿＿＿ .
2016 层根号
2017 层根号
北京市初二数学竞赛初赛试题(1992)
初二初赛试题一、选择题(每小题6分，满分36分．)1．已知α是等边三角形的一个内角，β是顶角为30°的等腰三角形的一个底角，γ是等腰直角三角形的一个底角．则( )． (A)α<β<γ (B)γ<α<β (C)β<α<γ (D)α<γ<β2．(-2)4的平方根是( )．(A)-4 (B)±4 (C)2 (D)±2 3．下面有四个命题：①两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等； ②两个三角形有两角及一边对应相等，则这两个三角形全等； ③两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等； ④两个三角形的三个角分别对应相等，则这两个三角形全等． 其中真命题是( )．(A)②，③ (B)①，③ (C)③，④ (D)②，④ -4．若P 是两位的正整数，则可能成立的等式是( )，(A)x 2+px+2001＝(x-29)(x-69)(B)x 2+px+2001＝(x-23)(x-87)(C)x 2+px+2001＝(x+23)(x+87)(D)x 2+px+2001＝(x+29)(x+69)5．下面列举的平行四边形的判定条件中，不正确的一个是 ( )。
(A)两组对边分别相等 (B)两组对角分别相等(C)一组对边平行，一组对角相等 (D)一组对边平行，另一组对边相等6．在1 500年以前，我国古代伟大数学家祖冲之计算出圆周率π的七位小数值是3.1415926<π<3.1415927，并取113355为密率，722为约率，则，113355、π、722之间的正确关系是( )． (A) 722< 113355<π (B) 113355<π<722(C)π<113355<722 (D) 722<π<113355二、填空题(每小题8分，满分64分．)1．p 是负整数，且2001+P 是一个完全平方数，则P 的最大值为 2.如图，四边形ABCD 是正方形，△CDE 是正三角形，则∠AEB 的度数为3，若a 、b 都是正整数，且143a+500b ＝2001,则a+b 的值是 4．若有理数x ，y ，z 满足x +1-y +2-z =21(x+y+z)，则(x-yz)3的值为5.如图，将边长为12厘米的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD上的E 点，然后压平得折痕FG ，若GF的长为13厘米，则线段CE 的长为 . 6． 化简后=+++++++722-17562-15422-13302-11202-9122-762-522-37.将1～2001这2001个自然数依次写成一行，组成一个新的自然数，新的自然数除以9的余数为8．已知实数x ，y 满足方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=++6y x 232y xy x 22则|x+y+1|的值是参考答案1.B2.B3.A4.D5.D6.C1.-652.30°3. 94.-1255.76. 27. 68.3+22001年北京市初二年级数学竞赛复赛一、填空题(满分40分，每小题8分) 1．已知有理数x 满足方程200111x x 20011=--，则29x 2001x 43+-= 2．如图所示，正方形ABCD 的面积是64 cm 2，正方形CEFG 的面积是36 cm 2，DF 与BG 相交于点O ，则△DBO的面积等于 cm 2．3．已知a 2+b 2=6ab 且a>b>0，则ba ba -+= 4．化简表达式43333 |17160a 131a |17160a 131a 6 `⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--+-+,所得的结果等于 ． 5．在边长为1cm 的正△ABC 中，P 0为BC 边上一点，作P 0 P 1⊥CA 于点 P 1，作P 1P 2⊥AB 于点P 2，作P 2P 3⊥BC 于点P 3．如果点P 3恰与点P 0重合，则△P 1P 2P 3的面积是 cm 2．二、(15分)证明恒等式：a 4+b 4+(a+b)4=2(a 2+ab+b 2)2．三、(15分)在六张纸片的正面分别写上整数l 、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1～6这六个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出六个数．请你证明：所得的六个数中至少有两个是相同的四、(15分)如图所示，在等腰△ABC 中，延长边AB 到点D ，延长边CA 到点E ，连结DE ，恰有AD=BC=CE=DE ．求证：∠BAC=100° 五、(15分)l 与0交替排列，组成下面形成的一串数101，10101，1010101，101010101…… 请你回答，在这串数中有多少个质数?并请证明你的论断．2002年北京市初二数学竞赛初赛一、选择题(满分36分)1．计算8008160061400413003120021-+-+( ) A ．60061 B ．70073- c 80085 D ．90097-2．2002年8月，将在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则a 3+b 4的值等于( )． A ．35 B ．43 C ．89 D ．973．若20022002………200215(n 个2002)被15整除，则n 的最小值等于( )． A ．2 15．5 C ．4 D ．54．两个边长为3，4，5的直角三角形纸片，可以拼成n 种不同的凸四边形，则n 的值等于( )． A ．6 B ．5 C4 D ．35．已知三角形三个内角的度数都是质数，则这三个内角中必定有一个内角等于( )． A ．2度 15．3度 C ．5度D ．7度6．a 4+4分解因式的结果是( )．A ．(a 2+2a －2)(a 2—2a+2)B ．(a 2+2a--2)(a 2－2a －2)C ．(a 2+2a+2)(a 2—2a －2)D ．(a 2+2a+2)(a 2—2a+2) 二、填空题(满分64分，每小题8分) 1．计算：(1＋3 )2002—2(1+3)200l－2(1+3)20002．如图所示，AC=10，BC=l7，CD⊥AB 于点D ，CD=8，求△ABC 的面积．3．实数a ，b 满足ab≠O，且使得ba b a b b a a +++=+++111，求a+b 的值． 4．在梯形ABCD 中，下底BC=10 cm ，腰CD=5．5 cm ，如果∠ABC=50°，∠ADC=100°，求上底AD 的长．5．已知实数x ，y,z 满足1=+++++y x z x z y z y x ，求．yx z x z y z y x +++++222的值． 6．如图所示，P 是边长为8的正方形ABCD 形外一点，PB=PC ，△PBD 的面积等于48，求△PBC 的面积．7．正数m ，n 满足m+4mn －2m －4n +4n=3，求2002282++-+n m n m 的值．8．一个正整数除以5，7，9及11的余数依次是1，2，3，4．求满足上述条件的最小的正整数．2002年北京市初二数学竞赛初赛 一、选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D 二、填空题1．0 2．84 3．-2 4．4．5 5．0 6．32 7．4011-8．1731 2002年北京市中学生数学竞赛复赛一、填空题(满分40分，每小题8分)1．已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=O ，则(x-y-z)2002= ．2．如图所示，A 在线段BG 上，四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，面积分别为7 cm 2和11 cm 2，则三角形CDE 的面积等于 cm 2． 3．化简：3232-++== ．4．如图所示，四边形ABCD 是正方形，E 为BF 上一点，四边形AEFC 恰是一个菱形，则∠EAB= ．5．有6个学生，每人拥有的书中没有相同的，但每两个人都恰好有一本相同的书，每本书也恰好两个学生拥有，则这6个学生共有不同的书 本． 二、(满分15分)已知abc≠0，证明：四个数,)(,)(,)(,)(3333abcc b a abc b a c abc a c b abc c b a ------++中至少有一个不小于6．三、(满分15分)如图所示，△ABC 是正三角形，△A 1B 1 C 1的三条边A 1B 1、B l C 1、C 1 A 1交△ABC 各边分别于C 2、C 3，A 2、A 3，B 2、B 3．已知A 2C 3=C 2B 3=B 2 A 3，且C 2C 32+B 2B 32=A 2A 32。
八年级初二数学竞赛试习题及参考答案
欢迎阅读八年级数学竞赛试题及参考答案八年级数学竞赛试题(一)一、选择题（每小题5分，共30分） 1．已知2220082008,ca b a b c k k +=-==++=，且那么的值为（ ）． A ．2A ．0x <C ．3-<35++A ．1015- C ．10154E 、F 分别在A ．100C ．1105．已知5544332222335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（ ）． A ．a b c d >>> B ．a b d c >>> C ．b a c d >>> D ．a d b c >>> 6．如果把分数97的分子、分母分别加上正整数913a b 、，结果等于，那么a b +的最小 值是（ ）．A ．26B ．28C ．30D ．32 二、填空题：（每小题5分，共30分） 7．方程组2008200200720062008x y x y -=⎧⎨-=⎩的解8：79n 13．在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数． 四、（本题满分20分）14．已知2211x x y y x y =+=+≠，，且．⑴ 求证：1x y +=． ⑵ 求55x y +的值． 五、（本题满分20分）15．如图，在△ABC 中AC ＞BC ，E 、D 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAD=∠ABE ，AE=BD ．1314、⑴ ⑵ ∴554343322322x y x x y y x x x x y y y y +=+++=+++++++ 15、证明：作∠OBF=∠OAE 交AD 于F∵∠BAD=∠ABE ∴OA=OB又∠AOE=∠BOF∴△AOE ≌△BOF （ASA ） ∴AE=BF ∵AE=BD∴BF=BD ∴∠BDF=∠BFD1、。
数学竞赛初二试题及答案
