高三一模数学试卷 Word版含答案
上海高中2024年高三第一次模拟考试(数学试题含解析)
上海高中2024年高三第一次模拟考试（数学试题含解析）请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆ 2．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 3．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞B ．(][),22,-∞-⋃+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2- 4．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >>5．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ）A ．23-B ．23C ．3D ．-36．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：参加用户比 40% 40% 10% 10%脱贫率 95% 95% 90% 90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）A ．2728倍B ．4735倍C ．4835倍D ．75倍 7．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,0)2-B ．1(2,)2-C ．(1,1)-D ．1(,1)28．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2 9．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．12 11．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x =12．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）．A ．122B ．112C ．102D ．92二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届上海长宁区高三一模数学试题及答案
考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答2023学年第一学期高三数学教学质量调研试卷题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合(],4A =-∞，{}1,3,5,7B =，则A B = .2.复数z 满足11iz =-（i 为虚数单位），则z =.3.不等式11x>的解集为.4.设向量()1,2a =- ，()1,b m =- ，若//a b，则m =.5.将4个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则共有种不同排法.6.物体位移s 和时间t 满足函数关系()21005020s t t t =-<<，则当2t =时，物体的瞬时速度为.7．现利用随机数表法从编号为00，01，02，⋯，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为.9522600049840128661751683968292743772366270966239258095643890890064828345974145829778149646089258.在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值y （单位：dB ）定义为010lgIy I =.其中I 为声场中某点的声强度，其单位为2/W m ，12010I -=2/W m 为基准值.若210/I W m =，则其相应的声强级为dB .9.若向量()1,0,2a = ，()0,1,1b =- ，则a 在b方向上的投影向量为_______．10．若“存在0x >，使得210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围．11.若函数()sin cos f x x a x =+在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格单调函数，则实数a 的取值范围为.12.设()()2log 0f x x ax b a =++>，记函数()y f x =在区间[](),10t t t +>上的最大值为(),t M a b ，若对任意b ∈R ，都有(),1t M a b a ≥+，则实数t 的最大值为.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）.A.()2f x x =；B.()2f x x =；C.()ln f x x =；D.()x f x e =.14．“()()()P A B P A P B = ”是“事件A 与事件B 互相独立”（）.A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件.15.设点P 是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置()01,0P 出发，沿单位圆按逆时针方向转动角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭后到达点1P ，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角4π到达2P .若点2P 的横坐标为35-，则点1P 的纵坐标（）.A ．210；B ．25；C ．325；D ．7210.16.豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐.将三角形豆腐ABC 悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T .若忽略三角形豆腐ABC 的厚度，设3AB =，4BC =,5AC =，点P 在△ABC 内部.假设对于任意点P ，满足1PQ ≤的点Q 都在T 内，且对于T 内任意一点Q ，都存在点P ，满足1PQ ≤，则T 的体积为（）.A.127π+；B.22π123+； C.147π+；D.22π143+.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差2d =.（1）若10100S =，求{}n a 的通项公式；（2）从集合{}123456,,,,,a a a a a a 中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件A ，求事件A 发生的概率()P A .18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.=，O为BD的中点．如图，在三棱锥A BCD-中，平面ABD⊥平面BCD，AB AD（1）求证：AO CD⊥；（2）若BD DC⊥，BD DC=，求异面直线BC与AD所成的角的大小．=，AO BO19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为A、B、C、D，向左转向，左前轮转向角为α，右前轮转向角为β，转向中心为O.设该汽车左右轮距AB为w米，前后轴距AD为l米.（1）试用w、l和α表示tanβ；（2）如图2，有一直角弯道，M为内直角顶点，EF为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A、D与路边FS相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O到路边EF的距离为d，若w=， 2.680l=.<，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570OB d<且OM OD问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？图1图220．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.已知椭圆22142x y Γ+=：，1F 、2F 为Γ的左、右焦点，点A 在Γ上，直线l 与圆22:2C x y +=相切.（1）求△12AF F 的周长；（2）若直线l 经过Γ的右顶点，求直线l 的方程；（3）设点D 在直线2y =上，O 为原点，若OA OD ⊥，求证：直线AD 与圆C 相切.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.若函数()y f x =与()y g x =满足：对任意12,R x x ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.已知函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.（1）若()2f x x =，判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由；（2）若()()30f x ax x a =+>，()sin g x x =，求实数a 的取值范围；（3）若()y g x =为严格减函数，()()01f f <，且函数()y f x =的图像是连续曲线，求证：()y f x =是()0,1上的严格增函数.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果参考答案和评分标准．1.{}1,3；2.2；3.()0,1；4.2；5.12；6.80；7．14；8.130；9.()0,1,1-；10．[)2,-+∞；11.3⎡-⎢⎣；12.13.11解：()cos sin f x x a x '=-，因为()0f π'<，所以()y f x =在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格减函数，当27,36x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos sin 0x a x -<恒成立，所以1tan 0a x ->在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，因为我tan x ⎛∈ ⎝是，所以3a -≤≤12解：设2log u x ax b =++，因为[],1x t t ∈+，所以()()22log log 11t at b u t a t b ++≤≤++++所以()()(){}22,max log ,log 11t M a b t at b t a t b=++++++()()()()()()()()2222log 11loglog 11log 2t a t b t at b t a t b t at b ++++++++++++-++=()()()()()2222log 11loglog 1log 2122t a t b t at b t t aa ++++-+++-+≥=≥+得103t <≤二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.A ；14.C ；15.D ；16.B16解：该几何体由一下几部分组成：一个底面与ABC 平行高为2的三棱柱；底面为半径为1的半圆，高分别3、4、5的三个圆柱；一个半径为1的球.所以该几何体的体积为()4226234512233πππ⨯++++=+三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差2d =.（1）若10100S =，求{}n a 的通项公式；（2）从集合{}123456,,,,,a a a a a a 中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件A ，求事件A 发生的概率()P A .解：（1）因为()1112n S na n n d =+-，所以1011090100S a =+=，……..2分得11a =，…….4分所以()1121n a a n d n =+-=-.…….6分（2）随机实验样本空间中样本点的个数为3620C =，……..3分事件A 所含样本点分两类，公差为d 的有4个，公差为2d 的有2个，……..6分所以事件A 发生的概率()632010P A ==.…….8分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）求证：AO CD ⊥；（2）若BD DC ⊥，BD DC =，AO BO =，求异面直线BC 与AD 所成的角的大小．（1）证明：因为AB AD =，O 为BD 的中点，所以AO DB ⊥，…….2分因为平面ABD ⊥平面BCD ，所以AO ⊥平面BCD ，…….4分因为CD ⊂平面BCD ，所以AH CD ⊥.…….6分（2）由（1）知AO ⊥平面BCD ，作//OE CD ，因为CD BD ⊥，所以OE BD ⊥，进而可以OE 、OD 、OA分别为x 轴、y 轴和z 轴正方向，建立坐标系，…..3分因为AO BO =，BD DC =，所以可设()0,0,A a ，()0,,0B a -，()0,,0D a ，()2,,0C a a ，…..6分因为()2,2,0BC a a = ，()0,,AD a a =-设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则12121cos 2n n n n θ⋅== ，所以60θ=︒……8分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图，某汽车四轮中心分别为A 、B 、C 、D ，向左转向，左前轮转向角为α，前右轮转向角为β，转向中心为O.设该汽车左右轮距AB 为w 米，前后轴距AD 为l 米.（1）试用w 、l 和α表示tan β；（2）如图2，有一直角弯道，M 为内直角顶点，EF 为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A 、D 与路边FS 相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O 到路边EF 的距离为d ，若OB d <且OM OD <，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570w =， 2.680l =.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？解：（1）由已知AOD α∠=，tan BOC β∠=，…….2分所以tan l OD α=，tan l OC w α=+，……..4分进而tan tan llw βα=+.……..6分（2）以EF 和FS 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，则()3.5, 3.5M --. 4.642tan lOD α===，6.766OB ==，……..2分设(),O a b ()0,0a b <<，2 6.642a =-=-，d b =-，OM ==，……..4分由OM OD <，得()29.872 3.521.548b ++<，进而 6.9170.83b -<<-，由OB d <，得 6.766b <-，…….6分所以当 6.917 6.765b -<<时，OB d <且OM OD <，此时汽车可以通过弯道.答：选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道.…….8分20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.已知椭圆22142x y Γ+=：，1F 、2F 为Γ的左、右焦点，点A 在Γ上，直线l 与圆22:2C x y +=相切.（1）求△12AF F 的周长；（2）若直线l 经过Γ的右顶点，求直线l 的方程；（3）设点D 在直线2y =上，O 为原点，若OA OD ⊥，求证：直线AD 与圆C 相切.解：（1）设椭圆Γ的聚焦为2c ，长轴长为2a ，短轴长为2b ，则24a =，22b =，所以22c =，……..2分所以1224AF AF a +==，122F F c ==得△12AF F 的周长为4+.……..4分（2）椭圆Γ的右顶点为()2,0，所以可设直线l 的方程为()2y k x =-，……..2分因为圆222x y +=与直线l 相切，=，……..4分解得k =，直线l 的方程为)2y x =-.