分支定界法

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分支定界法

分支定界法分支定界法是指以系统的结构为根据，划分以增强系统的面向特性来提出设计方案和获取满足特性的分析。

它旨在深入讨论系统的面向，思考如何穿越技术障碍，为建设一个系统或程序制定高效的解决方案。

它是一种能够带动系统行为的基础方法论，作为技术贴贴合系统的基础，是软件交互的核心技术。

从理论上讲，分支定界法是一种基于面向对象思想的技术，旨在优化软件开发流程、架构和设计，使得程序的流程更加完善，功能更加完善，可以改善系统的性能和可用性。

通常，分支定界法将系统分成若干个模块，并根据实际需求考虑设计模块之间的联系和交互。

比如，用户按照特定需求进行功能结构划分时，就会把一个软件系统分解成多个模块，每个模块负责实现一些特定功能，不同模块间的联系由定义的接口完成。

分支定界法的实施要求：首先，确认客观事实和设计需求，把客观事实提炼成抽象的需求，对需求进行定义和分解，得到一组架构和结构要素；其次，把要素组合起来划分模块，厘清模块之间的联系，定义模块之间的交互关系；再次，分析模块之间的联系，作出架构和结构选择；最后，根据分析结果制定设计方案，提出满足特性的分析，以便用于实施和交付的项目。

从现代软件开发的角度看，分支定界法是软件开发中最基本的一种方法，也是最高效的方法之一，它有助于提高系统的可维护性，减少设计漏洞，解决软件可扩展性和可重复性方面的问题。

此外，分支定界法有利于改善系统的性能，给系统或软件制定更加合理有效的解决方案，增强系统的安全性、稳定性和可用性，减少单位成本，提高开发效率，从而节约成本，达到预期的服务水平。

因此，分支定界法在系统设计开发中发挥着重要作用，成为现代软件开发流程的核心技术，是企业获取竞争优势的重要手段之一。

但是，分支定界法的有效落实需要充分考虑系统的实际需求和市场行情，充分发挥技术优势，全面提升软件开发效率，才能有效实现长期可持续发展。

分支定界法

分支定界法分支定界法是一种应用于企业决策分析中的技术方法，也是现代管理决策学的重要内容之一。

它不仅对决策分析有重要的理论意义，而且在实践应用方面，它的实用性和有效性也得到了广泛的认可和应用。

它通过把复杂的问题分割成若干个相对独立的子问题，逐步解决问题的方法，使得复杂的问题分析更加容易。

分支定界法的基本思想是为了解决复杂的问题，从而可以将复杂的问题分解成一个个简单的子问题，逐一解决。

它把复杂的问题分解为一系列线性分支变量，具有相似的结构，依次得出最佳解决方案，从而形成技术分析过程和决策过程。

从技术过程来看，应用分支定界法可以充分利用多种信息，全面考虑分析问题，得出一个最优的解决方案。

它利用分支定界单元，把复杂的问题分解为一系列的线性子问题，逐步分析，最终整体得到解决。

它通过不断地分支和定界，从而尽量减少分析人员的心理负担，提高整体决策效率，从而实现最优解决方案的有效追求。

分支定界法也有自己特定的过程，主要包括5个步骤：首先是定义问题，提出可能的解决方案，然后进行计算，同时也会建立一些约束条件，也就是变量的限制条件；其次是开展调查，分析变量的关系，建立线性优化问题的数学模型；第三步是采用分支定界法，通过建立分支定界树来实现分析；第四步是进行结果分析，计算最佳解以及最优解；最后一步是完成评价，根据计算结果，给出最终的解决方案。