数学竞赛初二试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. √2C. 0.5D. 3.14答案：B2. 一个等腰三角形的两边长分别为5和10，那么它的周长是多少？A. 20B. 25C. 30D. 无法确定答案：B3. 一个数的平方等于16，这个数是多少？A. 4B. -4C. 4或-4D. 以上都不对答案：C4. 以下哪个表达式等于0？A. (x-1)(x+1)B. (x+1)(x-1)C. x^2 - 1D. x^2 + 1答案：C5. 一个圆的半径是3，那么它的面积是多少？A. 9πB. 18πC. 27πD. 36π答案：C6. 以下哪个是一次函数？A. y = 2x + 3B. y = x^2 + 1C. y = 1/xD. y = x^3 - 2答案：A7. 以下哪个是二次函数？A. y = 2x + 3B. y = x^2 + 1C. y = 1/xD. y = x^3 - 2答案：B8. 以下哪个是反比例函数？A. y = 2x + 3B. y = x^2 + 1C. y = 1/xD. y = x^3 - 2答案：C9. 一个数的立方等于-8，这个数是多少？A. -2B. 2C. -2或2D. 以上都不对答案：A10. 以下哪个是正比例函数？A. y = 2x + 3B. y = x^2 + 1C. y = 1/xD. y = kx（k为常数）答案：D二、填空题（每题4分，共40分）11. 一个数的平方根是4，那么这个数是_________。
答案：1612. 一个数的立方根是-2，那么这个数是_________。
答案：-813. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么它的斜边长是_________。
答案：514. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么它的第5项是_________。
答案：1715. 一个等比数列的首项是2，公比是2，那么它的第4项是_________。
初二数竞赛试题及答案
初二数竞赛试题及答案初二数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 0.33333（无限循环）D. 1/32. 如果一个数的平方等于81，那么这个数是：A. 9B. -9C. 9 或 -9D. 813. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么它的斜边长是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 一个数列的前三项为2, 4, 6，这个数列是：A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 无法判断5. 以下哪个是二次方程的解：A. x = 1/2B. x = 2C. x = -3D. x = 0二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的立方等于-27，这个数是_________。
7. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可以是_________。
8. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是_________。
9. 一个数的平方根是4，那么这个数是_________。
10. 一个数的平方根是-4，那么这个数是_________。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 解方程：2x + 3 = 11。
12. 证明：如果一个三角形的两边分别为a和b，且a < b，那么这个三角形的周长不可能是偶数。
13. 计算：(2x + 3)(x - 4)。
14. 一个圆的半径是5厘米，求它的面积。
四、证明题（每题5分，共10分）15. 证明：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
16. 证明：如果一个数的平方是正数，那么这个数本身是正数或负数。
五、综合题（每题10分，共10分）17. 一个班级有40名学生，其中20名男生和20名女生。
如果随机抽取一名学生，求以下概率：A. 抽到男生的概率。
B. 抽到女生的概率。
C. 如果已经知道抽到的是男生，那么这名男生是班长的概率。
答案：一、选择题1. A2. C3. A4. A5. D二、填空题6. -37. ±58. 49. 1610. 无实数解三、解答题11. 解：2x + 3 = 11，2x = 8，x = 4。
2001年北京市初二数学竞赛(复赛)试卷
2001年北京市初二数学竞赛（复赛）试卷一、填空题（满分40分，每小题8分）1．（8分）已知有理数x满足方程，则＝．2．（8分）如图所示，正方形ABCD的面积是64cm2，正方形CEFG的面积是36cm2，DF 与BG相交于点O，则△DBO的面积等于cm2．3．（8分）已知a2+b2＝6ab且a＞b＞0，则＝．4．（8分）化简表达式，所得的结果等于．5．（8分）在边长为1cm的正△ABC中，P0为BC边上一点，作P0P1⊥CA于点P1，作P1P2⊥AB于点P2，作P2P3⊥BC于点P3．如果点P3恰与点P0重合，则△P1P2P3的面积是cm2．二、（15分）证明恒等式：6．（15分）证明恒等式：a4+b4+（a+b）4＝2（a2+ab+b2）2．三、（15分）7．（15分）在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1﹣6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数．请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．四、（15分）8．（15分）如图所示，在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，恰有AD＝BC＝CE＝DE．求证：∠BAC＝100°．五、（15分）9．（15分）1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，101010101，…，请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论．2001年北京市初二数学竞赛（复赛）试卷参考答案与试题解析一、填空题（满分40分，每小题8分）1．（8分）已知有理数x满足方程，则＝﹣69．【分析】根据条件可，解得x＝0，将x的值代入分式求值即可解答．【解答】解：∵，∴＝0，解得x＝0，将x＝0，代入＝＝﹣69．故答案为﹣69．【点评】本题主要考查解分式方程，根据题意求出未知数的值再代入分式求值是解答本题的关键．2．（8分）如图所示，正方形ABCD的面积是64cm2，正方形CEFG的面积是36cm2，DF 与BG相交于点O，则△DBO的面积等于24cm2．【分析】根据过O作OL⊥CG，则△GOL∽△GBC，利用相似三角形的性质即可得出OL 的长度，进而求出△DBO的面积．【解答】解：过O作OL⊥CG，∵正方形ABCD的面积为64cm2，∴BC＝＝8，∵正方形CEFG的面积为36cm2，∴CG＝＝6，∴BG＝＝10，∵BC＝8，CE＝6，CG＝2，BE＝BC﹣CE＝8﹣6＝2，∵EF∥CG，∴Rt△BEH∽Rt△BCG，∴＝＝，即＝＝，∴BH＝，EH＝，在△DOG与△FOH中，∠DOG＝∠FOH，∵EF∥CG，∴∠HFO＝∠FDC，∴△DOG∽△FOH，∴＝，HF＝EF﹣EH＝6﹣＝，DC+CG＝8+6＝14，OG＝BG﹣BH﹣OH＝10﹣﹣OH＝﹣OH，故＝，∴OH＝，BO＝BH+OH＝+＝．∵△GOL∽△GBC，∴OG＝BG﹣BO＝10﹣＝，＝＝，解得OL＝，∴S△DBO＝S△BDG﹣S△DOG＝DG•BC﹣DG•OL，＝DG×（BC﹣OL），＝×14×（8﹣），＝7×，＝，＝24．故答案为：24．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识，解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，及勾股定理的应用．3．（8分）已知a2+b2＝6ab且a＞b＞0，则＝．【分析】已知a2+b2＝6ab，变形可得（a+b）2＝8ab，（a﹣b）2＝4ab，可以得出（a+b）和（a﹣b）的值，即可得出答案．【解答】解：∵a2+b2＝6ab，∴（a+b）2＝8ab，（a﹣b）2＝4ab，∵a＞b＞0，∴a+b＝，a﹣b＝，∴＝＝．【点评】本题考查了分式的化简求值问题，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a、b的大小关系以及本身的正负关系，属于比较简单的题目．4．（8分）化简表达式，所得的结果等于625．【分析】根据131的平方是17161，判断出＞a，然后去掉绝对值号，约分进行计算即可求解．【解答】解：∵1312＝17161＞17160，∴＞a，∴a﹣＜0，∴＝＝（6﹣1）4＝54＝625．故答案为：625．【点评】本题考查了实数的运算，技巧性较强，根据131的平方大于17160，判断出被开方数开方后大于a，从而去掉绝对值号是解题的关键．5．（8分）在边长为1cm的正△ABC中，P0为BC边上一点，作P0P1⊥CA于点P1，作P1P2⊥AB于点P2，作P2P3⊥BC于点P3．如果点P3恰与点P0重合，则△P1P2P3的面积是cm2．【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求出BD、AD，计算三角形的面积，求出∠CP3P1＝30°，推出CP3＝2CP1，设CP1＝a，AP2＝b，BP3＝c，推出CP3＝2a，AP1＝2b，BP2＝2c，得到方程组，求出a＝b＝c，即可求出a、b、c，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵等边三角形ABC，∴BD＝DC＝，由勾股定理得：AD＝，∴△ABC的面积是×BC×AD＝×1×＝，∵等边三角形ABC，∴∠C＝60°，∵P3P1⊥AC，∴∠CP3P1＝30°，∴CP3＝2CP1，设CP1＝a，AP2＝b，BP3＝c，∴CP3＝2a，同理AP1＝2b，BP2＝2c，∴，解得：a＝b＝c，即3a＝1，∴a＝b＝c＝，2a＝2b＝2c＝，由勾股定理得：P3P1＝P1P2＝P2P3＝，∴△P 1P2P3的面积是S△ABC﹣﹣﹣＝﹣3×××＝，故答案为：．【点评】本题主要考查对三角形的面积，三角形的内角和定理，勾股定理，面积与等积变形，等边三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．二、（15分）证明恒等式：6．（15分）证明恒等式：a4+b4+（a+b）4＝2（a2+ab+b2）2．【分析】先将左边先后运用完全平方式展开及配方的知识进行变形，然后可得出和右边相等的式子，即证明了等式的成立．【解答】解：左边＝（a2+b2）2﹣2a2b2+（a2+2ab+b2）2，＝（a2+b2）2﹣2a2b2+（a2+b2）2+4ab（a2+b2）+4a2b2，＝2（a2+b2）2+4ab（a2+b2）+2a2b2，＝2[（a2+b2）2+2ab（a2+b2）+a2b2]，＝2（a2+ab+b2）2＝右边．故等式成立．【点评】本题考查分式的等式证明，难度不算太大，关键是熟练运用完全平方公式及配方的知识．三、（15分）7．