第19章 量子力学基础作业
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物理意义：势阱中1个粒子不能同时处于2个能态
6．氢原子处于n = 2 , l = 1的激发态，求氢原 子能量、角动量及角动量z分量的可能值。 解：氢原子的能量为
En
13.6 n
2
eV
n = 2代入
E2 3.4eV
l 1代入得：L 2
L 2 (ml
L l ( l 1)
3.归一化条件表明，尽管在空间各点粒子出现的几 不相同 但在粒子运动的整个空间找到粒子 率一般_______, 等于1 的几率的总和却总是__________ 。 4.对于不受外力的自由粒子，在运动过程中能量E 和动量 p 不变 ,根据德布罗意假设，与自由粒子相 h/ p 7 E / h 波长_________. 联系的物质波的频率 ________,
11
A 2.有一粒子沿x轴方向运动,其波函数为 y ( x) 1 ix
(1)将此波函数归一化； (2)求出粒子按坐标的概率密度分布函数; (3)问在何处找到粒子的概率最大，为多少？ (2) 粒子的概率密度:
2
( x) y
dw 0 dx
y y
*
1
1
2
1 x
1
（3）概率最大时:
9.在没有外界力场作用的空间内,一个经典粒 子的最低能量应为 零 ; 而微观粒子与经 典粒子不同，其最低能量 大于零 10.描述原子中电子运动状态的四个量子数 是 n 、 l 、 ml 、 ms ，它们分别对应电 子的 主量子数 、 角量子数 、 、 自旋磁量子数 。 磁量子数
9
（三）计算题
1.已知线性谐振子的基态波函数为0 ( x)
wenku.baidu.com
a
0
m n sin x sin xdx a a
1 1 积分表： sin ax sin bxdx sin(a b)x sin(a - b)x 2(a b) 2(a - b)
2 a a 【sin (m n)x sin (m - n)x】 a 2 (m n) a 2 (m - n) a 0
(1)将此波函数归一化； (2)求出粒子按坐标的概率密度分布函数; (3)问在何处找到粒子的概率最大，为多少？
解: (1)
归一化条件: 2 A A y dx dx 1 ix 1 ix
A
2
1
x
2
dx 1
A 1
2
A
1
1
1 归一化后的波函数: y 1 ix
6
（二）填空
2 1.波函数本身不具有确定的物理意义，而 y (r , t ) 单位 体积内出现 表示在 t 时刻，在坐标为 x,y,z 处______ 几率密度 。 几率 称为__________ 的_______, 2.波函数 y (r , t ) 必须是_____ _____、 _____ 单值 、 有限 连续 的 函数。上述条件为波函数的________ 标准化 条件。
2
1 x2 B. u 0
D. u
(1 x 1) ( x是其它值)
x
sin x
5.下列哪一项不是薛定谔方程的基本特点（ D） A.是关于时间的一次微分方程，只需一个初始 条件便足以确定其解 B.包含一个“i”因子，因此满足此方程的波函数 一般是复函数 C.非相对论的，不适合m＝0的粒子 D.仅适用于势能不随时间变化的状态
a a 5a B. , , 6 2 6 a D. 2
y ( x)
o
a 3
2a 3 题7图
a
x
8.微观粒子能够穿透大于其动能的势垒的现 象，叫做隧道效应，该效应可解释为（ B）
A.粒子从别处获得了能量
B.粒子的动能具有不确定度
C.在势垒内部存在一个隧道 D.以上都不对
9.在量子力学中，一维谐振子的最低能量不 等于零，这是由于（ B） A.谐振子的能量只能取离散的值 B.微观粒子具有波粒二象性 C.谐振子的势阱内存在一个隧道 D.谐振子的能级是等间距的 10.在量子力学中，电子自旋磁量子数ms( C ) A.只能取一个值1/2 B.只能取一个值 －1/2 C. 只能取两个值 ±1/2 D. 只能取两个值 ±1
o
a 2
a
x
（３）如图，当基态n=1时，波节在两端， 两波节中间处即 x=a/2 点的几率最大。
14
4.设y m 和y n 是 一 维 无 限 深 势 阱 中 粒子的两个不同能态波 的函数，求
a
0
y my n dx的 值 ， 并 讨 论 意 义
2 解： y my ndx 0 a
a
x 0, wmax
3.设宽为a的一维无限深势阱中，粒子的基态
2 sin x ，试求粒子处于基态时 波函数 y ( x ) a a
（1）粒子在 0 x a / 4 区间中出现的几率； （2）粒子出现在 a/4处的几率密度； （3）在何处粒子出现的几率最大？ 解: (1)粒子在此区间的几率: a a 2 2 2 n 4 xdx W y ( x) dx 04 sin 0 a a 1 1 9.1% 4 2
