高中数学苏教版必修4教案：第一章三角函数第16课时 1.3.4三角函数的应用(2)

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苏教版高中数学必修4教学案：第一章三角函数第16课时三角函数的应用

第16课时三角函数的应用【学习目标】：1.会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期现象的重要模型.2.培养学生的逻辑思维能力和运算能力.【重点难点】：建立三角函数的模型一、预习指导1、三角函数可以作为描述现实世界中____________________________现象的一种数学模型.2、利用三角函数解决实际问题的一般步骤：(1)审题，获取有用信息；(2)构建三角函数模型 (即列出三角函数关系式)；(3)求解三角函数关系式，得出结论；(4)给出实际问题的解答。

二、典例分析例1、画出函数1sin +=x y 的图象并写出函数的周期及单调区间。

例2、如图所示，o 点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm ，.周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.(1)求物体对平衡位置的位移()x cm 和时间()t s 之间的函数关系；(2)求该物体在5t s =时的位置。

o例3、如图，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，离开平衡位置o 的距离()s cm 和时间()t s 的函数关系为)62sin(6ππ+=s .(1)单摆摆动5s 时，离开平衡位置多少cm ?(2)单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为多少cm ? (3)单摆来回摆动 10次所需的时间为多少s ?三、课堂练习：1、点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向. 若已知振幅为5cm ，周期为4s ，且物体向右运动到平衡位置时开始计时.(1 )求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系；( 2 )求该物体在 7.5t s =时的位置.o2、一个悬挂在弹簧上的小球，被从它的静止位置向下拉0.2m 的距离，然后停止，如果此小球在0t =被放开并允许振动，在1t s =时又首次回到开始振动的位置，(1)求出此小球运动的一个函数关系式；(2)求当 6.5t s =时小球所在的位置?四、拓展延伸：函数)0(sin >=ωωx y 在区间[]1,0上至少出现50个最大值，试求实数ω的最小值。

数学苏教版必修4教学设计：1.3.4三角函数的应用 Word版含解析

教学设计1.3.4三角函数的应用整体设计教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．三角函数模型的简单应用的设置目的，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习．本节通过例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用，本节在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用．通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力．培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等．三维目标1．能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律．将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型．2．通过函数拟合得到具体的函数模型，提高数学建模能力，并在探究中激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神．3．通过切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，及数学与日常生活和其他学科的联系．认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用．体会和感受数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力．重点难点教学重点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题，是本节的难点，主要原因是背景陌生，数据处理较复杂，学习起来感到难以切入．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动，小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在，那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课．思路2.(直接导入)我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，特别研究了三角函数的周期性．在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么是否可以借助三角函数来描述呢？面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用．推进新课新知探究用三角函数的图象和性质解决一些简单的生活实际问题．活动：师生互动，唤起回忆，充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程．对课前已经做好复习的学生给予表扬，并鼓励他们类比以前所学知识方法，继续探究新的数学模型．对还没有进入状态的学生，教师要帮助其回忆并快速激起相应的知识方法．在教师的引导下，学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是：收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题．这点很重要，学生只要有了这个认知基础，本节的简单应用便可迎刃而解．新课标下的教学要求，不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题，而是教师引领学生逐步登高，在合作探究中自己解决问题，探求新知．简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．解决问题的一般程序是：(1)审题：逐字逐句地阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；(2)建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；(3)求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；(4)还原：把数学结论还原为实际问题的解答．应用示例思路1例1见课本本节例1.变式训练如图1，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝sin(ωx＋φ)＋b.图1(1)求这一天的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式．活动：这道题目是2002年全国卷的一道高考题，探究时教师与学生一起讨论．本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题．教师可引导学生思考，本题给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决．题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型．其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式，然后再求函数的最值差．教师应引导学生观察思考：“求这一天的最大温差”实际指的是“求6时到14时这段时间的最大温差”，可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式．让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用．第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数，即可确定其解析式．其中求ω是利用半周期(14－6)，通过建立方程得解．解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出，从6～14时的图象是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12(30－10)＝10，b ＝12(30＋10)＝20. ∵12·2πω＝14－6，∴ω＝π8.将x ＝6，y ＝10代入上式，解得φ＝3π4. 综上，所求解析式为y ＝10sin(π8x ＋3π4)＋20，x ∈[6,14]．点评：本题中所给出的一段图象恰好是半个周期的图象，提醒学生注意抓关键．本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被学生忽略掉.例2见课本本节例2.例3如图2，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h 0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？图2活动：本例所用地理知识、物理知识较多，综合性比较强，需调动相关学科的知识来帮助理解问题，这是本节的一个难点．在探讨时要让学生充分熟悉实际背景，理解各个量的含义以及它们之间的数量关系．首先由题意要知道太阳高度角的定义：设地球表面某地纬度值为φ，正午太阳高度角为θ，此时太阳直射纬度为δ，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带，图形如图3，由画图易知太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系：h0＝htanθ.由地理知识知，在北京地区，太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长．因此，为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应当考虑太阳直射南回归线时的情况．解：如图3，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点．要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意，两楼的间距应不小于MC.图3 根据太阳高度角的定义，有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′，所以MC＝h0tanC＝h0tan26°34′≈2.000h0，即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距．点评：本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的函数模型解决问题．要直接根据图2来建立函数模型，学生会有一定困难，而解决这一困难的关键是联系相关知识，画出图3，然后由图形建立函数模型，问题得以求解．这道题的结论有一定的实际应用价值．教学中，教师可以在这道题的基础上再提出一些问题，如下例的变式训练，激发学生进一步探究.知能训练课本本节练习1、2.课堂小结1．本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用，即根据图象建立解析式，根据解析式作出图象，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？2．实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它．因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．作业1．图5表示的是电流I 与时间t 的函数关系I ＝Asin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象．图5(1)根据图象写出I ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式．(2)为了使I ＝Asin(ωx ＋φ)中的t 在任意一段1100s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值为多少？解：(1)由图知A ＝300，第一个零点为(－1300，0)，第二个零点为(1150，0)， ∴ω·(－1300)＋φ＝0，ω·1150＋φ＝π. 解得ω＝100π，φ＝π3. ∴I ＝300sin(100πt ＋π3)． (2)依题意有T ≤1100，即2πω≤1100， ∴ω≥200π，故ωmin ＝629.2．搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型．解：如以下两例：①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化，如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等；②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物，以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层，虽有保护身体的作用，但限制动物的生长、发育．因此，在胚后发育过程中，必须进行1次或数次脱去旧表皮，再长出宽大的新表皮后，才变成成虫，这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称为“蜕”，只有这样，虫体才能得以继续充分生长、发育．蜕皮现象的发生具有周期性，但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的．此外，脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显，如蜥蜴和蛇具有双层角质层，其外层在定期蜕皮时脱掉，蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤，约每2个月为一个周期可完整地脱落1次，称为蛇蜕．设计感想1．本教案设计指导思想是：充分唤起学生已有的知识方法，调动起相关学科的知识，尽量降低实例背景的相对难度，加大实际问题的鲜明、活跃程度，以引发学生探求问题的兴趣．2．应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，确定它的周期，从而建立起适当的三角函数模型．如果学生选择了不同的函数模型，教师应组织学生进行交流，或让学生根据自己选择的模型进行求解，然后再根据所求结果与实际情况的差异进行评价．3．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，有条件的要用多媒体进行动态演示，以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解．备课资料一、备选习题1．下列函数中，图象的一部分如图6所示的是( )图6A ．y ＝sin(x ＋π6)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝cos(4x －π3)D ．y ＝cos(2x －π6) 2.已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π)的一段图象如图7所示，求函数的解析式．图73．已知函数y ＝Atan(ωx ＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象与x 轴相交的两相邻点的坐标为(π6，0)和(5π6，0)，且过点(0，－3)，求此函数的解析式． 4．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s ＝6sin(2πt ＋π6)． (1)单摆开始摆动(t ＝0)时，离开平衡位置多少厘米？(2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？(3)单摆来回摆动一次需要多少时间？5．函数f(x)＝sinx ＋2|sinx|，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝kx 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．参考答案：1．D2．由图7，得A ＝2， eq \f(T,2) ＝ eq \f(3π,8) －(－ eq \f(π,8) )＝ eq \f(π,2) ， ∴T ＝π.∴ω＝2.∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵图象经过点(－ eq \f(π,8) ，2)，∴2＝2sin(－ eq \f(π,4) ＋φ)．∴φ－ eq \f(π,4) ＝2k π＋ eq \f(π,2) (k ∈Z)．∴φ＝2kπ＋ eq \f(3π,4) .∴函数解析式为y＝2sin(2x＋ eq \f(3π,4) )．3．∵T＝ eq \f(π,ω) ＝ eq \f(5π,6) － eq \f(π,6) ，∴ω＝ eq \f(3,2) .∵eq \f(3,2) × eq \f(π,6) ＋φ＝0，且－3＝Atan( eq \f(3,2) ×0＋φ)，∴A＝3，φ＝－eq \f(π,4) .故y＝3tan( eq \f(3,2) x－eq \f(π,4) )．4．(1)t＝0时，s＝3，即离开平衡位置3厘米；(2)振幅为6，所以最右边离平衡位置6厘米；(3)T＝1，即来回一次需要1秒钟．5.将原函数化简为f(x)＝sinx＋2|sinx|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3sinx，x∈[0，π]，,－sinx，x∈π，2π]，)) 由此可画出图8，INCLUDEPICTURE "../../必修四优秀教案数学苏教/必修四苏教/N10.EPS" \* MERGEFORMAT图8由数形结合可知，k的取值范围为1＜k＜3.二、数学与音乐若干世纪以来，音乐和数学一直被联系在一起．在中世纪时期，算术、几何、天文和音乐都包括在教育课程之中．今天的新式计算机正在使这条纽带绵延不断．乐谱的书写是表现数学对音乐的影响的第一个显著的领域．在乐稿上，我们看到速度、节拍(4/4拍、3/4拍，等等)、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、。

