高斯-赛德尔迭代法解线性方程组
高斯赛德尔法
的系数矩阵A可逆且主对角元素都不为零，令
)
并将A分解成
A = (A D) + D
Dx = (D A)x + b 从而方程可以写成 x = B1 x + f1 令 B = I D A, f = D b 其中
1 1 1 1
以 B 为迭代矩阵的迭代法 称为雅克比迭代法。
1
x ( k +1) = B1 x ( k ) + f1
(k ) 由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用x 的全部分量 ( k +1 ) ( k+1) x i 时，已经算出最新的 来计算 x 的 所有分量 , 显然在计算第i个分量 分量，但没被利用。因此，将最新算出来的第k+1次近似加以利用，就 得到了高斯赛德尔迭代法。 A = D L U 将矩阵A分解成 其中 D = diag ( a11 ,a 22 ,..., a nn ) ， L ,U 是A的主对角除外的下三角 和上三角部分，于是有 (D L )x = Ux + b
ρ 是迭代矩阵的谱半径（B0中绝对值最大的特征值的绝对值）
首先取 α =1.5，迭代若干次后，有 式中： 为第k 次迭代的节点电压与该节 点前次迭代值的差值的绝对值 U ( m ) U ( m 1) 为所有节点中差值绝对值最大的 ∞ Bso为加速迭代矩阵 再有
U ( m ) U ( m 1)
将上式带入最佳加速因子公式得到近似最佳加 速因子 α 。
x = B2 x + f 2 即 B = (D L ) U , f = (D L ) 其中 以 B2 为迭代矩阵的迭代法 x ( k +1) = B2 x ( k ) + f 2 称为高斯-赛德尔迭代法。
高斯—塞德尔迭代法
上式至少有一个不等号严格成立。
*定义 每行每列只有一个元素是1,其余 元素是零的方阵称为置换阵(或排列阵).
定理8(对角占优定理)若矩阵A按行(或列)严格对角占优 或按行(或列)弱对角占优且不可约；则矩阵A非奇异。
定理9 若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列) 对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都 收敛。
高斯—塞德尔迭代法又等价于：对k=0,1,…,
三、逐次超松驰(SOR)迭代法
SOR迭代法的计算公式:对k=0,1,…,
说明:1)ω=1,GS; 2)ω>1超松驰,ω<1低松驰;
3)控制迭代终止的条件: 例3 用上述迭代法解线性代数方程组
初值x(0)=0，写出计算格式。
四、三种迭代法的收敛性
定理7 对线性方程组Ax=b，A，D非奇异，则 Jacobi迭代法收敛的充要条件是 GS迭代法收敛的充要条件是 SOR迭代法收敛的充要条件是 定义6 （1）按行严格对角占优：
证明 若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可
则GS迭代收敛。假若不然，ρ(BG)≥1，即迭代矩阵BG的某一特征 值λ使得|λ|≥1，并且
类似地，若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不
可约，则Jacobi迭代收敛。假若不然，ρ(BJ)≥1，即迭代矩阵BJ 的某一特征值λ使得|λ|≥1，并且
定理10 对线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则 1）GS迭代法收敛. 2）若2D-A也是对称正定矩阵，则Jacobi迭代法收敛。
例8 见书上
定理12 对于线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则
当0<ω<2时，SOR迭代收敛. 证明 只需证明λ<1（其中λ为Lω的任一特征值） .
matlab高斯赛德尔迭代法
标题：深入探讨MATLAB中的高斯-赛德尔迭代法一、概述MATLAB是一种强大的数学计算软件，被广泛应用于科学、工程和金融等领域。
在数值分析中，迭代法是解决非线性方程组和矩阵方程组的重要方法之一。
高斯-赛德尔迭代法是其中的一种，其在求解线性方程组时具有较好的收敛性和效率。
本文将深入探讨MATLAB中高斯-赛德尔迭代法的原理和实现方法。
二、高斯-赛德尔迭代法原理高斯-赛德尔迭代法是一种求解线性方程组的迭代法。
给定线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，b为常数向量，迭代法的基本思想是通过不断逼近方程组的解x。
高斯-赛德尔迭代法的迭代公式如下：\[ x^{(k+1)} = D^{-1} (b - (L+U)x^{(k)}) \]其中，D、L和U分别为系数矩阵A的对角线、严格下三角部分和严格上三角部分。
迭代法的初始值可以任意选择，通常选取一个与解接近的初值，然后通过迭代逼近真实解。
三、MATLAB中高斯-赛德尔迭代法的实现MATLAB提供了丰富的数值计算函数和工具箱，使得高斯-赛德尔迭代法的实现变得非常简单。
下面我们将介绍如何在MATLAB中使用高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组。
1. 设置参数在使用高斯-赛德尔迭代法之前，我们首先需要设置一些参数，如系数矩阵A、常数向量b、迭代步数等。
在MATLAB中可以通过定义变量来实现这些参数的设置。
2. 编写迭代函数接下来，我们需要编写高斯-赛德尔迭代法的迭代函数。
通过编写一个MATLAB函数来实现迭代公式的计算和迭代过程的控制。
3. 调用函数求解完成迭代函数的编写后，我们就可以通过调用该函数来求解线性方程组。
在MATLAB中，可以使用循环语句控制迭代步数，并在每一步更新迭代值，直到满足收敛条件为止。