分支定界法广泛用于现代企业决策分析中，它能够有效解决企业出现的复杂管理问题，帮助企业制定出最优的管理决策，使企业在竞争市场中脱颖而出。

同时，分支定界法也可以应用在其他复杂的决策问题中，如产品营销、投资决策等，都能取得良好的结果。

总之，分支定界法是一种实用的和有效的技术，在现代管理决策中，它的实用性和有效性都得到了广泛的认可和应用。

以它为基础，需要得到仔细深入的研究，以期能够更好地发挥它的功能和作用，为企业提供更为全面有效的决策参考和支持。

分支定界法

分支定界法分支定界法，也称为分界定义法，是为了确定并将客观事物归类的一种逻辑基础规范。

它是一组文本规范，用于描述和分类客观事物，以及它们之间的关系。

它分析客观事物的共性，从这些共性，弄清楚客观事物以及它们之间的关系，形成分支定义法。

分支定界法最初创造于18世纪的德国，由卡尔文贝因茨（Karl von Bennizs）提出，他的著作 Theorie der classifikation（分类理论）发表于1790年。

他的主要思想是：通过对客观事物的共性的分析，将客观事物归类，并形成一系列的分类方法。

分支定界法一般包括三个层次：主类，亚类，次类。

主要是将客观事物按照一定的共性划分到不同的类别中，然后在每个主类中进行更详细的分析，形成子类，从而将客观事物更细致地分类。

分支定界法有很多优点。

首先，它可以更好地适应新出现的客观事物，以及客观事物可能出现的新情况。

这是因为，分支定界法有着一系列的分类方法，不仅具有某种共性，而且有着不同的子类，这些子类可以更好地形成客观事物之间的关系，并且有利于新类别的形成。

此外，分支定界法还可以帮助人们进行判断。

分界定义法是一种可以把客观事物细致分类的方法，从而可以更好地去判断两个客观事物之间是否有关系，或者相似度如何，从而帮助我们做出判断。

然而，分支定界法也有一定的局限性。

有时，分支定界法所指定的客观事物重叠，或者具有相同的共性，这会降低分类的准确性。

此外，它也会忽略一些客观事物的细微差别，这可能会影响分类的结果。

总之，分支定界法是一种有效的客观事物归类方法。

它可以更好地划分客观事物的共性，也可以更直观地反映客观事物之间的关系，从而有效地把客观事物归类。

此外，它还可以帮助我们做出判断，但它也有一定的局限性，必须在不同的客观事物之间上尽量保持准确性和细微差别。

分支定界算法

分支定界 (branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。

但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。

利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：1 ．产生当前扩展结点的所有孩子结点；2 ．在产生的孩子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；3 ．将其余的孩子结点加入活结点表；4 ．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。

如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。

从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点，根据选择方式的不同，分支定界算法通常可以分为两种形式：1 ． FIFO(First In First Out) 分支定界算法：按照先进先出原则选择下一个活结点作为扩展结点，即从活结点表中取出结点的顺序与加入结点的顺序相同。

2 ．最小耗费或最大收益分支定界算法：在这种情况下，每个结点都有一个耗费或收益。

如果要查找一个具有最小耗费的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最小耗费的活结点；如果要查找一个具有最大收益的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最大收益的活结点。

