大学物理教案(第一章质点运动学)

改变，还是其方向发生改变，都表示速度发生了变化。为衡量速度的变化，我们将从曲线运动出发
引出加速度的概念。
1、平均加速度
如图所示，设在时刻 t，质点位于点 A，其速度为 v1，在时刻 t t ，
质点位于点 B ，其速度为 v 2 ，则在时间间隔 t 内，质点的速度增
量为 v v2 v1 ，它在单位时间内的速度增量即平均加速度为 a v
同，这就是运动描述的相对性。
为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系。不同的参考系对同一物体运动情况的描述是不同
的。因此,在讲述物体的运动情况时,必须指明是对什么参考系而言的。参考系的选择是任意的。在
讨论地面上物体的运动时,通常选地球作为参考系 。
二、坐标系：建立在参照系上的计算系统
确定好参照系后，只能定性地描述物体的运动情况，为了定量地描述运动规律，即为了能给出
另一是由已知运动状态求解s ds
t0 t dt
例： 设质点的运动方程为
r(t) x(t)i y(t) j
其中
x(t)
(1m
s 1 )t
2m
，
y(t)
(1 4
m
s2 )t 2
2m
求 t 3s 时的速度。 (2)作出质点的运动轨迹图。
解 这是已知运动方程求运动状态的一类运动学问题，可以通过求导数的方法求出。
切线重合。所以当质点作曲线运动时，质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向。
只有当质点的位矢和速度同时被确定时，其运动状态才被确知。所以位矢 r 和速度 v 是描述质点
运动状态的两个物理量。这两个物理量可以从运动方程求出，所以知道了运动方程可以确定质点在
任意时刻的运动状态。因此，概括说来，运动学问题有两类:一是由已知运动方程求解运动状态；
绕太阳公转；从枪口射出的子弹,它在空中向前飞行的同时,还绕自身的轴转动；有些双原子分子,
除了分子的平动、转动外,分子内各个原子还在振动。这些事实都说明,物体的运动情况是十分复杂 的。物体的大小、形状、质量也都是千差万别的。 如果我们研究某一物体的运动,可以忽略其大小和形状,或者可以只考虑其平动,那么, 我们就可把 物体当作是一个有一定质量的点,这样的点通常叫做质点。
v e (1.0s1 )t 0
上式表明，球体的速率 v 随时间 t 的增长而减小。
又由速度的定义，有
v
dy dt
v e (1.0s1 )t 0
得
y
dy
0
v0
e dt t (1.0s1 )t
0
四、 运动学的基本问题
运动学的问题一般分为两大类 :
第一类问题是已知质点的位置矢量 r=r(t),而求质点的速度和加速度,这类问题可以通过矢
arctg1.5 56.3o 1
(2)由已知运动方程
x(t) (1m s1 )t 2m, y(t) ( 1 m s-2 )t 2 2m 4
y (1 m-1 )x2 x 3 m
消去 t 可得轨迹方程
4
并可作如图所示的质点运动轨迹图
三、加速度
上面已经指出，作为描述质点状态的一个物理量，速度是一个矢量，所以，无论是速度的数值发生
质点是经过科学抽象而形成的物理模型。把物体当作质点是有条件的、相对的,而不是无条件的、 绝对的,因而对具体情况要作具体分析。例如研究地球绕太阳公转时，由于地球至太阳的平均距离 约为地球半径的 104 倍, 故地球上各点相对于太阳的运动可以看作是相同的,所以在研究地球公转 时可以把地球当作质点。但是,在研究地球上物体的运动情况时,就不能再把地球当作质点处理了。
其值为 r x2 y 2 z 2
位矢 r 的方向余弦由下式确定
cos x cos y cos r z
r
r
r
二、 运动方程 当质点运动时，它相对坐标原点 O 的位矢 r 是随时间而变化的。因此， r 是时间的函数，即 r r(t) x(t)i y(t) j z(t)k
上式叫做质点的运动方程；而 x(t) 、 y(t) 和 z(t) 则是运动方程的分量式，从中消去参数 t 便得到 了质点运动的轨迹方程, 所以它们也是轨迹的参数方程。
平均速率： v s t
2、 瞬时速度和瞬时速率
当 t 0 时，平均速度 v 的极限值叫做瞬时速度(简称速度)，用 v 表示，有
v lim r dr t0 t dt
结论：质点的速度等于位矢对时间的一阶导数。
或
v
lim x i t0 t
lim y Δt0 t
j
vxi vy
j
其中
vx
dx dt
应当注意,位移是描述质点位置变化的物理量, 它只表示位置变化的实际效果,并非质点所经 历的路程。如在上图中,曲线所示的路径是质点实际运动的轨迹,轨迹的长度为质点所经历的路程, 而位移则是 r 。当质点经一闭合路径回到原来的起始位置时,其位移为零,而路程则不为零。所以, 质点的位移和路程是两个完全不同的概念。只有在△t 取得很小的极限情况下,位移的大小| r |才 可视为与路程 AB 没有区别。