（15分）在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1﹣6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数．请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．【分析】从反面人手，设这6个数两两都不相等，利用|a i﹣bi|与a i﹣b i（i＝1，2，3，4，5，6）的奇偶性相同，引入字母进行推理证明．【解答】证明：设6张卡片正面写的数是a1、a2、a3、a4、a5、a6，反面写的数对应为b1、b2、b3、b4、b5、b6，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，|a3﹣b3|，|a4﹣b4|，|a5﹣b5|，|a6﹣b6|．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值．于是|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|+|a4﹣b4|+|a5﹣b5|+|a6﹣b6|＝0+1+2+3+4+5＝15是个奇数．另一方面，|a i﹣bi|与a i﹣b i（i＝1，2，3，4，5，6）的奇偶性相同．所以|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|+|a4﹣b4|+|a5﹣b5|+|a6﹣b6|与（a1一b1）+（a2一b2）+（a3一b3）+（a4一b4）+（a5一b5）+（a6一b6）＝（a1+a2+a3+a4+a5+a6）一（b1+b2+b3+b4+b5+b6）＝（1+2+3+4+5+6）一（1+2+3+4+5+6）＝O的奇偶性相同，而0是个偶数，15是奇数，两者矛盾．所以，|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，|a3﹣b3|，|a4﹣b4|，|a5﹣b5|，|a6﹣b6|这6个数中至少有两个是相同的．【点评】本题考查了整数的奇偶性问题，难度较大，掌握反证法是解决奇、偶数问题中常用的方法．四、（15分）8．（15分）如图所示，在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，恰有AD＝BC＝CE＝DE．求证：∠BAC＝100°．【分析】过D作DF∥BC，且使DF＝BC，连CF、EF，则四边形BDFC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得到BD＝CF，DA∥FC，再利用SAS判定△ADE≌△CEF，根据全等三角形的性质可得到ED＝EF，从而可推出△DEF为等边三角形，∠BAC＝x，则∠ADF＝∠ABC＝，根据三角形内角和定理可分别表示出∠ADE，∠ADF，根据等边三角形的性质不难证明∠BAC＝100°．【解答】解：∵AD＝BC，说明AB不等于BC，BC＝CE，说明BC不等于AC∴在等腰△ABC中，AB＝AC，过D作DF∥BC，且使DF＝BC，连CF、EF，则四边形BDFC是平行四边形，∴BD＝CF，DA∥FC，∴∠EAD＝∠ECF，∵AD＝CE，由题意知AB＝AC，∴AE＝BD＝CF，在△ADE和△CEF中∴△ADE≌△CEF（SAS）∴ED＝EF，∵ED＝BC，BC＝DF，∴ED＝EF＝DF∴△DEF为等边三角形设∠BAC＝x，则∠ADF＝∠ABC＝，∴∠DAE＝180°﹣x，∴∠ADE＝180°﹣2∠DAE＝180°﹣2（180°﹣x）＝2x﹣180°，∵∠ADF+∠ADE＝∠EDF＝60°∴+（2x﹣180°）＝60°∴x＝100°．∴∠BAC＝100°．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．五、（15分）9．（15分）1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，101010101，…，请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论．【分析】假设有n个1的数为An，首先A1是一个质数，再根据n≥2时An均为合数，分n为偶数与奇数两种情况进行讨论．【解答】解：显然101是质数，假设有n个1的数为An，首先A1是一个质数，当n≥2时An均为合数，当n为偶数时，显然An能被101整除，当n为奇数时，An×11＝111…1（共2n个1），再将它乘以9得999…9（共2n个9），即102n﹣1，即An＝，即An＝＝×，设＝a，＝b，显然b是整数，而一个数被11整除的充要条件是奇偶位和的差能被11整除，而10n+1的奇数位和为1，偶数位和也为1，所以能被11整除，所以a也是一个不为1的整数，所以An不是质数，所以这串数中有101一个质数．故答案为：1．【点评】本题考查的是质数与合数，解答此题的关键是利用分类讨论的思想进行解答．。
2020.7.12 北京初二数学竞赛答案(1)
北京初二数学测试答案时间：8：30-10：30不定项选择，每题5分，多选，漏选，不选，选错均不得分。
1已知xyz =1，2232232233111y x zx y x z x y z y x y z x z y z ++=+++++++++，xy +yz +zx =1.则222x y z ++的值为（）.A.5B.6C.7D.8【解答】C 22322311()()x x x y x z x x y x z x xyz x y x z ==++++++++,故2232222231()()()2()321x xxxxx y x z x x y y z z x x y xyzxy x xyz xyzx ====+++++++⋅-+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑，那么3x =∑，所以22=)-2=9-2=7xx xy ∑∑∑（.2关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，则下列关于a 的说法正确的是（）．A.a 的值有两个B.a 的值有三个C.a 均是偶数D.a 均是正数【解答】BC （1）当0a =时，13x =-不符合题意．（2）当0a ≠时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式24(3)4(2)4(94)a a a a ∆=---=-为完全平方数，故94a -是完全平方数，令294a n -=，n 是正奇数，且3n ≠否则0a =∴294n a -=由求根公式得：1,222(2)234(3)1129a n n n x a a n --±±±==-+=-+-、1413x n =-++，2413x n=-+-要使1x 为整数，而n 是正奇数，只能1n =，从而2a =要使2x 为整数，n 可取1,5,7，从而2,4,10a =--综上：2,4,10a =--.故选BC.3已知x 、y 、z 为实数，323232333333x x x y y y y z z z z x⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，则xyz 的值可能为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】CD4已知关于x 的不等式组255332x t x t x +⎧->⎪⎪⎨+⎪->⎪⎩恰有三个整数根，则t 的取值范围是（）．A．3423t -≤<-B．12372t -≤<-C．12877t -≤<-D．4837t -≤<-【答案】A 【难度】★★★【知识板块】不等式【解析】原不等式组解集为35322t x t +<<-，由于解集中恰有三个整数，故()3232542t t ⎛⎫<--+< ⎪⎝⎭，解得12877t -<<-，所以右端点374532,77t ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即32t -在(]5,6或()6,7，对应的，三个整根必为5,4,3或6,5,4，（1）若三个整根恰为5,4,3，则5326t <-≤、32532t ≤+<，解得3423t -≤<-；（2）若三个整根恰为6,5,4，则6327t <-≤、33542t ≤+<，解得t ∈∅；综上，符合条件的t 的取值范围为3423t -≤<-．【备注】容易猜答案，只需代入端点尝试即可5如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边BC 、CD 上的点，连接AE 、AF ，与对角线BD分别交于点G 和点H ，连接EH ．则下列结论中正确的是（）A ．若222BG HD GH +=，则45EAF ∠=︒B ．若BE DF EF +=，则45EAF ∠=︒C ．若AH ⊥EH ，则45EAF ∠=︒D ．若E 、F 分别为边BC 、CD 的中点，则45EAF ∠=︒【答案】ABC6如图，在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的图形．注意到当a 的取值发生变化时，原直角三角形的形状会发生变化，则下列说法中正确的是（）A ．无论a 为何值，原直角三角形的斜边长都可能为B ．当a 变化时，原直角三角形最多有两种情形（大小，形状或位置不同均算不同情形）C ．当3a =时，原直角三角形的面积为18或12D ．当a 变化时，原直角三角形的面积并没有最大值【解答】CDA ：如图，当点A 为原直角三角形斜边中点时，斜边长为不过，此种情况要求4a <，当4a ≥时，此种情况不存在B ：如图：当2a =时，原直角三角形有4种情形，△111A BC 、△222A B C 、△333A B C 、△444A B C （矩形1243C C C C 为剪去后剩下的图形）C ：如图所示，当3a =时的两种情况，此时，原直角三角形面积分别为12（左图）和18（右图）a<<，此时原直角三D：如左图，当A为原直角三角形斜边中点时，知a的取值范围为04a>，此角形面积固定为12；如右图，当B为原直角三角形斜边中点时，a的取值范围为1时原直角三角形面积为6a，并无最大值7如图，直角△ABC中，90Ð=°，D为斜边BCBACD为D关于直线AC的对称点．将△ABC的中点，'绕点'D 旋转，使得点A 落在点C 处，此时，点B 落在点F 处，点C 落在点E 处，连接AE 、AF ，G 、H 分别为EF 、AF 的中点，连接DH ．则下列结论中正确的是（）A ．点D 、H 、G 共线B ．△CDG 为等腰直角三角形C ．AE ⊥EFD ．若1AC =，AB2DH =【解答】ACD如图，倍长AD 至I ，连接FI 、HG 、'AD ，'CD ，'ED 故AI BC EF ==，△ACD ≌△'ACD ≌△'CED ，设DAC α∠=，故''''DCA CAD ACD CED ECD α∠=∠=∠=∠=∠=，故2180902CAE CEA αα∠=∠==︒-︒-，所以9090IAE αα+︒-=︒∠=，即AI ⊥AE ，同理EF ⊥AE ，故C 正确．故AI ∥EF ，则四边形AEFI 为矩形，由三角形中位线的性质知DH ∥IF ，HG ∥AE ∥IF ，故D 、H 、G 三点共线，故A 正确．由三角形斜边上的中线为斜边一半，知1122CG EF BC CD ===，即△CDG 为等腰三角形．