又称分支定界搜索法。

过程系统综合的一类方法。

该法是将原始问题分解，产生一组子问题。

分支是将一组解分为几组子解，定界是建立这些子组解的目标函数的边界。

如果某一子组的解在这些边界之外，就将这一子组舍弃（剪枝）。

分支定界法原为运筹学中求解整数规划(或混合整数规划)问题的一种方法。

用该法寻求整数最优解的效率很高。

将该法原理用于过程系统综合可大大减少需要计算的方案数日。

分支定界法的思想是：首先确定目标值的上下界，边搜索边减掉搜索树的某些支，提高搜索效率。

在竞赛中，我们有时会碰到一些题目，它们既不能通过建立数学模型解决，又没有现成算法可以套用，或者非遍历所有状况才可以得出正确结果。

运筹学_分支定界法

⑵
5 x1 6 x 2 3 0
x2
A 3 B
⑴x
1
x2 2
⑶
x1 4
1
1
3
x1 5 x 2 Z
x1
求（LP2） ,如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 1 ( IP 2 ) x 1 4 x 2 1 x1 , x 2 0 且为整数
x1 x 2 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 5 x 6 x2 30 1 1 x1 x1 4 4 ( IP 2 2 ) ( IP 2 1) 2 2 x1 x1 x x 4 3 2 2 x1 , x 2 0 且为整数 x1 , x 2 0 且为整数
第三节分枝定界法
（一）、基本思路考虑纯整数问题：
m ax Z
n
c
j 1
n
j
xj
a ij x j b i ( i 1 .2 m ) ( IP ) j 1 x 0 ,( j 1 .2 n ) 且为整数 j
m ax Z
c
j 1
n
记为（IP）
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
记为（LP）
用图解法求（LP）的最优解，如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2

运筹学课件第三节分支定界法

约束条件组
n aij xj b i My i j1 st. p (i 1 ,2,...,p) yi pq i1
在约束条件中保证了在P个0-1 变量中有p-q个1,q个0;凡取值 =0的yi对应的约束条件为原约束条件,凡取值=1的yi对应的约束条件将自然满足,因而为多余.
,先加工某种产品 0 yj （ j 1 ,2 ,3 ,4 ） 1 ，先加工另外产品机床1:x11+a11≤x21+My1 ; x21+a21≤x11+M(1-y1) 机床2:x22+a22≤x32+My2 ; x32+a32≤x22+M(1-y2) 机床3:x13+a13≤x33 +My3 ; x33+a33≤x13+M(1-y3) 机床4:x14+a14≤x24 +My4 ; x24+a24≤x14+M(1-y4) 当y1=0,表示机床1先加工产品1,后加工产品2;当y1=1,表示机床1先加工产品2,后加工产品1.
不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标函数比较大的较有利（如果是极小问题，则应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪去的分支越多。分支定界算法对于混合整数规划特别有效，对没有整数要求的变量就不必分支，这将大大减少分支的数量。
Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥2 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥3 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 2≤ X1 ≤2 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0

运筹学课件第三节分支定界法

算法改进
针对不同问题的特点，分支定界法在算法实现上不断进行优化和改进，以提高求解效率。
3
理论分析
分支定界法的理论分析涉及算法的收敛性、复杂度等方面，为算法的改进提供了理论支持。
分支定界法的发展趋势
混合整数规划问题求解
随着混合整数规划问题的广泛应用，分支定界法在求解这类问题上的研究逐渐成为热点。
理论深化与完善
进一步深化分支定界法的理论分析，完善算法的理论体系。
应用拓展
拓展分支定界法的应用领域，解决更多实际问题。
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运筹学课件第三节分支定界法
contents
目录
• 分支定界法的概述 • 分支定界法的算法原理 • 分支定界法的实现过程 • 分支定界法的案例分析 • 分支定界法的优缺点分析 • 分支定界法的前沿研究与展望
01
分支定界法的概述
分支定界法的定义
分支定界法是一种求解整数规划问题的算法个子问题的解的界，来逐步逼近最优解。
03
分支定界法的实现过程
问题建模与参数设定
确定决策变量
根据问题的具体情况，确定决策变量，并为其设定合适的取值范
围。
定义目标函数
明确问题的目标，将其表示为一个数学表达式，以便进行优化。
约束条件
根据问题的限制条件，建立相应的约束条件。
建立搜索树与初始化
建立搜索树
根据问题建模的结果，建立一个搜索树，用于表示问题的解空间。
的获取概率。
优化分支策略
02
通过改进分支策略，减少算法产生的分支数量，降低算法的复
杂度和计算量。
引入智能搜索策略
03
将智能搜索策略（如遗传算法、模拟退火等）与分支定界法结

分支定界法知识

分支定界(branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。

利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：1 ．产生当前扩展结点的所有子结点；2 ．在产生的子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；3 ．将其余的子结点加入活结点表；4 ．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。

