安徽省阜阳市太和中学2020届高三下学期最后一模文科数学试卷及答案解析
2020届安徽省阜阳市高三教学质量统测数学(文)试题
2020届安徽省阜阳市高三教学质量统测数学（文科）试题一、单选题1．设集合{}2|,{|31420}1A x x B x x x =-<<-=--≤，则AB =（ ）A ．[)21--，B ．(21)--，C ．(16]-， D ．(31)--，2．已知复数2z i z =-,为z 的共轭复数，则()1. z z +=（ ） A ．5i +B ．5i -C ．7i -D ．7i +3．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．35B ．45C ．35-D ．45-4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%5．已知tan α=，则cos 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A．6B． CD6．若,x y 满足约束条件0210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的最大值为（ ）A ．5-B ．1-C ．5D ．67．已知双曲线()2222:10 ,0x y C a b a b -=>>的焦点到它的渐近线的距离为2，点2()P --是双曲线C 上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）AB．3C．2D．38．将函数()36f x sin x π=+⎛⎫⎪⎝⎭的图像向右平移()0m m >个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9π B ．29π C ．18π D ．24π9．已知:29p ln ln lna ⋅>，:q 函数()f x lnx a =-在4(0,]e 上有2个零点，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是 A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,112．已知函数()2x e f x t lnx x x x =-++⎛⎫⎪⎝⎭恰有一个极值点为1，则实数t 的取值范围是（ ）A ．1,33e ⎛⎤⎧⎫-∞⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,23e ⎛⎤⎧⎫-∞⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差3d =，且138,,a a a 成等比数列，则10S =_________．14．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从1~5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为______．15．如图，圆锥VO 的母线长为l ，轴截面VAB 的顶角150AVB ∠=︒，则过此圆锥的项点作该圆锥的任意截面VCD ，则VCD 面积的最大值是___；此时VCD ∠=______.16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是______.三、解答题17．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin sin sin A B a b b C c C +-+=，点D 为边BC的中点，且AD =（1）求A ；（2）若2b c =，求ABC ∆的面积. 18．已知数列{}n a 满足11a =，且113n n n a a a +-=+. (1)证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式. (2)若21nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .19．《中央广播电视总台2019主持人大赛》是中央人民广播电视总台成立后推出的第一个电视大赛，由撒贝宁担任主持人，康辉、董卿担任点评嘉宾，敬一丹、鲁健、朱迅、俞虹、李宏岩等17位担任专业评审.从2019年10月26日起，每周六20:00在中央电视台综合频道播出，某传媒大学为了解大学生对主持人大赛的关注情况，分别在大一和大二两个年级各随机抽取了100名大学生进行调查.下图是根据调查结果绘制的学生场均关注比赛的时间频率分布直方图和频数分布表，并将场均关注比赛的时间不低于80分钟的学生称为“赛迷”.大一学生场均关注比赛时间的频率分布直方图大二学生场均关注比赛时间的频数分布表(1)将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是“赛迷”的概率大，请说明理由； (2)已知抽到的100名大一学生中有男生50名，其中10名为“赛迷”.试完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“赛迷”与性别有关.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20．如图1，在等腰梯形12ABF F 中，两腰122AF BF ==，底边126,4,AB F F D C ==、是AB 的三等分点，E 是12F F 的中点.分别沿, CE DE 将四边形2BCEF 和2ADEF 折起，使12F F 、重合于点F ，得到如图2所示的几何体.在图2中，M N 、分别为CD EF 、的中点.(1)证明:MN ⊥平面ABCD (2)求几何体ABF DCE -的体积.21．已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左顶点为A ，右焦点为F ，斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且OB AB ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过点F 且与直线AB 平行的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若点P 满足3OP PM =，且NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，求||||NP PQ 的值. 22．设函数()1ln f x x t x x=--，其中()0,1,x t ∈为正实数. (1)若不等式()0f x <恒成立，求实数t 的取值范围；(2)当)1(0x ∈，时，证明211ln x x x e x x+--<.解析一、单选题1．设集合{}2|,{|31420}1A x x B x x x =-<<-=--≤，则AB =（ ）A ．[)21--，B ．(21)--，C ．(16]-， D ．(31)--，【答案】A【解析】先求出集合,A B ，再根据交集的运算即可求出A B ．【详解】因为{}31, 26|{|}A x x B x x =-<<-=-≤≤，所以 |}1{2A B x x ⋂=-≤<-. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查交集的运算以及一元二次不等式的的解法，属于基础题． 2．已知复数2z i z =-,为z 的共轭复数，则()1. z z +=（ ） A ．5i + B ．5i -C ．7i -D ．7i +【答案】D【解析】由共轭复数的定义求出z ，再根据复数代数形式的四则运算法则即可求出． 【详解】因为2z i =+，所以()()1327()z z i i i +⋅=-+=+． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则以及共轭复数的定义的应用，属于基础题． 3．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．35B ．45C ．35-D ．45-【答案】B【解析】由向量的模的坐标计算公式求出,a b ，利用数量积的坐标表示求出a b ⋅，再根据向量的夹角公式即可求出． 【详解】由()()2,1,2,4a b ==，得5,25a b ==.设向量a 与b 的夹角为θ，则84105cos θ===．故选：B ．【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A【解析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.5．已知tan α=，则cos 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．6B ．C ．46+D ．46- 【答案】D【解析】利用三角恒等变换与同角三角函数的平方关系将cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭化简为关于tan α的式子，代入tan α=.【详解】因为tan α=cos 2cos 2sin 2422πααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭()22cos sin cos 2αααα=-+)()222222cos sin cos cos sin 2cos sin αααααααα-=+++)()2221tan 1tan 21tan αααα-=+++24636=-+=. 故选：D 【点睛】本题考查三角恒等变换，同角三角函数的平方关系，注意“1”在化简中的妙用，属于基础题.6．若,x y 满足约束条件0210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的最大值为（ ）A ．5-B ．1-C ．5D ．6【答案】C【解析】作出可行域，根据平移法即可求出4z x y =+的最大值． 【详解】画出可行域，如图所示：由图可知，当直线4z x y =+经过点()1,1时，z 取最大值5. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法，属于基础题．7．已知双曲线()2222:10 ,0x y C a b a b-=>>的焦点到它的渐近线的距离为2，点2()P --是双曲线C 上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．3C ．2D ．3【答案】D【解析】根据题意可知，2b =，221841a b-=，222+c b a =，解出,a c ，即可求出． 【详解】因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到它的渐近线的距离为2，所以2b =，把点()2P --的坐标代入方程22214x y a -=，得218414a -=，29a =，22213c a b =+=，即3,a c ==c e a ==故选：D ． 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 8．将函数()36f x sin x π=+⎛⎫⎪⎝⎭的图像向右平移()0m m >个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9π B ．29π C ．18π D ．24π【答案】C【解析】根据平移法则可知， ()3()36g x sin x m π=-+，再根据()g x 为奇函数，即可得到3,6m k k Z ππ-+=∈，由此解出．【详解】由题意知()3()36g x sin x m π=-+，因为()g x 是奇函数，所以3,6m k k Z ππ-+=∈.解得,183k m k Z ππ=-∈，因为0m >，所以m 的最小值为18π.故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换以及函数()sin y A ωx φ=+的性质应用，属于基础题．9．已知:29p ln ln lna ⋅>，:q 函数()f x lnx a =-在4(0,]e 上有2个零点，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先分别求出,p q 对应的a 的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断． 【详解】对p，192232ln lna ln ln >⇔⨯13ln 042ln a a >⋅⇔<<； 对q ， 函数()f x lnx a =-在(40,e ⎤⎦上有2个零点，即函数()40y lnx x e =<≤与y a =的图象有两个交点，因为44lne =，画出它们的图象，可知04a <≤，所以,p q q p ⇒⇒，即p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的判断，对数运算性质和对数函数单调性的应用，根据函数零点个数求参数的取值范围，意在考查学生的转化能力，属于中档题． 10．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D【答案】B【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解. 【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为222r h π.因为221122r h r h ππ=，所以21221h r h r ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是 A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x -≤≤-，求得3x-的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =- ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤- 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤对于[]1,2x ∈恒成立 31a x x∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.12．已知函数()2x e f x t lnx x x x =-++⎛⎫⎪⎝⎭恰有一个极值点为1，则实数t 的取值范围是（ ）A ．1,33e ⎛⎤⎧⎫-∞⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,23e ⎛⎤⎧⎫-∞⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【答案】C【解析】根据题意可知，()()()21220x e x x t x f x x ⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭'==有且只有一个解1x =，因为1x =是它的唯一解，所以方程20xe t x -+=在()0,∞+上无解，利用导数判断函数()2xg x e x =+在()0,∞+上的单调性，即可求出． 