四、案例分析为了更好地理解高斯-赛德尔迭代法在MATLAB中的应用，我们以一个具体的案例来进行分析和实践。
假设我们需要求解以下线性方程组：\[ \begin{cases} 4x_1 - x_2 + x_3 = 8 \\ -x_1 + 4x_2 - x_3 = 9 \\2x_1 - x_2 + 5x_3 = 7 \end{cases} \]我们可以通过MATLAB编写高斯-赛德尔迭代法的函数，并调用该函数来求解以上线性方程组。
高斯赛德尔的python实现
高斯赛德尔的python实现高斯赛德尔（Gauss-Seidel）算法是一种用于求解线性方程组的迭代方法。
它是一种改进的雅可比迭代法，可以更快地收敛到方程组的解。
本文将介绍如何使用Python实现高斯赛德尔算法，并解释其原理和优势。
## 1. 高斯赛德尔算法的原理高斯赛德尔算法用于求解线性方程组Ax=b，其中A是一个n×n的矩阵，b是一个n维向量。
其基本思想是将方程组中的每个未知数的新近似值代入到其余方程中，从而实现迭代求解。
具体来说，算法的步骤如下：1. 首先，给出一个初始解向量x^(0)。
2. 对于每个未知数x_i，使用下面的迭代公式更新其值：x_i^(k+1) = (b_i - Σ(A_ij * x_j^(k))) / A_ii其中，k表示第k次迭代，A_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素，x_j^(k)表示第k次迭代中x_j的值。
3. 重复步骤2，直到解向量的误差满足某个收敛条件。
## 2. Python实现高斯赛德尔算法下面是使用Python实现高斯赛德尔算法的代码：```pythonimport numpy as npdef gauss_seidel(A, b, x0, tol=1e-6, max_iter=100):n = len(b)x = np.copy(x0)iter_num = 0while iter_num < max_iter:x_prev = np.copy(x)for i in range(n):x[i] = (b[i] - np.dot(A[i, :i], x[:i]) - np.dot(A[i, i+1:], x_prev[i+1:])) / A[i, i]if np.linalg.norm(x - x_prev) < tol:breakiter_num += 1return x# 示例A = np.array([[4, 1, -1], [2, 7, 1], [1, -3, 12]])b = np.array([3, 19, 31])x0 = np.zeros_like(b)x = gauss_seidel(A, b, x0)print("解向量 x =", x)```在这段代码中，我们使用了NumPy库来处理矩阵和向量的运算。
《数值分析》-雅格比法与高斯-赛德尔迭代法解线性方程组
4. 线性方程组求解4．用雅格比法与高斯－赛德尔迭代法解下列方程组Ax =b ，研究其收敛性，上机验证理论分析是否正确，比较它们的收敛速度，观察右端项对迭代收敛有无影响。
(1)A 行分别为A 1=[6,2,-1],A 2=[1,4,-2],A 3=[-3,1,4]； b 1=[-3,2,4]T , b 2=[100,-200,345]T ,(2) A 行分别为A 1=[1,0.8,0.8],A 2=[0.8,1,0.8],A 3=[0.8,0.8,1]；b 1=[3,2,1] T , b 2=[5,0,-10]T ,(3)A 行分别为A 1=[1,3],A 2=[-7,1]；b =[4,6]T , （1）雅可比法A 为所求方程组的系数矩阵，将系数矩阵()n n ij A a R ⨯=∈分为三部分，即111212221211000000n n nn n n a a a a a a A a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭D L U ≡--构造迭代方程，选取M 为A 的对角元素部分，即选取M D =，A D N =-,由此构造得到解AX b =的雅可比迭代法如下：()()()01,,0,1,,k k x xBx f k +⎧⎨=+=⎩ 初始向量(4-1)其中()111B I D A D L U J f D b ---=-=+≡=，，J 为雅可比迭代矩阵。
若A 为n 阶矩阵，迭代公式如下：()()()()()()()00001211,,,()/1,2,,;0,1,T n n k k ii ij j ii j j ix x x x x b a x a i n k +=≠⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪==⎪⎩∑初始向量表示迭代次数(4-2) 在运行程序时首先需要手动输入矩阵A ，阶数n 、向量b 和初始向量x 0，根据式(4-2)不断迭代可求解得近似解。
用高斯赛德尔迭代法解方程组
用高斯赛德尔迭代法解方程组
高斯-赛德尔迭代（gauss–seidel method）是数值线性代数中的一个迭代法，可用
来求出线性方程组解的近似值。
该方法以卡尔·弗里德里希·高斯和路德维希·赛德尔命名。
同雅可比法一样，高斯-赛德尔迭代是基于矩阵分解原理。
在数值线性代数中，gauss-seidel方法也称作liebmann方法或已连续加速度方法，
就是用作解线性方程组的运算方法。
它以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（carl friedrich gauss）和菲利普·路德维希·冯·塞德尔（philipp ludwig von seidel）命名，与雅基数排序方法相近。
高斯-赛德尔迭代法是解线性方程组的常用迭代法之一，设线性方程组为a1x1 +a2x2 +..+ cintn =b.s
(i= 1,2,,n),