如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。

分支定界法本质还是一种枚举法，但是是隐枚举法。

它是整数规划领域中非常重要的一类算法思想。

是很多重要算法的源头。

它能解决的实际问题很多，最著名的一个应该就是求解背包问题。

定义分支定界法（branch and bound）是一种求解整数规划问题的最常用算法。

这种方法不但可以求解纯整数规划，还可以求解混合整数规划问题。

算法步骤第1步：放宽或取消原问题的某些约束条件，如求整数解的条件。

如果这时求出的最优解是原问题的可行解，那么这个解就是原问题的最优解，计算结束。

否则这个解的目标函数值是原问题的最优解的上界。

第2步：将放宽了某些约束条件的替代问题分成若干子问题，要求各子问题的解集合的并集要包含原问题的所有可行解，然后对每个子问题求最优解。

这些子问题的最优解中的最优者若是原问题的可行解，则它就是原问题的最优解，计算结束。

否则它的目标函数值就是原问题的一个新的上界。

另外，各子问题的最优解中，若有原问题的可行解的，选这些可行解的最大目标函数值，它就是原问题的最优解的一个下界。

第3步：对最优解的目标函数值已小于这个下界的问题，其可行解中必无原问题的最优解，可以放弃。

对最优解的目标函数值大于这个下界的子问题，都先保留下来，进入第4步。

第4步：在保留下的所有子问题中，选出最优解的目标函数值最大的一个，重复第1步和第2步。

分支定界法——精选推荐

分⽀定界法分⽀定界法（branch and bound）是⼀种求解离散数据组合的最优化问题。

该算法执⾏的效率取决于你所找的问题解空间的上下界，如果找到⼀个很紧凑的上下界进⾏剪枝操作，该算法的执⾏效率会⾮常⾼，因此它是最有可能在多项式时间内求解NP问题的算法。

使⽤分⽀定界算法的⼀般步骤为：构造⼀棵搜索树，该搜索树指的是所有解空间，因此通过遍历该搜索树可以遍历到所有的解；构造问题解的上下界，上界⼀般为之前求出的最优解，下界为⽆约束条件下当前搜索路径的最优解，上下界的主要作⽤是对搜索树进⾏剪枝；通过回溯法遍历搜索树，并且不断更新上下界，如果当前解的下界已经超过上界，则进⾏剪枝；遍历结束时，所求的解为最优解。

接下来通过⼀个实例来讲解分⽀定界算法：某公司于⼄城市的销售点急需⼀批成品，该公司成品⽣产基地在甲城市。

甲城市与⼄城市之间共有 n 座城市，互相以公路连通。

甲城市、⼄城市以及其它各城市之间的公路连通情况及每段公路的长度由矩阵M1 给出。

每段公路均由地⽅政府收取不同额度的养路费等费⽤，具体数额由矩阵 M2 给出。

请给出在需付养路费总额不超过 1500 的情况下，该公司货车运送其产品从甲城市到⼄城市的最短运送路线。

(题⽬来源：北航研究⽣算法课)⾸先构造⼀棵搜索树，该搜索树并不需要显⽰的构建，⽽是在搜索过程中所遵循的⼀种搜索规则。

对于上述问题，以甲城市为根节点构建⼆叉树，其它节点由剩余城市表⽰，树的左⼦树表⽰当前路径包含该⽗节点，树的右⼦树表⽰当前路径不包含该⽗节点。

如图所⽰该搜索路径所表⽰的实际路径为1-3-4，即路径中不包含城市2。

然后分析该问题解的上下界：搜索路径的上界为当前已经求出的满⾜条件的最短路径长度。

搜索路径的下界为当前路径长度与⽆约束条件下路径终点到城市⼄的最短路径长度之和。

若上界⼤于下界，则可以继续搜索；若上界⼩于下界，则表⽰⽆更优解，此时可进⾏剪枝操作。

其中⽆约束条件下的任意点到城市⼄的最短路径长度可以使⽤Dijkstra或Floyd算法预先求出。

分支定界法

分支定界法
从理论上讲，分支定界法是一种可以帮助企业做出明智决策的管理方法。

它由美国知名管理学家西尔瓦哈勃提出，旨在确定企业未来看似可行、最有效的发展方向。

这一方法主要使用有限假设法来探讨一个企业在实现目标时可能遇到的各种情景，可以在限定的时间内，建立完整的模型，让企业的决策更加准确和有效，从而有利于企业的未来发展。