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()22112'1x x e f x t x xx -⎛⎫=-+-=⎪⎝⎭()()()()2211222x x e x x t t x x e x x x ⎛⎫-+- ⎪⎡⎤+⎦⎝-⎣⎭+=-因为()f x 恰有一个极值点为1，所以()'0f x =有且只有一个解，即1x =是它的唯一解，也就是说另一个方程20xe t x -+=无解.令()()20x e x g x x +=>，则()()()21'02x x e g x x +=>+，所以函数()g x 在(0,)+∞上单增，从而()()102g x g >=，所以，当12t ≤时，20xe t x -+=无解，()2x ef x t lnx x x x =-++⎛⎫ ⎪⎝⎭恰有一个极值点，所以实数t 的取值范围是12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查极值点的存在条件应用，以及利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力，属于中档题．二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差3d =，且138,,a a a 成等比数列，则10S =_________．【答案】175【解析】根据等差数列{}n a 的通项公式表示出138,,a a a ，列式即可求出首项1a ，从而得到{}n a 的通项公式，再根据等差数列前n 项和公式即可求出． 【详解】因为138,,a a a 成等比数列，所以()()21112373a a a +⨯=+⨯，解得14a =，从而31n a n =+，所以1910910431752S ⨯=⨯+⨯=. 故答案为：175． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，以及等比中项的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．14．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从1~5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为______．【答案】110【解析】根据古典概型的概率计算公式即可求出． 【详解】从这5个数中随机抽取3个整数，所有基本事件个数为10，其中的勾股数为()3,4,5，共1个，故概率110P =. 故答案为：110． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题．15．如图，圆锥VO 的母线长为l ，轴截面VAB 的顶角150AVB ∠=︒，则过此圆锥的项点作该圆锥的任意截面VCD ，则VCD 面积的最大值是___；此时VCD ∠=______.【答案】212l 45 【解析】设顶角CVD α∠=，表示出截面VCD 的面积为211sin 2S l α=，可知当sin 1α=时，VCD 面积的最大值为2112S l =，因为VCD 为等腰直角三角形，即可求出VCD ∠=45． 【详解】设顶角CVD α∠=，则轴截面VAB 的面积221115024S l sin l =︒=，截面VCD 的面积为211sin 2S l α=．在三角形VAB 和三角形VCD 中，CD AB ≤，所以150a ≤．所以当90a =︒时2112S l =，.因此截面面积的最大值是212l ，此时，因为VC VD =，所以1180)92(045VCD ∠=︒-︒=︒．故答案为：212l ；45．【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用，以及圆锥的结构特征的应用，属于基础题． 16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是______. 【答案】4【解析】先求出直线PA ，PB 的方程，联立解得122P x x x +=，由点P 是两切线的公共点求得AB 的方程为12Px x y ⋅=+，表示出A ，B 两点到准线的距离之和并化简为()21244x x ++，从而求得最小值.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线PA ，PB 的方程分别为21124x x y x =-，22224x x y x =-，联立解得122P x x x +=，124P x x y ⋅=.又直线PA ，PB 的方程分别可表示为112x y x y =-，222x y x y =-，将P 点坐标代入两方程，得1122,2,2P P P P x x y y x x y y ⋅⎧=-⎪⎪⎨⋅⎪=-⎪⎩所以直线AB 的方程为12P x x y ⋅-=-，即12Px x y ⋅=+， 所以A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和为1212211222P P x x y y x x ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2121244424P x x x x x +=++=+…. 故答案为：4 【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系应用，属于较难题.三、解答题17．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin sin sin A B a b b C c C +-+=，点D 为边BC的中点，且AD =（1）求A ；（2）若2b c =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3A π=（2）【解析】(1)化简等式代入余弦定理即可求得A ； (2)由AD 为ABC ∆的中线得2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，同时平方可得2228c b bc =++，与2b c =联立解出b ，c 的值，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】解：（1）由()()sin sin sin sin A B a b b C c C +-+=， 可得222a b bc c -+=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==， 所以3A π=.（2）因为AD 为ABC ∆的中线，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r， 两边同时平方可得22242cos AD AB AC AB AC A =++⋅， 故2228c b bc =++.因为2b c =，所以2c=，4b =. 所以ABC ∆的面积1sin 2ABC S bc A ∆==. 【点睛】本题考查余弦定理，三角形中线的向量表示及三角形面积公式，属于中档题. 18．已知数列{}n a 满足11a =，且113n n n a a a +-=+. (1)证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式. (2)若21nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）见解析，12n na =-（2）()121n n S n =-+ 【解析】(1)根据等差数列的定义即可证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并通过数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式得到数列{}n a 的通项公式； (2)因为1221nn n n b n a -==⋅+，根据错位相减法即可求出数列{}n b 的前n 项和n S ． 【详解】(1)因为113n n n a a a +-=+ 两边都加上1，得()12113n n n a a a +++=+所以111211112121n n n a a a +⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭，即1111112n n a a +-=++， 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为公差，首项为11112a =+的等差数列． 所以112n n a =+，即12n n a =-．(2)因为1221nn n n b n a -==⋅+，所以数列{}n b 的前n 项和，121112232...2n n S n -=⨯+⨯+⨯++⋅①则1232122232...2nn S n =⨯+⨯+⨯++⋅，②由-①②，得()121111212122121n n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅=---，所以()121nn S n =-⋅+．【点睛】本题主要考查等差数列的证明，等差数列通项公式的求法，以及错位相减法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．19．《中央广播电视总台2019主持人大赛》是中央人民广播电视总台成立后推出的第一个电视大赛，由撒贝宁担任主持人，康辉、董卿担任点评嘉宾，敬一丹、鲁健、朱迅、俞虹、李宏岩等17位担任专业评审.从2019年10月26日起，每周六20:00在中央电视台综合频道播出，某传媒大学为了解大学生对主持人大赛的关注情况，分别在大一和大二两个年级各随机抽取了100名大学生进行调查.下图是根据调查结果绘制的学生场均关注比赛的时间频率分布直方图和频数分布表，并将场均关注比赛的时间不低于80分钟的学生称为“赛迷”.大一学生场均关注比赛时间的频率分布直方图大二学生场均关注比赛时间的频数分布表(1)将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是“赛迷”的概率大，请说明理由；(2)已知抽到的100名大一学生中有男生50名，其中10名为“赛迷”.试完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“赛迷”与性别有关.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）大一学生是“赛迷”的概率大.（2）表见解析，没有90%的把握认为“赛迷”与性别有关.【解析】(1)根据频率分布直方图可求出大一学生是“赛迷”的概率为0.25，由频数分布表可求出大二学生是“赛迷”的概率为0.22,所以大一学生是“赛迷”的概率大；(2)根据(1)中结论，可知“赛迷”有25人，非“赛迷”有75人，即可完成22⨯列联表，计算出2K 的观测值，与临界值2.706比较，即可判断是否有90%把握． 【详解】(1)由频率分布直方图可知，大一学生是“赛迷”的概率()10.00250.010200.25P =+⨯=，由频数分布表可知，大二学生是“赛迷”的概率21660.22100P +==， 因为12P P >，所以大一学生是“赛迷”的概率大. (2)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中， “赛迷”有()0.00250.010*******+⨯⨯=(人)， 非“赛迷”有1002575-=(人)，22⨯列联表如下:则21004015351041.333,752550503()K ⨯⨯⨯==≈⨯⨯⨯-因为1.333 2.706<，所以没有90%的把握认为“赛迷”与性别有关. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图以及频数分布表的应用，填写22⨯列联表，以及独立性检验的基本思想的应用，意在考查学生的数据处理和数学运算能力，属于基础题． 20．如图1，在等腰梯形12ABF F 中，两腰122AF BF ==，底边126,4,AB F F D C ==、是AB 的三等分点，E 是12F F 的中点.分别沿, CE DE 将四边形2BCEF 和2ADEF 折起，使12F F 、重合于点F ，得到如图2所示的几何体.在图2中，M N 、分别为CD EF 、的中点.(1)证明:MN ⊥平面ABCD (2)求几何体ABF DCE -的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)根据线面垂直的判定定理，可证BC ⊥平面CDN ，所以平面CDN ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的性质定理，证出MN CD ⊥，即可证出MN ⊥平面ABCD ； (2)由题可知，几何体 ABF DCE -为三棱柱，它的体积与以CDN △为底面，以EF 为高的三棱柱的体积相等，即可求出． 【详解】(1)证明:连接,CF DN ，由图1知，四边形BCEF 为菱形，且 60CEF ∠=︒，所以CEF △是正三角形，从而CN EF ⊥. 同理可证，DN EF ⊥ 所以EF ⊥平面CDN .又// EF BC ，所以BC ⊥平面CDN ， 因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面CDN ⊥平面ABCD .易知CN DN =，且M 为CD 的中点，所以MN CD ⊥， 所以MN ⊥平面ABCD .(2)由(1)可知，几何体 ABF DCE -为三棱柱，它的体积与以CDN △为底面，以EF 为高的三棱柱的体积相等.因为CN DN MN ====.所以122CDNS =⨯=所以2ABF CDECDNVSEF -=⋅==【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理和性质定理的应用，以及棱柱的体积求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和转化能力，属于中档题．21．已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左顶点为A ，右焦点为F ，斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且OB AB ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过点F 且与直线AB 平行的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若点P 满足3OP PM =，且NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，求||||NP PQ 的值. 