高斯赛德尔迭代法的迭代公式，虽然它可以应用于对角线上具有非零元素的任何矩阵，但只能在矩阵是对角线主导的或对称的和正定的情况下，保证收敛。
在年，只在高斯给
他的学生gerling的私人信中提到。
年之前由塞德尔自行出版。
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种求解方法1.高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
该方法的基本思想是通过对方程组进行一系列简化操作，使得方程组的解易于求得。
首先将方程组表示为增广矩阵，然后通过一系列的行变换将增广矩阵化为行简化阶梯形，最后通过回代求解出方程组的解。
2.列主元高斯消元法列主元高斯消元法是在高斯消元法的基础上进行改进的方法。
在该方法中，每次选取主元时不再仅仅选择当前列的第一个非零元素，而是从当前列中选取绝对值最大的元素作为主元。
通过选取列主元，可以避免数值稳定性问题，提高计算精度。
3.LU分解法LU分解法是一种将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U的方法。
首先进行列主元高斯消元法得到行阶梯形矩阵，然后对行阶梯形矩阵进行进一步的操作，得到L和U。
最后通过回代求解出方程组的解。
4.追赶法（三角分解法）追赶法也称为三角分解法，适用于系数矩阵是对角占优的三对角矩阵的线性方程组。
追赶法是一种直接求解法，将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，然后通过简单的代数运算即可求得方程组的解。
5.雅可比迭代法雅可比迭代法是一种迭代法，适用于对称正定矩阵的线性方程组。
该方法的基本思想是通过不断迭代求解出方程组的解。
首先将方程组表示为x=Bx+f的形式，然后通过迭代计算不断逼近x的解。
6.高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法。
该方法在每一次迭代时，使用已经更新的解来计算新的解。
相比于雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法的收敛速度更快。
7.松弛因子迭代法松弛因子迭代法是一种对高斯-赛德尔迭代法的改进方法。
该方法在每一次迭代时，通过引入松弛因子来调节新解与旧解之间的关系。
可以通过选择合适的松弛因子来加快迭代速度。
以上是一些常用的线性方程组求解方法，不同的方法适用于不同类型的线性方程组。
在实际应用中，根据问题的特点和要求选择合适的求解方法可以提高计算的效率和精度。
(VB程序)高斯-赛德尔迭代法解线性方程组
高斯-赛德尔迭代法解线性方程组VB程序参考教材：《数值分析》数值分析(李庆扬、王能超、易大义)1、窗体文件（fram1.frm）Option ExplicitOption Base 1Private Sub Command1_Click()Dim i%, j%, rows%, cols%Dim A!(), b!(), rootDim coef_arr, import_filename$import_filename = get_import_filenameIf import_filename = "" Then Exit Sub 'MsgBox "未选择路径":Call importdata(coef_arr, import_filename)rows = UBound(coef_arr, 1)cols = UBound(coef_arr, 2) - 1ReDim A(rows, cols), b(rows)For i = 1 To rowsFor j = 1 To colsA(i, j) = coef_arr(i, j) '矩阵ANext jb(i) = coef_arr(i, cols + 1) '最后一列为矩阵bNext iCall Gauss_Seidel(root, A, b)For i = 1 To UBound(root)Text1.Text = Text1 & root(i) & vbCrLfNext iEnd Sub2、模块文件（model1.bas）Option Explicit'********************************************************************* '获取需要打开的文件路径'输入：无'输出：需要打开的文件路径'********************************************************************* Function get_import_filename$()On Error GoTo ErrHandler 'CancelError 为True。
高斯-赛得尔迭代法
0
则
L~ D 1L, U~ D1U
于是 I L~ D1D D1L D1(D L) (3 16)
7
解线性方程组的迭代法
x(k1) (I L~)1U~x(k ) (I L~)1 g I L~ D1D D1L D1(D L) L~ D 1L, U~ D1U
将式(3-16)代入式(3-15)得
b1n xn(k)
g1
x2(k
1)
b x (k1) 21 1
b23x3(k) L
b x (k 2n1 n1
)
b2nxn(k)
g2
M
x (k1) n
b x (k1) n1 1
bn2x2(k1)
bn3x3(k1)
L
b x (k1) nn1 n1
gn
(3 13)
p4
2
解线性方程组的迭代法
b2n xn(k )
g2
M
x (k 1) n
bn1x1(k )
bn2 x2(k )
bn3 x3(k )
L
bnn
1xn
( 1
k
)
gn
其中
bij
aij aii
,
gi
bi aii
(i j,i, j 1, 2,L , n),
(i 1, 2,L , n).