…….6分（3）设()00,A x y ，(),2D m ，因为OA OD ⊥，所以0020mx y +=，…….2分当0m x =时，20020x y +=，由2200142x y +=，得01y =-，0x =直线AD 方程为x =，与圆22:2C x y +=相切，…….4分当0m x ≠时，直线AD 的方程为()0000002222y y x my y x m x x m x m x m---=-+=+---则原点O 到直线AD 的距离为d =，…….6分因为002y m x =-，2200142x y +=，所以221684442220204002020202020020=+++=++++=x x x x x x y y x x y x d ．此时直线AD 与圆22:2C x y +=相切．……8分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.若函数()y f x =与()y g x =满足：对任意12,R x x ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.已知函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.（1）若()2f x x =，判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由；（2）若()()30f x ax x a =+>，()sin g x x =，求实数a 的取值范围；（3）若()y g x =为严格减函数，()()01f f <，且函数()y f x =的图像是连续曲线，求证：()y f x =是()0,1上的严格增函数.证明：（1）函数()y g x =为偶函数.……2分因为对任意R x ∈，都有()()()()f x f x g x g x --≥--，所以()()()220g x g x x x --≤--=，得()()g x g x -=，所以()y g x =为偶函数.………4分（2）解：设12x x <因为()y f x =是R 上的严格增函数，所以()()12f x f x <，进而()()()()1221g x g x f x f x -≤-，所以()()()()1122f x g x f x g x +≤+，()()()()1122f x g x f x g x -≤-，设()()()u x f x g x =+，()()()v x f x g x =-，则()y u x =与()y v x =均为R 上的严格增函数，…….3分()23cos 0u x a x x '=++≥，()23cos 0v x a x x '=+-≥恒成立因为230x ≥，cos 1x -≥-，所以23cos 1a x x a +-≥-，得1a ≥，当1a ≥时，()23cos 0u x a x x '=++≥恒成立，所以1a ≥.………..6分（3）设12x x <，因为()y g x =是严格减函数，所以()()12g x g x >，而()()()()2112f x f x g x g x -≥-，所以()()120f x f x ->所以对任意12x x <，都有()()12f x f x ≠（*）……2分①首先证明，当01x <<时，()()()01f f x f <<，假设存在001x <<，且()()01f f x <，设()()()1h x f x f =-，则()00h <，()00h x >，所以存在()300,x x ∈，使得()30h x =，得()()31f x f =，与结论*矛盾，所以不存在001x <<，使得()()01f f x <同理也不存在001x <<，使得()()00f x f <，所以当01x <<时，()()()01f f x f <<.……5分②再证明，当1201x x <<<时，()()12f x f x <，假设存在1201x x <<<，使得()()12f x f x >，则()()()()2101f f x f x f <<<设()()()2h x f x f x =-，则()00h <，()10h x >，所以存在()300,x x ∈，使得()30h x =，得()()32f x f x =，与结论*矛盾，第11页共11页所以假设不成立，即对任意()12,0,1x x ∈，都有()()12f x f x <所以函数()y f x =是区间()0,1上的增函数……8分。
2024年高考数学模拟试题含答案(一)
2024年高考数学模拟试题含答案(一)一、选择题（每题5分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x - 1在区间（0，2）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. a > 0B. a ≥ 1C. a ≤ 1D. a < 0【答案】C【解析】由题意知，f'(x) = 2 > 0，所以函数在区间（0，2）上是增函数。
又因为f(0) = -1，f(2) = 3，所以f(x)在区间（0，2）上的取值范围是（-1，3）。
要使得f(x)在区间（0，2）上是增函数，只需保证a ≤ 1。
2. 已知函数g(x) = x² - 2x + 1，则下列结论正确的是（）A. 函数g(x)在区间（-∞，1）上是增函数B. 函数g(x)在区间（1，+∞）上是减函数C. 函数g(x)的对称轴为x = 1D. 函数g(x)的顶点坐标为（1，0）【答案】D【解析】函数g(x) = x² - 2x + 1 = (x - 1)²，所以函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为x = 1。
根据二次函数的性质，当x > 1时，函数g(x)递增；当x < 1时，函数g(x)递减。
3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn =2an - 1，则数列{an}的通项公式是（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^nC. an = 2^n + 1D. an = 2^(n-1)【答案】D【解析】由Sn = 2an - 1，得an = (Sn + 1) / 2。
当n = 1时，a1 = (S1 + 1) / 2 = 1。
当n ≥ 2时，an = (Sn + 1) / 2 = (2an - 1 + 1) / 2 = 2an-1。
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为an = 2^(n-1)。
4. 已知函数h(x) = |x - 2| - |x + 1|，则函数h(x)的图像是（）A. 两条直线B. 两条射线C. 一个三角形D. 一个抛物线【答案】B【解析】函数h(x) = |x - 2| - |x + 1|表示数轴上点x到点2的距离减去点x到点-1的距离。
高三第一次质量调查(一模)考试数学(理)试题-Word版含答案
数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范。
浙江省新2025届高三下学期一模考试数学试题含解析
浙江省新2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．22．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．83．半正多面体(semiregular solid ) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．2034．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．5．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．53C ．2D ．736．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，设22),(2),(ln a f b f c f ===，则（ ） A ．b a c >>B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >>7．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( ) A ．31πB ．34C 3πD ．148．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b9．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．710．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A ．30B ．312C ．2D ．6211．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ） A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a12．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ） A ．5B ．11C ．20D ．25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022届上海市徐汇区高三一模数学Word版(附解析
上海市徐汇区2022届高三一模数学试卷2021.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合2{|20}M x x x =->，{|||1}N x x =≤，则M N =2. 若直线l 的一个法向量是(1,3)n =-，则直线l 的倾斜角的大小为3. 已知复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =4.5. 若函数1()33x xf x a =⋅+为偶函数，则实数a = 6. 已知菱形ABCD 的边长为1，3DAB π∠=，点E 为该菱形边上任意一点，则AB AE ⋅的取值范围是 7. 设椭圆221259x y +=上的一点P 到椭圆两焦点的距离的乘积为s ，则当s 取得最大值时， 点P 的坐标是8. 设x ∈R 且0x ≠，则51(2)(1)x x +-的展开式中常数项为9. 设函数()cos()3f x x πω=+(02)ω<<，若将()f x 图像向左平移45π个单位后，所得函 数图像的对称轴与原函数图像的对称轴重合，则ω=10. 乘承“新时代、共享未来”的主题，第四届“进博会”于 2021年11月5至10日在上海召开. 某高校派出2名女教师、2名男教师和1名学生参加前五天的志愿者服务工作，每天安排1人，每人工作1天，如果2名男教师不能安排在相邻两天，2名女教师也是如此，那么符合条件的不同安排方案共有 种11. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中n a =1.41421356237⋅⋅⋅的小数点后的第几位数字，(例如14a =，63a =)，若11b a =，且对任意的*n ∈N ，均有1n n b b a +=，则满足2019n b n =-的所有n 的值为12. 已知函数2log ,0()|21|,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，设集合{(,)|1A a b a =≤-，且n b m ≤≤，,}m n ∈R ，若对任意的(,)a b A ∈，总有()30a f b b a ⋅--≥成立，则m n -的最大值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知a 、b ∈R 且0a b ⋅≠，则“a b <”是“11a b >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分也非必要条件14. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，M 、N 分别是1A D 、1D B 的中点，则（ ）A. 直线1A D 与直线1D B 相交，直线MN ∥平面ABCDB. 直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC. 直线1A D 与直线1D B 垂直，直线MN ∥平面ABCDD. 直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B15. 已知曲线||||:143x x y y C +=-，对于命题：① 垂直于x 轴的直线与曲线C 有且只有 一个交点；② 若111(,)P x y 、222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x -<-. 下列判断正确的是（ ）A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题16. 已知*n ∈N ，记1max{,,}n x x ⋅⋅⋅表示1,,n x x ⋅⋅⋅中的最大值，1min{,,}n y y ⋅⋅⋅表示 1,,n y y ⋅⋅⋅中的最小值. 若2()32f x x x =-+，()21x g x =-，数列{}n a 和{}n b 满足1min{(),()}n n n a f a g a +=，1max{,()n n n b b g b +=，1a a =，1b b =，a 、b ∈R .则下列说法中正确的是（ ）A. 若4a ≥，则存在正整数m ，使得1m m a a +<B. 若2a ≤，则lim 0n n a →∞= C. 若2b ≥，则lim 0n n b →∞= D. 若b ∈R ，则则存在正整数m ，使得1m m b b +<三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD . PC 与平面ABCD 所成角的大小为3π，M 为PA 的中点. （1）求四棱锥P -ABCD 的体积:（2）求异面直线BM 与PC 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)18.已知向量11(,sin 2)22m x x =+，((),1)n f x =-，且m n ⊥. （1）求函数()f x 在[0,]x π∈上的单调递减区间；（2）已知ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，其对应边分别为a 、b 、c ，若有()112f A π-=，BC =ABC 面积的最大值.19. 某公司经过测算，计划投资A 、B 两个项目. 若投入A 项目资金x (万元)， 则一年创造 的利润为2x (万元)；若投入B 项目资金x (万元)，则一年创造的利润为 10,020()3020,20x x f x x x ⎧≤≤⎪=-⎨⎪>⎩ (万元).（1）当投入A 、B 两个项目的资金相同且B 项目比A 项目创造的利润高，求投入A 项目的资金x (万元)的取值范围；（2）若该公司共有资金30万元，全部用于投资A 、B 两个项目，则该公司一年分别投入A 、B 两个项目多少万元，创造的利润最大.20. 在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点1(,0)2A 且与直线12x =-相切，设该动圆圆心 的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点.（1）求曲线K 的方程； （2）过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点，若l ∥OP 且直线OP 与直线 1x =交于Q 点，求||||||||AB AC OP OQ ⋅⋅的值； （3）若点D 、E 在y 轴上，PDE 的内切圆的方程为22(1)1x y -+=，求PDE 面积的 最小值，21. 设有数列{}n x （*n ∈N ），对于给定的i （*i ∈N ），记满足不等式()j i i x x t j i -≥- （*j ∈N ，j i ≠）的i t 构成的集合为()T i ，并称数列{}n x 具有性质X .（1）若1i t =，j i >，数列：2、22m +、2m 具有性质X ，求实数m 的取值范围；（2）若2i t =，j i >，数列{}n a 是各项均为正整数且公比大于1的等比数列，且数列{}n a 不具有性质X . 设11n n a b n +=+（*n ∈N ），试判断数列{}n b 是否具有性质X ，并说明理由； （3）若数列{}n c 具有性质X ，当1i >时，()T i 都为单元素集合，求证：数列{}n c 是等差数 列.参考答案一. 填空题1. (,1](2,)-∞+∞2. 6π 3. 4. 4π 5. 1 6. 3[0,]2 7. (0,3)± 8. 3 9.54 10. 48 11. 2021或2023 12. 4二．选择题13. D 14. C 15. A 16. B三. 解答题17.（1；（2）18.（1）7[,]1212ππ；（2 19.（1）(10,40)；（2）A10万，B20万，最大利润25万20.（1）22y x =；（2）12；（3）8 21.（1）3m ≥；（2）不具有；（3）略。
北京市海淀区2022届高三一模数学试卷(word版,含答案)