【答案】（1）2213x y += （2）257【解析】(1)由题意知ABO ∆是以AO 为斜边的等腰直角三角形，从而求得B 点坐标，代入椭圆方程求出a ，即可得解；(2)设点()11,M x y ，()22,N x y ，()33,Q x y ，直线MN 的方程与椭圆方程联立求出12x x +=，1234x x =，1214y y =-，利用计算出点Q 的坐标, 因为点Q 在椭圆C 上，所以223313x y +=，整理得()()2222211221212222913111111163323m m x y x y x x y y m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1212103x x y y +=， 221113x y +=，222213x y +=，方程解得257m =，即||25||7NP PQ =. 【详解】解：（1）因为直线AB 的斜率为1，且OB AB ⊥， 所以ABO ∆是以AO 为斜边的等腰直角三角形， 从而有,22a a B ⎛⎫-⎪⎝⎭， 代人椭圆C 的方程，得21144a +=，解得23a =，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）由（1）得)F，所以直线MN的方程为y x =设点()11,M x y ，()22,N x y ，()33,Q x y ，将y x =-2213x y +=，得2430x -+=，所以122x x +=，1234x x =，所以(121214y y x x=-=-. 因为3OP PM =，所以34OP OM =，所以1133,44P x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设||||NP m PQ =，则NP mPQ =，121231313333,,4444x x y y m x x y y ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3123123(1)1,43(1)1.4m x x x m mm y y y m m +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩因为点Q 在椭圆C 上，所以223313x y +=，所以()()22121231*********m m x x y y m m m m ++⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得，()()2222211*********913111111163323m m x y x y x x y y m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由上得1212103x x y y +=，且可知221113x y +=，222213x y +=，所以()222911116m m m ++=，整理得2718250m m --=， 解得257m =或1m =-（舍去），即||25||7NP PQ =. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，向量共线的坐标表示，属于难题.22．设函数()1ln f x x t x x=--，其中()0,1,x t ∈为正实数. (1)若不等式()0f x <恒成立，求实数t 的取值范围；(2)当)1(0x ∈，时，证明211ln x x x e x x+--<. 【答案】（1）(]0,2（2）见解析 【解析】(1)讨论研究函数()1ln f x x t x x=--的单调性，求出函数()f x 在()0,1x ∈上的最大值．要不等式()0f x <恒成立，只需最大值小于零，即可求出．(2)将原不等式等价变形为21ln 1x x e x x x ->+，由(1)可知212ln x x x ->，试证21xe x <+在)1(0x ∈，时恒成立，即可由不等式性质证出211ln x x x e x x+--<． 【详解】（1）由题意得()22211'1t x tx f x x x x -+=+-=设()()2101h x x tx x =-+<<，则24,0t t =->，①当240t -≤时，即02t <≤时，()0f x '≥ ，所以函数()f x 在()0,1上单调递增，()()10f x f <=，满足题意；②当240t ->时，即2t >时，则()h x 的图象的对称轴12tx => 因为()()01,120h h t ==-<，所以()h x 在()0,1上存在唯一实根，设为1x ，则当()10,x x ∈时，()()0,'0h x f x >>，当()1,1x x ∈时，()()0,'0h x f x <<，所以()f x 在()10,x 上单调递增，在()1,1x 上单调递减， 此时()()1max 10x f f f =>=，不合题意． 综上可得，实数t 的取值范围是(]0,2．（2）321ln xx x x e x x +--<等价于()()211ln x x x e x x-+<因为()0,1x ∈，所以0lnx <，所以原不等式等价于21ln 1xx e x x x ->+， 由(1)知当2t =时，120x lnx x --<在()0,1x ∈上恒成立，整理得212ln x x x->令()()011xe m x x x =<<+，则()()2'01x xe m x x =>+，所以函数()m x 在区间()0,1上单调递增，所以()()21221ln x e m x x m x -<=<<，即21ln 1xx e x x x ->+在()0,1上恒成立. 所以，当()0,1x ∈时，恒有211ln x x x e x x+--<， 【点睛】本题主要考查利用导数解决函数不等式恒成立问题，涉及分类讨论思想，转化思想的应用，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于较难题．。
安徽省阜阳市2023-2024学年高三下学期第一次教学质量统测数学试题含答案
阜阳市2023-2024学年度高三教学质量统测试卷数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{1S x x =<-或}5x >，集合{}8T x a x a =<<+，且R S T = ，则实数a 的取值范围为（）A.()(),31,-∞--+∞ B.()3,1--C.(][),31,-∞--+∞ D.[]3,1--【答案】B 【解析】【分析】根据并集的定义列出不等式，进而可得出答案.【详解】因为{1S x x =<-或}5x >，{}8T x a x a =<<+，且R S T = ，所以185a a <-⎧⎨+>⎩，解得31a -<<-，即实数a 的取值范围为()3,1--.故选：B ．2.设复数z 满足()1i 1i z +=-，则1z +=（）A.1 B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数除法法则计算出i z=-，进而根据共轭复数和模长公式计算即可.【详解】()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2z ---+====-++-，故i z =，i 11z +=+=.故选：B3.设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示．则有A.1212,μμσσ<<B.1212,μμσσ<>C.1212,μμσσ><D.1212,μμσσ>>【答案】A 【解析】【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．4.已知数列{}n a 满足()22n a n n λλ=+∈R ，则“{}n a 为递增数列”是“0λ≥”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由{}n a 为递增数列得6λ>-，再由充分条件与必要条件的定义进行判断即可.【详解】由{}n a 为递增数列得，()()2212(1)12420,n n a a n n n n n n λλλ++⎡⎤-=+++-+=++>∈⎣⎦N ，则()42n λ>-+对于n +∈N 恒成立，得6λ>-．可得06λλ≥⇒>-，反之不行，故选：C ．5.降水量是指水平地面上单位面积的降水深度（单位：mm ）．气象学中，把24小时内的降水量叫作日降雨量，等级划分如下：降水量/mm0.19.9~1024.9~2549.9~5099.9~等级小雨中雨大雨曝雨某数学建模小组为了测量当地某日的降水量，制作了一个上口直径为20cm ，底面直径为8cm ，深度为20cm 的圆台形水桶（轴截面如图所示）．若在一次降水过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的12，则当日的降雨所属等级是（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由圆台的体积公式代入计算，即可得到结果.【详解】设上口半径为R ，下口半径为r ，桶深为h ，水面半径为1r ，则17cm 2R rr +==，降水量的体积()()222231111110ππππ310πcm 323h V r r rr r r rr =++⋅=++=，降水深度为2310π3.1cm 31mm π100πV R ===，属于大雨等级.故选：C ．6.已知圆22:46120C x y x y +--+=与直线:10l x y +-=，P ，Q 分别是圆C 和直线l 上的点且直线PQ 与圆C 恰有1个公共点，则PQ 的最小值是（）A.B. C.1- D.1【分析】PQ ==，CQ 的最小值为圆心()2,3C 到直线的距离，可求PQ 的最小值.【详解】圆22:46120C x y x y +--+=化为标准方程为()()22:231C x y -+-=，则圆C 的圆心为()2,3C ，半径1r =，则1CP =，直线PQ 与圆C相切，有PQ ==，因为点Q 在直线l上，所以CQ ≥=，则PQ ≥．即PQ.故选：A7.设28log 3,log 12,lg15a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.c b a<<【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由对数的运算化简，再由对数函数的单调性即可得到结果.【详解】22232331log 3log 21log 122log 2a ⎛⎫==⨯=+=+⎪⎝⎭，88832331log 12log 81log 122log 8b ⎛⎫==⨯=+=+⎪⎝⎭，101032331lg15log 101log 122log 10c ⎛⎫==⨯=+=+⎪⎝⎭，3332220log 2log 8log 10,a b c <<<∴>> .故选：D ．8.已知函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=+-，()14f =且当0x >时，()2f x >，若存在[]1,2x ∈，使得()()2421f ax x f x -+=，则a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.52,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的单调性，再结合赋值法求出3()12f -=-，并由单调性脱去法则，转化为二次方程在[1,2]上有解即得.【详解】任取12,x x ，且12x x <，则210x x ->，而当0x >时，()2f x >，于是21()2f x x ->，又()()()2f x y f x f y +=+-，因此21211211()[()]()()2()f x f x x x f x f x x f x =+-=+-->，则函数()f x 是增函数，而222(4)(2)[(4)2]2(2)21f ax x f x f ax x x f ax x -+=-++=-+=，于是2(2)1f ax x -=-，令0x y ==，得(0)2f =，令1,1x y ==-，得(1)0f -=，令1,1x y =-=-，得(2)2f -=-，令2,1x y =-=-，得(3)4f -=-，令3x y 2==-，得3(12f -=-，即有23(2)()2f ax x f -=-，因此2322ax x -=-，原问题即2432x a x -=在[]1,2有解，令11[,1]2t x =∈，则22242343()33a t t t =-+=--+在1[,1]2t ∈时有解，从而42[1,]3a ∈，12[,]23a ∈，所以a 的取值范围是12[,]23.故选：D【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于一组样本数据的平均数、中位数、众数，频率分布直方图和方差，下列说法正确的是（）A.改变其中一个数据，平均数和众数都会发生改变B.频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等C.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数D.样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小【答案】BCD 【解析】【分析】根据平均数、中位数、频率分布直方图和方差的性质，逐一分析选项，即可求解.【详解】对于A 中，例如：数据1，3，3，将数据改成2，3，3，数据的众数未改变，仍为3，所以A 错误；对于B 中，根据频率分布直方图中中位数的求法，频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，所以B 正确；对于C 中，根据频率分布直方图可得，单峰不对称且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数，所以C 正确；对于D ．样本数据方差越小，数据越稳定，离散程度越小，所以D 正确故选：BCD ．10.已知O 为坐标原点，椭圆22:162x y C +=的左、右焦点分别为12,.,F F A B 两点都在C 上，A ，,O B 三点共线，P （不与,A B 重合）为上顶点，则（）A.AB 的最小值为4B.11AF BF +为定值C.存在点A ，使得12AF AF ⊥D.13PA PB k k ⋅=-【答案】BCD 【解析】【分析】求出AB >可判断A ；由椭圆的对称性可判断B ；因为2>c ，所以以12F F 为直径的圆与椭圆有交点可判断C ；求出13PA PB k k ⋅=-可判断D .【详解】对于A ，由椭圆的方程可知2a b c ===，所以焦点()()122,0,2,0F F -，设()11,A x y ，则()11,B x y --，(P ，因为()11,A x y 在椭圆上，所以2211216x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2AB AO ====≥即AB >，A 错误；对于B ，由椭圆的对称性可知，1112AF BF AF AF +=+=B 正确；对于C ，因为c b >，所以以12F F 为直径的圆与椭圆有交点，则存在点A ，使得12AF AF ⊥，故C 正确；对于D ，设()11,A x y ，则()11,B x y --(,P 2c =，则2121112211112126213PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭⋅=⋅===--，故D正确．