(3 12)
1
解线性方程组的迭代法
因此，在Jacobi迭代法的计算过程中，要同时保留
即每算出新近似解的一个分量
x , ( k 1) i
再算下一个
x 分量
x(k 1) i 1
时，用新分量
x(k 1) i
代替老分量
(k ) i
进行计算。这样，在整个计算过程中，只需用n个
GaussSeidel迭代法
Gauss Seidel 迭代法:Gauss Seidel 迭代法是逐个分量进行计算的一种方法，考虑线性代数方程组Ax=b 的分量法表示i j j ij b x a==∑n 1 , i=1,2,···,n对于给定的初值)0(x ,Ga迭代法如下： Gauss Seidel 迭代算法：· k=0· 11)(11)1(1/)2(x a x a b n j k j j k ∑=-==+ ·22)(2)1(1212)1(2/)3(x a x a x a b n j k j j k k ∑=--==++· …·1,1)(,12)1(,11)1(1-n /)1(x ----+--+-=-=∑=n n k n n n n j k j j n n k a x a x a b ·nn n j k j nj n k a x a b /)(x 11)1()1(n ∑-++-=＝＝ ·2)0()1(2)()1(x x x x k k k -<-++ε停止，否则k=k+1从Gauss Seidel 迭代算法的计算过程可以发现，每计算一个新的分量都需要前面所有新计算出来的分量的结果，这是一个严格的串行过程。
那么，如何设计一个并行计算的方法呢？记)0(1s j n i j ij i x a ∑+=＝ ，i=1,2, …,n-1,s n =0。
并行计算方法如下：并行Gauss Seidel 迭代算法：k=0for i=1,n do0,/)(x )1(=-=+i ii i i k i s a s bfor j=1,n,j ≠i do)1(s ++=k i ji j j x a send{for} end{for}2)0()1(2)()1(x x x x k k k -<-++ε停止，否则k=k+1在并行Gauss Seidel 迭代算法中，每次并行计算j s ,之后可以并行计算截止条件是否满足。
高斯-赛得尔迭代法
b12x2(k) b13x3(k)
x2(k
1)
b x (k1) 21 1
b23x3(k)
b x (k) 1n1 n1
b1n xn(k)
g1
b x( 2n1 n1
k
)
b2nxn(k)
g2
x (k1) n
b x (k1) n1 1
bn2
x (k1) 2
bn3x3(k1)
b x (k1) nn1 n1
9
解线性方程组的迭代法
例 用Gauss-Seidel迭代法求线性方程组
10x1 x2 2x3 72,
x1 10x2 2x3 83,
x1 x2 5x3 42,
x1 0.1x2 0.2x3 7.2 x2 0.1x1 0.2x3 8.3 x3 0.2x1 0.2x2 8.4
x )
x (k 1) 2
0.4x2(k )
0.7( x1(k 1)
x (k) 3
)
x (k 1) 3
0.4x3(k ) 0.7(1.8 x2(k1) )
20
解线性方程组的迭代法
x (k 1) 1
0.4x1(k )
0.7(1 x2(k) )
参数 , 误差限 , 最大容许迭代次数N.
2. 置 k 1.
3.计算
18
解线性方程组的迭代法
n
x1 (1 ) x1(0) (b1
a1
j
x(0) j
)
/
a11
j2
i 1
n
xi (1 )xi(0) (bi aij x j
aij
x
(0) j
)
/
aii
j 1
gauss seidel迭代法
Gauss Seidel迭代法简介Gauss Seidel迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代算法。
它是Jacobi迭代法的改进版本，通过逐次更新未知数的估计值，逐渐逼近方程组的精确解。
本文将详细介绍Gauss Seidel迭代法的原理、算法步骤以及应用领域。
原理Gauss Seidel迭代法基于以下原理：对于线性方程组Ax = b，其中A是一个n×n 的矩阵，x和b是n维向量。
我们可以将矩阵A分解为L、D和U三个矩阵的和，其中L是A的下三角部分（不包括对角线），D是A的对角线部分，U是A的上三角部分（不包括对角线）。
则方程组可以重写为：(A = L + D + U)(L + D + U)x = b(L + D)x + Ux = b将上式中的x视为已知量，将(L + D)x视为已知量的估计值，我们可以得到迭代公式：x^(k+1) = -D^(-1)(Lx^(k+1) + Ux^(k)) + D^(-1)b其中，x(k)表示第k次迭代的估计值，x(k+1)表示第(k+1)次迭代的估计值，D^(-1)表示矩阵D的逆矩阵。
算法步骤Gauss Seidel迭代法的算法步骤如下：1.初始化估计值向量x^(0)为任意非零向量。
2.根据迭代公式计算x^(k+1)。
3.判断是否满足终止条件，如果满足则停止迭代，输出x^(k+1)作为线性方程组的近似解；否则，令k=k+1，返回第2步。
终止条件通常有以下几种方式： - 迭代次数达到预设的最大值。
- 两次迭代之间的误差小于预设的阈值。
- 迭代估计值与精确解之间的误差小于预设的阈值。
应用领域Gauss Seidel迭代法在科学计算和工程领域有广泛的应用。
下面列举了一些常见的应用领域：电力系统分析Gauss Seidel迭代法可以用于电力系统的潮流计算。
潮流计算是电力系统分析的基础，用于确定电力系统各节点的电压幅值和相角。
通过迭代计算节点电压，可以实现电力系统的稳态分析和潮流优化。
实验 高斯赛德尔迭代法