分支定界法主要是使用设定的假设来确定企业应该如何进行决策。

通过分支定界法，可以区分出一些有限的情景，即某项决策会带来哪些结果。

然后，通过评估这些情景，就可以确定企业该如何采取行动，以实现其具体目标。

分支定界法也是企业决策制定过程中，分析可能会出现的各种情况，以及选择性的行动措施的重要工具。

它的目的是帮助企业更好的识别和分析可能出现的问题，避免企业可能出现的失误和过度依赖单一结果的局限性，从而使企业可以更好的利用自身的优势达到绩效预期的目的。

此外，分支定界法还可以帮助企业把握趋势，实现竞争优势。

它可以让企业预测市场趋势，通过深入分析市场情况，为企业提供合理的发展建议，更好的把握机遇，提高竞争力。

总之，分支定界法是一种管理工具，可以帮助企业进行计划、决策、实施及控制，以期达到企业的具体目标。

它可以有效地建立完善的模型，从而使企业的决策步骤更加明晰，有利于企业的可持续发展。

同时，分支定界法还可以帮助企业预测市场趋势，提高竞争力，使企业在未来发展中可以不断前进。

分支定界法

分支定界法分支定界法，顾名思义，就是按照定好的界进行分支。

这里说的分支意思是“剪枝”。

剪的枝是问题解空间树的枝。

所谓解空间树，即此问题所有解和中间解形成的树型结构，是有序的。

常有排列树和子集树之分，举个例子，n个物品的0-1背包问题的解空间树就是子集树(每个物品都可能为0或1)，而最短路径问题的解空间树是一颗排列树。

分支定界法一般有两种实现形式：1.优先队列法2.FIFO队列法。

这与分支定界的思想无太多本质联系，只是前者在一般情况下能更快的求得问题解。

分支定界法要对问题的解空间树进行“剪枝”操作以减少对解空间树的搜索。

那么问题是，如何“剪枝”？这就要回答如何定界的问题。

在分支定界法中，“界”的作用就是用来阻止对不可行分支的搜索的。

当解空间树很深时（叶子节点为解），如果能在前面几层就预先的知道了“此路不通”或者“此路不是最优”而停止此路的继续，这样能大幅度的提高算法效率。

如何定界要放入具体问题中考虑，一般可以以“理论最大最小”这个概念来求界。

以0-1背包问题为例，设所有物品预先已经按照单位价值量递减排列。

在解空间树的第i层（此时正在考虑第i个物品是否应该被放入的时刻），设左子树为放入i物品，右子树为不放i物品。

那么在确定左子树的上界的时候有：界=当前价值+i的价值+MaxValue(背包剩余重量-i物品重量);其中的MaxValue为放i后剩余背包容量能获得的最大价值，应该注意的是此最大价值为理论意义上的最大价值，比如在继续放入p个后(按单位价值量递减),放不下第p+1个，此时应该按(Value[p+1]/Weight[p+1])*(WeightLeft)来计p+1物品的价值,(实际中不可能放入零点几个某物品。

)；右子树的情形类似。

知道了如何定界，那么在实际流程中就要根据当前目标节点的界来剪枝了（是用上界还是下界，具体问题具体分析）。

今天准备举个稍微有点挑战的例子---NPC问题中的TSP问题。

在TSP问题中，由于是环路，每个节点都要进出各一次，我们可以将每个节点最小的入度和最小的出度的和累加作为一个下界，这个下界几乎不可能达到！（全部最小出度的和即为下面提到的rcost的初值）初始时我们创建一个最小堆，表示活节点队列。