苏教版高中数学必修4-1.3《三角函数的周期性》参考教案3

课题：三角函数的周期性一、教学目标：1.了解周期函数的定义，学会简单三角函数周期求法；2.通过实例分析来认识周期和周期函数;通过讨论比较（与函数其他性质比较）使学生理解和掌握函数周期的概念；二、教学过程（一）问题情境根据单位圆中三角函数线，正弦、余弦值呈现什么样的现象?sin(2π+x)=sinx,cos(2π+x)=cosx,问题1、若记f(x)=sinx，则f(x+2π)=_______1.概念1 周期函数：对于函数f(x),如果存在一个________T，使得当x 取定义域内的______ 时，都有_______________, 那么函数f(x)就叫着__________.T叫做这个函数的_________.问题2、如果T是周期函数f(x)的一个周期，nT(n∈Z且n≠0)是否是这个函数的周期？问题3、一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？2.概念2:对于周期函数()f x，如果所有周期中存在一个最小正数，则这个最小________叫做最小正周期.函数()sinf x x=最小正周期是=最小正周期是_______,余弦函数()cosf x x____.练习1 正切函数中，tan(π+x)=tanx，正切函数的最小正周期是______。

问题2 已知函数f(x)=c, x∈R，该函数是周期函数吗? 它有没有最小正周期？练习3 已知f(x+1)= f(x-1)，则该函数是否是周期函数？如果是，它的最小正周期是___。

（二)典型例题例１求下列函数的周期（１）f(x)=cos2x ；（2）g(x)=2sin(12 x-3)定理：函数y=Asin(ωx+ϕ)及y=cos(ωx+ϕ)（其中A,ω, ϕ为常数，且A≠0,ω>0）的周期T=2πω问题4 函数y=Atan(ωx+ϕ)（其中A,ω,j 为常数，且A≠0,ω>0）的周期是______.练习：1、函数()sin()3f x kx π=+的最小正周期是23π，则正数k=_________. 2、函数()cos()3f x kx π=+的最小正周期是23π，则实数k=_________. 3、函数()tan()3f x kx π=+的最小正周期是23π，则实数k=_________. 例2、已知函数f(x)=|sinx|+|cosx|,证明函数f(x) 是周期函数.问题5 （1）已知f(x+1)= -f(x)，则该函数是否是周期函数？如果是，它的最小正周期是多少？（2）已知函数y=f(x)，满足f(x+4)= - 1f(x) ，问该函数是否是周期函数？若是,周期多少？三、回顾反思四、课后作业。