实验 高斯——赛德尔迭代法一·实验目的1·熟悉求解线性方程组的有关理论和方法；2·能编程实现雅可比及高斯-塞德尔迭代法、列主元高斯消去法、约当消去，追赶法；3·通过测试，进一步了解各种方法的优缺点；4·根据不同类型的方程组，选择合适的数值方法。
二·实验内容高斯赛德尔迭代法用C 语言在计算机表达出来。
三·实验原理无论是三次样条还是拟合问题最终都归结为线性方程组，求解线性方程组在数值分析中非常重要，在工程计算中也不容忽视。
线性方程组大致分迭代法和直接法。
只有收敛条件满足时，才可以进行迭代。
雅可比及高斯-塞德尔是最基本的两类迭代方法，最大区别是迭代过程中是否引用新值进行剩下的计算。
消元是最简单的直接法，并且也十分有效的，列主元高斯消去法对求解一般的线性方程组都适用，同时可以用来求矩阵对应的行列式。
约当消去实质是经过初等行变换将系数矩阵化为单位阵，主要用来求矩阵的逆。
在使用直接法，要注意从空间、时间两方面对算法进行优化。
高斯-塞德尔迭代：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑+=-=++n i j k j ij i j k j ij i ii k i x a x a b a x 1)(11)1()1(1 n i ,...,2,1= 四·程序代码#include "iostream.h"#include "iomanip.h"int main(){int i,j,k=0,m,n;double t1,t2,e1,e2=0.0;cout<<"请输入精度e ：";cin>>e1;cout<<"请输入系数矩阵行数：";cin>>m;cout<<"请输入系数矩阵列数：";cin>>n;cout<<endl;double (**a)=new double *[m];for(i=0;i<=m;i++){a[i]=new double[n];}double (*b)=new double [m];double (*x)=new double [n];cout<<"请输入系数矩阵："<<endl;cout<<"------------------------------------------------------------------------"<<endl;for(int num1=0;num1<m;num1++){for(int num2=0;num2<n;num2++){cin>>a[num1][num2];}cout<<endl;}cout<<"输入的系数矩阵为："<<endl;for (int num3=0;num3<m;num3++){for(int num4=0;num4<n;num4++){cout<<a[num3][num4]<<" ";}cout<<endl;}cout<<"------------------------------------------------------------------------"<<endl;cout<<"请输入矩阵b："<<endl;cout<<"------------------------------------------------------------------------"<<endl;for(int num5=0;num5<m;num5++){cin>>b[num5];}cout<<"输入的矩阵b为："<<endl;for(int num6=0;num6<m;num6++){cout<<b[num6]<<" ";}cout<<endl;cout<<"------------------------------------------------------------------------"<<endl;for(int num7=0;num7<n;num7++){x[num7]=0.0000;}do{cout<<"第"<<k<<"次迭代值：";e2=0.0;for(i=0;i<m;i++){double sum=0.0;for(j=0;j<n;j++){if(j!=i)sum+=a[i][j]*x[j];}t1=x[i];t2=e2;x[i]=(b[i]-sum)/a[i][i];e2=(x[i])-t1>=0?(x[i])-t1:t1-(x[i]);e2=(e2>=t2?e2:t2);cout<<setprecision(8)<<x[i]<<" ";}cout<<endl;k++;}while(e2>=e1&&k<30);cout<<"共迭代了"<<k<<"次";delete[]a;delete[]b;delete[]x;return 0 ;}五·运算结果六·总结考虑线性方程组Ax=b,(1)其中A=(ai j)n×n∈n×n为n阶方阵,x∈n和b∈n是n维向量.对系数矩阵A作A=M?N的分裂,M为非奇异矩阵,则对应方程组(1)的基本迭代形式为:x(k+1)=M?1 Nx(k)+M?1b,k=0,1,2,,n(2)其中称M?1N为方程(1)的迭代矩阵,迭代格式(2)是否收敛取决于迭代矩阵M?1N.一般地,对线性方程组(1)的系数矩阵A做如下的分裂A=D?L?U,(3)其中D为非奇异对角矩阵、L为严格下三角矩阵、U为严格上三角矩阵.为讨论方便,当A可逆时,通过初等变换把A的对角元都化简为1,因此A=I?L?U.对于形如式(3)的系数矩阵,Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为:G=(I?L)?1U.虽然迭代法是求解线性方程组的主要方法,但是当系数矩阵的条件数较大时,系数矩阵对于求解线性方程组是病态的,此时迭代法会出现不收敛和收敛速度慢的情况;对于迭代法收敛速度慢的问题,采用适当的预处理技术,可以使系数矩阵的特征值分布更加集中,降低矩阵的条件数,改良矩阵的病态特性.。
高斯-赛德尔迭代法解线性方程组