4-3 分枝定界法

B
1.2x1 + 0.8x2 ≤ 10 2 x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP1 : x1 ≤ 3 x1 , x2 ≥ 0 max Z = 4 x1 + 3x2
LP1
LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5
LP2
C o 3 4 10
1.2x1 + 0.8x2 ≤ 10 2 x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP2 : x1 ≥ 4 x1 , x2 ≥ 0
5
x2 A
1.2x1 + 0.8x2 = 10
松弛问题LP0的最优解 X=(3.57,7.14),Z0=35.7 B
10
2x1 + 2.5x2 = 25
o
C 8.33
10
6
x1
x2 ① ② 10 A
增加约束x1 ≤ 3及x1 ≥ 4得到两个线性规划
max Z = 4x1 + 3x2
LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8
4
【例1】用分枝定界法求解】
max Z = 4 x 1 + 3 x 2 1 . 2 x 1 + 0 . 8 x 2 ≤ 10 2 x 1 + 2 . 5 x 2 ≤ 25 x , x ≥ 0 , 且均取整数 1 2
【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）：先求对应的松弛问题（记为）：
第四章整数规划
4.1 整数规划数学模型和解的特点 4.2 分配问题 4.3 分枝定界法 4.4 割平面法 4.5 应用举例
1
4.3 分支定界法
分支定界法
2
原理：原理：
首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题线性规首先，不考虑变量的整数约束，划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解，划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解，则这个解就是整数规划的最优解。这个解就是整数规划的最优解。如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数，如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数，把线性规划的可行域切割成两部分，把线性规划的可行域切割成两部分，分别求解两个线性规划的最优解。规划的最优解。如果这两个线性规划的最优解还不是整数解，如果这两个线性规划的最优解还不是整数解，分别把每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支” 每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支”。过程得到的整数解中，分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的一个叫做整数规划目标函数值的“ 做整数规划目标函数值的“界”。分支过程中非整数的线性规划的最优解，线性规划的最优解，如果目标函数值劣于或等于这个就停止继续分支。这个过程，叫做“定界” “界”，就停止继续分支。这个过程，叫做“定界”。

分支定界法

分支定界法分支定界法(branch and bound)是一种求解整数规划问题的最常用算法。

这种方法不但可以求解纯整数规划，还可以求解混合整数规划问题。

基本信息中文名称：分支定界法外文名称：branch and bound用途：整数规划问题性质：算法定义分支定界法（branch and bound）是一种求解整数规划问题的最常用算法。