3.按照波函数的统计解释，对于一个微观粒 子，在某一时刻可以由波函数确定的是( B ) A.粒子一定在哪个坐标出现 B.在空间各处找到该粒子的几率 C.粒子的运动轨道 D.粒子受到的力 4.下列哪个函数符合波函数的标准化条件（ ）
x A. u 0
C. u
( x 0) ( x 0)
量子力学基础
（一）选择题 1.按照量子力学的基本原理，微观粒子的状态用 （ ）来描写。 A.波函数 B.粒子的坐标和动量 C.粒子的德布罗意波长 D.粒子的能量 2.当微观粒子受到外界力场作用时，它不再是 自由粒子了，但仍然具有( D ) A.确定的能量 B.确定的坐标和动量 C.确定的德布罗意波长 D.波粒二象性
6.微观粒子的定态是（ ） A.势能是常数的状态 B.势能不随时间变化的状态 C.动能和势能均为常数的状态 D.总波函数不随时间变化的状态
3
7.粒子在一维矩形无限深势阱中运动，设已知 粒子处于某一能态，其波函数y(x)～x的分布 如图所示,那么，粒子出现的几率最大位置是 （ B ）。
a 2a A. 0, , 3 3 a 5a C. , 6 6
5.量子力学的定态薛定谔方程就是哈密顿算符 的本征值方程。方程本征值表示粒子 能量 。 6.在一维无限深阱（0<x<a)中,当粒子处于 y 1 (n 1) a/2 状态时，发现粒子的几率最大的位置为x=______. 7.当一维无限深势阱的宽度减小时，其能级间 隔变 大 。 8.一切处于束缚态的微观粒子的能量具有一个 共同特点，即能量取值是 分立 的。
Lz m l
得到:
0,1 l )
Lz 0,
13
3.设宽为a的一维无限深势阱中，可知粒子的基态
2 sin x ，试求粒子处于基态时 波函数 y ( x ) a a
（2）粒子出现在 a/4处的几率密度； （3）在何处粒子出现的几率最大？
y 2 ( x)
（2）粒子在 a/4处的几率密度:
dW 1 2 w y ( x) x a /4 dx a
求其在基态时概率最大的位置。
e
2 x2
2
x e w ( x) 3 dw 2 x 0 e 概率最大条件: dx x0 得到概率最大的位置:
2
2 2
解：此线性谐振子的基态概率:
2 2
x
0
10
A 2.有一粒子沿x轴方向运动,其波函数为 y ( x ) 1 ix
6．氢原子处于n = 2 , l = 1的激发态，求氢原 子能量、角动量及角动量z分量的可能值。 解：氢原子的能量为
En
13.6 n
2
eV
n = 2代入
E2 3.4eV
l 1代入得：L 2
L 2 (ml
L l ( l 1)
3.归一化条件表明，尽管在空间各点粒子出现的几 不相同 但在粒子运动的整个空间找到粒子 率一般_______, 等于1 的几率的总和却总是__________ 。 4.对于不受外力的自由粒子，在运动过程中能量E 和动量 p 不变 ,根据德布罗意假设，与自由粒子相 h/ p 7 E / h 波长_________. 联系的物质波的频率 ________,
11
A 2.有一粒子沿x轴方向运动,其波函数为 y ( x) 1 ix
(1)将此波函数归一化； (2)求出粒子按坐标的概率密度分布函数; (3)问在何处找到粒子的概率最大，为多少？ (2) 粒子的概率密度:
2
( x) y
dw 0 dx
y y
*
1
1
2
1 x
1
（3）概率最大时:
9.在没有外界力场作用的空间内,一个经典粒 子的最低能量应为 零 ; 而微观粒子与经 典粒子不同，其最低能量 大于零 10.描述原子中电子运动状态的四个量子数 是 n 、 l 、 ml 、 ms ，它们分别对应电 子的 主量子数 、 角量子数 、 、 自旋磁量子数 。 磁量子数
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（三）计算题
1.已知线性谐振子的基态波函数为0 ( x)
wenku.baidu.com
a
0
m n sin x sin xdx a a
1 1 积分表： sin ax sin bxdx sin(a b)x sin(a - b)x 2(a b) 2(a - b)
2 a a 【sin (m n)x sin (m - n)x】 a 2 (m n) a 2 (m - n) a 0
(1)将此波函数归一化； (2)求出粒子按坐标的概率密度分布函数; (3)问在何处找到粒子的概率最大，为多少？
解: (1)
归一化条件: 2 A A y dx dx 1 ix 1 ix
A
2
1
x
2
dx 1
A 1
2
A
1
1
1 归一化后的波函数: y 1 ix
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（二）填空