故选:BCD ．11.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数()()*πsin ,,3f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+∈< ⎪⎝⎭N 的图像，而破碎的涌潮的图像近似()f x '（()f x '是函数()f x 的导函数）的图像．已知当2πx =时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）A.2ω=B.π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.π4f x ⎛⎫'-⎪⎝⎭是偶函数 D.()f x '在区间π,03⎛⎫-⎪⎝⎭上单调【答案】BC 【解析】【分析】由()f x ，求得()f x '，由题意得()(2ππ)2f f '=，由*N ω∈，π3ϕ<，解出,ϕω，由破碎的涌潮的波谷为-4，解得A ，得到()f x 和()f x '解析式，逐个判断选项.【详解】()()sin f x A x =+ωϕ，则()()cos f x A x ωωϕ'=+，由题意得()(2ππ)2f f '=，即sin cos A A ϕωϕ=，故tan ϕω=，因为*N ω∈，π3ϕ<，所以tan ϕω=<，所以π,14ϕω==，则选项A 错误；因为破碎的涌潮的波谷为4-，所以()f x '的最小值为4-，即4A ω-=-，得4A =，所以()π4sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则πππππππ14sin 4sin cos cos sin 433434342222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项B 正确；因为()π4sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π4cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，所以π4cos 4f x x ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭为偶函数，则选项C正确；()π4cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，由π03x -<<，得πππ1244x -<+<，因为函数4cos y x =在π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x '在区间π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则选项D 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置．12.如图，在四边形ABCD 中，,E F 分别为,AD BC 的中点，22CD AB ==，则()AB CD FE +⋅=______．【答案】32##1.5【解析】【分析】连接AF 、DF ，根据平面向量线性运算法则得到()12FE BA CD =+，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】连接AF 、DF ，所以FA FB BA =+ ，FD FC CD =+，又E 、F 分别为AD 、BC 的中点，所以()()()111222FE FA FD FB BA FC CD BA CD =+=+++=+，所以()()()12AB CD FE AB CD BA CD +⋅=+⋅+()()12AB CD CD AB =+⋅-()221413222CD AB -=-== ．故答案为：3213.抛物线21:2C y px =绕其顶点逆时针旋转02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭之后，得到抛物线2C ，其准线方程为340x y ++=，则抛物线1C 的焦点坐标为______．【答案】()2,0【解析】【分析】利用旋转后抛物线的顶点到准线的距离等于顶点到其焦点的距离，求出4p =，进而得到结果.【详解】由于抛物线21:2C y px =绕其顶点逆时针旋转02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭之后，抛物线2C ()24231=+且可知0p >，则4222p ==，则4p =，所以抛物线1C 的焦点坐标为()2,0．故答案为：()2,0.14.已知()sin sin ,cos cos 0a b ab αβαβ+=+=≠，则()cos αβ-=______，()sin αβ+=______.【答案】①.2222a b +-②.222ab a b +【解析】【分析】第一空，将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系与余弦函数的和差公式即可求解；第二空，利用三角函数的和差公式得到tan2αβ+，再利用倍角公式化简转化即可得解.【详解】由sin sin a αβ+=可得()22sin sin a αβ+=，即222sin sin 2sin sin a αβαβ++=，由cos cos b αβ+=可得()22cos cos b αβ+=，即222cos cos 2cos cos b αβαβ++=，两式相加可得()2222sin sin cos cos a b αβαβ++=+，即()2222cos a b αβ+-=+，解得()222cos 2a b αβ+--=；因为sin sin sin sin 2222αβαβαβαβαβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos 22a αβαβ+-==，cos cos cos cos 2222αβαβαβαβαβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2coscos 22b αβαβ+-==，所以2sin cos22tan22cos cos 22a b αβαβαβαβαβ+-+==+-，所以()22222222sincos 2tan 2222sin sin cos tan 11222a ab b a b a b αβαβαβαβαβαβαβ+++⨯+====++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭．故答案为：2222a b +-；222ab a b +.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握三角函数半角公式的转化，从而得解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c，且sin cos sin cos cos a A B b A A C +=．（1）求角C 的大小；（2）若3a =，且1AB AC ⋅=，求ABC 的面积．【答案】15.π316.2【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理边化角，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】因为sin cos sin cos cos a A B b A A C +=，所以根据正弦定理得sin sin cos sin sin cos cos A A B A B A A C +=，因为sin 0A ≠，所以sin cos sin cos A B B A C +=，即()sin A B C +=，即sin C C =．因为cos 0C ≠，所以tan C =．因为0πC <<，所以π3C =．【小问2详解】cos 1AB AC bc A ⋅== ．因为2222cos a b c bc A =+-，所以2292cos 11b c bc A +=+=①．因为2222cos c a b ab C =+-，所以2222π2cos 23cos 3393b c ab C a b b -=-=⨯⨯⨯-=-②．联立①②可得22320b b --=，解得2b =（负根舍去），故ABC 的面积为11sin 322222ab C =⨯⨯⨯=．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是正方形，PAB 是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是棱PC ，AB 的中点.（1）证明://BE 平面PDF .（2）求平面PBC 与平面PDF 夹角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理结合条件可得PF ⊥平面ABCD ，然后利用坐标法，可得平面PDF 的法向量，进而即得；（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.【小问1详解】因为PAB 是等边三角形，F 是AB 的中点，所以PF AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PF ⊂平面PAB ，所以PF ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，如图，以F 为原点建立空间直角坐标系，不妨令2AB =，则()()()()(0,0,0,0,1,0,2,1,0,2,1,0,F B C D P --，所以11,,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，11,,22BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()(2,1,0,FD FP == ，设平面PDF 的法向量为(),,m x y z =，则200m FD x y m FP ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，可得()1,2,0m =- ，所以111202BE m ⋅=⨯-⨯= ，即BE m ⊥ ，又BE ⊄平面PDF ，所以//BE 平面PDF ；【小问2详解】因为()()(0,1,0,2,1,0,B C P --，所以()(2,0,0,BC BP == ，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z '''= ，则200n BC x n BP y ⎧⋅==⎪⎨⋅='''+=⎪⎩ ，令1z '=，可得()0,n = ，又平面PDF 的一个法向量为()1,2,0m =- ，所以cos ,5m n m n m n ⋅===⋅ ，所以平面PBC 与平面PDF夹角的余弦值为5.17.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为()()1,0,1,0A B -，动直线l 过点()2,0M ，当直线l 与双曲线C 有且仅有一个公共点时，点B 到直线l的距离为2．（1）求双曲线C 的标准方程．（2）当直线l 与双曲线C 交于异于,A B 的两点,P Q 时，记直线AP 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ．是否存在实数λ，使得21k k λ=成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）221x y -=（2）存在，3λ=-【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式即可求解，（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而可得()121234my y y y =-+，根据两点斜率公式表达斜率，进而代入化简即可求解.【小问1详解】2221,1y a x b =∴-= ，故当直线l 过()2,0且与双曲线C 有且仅有一个公共点时，l 与C 的渐近线平行．设直线():2l y b x =±-，则点()1,0B 到直线l,12b =∴=，所以双曲线C 的标准方程为221x y -=．【小问2详解】由题可知，直线l 的斜率不为0，设直线()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，由221,2,x y x my ⎧-=⎨=+⎩得()()222143010m y my m -++=-≠．2Δ4120m =+>成立，则12122243,11m y y y y m m -+==--，()121234my y y y ∴=-+．121212,11y y k k x x ==+- ，()()()()221212212211121212111313111y y x y my k x my y y y k y x y my my y y x λ++-+∴=====-+++()()122121211233934443313444y y y y y y y y y y -++-+===--++-．故存在实数3λ=-，使得21k k λ=成立．【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线相交的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．18.已知函数()3ln f x x ax =-．（1）讨论()f x 的单调性．（2）已知12,x x 是函数()f x 的两个零点()12x x <．（ⅰ）求实数a 的取值范围．（ⅱ）()10,,2f x λ⎛⎫∈ ⎪'⎝⎭是()f x 的导函数．证明：()1210f x x λλ'+-<⎡⎤⎣⎦．【答案】（1）答案见解析（2）（ⅰ）30,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，对a 进行分类讨论()f x 的单调性；（2）利用方程组113ln x ax =，223ln x ax =得到21213lnx x a x x =-，问题转化为()()21212133ln 01x x x x x x λλ--<+-恒成立，换元后构造函数求出函数单调性及最值，从而得到证明.【小问1详解】()()30ax f x x x-'=>．①当0a ≤时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增．②当0a >时，令()0f x '>得30x a <<，即()f x 在30,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；同理，令()0f x '<得3x a >，即()f x 在3,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减．【小问2详解】（ⅰ）由（1）可知当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，不可能有两个零点．