高中数学三角函数的性质教案苏教版必修4

三角函数的性质教学目标：理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点. 教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用教学过程：Ⅰ.课题导入上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.(1)定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］，分别记作： y ＝sin x ，x ∈Ry ＝cos x ，x ∈R(2)值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sin x ｜≤1，｜cos x ｜≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y =sin x ，x ∈R①当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. ②当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.(3)周期性由⎩⎨⎧=+=+x k x x k x cos )2cos(sin )2sin(ππ (k ∈Z ) 知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期. 由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期.对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.(4)奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.(5)单调性从y ＝sin x ，x ∈［－π2 ，3π2］的图象上可看出：当x ∈［－π2 ，π2］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1. 当x ∈［π2 ，3π2］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－π2 ＋2k π，π2＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［π2 ＋2k π，3π2＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么.(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ； (2)y ＝sin2x ，x ∈R .解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝.函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2.(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且使函数y ＝sinZ ，Z ∈R 取得最大值的Z的集合是｛Z ｜Z ＝π2＋2k π，k ∈Z ｝由2x ＝Z ＝π2 ＋2k π，得x ＝π4＋k π 即：使函数y ＝sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝π4＋k π，k ∈Z ｝. 函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是1.［例2］求下列函数的定义域：(1)y ＝1＋1sin x(2)y ＝cos x 解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1即x ≠3π2＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为｛x ｜x ≠3π2＋2k π，k ∈Z ｝ (2)由cos x ≥0得－π2 ＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为［－π2 ＋2k π，π2＋2k π］(k ∈Z )［例3］求下列函数的单调递增区间：①y ＝cos(2x ＋π6 )；②y ＝3sin(π3 －x 2) 解：①设u ＝2x ＋π6，则y ＝cos u 当2k π－π≤u ≤2k π时y ＝cos u 随u 的增大而增大又∵u ＝2x ＋π6随x ∈R 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋π6 )当2k π－π≤2x ＋π6≤2k π(k ∈Z ) 即k π－7π12 ≤x ≤k π－π12时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋π6)的单调递增区间为：［k π－7π12 π，k π－π12］(k ∈Z ) ②设u ＝π3 －x 2，则y ＝3sin u 当2k π＋π2 ≤u ≤2k π＋3π2时，y ＝3sin u 随x 增大在减小，又∵u ＝π3 －x 2随x ∈R 增大在减小 ∴y ＝3sin(π3 －x 2 )当2k π＋π2 ≤π3 －x 2 ≤2k π＋3π2即－4k π－7π3 ≤x ≤－4k π－π3时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝3sin(π3 －x 2 )的单调递增区间为［4k π－7π3 ，4k π－π3］(k ∈Z ) Ⅲ.课堂练习课本P 33 1～7Ⅳ.课时小结通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用，解决一些相关问题.Ⅴ.课后作业课本P 46 习题 2、3、4课后练习：1．给出下列命题：①y ＝sin x 在第一象限是增函数；②α是锐角，则y ＝sin(α＋π4)的值域是［－1，1］； ③y ＝sin ｜x ｜的周期是2π；④y ＝sin 2x －cos 2x 的最小值是－1；其中正确的命题的序号是_____.分析:①y ＝sin x 是周期函数，自变量x 的取值可周期性出现，如反例：令x 1＝π3 ，x 2＝π6＋2π，此时x 1＜x 2 而sin π3 ＞sin(π6＋2π) ∴①错误；②当α为锐角时，π4 ＜α＋π4 ＜π2 ＋π4由图象可知22＜sin(α＋π4)≤1 ∴②错误；③∵y ＝sin ｜x ｜(x ∈R )是偶函数.其图象是关于y 轴对称，可看出它不是周期函数.∴③错误；④y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，最小值为－1∴④正确.答案：④评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.2．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝lg(sin x －32) (2)y ＝22cos3x －1 分析：根据函数有意义列不等式，求x 的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.解：(1)要使lg(sin x －32)有意义，必须且只须sin x ＞32，解之得：2k π＋π3 ＜x ＜2k π＋2π3，k ∈Z 又∵0＜sin x －32≤1－32 ∴lg(sin x －32)≤lg(1－32) ∴定义域为(2k π＋π3 ，2k π＋2π3)，(k ∈Z ) 值域为(－∞，lg(1－32)］. (2)要使22cos3x －1 有意义，必须且只须2cos3x －1≥0，即cos3x ≥12，解之得2k π－π3 ≤3x ≤2k π＋π3即 2k π3 －π9 ≤x ≤2k π3 ＋π9，k ∈Z . 又0≤2cos3x －1≤1故0≤22cos3x －1 ≤2∴定义域为［2k π3 －π9 ，2k π3 ＋π9］，k ∈Z 值域为［0，2］评述：求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题，要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.4.比较下列各组数的大小：(1)sin195°与cos170°;(2)cos 32 ，sin 110 ，－cos 74(3)sin(sin 3π8 )，sin(3π8). 分析：化为同名函数，进而利用单调性来比较函数值的大小.解：(1)sin195°＝sin(180°＋15°)＝－sin15°cos170°＝cos(180°－10°)＝－cos10°＝－sin80°∵0°＜15°＜80°＜90°又∵y ＝sin x 在［0°，90°］上是递增函数，∴sin15°＜sin80° ∴－sin15°＞－sin80°∴sin195°＞cos170°.(2)∵sin 110 ＝cos(π2 －110) －cos 74 ＝cos(π－74) 又∵π2 －110 ＝1.47＜1.5＝32π－74 ＝1.39＜1.4＜π2 －110 ＜32而y ＝cos x 在［0，π］上是减函数，由π－74 ＜π2 －110 ＜32＜π 得cos 32 ＜cos(π2 －110 )＜cos(π－74) 即cos 32 ＜sin 110 ＜－cos 74. (3)∵cos 3π8 ＝sin π8∴0＜cos 3π8 ＜sin 3π8＜1 而y ＝sin x 在［0，1］内递增∴sin(cos 3π8 )＜sin(sin 3π8 ).。