由前面的结论知DG ⊥AD ，故()90180229090CDG ADC αα︒-∠=︒-︒-=-︒∠=不为定值，故B 不正确．若1AC =，AB ，则60α=︒，2210ACE α=︒∠=，故AE ==，11222DH IF AE ===，即D 正确8一个直角三角形，一边的长和另一边上的中线分别为4和5（顺序不固定），则这个三角形斜边的长度可能为（）A ．5B ．6C ．8D ．10【解答】ACD如图：若中线为直角边的中线，即点D 为直角边AB 的中点，则①5AC =，4CD =，斜边长为5②5CD =，4BC =，则3BD =，6AB =，斜边长2246213AC =+=如图：若中线为斜边中线，即点D 为斜边AC 的中点③4BD =，AB 或5BC =，则斜边8AC =④5BD =，AB 或4BC =，则斜边10AC =故选择ACD9如图，在ABC D 中，2BC =，1CA =，60ACB Ð=°，△ABD 为正三角形，P 为其中心，则CP 的长度为（）A ．3B ．23C ．7D ．5【解答】A如图，连结PA ，PB ，易知,120A PA P PB B ∠==︒，于是由60ACB ∠=︒知180PAC PBC ∠+∠=︒.将PAC ∆旋转到PBE ∆，易知CPE ∆为顶角为120︒的等腰三角形，故33(12)333PC CE ==+=，故选A.10.如图，矩形ABCD 中，12AB =，25AD =，点E 为边BC 上一点，且13BE =，将矩形沿过点E 的直线折叠，折痕与矩形的另一个交点为F ，若点'B 在矩形ABCD 的边上，则折痕EF 的长可能为（）A ．12B ．13133C ．413D．5【答案】BCD11已知正整数N 的十进制形式包含字符串11235，k 为最小正整数使得10k N >，则()101,101k kN --最小值为（）．A．21B．34C．55D．89【答案】AD 【难度】★★★★★【知识板块】数论、字符串【解析】解答：设()101gcd ,101k k m N -=-，101,k sm N as -==，101ka Nm =-，故am包含字符串11235且(),101a =，（1）100.1123589= ，故89m =满足．（2）若有比89更小的m ，设为a m ''，不妨设0.11235a m '='（否则把a '扩大或缩小10t 倍），所以有5101089a m-'-<'，若差不为0，则差最小为189m '，当89m '<时，5211108989m ->>'，故矛盾．【备注】事实上1089是通过考虑斐波那契数列的母函数211i i i xF x x x ∞==--∑（可由斐波那契通项展开后分部求等比数列之和得到）得到的，由于想令1F 出现在十分位，故令110x =，得210189x x x =--，因为89比100小，所以肯定是最小的12下述k 的取值选项中，满足,2,3,,500000k k k k 的后六位数字均不为000000,111111,222222,,999999 （不足6位前面用0补齐）的是（）．A．888889B．962963C．984127D．989899【答案】ABCD 【难度】★★★★【知识板块】数论、同余【解析】四个k 均与10互质，故不可能有()6mod10x y ≡，使()6mod10kx ky ≡，也就是说满足tk 后六位为000000,111111,222222,,999999 的t 均至多只有一个．（1）()6888889111111mod10k =≡-，故tk 后六位要想是000000,111111,222222,,999999 ，t 模610分别是0,1,2,,9--- ，即0,999999,999998,,999991 ，显然不在1到500000中，成立；（2）（3）（4）同理知成立．【备注】如果学生足够聪明，可能会想到除了显然不成立的都应该是成立的，否则解答中不好说明13关于不定方程223a b c +=的非负整数解，下列说法正确的是（）.A.方程有两组解B.a 、b 、c 均不大于5C.a b c ++的最大值大于15D.以上都不对【解答】B分x 的奇偶性讨论，得()()()3,0,3,0,1,2,4,2,514如果一个正整数各位数字之和与各位数字之积的和恰好等于这个正整数，我们称它为“幸运数”.下列说法正确的是（）.A.所有幸运数之和为530B.这样的幸运数有8个C.没有三位数的幸运数D.以上都不对【答案】C15从1,2,3,,2020 中选取k 对数组(),i i a b （其中i i a b <）使得没有两对数组有公共的元素．假设所有的和i i a b +都互不相同且都不超过2020，则k 的最大值为（）．A．805B．806C．807D．808【答案】C 【难度】★★★【知识板块】组合最值【解析】因为()112212221k k a b a b a b k k k ++++++≥+++=+ ，且()()()()()1122120202019202140412k k a b a b a b k k k ++++++≤+++-=- ，所以()()14041212k k k k -≥+，424041k k +≤-，54039k ≤，807k ≤；又当807k =时，()()()()()()1,1214,2,1215,,403,1616,404,810,405,811,,807,1213 符合要求，故k 最大为807．16.已知正整数,x y 的最大公约数为3，最小公倍数是60，若x y >，则222x y xy-的值可能为（）.A.39940B.940C.3940D.9940【答案】AB17小明试图将1,2,,n 分成为,,A B C 三组，使得每个数均恰好属于其中一组，A 中的数均为奇数，B中的数均为偶数，所有3的倍数均在C中，并且,,A B C三组中所有数之和相等．则当n取下述哪些值时，小明的分法可以实现．（）A．35B．24C．92D．104【答案】AD【难度】★★★★【知识板块】构造与论证【解析】因为B中所有数的和一定为偶数，所以()12n n+必为6的倍数，()8,11mod12n≡；（1）()240mod12n=≡，故不成立．（2）35n=时，每组的和应为35361210 23⨯⋅=，令所有3的倍数构成C，则C中数和为198；令所有非3的倍数的奇数构成A，则A中数的和为216；令所有非3的倍数的偶数构成B，则B中数的和为216．所以，A给C两个数1和5、B给C两个数2和4即可．（3）同理，104n=同样成立．（4）但92n=时，每组的和应为929311426 23⨯⋅=，令所有非3的倍数的奇数构成A，则A中数的和为1441；所以，A需要踢掉和为15的若干个数，由于A中都是奇数，故要踢掉的数一定是奇数个，但{}1,5,7,11,13,17,19,23,,91A= ，一个、三个和均不能为15，五个及以上和显然大于15，故不成立．综上，答案为AD．【备注】容易把92也选上18从1、2、……、1000中至少要选出（）个数，才能保证选出的数中必存在三个不同的数构成一个三角形的三边长.A.15B.16C.17D.18【解答】B最优即为斐波拉契数列前15项19一个正三角形ABC ，每边10等分，过各分点作其他两边的平行线，将原三角形剖分为小的正三角形，下列说法正确的是（）.A.一共产生305个三角形（包括原三角形）.B.一共产生270个菱形C.一共产生90个三角形（包括原三角形）D.以上都不对【解答】A 分头朝上和朝下分别计数()()122+18n n n ⨯+个三角形()()12218n n n ⨯+-个菱形20凸10边形的任意3条对角线不相交于形内一点.下列说法正确的是（）.A.这些对角线产生210个交点.B.这些对角线将凸10边形分成246个区域C.这些对角线被分成了455条小线段D.以上都不对【解答】ABC 4n C 个四边形，每个四边形对应一个交点每个交点贡献4，每个端点贡献7，总共910，每条线段需要两个端点，故455条设i 边形有个n i 个，则34103410421080n n n +++=⨯+ 34101803601440360210+1808n n n +++=⨯⨯ 做差即可得246个区域。
北师大版八年级数学竞赛题
x O A y北师大版八年级数学竞赛试题一、选择题（每小题3分，共27分） 1、下列式子正确的是 （ ）A 、9)9(2-=-B 、525±=C 、1)1(33-=-D 、2)2(2-=-2、如下是一种电子计分牌呈现的数字图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3、某校八年级8位同学一分钟跳绳的次数分别为：150，164， 168， 172，176，168，183，185．则由这组数据得到的结论中错误的是（ ） A ．中位数为170 B ．众数为168 C ．平均数为170.75 D ．平均数为170 4、不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是 ( ) A 、AB = CD ，AD = BC B 、AB ∥CD ，AB = CD C 、AD ∥BC ，AB = CD D 、AB ∥CD ，AD ∥BC5、若点P （m+2,m+1）在y 轴上，则点P 的坐标为 （ ）A （2,1）B （0,2）C （0,－1）D （1,0）6、若点(m ，n)在函数y ＝2x ＋1的图象上，则2m －n 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－17、如图，函数2y x =和4y ax =+的图象交于点 A （m ，3），则不等式24x ax +＜ 的解集为（ ）A ．32x <B ．3x <C ．32x > D ．3x >（第7题） （ 第8题）8、如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O 旋转180°到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A 在丙位置中的对应点A ′的坐标为 （ ） A （3，1） B （1，3） C （3，－1） D （1，1）二、填空题（每小题3分，共21分）学校: 班级: 姓名: 考号:…………………………………………装……………………订………………………线………………………………………9、256的平方根是 ；10、若532+y x ba 与x yb a2425-是同类项，则x= , y = ；11、写出一个y 随着x 的增大而增大的一次函数的解析式：______________12、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ．若AC ＝ 4，则四边形CODE 的周长是（12题） （13题）13、如图：矩形ABCD 的对角线AC =10，BC =8，则图中五个小矩形的周长之和 为_______ ．14、 不等式组 的整数解的和是 .15、观察分析下列数据，寻找规律： 0，3，6，3，23，15，32，……那么第10个数据应是 . 三. 解答题（共75分）16、计算（每题5分，共10分） （1）解不等式组：()3228131x x x x -<+⎧⎪⎨-≥--⎪⎩（2）17、（9分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别在OD 、OC 上，且DE=CF ，连接DF 、AE ，AE 的延长线交DF 于点M ． 求证：AM ⊥DF ． 18、（6分）长方形ABCD ，长为6，宽为4，建立直角坐标系使其中C 点的坐标x +2＞0，x －1≤2 学校: 班级: 姓名: 考号:…………………………………………装……………………订………………………线………………………………………（-3，2），并且写出其它顶点的坐标。