当0a >时，()f x 在30,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，若使()f x 有两个零点，则30f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即33ln 30a ->，解得30e a <<，且()10f a =-<，当x →+∞时，()f x ∞→-，则有12331,,,x x a a ∞⎛⎫⎛⎫∈∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a 的取值范围为30,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（ⅱ）12,x x 是函数()f x 的两个零点，则有113ln x ax =①，223ln x ax =②，①-②得()()21213ln ln x x a x x -=-，即21213lnx x a x x =-，()()()()21121212213ln33111x x f x x a x x x x x x λλλλλλ+-=-=-+-'+--，因为()f x 有两个零点，所以()f x 不单调，因为12x x <，得2130x x a<<<，所以()21120,10x x x x λλ->+->．若要证明()()1210f x x λλ-'+<成立，只需证()()21212133ln 01x x x x x x λλ--<+-，即证()2122111ln 01x x x x x x λλ--<+-，令21x t x =，则1t >，则不等式只需证()1ln 01t t tλλ--<+-，即证()11ln 0t t t λλ⎡⎤--+-<⎣⎦，令()()11ln ,1h t t t t t λλ⎡⎤=--+->⎣⎦，()()11ln 1h t t t λλ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭'，令'1()()(1)ln (1l t h t λt λt ==-+-，()()21t l t t λλ-'+=令()()1t t ϕλλ=-+，因为10,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()t ϕ在()1,∞+上单调递减，得()()1210t ϕϕλ<=-<，得()0l t '<，即()h t '在()1,∞+上单调递减，得()()10h t h ''<=，得()0h t '<，即()h t 在()1,∞+上单调递减，所以有()()10h t h <=，故有()11ln 0t t t λλ⎡⎤--+-<⎣⎦，不等式得证．【点睛】关键点点睛：对于双变量问题，要转化为单变量问题，通常情况下利用对数的运算性质进行转化，转化后利用构造新函数及最值进行求解证明.19.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）41257p =.【解析】【分析】（1）首先确定X 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i ）求解出,,a b c 的取值，可得()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii ）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合8p 和0p 的值可求得1p ；再次利用累加法可求出4p .【详解】（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==-则X 的分布列如下：X1-01P ()1αβ-()()11αβαβ+--()1αβ-（2）0.5α= ，0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=，0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=，0.50.20.1c =⨯=（i ）()111,2,,7ii i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅ 即()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅整理可得：()11541,2,,7ii i p p p i -+=+=⋅⋅⋅()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅{}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =⋅⋅⋅是以10p p -为首项，4为公比的等比数列（ii ）由（i ）知：()110144i i i i p p p p p +-=-⋅=⋅78714p p p ∴-=⋅，67614p p p -=⋅，……，01014p p p -=⋅作和可得：()880178011114414441143p p p p p ---=⋅++⋅⋅⋅+===-18341p ∴=-()4401234401184144131144441434141257p p p p p --∴=-=⋅+++==⨯==--+4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.。
2020年安徽省阜阳市太和蔡庙中学高三数学文摸底试卷含解析
2020年安徽省阜阳市太和蔡庙中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合A={（x,y）|x,y为实数，且x2+y2=1},B={（x,y）|x,y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1参考答案：C略2. 已知，则下列关系中正确的是A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>bD．c>a>b参考答案：A3. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（）A.2B.3C.D.参考答案：A略4. 对于任意两个正整数,定义某种运算“※”如下:当都为正偶数或正奇数时,※=;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※=．则在此定义下,集合※中的元素个数是A．10 B．15个 C．16个 D．18个参考答案：B5. 等差数列的前项和为，且=，=，则公差等于A． B． C． D ．参考答案：CA6. 若实数，满足不等式组，则的最大值为（）A. 9B.C. 1D.参考答案：A略7. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值．【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时： =R2，∴R=，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：==．故选：A．8. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A． B．C．D．参考答案：C9. 函数为奇函数，且在上为减函数的值可以是A． B． C． D．参考答案：D略10. 下列4个命题:（1）若，则；（2）“”是“对任意的实数，成立”的充要条件；（3）命题“，”的否定是：“，”；（4）函数的值域为.其中正确的命题个数是（）A、1B、2C、3 D、0参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，是圆外的一点，为切线，为切点，割线经过圆心，，则．参考答案：12. 求函数在上的值域是_________参考答案：略13. 已知满足，且则▲ .参考答案：14.参考答案：略15. 已知抛物线y2=﹣8x的准线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为．参考答案：2考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线y2=﹣8x的准线为 x=2，故有c2=m+3=4，求得c值，即得双曲线的离心率的值．解答：解：抛物线的焦点坐标为（﹣2，0）），准线方程为x=2．则c=2．所以c2=m+3=4，解得m=1，所以双曲线的离心率为e==2，故答案为：2．点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到c2=m+3=4，求出c值，是解题的关键．16.已知向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是．参考答案：答案：17. 若方程参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
【附加15套高考模拟试卷】安徽省名校联盟2020年高考最后一卷：数学(文)试卷含答案
安徽省名校联盟2020年高考最后一卷：数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《九章算术》卷第六《均输》中，有问题“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间．．二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变小．在这个问题中的中间．．两节容量和是（）A．61 1 66升B．2升C．3222升D．3升2．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．201520172⨯B．201420172⨯C．201520162⨯D．201420162⨯3．下列命题中，真命题的是（）A．0,0xx R e∃∈≤B．2,2xx R x∀∈>C．0a b+=的充要条件是1ab=-D．若,x y R∈，且2x y+>，则,x y中至少有一个大于14．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin5BAC∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图的数学风车，若在该数学风车内随机取一点，则该点恰好取自“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的概率为（）A．2543B．1843C．2549D．24495．设x，y满足约束条件239030x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值是（）A．92-B．3C．6D．86．若函数()(0x xf x a a a-=->且1)a≠在R上为减函数，则函数log(||1)ay x=-的图象可以是( ) A．B．C．D．7．将函数()()sin08,2f x xπωϕωϕ⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭的图象向左平移1148π个单位后得到函数()g x的图象，且函数()f x满足31121616f fππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列命题中正确的是（）A．函数()g x图象的两条相邻对称轴之间距离为2πB．函数()g x图象关于点5,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称C．函数()g x图象关于直线712xπ=对称D．函数()g x在区间50,24π⎛⎫⎪⎝⎭内为单调递减函数8．如图，在平面直角坐标系xOy中，质点M N，间隔3分钟先后从点P，绕原点按逆时针方向作角速度为6π弧度/分钟的匀速圆周运动，则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间为（）A．37.5分钟 B．40.5分钟 C．49.5分钟 D．52.5分钟9．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足132a =，1233(*)n n a S n N ++=∈，若2n nS M S +≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数M 的最小值为（ ）A ．22B ．176C ．4112 D ．410．已知平面向量，满足，，且，则向量，的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33212．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为na ，则132931242830a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值为（ ）A ．165 B ．1615 C ．1629 D ．1631二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届安徽省阜阳市高三教学质量统测数学(文)试题(解析版)