高中数学苏教版必修4教案：第一章三角函数第15课时 1.3.4三角函数的应用(1)

第十五课时 §1.3.4 三角函数的应用（1）【教学目标】一、知识与技能：会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题；体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型二、过程与方法从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用三、情感态度价值观：培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活教学重点难点：建立三角函数的模型【教学过程】一．复习回顾1、回顾课本 “三角函数的周期性”2、求函数sin()y A x k ωϕ=++的解析式3、查阅物理中“单摆运动” 二．新课讲解：一定条件下，单摆运动是一种周期性的运动，从而引出对具有周期性现象的问题的研究，可用具有周期性规律的三角函数来描述。

实际上，三角函数能够描述、模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用。

三、例题分析：例1、（教材P42例1）点评：本题是简谐运动的问题，在利用三角函数描述问题时，首先分析此现象具有周期性，其次结合题意作出函数草图，然后根据图象用“待定系数法”求出sin()y A x k ωϕ=++。

例2、（教材P43例2）点评：①本题是圆周运动的问题；②寻找变量间的关系是关键，结合图形建立恰当的直角坐标系，将几何问题代数化已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图例3、如图所示，求函数的一个解析式。

例4、已知函数cos()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的最小值是5-，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4π，且图象经过点5(0,)2-，求这个函数的解析式。

x33π 56π3O例5、已知函数sin()y A x B ωϕ=++（0A >，0ω>，||ϕπ<）的最大值为值为，周期为23π，且图象过点(0,4-，求这个函数的解析式四、课堂小结：本课所学内容，重点应用了三角函数的什么性质？以后研究哪类问题可以借助于三角函数模拟呢？五、作业：（补充）1．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||ϕπ<）的周期是23π，最小值是2-，且图象过点5(,0)9π，求这个函数的解析式；2．函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的最小值是2-，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标的差是3π，又图象经过点(0,1)，求这个函数的解析式3．如图为函数sin()y A x ωϕ=+（||2πϕ<，x R ∈）的图象中的一段，根据图象求它的解析式。

苏教版必修4高中数学第1章《三角函数》三角函数的周期性教学案

高中数学第1章《三角函数》三角函数的周期性教学案苏教版必修4教学目标：了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期。

教学重点：周期函数的定义，正弦、余弦、正切函数的周期性教学难点：周期函数的概念教学过程：一、问题情境：日出日落，寒来暑往……自然界中有许多按一定规律周而复始的现象，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。

三角函数是刻画圆周运动的数学模型，那么这种周而复始的基本特征又体现在哪里呢？问题：单位圆中的三角函数线如何变化？二、学生活动：探究：1、sin(x+2π)=________, cos(x+2π)=_________.2、记f(x)=sinx，则有f(x+2π)=______________,如何用数学语言刻画？三、知识建构：1、正、余弦函数的周期性：2、周期函数：思考：（1）正、余弦函数的周期有多少个？（2）周期函数的图像具有什么特征？3、最小正周期：思考：正切函数是否为周期函数？若是，周期为多少？四、知识运用：例1、若钟摆的高度h( mm )与时间t( s )之间的函数关系如图所示：（1）求该函数的周期；（2）求t=10 s 时钟摆的高度。

小结：例2、求下列函数的周期：（1）f( x )=cos2x （2）g( x )=2sin(1x 26π-)结论：一般地，函数y=Asin(x ωϕ+)及y=Acos(x ωϕ+)(其中A ，ω，ϕ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T=__________.练习：书P25 1-4五、回顾反思：知识：思想方法：六、作业布置：书P44 习题1.3 1。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 1.3.4 三角函数的应用》1

浅谈高中数学建模核心素养的培养-----以“三角函数的应用”教学为例数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。

——恩格斯。

21世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化。

一方面，数学因其日益公理化、形式化而忽视与现实生活的密切联系。

另一方面，因数学应用的发展，数学几乎渗透到每一个学科领域及人们生活的方方面面。

割断数学与现实生活的联系的教学内容、教学方式，不仅会极大地降低学生数学学习的热情与动力，而且会造成学生对数学学科的错误理解，更无法让学生感受到数学在日常生活中的作用。

因此，必须沟通生活中的数学与教科书上的数学之间的联系，使数学与生活融为一体。

数学建模就很好的搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。

《普通高中数学课程标准2021年版》指出：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法建构模型解决问题的过程。