1990年北京市初二数学竞赛初赛试题
1990年北京市初二数学竞赛初赛试题一、选择题（每小题7分，共56分） 1. a 是任意实数，则a a --的值为A. 必大于零B. 必小于零C. 必不大于零D. 必不小于零【解析】 若0a ≥，则0a a a a --=-=；若0a <，则2a a a a a --=--=-≥0，选D ．2. a 表示一个两位数，b 表示一个四位数，把a 放在b 的左边组成一个六位数，那么这个六位数应表示成A. abB. 10000a b +C. 10010000a b +D. 100a b +【解析】a 作为前两位，b 作为后四位，应该写成0000a b +的形式，即为10000a b +，选B ．3. 如图，在ABC △中，42A ∠=︒，B ∠和C ∠的三等分线分别交于D E ，，则BDC ∠的度数是A. 67︒B. 84︒C. 88︒D. 110︒ 【解析】 由“飞镖模型”可知：()13BDC A ABD ACD A ABC ACB ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠ ()121806033A A A =∠+︒-∠=∠+︒ 24260883=⨯︒+︒=︒，选C ．4. 如图，在ABC △中，P 是AC 上一点，取BP 的中点Q ，过CQ 并延长与AB 交于D ，则ABP △的面积ABP S △与ACD △的面积ACD S △的大小关系是A. ABP ACD S S <△△B. ABP ACD S S =△△C. ABP ACD S S >△△D. 不能确定 【解析】 连接AQ ，记BDQ ADQ BCQ S a S b S c ===△△△，，，则由题意可知 APQ S a b =+△，CPQ S c =△，由“燕尾定理”得a b c bc a++=， ∴1c a b ca b++=>，∴c a >， ∴ABP ACD S S <△△，选A ．5. 设0a b c d >>>>，且X =，YZ =，则X Y Z 、、的大小关系为A. X Z Y <<B. Y Z X <<C. X Y Z <<D. Z Y X << 【解析】22X ab cd ==++22Y ac bd ==++22Zad bc ==++，则()()220X Y ab cd ac bd a d b c -=+--=-->， ()()220Y Z ac bd ad bc a b c d -=+--=-->， ∴2220X Y Z >>>，∴0X Y Z >>>，选D ．6. 在四个实数中，如果任意三个之和都不比另一个小，则下列说法中必定错误的是EDCB AQP DCBAc a+b cb aQP D CBAA. 非零的数不可能只有一个B. 四个数可以都是正数C. 负数有两个D. 如果有零就没有负数【解析】 由题意得a b c d ++≥，a b d c ++≥，a c d b ++≥，b c d a ++≥，则0a b c d +++≥，若这四个数中有两个负数，设为c d ，，则a b c d ++≥， 此时b c d a ++<，不合题意，选C ．7. x y 、只能取A. 2553029464x y ==，B. 3761526855x y ==，C. 1512332477x y ==，D. 2832628614x y ==，【解析】 首先，奇数的平方被8除余1，那么两个奇数的平方和被8除余2，而偶数的平方一定能被4整除，则可以排除B 和C ．其次，一个完全平方数的尾数只可能是0，1，4，5，6，9，而D 中22x y +的尾数为2，也不可能．所以选A ．8. 已知实数a b 、分别满足424230a a--=和4230b b +-=，则代数式4444a b a +的值等于A. 175B. 55C. 13D. 7【解析】 根据题意，222b a -、是关于x 的一元二次方程230x x +-=的两个根，且222b a-≠，∴2221b a-+=-，2223b a -=-，()24422422442224422227a b b b b b a a a a a 2⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选D ．二、填空题（前6个题，每题6分，第7个题8分，共44分）1. =_____________．【解析】 原式()()211111119901990119901==--⨯+．2. 设实数x y 、满足2242420x y x y ++-+=，则22y x +_____________． 【解析】 左边配方得()()221210x y ++-=，∴112x y =-=，，∴221y x +--3. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边的长为______________．【解析】 设腰长为2x ，底边长为y ，由题意得21221x x x y +=⎧⎨+=⎩或22112x x x y +=⎧⎨+=⎩，解得417x y =⎧⎨=⎩或75x y =⎧⎨=⎩， 检验发现第一组解无法构成三角形，不合题意舍去， 所以，等腰三角形的底边长为5cm ．4._____________．【解析】2，2=10=5+5，而(22=24255<=，<5. 某厂二月份产量比一月份产量提高12.5%，三月份产量比二月份产量提高20%，那么三月份的产量比一月份产量提高的百分数为______________． 【解析】 设一月份的产量为x ，由题意可得二月份的产量为()112.5%x +，三月份的产量为()()27112.5%120%20x x ++=， 则三月份得产量比一月份产量提高了2735%20x x x ⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭．6. 如图，AB BC CD ==，AD AE =，DE BE =，则C ∠的度数为_________． 【解析】 设BDE EBD x ∠=∠=，则2AED ADE x ∠=∠=， 在ADE △中，1804A x ∠=︒-， ∴1804C A x ∠=∠=︒-，又1801803CDB ADB x ∠=︒-∠=︒-， 则1803CBD CDB x ∠=∠=︒-，在BCD △中，180C CBD CDB ∠+∠+∠=︒， ∴180418031803180x x x ︒-+︒-+︒-=︒， ∴36x =︒，则180436C x ∠=︒-=︒．7. 如图1，我们规定在边长为1的正方形方格纸上，从格点O 到与它相邻的格点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 的直线运动形成的线段分别记为数码0，1，2，3，4，5，6，7．如以点O 为始点，数码2代表线段OC ，数码7代表线段OH 等等．在图2中画出了从P 点出发，依次按数码001223355的轨线图形.请你在图3的边长为1的正方形方格纸上，从点M 出发，依次按数码006756442312画出相应的轨线图形，___________．图3图2图1【解析】 依题意画轨线图形如图所示：的正方形有5个，边长为2的正方形有3的正方形有4个，边EDCBA长为1个，共有534113+++=个．。
2010年北京市初二数学竞赛试卷
2010年北京市初二数学竞赛试卷一、选择题（每小题5分，共25分）1．（5分）设x，y为实数，满足，则x2+y2的值是（）A．2B．3C．4D．52．（5分）如图，直线a∥b，∠4﹣∠3＝∠3﹣∠2＝∠2﹣∠1＝d＞0，其中∠3＜90°，∠1＝50°，则∠4的最大可能的整数值是（）A．107°B．108°C．109°D．110°3．（5分）设P是质数，若有整数对（a，b）满足|a+b|+（a﹣b）2＝P，则这样的整数对（a，b）共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对4．（5分）设△ABC的三边长分别为BC＝2，CA＝3，AB＝4，h a，h b，h c分别表示边BC、CA、AB上的高，则＝（）A．B．C．D．5．（5分）如图，正方形ABCD被直线OE分成面积相等的两部分，已知线段OD、AD的长都是正整数，．则满足上述条件的正方形ABCD面积的最小值是（）A．324B．331C．354D．361二、填空题（每小题7分，共35分）6．（7分）如图，已知AB＝2，BC＝AE＝6，CE＝CF＝7，BF＝8，则四边形ABDE与△CDF 面积的比值是．7．（7分）已知，，则k＝．8．（7分）如图，在四边形ABCD中，设∠BAD+∠ADC＝270°，且E、F分别为AD、BC 的中点，EF＝4，阴影部分分别是以AB、CD为直径的半圆，则这两个半圆面积的和是（圆周率为π）．9．（7分）计算：＝．10．（7分）如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接六个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的顶点．则这六个小正方形的面积和是．三、解答题（共40分）11．（10分）如图，在凸五边形ABCDE中，连接AC，BE，AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC ＝2∠DBE．求证：∠ABC＝60°．12．（15分）能否2010写成k个互不相等的质数的平方和？如果能，试求k的最大值；如果不能，请简述理由．13．（15分）某次初二数学竞赛，共有99所学校中学报名参加，每校参赛者中既有男选手，也有女选手，证明：存在其中的50所学校的男选手总数不小于全部男选手总数的一半，且其参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半．2010年北京市初二数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共25分）1．（5分）设x，y为实数，满足，则x2+y2的值是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据x+y＝1，得出x2+y2＝1﹣2xy，再利用x4+y4＝，得出（1﹣2xy）2﹣2x2y2＝，进而求出xy的值，即可得出答案．【解答】解：∵x+y＝1，∴x2+y2+2xy＝1，∴x2+y2＝1﹣2xy，∵x4+y4＝，∴（x2+y2）2﹣2x2y2＝，∴（1﹣2xy）2﹣2x2y2＝，整理得出：2x2y2﹣4xy+1＝，解得：xy＝1±，∴x2+y2＝1﹣2（1+1.5）＝﹣4（不合题意舍去）或x2+y2＝1﹣2（1﹣1.5）＝2．故选：A．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法，熟练地应用完全平方公式得出xy＝1±是解决问题的关键．2．（5分）如图，直线a∥b，∠4﹣∠3＝∠3﹣∠2＝∠2﹣∠1＝d＞0，其中∠3＜90°，∠1＝50°，则∠4的最大可能的整数值是（）A．107°B．108°C．109°D．110°【分析】利用∠4﹣∠3＝∠3﹣∠2＝∠2﹣∠1＝d＞0变形得到∠4＝2∠3﹣∠2，2∠2＝∠3+50°，于是得到2∠4＝3∠3﹣50°，而∠3＜90°，则∠4＜110°，即可得到4的最大可能的整数值．