北京市海淀区2022届高三一模数学试卷数 学2022．03本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}12A x x =-≤≤，{}0B x x =>则 A B ⋃=（ ） （A ）{}2x x ≤（B ）{}1x x ≥-（C ）{}1x x >-（D ）{}0x x >（2）在复平面内，复数z 对应的点为（1，-1），则()1i z +=（ ） （A ）2（B ）2i（C ）-2i（D ）-2（3）双曲线2213x y -=的离心率为（ ）（A （B （C （D（4）在4)x 的展开式中，2x 的系数为（ ）（A ）-1 （B ）1 （C ）-4 （D ）4（5）下列命题中正确的是（ ） （A ）平行于同一个平面的两条直线平行 （B ）平行于同一条直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一个平面的两个平面平行（D ）垂直于同一条直线的两个平面平行（6）已知直线:1l ax by +=是圆22220x y x y +--=的一条对称轴，则ab 的最大值为（ ）（A ）14（B ）12（C ）1（D（7）已知角α的终边绕原点O 逆时针旋转号23π后与角β的终边重合，且cos()1αβ+=，则α的取值可以为（ ） （A ）6π （B ）3π （C ）23π （D ）56π（8）已知二次函数()f x 的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数()g x 的图象，则不等式2()log g x x >的解集是（ ）（A ）(,2)-∞ （B ）(2,)+∞ （C ）（0,2）（D ）（0,1）（9）在ABC △中，4A π=，则sin 22B <是“ABC △是钝角三角形”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表： 年龄（岁） [)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[)80,∞总计 确诊组人数 0 3 7 4 0 14 排除组人数7411519284为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式。
陕西省安康市2022-2023学年高三上学期第一次质量联考试题(一模) 数学(理) Word版含解析
绝密★启用前安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷数学（理科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数，数列、立体几何．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，复数z 满足2i 1(1i)z +=-，则|1|z -=（ ）A ．2BC ．D ．2．记集合{}(){}2||2,ln 3M x x N x y x x=>==-，则MN =（ ）A ．{}23x x <≤ B ．{}32x x x ><-或 C ．{}02x x ≤<D ．{}23x x -<≤3．若4sin()5πα+=-，则cos(2)πα-=（ ） A ．35 B ．35- C ．725 D ．725-4．设c ∈R ，则a b >成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．22ac bc >B ．c c a b< C ．22a c b c++> D ．2c a b ->-5．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则异面直线1B E 与1C D 所成角的余弦值为（ ）A B ． C D ． 6．已知函数()sin2(0)f x x xf '=-，则该函数的图象在2x π=处的切线方程为（ ） A ．30x y π+-= B ．30x y π--= C ．30x y π+-= D ．30x y π++= 7．记函数()()sin 4f x x b πωω*⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭N 的最小正周期为T ，若2T ππ<<，且()y f x =的最小值为1．则曲线()y f x =的一个对称中心为（ ）A ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．7,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭8．南京市地铁S8号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点（含起始站与终点站）数一共有（ ） A ．18 B ．19 C ．21 D ．229．已知O 是ABC △内一点，230OA OB mOC ++=，若AOB △与ABC △的面积之比为47，则实数m 的值为（ ） A ．103- B ．103 C ．203- D ．20310．定义在R 上的函数()f x 满足对任意的x 恒有1(2)()1,(1)()2f x f x f x f x +≥++≤+，且(2)2f -=，则(2024)f 的值为（ ） A ．2026 B ．1015 C ．1014 D ．101311．若函数2()e 3xf x k x =-+有三个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．362e,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(2e,0)-D ．36,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 12．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，60,ABC EA ∠=︒⊥平面,,22ABCD EA BF AB AE BF ===∥，点M 在棱EC 上，且EM EC λ=，平面MBD 与平面ABCD 的夹角为45︒，则下列说法错误的是（ ）A ．平面EAC ⊥平面EFCB ．34λ=C ．点M 到平面BCFD ．多面体ABCDEF 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省黄山市2022-2023学年高三第一次质量检测试题(一模)+数学+Word版含答案
黄山市2023届高中毕业班第一次质量检测数学试题(考试时间：120分钟 满分:150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷上无效.3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A ={x ∣3x ≤25},B ={x ∣x ⟩2}, 则A ∩B =A.[4,253]B.(4,253]C.[8,253]D.(8,253]2.若(i +1)(z −1)=2,则∣z̅∣=A.2B.−√5C.√10D.43.已知点P(−2,√3)在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线上，则双曲线的离心率为 A.7√33 B.2 C.√3 D.√724.南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7,11,16,22,则该数列的第30项为A.379B.407C.436D.4665.两批同种规格的产品，第一批占40%、合格品率为95%，第二批占60%、合格品率为96%.将两批产品混合，从混合产品中任取一件.则这件产品是次品的概率为A.95.6%B.42.4%C.59.6%D.4.4%6.2022年11月30日，神舟十四号宇航员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号宇航员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”，为记录这一历史时刻，他们准备在天河核心舱合影留念.假设6人站成一排，要求神舟十四号三名航天员互不相邻，且神舟十五号三名航天员也互不相邻，则他们的不同站法共有( )种A.72B.144C.36D.1087.在△ABC 中,AB =√2,∠ACB =45∘,O 是△ABC 的外心,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 A.1 B.32 C.3 D.72 8.下列不等式不正确的是A.√7−√5<√6−2B.π3.1<3.1πC.5sin 15>cos 110 D.log₄3 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数f (x )=2cos 2(x −φ2)−12(|φ|<π2), 现将函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π12单位后，得到一个偶函数的图象，则A.函数f (x )的周期为πB.函数f (x )图象的一个对称中心为(π3,0)C.当 x ∈[π6,π2]时，函数f(x)的最小值为12−√32 D.函数f (x )的极值点为−π12+kπ,k ∈Z10.在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0), 则 A.对于任意的正实数λ，三棱锥A 1−BPC 1的体积始终不变B.对于任意的正实数λ,都有D 1P ∥平面A 1BC 1C.存在正实数λ，使得异面直线D 1P 与BC 1所成的角为π3D.存在正实数λ，使得直线BP 与平面B 1C 所成的角为π611.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线C ：x 2+y 2=2∣x ∣+2∣y ∣就是一条形状优美的曲线，则A.曲线C 围成的图形的周长是4√2πB.曲线C 上的任意两点间的距离不超过4C.曲线C 围成的图形的面积是4(π+2)D.若P(m,n)是曲线C 上任意一点,则∣4m −3n −17∣的最小值是10−5√212.对于函数f (x )=x 3−2x 2+ax +b (a ,b ∈R ),则A. f(x)是单调函数的充要条件是a>43B. f(x)图象一定是中心对称图形C.若a=0,且f(x)恰有一个零点,则b<0或b>3227D.若f(x)的三个零点x1、x2、x3恰为某三角形的三边长,则a+b>1三、填空题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在(x+ax2)6的展开式中,常数项为15,则实数a的值为 .14.已知x>0、y>0,若a、x、y、b成等差数列,c、x、y、d成等比数列,则(a+b)22cd的最小值是 .15.圆锥SO的轴截面是边长为6的等边三角形，在该圆锥内放置一个棱长为m的正四面体，并且正四面体可以在该圆锥内任意转动，则实数m的最大值为 .16.设抛物线C:y=14x2的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A、B两点，若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =4FB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线l的方程为 .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)如图,已知△ABC外接圆的圆心O为坐标原点,且O在△ABC内部,A(1,0),∠BOC=2π3.(1)若∠AOB=7π12,求AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)求△ABC面积的最大值.20.(本小题满分12分)第22届卡塔尔世界杯(FIFA World Cup Qatar 2022)足球赛,于当地时间2022年11月20日(北京时间11月21日)至12月18日在卡塔尔境内5座城市中的8座球场举行，共计64场赛事。
2024年大连市高三数学第一次模拟考试卷附答案解析
2024年大连市高三数学第一次模拟考试卷注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则U B A = ð（）A ．{2}4，B ．{16}，C ．{3}5，D ．{1}2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，xn ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，xn 的平均数B ．x 1，x 2，…，xn 的标准差C ．x 1，x 2，…，xn 的最大值D ．x 1，x 2，…，xn 的中位数3．方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（）A ．0m >B ．4m >C ．04m <<D ．0m >且4m ≠4．已知直线a ，b ，c 是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A ．若a c b c ⊥⊥，，则//a bB ．若////a b a α，，则//b αC ．若////a b c a αα⊥，，，且c b ⊥，则c α⊥D ．若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，则a α⊥5．将ABCDEF 六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中,A B 分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（）A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种6．若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A ．43-B ．34-C ．13-D ．17．设函数3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是（）A ．(3,)+∞B ．(3),-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞8．设12F F ，是双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点，点A 是双曲线C 右支上一点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a （M 为圆心），且λ∃∈R ，使得123AM OM F F λ+=，则双曲线C 的离心率为（）AB C ．2D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A ．已知a b c d ∈R ，，，，若a c b d >=，，则i i a b c d +>+B ．复数12z z ，满足12z z =，则12z z =C ．复数z 满足|i ||i |z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D ．复数z 满足(1i)|1|+=z ，则ππcos isin 44z ⎫=-⎪⎭10．已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，若π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，则（）A ．()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．直线12y =+是一条切线D ．()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到函数()g x 是偶函数11．已知函数()f x 是定义域为R 的可导函数，若()()()()3f x y f x f y xy x y +=+++，且()03f '=-，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是减函数C ．0f=D ．1x =是()f x 的极小值点第Ⅱ卷三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸的相应位置上）12．“函数()2sin f x ax x =-是奇函数”的充要条件是实数=a ．13．在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把AEB AFD ，和EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，如图2所示，则三棱锥P AEF -外接球的表面积是；过点M 的平面截三棱锥P AEF -外接球所得截面的面积的取值范围是．