数值分析实验五班级： 10信计二班 学号：59 姓名：王志桃 分数：一．实验名称高斯-赛德尔迭代法解线性方程组二．实验目的1. 学会利用高斯赛德尔方法解线性方程组2. 明白迭代法的原理3. 对于大型稀疏矩阵方程组适用于迭代法比较简单三．实验内容利用Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-36123633111420238321321321x x x x x x x x x ， 其中取→=0)0(x 。
四、算法描述由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值，若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量)1(+k ix 时，用最新分量)1(1+k x ，⋅⋅⋅+)1(2k x )1(1-+k i x 代替旧分量)(1k x ，⋅⋅⋅)(2k x )(1-k i x ，就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法。
其迭代格式为T n x x x x )()0()0(2)0(1)0(，，，⋅⋅⋅= (初始向量)，)(11111)()1()1(∑∑-=-+=++--=i j i i j k j ij k j ij i ii i i x a x a b a x )210i 210(n k ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=，，，；，，，或者写为⎪⎩⎪⎨⎧--=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==∆+=∑∑-=-+=+++)(1)210i 210(1111)()1()1()()1(i j i i j k j ij k j ij i ii i i i k i k i x a x a b a x n k k x x x ，，，；，，，五、 编码#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <conio.h>#include <math.h>#define MAX_n 100#define PRECISION 0.0000001#define MAX_Number 1000void VectorInput(float x[],int n) //输入初始向量{int i;for(i=1;i<=n;++i){printf("x[%d]=",i);scanf("%f",&x[i]);}}void MatrixInput(float A[][MAX_n],int m,int n) //输入增广矩阵{int i, j;printf("\n===Begin input Matrix elements===\n");for(i=1;i<=m;++i){printf("Input_Line %d : ",i);for(j=1;j<=n;++j)scanf("%f",&A[i][j]);}}void VectorOutput(float x[],int n) //输出向量{int i;for(i=1;i<=n;++i)printf("\nx[%d]=%f",i,x[i]);}int IsSatisfyPricision(float x1[],float x2[],int n) //判断是否在规定精度内{int i;for(i=1;i<=n;++i)if(fabs(x1[i]-x2[i])>PRECISION) return 1;return 0;}int Jacobi_(float A[][MAX_n],float x[],int n) //具体计算{float x_former[MAX_n];int i,j,k;printf("\nInput vector x0:\n");VectorInput(x,n);k=0;do{for(i=1;i<=n;++i){printf("\nx[%d]=%f",i,x[i]);x_former[i]=x[i];}printf("\n");for(i=1;i<=n;++i){x[i]=A[i][n+1];for(j=1;j<=n;++j)if(j!=i) x[i]-=A[i][j]*x[j]; if(fabs(A[i][i])>PRECISION)x[i]/=A[i][i];elsereturn 1;}++k;}while(IsSatisfyPricision(x,x_former,n) && k<MAX_Number);if(k>=MAX_Number)return 1;else{printf("\nG-S %d times!",k);return 0;}}int main() //主函数{int n;float A[MAX_n][MAX_n],x[MAX_n];printf("\nInput n=");scanf("%d",&n);if(n>=MAX_n-1){printf("\n\007n must <%d!",MAX_n);exit(0);}MatrixInput(A,n,n+1);if(Jacobi_(A,x,n))printf("\nG-S Failed!");else{printf("\nOutput Solution:");VectorOutput(x,n);}printf("\n\n\007Press any key to quit!\n");getch();}通过实验使我更加熟练的掌握和使用高斯赛贝尔迭代法来解线性方程组，而且这个方法可以用来解大型的稀疏矩阵，是的解线性方程组更加的便捷。
高斯—赛德尔迭代法课程设计