【解答】解：∵∠4﹣∠3＝∠3﹣∠2，∴∠4＝2∠3﹣∠2，又∵∠3﹣∠2＝∠2﹣∠1，∠1＝50°，∴2∠2＝∠3+50°，∴2∠4＝4∠3﹣2∠2＝4∠3﹣∠3﹣50°＝3∠3﹣50°，∴∠3＝，而∠3＜90°，∴＜90°，∴∠4＜110°，∴∠4的最大可能的整数值是109°．故选：C．【点评】本题考查了直线平行的性质：两直线平行同位角相等．3．（5分）设P是质数，若有整数对（a，b）满足|a+b|+（a﹣b）2＝P，则这样的整数对（a，b）共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【分析】因为都是整数，所以|a+b|与（a﹣b）2的奇偶性相同，所以P为偶数，偶数中只有2是质数，所以P＝2，因为|a+b|与（a﹣b）2都是非负数，（a﹣b）2是完全平方数所以（a﹣b）2只能为0或者1．【解答】解：因为|a+b|与（a﹣b）2的奇偶性相同，推出|a+b|+（a﹣b）2＝P必为偶．在质数中，唯一的偶质数只有2一个，故P＝2．则|a+b|+（a﹣b）2＝2，可知：任何整数的平方最小是0，然后是1，4，9…所以此处的（a﹣b）2只有0和1两个选择：①当（a﹣b）2＝0，则|a+b|＝2，解得：a＝b，所以|2b|＝2，|b|＝1，则a＝b＝±1；②（a﹣b）2＝1，则|a+b|＝1，解得：a﹣b＝±1，a+b＝±1，组成4个方程组：a﹣b＝1a+b＝1，解之得：a＝1，b＝0；a﹣b＝1a+b＝﹣1，解之得：a＝0，b＝﹣1；a﹣b＝﹣1a+b＝1，解之得：a＝0，b＝1；a﹣b＝﹣1a+b＝﹣1，解之得：a＝﹣1，b＝0．综上，符合条件的整数对（a，b）共有6对：（1，1）（﹣1，﹣1）（1，0）（0，﹣1）（0，1）（﹣1，0）．故选：D．【点评】解答本题的关键是判断出P的值，再依次推导出|a+b|和（a﹣b）2的值即可．4．（5分）设△ABC的三边长分别为BC＝2，CA＝3，AB＝4，h a，h b，h c分别表示边BC、CA、AB上的高，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的面积公式列出关于h a，h b，h c间的关系式BC•h a＝CA•h b＝AB •h c，然后求得它们之间的数量关系，将这种数量关系代入化简后的代数式并求值．【解答】解：∵△ABC的三边长分别为BC＝2，CA＝3，AB＝4，h a，h b，h c分别表示边BC、CA、AB上的高，∴BC•h a＝CA•h b＝AB•h c，即2h a＝3h b＝4h c；故设2h a＝3h b＝4h c＝t（t＞0），则h a＝，h b＝，h c＝，∴＝（++）（++）＝•＝，即＝．故选：B．【点评】本题考查了三角形的面积．解答此类题目，可以利用比例的基本性质将h a，h b，h c间的数量关系解答出来．5．（5分）如图，正方形ABCD被直线OE分成面积相等的两部分，已知线段OD、AD的长都是正整数，．则满足上述条件的正方形ABCD面积的最小值是（）A．324B．331C．354D．361【分析】根据直线将正方形分成面积相等的两部分，可见OE必过正方形ABCD的中心O′，设BE＝a，OD＝m，表示出O′的坐标，将坐标代入OE的解析式y＝kx，求出m 的值，再根据线段OD、AD的长都是正整数，求出a的最小值．【解答】解：OE一定过正方形ABCD的中心O′．不妨设BE＝a，OD＝m．∴CE＝20a，正方形边长为21a；∴O′（m+10.5a，10.5a），E（m+21a，20a），设OE解析式为y＝kx，∴k（m+10.5a）＝10.5a，k（m+21a）＝20a，∴＝，化简得：m＝a，∵线段OD、AD的长都是正整数，∴m，21a都是正整数，∴21a的最小值为19，此时m＝1．此时正方形ABCD的最小面积为（21a）2＝192＝361．故选：D．【点评】本题考查了一次函数与正方形的性质，找到OE一定过正方形ABCD的中心O′并设出心O′的坐标是解答此类题目的关键．二、填空题（每小题7分，共35分）6．（7分）如图，已知AB＝2，BC＝AE＝6，CE＝CF＝7，BF＝8，则四边形ABDE与△CDF 面积的比值是1．【分析】由题意得AC＝CB+BA＝8，可得AC＝BF，利用SSS可证得△AEC≌△BCF，从而可得S△AEC＝S△BCF，也就得出S△CDF+S△CDB＝S ABDE+S△CDB，这样可求出四边形ABDE 与△CDF面积的比值．【解答】解：由题意得AC＝CB+BA＝8，∴AC＝BF，在△AEC和△BCF中，∴△AEC≌△BCF，∴S△AEC＝S△BCF，故可得S△CDF+S△CDB＝S ABDE+S△CDB⇒S ABDE＝S△CDF，∴四边形ABDE与△CDF面积的比值是1．故答案为：1．【点评】本题考查了面积及等积变换的知识，难度一般，根据题意证明△AEC≌△BCF 是解答本题的关键，另外要注意等量代换在解答数学题目中的运用．7．（7分）已知，，则k＝﹣1．【分析】先从等式右边进行分母有理化，即原式＝﹣2，然后依次循环即可求k的值．【解答】解：由原式可知＝+2﹣4＝﹣2，∴4+＝+2，依此类推得：＝+2，∴k＝﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了分母有理化的知识，解题时可从等式右边进行分母有理化，那样会简便些．8．（7分）如图，在四边形ABCD中，设∠BAD+∠ADC＝270°，且E、F分别为AD、BC 的中点，EF＝4，阴影部分分别是以AB、CD为直径的半圆，则这两个半圆面积的和是8π（圆周率为π）．【分析】连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，EM交BC于N，根据三角形的中位线定理推出EM＝AB，FM＝CD，EM∥AB，FM∥CD，推出∠ABC＝∠ENC，∠MFN＝∠C，求出∠EMF＝90°，根据勾股定理求出ME2+FM2＝16，根据圆的面积公式求出阴影部分的面积即可．【解答】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，延长EM交BC于N，∵∠BAD+∠ADC＝270°，∴∠ABC+∠C＝360°﹣270°＝90°，∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，∴EM＝AB，FM＝CD，EM∥AB，FM∥CD，∴∠ABC＝∠ENC，∠MFN＝∠C，∴∠MNF+∠MFN＝90°，∴∠NMF＝180°﹣90°＝90°，∴∠EMF＝90°，由勾股定理得：ME2+FM2＝EF2＝42＝16，∴阴影部分的面积是：π+＝π×（ME2+FM2）＝π×16＝8π．故答案为：8π．【点评】本题主要考查对勾股定理，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，三角形的中位线定理，圆的面积，平行线的性质，面积与等积变形等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线并求出ME2+FM2的值是解此题的关键．9．（7分）计算：＝．【分析】把前面2010个分数的和看作被减数，后面2009个分数的和的看作减数，本题就是求它们的差．由于被减数中每一个分数的分子都是1，分母都是2个数的乘积，且这两个数的和为1+2010＝2+2009＝…＝2010+1＝2011，所以将每一个分数改写成两个分数的和，＝＝（+），＝＝（+），依此类推，＝（+）；同理，减数中每一个分数也可以改写成两个分数的和，＝（+），＝（+），…，＝（+），然后根据运算法则及乘法的分配律计算即可．【解答】解：＝（++++…++）﹣×（++++…++）＝（++++…++﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）＝（+）＝×＝．故答案为：．【点评】本题考查了有理数的混合运算，属于竞赛题型，难度较大．关键是通过观察，发现分数之间的特点，从而将每一个分数改写成两个分数的和．10．（7分）如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接六个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的顶点．则这六个小正方形的面积和是．【分析】如图，过点Q作QF⊥AD，垂足为F，可以得到△BQP∽△FQN，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到QB和DN，根据勾股定理可求QN的长，从而求出六个小正方形的面积和．【解答】解：如图所示：∵正方形ABCD边长为10，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝10，过点Q作QF⊥AD，垂足为F，则∠4＝∠5＝90°，∴四边形AFQB是矩形，∴∠2+∠3＝90°，QF＝AB＝10，∵六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中，∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠PQB，∴△BQP∽△FQN，∴＝＝，∴＝，∴QB＝2．∴AF＝2．同理DN＝2．∴NF＝AD﹣DN﹣AF＝6．∴QN＝＝＝2，∴小正方形的边长为，则六个小正方形的面积和是6×（）2＝．故答案为：．【点评】考查了面积及等积变换，本题主要利用相似三角形的判定和相似三角形对应边成比例的性质和勾股定理，综合性较强，有一定的难度．三、解答题（共40分）11．（10分）如图，在凸五边形ABCDE中，连接AC，BE，AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC ＝2∠DBE．求证：∠ABC＝60°．【分析】等腰三角形的底角相等，一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【解答】证明：∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，同理∠CBD＝∠CDB．∵∠ABC＝2∠DBE，∴∠ABE+∠CBD＝∠DBE，∵∠ABE＝∠AEB，∠CBD＝∠CDB，∴∠AEB+∠CDB＝∠DBE，∴∠AEB+∠CDB＝180°﹣∠BED﹣∠BDE，∴∠AEB+∠BED+∠CDB+∠BDE＝180°，∴∠AED+∠CDE＝180°，∴AE∥CD，∵AE＝CD，∴四边形AEDC为平行四边形．∴DE＝AC＝AB＝BC．∴△ABC是等边三角形，所以∠ABC＝60°【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理．12．（15分）能否2010写成k个互不相等的质数的平方和？如果能，试求k的最大值；如果不能，请简述理由．【分析】先把2010分解成分解为几个质数的平方和的形式，再求出k的值即可．【解答】解：∵22+32+72+132+172+232+312＝2010；22+32+72+112+132+172+372＝2010．∴k＝7．【点评】本题考查的是质数与合数，能把2010分解为几个互不相等的质数的平方和的形式是解答此题的关键．13．（15分）某次初二数学竞赛，共有99所学校中学报名参加，每校参赛者中既有男选手，也有女选手，证明：存在其中的50所学校的男选手总数不小于全部男选手总数的一半，且其参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半．【分析】根据题意通过假设的方法依次进行论证．【解答】解：（1）如果有50所学校的男选手总数大于或等于全部男选手总数的一半，那就无需证明成立了，（2）如果有50所学校的男选手总数小于全部男选手总数的一半，那么剩下的49所学校的男选手总数就应该超过全部男选手总数的一半，因此，这49所学校的男选手数再任加1所学校的男选手数，其总数也必超过男选手总数的一半，同样道理，可证参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半．【点评】本题主要考查了推理与论证的方法，需要考虑周全，比较简单．。