14．已知实数0,0a b >>，且()84ab a b +=，则4a b +的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，EF BC ∥，且334EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点．(1)证明：BF AD ⊥；(2)求平面BCEF 与平面FGH 所成角的余弦值；(3)作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AD 交点为P ，写出APAD的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．16．已知函数()()ln 1R f x x x ax a =++∈．(1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)当1x >时，证明：e ln e(1)x x x >-．17．一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．(1)求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；(2)停止取球时，记总的抽取次数为X ，求X 的分布列与数学期望：(3)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中2个白球，1个黑球：乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球．采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y ，求Y 的数学期望，并从实际意义解释X 与Y 的数学期望的大小关系．18．在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，已知两点()()1,21,2A B ---，，点M 满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r，记点M 的轨迹为G ．(1)求曲线G 的方程：(2)若P ，C ，D 为曲线G 上的三个动点，CPD ∠的平分线交x 轴于点()0(1)Q a a <-，，点Q 到直线PC 的距离为1．（ⅰ）若点Q 为PCD 重心，用a 表示点P 的坐标；（ⅱ）若PQ CD ⊥，求a 的取值范围．19．对于数列()1231:,,,1,2,3A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1(12)i i i b a a i +=-=，，且331b a a =-．这种“T 变换”记作()B T A =，继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．(1)写出数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列：(2)若123,,a a a 不全相等，判断数列123:,,A a a a 不断的“T 变换”是否会结束，并说明理由；(3)设数列A ：2020，2，2024经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值．1．C【分析】由补集和交集的定义运算.【详解】集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则{}3,5,6U A =ð，有{}3,5U B A = ð.故选：C 2．B【详解】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．3．D【分析】分焦点在x 轴，y 轴两种情况讨论，写出m 范围即可.【详解】方程2214x y m+=表示椭圆，若焦点在x 轴上，40m >>；若焦点在y 轴上，4m >.综上：实数m 的取值范围是0m >且4m ≠故选：D【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算能力，属于基础题.4．D【分析】由空间中直线与平面的位置关系，对各项进行分析即可．【详解】若a c b c ⊥⊥，，则a ，b 可以是平行，也可以是相交或异面，故A 错误；若////a b a α，，则//b α或b α⊂，故B 错误；若////a b c a αα⊥，，且c b ⊥，当//a b 时，不能证明c α⊥，C 选项错误；若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，在a 上取一点P ，作PQ α⊥，由面面垂直的性质定理可得PQ β⊂且PQ γ⊂，既a 与PQ 重合，可得a α⊥，故D 正确.故选：D 5．B【分析】先平均分组，再利用全排列可求不同分配方法的总数.【详解】将余下四人分成两组，每组两人，有2242C C 2种分法，故不同的分配方法共有223423C C A 182⨯=种，故选：B.6．A【分析】先利用三角恒等变换公式化简可得1cos sin 5αα+=，结合22cos sin 1αα+=可得cos ,sin αα，进而可得tan α.【详解】由5cos 2sin 4παα⎛⎫- ⎪⎝⎭得()22225cos sin cos sin 22αααα⎫-=-⎪⎪⎭，即()()5cos sin cos sin cos sin αααααα-+=-，因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 0αα-≠，所以1cos sin 5αα+=，结合22cos sin 1αα+=，且cos 0,sin 0αα<>，得34cos ,sin 55αα=-=，所以sin tan s 43co ααα==-.故选：A.7．C【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数()()12g x f x =+-，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为()()122g x g x -<-，进而得解.【详解】因为3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+，所以()()3333331sin ππee 13x xf x x x +---+=++---+33sin πe e 2x x x x -=-+--+，设()()3312sin πe e x xg x f x x x -=+-=-+--，显然定义域为R ，()()12g x f x -=-，又()()3333()sin πee sinπe e ()xx x x g x x x x x g x ---=--+-+=--+--=-，所以()g x 为R 上的奇函数，又33()πcos π3e 3e 1πcos 15πcos 0x x g x x x x -'=-++-≥-+=->，所以()g x 在R 上单调递增，又()(32)4f x f x +-<，则[][]()2(32)20f x f x -+--<，所以()()1220g x g x -+-<，即()()()12222g x g x g x -<--=-，所以122x x -<-，解得1x >，则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是(1,)+∞．故选：C ．8．A【分析】向量坐标化并结合双曲线定义与等面积得123,3,AF c a AF c a =+=-点点距列方程得()3,4A a a 代入双曲线求出离心率.【详解】设()(),,,M M A A M x y A x y ，由对称性不妨设A 在第一象限，此时M 也在第一象限，因为123AM OM F F λ+=uuu r uuu u u ruu r ，所以30,44M A M A M y y y y y a -+===，所以()12121124222AF F S c a AF AF c a =⋅⋅=⋅++⋅ ，又122AF AF a -=，解得()1213,3,,0AF c a AF c a F c =+=--，所以1A AF ex a=+，所以1A AF a ex =+，解得3A x a =，所以()3,4A a a ，代入双曲线方程得：2222(3)(4)1a a a b-=，解得,b c ==，所以==ce a故选：A【点睛】关键点点睛:本题考查双曲线的离心率，关键是向量坐标化并充分利用曲线定义确定A 的坐标.9．BCD【分析】根据虚数不能比较大小可知A 错误；根据共轭复数的定义可判断B ；根据复数的几何意义可判断C ；根据复数的运算法则进行计算，可判断D.【详解】对A ，虚数不能比较大小，可知A 错误；对B ，根据共轭复数的定义知，当12z z =时，12z z =，则12z z =，故B 正确；对C ，因为复数z 满足|i ||i |z z -=+，则复数z 在复平面上对应的点到()()0,1,0,1-两点间的距离相等，则复数z 在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线，即z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C 正确；因为(1i)|1|2z +==，则()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z --====-++-，又ππ22cos isin i 1i 4422z ⎫⎫=--=-⎪⎪⎪⎭⎭，故D 正确，故选：BCD.10．BC【分析】依题意可得πT =即可求出ω，再根据函数的最大值求出ϕ，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质判断A 、B 、D ，设切点为005π,sin 26x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数的几何意义求出0x ，即可判断C.【详解】对A ，因为()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，所以()max 1f x =，又π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，所以5πππ66T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以2ππT ω==，解得2ω=，即()()sin 2f x x ϕ=+，又ππsin 163f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=+∈，解得5π2π,Z 6k k ϕ=+∈，又0πϕ<<，所以5π6ϕ=，所以()5πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时5π5π5π2,663x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin y x =在5π5π,63⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，所以()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故A 错误；对B ，因为7π7π5πsin 2sin 2π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 正确；对C ，因为()5π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎝'⎪⎭，设切点为005π,sin 26x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()005π2cos 26f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭'所以05πcos 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以05π5π22π,Z 66x k k +=+∈或05π5π22π,Z 66x k k +=-+∈，解得0π,Z x k k =∈或05ππ,Z 6x k k =-+∈，又005π1sin 262x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为05π1sin 216x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即01112-≤+≤，解得0x ≤，所以00x =，即直线12y =+是函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线，故C 正确；对D ，将()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到()π5ππsin 2sin 2366g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，显然()g x 是非奇非偶函数，故D 错误.故选：BC 11．ACD【分析】令0x y ==求出()0f ，令y x =-可确定奇偶性，将y 当作常数，x 作为变量，对原式求导，然后可通过赋值，解不等式求单调性及极值.【详解】令0x y ==，得()00f =，令y x =-，得()()0f x f x =+-，所以()f x 是奇函数，A 正确；()()()()()22233,63f x y f x f y x y xy f x y f x yx y '+=+++'∴+=++ 令()()20,03x f y f y =∴=+''，又()()()2303,33,3f f y y f y y y c '=-∴='=-∴-+ ，()()()3300,0,3,3,0f c f y y y f x x x f=∴=∴=-∴=-∴= ，令()0f x '=，1x ∴=±，()0f x '>，1x <-或()1,0,11x f x x ><-<<'()f x ∴在(),1∞--和()1,∞+上为增函数，()f x 在()1,1-上为减函数，1x ∴=是()f x 的极小值，故CD 正确，B 错误.故选：ACD.12．0【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.【详解】若函数()2sin f x ax x =-是奇函数，则当且仅当()()()()22sin sin f x ax x a x x f x ⎡⎤=-=----=--⎣⎦，也就是220ax =恒成立，从而只能0a =.故答案为：0.13．24π[]π,6π【分析】补体法确定外接球直径进而求得表面积；利用球的截面性质确定面积最值.【详解】由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4长方体，如图所示：三棱锥P AEF -外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径()2222222424R R =++==，所以三棱锥P AEF -外接球的表面积为24π24πS R ==，过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O 的大圆，此时截面圆的面积为22π6πR ==，最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，此时截面圆半径1r =（其中MN 长度为长方体前后面对角线长度），故截面圆的面积为2ππr =，所以过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面的面积的取值范围为[]π,6π．故答案为：24π;[]π,6π14．【分析】利用消元法得到4a b +的函数关系式，再利用导数讨论其单调性后可求最小值.【详解】()222224(4)81681616a b a ab b a a b b b b+=++=++=+，设()2416g b b b =+，其中0b >，则()()322481432b g b b b b-=-+'=，当10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g b '<，当1,2b ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g b '>，故()g b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上为减函数，故()min 1122g b g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时20a =-+>，故4a b +的最小值为故答案为：15．