2020届安徽省阜阳市高三教学质量统测数学（文科）试题一、单选题1．设集合{}2|,{|31420}1A x x B x x x =-<<-=--≤，则AB =（ ）A ．[)21--，B ．(21)--，C ．(16]-， D ．(31)--，【答案】A【解析】先求出集合,A B ，再根据交集的运算即可求出A B ．【详解】因为{}31, 26|{|}A x x B x x =-<<-=-≤≤，所以 |}1{2A B x x ⋂=-≤<-. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查交集的运算以及一元二次不等式的的解法，属于基础题． 2．已知复数2z i z =-,为z 的共轭复数，则()1. z z +=（ ） A ．5i + B ．5i -C ．7i -D ．7i +【答案】D【解析】由共轭复数的定义求出z ，再根据复数代数形式的四则运算法则即可求出． 【详解】因为2z i =+，所以()()1327()z z i i i +⋅=-+=+． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则以及共轭复数的定义的应用，属于基础题． 3．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．35B ．45C ．35-D ．45-【答案】B【解析】由向量的模的坐标计算公式求出,a b ，利用数量积的坐标表示求出a b ⋅，再根据向量的夹角公式即可求出． 【详解】由()()2,1,2,4a b ==，得5,25a b ==.设向量a 与b 的夹角为θ，则84105cos θ===． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A【解析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.5．已知tan α=cos 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．6B ．CD 【答案】D【解析】利用三角恒等变换与同角三角函数的平方关系将cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭化简为关于tan α的式子，代入tan α=.【详解】因为tan α=cos 2cos 22422πααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭)22cos sin cos 2αααα=-)()222222cos sin cos cos sin 2cos sin αααααααα-=+++)()2221tan 1tan 21tan αααα-=+++24636=-+=. 故选：D 【点睛】本题考查三角恒等变换，同角三角函数的平方关系，注意“1”在化简中的妙用，属于基础题.6．若,x y 满足约束条件0210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的最大值为（ ）A ．5-B ．1-C ．5D ．6【答案】C【解析】作出可行域，根据平移法即可求出4z x y =+的最大值． 【详解】画出可行域，如图所示：由图可知，当直线4z x y =+经过点()1,1时，z 取最大值5. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法，属于基础题．7．已知双曲线()2222:10 ,0x y C a b a b -=>>的焦点到它的渐近线的距离为2，点2()P --是双曲线C 上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2D ．3【答案】D【解析】根据题意可知，2b =，221841a b-=，222+c b a =，解出,a c ，即可求出． 【详解】因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到它的渐近线的距离为2，所以2b =，把点()2P --的坐标代入方程22214x y a -=，得218414a -=，29a =，22213c a b =+=，即3,a c ==c e a ==故选：D ． 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．8．将函数()36f x sin x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0m m >个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ）A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π【答案】C【解析】根据平移法则可知， ()3()36g x sin x m π=-+，再根据()g x 为奇函数，即可得到3,6m k k Z ππ-+=∈，由此解出．【详解】由题意知()3()36g x sin x m π=-+，因为()g x 是奇函数，所以3,6m k k Z ππ-+=∈.解得,183k m k Z ππ=-∈，因为0m >，所以m 的最小值为18π.故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换以及函数()sin y A ωx φ=+的性质应用，属于基础题．9．已知:29p ln ln lna ⋅>，:q 函数()f x lnx a =-在4(0,]e 上有2个零点，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先分别求出,p q 对应的a 的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断． 【详解】对p，192232ln lna ln ln >⇔⨯13ln 042ln a a >⋅⇔<<； 对q ， 函数()f x lnx a =-在(40,e ⎤⎦上有2个零点，即函数()40y lnx x e =<≤与y a =的图象有两个交点，因为44lne =，画出它们的图象，可知04a <≤，所以,p q q p ⇒⇒，即p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的判断，对数运算性质和对数函数单调性的应用，根据函数零点个数求参数的取值范围，意在考查学生的转化能力，属于中档题． 10．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D【答案】B【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解. 【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为222r h π.因为221122r h r h ππ=，所以21221h r h r ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是 A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x -≤≤-，求得3x-的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =- ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤- 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤对于[]1,2x ∈恒成立 31a x x∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.12．已知函数()2x e f x t lnx x x x =-++⎛⎫⎪⎝⎭恰有一个极值点为1，则实数t 的取值范围是（ ）A ．1,33e ⎛⎤⎧⎫-∞⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．1,23e ⎛⎤⎧⎫-∞⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭ 【答案】C【解析】根据题意可知，()()()21220x e x x t x f x x ⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭'==有且只有一个解1x =，因为1x =是它的唯一解，所以方程20xe t x -+=在()0,∞+上无解，利用导数判断函数()2xg x e x =+在()0,∞+上的单调性，即可求出． 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()22112'1x x e f x t x xx -⎛⎫=-+-=⎪⎝⎭()()()()2211222x x e x x t t x x e x x x ⎛⎫-+- ⎪⎡⎤+⎦⎝-⎣⎭+=-因为()f x 恰有一个极值点为1，所以()'0f x =有且只有一个解，即1x =是它的唯一解，也就是说另一个方程20xe t x -+=无解.令()()20x e x g x x +=>，则()()()21'02x x e g x x +=>+，所以函数()g x 在(0,)+∞上单增，从而()()102g x g >=，所以，当12t ≤时，20xe t x -+=无解，()2x ef x t lnx x x x =-++⎛⎫ ⎪⎝⎭恰有一个极值点，所以实数t 的取值范围是12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查极值点的存在条件应用，以及利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力，属于中档题．二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差3d =，且138,,a a a 成等比数列，则10S =_________．【答案】175【解析】根据等差数列{}n a 的通项公式表示出138,,a a a ，列式即可求出首项1a ，从而得到{}n a 的通项公式，再根据等差数列前n 项和公式即可求出． 【详解】因为138,,a a a 成等比数列，所以()()21112373a a a +⨯=+⨯，解得14a =，从而31n a n =+，所以1910910431752S ⨯=⨯+⨯=. 故答案为：175． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，以及等比中项的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．14．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从1~5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为______．【答案】110【解析】根据古典概型的概率计算公式即可求出． 【详解】从这5个数中随机抽取3个整数，所有基本事件个数为10，其中的勾股数为()3,4,5，共1个，故概率110P =. 故答案为：110． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题．15．如图，圆锥VO 的母线长为l ，轴截面VAB 的顶角150AVB ∠=︒，则过此圆锥的项点作该圆锥的任意截面VCD ，则VCD 面积的最大值是___；此时VCD ∠=______.【答案】212l 45 【解析】设顶角CVD α∠=，表示出截面VCD 的面积为211sin 2S l α=，可知当sin 1α=时，VCD 面积的最大值为2112S l =，因为VCD 为等腰直角三角形，即可求出VCD ∠=45． 【详解】设顶角CVD α∠=，则轴截面VAB 的面积221115024S l sin l =︒=，截面VCD 的面积为211sin 2S l α=．在三角形VAB 和三角形VCD 中，CD AB ≤，所以150a ≤．所以当90a =︒时2112S l =，.因此截面面积的最大值是212l ，此时，因为VC VD =，所以1180)92(045VCD ∠=︒-︒=︒．故答案为：212l ；45．【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用，以及圆锥的结构特征的应用，属于基础题． 16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是______. 【答案】4【解析】先求出直线PA ，PB 的方程，联立解得122P x x x +=，由点P 是两切线的公共点求得AB 的方程为12Px x y ⋅=+，表示出A ，B 两点到准线的距离之和并化简为()21244x x ++，从而求得最小值.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线PA ，PB 的方程分别为21124x x y x =-，22224x x y x =-，联立解得122P x x x +=，124P x x y ⋅=.又直线PA ，PB 的方程分别可表示为112x y x y =-，222x y x y =-，将P 点坐标代入两方程，得1122,2,2P P P P x x y y x x y y ⋅⎧=-⎪⎪⎨⋅⎪=-⎪⎩所以直线AB 的方程为12P x x y ⋅-=-，即12Px x y ⋅=+， 所以A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和为1212211222P P x x y y x x ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2121244424P x x x x x +=++=+…. 故答案为：4 【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系应用，属于较难题.三、解答题17．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin sin sin A B a b b C c C +-+=，点D 为边BC的中点，且AD =.（1）求A ；（2）若2b c =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3A π=（2）【解析】(1)化简等式代入余弦定理即可求得A ； (2)由AD 为ABC ∆的中线得2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，同时平方可得2228c b bc =++，与2b c =联立解出b ，c 的值，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】解：（1）由()()sin sin sin sin A B a b b C c C +-+=， 可得222a b bc c -+=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==， 所以3A π=.（2）因为AD 为ABC ∆的中线，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r， 两边同时平方可得22242cos AD AB AC AB AC A =++⋅， 故2228c b bc =++.因为2b c =，所以2c=，4b =. 所以ABC ∆的面积1sin 2ABC S bc A ∆==. 【点睛】本题考查余弦定理，三角形中线的向量表示及三角形面积公式，属于中档题. 18．已知数列{}n a 满足11a =，且113n n n a a a +-=+. (1)证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式. (2)若21nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）见解析，12n na =-（2）()121n n S n =-+ 【解析】(1)根据等差数列的定义即可证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并通过数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式得到数列{}n a 的通项公式； (2)因为1221nn n n b n a -==⋅+，根据错位相减法即可求出数列{}n b 的前n 项和n S ． 【详解】(1)因为113n n n a a a +-=+ 两边都加上1，得()12113n n n a a a +++=+所以111211112121n n n a a a +⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭，即1111112n n a a +-=++， 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为公差，首项为11112a =+的等差数列． 