这种方法不但可以求解纯整数规划，还可以求解混合整数规划问题。

算法步骤第1步：放宽或取消原问题的某些约束条件，如求整数解的条件。

如果这时求出的最优解是原问题的可行解，那么这个解就是原问题的最优解，计算结束。

否则这个解的目标函数值是原问题的最优解的上界。

第2步：将放宽了某些约束条件的替代问题分成若干子问题，要求各子问题的解集合的并集要包含原问题的所有可行解，然后对每个子问题求最优解。

这些子问题的最优解中的最优者若是原问题的可行解，则它就是原问题的最优解，计算结束。

否则它的目标函数值就是原问题的一个新的上界。

另外，各子问题的最优解中，若有原问题的可行解的，选这些可行解的最大目标函数值，它就是原问题的最优解的一个下界。

第3步：对最优解的目标函数值已小于这个下界的问题，其可行解中必无原问题的最优解，可以放弃。

对最优解的目标函数值大于这个下界的子问题，都先保留下来，进入第4步。

第4步：在保留下的所有子问题中，选出最优解的目标函数值最大的一个，重复第1步和第2步。

如果已经找到该子问题的最优可行解，那么其目标函数值与前面保留的其他问题在内的所有子问题的可行解中目标函数值最大者，将它作为新的下界，重复第3步，直到求出最优解。

分支定界法

其松弛问题的最优解为：A（3/2，10/3）
因X1=3/2, 所以IP问题的最优解中x1的取值范围一定满足x1≤1（区域1）或x1≥2（区域2），如下图所示。
A(3 2 ,10 3)
区域1
区域2
１
２
３
x1
⑴ 分支假设松弛问题中 xi b i 不是整数，则构造两 b i 及 xi b i 1 个约束条件 xi 分别加入松弛问题中得到子问题LP1与LP2，即两个后继问题，并求解之。
LP0 z 29 6 1.5, x 2 10/3 z 0 29 / 6
x1 2
x 1 2 , x 2 23 / 9 S2 z 0 41 / 9
z0
Байду номын сангаас
LP1
LP2
z 41 9 z0
x2 2
x2 3
z 61 14 z0
S21
x1 33 / 14 , x 2 2 z 0 61 / 14
LP21
LP22
S22 x2 3 S212 x1 3, x 2 1
z0 4
无可行解
x1 2
z4 z4
S211
x1 2 , x 2 2 z0 4
LP211
LP212
返回
第三节分支定界法
一、分支定界法步骤二、示例
一、分支定界法步骤
使用范围：纯整数、混合整数规划。基本思想：求松弛问题最优解，逐步缩小可域。
１、求解松弛问题的最优解，若非整数解，转２。２、分支与定界。下面我们先通过示例来了解一下第2 步的思路。例： max Z x x 1 2
9 51 x x 1 14 2 14 1 2 x1 x2 3 x1 , x2 0且取整数

分支定界算法

分支定界算法
分支定界算法是一种全局最优解的搜索算法，它通过对搜索空间的分割和剪枝来求解最优解。

它是一种分支限定法，可以在多种优化问题中应用，用于求解最优解，如最大化目标函数、最小化目标函数等。

分支定界算法的基本思想是：在搜索空间中选择一个基本变量（未知变量），然后根据某种启发式规则，将它分成两个子空间，从而有效地减少搜索空间。

接着，对子空间中的每一个变量尝试求解，最终求得一个最优解。

分支定界法的优点在于可以有效地缩小搜索空间，提高求解效率；同时，它也可以解决多种优化问题，具有很强的适用性。

分支定界法常用于解决复杂的优化问题，如最优路径搜索、最优调度等。

它可以有效地缩小搜索空间，提高求解效率；同时，它也可以解决多种优化问题，具有很强的适用性。

虽然分支定界法可以有效地解决复杂的优化问题，但它也存在一定的局限性。

首先，搜索空间的大小会影响求解的效率，如果搜索空间太大，分支定界法就不能有效地求解最优解；其次，分支定界法要求基本变量的取值范围可以被明确定义，否则难以进行搜索；最后，分支定界法对于高维变量的搜索也不太友好。

分支定界法是一种有效的搜索算法，可以有效地缩小搜索空间，提高求解效率，广泛应用于多种优化问题中，而且它还有一定的局限性。

分支定界法

min c x Ax b
s.t.xr br
x 0, x为整数
1. 分枝定界法基本思想续
❖ 分枝方法示意图
1. 分枝定界法基本思想续
❖ 定界
1. 当前得到的最好整数解的目标函数值
2. 分枝后计算松弛的线性规划的最优解
➢ 整数解且目标值小于原有最好解的值则替代原有最好解
➢ 整数解且目标值大于原有最好解的值则删除该分支其中无最优解
➢ 非整数解且目标值小于原有最好解的值则继续分支
➢ 非整数解且目标值大于等于原有最好解的值则删除该分支其中无最优解
2. 分枝定界法计算步骤
2. 分枝定界法计算步骤-例题
❖
例3.3.1
minZ
( x1
x2 )
s.t.44
x1 x1
2x2 2 x2
1 11
2x2 1
x1x2 整数
例x3.(33,5.) 1z 解 4答 0
T0
z z 3x52xz(2,1()1,332.2)5xx((xPP2))(21.25,12) (2Px) (P1 ) (xP(x)P1) 3 x 无解(2,x32) 2无z 解(P )72 5 1 5 13 T T 1 3 115 T 2 3 12 1 6 2 2 T 2 4
1. 分枝定界法基本思想ห้องสมุดไป่ตู้
分枝
最优值比界坏
舍弃
最优解为整数最优值比界好
最优解为非整数最优值比界好
分枝边界
1. 分枝定界法基本思想续
0
N
I
B1N
cB B1b B 1b
xr br Z
br xr br 1
1. 分支定界法基本思想续
❖ 分枝的方法 min c x