(1)证明见解析(3)14AP AD =，作图见解析【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而证明出线线垂直；（2）由面面垂直得到线面垂直，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而利用平面法向量求出面面角的余弦值；（3）作出辅助线，得到线线平行，进而得到结论.【详解】（1）在正方形ABCD 中，AD AB ⊥，∵平面FAB ⊥平面ABCD ，平面FAB 平面,ABCD AB AD =⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面FAB ，又BF ⊂平面FAB ，BF AD ∴⊥；（2） FAB 为等边三角形，设AB 中点为O ，∴OF AB ⊥，又平面FAB ⊥平面ABCD ，面FAB 面,ABCD AB OF =⊂面FAB ，则OF ⊥面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OB OG OF 为,,x y z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：因为334EF BC ==，则4BC =，则()()((()72,0,0,2,4,0,0,0,,0,3,21,,0,4,02B C F E H G ⎛ ⎝，所以(()(72,0,,0,4,0,1,,,0,4,2BF BC FH FG ⎛=-=== ⎝，设平面BCEF 的一个法向量为(),,m x y z =则020400m BF x y m BC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎩ ，取1z =得0x y ==，所以)m =，设平面FGH 的一个法向量为(),,n a b c =则7002040a b n FH n FG b ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪-=⎩⎩，取c =93,42a b =-=，所以93,42n ⎛=- ⎝ ，所以)93,42cos ,22n m n m n m⎛⋅- ⋅===-⋅，所以平面与BCEF 与平面FGH（3）如图所示：在AD 上取一点P ，使得DP EF =，连接,FP PG ，因为//EF BC ，AD //BC ，所以//EF AD ，即//EF DP ，所以EFPD 为平行四边形，故//FP ED ，因为H ，G 分别为CE ，CD 的中点，所以//GH DE ，故//GH PF ，即,,,G H P F共面，故14AP AD =.16．(1)1a ≥-(2)证明见解析【分析】（1）参变分离，构造函数，求导得到函数的单调性，从而求出最值，得到答案；（2）法一：在（1）的基础上得到()e 1e ln x xx x x ->，1x >，再构造函数得到e e xx >，得到()()e 1e 1x x x x->-，从而得到结论；法二：即证11ln e x x x -->，构造函数()11ln e x x G x x --=-，求导后再对分子求导，从而得到函数的单调性，得到()()10G x G >=，证明出结论.【详解】（1）由已知得，1ln a x x-≤+在()0,∞+上恒成立，设()()221111ln ,x g x x g x x x x x-=+=-='，()0g x '>，解得1x >，()0g x '<，解得01x <<，()g x ∴在()0,1上为减函数，在()1,∞+上为增函数，()()11g x g ∴≥=，即1a -≤，1a ∴≥-；（2）法一：由（1）知1a ≥-时，()0f x ≥恒成立，取1a =-，得1ln x x x-≥成立，1x =时取等号．所以当1x >时，()e 1e ln x xx x x->，设()()e e ,e e x xh x x h x =='--，故1x >时，()0h x '>，()e e x h x x ∴=-在()1,∞+上为增函数，()()10h x h ∴>=，e e x x ∴>．所以1x >时，e e xx>，即()()e 1e1xx x x->-．由此可证，当1x >时，()()e 1e ln e 1x x x x x x->>-，结论得证．法二：当1x >时，若证()e ln e 1xx x >-成立．即证11ln ex x x -->，1x >设()11ln ,1ex x G x x x --=->，()()()1112211e 1e 1e 2e e x x x x x x x x G x x x -------+-=-'=，设()()()1211e2,e 22e 21x x x m x x x m x x x ---=+-=+-=+-'，当1x >时，()()0,m x m x >'∴在()1,∞+上为增函数．()()()10,0m x m G x ∴>=∴>'，()G x ∴在()1,∞+上为增函数，()()10G x G >=，由此可证，当1x >时，()e ln e 1xx x >-成立．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.17．(1)335(2)分布列见解析，()275E X =(3)()409E Y =，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求A 得概率；（2）先确定X 的取值，再就每一个取值的意义结合古典概型的概率公式可求分布列，再利用公式可求期望.（3）先确定Y 的取值，再设甲盒、乙盒抽取次数分别为12Y Y 、，根据题设得到三者之间的关系，再结合古典概型的概率公式可求分布.【详解】（1）设“停止取球时盒中恰好剩3个白球”为事件A ，则()11343347C A A 3A 35P A ==；（2）X 的可能取值为3，4，5，6，()3337A 13A 35P X ===，()4113443347A C A A 44A 35P X +===，()11422334444357C A A C A A 25A 7P X +===，()11223427C C A 46A 7P X ===，所以X 的分布列为X3456P1354352747X 的数学期望()14242734563535775E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）Y 的可能取值为3，4，5，6，设甲盒、乙盒抽取次数分别为12Y Y 、，因为乙盒中两种小球个数相同，所以无论甲盒剩余小球什么颜色，乙盒只需取完一种颜色即可，()()()221224A 113123A 18P Y P Y P Y ======，()()()()()1122222212123244C A A A 12413223A A 923P Y P Y P Y P Y P Y ====+===⨯+⨯=，()()()()()121251423P Y P Y P Y P Y P Y ====+==11221122222222323444C A A A C A A 1273A A 3A 18⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，()()()11222222123244C A A A 216243A A 3P Y P Y P Y ⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭，Y 的数学期望()12714034561891839E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．18．(1)24y x=-(2)（i）334P ⎛-± ⎝，；（ii ）94a <-【分析】（1）对()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r向量坐标化，整理得曲线轨迹方程；（2）法一：由条件得PQ CD ⊥，结合斜率和重心坐标公式得P1=，平方化简得,m n 是方程()()()2220000120y t x a y t x a -+---=的两根，直线与曲线联立，结合韦达定理求出P 坐标，即可求解；法二：由圆切线方程抽方程可知直线EF 的方程为()()001x a x a y y --+=，与圆联立得()0012221y x a k k y -+=-，结合韦达定理得P 坐标，即可求解.【详解】（1）设点()()(),,1,2,1,2M x y A B ---Q ，()()()()()1,2,1,2,,,1,2,1,2MA x y MB x y OM x y OA OB ∴=---=----==-=--uuu r uuu r uuu r uu r uu u r即()()22,2,2,0MA MB x y OA OB +=---+=-uuu r uuu r uu r uu u r，MA MB ∴+==uuu r uuu r()()()2,2,0222OM OA OB x y x ⋅++=⋅-+=-+uuu r uu r uu u r，()2,22MA MB OM OA OB x +=⋅++=-+Q uuu r uuu r uuu r uu r uu u r，化简得曲线G 的方程：24y x =-；（2）（ⅰ）解法1：设()()()112200,,,,,C x y D x y P x y ，PQ 为PCD 的角平分线．Q 为PCD 重心PQ ∴为PCD 的中线，S 三线合一可得PQ CD⊥021221124,4CD PQ y y y k k y x x y y a --===-+--Q ，Q 为PCD 重心0120y y y ∴++=(14,PQ CD k k P a ⋅=-∴-± ①设直线PC 方程为：()00x x m y y -=-，直线PD 方程为：()00x x n y y -=-，PQ ∵是CPD ∠的平分线，点Q 到直线PC 的距离为1,∴点Q 到直线PD 的距离为1，1=，可得()()()2220000120y m x a y m x a -+---=同理()()()2220000120y n x a y n x a -+---=，即,m n 是方程()()()2220000120y t x a y t x a -+---=的两根，()002021x a y m n y -∴+=-，()0024x x m y y y x ⎧-=-⎨=-⎩联立可得：2004440y my x my ++-=，011044y y m y m y ∴+=-∴=--，同理()201204,42y n y y y m n y =--∴+=-+-，点Q 为PCD 重心，0120y y y ∴++=，即()()00002024401x a y m n y y y ⎛⎫--+-=--=⎪-⎝⎭，又020008144,a x y x y +⎧=⎪=-∴⎨⎪=⎩ 故点P的坐标为81,4a +⎛ ⎝②联立①②可得174a =-即33,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭（ⅱ）由（ⅰ）知()002021x a y m n y -+=-，()()()()2021*******0020214422424121CDy y y k x a y x x y y m n y a y y y -----∴=====--+-+----⨯--，020,1,4PQ PQ CD y k k k y a =⋅=---Q 22216481648,04949a a a a y a a +-+-∴=∴≥----216481,049a a a a +-<-∴≥--Q 等价于94904a a -->∴<-时满足题意．（ⅰ）解法2：PQ ∵是CPD ∠的平分线，点Q 到直线PC 的距离为1,∴点Q 到直线PD 的距离为1，∴直线PC PD 、与圆22:()1Q x a y -+=相切，设直线PC PD 、与圆的切点分别为()()1122,,,E x y F x y ，设直线PC 上任意一点坐标为(),P x y ，则0PE QE ⋅=，可得()()1111,,0x x y y x a y --⋅-=，整理得()()()11110x x x a y y y --+-=，结合2211()1x a y -+=，进一步可得直线PC 方程为：()()111x a x a y y --+=，同理直线PD 方程为()()221x a x a y y --+=，因为点()00,P x y 在两条直线上，所以可知直线EF 的方程为()()001x a x a y y --+=，代入圆方程可得：()()22200()x a y x a x a y y ⎡⎤-+=--+⎣⎦即：()()()()22220000121()0y y x a x a y y x a x a ⎡⎤----+---=⎣⎦设直线QE 的斜率1114y k x a =-，直线QF 的斜率为2224y k x a=-，()()()2220001210y y y y x a x a x a x a ⎛⎫∴---+--= ⎪--⎝⎭即()0012221y x a k k y -+=-，联立直线PC 与抛物线方程，()()21141y x x a x a y y ⎧=-⎪⎨--+=⎪⎩，可得：21114140y y y a x a x a ⎛⎫--+= ⎪--⎝⎭，014C y y k ∴+=，同理可得024D y y k ∴+=，()12042C D y y k k y ∴+=+- 点Q 为PCD 重心，00C D y y y ∴++=，即()()00120028401x a y k k y y y -+-=-=-，又020008144,a x y x y +⎧=⎪=-∴⎨⎪=⎩ 故点P的坐标为81,4a +⎛ ⎝②其余过程同解法1．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线位置关系,关键是利用角分线的意义抽方程或直线,进而得韦达定理求出P 坐标.19．(1)0，1，1(2)不会，理由见解析(3)507【分析】（1）根据数列的新定义写出经过5次“T 变换”后得到的数列即可；（2）先假设数列A 经过不断的“T 变换”结束，不妨设最后的数列123123:,,,:,,,:0,0,0D d d d E e e e F ，由F 数列往前推，则非零数量可能通过“T 变换”结束，或者数列E 为常数列，进而得到D 可能出现的情况，推出矛盾，故假设不成立，即可证明；（3）先往后推几项，发现规律，假设1次“T 变换”后得到的通项，多写几项推出规律，往后继续进行，推到使数字接近1时，再继续推，往后会发现k 次“T 变换”得到的数列是循环的，得到最小值，进而推出次数即可.【详解】（1）由题知，5次变换得到的数列依次为3，1，2；2，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；所以数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列为0，1，1.（2）数列A 经过不断的“T 变换”不会结束，设数列123123:,,,:,,,:0,0,0D d d d E e e e F ，且()(),E T D F T E ==，由题可知：2132310,0,0e e e e e e -=-=-=，123e e e ∴==，即非零常数列才能经过“T 变换”结束；设123e e e e ===（e 为非零常数列），则为变换得到数列E 的前两项，数列D 只有四种可能：111111111111:,,2;:,,;:,,2;:,,D d d e d e D d d e d D d d e d e D d d e d +++---，而以上四种情况，数列E 的第三项只能是0或2e ，即不存在数列D ，使得其经过“T 变换”变成非零常数列，故数列A 经过不断的“T 变换”不会结束；（3）数列A 经过一次“T 变换”后得到数列:2018,2022,4B ，其结构为,4,4,a a +（a 远大于4）数列B 经过6次“T 变换”后得到的数列依次为：4,,4;4,4,8;8,12,4;4,16,12;a a a a a a a a -------；20,4,16;24,20,4a a a a ----所以，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,4,4a a +”的数列，变化的是，除了4之外的两项均减小24，201824842,=⨯+ 则数列B 经过684504⨯=次“T 变换”后得到的数列为：2，6，4，接下来经过“T 变换”后得到的数列依次为：4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；至此，数列各项和的最小值为4，以后数列循环出现，数列各项之和不会变得更小，所以最快经过16842507+⨯+=次“T 变换”得到的数列各项之和最小，即k 的最小值为507．【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题.关于数列的新定义一般思路为：()1根据定义写出几项；()2找出规律；()3写成通项；()4证明结论.。
上海市虹口区2022届高三一模数学试题 Word版含答案