数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。

数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。

数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。

从核心素养的角度认识数学建模，这中间有三层意思：一是对现实问题的数学抽象，二是用数学语言表达问题，三是用数学方法构建模型解决问题。

通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。

数学建模的学业质量被划分成递进的三个水平，一了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义。

知道数学建模的过程包括：提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型。

能够在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程解决问题。

苏教版高中数学必修4第1章三角函数.docx

第1章三角函数§1.1任意角、弧度1．1.1任意角课时目标1．了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零角．2．理解象限角与终边相同的角的定义．掌握终边相同的角的表示方法，并会判断角所在的象限．1．角(1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着它的________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按______________所形成的角负角按______________所形成的角零角一条射线______________，称它形成了一个零角2.象限角以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴重合，建立平面直角坐标系，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是________________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．一、填空题1．经过10分钟，分针转了________度．2．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在______．3．若α是第四象限角，则180°－α是第____象限角．4．－2011°是第________象限角．5．与－495°终边相同的最大负角是________，最小正角是________．6．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是第________象限． 7．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________________．8．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝k·180°2±45°，k ∈Z ， P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P 之间的关系为________． 10．已知α是小于360°的正角，如果7α角的终边与α的终边重合，则角α的集合是________．二、解答题11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．能力提升13．如图所示，写出终边落在直线y ＝3x 上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．14．设α是第二象限角，问α3是第几象限角？1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角．(2)k ·360°与α之间是“＋”号，k ·360°－α可理解为k ·360°＋(－α)．(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．(4)k ∈Z 这一条件不能少．第1章三角函数§1.1 任意角、弧度1．1.1 任意角知识梳理1．(1)一条射线端点旋转 (2)逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转2．第几象限角3．α＋k·360°，k ∈Z作业设计1．－60 2.x 轴的正半轴 3.三4．二解析 ∵－2011°＝－6×360°＋149°，且149°是第二象限角，∴－2011°是第二象限角．5．－135° 225°解析－495°＝－360°＋(－135°)，－495°＝－2×360°＋225°.6．二或四解析由k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ，得k 2·360°＋90°<α2<k 2·360°＋135°，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角． 7．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }8．－110°或250°解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k ·360°＋250°，k ∈Z .∵－360°<θ<360°， ∴k ＝－1或0.∴θ＝－110°或250°.9．M P解析对集合M 来说，x ＝(2k ±1)45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)45°，即45°的倍数．10．{60°，120°，180°，240°，300°}解析 ∵7α角的终边与角α的终边重合，∴7α＝k ·360°＋α(k ∈Z )，∴α＝k ·60°，又∵0<α<360°，k ∈Z ，∴α＝60°，120°，180°，240°，300°.∴角α的集合是{60°，120°，180°，240°，300°}．11．解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．12．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z }．②{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z }．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z }∪{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z }＝{α|2k ·180°＋30°≤α<2k ·180°＋105°，k ∈Z }∪{α|(2k ＋1)180°＋30°≤α<(2k ＋1)180°＋105°，k ∈Z }＝{α|2k ·180°＋30°≤α<2k ·180°＋105°或(2k ＋1)180°＋30°≤α<(2k ＋1)180°＋105°，k ∈Z } ＝{α|k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋105°，k ∈Z }．13．解终边落在y＝3x (x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y＝3x (x≤0) 上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边在y＝3 x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．14．解当α为第二象限角时，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，∴30°＋k3·360°<α3<60°＋k3·360°，k∈Z.当k＝3n时，30°＋n·360°<α3<60°＋n·360°，此时α3为第一象限角；当k＝3n＋1时，150°＋n·360°<α3<180°＋n·360°，此时α3为第二象限角；当k＝3n＋2时，270°＋n·360°<α3<300°＋n·360°，此时α3为第四象限角．综上可知α3是第一、二、四象限角．。

高中数学第1章三角函数教学设计苏教版必修4(2021年整理)

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高中数学第1章三角函数教学设计苏教版必修4错误!知识网络1．任意角的概念是本章的基础,推广了角，扩大了研究的范围．在此基础上,为了计算中的简单,引入了两种度量制度:角度制与弧度制，但是其本质是一样的．其最基本的一个应用就是简化了弧长与扇形面积公式．同时也为定义任意角的三角函数作了前期工作，也就得到了本章的核心问题——任意角的三角函数定义．从这个核心出发,分成四条路线走,研究最基本的比例，就可以得到同角三角函数的基本关系式，同时根据定义就可以推导出诱导公式．知道了核心的本质意义在坐标系里面，可以定义点的坐标，为推导第三章和角公式作了应有的准备．而和角公式的两个特殊方面只是本身的一个推广,由此就得来了复杂多变的三角函数公式，而这些复杂的公式（第三章的倍角公式，差角公式)的本质又是和角公式．抛开比例的式子，应用弧度制的度量作为基础，就有了三角函数的图象和性质，这是三角与函数结合的产物，既有函数的特征,因此可以用函数的知识来解,又具有三角的特性,因此还可以用这一特点进行一些特殊的运算．所有的推导可以应用在计算与化简、证明恒等式上．2．数学的魅力在于系统、严密，学习的兴趣在于环环相扣．本章最为理想的复习方法就是引导学生打通本章中的这张知识网络图,这是进行具体问题具体分析的理论依据,也是解决问题最基本的方法．教师指导学生步步为营,将其引入数学王国，畅游科学殿堂．《三角函数》一章知识网络图三维目标1．通过全章复习，让学生切实掌握三角函数的基本性质，会判定三角函数的奇偶性，确定单调区间及求周期的方法．熟练掌握同角三角函数的基本关系式及六组诱导公式，弄清公式的推导关系和互相联系，让学生做到记准、用熟．2．要求学生会用“五点法”作正、余弦函数的简图,掌握应用基本三角变换公式的求值、化简、证明．3．本章的最终目标是让学生熟练掌握三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力，以及数形结合思想、转化与化规思想,激发学生学习兴趣,培养他们善于总结、善于合作、善于创新以及应用数学解决实际问题的能力．重点难点教学重点：三角函数的定义，诱导公式，以及三角函数的图象与性质．教学难点：三角恒等变形及三角函数的图象与性质的综合运用．课时安排1课时错误!导入新课思路1.（复习导入)了解一下全章的知识网络结构，并回顾思考本章学习了哪些具体内容：首先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的关系式,诱导公式．又共同学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质．接下来，我们又共同探讨了它们的应用，并能运用上述公式和性质进行三角函数式的化简、求值、证明以及它们的综合运用．由此展开全章的系统复习．思路2。

高中数学必修4第一章三角函数完整教案

第一章三角函数 4-1.1.1任意角（1）教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义教学难点：“旋转”定义角课标要求：了解任意角的概念教学过程：一、引入同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。

三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。

二、新课1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

师：如图1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。

旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o” （即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？生：逆时针旋转300；顺时针旋转300. 师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。

本节课将在已掌握～角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法． 2.角的概念的推广： (1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 1.3.4 三角函数的应用》46