分支定界

5 x1 7 x2 35 4 x 9 x 36 1 2 s.t . x2 2 x1 , x2 0
5 x1 7 x2 35 问题 B 2 ： 4 x 9 x 36 1 2 s.t . x2 3 x1 , x2 0
5 x1 7 x2 35 s.t . 4 x1 9 x2 36 x , x 0, 全部为整数 1 2
解 :step1
确定与整数规划问题（记为问题 A）对应的松
弛线性规划问题 (记为问题 B)：
max z 2 x1 3 x2
5 x1 7 x2 35 s.t . 4 x1 9 x2 36 x , x 0 1 2
i 1, 2, , p
则约束条件组可表示为
n aij x j bi Myi , i 1, 2,, p j 1 p yi p q i 1 y 0,1; i 1, 2,, p i
例 3.4.2 固定支出问题考察 n 种产品的产品计划问题。假定生产某种产品 j 就发生单位可变成本 c j ，另外，不管产品 j 生产多少，还需支出固定成本 k j ，但若不生产产品 j 也就无需支出固定成本。因此，如何制定产品计划，使得总生产成本最小。
step2 先求出问题 B 的解，用单纯形方法得问题 B 的最优解为：
x1 3
12 17
,
x2 2
6 17
,
* z0
14
8 17
step3
用观察法找问题 A的—个整数解，一般可取
x1 0, x2 0 ，进行试探，求得其目标函数值 z 0 ，以 z * 表示问题
A 的最优目标函数值；这时有 0 z* 14 8 step4

分支定界法

分支定界法分支定界法是一种基于数学理论的模型，它可以帮助我们做出最优的决策。

其基本概念是，首先通过给定一个目标函数，对其进行最优化，然后根据这个函数的极值，将其分割成不同的子区域，并依次在每个子区域内选择最优的结果。

在分支定界法的实践中，每个子区域内，我们都可以计算出最优的结果。

从此，如果我们需要做出一个明智的决定，就可以从这些子区域中选择最优的结果。

分支定界法的应用非常广泛，可以用于求解某些领域的优化问题，比如机器学习和运筹学等。

在机器学习领域，它可以用于求解某些非线性优化问题；在运筹学领域，它可以用于求解复杂的线性规划和非线性规划问题。

分支定界法的基本原理如下，首先建立一个数学模型，确定其中的目标函数以及约束条件；然后，利用最优化方法求解最优解；最后，利用定界方法将最优解正确地确定在子空间中，即定界子空间，从而减少最优问题的搜索空间。

分支定界法的实现过程是：首先，根据求解问题，建立目标函数及约束条件；然后，通过最优化方法求解最优解；最后，利用定界方法来确定最优解在子空间中的正确位置，从而减少搜索空间。

分支定界法具有很多优势，最主要的优势就在于可以大大减少求解最优解的搜索空间，这样可以大大提高求解最优解的效率，也可以有效避免解决问题时出现“陷入局部最优”的情况。

另外，分支定界法还可以更好地提高算法的可靠性，可以有效避免过拟合或欠拟合问题，也可以有效地减少数据的噪声影响。

分支定界法目前已经得到了广泛的应用，比如无约束优化问题、有约束优化问题、最短路径问题、线性规划问题、非线性规划问题等都可以使用分支定界法来求解。

另外，分支定界法还可以用于多目标优化问题，如多目标规划、多约束优化问题、多目标贝叶斯优化问题等。

总之，分支定界法是一种模型，它可以帮助我们做出最优的决策，并可以应用在求解复杂的优化问题中。

它的优势在于可以帮助我们更好地求解最优解，也可以避免出现陷入局部最优的情况，且可以更好地提高算法的可靠性，可以有效的减少计算的噪声影响，因此受到广泛的应用。