高斯—赛德尔迭代法课程设计C++课程设计实验报告姓名陈晓杜学号 05115901 班级 0511590130 任课教师肖亮时间 2006-9-20教师指定题目高斯—赛德尔迭代法评定难易级别 A实验报告成绩实验内容:一：程序功能介绍采用高斯-赛德尔迭代法解线性方程组二：解方程组的原理（1）所解的方程的系数矩阵为对角优势；（2）一般行数不超过10行；（3）首先将矩阵变换成：x=Mx+f的形式；（4）接着选取适当的初值，本程序选取0；（5）选取适当的松弛因子，将初始化后的值进行迭代；（6）然后用同样的计算步骤重复计算；（7）在满足精度的情况下，停止迭代，求得近似解。
三：程序设计要求（1）设计测试主程序（2）在主程序完成测试（3）测试线性方程：10*X1+X2+2*X3=442*X1+10*X2+X3=51X1+2*X2+10*X3=61解：X1=3，X2=4，X3=5四：程序的主要内容给出类构造函数输入行列数变换矩阵初始化对角设松弛因子迭代计算控制精度输入矩阵输出结果 main函数五：源程序结构流程框图六：基本数据结构class matrix //高斯-赛德尔矩阵算法类{friend void operator<<(ostream &,matrix &);//重载输出运算符friend void operator>>(istream &,matrix &);//重载输入运算符protected:int row,column;//矩阵行列数double **mat;//矩阵int varnum;//矩阵解的个数double *variable;//存放方程解int itercount;//迭代次数void iteration(double);//迭代算法，参数是松弛因子 bool epsilon(double*,double*,int,double);//误差函数public:matrix(int,int);//构造函数static void initialize(int&,int&);//要求用户输入行列数 void rearrange();//变换矩阵void relax(double &);//控制松弛因子void solve(double);//主要算法部分，参数是松弛因子 void show_answer();//最后输出结果};七：程序运行结果界面图1. 初始界面图2.运行过程图3.错误处理图4.运行结果八：课程设计遇到的技术问题与解决思路问题1:在输入线性方程组的时候要考虑方程的个数不应该太大，而且要考虑行数应比列数少1才能得惟一解。
高斯-赛德尔迭代法
高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel method）是一种用于求解线性方程组的迭代法。
它的基本思想是每次求解一个方程的未知量，并用该未知量的解代替原方程中的未知量，然后求解下一个方程的未知量。
这样不断进行迭代，直到所有的未知量都求得精确解为止。
高斯-赛德尔迭代法的公式为：
x(k+1) = B - AX(k) + x(k)
其中x(k) 是迭代次数为k 时的未知量向量，A 是系数矩阵，B 是常数向量。
高斯-赛德尔迭代法的优点是收敛速度快，适用于各种线性方程组，并且易于实现。
但是，它也有一些缺点，例如对系数矩阵的条件有一定要求，并且当方程组的系数矩阵不满秩时可能不收敛。
希望这些信息能帮到您。
高斯-赛德尔迭代法
一、实验目的与要求对于线性方程组1. 用高斯-赛德尔迭代法求此方程组的近似解（终止迭代过程的最大允许迭代次数N，近似解的误差限eps，均由用户设定）；2. 通过数值实验说明，求此线性方程组的近似解时，高斯-赛德尔迭代法的收敛速度比雅可比迭代法的收敛速度要快一些。
（用同样精度要求的条件来比较迭代次数）二、实验方案(程序源文件)运用MATLAB软件编辑M文件如下：function EX()a=input('请输入系数矩阵a：');b=input('请输入矩阵b:');N=input('请输入最大迭代次数N：');esp=input('请输入近似解的误差限：');if any(diag(a))==0error('系数矩阵错误，迭代终止！')endD=diag(diag(a));X0=zeros(size(b));x1=0;x2=0;x3=0;X1=[x1;x2;x3];h=inv(D)*b;B=inv(D)*(D-a);B1=triu(B);B2=tril(B);k=1;fprintf('高斯-赛德尔迭代法 \n'); fprintf('第0次迭代得：')disp(X1');while k<=Nx1=h(1,1)+B1(1,:)*X0;X1=[x1;x2;x3];x2=h(2,1)+B1(2,:)*X0+B2(2,:)*X1;X1=[x1;x2;x3];x3=h(3,1)+B2(3,:)*X1;X1=[x1;x2;x3];if norm(X1-X0,inf)<espfprintf('已满足误差限。
')break ;endX0=X1;fprintf('第%2d次迭代得：',k)disp(X1');k=k+1;endfprintf('满足误差限的高斯-赛德尔迭代近似解为：') disp(X1');fprintf('雅可比迭代法 ');t=0;Y0=zeros(size(b));while t<=NY1=h+B*Y0;if norm(Y1-Y0,inf)<espfprintf('满足误差限 \n')break ;endY0=Y1;fprintf('第%2d次迭代得：',t)disp(Y1');t=t+1;endfprintf('满足误差限的雅可比迭代近似解为：')disp(Y1');fprintf('用高斯-赛德尔迭代法迭代次数为 %d次\n用高斯-赛德尔迭代法迭代次数为%d次\n',k-1,t-1)三、实验结果和数据处理(运行结果，截图)四、结论根据实验结果得出以下结论：高斯-赛德尔迭代法的收敛速度比雅可比迭代法的收敛速度要快一些。
高斯—塞德尔迭代法
x(7) (3.00002 , 1.9999987 , 0.9999932 )T , ε (7)
x(7) x *
2.2 106.
AX=b.