三角函数的综合应用考情分析考点新知理解和掌握同角三角函数的基本关系式、三角函数的图象和性质、两角和与差的正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定理和余弦定理，并能运用它们解决有关三角函数的综合问题．2 B级考点：①同角三角函数的基本关系式②二倍角公式③三角函数的图象和性质④正弦定理和余弦定理一、知识清单：1 同角三角函数的基本关系式：in2α＋co2α＝1，tanα＝错误!2 两角和与差的正弦余弦和正切公式：inα±β＝inαcoβ±coαinβ，coα±β＝coαcoβinαinβ，tanα±β＝错误!3 二倍角公式：in2α＝2inαcoα，co2α＝co2α－in2α＝2co2α－1＝1－2in2α，tan2α＝错误!4 三角函数的图象和性质5 正弦定理和余弦定理：1 正弦定理：错误!＝错误!＝错误!＝2RR为三角形外接圆的半径．2 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccoA，coA＝错误!二、回归教材：1 必修5＝错误!与n＝3，inA＋错误!coA共线，其中A是△ABC的内角．1 求角A的大小；2 若BC＝2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．变式训练：已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝a，b，n＝in B，in A，∥n，求证：△ABC 为等腰三角形；2 若m⊥，边长c＝2，角C＝错误!，求△ABC的面积．当堂达标：1 函数f＝co错误!co错误!的最小正周期为________．2 已知函数f＝in错误!，其中∈错误!，若f的值域是错误!，则a的取值范围是________．3 已知△ABC中，AB＝错误!，BC＝1，inC＝错误!coC，则△ABC的面积为________．4 设当＝θ时，函数f＝in－2co取得最大值，则coθ＝________．。

高中数学第1章《三角函数》任意角的三角函数(1)教学案苏教版必修4(1)

江苏省射阳县盘湾中学高中数学第1章《三角函数》任意角的三角函
数(1)教学案苏教版必修4 教学目标：掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义。

掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这
三种函数的值在各象限的符号。

教学重点：正弦、余弦、正切的定义教学难点：正弦、余弦、正切的定义
教学过程：
一、问题情境：在Rt ABC 中sin α=__________
cos α=_________,tan α=_________. 二、学生活动：
１、在直角坐标系中，设α（锐角）终边上任意一点P （x,y ）到原点距离为r (r=22a b +)，则sin α=_______,cos α=________,tan α=_______.
你能将锐角三角函数推广到任意角吗？
三、知识建构：
1、正弦：
余弦：
正切：
思考：它们的值与终边上的点P 的选取有关吗？
2、三角函数：
3、三角函数定义域：
4、三角函数值在各象限符号：
四、知识运用：
例1、已知角α的终边经过点P(2,-3) ，求α的正弦、余弦、正切值。

A C
B x y
x y α α
变式训练：若角θ的终边过点P(4a,-3a)(a≠0),求sinθ和cosθ的值。

小结：
例2、确定下列三角函数值的符号。

（1）cos
7
12
π（2）sin（-465°）（3）tan
11
3
π。

高中数学：第1章三角函数教案(苏教版必修4)

第 16 课时本章复习与小结三角函数一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广(1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转)(2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+⋅=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量(1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1)(180'≈==ππ弧度弧度(3)弧长公式:r l ⋅=α 扇形面积公式:22121r lr S α==3.任意角的三角函数注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式（一）诱导公式：απ±⋅2k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变，符号看象限”。

如：,27cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ ()⎪⎭⎫⎝⎛--απαπ25sin ;5tan 等。

（二）同角三角函数的基本关系式： ①平方关系1cos sin22=+αα；αααα2222tan 11cos cos 1tan 1+=⇔=+②商式关系αααtan cos sin =；αααcot sin cos =③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。

关于公式1cos sin22=+αα的深化()2cos sin sin 1ααα±=±；αααcos sin sin 1±=±；2cos2sinsin 1ααα+=+如：4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=-注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为0~90角的三角函数。

2、主要用途：已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的范围，②用三角函数的定义求解会更方便）；化简同角三角函数式；三、三角函数的性质y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx图象定义域 x ∈R x ∈R x ≠k π+2π(k ∈Z)x ≠k π(k ∈Z) 值域 y ∈[－1,1] y ∈[－1,1] y ∈R y ∈R 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在区间[2k π－2π,2k在区间[2k π－2k π]上都是增函数在区间[2k π，2k π+在每一个开区间在每一个开区间（k π,k π+π）基础题型归类1.运用诱导公式化简与求值：要求：掌握2k πα+,πα+,α-,πα-,2πα-,2πα+等诱导公式. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 例1.求值：cos600练 1 （1）若cos(π+α)=12-，32π<α<2π, 则sin(2π－α)等于 .（2）若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为 . （3）sin (176-π)的值为 .2.运用同角关系化简与求值：要求：掌握同角二式（22sin cos 1αα+=,sin tan cos ααα=），并能灵活运用. 方法：平方法、切弦互化.例2 （1）化简sin 1sin tan tan sin cos x x x x x x +--；（2）已知51cos sin =+x x , 且π<<x 0, 求x tan 的值.练 2 （1）已知81cos sin =⋅αα，且4π＜α＜2π，则ααsin cos -的值为 . （2）已知αtan =3, 计算：（i ）2212sin cos sin cos αααα+-；（ii ）αααα22cos 4cos sin 3sin +-.3.运用单位圆及三角函数线：要求：掌握三角函数线，利用它解简单的三角方程与三角不等式. 方法：数形结合.例 5 （1）已知42ππθ<<，则sin θ、cos θ、tan θ的大小顺序为 . （2）函数12()log (sin cos )f x x x =-的定义域为 .练5 （1）若1cos 2α>-, 则角α的取值集合为____________.（2）在区间（0，2π）内，使x x cos sin <成立的x 的取值范围 . 4.弧度制与扇形弧长、面积公式：要求：掌握扇形的弧长与面积计算公式，掌握弧度制. 方法：方程思想.例6 某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的弧度数为 .练6 （1）终边在直线y =上的所有角的集合为，其中在－2π～2π间的角有 .（2）若α为第三象限角，那么－α，2α、2α为第几象限的角?5.三角函数的定义、定义域与值域：要求：掌握三角函数定义（单位圆、终边上点），能求定义域与值域. 方法：定义法、数形结合、整体.例7角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－54，则m的值是 . 练7 （1）函数()tan(2)13f x x π=--+的定义域为____________.（2）把函数)32sin(π+=x y 的图像上各点的横坐标变为原来的13，再把所得图像向右平移8π，得到 .6.三角函数的图象与性质：要求：掌握五点法作图、给图求式，由图象研究性质. 方法：五点法、待定系数法、数形结合、整体. 例8 （1）已知函数()tan(2)26f x x π=++.求()f x 的最小正周期、定义域、单调区间.（2）已知函数3sin(2)4y x π=+. （i ）求此函数的周期，用“五点法”作出其在长度为一个周期的闭区间上的简图. （ii ）求此函数的最小值及取最小值时相应的x 值的集合练8 （1）函数sin()(0,0,)y A x A ωϕωϕπ=+>><最高点D 的坐标是(2,2)，由最高点运动到相邻的最低点时，函数图象与x轴的交点坐标是(4，0)，则函数的表达式是 .（2）如图，它表示电流sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象. 则其解析式为 . （3）函数12log sin(2)4y x π=+的单调减区间为 .（4）函数2cos ,[0,2]y x x π=∈的图象和直线y=2所围成的封闭图形的面积为 .（5）画出函数3sin(2)3y x π=+，x ∈R 的简图. 并有图象研究单调区间、对称轴、对称中心. 7.三角函数的应用（1）某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）函数，记为)(t f y =，下面是某日水深数据：t （时） 03 6 9 12 15 18 21 24 y （米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0经过长期观察，)(t f y =的曲线可以近似看成y=Asin ωt+b 的图象. （i ）根据以上数据求出)(t f y =的近似表达式；（ii ）船底离海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度为6.5米（船底离水面距离），如果此船在凌晨4点进港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少时间？（忽略进出时间）.（2）如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式sin()(0,0),I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象.根据图象得到sin()I A t ωϕ=+的一个解析式是 . （3）已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t≤24，单位：小时）的函数，经过长期的观察，该函数的图象可以近似地看成sin()y A t b ωϕ=++. 下表是测得的某日各时的浪高数据：依规定，当浪高不低于1米时浴场才开放，试安排白天内开放浴场的具体时间段.t(时)3 6 9 12 15 18 21 24 y （米） 1.51.00.51.01.51.00.50.991.5。

