人教版 九年级数学 二次函数的应用讲义 (含解析)

第6讲二次函数的应用

知识定位

讲解用时：3分钟

A、适用范围：人教版初三，基础偏上

B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数在实际问题以及几何图形中的应用，重点掌握常见的几类二次函数题型的分析过程和处理方法。本节课的部分内容属于中考常考知识点，同时也是中考难点之一，需要同学们灵活运用二次函数解析式及图像性质解决实际问题、代数问题和几何问题的综合能力。

知识梳理

讲解用时：15分钟

二次函数的应用题型

（1）利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此

类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后再通过配方的方

式确定其最大值；

实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数

的最值时，一定要注意自变量x的取值范围。

（2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值以及动

态几何中的最值的讨论；

求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的

取值范围；而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化

较多。

课堂精讲精练

【例题1】

某体育用品商店购进一批滑板，每块滑板利润为30元，一星期可卖出80块，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价1元，则一星期可多卖出4块，设每块滑板降价x元，商店一星期销售这种滑板的利润是y元，则y与x之间的函数表达式为。

【答案】y=﹣4x2+40x+2400

【解析】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，

设每块滑板降价x元，商店一星期销售这种滑板的利润是y元，

则y与x之间的函数表达式为：y=（30﹣x）（80+4x）=﹣4x2+40x+2400．

讲解用时：3分钟

解题思路：设每块滑板降价x元，则销售利润为=销量×每件利润进而得出答案。教学建议：利用利润=销量×每件商品利润，进而得出利润与定价之间的函数关系式。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：北仑区期末年份：2017秋【练习1】

如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，

正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为。

【答案】y=2x2﹣4x+4

【解析】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，

如图所示：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，

∵∵A=∵B=90°，AB=2．∵∵1+∵2=90°，

∵四边形EFGH为正方形，∵∵HEF=90°，EH=EF，

∵∵1+∵3=90°，∵∵2=∵3，

在∵AHE 与∵BEF 中，∵，

∵∵AHE∵∵BEF （AAS ）， ∵AE=BF=x ，AH=BE=2﹣x ， 在Rt∵AHE 中，由勾股定理得：

EH 2=AE 2+AH 2=x 2+（2﹣x ）2=2x 2﹣4x+4； 即y=2x 2﹣4x+4（0＜x ＜2）。 讲解用时：5分钟

解题思路：由AAS 证明∵AHE∵∵BEF ，得出AE=BF=x ，AH=BE=2﹣x ，再根据勾股定理，求出EH 2，即可得到y 与x 之间的函数关系式。 教学建议：注意四边形EFGH 为正方形这个条件的使用。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：常德 年份：2017

【例题2】

竖直向上发射的小球的高度h （m ）关于运动时间t （s ）的函数表达式为h=at 2+bt ，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）。 A ．第3秒 B ．第3.9秒

C ．第4.5秒

D ．第6.5秒

【答案】B

【解析】本题考查二次函数应用中的“运动轨迹问题”，

由题意可得，h=at 2+bt 的对称轴为直线x=42

6

2=+， ∵当x=4，h 取得最大值，

∵在选项中当t=3.9时，h 的值最大，故选：B ． 讲解用时：3分钟

解题思路：根据题意可求得函数的对称轴，从而可以得到选项中那个时间对应的函数值最大。

教学建议：注意利用二次函数的对称性。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：和平区期末 年份：2017秋

【练习2】

标枪飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，标枪距离地面的高度h （单位：m ）与标枪被掷出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h

8

14

18

20

20

18

14

…

下列结论：∵标枪距离地面的最大高度大于20m ；∵标枪飞行路线的对称轴是直

线t=29；∵标枪被掷出9s 时落地；∵标枪被掷出1.5s 时，距离地面的高度是11m ，

其中正确结论的个数是（ ）。 A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C

【解析】本题考查二次函数应用中的“运动轨迹问题”，

由题意，抛物线的解析式为h=at （t ﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1， ∵h=﹣t 2+9t=﹣（t ﹣4.5）2+20.25，

∵足球距离地面的最大高度为20.25m ，故∵正确， ∵抛物线的对称轴t=4.5，故∵正确，

∵t=9时，h=0，∵足球被踢出9s 时落地，故∵正确， ∵t=1.5时，h=11.25，故∵错误， ∵正确的有∵∵∵，故选：C ． 讲解用时：5分钟

解题思路：由题意，抛物线经过（0，0），（9，0），所以可以假设抛物线的解析

式为h=at （t ﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得h=﹣t 2+9t=﹣（t ﹣4.5）2+20.25，

由此即可一一判断。

教学建议：注意t=9时，h=0，然后利用二次函数的交点式求出函数解析式。 难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：临沂期末 年份：2017秋

【例题3】

河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥（如图1），水面宽6m 时，水面离桥孔顶部3m ，因降暴雨水面上升1m 。