所以112n n a =+，即12n n a =-．(2)因为1221nn n n b n a -==⋅+，所以数列{}n b 的前n 项和，121112232...2n n S n -=⨯+⨯+⨯++⋅①则1232122232...2nn S n =⨯+⨯+⨯++⋅，②由-①②，得()121111212122121n n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅=---，所以()121nn S n =-⋅+．【点睛】本题主要考查等差数列的证明，等差数列通项公式的求法，以及错位相减法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．19．《中央广播电视总台2019主持人大赛》是中央人民广播电视总台成立后推出的第一个电视大赛，由撒贝宁担任主持人，康辉、董卿担任点评嘉宾，敬一丹、鲁健、朱迅、俞虹、李宏岩等17位担任专业评审.从2019年10月26日起，每周六20:00在中央电视台综合频道播出，某传媒大学为了解大学生对主持人大赛的关注情况，分别在大一和大二两个年级各随机抽取了100名大学生进行调查.下图是根据调查结果绘制的学生场均关注比赛的时间频率分布直方图和频数分布表，并将场均关注比赛的时间不低于80分钟的学生称为“赛迷”.大一学生场均关注比赛时间的频率分布直方图大二学生场均关注比赛时间的频数分布表(1)将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是“赛迷”的概率大，请说明理由；(2)已知抽到的100名大一学生中有男生50名，其中10名为“赛迷”.试完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“赛迷”与性别有关.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）大一学生是“赛迷”的概率大.（2）表见解析，没有90%的把握认为“赛迷”与性别有关.【解析】(1)根据频率分布直方图可求出大一学生是“赛迷”的概率为0.25，由频数分布表可求出大二学生是“赛迷”的概率为0.22,所以大一学生是“赛迷”的概率大；(2)根据(1)中结论，可知“赛迷”有25人，非“赛迷”有75人，即可完成22⨯列联表，计算出2K 的观测值，与临界值2.706比较，即可判断是否有90%把握． 【详解】(1)由频率分布直方图可知，大一学生是“赛迷”的概率()10.00250.010200.25P =+⨯=，由频数分布表可知，大二学生是“赛迷”的概率21660.22100P +==， 因为12P P >，所以大一学生是“赛迷”的概率大. (2)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中， “赛迷”有()0.00250.010*******+⨯⨯=(人)， 非“赛迷”有1002575-=(人)，22⨯列联表如下:则21004015351041.333,752550503()K ⨯⨯⨯==≈⨯⨯⨯-因为1.333 2.706<，所以没有90%的把握认为“赛迷”与性别有关. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图以及频数分布表的应用，填写22⨯列联表，以及独立性检验的基本思想的应用，意在考查学生的数据处理和数学运算能力，属于基础题． 20．如图1，在等腰梯形12ABF F 中，两腰122AF BF ==，底边126,4,AB F F D C ==、是AB 的三等分点，E 是12F F 的中点.分别沿, CE DE 将四边形2BCEF 和2ADEF 折起，使12F F 、重合于点F ，得到如图2所示的几何体.在图2中，M N 、分别为CD EF 、的中点.(1)证明:MN ⊥平面ABCD (2)求几何体ABF DCE -的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)根据线面垂直的判定定理，可证BC ⊥平面CDN ，所以平面CDN ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的性质定理，证出MN CD ⊥，即可证出MN ⊥平面ABCD ； (2)由题可知，几何体 ABF DCE -为三棱柱，它的体积与以CDN △为底面，以EF 为高的三棱柱的体积相等，即可求出． 【详解】(1)证明:连接,CF DN ，由图1知，四边形BCEF 为菱形，且 60CEF ∠=︒，所以CEF △是正三角形，从而CN EF ⊥. 同理可证，DN EF ⊥ 所以EF ⊥平面CDN .又// EF BC ，所以BC ⊥平面CDN ， 因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面CDN ⊥平面ABCD .易知CN DN =，且M 为CD 的中点，所以MN CD ⊥， 所以MN ⊥平面ABCD .(2)由(1)可知，几何体 ABF DCE -为三棱柱，它的体积与以CDN △为底面，以EF 为高的三棱柱的体积相等.因为CN DN MN ====.所以122CDNS =⨯=所以2ABF CDECDNVSEF -=⋅==【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理和性质定理的应用，以及棱柱的体积求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和转化能力，属于中档题．21．已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左顶点为A ，右焦点为F ，斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且OB AB ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过点F 且与直线AB 平行的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若点P 满足3OP PM =，且NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，求||||NP PQ 的值. 【答案】（1）2213x y += （2）257【解析】(1)由题意知ABO ∆是以AO 为斜边的等腰直角三角形，从而求得B 点坐标，代入椭圆方程求出a ，即可得解；(2)设点()11,M x y ，()22,N x y ，()33,Q x y ，直线MN 的方程与椭圆方程联立求出12x x +=，1234x x =，1214y y =-，利用计算出点Q 的坐标, 因为点Q 在椭圆C 上，所以223313x y +=，整理得()()2222211221212222913111111163323m m x y x y x x y y m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1212103x x y y +=， 221113x y +=，222213x y +=，方程解得257m =，即||25||7NP PQ =. 【详解】解：（1）因为直线AB 的斜率为1，且OB AB ⊥， 所以ABO ∆是以AO 为斜边的等腰直角三角形， 从而有,22a a B ⎛⎫-⎪⎝⎭， 代人椭圆C 的方程，得21144a +=，解得23a =，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）由（1）得)F，所以直线MN的方程为y x =设点()11,M x y ，()22,N x y ，()33,Q x y ，将y x =-2213x y +=，得2430x -+=，所以122x x +=，1234x x =，所以(121214y y x x=-=-. 因为3OP PM =，所以34OP OM =，所以1133,44P x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设||||NP m PQ =，则NP mPQ =，121231313333,,4444x x y y m x x y y ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3123123(1)1,43(1)1.4m x x x m mm y y y m m +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩因为点Q 在椭圆C 上，所以223313x y +=，所以()()22121231*********m m x x y y m m m m ++⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得，()()2222211*********913111111163323m m x y x y x x y y m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由上得1212103x x y y +=，且可知221113x y +=，222213x y +=，所以()222911116m m m ++=，整理得2718250m m --=， 解得257m =或1m =-（舍去），即||25||7NP PQ =. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，向量共线的坐标表示，属于难题.22．设函数()1ln f x x t x x=--，其中()0,1,x t ∈为正实数. (1)若不等式()0f x <恒成立，求实数t 的取值范围；(2)当)1(0x ∈，时，证明211ln x x x e x x+--<. 【答案】（1）(]0,2（2）见解析 【解析】(1)讨论研究函数()1ln f x x t x x=--的单调性，求出函数()f x 在()0,1x ∈上的最大值．要不等式()0f x <恒成立，只需最大值小于零，即可求出．(2)将原不等式等价变形为21ln 1x x e x x x ->+，由(1)可知212ln x x x ->，试证21xe x <+在)1(0x ∈，时恒成立，即可由不等式性质证出211ln x x x e x x+--<． 【详解】（1）由题意得()22211'1t x tx f x x x x -+=+-=设()()2101h x x tx x =-+<<，则24,0t t =->，①当240t -≤时，即02t <≤时，()0f x '≥ ，所以函数()f x 在()0,1上单调递增，()()10f x f <=，满足题意；②当240t ->时，即2t >时，则()h x 的图象的对称轴12tx => 因为()()01,120h h t ==-<，所以()h x 在()0,1上存在唯一实根，设为1x ，则当()10,x x ∈时，()()0,'0h x f x >>，当()1,1x x ∈时，()()0,'0h x f x <<，所以()f x 在()10,x 上单调递增，在()1,1x 上单调递减， 此时()()1max 10x f f f =>=，不合题意． 综上可得，实数t 的取值范围是(]0,2．（2）321ln xx x x e x x +--<等价于()()211ln x x x e x x-+<因为()0,1x ∈，所以0lnx <，所以原不等式等价于21ln 1xx e x x x ->+， 由(1)知当2t =时，120x lnx x --<在()0,1x ∈上恒成立，整理得212ln x x x->令()()011xe m x x x =<<+，则()()2'01x xe m x x =>+，所以函数()m x 在区间()0,1上单调递增，所以()()21221ln x e m x x m x -<=<<，即21ln 1xx e x x x ->+在()0,1上恒成立. 所以，当()0,1x ∈时，恒有211ln x x x e x x+--<， 【点睛】本题主要考查利用导数解决函数不等式恒成立问题，涉及分类讨论思想，转化思想的应用，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于较难题．。
2020年安徽省高考数学(文科)模拟试卷(3)
2020年安徽省高考数学（文科）模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5}2．（5分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则z的共轭复数是（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．（5分）如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P由点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P旋转过的弧AP̂为l，弦AP为d则函数d＝f（l）的图象是（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）log3x2的图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）为了推进课堂改革，提高课堂效率，银川一中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革．学校教务处为了了解我校高二年级同学平板使用情况，从高二年级923名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从923人中剔除23人，剩下的900人再按系统抽样方法抽取50人，则在这923人中，每个人被抽取的可能性（）A ．都相等，且为118B ．不全相等C ．都相等，且为50923D ．都不相等6．（5分）sin20°cos20°cos50°=（ ） A ．2B ．12C ．√2D ．√227．（5分）已知a ＝21.2，b ＝30.4，c =ln 83，则（ ） A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b8．（5分）如图是把二进制数11111（2）化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）A ．i ＞5B ．i ≤4C ．i ＞4D ．i ≤59．（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（ ） A ．19B ．16C ．118D ．51210．（5分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对应边分别为a ，b ，c ，已知a 2+b 2﹣c 2=√3ab ，且bc sin A ＝2sin C ，则△ABC 的面积为（ ） A ．1B ．12C ．√32D ．√3411．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴长为2，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点．