上海市虹口区2022届高三一模数学试卷 2021.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 函数()lg(2)f x x =-的定义域是2. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，则(1)(0)(1)f f f -++=3. 首项和公比均为12的等比数列{}n a ，n S是它的前n 项和，则lim n n S →∞=4. 在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对边分别是a 、b 、c ，若::2:3:4a b c =，则cos C =5. 已知复数z a bi =+（,a b R ∈）满足||1z =，则a b ⋅的范围是6. 某同学要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参与等级考，要 求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则 该生的可能选法总数是7. 已知M 、N 是三棱锥P ABC -的棱AB 、PC 的中点，记三棱锥P ABC -的体积为1V ，三棱锥N MBC -的体积为2V ，则21V V 等于8. 在平面直角坐标系中，双曲线2221xy a -=的一个顶点与抛物线212y x =的焦点重合，则 双曲线的两条渐近线的方程为9. 已知sin y x =和cos y x =的图像的连续的三个交点A 、B 、C 构成三角形ABC ∆，则ABC ∆的面积等于10. 设椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两点，若2MNF ∆的内切圆的面积为π，则2MNF S ∆=11. 在ABC ∆中，D 是BC 的中点，点列nP （*n N ∈）在线段AC 上，且满足1n n n n n P A a P B a P D +=⋅+，若11a =，则数列{}n a 的通项公式n a =12. 设2()22xf x x a x b =+⋅+⋅，其中,a b N ∈，x R ∈，假如函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点且它们的零点完全相同，则(,)a b 为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 异面直线a 和b 所成的角为θ，则θ的范围是（ ）A. (0,)2πB. (0,)πC.(0,]2πD. (0,]π 14. 命题：“若21x =，则1x =”的逆否命题为（ ）A. 若1x ≠，则1x ≠或1x ≠-B. 若1x =，则1x =或1x =-C. 若1x ≠，则1x ≠且1x ≠-D. 若1x =，则1x =且1x =-15. 已知函数20()(2)0x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(1)(2)(3)(2017)f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ） A. 2021 B. 1513 C. 20172 D. 3025216. 已知Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，4AB =，6AC =，在三角形 所在的平面内有两个动点M 和N ，满足||2AM =，MN NC =， 则||BN 的取值范围是（ ）A. [32,34]B. [4,6]C. [25,42]D. 22[63122,63122]33-+三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA AC PC AB a ====，PA AB ⊥，AC AB ⊥，M 为AC 的中点.（1）求证：PM ⊥平面ABC ；（2）求直线PB 和平面ABC 所成的角的大小.18. 已知函数()3cos()cos(2)2f x x x πωπω=-+-，其中x R ∈，0ω>，且此函数的最小正周期等于π.（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在[0,]2x π∈的最大值和最小值.19. 如图，阴影部分为古建筑群所在地，其外形是一个长为2km ，宽为1km 的矩形，矩形两边AB 、AD 紧靠两条相互垂直的路上，现要过点C 修一条直线的路l ，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P 和Q .（1）设AQ x =（km ），将APQ ∆的面积S 表示为x 的函数； （2）求APQ ∆的面积S （km ）的最小值.20. 已知平面内的定点F 到定直线l 的距离等于p （0p >），动圆M 过点F 且与直线l 相 切，记圆心M 的轨迹为曲线C ，在曲线C 上任取一点A ，过A 作l 的垂线，垂足为E . （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）记点A 到直线l 的距离为d ，且3443p pd ≤≤，求EAF ∠的取值范围； （3）推断EAF ∠的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由.21. 已知无穷数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为nS ，14a =.（1）假如22a =，且对于一切正整数n ，均有221n n n a a a ++⋅=，求n S ；（2）假如对于一切正整数n ，均有1n n na a S +⋅=，求nS ；（3）假如对于一切正整数n ，均有13n n na a S ++=，证明：31n a -能被8整除.参考答案一. 填空题1. (,2)-∞2. 03. 14. 14-5. 11[,]22-6. 187. 14 8.3x y =±10. 4 11. 11()2n -- 12. (0,0)或(1,0)二. 选择题13. C 14. C 15. D 16. B三. 解答题17.（1）略；（2）.18.（1）()2sin(2)6f x x π=+，2ω=，[,]36k k ππππ-++，k ∈Z ；（2）最大值为2，最小值1-.19.（1）21x S x =-(1)x >；（2）2x =时，min 4S =.20.（1）22y px =；（2）11[arccos ,arccos ]43π-；（3）一个交点.21.（1）12q=，18(1)2n nS=-，n∈*N；（2）当n为偶数，284nn nS+=，当n为奇数，2874nn nS++=；（3）数学归纳法，略.。
北京市高三一模考试数学文试题真题(word版含答案)
北京市海淀区高三一模数学（文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|13A x x =<<，集合{}2|4B x x =>，则集合A B 等于（ ） A ．{}|23x x << B ．{}|1x x > C ．{}|12x x << D ．{}|2x x >2.圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为（ ）A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++= 3.执行如图所示的程序框图，输出的x 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14.若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ）ABC． D ．36.在ABC ∆上，点D 满足2AD AB AC =-，则（ ）A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上7.若函数cos ,,()1,x x a f x x a x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞- C ．(0,1] D ．(1,0)-8.如图，在公路MN 两侧分别有1A ，2A ，…，7A 七个工厂，各工厂与公路MN （图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN 上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）①车站的位置设在C 点好于B 点；②车站的位置设在B 点与C 点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A ．①B ．②C ．①③D ．②③第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知复数(1)2z a i =+-为纯虚数，则实数a = ．10.已知等比数列{}n a 中，245a a a =，48a =，则公比q = ，其前4项和4S = ．11.若抛物线22y px =的准线经过双曲线2213y x -=的左焦点，则实数p = ． 12.若x ，y 满足240,20,1,x y x y x +-=⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x 的最大值是 ． 13.已知函数()sin f x x ω=（0ω>），若函数()y f x a =+（0a >）的部分图象如图所示，则ω= ，a 的最小值是 ．14.阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日13CCTV 播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“……加入此次亚航失联航班8501QZ 被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为 ，你的理由是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知等差数列{}n a 满足126a a +=，2310a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}1n n a a ++的前n 项和.16.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有a ，b 两种“共享单车”（以下简称a 型车，b 型车）.某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a 型车，3人租到b 型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a 型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a 型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a 型车．若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同．已知2017年3月该地区租用a ，b 两种车型的用户比例为1:1，根据表格提供的信息，估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例．17.在ABC ∆中，2A B =.（Ⅰ）求证：2cos a b B =；（Ⅱ）若2b =，4c =，求B 的值.18.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E ，F 分别是PB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面FAC ；（Ⅱ）求三棱锥P EAD -的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD ⊥平面FAC ．19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q ，若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点M .判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.已知函数2()x f x e x ax =-+，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若()21x g x e x =--，求函数()g x 的最小值；（Ⅲ）求证：存在0c <，当x c >时，()0f x > ．高三年级第二学期期中练习数学（文科）答案一、选择题1-5:ACCCB 6-8:DAC二、填空题9.2 10.2,15 11.4 12.32 13.2，12π 14.选①，数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；选②，数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；不选②，数据②两个数据虽表面不是同一类数据，但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x ，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．三、解答题15.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，因为126a a +=，2310a a +=，所以314a a -=，所以24d =，2d =．又116a a d ++=，所以12a =，所以1(1)2n a a n d n =+-=．（Ⅱ）记1n n n b a a +=+，所以22(1)42n b n n n =++=+，又14(1)2424n n b b n n +-=++--=，所以{}n b 是首项为6，公差为4的等差数列，其前n 项和21()(642)2422n n n b b n n S n n +++===+． 16.解：（Ⅰ）依题意租到a 型车的4人为1A ，2A ，3A ，4A ；租到b 型车的3人为1B ，2B ，3B ； 设事件A 为“7人中抽到2人，至少有一人租到a 型车”， 则事件A 为“7人中抽到2人都租到b 型车”．如表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件A 发生共有3种情况，所以事件A 概率36()1()1217P A P A =-=-=．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a 型车的比例为50%60%50%50%55%+=，租用b 型车的比例为50%40%50%50%45%+=，所以市场4月租用a ，b 型车的用户比例为55%1145%9=． 17.解：（Ⅰ）因为2A B =， 所以由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2a a A B=， 得2sin cos sin a b B B B =，所以2cos a b B =． （Ⅱ）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，因为2b =，4c =，2A B =，所以216cos 41616cos 2B B =+-， 所以23cos 4B =， 因为2A B B B π+=+<，所以3B π<，所以cos B =，所以6B π=． 18.（Ⅰ）证明：连接BD ，与AC 交于点O ，连接OF ，在PBD ∆中，O ，F 分别是BD ，PD 的中点，所以//OF PB ，又因为OF ⊂平面FAC ，PB ⊄平面FAC ，所以//PB 平面FAC ．（Ⅱ）解：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA 为棱锥P ABD -的高． 因为2PA AB ==，底面ABCD 是正方形， 所以13P ABD ABD V S PA -∆=⨯⨯114222323=⨯⨯⨯⨯=， 因为E 为PB 中点，所以PAE ABE S S ∆∆=， 所以1223P EAD P ABD V V --=⨯=． （Ⅲ）证明：因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥，在等腰直角PAB ∆中，AE PB ⊥，又AE AD A =，AE ⊂平面EAD ，AD ⊂平面EAD ，所以PB ⊥平面EAD ，又//OF PB ，所以OF ⊥平面EAD ，又OF ⊂平面FAC ，所以平面EAD ⊥平面FAC ．19.解：（Ⅰ）由||4AB =，得2a =. 又因为12c e a ==，所以1c =，所以2223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）假设存在点P ，使得四边形APQM 为梯形.由题意知，显然AM ，PQ 不平行，所以//AP MQ ， 所以||||||||BQ BM AB BP =，所以||1||2BM BP =． 设点11(,)M x y ，(4,)P t ，过点M 作MH AB ⊥于H ，则有||||1||||2BH BM BQ BP ==， 所以||1BH =，所以(1,0)H ，所以11x =， 代入椭圆方程，求得132y =±， 所以(4,3)P ±．20.解：（Ⅰ）'()2x f x e x a =-+，由已知可得'(0)0f =，所以10a +=，得1a =-．（Ⅱ）'()2x g x e =-，令'()0g x =，得ln 2x =，所以x ，'()g x ，()g x 的变化情况如表所示：所以()g x 的最小值为ln 2(ln 2)2ln 2112ln 2g e =--=-．（Ⅲ）证明：显然()'()g x f x =，且(0)0g =，由（Ⅱ）知，()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增． 又(ln 2)0g <，2(2)50g e =->，由零点存在性定理，存在唯一实数0(ln 2,)x ∈+∞，满足0()0g x =， 即00210x e x --=，0021x e x =+，综上，()'()g x f x =存在两个零点，分别为0，0x ．所以0x <时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在(,0)-∞上单调递增； 00x x <<时，()0g x <，即'()0f x <，()f x 在0(0,)x 上单调递减； 0x x >时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在0(,)x +∞上单调递增， 所以(0)f 是极大值，0()f x 是极小值，0222200000000015()211()24x f x e x x x x x x x x =--=+--=-++=--+， 因为(1)30g e =-<，323()402g e =->， 所以03(1,)2x ∈，所以0()0f x >，因此0x ≥时，()0f x >．因为(0)1f =且()f x 在(,0)-∞上单调递增，所以一定存在0c <满足()0f c >，所以存在0c <，当x c >时，()0f x >.。