2021年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)
2021年北京市中学生数学竞赛初二试题（含答案）2021年北京市中学生数学竞赛初二试题一、选择题（每小题5分，共25分）1．在1～100这100个自然数中，质数所占的百分比是（）．（A）25% （B）24% （C）23% （D）22%2．一个三角形的三边长都是整数，它的周长等于10，则这个三角形是（）．（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）恰有两边相等的三角形（D）恰有一个内角为60°的三角形3．已知n为正整数，S=1+2+…+n．则S的个位数字不能取到的数字是（）．（A）0，1，2，3 （B）3，4，5，6 （C）3，5，6，8 （D）2，4，7，94．如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．S△AOB=4，S△COD=9．则S四边形ABCD的最小值是（）．（A）22 （B）25 （C）28 （D）32（1） (2) (3) 5．如果│a-b│=1，│b+c│=1，│a+c│=2，则│a+b+2c│等于（）．（A）3 （B）2 （C）1 （D）0 二、填空题（每小题7分，共35分）1．如图2，大圆的两条直线AC、BC垂直相交于点O，分别以边AB、BC、CD、DA为直径向大圆外侧作四个半圆，图中四个“月形”阴影的总面积是2cm2．?则大圆的半径等于_______cm．2．2 005被两位的自然数去除，可能得到的最大余数是_______． 3．已知a2+bc=14，b2-2bc=-6．则3a2+4b2-5bc=_________．4．如图3，在凸六边形ABCDEF中，AD、BE、CF三线共点于O，?每相邻三个顶点所组成的三角形的面积都等于1，则S六边形ABCDEF=_______．5．有6个被12除所得余数都相同的自然数，它们的连乘积为971 425．则这6?个自然数之和的最小值是________．三、（15分）已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0.求证：（1）a3+b3+c3=3abc；- 1 -（2）（a?bb?cc?acab++）（++）=9.acba?bb?cc?a四、（15分）如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=44°，M为△ABC形内一点，?使得∠MCA=30°，∠MAC=16°，求∠BMC的度数．- 2 -五、（10分）某学生在黑板上写出了17个自然数，?每个自然数的个位数码只能是0，1，2，3，4这5个数字中的一个．证明：从这17个数中可以选出5个数，?它们的和能被5整除．- 3 -参考答案一、1．A在1～100这100个自然数中，有质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97共25个，所以，其中质数所占的百分比是25%． 2．C将10分拆成三个正整数之和，有10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4共八种情况．由“三角形两边之和大于第三边”可知，只有（2，4，4），（3，3，4）两组可构成三角形．由于等腰三角形两个底角都是锐角，于是，以2、4、4为边的等边三角形中，最小边2对的顶角也是锐角．以3、3、4为边的等腰三角形中，由32+32>42，?知顶角也是锐角．所以，以2、4、4为边的等腰三角形以及以3、3、4为边的等腰三角形都是锐角三角形，排除选项（A）、（B）?．?又由于等腰三角形中恰有一个内角为60°时变为等边三角形，与边为（2，4，4）、（3，3，4）的条件矛盾，排除选项（D）．由（2，4，4）、（3，3，4）为边的三角形是恰有两边相等的三角形． 3．D．由S=n(n?1)，又n、n+1是两个连续的自然数，知n（n+1）的个位数字只能取0，22，6．?所以，S的个位数字只能是0，1，3，5，6，8这六个数字．因此，S的个位数字不能取到的是2，4，7，9． 4．B如图1，设S△AOD=x，S△BOC=y，则S四边形ABCD=4+9+x+y≥13+2xy．由x4?，有xy=36．所以， 9yS四边形ABCD≥13+2xy=13+12=25．故S四边形ABCD的最小值是25．此时，AB∥DC，即四边形ABCD是梯形．5．A．由│a-b│=1，知a-b=1或a-b=-1；由│b+c│=1，知b+c=1或b+c=-1；由│a+c│=2，知a+c=2或a+c=-2．- 4 -这样，可以得到23=8个三元一次方程组：（1）a-b=1，b+c=1，a+c=2；（2）a-b=1，b+c=1，a+c=-2；（3）a-b=1，b+c=-1，a+c=2；（4）a-b=1，b+c=-1，a+c=-2；（5）a-b=-1，b+c=1，a+c=2；（6）a-b=-1，b+c=1，a+c=-2；（7）a-b=-1，b+c=-1，a+c=2；（8）a-b=-1，b+c=-1，a+c=-2．对于（2）～（7），将前两个方程相加得到的a+c的值与后一个方程不同，所以，不会出现这六种情况．对于（1），有a=2-c，b=1-c，所以， a+b+2c=3．对于（8），有a=-2-c，b=-1-c，所以， a+b+2c=-3．故│a+b+2c│=3．二、1．1．由勾股定理知AD2+CD2=AC2．所以，上面半个大圆的面积等于以AD、CD为直径的两个半圆的面积．同理，下面半个大圆的面积等于以AB、BC为直径的两个半圆的面积．?因此，正方形ABCD的面积等于四个“月形”的总面积．容易计算，大圆的半径OD是1cm． 2．85．由2 005依次被99，98，97，…去除，观察所得余数的值变化得 2005=99×20+25=98×20+45=97×20+65=96×20+85=95×21+10 =94×21+31=93×21+52=92×21+73=91×22+3=90×22+25=89×22+47 =88×22+69=87×23+4=86×23+27 =85×23+50．以下的余数不会大于84，故可能得到的最大余数是85． 3．18．3a2+4b2-5bc=3（a2+bc）+4（b2-2bc）=3×14+4×（-6）=18． 4．6．如图5，连结BD、CE．因为S△BCD=S△ECD=1，所以，BE∥CD．因为S△BAF=S△EAF，所以，BE∥AF．因此，BE∥AF∥CD．同理，CF∥DE∥BA，AD∥FE∥BC．- 5 -感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2018年北京初二数学竞赛试题-含详细解析
2018年初二数学练习一、选择题（满分25分，每小题只有一个正确答案，答对得5分，将答案写在下面相应的空格中）13=，则220181x x x ++的值是（A ）2020． （B ）12020． （C ）2025． （D ）12025． 2．在非等腰三角形中，一个内角等于另两个内角的差，且一个内角是另一个内角的2倍．已知该三角形的最小边长等于1cm ，则这个三角形的面积是（A ）1 cm 2． （B cm 2． （C cm 2． （D ）2 cm 2． 3．n 是偶数，若从1开始，前n 个正整数的和的尾数是数字8，则后继的n 个正整数的和的尾数是数字（A ）6． （B ）4． （C ）2． （D ）0．4．如图，P (x p , y p )为反比例函数2y x=在平面直角坐标系x-O-y 的第一象限图像上一点，过点P 作x 轴、y 轴的平行线分别交10y x=在第一象限的图像于点A 和B ，则△AOB 的面积等于（A ）26． （B ）24． （C ）22． （D ）20．5．将数字和为11的自然数按由小到大的顺序排成一个数串，第m 个数是2018，则m 是.（A ）134． （B ）143． （C ）341． （D ）413．二、填空题（满分35分，每小题7分，将答案写在下面相应的空格中）1．295的约数中大于1000000的共有______个．2．若x ，y 都是自然数，关于x ，y 的方程[2.018x ]+[5.13y ]=24的解(x , y )共有______个．（其中[x ]表示不大于x 的最大整数）3．D 为锐角△ABC 内一点，满足AD =DC ，∠ADC =2∠DBC ， AB =12，BC =10，则△BDC 的面积等于______．4．已知x 1, x 2, …, x n 中每一个x i (i =1, 2, …, n )的数值只能取 −2, 0, 1中的一个，且满足x 1+x 2+…+x n =−17，x 12+x 22+…+x n 2=37， 则(x 13+x 23+…+x n 3)2的值为______．5．在1~n 这n 个正整数中，正约数个数最多的那些数叫做这前n 个正整数中的“旺数”，如在正整数1~20中，正约数个数最多的数是12, 18, 20，所以12, 18, 20都是正整数1~20中的“旺数”，在正整数1~100中的所有“旺数”的最小公倍数是______．三、（满分10分）正整数a , b , c , d 满足a 2−ab +b 2=c 2−cd +d 2，求证：a +b +c +d 是合数．四、（满分15分）三个斜边彼此不等的等腰直角三角形ADC ，DPE 和BEC ，如图所示，其中AD =CD ，DP =EP ，BE =CE ；∠ADC =∠DPE =∠BEC =90°，求证：P 是线段AB 的中点．ADCPB五、（满分15分）求证：在十进制表示中，数29的某个正整数幂的末三位数字是001．2018年北京市中学生数学竞赛初二年级试题及参考解答2018年5月13日8:30～10:30.一、选择题（满分25分，每小题只有一个正确答案，答对得5分，将答案写在下面相应的空格中）题号12345答案DBCBA13+=，则220181x x x ++的值是（A ）2020．（B ）12020．（C ）2025．（D ）12025．答：D ．3+=两边平方，得129x x ++=，即17x x +=．所以220181120182025x x x x x ++=++=，即21=201812025x x x ++．2．在非等腰三角形中，一个内角等于另两个内角的差，且一个内角是另一个内角的2倍．已知该三角形的最小边长等于1cm ，则这个三角形的面积是（A ）1cm 2．（B ）2cm 2．（C ）2cm 2．（D ）2cm 2．答：B ．