高中数学苏教版必修4教案：第一章三角函数第16课时 1.3.4三角函数的应用(2)

第十六课时 §1.3.4 三角函数的应用（2）【教学目标】一、知识与技能：会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题；体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型二、过程与方法从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用三、情感态度价值观：培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活教学重点难点：建立三角函数的模型【教学过程】一．复习回顾1、回顾课本 “三角函数的周期性”2、求函数sin()y A x k ωϕ=++的解析式二、例题分析：例1、（教材P46的11）点评：本题和例2类似分析，合理建系找关系，从而得出三角函数解析式解决问题。

例2、 (教材P44例3)点评：本题是一个与潮汐运动有关的港口水深问题，首先分析此现象具有周期性，其次结合题意作出函数草图，然后根据图象确定sin()y A x k ωϕ=++的解析式即可。

三、课堂小结：通过这两节课的学习,利用三角函数描述具有周期性现象的问题时,你总结出了怎样的好的解决办法?四、课后思考：1、下表是某城市1973－2002年月平均气温（华氏 °F ）若用x 表示月份，y 表示平均气温，则下面四个函数模型中最合适的是（）A ．26cos6y x π= B ．(1)26cos466x y π-=+C ．(1)26cos466x y π-=-+ D ．26sin266y x π=+2、某港口水的深度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：时）的函数，记作y=f （t ），下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f （t ）的曲线可以近似地看成函数y Asin(t )k =ω+ϕ+的图象. （1）试根据以上数据，画出函数y f (t)=的草图，并求其近似表达式；（2）试说明y f (t)=的图象可由y sin t =的图象经过怎样的变换得到；（3）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）369121518212410。

高中数学第一章三角函数 1.3 三角函数的图象和性质学案苏教版必修4(2021年整理)

高中数学第一章三角函数1.3 三角函数的图象和性质学案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.3 三角函数的图象和性质学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.3 三角函数的图象和性质典题精讲例1 求函数y=2sin 1sin 3++x x 的值域.思路分析：此类题型可转化为分式函数值域的求法，即分离常数法,或通过反解sinx 法，利用sinx 的值域确定原函数的值域. 解:由y=2sin 1sin 3++x x ,得sinx=y y --312。

∵|sinx｜≤1，∴|y y --312｜≤1.解得-2≤y≤34. ∴y max =34，此时sinx=1;y min =—2，此时sinx=—1。

∴函数的值域为［—2，34].绿色通道:本题的解法对形如“求y=d x c b x a ++sin sin 或y=dx c bx a ++cos cos 的函数的值域(或最大值、最小值)”问题具有一般性. 变式训练（2006安徽高考卷，理8）设a>0，对于函数f （x)=xax sin sin +（0〈x<π），下列结论正确的是（）A.有最大值而无最小值 B 。

有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值思路解析：令t=sinx,t∈（0,1］，则函数f （x ）=x a x sin sin +(0<x 〈π)的值域为函数y=1+ta，t∈(0,1］的值域，又a>0，所以y=1+ta，t∈（0，1］是一个减函数.故选B.答案：B例2 求下列函数的周期：(1）y=cos2x ；(2)y=-2cos （—21x-1);(3）y=|sin2x|；（4）y=cos3x+sin2x 。