【2025届上海高三一模数学】2025届上海市奉贤区高三数学一模试卷及答案
2024学年第一学期奉贤区高三学科质量调研数 学2024.12（完卷时间120分钟,满分150分）一,填空题（本大题满分54分）本大题共有12题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得51分．1．设全集{}1,2,3,4U =,集合{}2,4A =,则A =______．2．若直线1:20l x ay +-=与直线2:20l ax y +-=互相垂直,则a =______． 3．已知x ∈R ,则不等式220x x -+>的解集为______． 4．设()ln 1,0,21,0.xx x f x x +>⎧=⎨+≤⎩若()01f x =,则0x =______． 5．若,,,,A B C D E 五人站成一排,如果,A B 必须相邻,那么排法共______种。
6．56x⎛+ ⎝的二项展开式中的常数项为______．（用数字作答） 7．已知抛物线2(0)x ay a =>上有一点P 到准线的距离为6,点P 到x 轴的距离为4,则抛物线的焦点坐标为______．8．在复平面内,O 为坐标原点,复数()12i 43i ,125i z z =--=+对应的点分别为12Z Z 、,其中i 为虚数单位,则12,OZ OZ的大小为______．9．A ,B 两人下棋,每局两人获胜的可能性一样。
某一天两人要进行一场三局两胜的比赛,最终胜者赢得100元奖金．第一局比赛A 胜,后因为有其他要事中止比赛．为求公平,则A 应该分得______元奖金．10．申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图）,徽章由等腰三角形ABC 及以弦BC 和劣弧BC 所围成的弓形所组成,其中AB AC =,劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆,圆心为O ．己知π,0,2BAC θθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭,外接圆的半径是2,则该图形的面积为______．（用含θ的表达式表示） 11．上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2）,风吹铃动,悦耳清脆,亦称惊鸟铃,一般一个惊鸟铃由铜铸造而成,由铃身和铃舌组成,为了知道一个惊鸟铃的质量,可以通过计算该惊鸟铃的体积,然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量,因此我们需要作出一些合理的假设：假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥. 假设2：两圆锥的轴在同一条直线上.假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．图1 图2 图3截面图如下（图3）,其中132320cm,18cm O O O O ==,16cm AB =,则制作100个这样的惊鸟铃的铃身至少需要______千克铜．（铜的密度为38.9g /cm ）（结果精确到个位） 12．已知集合{}012,,,,,2,n M P P P P n n =≥∈N 是由函数[]cos ,0,2πy x x =∈的图像上两两不相同的点构成的点集,集合{}0|,0,1,2,,,2,i S a a OP OP i n n n ==⋅=≥∈N,其中()00,1P ,()1π,1P -．若集合S 中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为d 的等差数列,当1,12d ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭时,则符合条件的点集M 的个数为______．二,选择题（本大题满分18分）本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,13-14选对每个得4分,15-16选对每个得5分,否则一律类分．13．在ABC △中,“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件.C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件。
【2025届上海高三一模数学】2025届上海市青浦区高三数学一模试卷及答案
2024学年第一学期高三年级期终学业质量调研数 学 试 卷（时间120分钟，满分150分） 2024.12学生注意：1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．一. 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．在复平面内，复数11i 2z =+（i 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于第________象限．2．已知集合{}21,A x x k k ==-∈N ，{}1,0,1,2,3B =-，则A B = ． 3．不等式321x x -≥+的解集为 ． 4．已知直线()1:120l x m y m +++-=与直线2:280l mx y ++=平行，则m = ． 5．两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为 ．6．已知数列{}n a 满足()123232n a a a na n n ++++=+ ，则66a = ．7．在△ABC 中，已知120ACB ∠=°，AB =若2BC AC =，则△ABC 的面积为 ．8．已知圆柱M 的底面半径为3，圆锥N 的底面直径和母线长相等．若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的底面半径为 ． 9．()6()x y x y +-的展开式中，43x y 项的系数为 ．10．已知函数()y f x =的定义域为{}2,1,1,2--，值域为{}2,2-，则满足条件的函数()y f x =最多有 个．11．若函数312log (815)y ax x =-+在区间(1,2)上严格增，则实数a 的取值范围是 ．12．已知,,A B C 是单位圆上任意不同三点，则||AB ACAB ⋅ 的取值范围是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．已知,x y ∈R 且满足x y >，则下列关系式恒成立的是( )．A ．221111x y <++ B ．22(1)(1)ln x ln y +>+C ．sin sin x y >D ．33x y >14．若点()(),,0P a b c abc ≠关于平面xOy 的对称点为A ，关于z 轴的对称点为B ，则A 、B两点（ ）．A ．关于坐标原点O 对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于平面xOz 对称15．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()()130.01f x x x =--+，则关于函数()y f x =在R 上的零点的说法正确的是（ ）． A ．有4个零点，其中只有一个零点在区间()3,1--上B ．有4个零点，其中两个零点在区间()3,1--上，另外两个零点在区间()1,3上C ．有5个零点，两个正零点中一个在区间()0,1上，一个在区间()3,+∞上D ．有5个零点，都不在区间()0,1上16．对于数列{}n a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，给出下列两个命题：①存在函数()y f x =，使得()n n S f a =；②存在函数()y g x =，使得()n n g a =． 则①是②的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件三．解答题（本大题共有5题,满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.17.(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)已知函数()y f x =，其中21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+．（1）求函数()y f x =的最小正周期及最大值；18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，BC =，AC =，D 、E 分别为线段AB 、BC 上的点，且2AD DB =，2CE EB =，PD AC ⊥．（1）求证：DE 平面PAC ； （2）求证： PD ⊥平面ABC ；19.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分)第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产的A、B、C三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表：（单位：个）产品A产品B产品C普通装 n180 400精品装 300 420 600现采用分层抽样的方法在某一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个． （1）求n的值；（2）用分层抽样的方法在C款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率；（3）对抽取到的B款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2，精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的B款产品的某种指标的总体方差．20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)已知椭圆22:143x y C +=，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点．（1）若直线l 垂直于x 轴，求椭圆C 的弦AB 的长度； （2）设点()3,0P -，当90PAB ∠=︒时，求点A 的坐标；（3）设点()3,0M ，记MA 、MB 的斜率分别为1k 和2k ，求12k k +的取值范围．21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)已知函数()y f x =，其中1()e2ln x f x x x -=-+．（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）设函数()()2ln g x f x x =+，问：函数()y g x =的图像上是否存在三点,,A B C ，使得它们的横坐标成等差数列，且直线AC 的斜率等于()y g x =在点B 处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点B 的坐标；若不存在，说明理由；（3）证明：函数()y f x =图像上任意一点都不落在函数3(2)3(2)y x x =---图像的下方．参考答案一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．四；2．{}1,1,3-； 3．[5,1)--； 4．1；5；6．13366；7．； 8．3； 9. 5-；10. 14； 11．12,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦；12. (1,2)-.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. D ；14. A ； 15．D ；16. B .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）因为21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+11sin 4cos 422x x =+π)4x =+2ππ42T ∴==．（2）π())4f x x =+ ，当()f α=， 即πsin(4)14α+=，∴ππ42π42k α+=+，k ∈Z ，∴ππ162k α=+，又 π(,π)2α∈，∴9π16α=．18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 证明：（1）在△ABC 中，已知D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点， 且2AD DB =，2CE EB =，即13BD BE AB BC ==，所以DE AC ，又AC ⊂平面PAC ，DE ⊄平面PAC ， 所以DE 平面PAC（2）连接DC ，由题意知4AD =，2BD =， 222AC BC AB += ，90ACB ∠=︒，cos ABC ∠==222222cos 8CD ABC ∴=+-⨯⨯∠=，CD ∴=222CD AD AC ∴+=，CD AB ∴⊥，又 平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC AB =CD ∴⊥平面PAB ，CD PD ∴⊥， PD AC ⊥ ，AC CD C =CD ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABCPD ∴⊥平面ABC ．19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）根据题意，该工厂一天所生产的产品总数为3001804204006001900n n +++++=+． 现采用分层抽样的方法在这一天生产的产品中抽取100个，其中B 款产品有30个， 则有301901000600n =+，解得100n =；（2）设所抽取的样本中有p 个精品装产品，则60051000p =，解得3p =， 所以，容量为5的样本中，有3个精品装产品，2个普通装产品．则至少有一个精品装产品的概率为112233256391010C C C C ++==（3）根据题意，在B 款产品30个数据的样本中，有21个精品装产品，9个普通装产品．其均值为910211211.430x ⨯+⨯==，()()92122211130i ji j s x xyx ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()9212211130i j i j x x x x y y y x ==⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭∑∑普普精精 ()()()()99212122221111130i j i i j j x x x xy y y x ====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑普普精精 ()()2222199212130S x x S y x ⎡⎤=+-++-⎢⎥⎣⎦普精普精．()()22127=9291011.421 1.8211211.4==2.73010⎡⎤⨯+-+⨯+-⎣⎦20.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）因为F 为椭圆C 的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，直线l 垂直于x 轴，所以F A B x x x c ===，代入椭圆的方程得2A B b y y a=-=，所以222332b AB a ⨯===；若直线l 垂直于x 轴，椭圆C 的弦AB 的长度为3.（2）若点()3,0P -，当90PAB ∠=︒时，因为弦AB 过右焦点，则PA FA ⊥，即点A 在以PF 为直径的圆上，则点A 的轨迹方程为()2214x y ++=； 又因为点A 在椭圆上，则()222214314x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩解得0,x y ==A的坐标为(0或(0. （3）设:1AB x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩得22(34)690t y ty ++-=，∴12122269,3434t y y y y t t --+==++， ∴12121212121212221212332222()62()41516y y y y k k x x ty ty ty y y y t t y y t y y t +=+=+-----+-==-+++，当0t =时，120k k +=；当0t ≠时，126[1615k k t t-+=∈+。