动时，任一时刻质点的加速度方向并不与速度方向相同，即加速度方向不沿着曲线的切线方向。在
曲线运动中，加速度的方向指向曲线的凹侧。
加速度公式可以写成
a
d dt
(v x i
vy
j)
即 a axi ay j ax ay
其中
ax
dvx dt
, ay
dv y dt
例 有一个球体在某液体中垂直下落，球体的初速度为 v0 (10m s1 ) j ，它在液体中的加速度为
物体运动的数学表达式，则需在参照系中建立坐标系。常用的坐标系是直角坐标系，另外还有极坐
标系、球面坐标系和柱面坐标系。
1.1.2 时间和空间
1、时间：时间反映物理事件的先后顺序和持续性。
2、空间反映物体位置的变化和物体的大小。
1.1.3 长度的测量
1.2.1 质点
质点运动的矢量描述
物体都有大小和形状,运动方式又都各不相同。例如,太阳系中,行星除绕自身的轴线自转外, 还
r rB rA
亦可写成
r rB rA (xB xA )i ( yB yA ) j
上式表明，当质点在平面上运动时，它的位移等于在 x 轴和 y 轴上的位移矢量和。 若质点在三维空间运动，则在直角坐标系 Oxyz 中其位移为
r rB rA (xB xA )i ( yB yA ) j (zB - zA )k
t 2、瞬时加速度
a lim v dv 当 t 0 时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，用 a 表示，有 t0 t dt ， a 的方向是 t 0 时 v 的极限方向，而 a 的数值是 v / t 的极限值。
应当注意，加速度 a 既反映了速度方向的变化，也反映了速度数值的变化。所以质点作曲线运
第一章 质点运动学
物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学科,这些运动形式包括机械运
动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核运动以及其它微观粒子运动等。机械运动是这些运动中
最简单、最常见的运动形式 ,其基本形式有平动和转动。在平动过程中,若物体内各点的位置没有
相对变化,那么各点所移动的路径完全相同,可用物体上任一点的运动来代表整个物体的运动,从而
二、速度
在力学中,若仅知道质点在某时刻的位矢,而不能同时知道该质点是静还是动,是动又动到什么 程度,就不能确定质点的运动状态。所以，还应引入一物理量来描述位置矢量随时间的变化程度， 这就是速度。 1、平均速度和平均速率 如图所示，一个质点在平面上沿轨迹 CABD曲线运动。在时刻 t ，
它处于点 A ，其位矢为 r1 (t) 。在时刻 t t ，它处于点 B ，其位矢
O
x
dx y dy y v dt x dt x
图2-13
l2 x2 v x
加速度:
= v d2x xdy/dt- ydx/dt
dt 2
x2
l2 x3
v2
例 质点作半径为R的圆周运动，其速率 2t ,
求：质点任意时刻的加速度 a
解：
an
v2 R
4t 2 R
a
dv dt
2
a
=
4t 2 R
应当指出, 运动学的重要任务之一就是找出各种具体运动所遵循的运动方程。 速度和加速度 一、位移
在如图O - xy 平面直角坐标系中，有一质点沿曲线从时刻 t1 的点
A 运动到时刻 t2 的点 B ，质点相对原点 O 的位矢由 rA 变化到 rB 。显 然，在时间间隔 t t2 t1 内，位矢的长度和方向都发生了变化。我 们将由起始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到点 B 的位移 矢量，简称位移。位移 AB 反映了质点位矢的变化。如把 AB 写作 r ， 则质点从 A 点到点 B 的位移为
为 r2 (t t) 。在 t 时间内，质点的位移为 r r2 r1 。在时间间隔
t 内的平均速度 v 为
v r2 r1 r t t
平均速度可写成
v
r t
x i y t t
j
vxi vy
j
其中vx和v y是平均速度 v 在 Ox轴和 Oy 轴上的分量。
说明：
v
与时间间隔
(t
t
t)
相对应。
a (1.0s1 )vj 。问:(1)任一时刻 t 的球体的速度。(2)时刻 t 球体经历的路程有多长
解：由题意知，球体作变速直线运动，加速度 a 的方向与球体的速度 v 的方向相反，由加速度的定
义，有
a dv (1.0s 1 )v dt
v
dv (1.0s 1 )
t
dt
得 v v0
0
有
v
应当指出, 把物体视为质点这种抽象的研究方法,在实践上和理论上都有重要意义的。当我们 所研究的运动物体不能视为质点时,可把整个物体看成是由许多质点组成的,弄清这些质点的运动, 可以弄清楚整个物体的运动。所以,研究质点的运动是研究物体运动 的基础。 1.2.2 位置矢量 运动方程和轨迹方程