(1.1)
低阶稠密的线性方程组用直接法(如高斯消去法和三 角分解法)。
大型稀疏非带状的线性方程组(n很大,且零元素很多. 如偏微方程数值解产生的线性方程组,n≥104)的求解 问题？ 零元素多，适合用迭代法。 我们将介绍迭代法的一般理论及雅可比迭代法、高 斯—塞德尔迭代法，研究它们的收敛性。 例1 求解线性方程组
解线性代数方程组的迭代法
§1 引言
考虑线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1x1 an2 x2 ann xn bn
也就是
§2
考虑线性方程组
基本迭代法
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1x1 an2 x2 ann xn bn
也就是
Ax=b.
(2.1)
进行矩阵分裂
A=M-N,
(2.2)
其中M为可选择的非奇异矩阵,且使Mx=d容易求解. 于是, Ax=b⇔x=M-1Nx+M-1b.
可得一阶定常迭代法:
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数值分析实验五
班级： 10信计二班 学号：59 姓名：王志桃 分数：
一．实验名称
高斯-赛德尔迭代法解线性方程组
二．实验目的
1. 学会利用高斯赛德尔方法解线性方程组
2. 明白迭代法的原理
3. 对于大型稀疏矩阵方程组适用于迭代法比较简单
三．实验内容
利用Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-36123633111420238321
321321x x x x x x x x x ， 其中取→=0)0(x 。
四、算法描述
由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值，若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量)1(+k i
x 时，用最新分量)1(1+k x ，⋅⋅⋅+)1(2k x )1(1-+k i x 代替旧分量)(1k x ，⋅⋅⋅)(2k x )(1-k i x ，就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法。
其迭代格式为
T n x x x x )()0()0(2)0(1)0(，，，⋅⋅⋅= (初始向量)，
)(11111)()1(
)
1(∑∑-=-+=++--=i j i i j k j ij k j ij i ii i i x a x a b a x )210i 210(n k ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=，，，；，，，
或者写为
⎪⎩
⎪⎨⎧--=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==∆+=∑∑-=-+=+++)(1)210i 210(1111)(
)1()1()()1(i j i i j k j ij k j ij i ii i i i k i k i x a x a b a x n k k x x x ，，，；，，，
五、 编码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <conio.h>
#include <math.h>
#define MAX_n 100
#define PRECISION 0.0000001
#define MAX_Number 1000
void VectorInput(float x[],int n) //输入初始向量
{
int i;
for(i=1;i<=n;++i)
{
printf("x[%d]=",i);
scanf("%f",&x[i]);
}
}
void MatrixInput(float A[][MAX_n],int m,int n) //输入增广矩阵
{
int i, j;
printf("\n===Begin input Matrix elements===\n");
for(i=1;i<=m;++i)
{
printf("Input_Line %d : ",i);
for(j=1;j<=n;++j)
scanf("%f",&A[i][j]);
}
}
void VectorOutput(float x[],int n) //输出向量
{
int i;
for(i=1;i<=n;++i)
printf("\nx[%d]=%f",i,x[i]);
}
int IsSatisfyPricision(float x1[],float x2[],int n) //判断是否在规定精度内{
int i;
for(i=1;i<=n;++i)
if(fabs(x1[i]-x2[i])>PRECISION) return 1;
return 0;
}
int Jacobi_(float A[][MAX_n],float x[],int n) //具体计算
{
float x_former[MAX_n];
int i,j,k;
printf("\nInput vector x0:\n");
VectorInput(x,n);
k=0;
do{
for(i=1;i<=n;++i)
{
printf("\nx[%d]=%f",i,x[i]);
x_former[i]=x[i];
}
printf("\n");
for(i=1;i<=n;++i)
{
x[i]=A[i][n+1];
for(j=1;j<=n;++j)
if(j!=i) x[i]-=A[i][j]*x[j]; if(fabs(A[i][i])>PRECISION)
x[i]/=A[i][i];
else
return 1;
}
++k;
}while(IsSatisfyPricision(x,x_former,n) && k<MAX_Number);
if(k>=MAX_Number)
return 1;
else
{
printf("\nG-S %d times!",k);
return 0;
}
}
int main() //主函数
{
int n;
float A[MAX_n][MAX_n],x[MAX_n];
printf("\nInput n=");
scanf("%d",&n);
if(n>=MAX_n-1)
{
printf("\n\007n must <%d!",MAX_n);
exit(0);
}
MatrixInput(A,n,n+1);
if(Jacobi_(A,x,n))
printf("\nG-S Failed!");
else
{
printf("\nOutput Solution:");
VectorOutput(x,n);
}
printf("\n\n\007Press any key to quit!\n");
getch();
}
通过实验使我更加熟练的掌握和使用高斯赛贝尔迭代法来解线性方程组，而且这个方法可以用来解大型的稀疏矩阵，是的解线性方程组更加的便捷。
但是，这个实验很繁琐，必须要仔细的对待。
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。