2020届徐汇区高三一模数学Word版(附解析)
XX 市徐汇区2020 届高三一模数学试卷2019.12一 . 填空题（本大题共12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 已知集合 M { x | x 2} ，集合 N { x | x 1} ，则 M U N2. r r向量 a (3,4) 在向量 b (1,0) 方向上的投影为3. 二项式 (3x 1)11 的二项展开式中第 3 项的二项式系数为4. 复数1 i的共轭复数为3 4i5. 已知 y f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，且它在 [0, ) 上单调递增，那么使得f ( 2)f (a) 成立的实数 a 的取值X 围是6. 已知函数 f ( x)arcsin(2x 1) ，则 f 1 ( )67. 已知 x R ，条件 p : x 2x ，条件 q :1a （ a0 ），若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值X 围是x8. 已知等差数列 { a n } 的公差 d 3 ， S n 表示的前 n 项和，若数列 { S n } 是递增数列，则 a 1的取值X 围是9. 数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2 的四位数的个数为10. 过抛物线 C : y 22 x 的焦点 F ，且斜率为3 的直线交抛物线 C 于点 M （ M 在 x 轴的上方）， l 为抛物线 C 的准线，点 N 在 l 上且 MNl ，则 M 到直线 NF 的距离为11. 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，对任意 n N * ， S n ( 1)na n1 n 3 且(a 1 p)(a 2 p) 0 ，则实数 p 的取值X围是 2n12. 已知函数 f (x)x 2 4x 1 x1关于 x 的不等式 f (x) mx2m 20 的解集6x 10 x 1是 (x 1 , x 2 ) U ( x 3 , ) ，若 x 1 x 2 x 3 0 ，则 x 1 x 2 x 3 的取值X 围是二 . 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13.过点 ( 1,0)，且与直线 x1 y 1有相同方向向量的直线的方程为（）3x 5y 3 0533x 5y 3 0A. B.C.3x 5y1 0D. 5x3y 5 014. 一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半， 则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（）A. 1: 2B.1:8C.2 : 2D. 2:415.若圆 C1 : x2y 2 1 和圆 C2 : x2y26x8 y k0 没有公共点，则实数k 的取值X 围是（）A. (9,11)B.( 25, 9)C. (,9) U (11,)D. ( 25, 9) U (11, )16.设 H 是ABC 的垂心，且3HA4HB5HC0 ，则cos BHC 的值为（）A.305C.670 10B.6D.514三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图所示，圆锥SO的底面圆半径| OA | 1，母线 SA 3.（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；（2）过点O 在圆锥底面作OA 的垂线交底面圆圆弧于点P ，设线段 SO中点为 M ，求异面直线AM 与 PS所成角的大小.18. 设函数f ( x) x2| x a | （x R， a 为实数）.（1）若f ( x)为偶函数，XX数a的值；（2）设a 1f ( x) 的最小值（用a表示）.，求函数219. 如图，某市郊外景区内一条笔直的公路 a 经过三个景点 A 、 B 、 C ，景区管委会又开发了风景优美的景点 D ，经测量景点 D 位于景点 A的北偏东30°方向 8 km处，位于景点B的正北方向，还位于景点 C 的北偏西75°方向上，已知 AB5km .（1）景区管委会准备由景点 D 向景点 B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点 D 之间的距离.（结果精确到0.1 km）20. 给正有理数m i、 m j （ ij ， i , j N * ， m i ,n i , m j , n j N * ，且 m im j 和 n i n j 不n i n j同时成立），按以下规则P 排列：① 若 m in i m j n j ，则m i排在 m j前面；② 若n in jm i n i m j n j ，且 n in j ，则 m i 排在 m j 的前面，按此规则排列得到数列 { a n } .n in j（例如： 1,2, 1,）.1 1 2（1）依次写出数列 { a n } 的前 10 项；（2）对数列 { a n } 中小于 1 的各项，按以下规则 Q 排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列 {b n } ，求数列 {b n } 的前10 项的和 S 10 ，前 2019 项的和 S 2019 ；（3）对数列 { a n } 中所有整数项，由小到大取前2019 个互不相等的整数项构成集合A {c 1 ,c 2 , c 3 , , c 2019 } ， A 的子集B 满足：对任意的 x, y B ，有 x yB ，求集合 B中元素个数的最大值 .2 221. 已知椭圆:x2y 2 1（ a b 0 ），点 A 为椭圆短轴的上端点， P 为椭圆上异于 Aab 点的任一点，若 P 点到 A 点距离的最大值仅在 P 点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆 为“圆椭圆”，已知 b 2 .（1）若 a 5 ，判断椭圆是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆 是“圆椭圆”，求 a 的取值X 围；（3）若椭圆是“圆椭圆” ，且 a 取最大值， Q 为 P 关于原点 O 的对称点， Q 也异于 A 点，直线AP 、AQ 分别与x 轴交于M 、 N 两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论.参考答案一 . 填空题1. (,1](2,)2. 33. 554.7 1 i25255. (, 2][2,)6.1 7. (0,1]8.(3,)49. 84010.311. ( 3 ,11)12. [2 712,)4 4二. 选择题 13. B14. C15. D16. D三. 解答题17.（ 1） V2 2 ， S 侧3 ；（ 2） arccos4 3.3918.（ 1） a10 ；（ 2） a.419.（ 1） 4 3 33.9 km ；（ 2）4.0 km.20.（ 1） 1, 2 ,1 ,3, 2 ,1 ,4,3,2,1；（ 2） S 10 5 ， S 20191008 6；（ 3） 1010.1 1 2123 123 46521.（ 1）是；（ 2） (2,2 2] ；（ 3） (0, 2 2)。
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上海市长宁、嘉定区届高三一模数学试卷
.12.21
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 设集合{||2|1,}A x x x R =-<∈，集合B Z =，则A
B = 2. 函数sin()3y x πω=-（0ω>）的最小正周期是π，则ω=
3. 设i 为虚数单位，在复平面上，复数23(2)
i -对应的点到原点的距离为 4. 若函数2()log (1)f x x a =++的反函数的图像经过点(4,1)，则实数a =
5. 已知(3)n
a b +展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n =
6. 甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的 选法有 种；
7. 若圆锥的侧面展开图是半径为2cm ，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为 3cm
8. 若数列{}n a 的所有项都是正数，且2123n a a a n n ++⋅⋅⋅+=+（*n N ∈），则 1221lim ()231
n n a a a n n →∞++⋅⋅⋅+=+ 9. 如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，
5AD =，7AC =，3DC =，则AB 的长为
10. 有以下命题：
① 若函数()f x 既是奇函数又是偶函数，则()f x 的值域为{0}；
② 若函数()f x 是偶函数，则(||)()f x f x =；
③ 若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，则()f x 不存在反函数；
④ 若函数()f x 存在反函数1()f x -，且1()f x -与()f x 不完全相同，则()f x 与1()f x -图 像的公共点必在直线y x =上；
其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）
11. 设向量(1,2)OA =-，(,1)OB a =-，(,0)OC b =-，其中O 为坐标原点，0a >，0b >，
若A 、B 、C 三点共线，则12a b
+的最小值为 12. 如图，已知正三棱柱的底面边长为2cm ，高为5cm ，
一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A
点的最短路线的长为 cm
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. “2x <”是“24x <”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
14. 若无穷等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，{}n a 的前n 项和为n S ，则以下结论 中一定正确的是（ ）
A. n S 单调递增
B. n S 单调递减
C. n S 有最小值
D. n S 有最大值
15. 给出下列命题：① 存在实数α使3sin cos 2αα+=；② 直线2x π=-是函数sin y x = 图像的一条对称轴；③ cos(cos )y x =（x R ∈）的值域是[cos1,1]；④ 若α、β都是第 一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；其中正确命题的题号为（ ）
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
16. 如果对一切实数x 、y ，不等式
29cos sin 4y x a x y -≥-恒成立，则实数a 的取值范围 是（ ）
A. 4(,]3-∞
B. [3,)+∞
C. [22,22]-
D. [3,3]-
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为30°，且2AB BC ==；
（1）求三棱锥A BCD -的体积；
（2）设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
18. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且2
8sin 2cos 272B C A +-=； （1）求角A 的大小；
（2）若3a =
，3b c +=，求b 和c 的值；
19. 某地要建造一个边长为2（单位：km ）的正方形市民休闲公园OABC ，将其中的区域 ODC 开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D 的坐标为(1,2)，曲线OD 是函 数2
y ax =图像的一部分，过边OA 上一点M 在区域OABD 内作一次函数y kx b =+
（0k >）的图像，与线段DB 交于点N （点N 不与点D 重合），且线段MN 与曲线OD 有 且只有一个公共点P ，四边形MABN 为绿化风景区； （1）求证：28k b =-； （2）设点P 的横坐标为t ，
① 用t 表示M 、N 两点坐标；
② 将四边形MABN 的面积S 表示成关于
t 的函数()S S t =，并求S 的最大值；
20. 已知函数()9233x x
f x a =-⋅+；
（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；
（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；
（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ，若存在，求出m 、n 的值，若不存在，请说明理由；
21. 已知无穷数列{}n a 的各项都是正数，其前n 项和为n S ，且满足：1a a =， 11n n n rS a a +=-，其中1a ≠，常数r N ∈；
（1）求证：2n n a a +-是一个定值；
（2）若数列{}n a 是一个周期数列（存在正整数T ，使得对任意*n N ∈，都有n T n a a +=成立，则称{}n a 为周期数列，T 为它的一个周期），求该数列的最小周期；
（3）若数列{}n a 是各项均为有理数的等差数列，123n n c -=⋅（*n N ∈），问：数列{}n c 中
的所有项是否都是数列{}n a 中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例；
参考答案
一. 填空题
1. {2}
2. 2
3. 35
4. 3
5. 6
6. 60
7.
8. 2 9. 10. ①② 11. 8 12. 13 二. 选择题
13. B 14. C 15. B 16. D
三. 解答题
17.（1）
3；（2）arccos 6； 18.（1）3
π；（2）1b =，2c =；或2b =，1c =；
19.（1）28k b =-；（2）①(,0)2t M ，1(,2)22t N t +；②14()42S t t
=-+≤ 20.（1）[2,6]；（2）当13a ≤，282()93h a a =-；当133
a <<，2()3h a a =-； 当3a ≥，()126h a a =-；（3）不存在；
21.（1）2n n a a r +-=；（2）2T =；（3）不是；。