2 1.波函数本身不具有确定的物理意义，而 y (r , t ) 单位 体积内出现 表示在 t 时刻，在坐标为 x,y,z 处______ 几率密度 。 几率 称为__________ 的_______, 2.波函数 y (r , t ) 必须是_____ _____、 _____ 单值 、 有限 连续 的 函数。上述条件为波函数的________ 标准化 条件。
2
1 x2 B. u 0
D. u
(1 x 1) ( x是其它值)
x
sin x
5.下列哪一项不是薛定谔方程的基本特点（ D） A.是关于时间的一次微分方程，只需一个初始 条件便足以确定其解 B.包含一个“i”因子，因此满足此方程的波函数 一般是复函数 C.非相对论的，不适合m＝0的粒子 D.仅适用于势能不随时间变化的状态
a a 5a B. , , 6 2 6 a D. 2
y ( x)
o
a 3
2a 3 题7图
a
x
8.微观粒子能够穿透大于其动能的势垒的现 象，叫做隧道效应，该效应可解释为（ B）
A.粒子从别处获得了能量
B.粒子的动能具有不确定度
C.在势垒内部存在一个隧道 D.以上都不对
9.在量子力学中，一维谐振子的最低能量不 等于零，这是由于（ B） A.谐振子的能量只能取离散的值 B.微观粒子具有波粒二象性 C.谐振子的势阱内存在一个隧道 D.谐振子的能级是等间距的 10.在量子力学中，电子自旋磁量子数ms( C ) A.只能取一个值1/2 B.只能取一个值 －1/2 C. 只能取两个值 ±1/2 D. 只能取两个值 ±1
o
a 2
a
x
（３）如图，当基态n=1时，波节在两端， 两波节中间处即 x=a/2 点的几率最大。
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4.设y m 和y n 是 一 维 无 限 深 势 阱 中 粒子的两个不同能态波 的函数，求
a
0
y my n dx的 值 ， 并 讨 论 意 义
2 解： y my ndx 0 a
a
x 0, wmax
3.设宽为a的一维无限深势阱中，粒子的基态
2 sin x ，试求粒子处于基态时 波函数 y ( x ) a a
（1）粒子在 0 x a / 4 区间中出现的几率； （2）粒子出现在 a/4处的几率密度； （3）在何处粒子出现的几率最大？ 解: (1)粒子在此区间的几率: a a 2 2 2 n 4 xdx W y ( x) dx 04 sin 0 a a 1 1 9.1% 4 2
3.按照波函数的统计解释，对于一个微观粒 子，在某一时刻可以由波函数确定的是( B ) A.粒子一定在哪个坐标出现 B.在空间各处找到该粒子的几率 C.粒子的运动轨道 D.粒子受到的力 4.下列哪个函数符合波函数的标准化条件（ ）
x A. u 0
C. u
( x 0) ( x 0)
量子力学基础
（一）选择题 1.按照量子力学的基本原理，微观粒子的状态用 （ ）来描写。 A.波函数 B.粒子的坐标和动量 C.粒子的德布罗意波长 D.粒子的能量 2.当微观粒子受到外界力场作用时，它不再是 自由粒子了，但仍然具有( D ) A.确定的能量 B.确定的坐标和动量 C.确定的德布罗意波长 D.波粒二象性
6.微观粒子的定态是（ ） A.势能是常数的状态 B.势能不随时间变化的状态 C.动能和势能均为常数的状态 D.总波函数不随时间变化的状态
3
7.粒子在一维矩形无限深势阱中运动，设已知 粒子处于某一能态，其波函数y(x)～x的分布 如图所示,那么，粒子出现的几率最大位置是 （ B ）。
a 2a A. 0, , 3 3 a 5a C. , 6 6
5.量子力学的定态薛定谔方程就是哈密顿算符 的本征值方程。方程本征值表示粒子 能量 。 6.在一维无限深阱（0<x<a)中,当粒子处于 y 1 (n 1) a/2 状态时，发现粒子的几率最大的位置为x=______. 7.当一维无限深势阱的宽度减小时，其能级间 隔变 大 。 8.一切处于束缚态的微观粒子的能量具有一个 共同特点，即能量取值是 分立 的。
Lz m l
得到:
0,1 l )
Lz 0,
13
3.设宽为a的一维无限深势阱中，可知粒子的基态
2 sin x ，试求粒子处于基态时 波函数 y ( x ) a a
（2）粒子出现在 a/4处的几率密度； （3）在何处粒子出现的几率最大？
y 2 ( x)
（2）粒子在 a/4处的几率密度:
dW 1 2 w y ( x) x a /4 dx a
求其在基态时概率最大的位置。
e
2 x2
2
x e w ( x) 3 dw 2 x 0 e 概率最大条件: dx x0 得到概率最大的位置:
2
2 2
解：此线性谐振子的基态概率:
2 2
x
0
10
A 2.有一粒子沿x轴方向运动,其波函数为 y ( x ) 1 ix