理由：设三角形的内角为A ，B ，C ，且B =C −A ，则A +(C −A )+C =180°，得C =90°．若最大角C 是另一个内角的2倍，易知三角形为等腰直角三角形，与题设“非等腰三角形”的条件不符，因此只能是另一个内角是第三个内角的2倍．不妨设A =2B ，可得A =60°，B =30°．因此角B 的对边AC =1cm ，斜边AB =2cm ，另一直角边BC =．所以这个三角形的面积是1122⨯(cm 2)．3．n 是偶数，若从1开始，前n 个正整数的和的尾数是数字8，则后继的n 个正整数的和的尾数是数字（A ）6．（B ）4．（C ）2．（D ）0．答：C ．解：设n =2k ，记S 为前n 个正整数的和，D 为后继的n 个正整数(由2k +1到4k )的和，则S =k (2k +1)2(214)(61).2k k k D k k ++==+数S 和D 的最后数字只依赖于数k 的最后数字．如果k 是奇数，那么S 是奇数，不合题意，于是k 是偶数，它的尾数取自0,2,4,6或8，则S 的结尾对应为0,0,6,8或6．依题意，k 应当以6结尾，这样D 的尾数就是(661)6⨯+⨯的尾数，即为2．4．如图，P (x p ,y p )为反比例函数2y x=在平面直角坐标系x -O -y 的第一象限图像上一点，过点P 作x 轴、y 轴的平行线分别交10y x=在第一象限的图像于点A 和B ，则△AOB 的面积等于（A ）26．（B ）24．（C ）22．（D ）20．答：B ．理由：过点A ，B 分别作坐标轴的平行线，出现矩形MKON ，如右图，有KM =ON =10p x ，KA =OL =y p ，NM =OK =10py ，NB =OT =x p ．△AOB 的面积=长方形OKMN 的面积−△AOK 的面积−△NOB 的面积−△AMB 的面积=101011011011010()()222p p p p p p p p p p y x x y y x y x y x ⋅-⋅⋅-⋅⋅---=100110055(10102)222-----+=24．另解：如图，联结OP ，LB ，TA ，可知△AOB 的面积=△AOP 的面积+△POB 的面积+△APB 的面积=11011011010()()()()222p p p p p p p p p p x y y x x y y x y x -+-+--=111100(102)(102)(10102)2222-+-+--+=24．5．将数字和为11的自然数按由小到大的顺序排成一个数串，第m 个数是2018，则m 是（A ）134．（B ）143．（C ）341．（D ）413．答：A理由：在一位数中没有数字和为11的数．两位数中有29,38,47,56,65,74,83,92这8个数．在三位数xyz 中，当x =1时，y 可取1~9这9个数，对应的z 取9~1，共9个数；同法可得：当x =2时，y 可取0~9这10个数，对应的z 取9~0，共10个数；当x =3时，p有308,317,326,335,344,353,362,371,380这9个数；当x=4时，有407,416,425,434, 443,452,461,470这8个数；当x=5时，有506,515,524,533,542,551,560这7个数；当x=6时，有605,614,623,632,641,650这6个数；当x=7时，有704,713,722,731,740这5个数；当x=8时，有803,812,821,830这4个数；当x=9时，有902,911,920这3个数．因此，在三位数xyz中，数字和为11的数共有9+10+9+8+7+6+5+4+3=61个．在四位数1xyz中，数字和为11的数相当于求数字和为10的三位数xyz，当x=0时，y可取1~9这9个数，对应的z取9~1的数，共9个数；同法可得：当x=1,2,3,4, 5,6,7,8,9时，数字和为10的三位数xyz分别有10,9,8,7,6,5,4,3,2个；因此在四位数1xyz中，数字和为11的数共有9+10+9+8+7+6+5+4+3+2=63个．在2xyz中，数字和为11的数由小到大有2009,2018．因此2018是该数串中的第8+61+63+2=134个数．二、填空题（满分35分，每小题7分，将答案写在下面相应的空格中）1．295的约数中大于1000000的共有______个．答：76．解：因为295有96个正约数：20,21,22,…,294,295，又210=1024，从而220=210×210=1048576＞1000000．又219=1048576÷2=524288＜1000000，所以295的约数中大于1000000的共有96−20=76个．2．若x，y都是自然数，关于x，y的方程[2.018x]+[5.13y]=24的解(x,y)共有______个．（其中[x]表示不大于x的最大整数）答：3．解：因为x，y都是自然数，且5.13×5=25.65＞24，所以y只能取4，3，2，1，0．当y=4时，[5.13×4]=[20.52]=20，所以[2.018x]=24−20=4，即x=2；当y=3时，[5.13×3]=[15.39]=15，所以[2.018x]=24−15=9，无合适的x值；当y=2时，[5.13×2]=[10.26]=10，所以[2.018x]=24−10=14，即x=7；当y=1时，[5.13×1]=[5.13]=5，所以[2.018x]=24−5=19，无合适的x值；当y=0时，[5.13×0]=[0]=0，所以[2.018x]=24−0=24，即x=12．方程[2.018x]+[5.13y]=24的所有解为(2,4)，(7,2)，(12,0)，共3个．3．D为锐角△ABC内一点，满足AD=DC，∠ADC=2∠DBC，AB=12，BC=10，如图，则△BDC的面积等于______．答：解：设∠DBC =θ，则∠ADC =2θ．以D 为旋转中心，旋转△BDC 到△ADP 的位置，如图．则AD=DC ，DP =DB ，AP =CB =10，∠DP A =∠DBC =θ，∠PDA =∠BDC ，即∠PDC +∠CDA =∠BDP +∠PDC ，所以∠BDP =∠ADC =2θ．在等腰△BDP 中，作DK ⊥BP 于点K ，则∠BPD =12(180°−2θ)=90°−θ．所以，∠APB =∠APD +∠DPB =θ+(90°−θ)=90°．即△ABP 为直角三角形．在直角△ABP中，BP ===作DH ⊥AP 于点H ，则PHDK 为矩形，DH =KP =12BP．所以△BDC 的面积=△PDA 的面积=1102⨯4．已知x 1,x 2,…,x n 中每一个x i (i =1,2,…,n )的数值只能取−2,0,1中的一个，且满足x 1+x 2+…+x n =−17，x 12+x 22+…+x n 2=37，则(x 13+x 23+…+x n 3)2的值为______．答：5041．解：设x 1,x 2,…,x n 中有p 个x i 取1，q 个x i 取−2，其余的x i 取0，可得217437p q p q -=-⎧⎨+=⎩，解得1.9p q =⎧⎨=⎩所以x i (i =1,2,…,n )中有1个取1，有9个取−2，其余的x i 取0．因此(x 13+x 23+…+x n 3)2=(1×13+9×(−2)3)2=(−71)2=5041．5．在1~n 这n 个正整数中，正约数个数最多的那些数叫做这n 个正整数中的“旺数”，比如，正整数1~20中，正约数个数最多的数是12,18,20，所以12,18,20都是正整数1~20中的“旺数”，在正整数1~100中的所有“旺数”的最小公倍数是______．答：10080．解：首先，前100个正整数的质因数分解式中，最多含有三个不同的质因数．这是因为最小的四个质数之积为2×3×5×7=210，已超过100．其次为使约数个数尽可能多，应使所含的质因数尽可能小，于是可以通过试算、分类枚举来确定正约数个数最大为12的数：只含一个质因数的正因数最多的是26=64，它有7个正约数，正约数小于12．对于只含有两个不同质因数的情况，正约数个数为12的是：23×32(=72)，25×3(=96)．对于含有三个不同质因数的情况，正约数个数为12的是：22×3×5(=60)，2×32×5(=90)，22×3×7(=84)．可见，在前100个正整数中,正约数为12个的“旺数”只有：60，72，84，90，96这5个．因此在前100个正整数中，所有“旺数”的最小公倍数是25×32×5×7=10080．BKP CA HD三、（满分10分）正整数a ,b ,c ,d 满足a 2−ab +b 2=c 2−cd +d 2，求证：a +b +c +d 是合数．证明：记s =a +b +c +d ，由已知条件，(a +b )2−(c +d )2=3(ab −cd )，所以(a +b −c −d )s =3(ab −cd )=3(ab −c (s −a −b −c ))=3(a +c )(b +c )−3cs ，因此s 整除3(a +c )(b +c )．易知s 的每个质因数p 都是3(a +c )(b +c )的因数，即p 是3,a +c ,b +c 的因数，所以s 的每一个质因数p 不超过3,a +c ,b +c 中的最大值，因为s 大于3,a +c ,b +c 中的最大值，则s =p ·m （整数m ≥2）．即数s 是合数．四、（满分15分）三个斜边彼此不等的等腰直角三角形ADC ，DPE 和BEC ，如图所示，其中AD=CD ，DP=EP ，BE=CE ；∠ADC =∠DPE =∠BEC =90°，求证：P 是线段AB 的中点．证明：（1）延长DP 至F ，使得PF =PD ，连接FE 、FB ，易知△DEF 为等腰直角三角形，即DE=EF ，∠DEF =90°．所以，∠CED =90°−∠CEF =∠BEF ．又DE=EF ，CE=BE ，所以△CED ≌△BEF ．因此CD=BF ，∠CDE =∠BFE ．（2）连接AP 、BP ，因为AD=CD ，所以在△ADP 与△BFP 中，AD=BF ，∠ADP=∠ADC +∠CDE −∠EDP=90°+∠CDE −45°=∠CDE +45°=∠BFE +∠PFE =∠BFP ．又DP=FP ，所以△ADP ≌△BFP ．因此AP=BP ，∠APD=∠BPF ．（3）如果CD ∥PE ，则A 、D 、P 三点共线，B 、F 、P 三点共线，又D 、P 、F 三点共线，所以A 、P 、B 三点共线．由AD=BF ，DP=PF ，所以AP =AD+DP=BF +PF=BP ．因此P 是线段AB 的中点．如果CD 与PE 不平行，由于A ，B 在直线DF 的两侧，而D 、P 、F 三点共线，∠APD=∠BPF ，故A ,P ,B 三点共线，即点P 在线段AB 上，因为已证AP=BP ，所以P 是线段AB 的中点．五、（满分15分）求证：在十进制表示中，数29的某个正整数幂的末三位数字是001．证明：因为末三位数只有000到999这1000中不同的排列情况.而291,292,…,291001是1001个29的不同的幂数，根据抽屉原理，其中存在两个29的不同的幂数，它们的末三位数字是相同的．设末三位数字相同的这两个幂数是29k 与29l ，1≤l ＜k ≤1001，因此29k −29l 被1000整除，即29l (29k −l −1)被1000整除．但(29l ,1000)=1，所以29k −l −1被1000整除，即29k l 的末三位数字是001．这就证明了存在29的某个正整数幂的末三位数字是001．A DCPEBF。