高中数学第一章三角函数学案苏教版必修4

第一章三角函数学案1．三角函数的概念重点掌握以下两方面内容：①理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速进行弧度与角度的换算．②掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．2．同角三角函数的基本关系式能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角恒等式的证明；能逆用公式sin2α＋cos2α＝1巧妙解题．3．诱导公式能用公式一至公式六将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．4．三角函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R (kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)值域[－1,1][－1,1](－∞，＋∞)最值x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，y max＝1；x＝2kπ－π2(k∈Z)时，y min＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，y max＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y min＝－1无最大、最小值周期性周期T＝2kπ(k∈Z)周期T＝2kπ(k∈Z)周期T＝kπ(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上是增函数；在2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)上是减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数在(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数对称性轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋π2，k∈Z；轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ，k∈Z；中心对称图形，对称中心对称图形，对称中心⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0(k∈Z)中心对称图形，对称中心(k π，0)(k ∈Z )中心(k π＋π2，0)(k ∈Z )5.三角函数的图象与性质的应用(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图象的变换，能从图象中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图象归纳出函数的性质．(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．题型一任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求与三角函数有关的定义域．例1 求函数y ＝sin x ＋ cos x －12的定义域．解由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≥12，如图，结合三角函数线知：⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z ，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3k ∈Z ，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 跟踪演练1 设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．解 (1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知：定义域为{x |2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z }．(2)∵－1≤sin x ≤1， ∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0， ∴0≤1－2sin x ≤3， ∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．题型二同角三角函数的关系式及诱导公式(1)牢记两个基本关系式sin 2 α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法，如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用． (2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变．符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．例2 已知2＋tan θ－π1＋tan 2π－θ＝－4，求(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)的值．解方法一由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2. ∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ) ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2 θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1＝8－4－34＋1＝15. 方法二由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2.即sin θcos θ＝2，∴sin θ＝2cos θ. ∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos 2θ＝cos 2θsin 2 θ＋cos 2θ＝1tan 2θ＋1＝15. 跟踪演练2 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2 α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．解 (1)方法一联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2 α＋cos 2 α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2 α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角，∴sin α＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.方法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0， ∴sin α－cos α＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α ＝tan 2α＋11－tan 2α， ∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. 题型三三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求：(1)用“五点法”作y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π.(2)对于y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b 的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．(3)由已知函数图象求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图象求得的y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式一般不是唯一的，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．例3 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图象如图．(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求y ＝g (x )的解析式．解 (1)由题意，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8，故ω＝2πT ＝π4.∵图象过点(－1,0)，∴－π4＋φ＝0.∴φ＝π4.∴所求的函数解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)∵g (x )与f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴g (x )的图象是由f (x )沿x 轴平移得到的，找出f (x )上的点(1,2)关于直线x ＝2的对称点(3,2)，代入g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x ＋θ得θ＝－π4，∴g (x )的解析式为g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4.跟踪演练3 若0<x <π2，则2x 与πsin x 的大小关系是________．①2x >πsin x ；②2x <πsin x ；③2x ＝πsin x ；④与x 的取值有关．答案 ②解析在同一坐标平面内作出函数y ＝2x 与函数y ＝πsin x 的图象，如图所示．观察图象易知：当x ＝0时，2x ＝πsin x ＝0；当x ＝π2时，2x ＝πsin x ＝π；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，函数y ＝2x 是直线段，而曲线y ＝πsin x 是上凸的．所以2x <πsin x .题型四三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．例4 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，且f (x )在[－3，－2]上单调递减，而α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f (sin α)>f (cos β)．证明 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴y ＝f (x )的周期为2. ∴f (x )在[－1,0]与[－3，－2]上的单调性相同． ∴f (x )在[－1,0]上单调递减．∵f (x )是偶函数， ∴f (x )在[0,1]上的单调性与[－1,0]上的单调性相反．∴f (x )在[0,1]上单调递增．① ∵α，β是锐角三角形的两个内角， ∴α＋β>π2，∴α>π2－β，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，π2－β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.又∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增， ∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β，即sin α>cos β.②由①②，得f (sin α)>f (cos β)．跟踪演练 4 已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0得g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12， ∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．。

(新课程)高中数学第1章《三角函数》教案苏教版必修4

三角函数一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广(1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+⋅=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量(1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1)(180'≈==ππ弧度弧度(3)弧长公式:r l ⋅=α 扇形面积公式:22121r lr S α== 3.任意角的三角函数yxx y x rr x y r r y ======ααααααcot tan sec cos csc sin注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式（一）诱导公式：α-απ- απ+ απ-2απ-2απ+2απ-23 απ+23 αsinαcos αtanαπ±⋅2k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变，符号看象限”。

如：,27cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ ()⎪⎭⎫⎝⎛--απαπ25sin ;5tan 等。

（二）同角三角函数的基本关系式： ①平方关系1cos sin 22=+αα；αααα2222tan 11cos cos 1tan 1+=⇔=+②商式关系αααtan cos sin =；αααcot sin cos = yxP(x,y)r22>+=y x r 0y全++++sinα和cscαtanα和cotαcosα和secα③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。

关于公式1cos sin 22=+αα的深化()2cos sin sin 1ααα±=±；αααcos sin sin 1±=±；2cos2sinsin 1ααα+=+如：4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=-注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 0~ 90角的三角函数。

苏教版必修4高中数学第1章《三角函数》三角函数的诱导公式(1)教学案

高中数学第1章《三角函数》三角函数的诱导公式(1)教学案
苏教版必修4
教学目标：能借助于单位圆，推导出正弦、余弦、正切的诱导公式，能正确利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值等问题。

注重渗透
数形结合及化归转化的数学思想。

教学重点：诱导公式的推导和应用
教学难点：诱导公式的应用
教学过程：
一、问题情境：
问题1：终边相同角的同一三角函数值是否相等，由此你能得到什么结论？
问题2：如果角α的终边与角β的终边关于x轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？
问题3：如果角α的终边与角β的终边关于y轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？
问题4：如果角α的终边与角β的终边关于原点对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？
二、学生活动：
1、角α与-α的终边关于_______对称，所以______________________________.
-的终边关于_______对称，所以___________________________.
2、角α与πα
+的终边关于_______对称，所以___________________________.
3、角α与πα
三、知识建构：
1、公式1：
2、公式2：
3、公式3：
4、公式4：
四、知识运用：
例1、求值：
（1）sin 7
6
π（2）cos
11
4
π（3）tan(-1560°)
小结：
练习：书P20 1-4
五、回顾反思：
知识：思想方法：
六、作业布置：
书P23 15(1)(3)、16。

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