若AF →=3FB →，则k ＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．212．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）(A ＞0，0＜ω＜4，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数为①f （x ）的最小正周期为2π②f （x ）在(π2，3π4)内单调递减③x =−3π4是f （x ）的一条对称轴 ④(2π3，0)是f （x ）的一个对称中心（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）曲线f （x ）＝2sin x 在x =π3处的切线与直线ax +y ﹣1＝0垂直，则a ＝ ． 14．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为 ．15．（5分）已知向量a →=（2，﹣1），b →=（1，3），且a →⊥（a →+m b →），则m ＝ ． 16．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝BC ＝2，∠BAC =π2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S 4＝a 4+a 5． （1）求a n ；（2）求数列{an 2n }的前n 项和T n ．18．（12分）某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗种植．工作小组根据市场前景重点考察了A ，B 两种景观树苗，为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了引种试验，分别引种树苗A ，B 各50株，试验发现有80%的树苗成活，未成活的树苗A ，B 株数之比为1：3．（1）完成2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为树苗A ，B 的成活率有差异？A B 合计 成活株数 未成活株数合计5050100K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2≥k0）0.050.0100.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828（2）已知树苗A经引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树A在市场上出售，但每株售价y（单位：百元）受其树干的直径x（单位：cm）影响，扶贫工作小组对一批已出售的景观树A的相关数据进行统计，得到结果如表：直径x1015202530单株售价y48101627根据上述数据，判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？并用相关系数r加以说明．（一般认为，|r|＞0.75为高度线性相关）参考公式及数据：相关系数r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1i −x)2√∑i=1i−y)2，∑5i=1（x i−x）2＝250，∑5i=1（y i−y）2＝32019．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，P A＝PC＝5，点M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面P AD；（2）若cos∠PCD=45，∠DAB＝60°，求三棱锥P﹣ADN的体积．20．（12分）已知函数f(x)=2lnx+12ax2+(2a+1)x，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明：f(x)≤−52a−4．21．（12分）如图，设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），M为直线y＝﹣2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A ，B ． （Ⅰ）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（Ⅱ）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA ，MB 分别交于点C ，D ，记λ=S △EABS △MCD，问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 五．解答题（共1小题）23．已知f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +a |（a ∈R ）． （1）若a ＝1，求不等式f （x ）＞2的解集； （2）若存在x 0∈R ，对任意m ∈（0，1）恒有1m+41−m＞f(x 0)，求实数a 的取值范围．2020年安徽省高考数学（文科）模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，∴A∩B＝{x∈N|1＜x＜5}＝{2，3，4}．故选：C．2．（5分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则z的共轭复数是（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i【解答】解：∵z=2+3ii=(2+3i)(−i)−i2=3−2i，∴z=3+2i．故选：B．3．（5分）如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P由点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P旋转过的弧AP̂为l，弦AP为d则函数d＝f（l）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：取AP的中点为D，设∠DOA＝θ，则d＝2sinθ，l＝2θR＝2θ，∴θ=l 2∴d＝2sin l2，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式．故选：C．4．（5分）函数f （x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2，其定义域为{x |x ≠0}， 且f （﹣x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2＝﹣（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2）＝﹣f （x ），即函数f （x ）为奇函数，排除A 、C ，又由x →0时，（3x ﹣3﹣x ）→0，则f （x ）→0，排除D ；故选：B ．5．（5分）为了推进课堂改革，提高课堂效率，银川一中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革．学校教务处为了了解我校高二年级同学平板使用情况，从高二年级923名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从923人中剔除23人，剩下的900人再按系统抽样方法抽取50人，则在这923人中，每个人被抽取的可能性（ ） A ．都相等，且为118B ．不全相等C ．都相等，且为50923D ．都不相等【解答】解：根据系统抽样的定义和方法，它和简单随机抽样的概率是一样的，都是50923，故选：C ． 6．（5分）sin20°cos20°cos50°=（ ） A ．2B ．12C ．√2D ．√22【解答】解：根据题意，原式=sin20°cos20°cos50°=12×2sin20°cos20°cos50°=12×sin40°cos50°=12；故选：B ．7．（5分）已知a ＝21.2，b ＝30.4，c =ln 83，则（ ） A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b【解答】解：由题意得：a ＝21.2∈（2，4），b ＝30.4∈(1，√3)，c =ln 83＜lne ＝1． ∴a ＞b ＞c ， 故选：B ．8．（5分）如图是把二进制数11111（2）化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）A ．i ＞5B ．i ≤4C ．i ＞4D ．i ≤5【解答】解：由题意输出的S ＝1+1×2+1×22+1×23+1×24， 按照程序运行：S ＝1，i ＝1，不应此时输出S ， S ＝1+1×2，i ＝2；不应此时输出S ， S ＝1+1×2+1×22，i ＝3；不应此时输出S ， S ＝1+1×2+1×22+1×23，i ＝4；不应此时输出S ，S ＝1+1×2+1×22+1×23+1×24，i ＝5，此时跳出循环输出结果， 故判断框内的条件应为i ＞4． 故选：C ．9．（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（ ） A ．19B ．16C ．118D ．512【解答】解：同时抛掷两个质地均匀的骰子， 基本事件总数n ＝6×6＝36，向上的点数之和小于5包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），共6个， ∴向上的点数之和小于5的概率为p =636=16．故选：B ．10．（5分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对应边分别为a ，b ，c ，已知a 2+b 2﹣c 2=√3ab ，且bc sin A ＝2sin C ，则△ABC 的面积为（ ） A ．1B ．12C ．√32D ．√34【解答】解：△ABC 中，A ，B ，C 所对应边分别为a ，b ，c ，已知a 2+b 2﹣c 2=√3ab ，所以cosC =a 2+b 2−c 22ab=√32， 由于0＜C ＜π，所以C =π6，所以S △ABC =12bcsinA =12×2sinC =12． 故选：B ．11．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴长为2，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点．若AF →=3FB →，则k ＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴长为2，可得b ＝1，ca =√32，解得a ＝2，c =√3，b ＝1，x 24+y 2=1 右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵AF →=3FB →， ∴y 1＝﹣3y 2，设直线AB 方程为y ＝k （x −√3）， 代入x 24+y 2=1，消去x ，可得（14k 2+1）y 2+√32ky −14=0，∴y 1+y 2=−√32k1+14k2=−2√3k 1+4k2，y 1y 2=−141+14k2=−k24k 2+1， ﹣2y 2=−2√3k 1+4k2，﹣3y 22=−k24k 2+1，解得：k =√2． 故选：B ．12．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）(A ＞0，0＜ω＜4，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数为①f （x ）的最小正周期为2π②f （x ）在(π2，3π4)内单调递减 ③x =−3π4是f （x ）的一条对称轴 ④(2π3，0)是f （x ）的一个对称中心（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【解答】解：由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象知，A ＝2， 又f （0）＝2sin φ=−√3，所以sin φ=−√32； 又−π2＜φ＜π2，所以φ=−π3； 又f （−π3）＝2sin[ω×（−π3）−π3]＝0， 所以sin （π3ω+π3）＝0，所以π3ω+π3=k π，k ∈Z ；又0＜ω＜4，所以ω＝2； 所以f （x ）＝2sin （2x −π3）；所以f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，①错误； 当x ∈（π2，3π4）时，2x −π3∈（2π3，7π6），f （x ）在(π2，3π4)内单调递减，②正确； f （−3π4）＝2sin[2×（−3π4）−π3]＝﹣2sin 11π6=1，所以x =−3π4不是f （x ）的一条对称轴，③错误； f （2π3）＝2sin （2×2π3−π3）＝2sin π＝0，所以(2π3，0)是f （x ）的一个对称中心，④错误．综上知，正确的命题序号是②④，共2个． 故选：B ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）曲线f （x ）＝2sin x 在x =π3处的切线与直线ax +y ﹣1＝0垂直，则a ＝ 1 ． 【解答】解：∵f ′（x ）＝2cos x ， ∴f ′(π3)=2cos π3=1， ∵切线与直线ax +y ﹣1＝0垂直， 所以﹣a ＝﹣1 ∴a ＝1． 故答案为：1．14．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为54．【解答】解：由题意可得a ＝4，双曲线的一条渐近线方程为bx ﹣ay ＝0，F （c ，0）， 可得|MF |=√b +a 2=b ，在直角三角形OMF 中，可得|OM |=√|OF|2−|MF|2=√c 2−b 2=a ， 则△OMF 的面积为12ab ＝2b ＝6，可得b ＝3，c =√a 2+b 2=5，则e =c a =54． 故答案为：54．15．（5分）已知向量a →=（2，﹣1），b →=（1，3），且a →⊥（a →+m b →），则m ＝ 5 ． 【解答】解：向量a →=（2，﹣1），b →=（1，3）， 且a →⊥（a →+m b →），∴a →•（a →+m b →）=a →2+m a →•b →=0， 即22+（﹣1）2+m （2﹣3）＝0， 解得m ═5． 故答案为：5．16．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝BC ＝2，∠BAC =π2，则三棱锥P﹣ABC 的外接球的表面积为 8π ． 【解答】解：将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为求O ，D ，D ′，为上下底面的外心，O 为DD ′的中点，AD 为底面外接圆的半径， 由正弦定理可得：2AD =2sin π2=2；由OD ＝1，AD ＝1；得R ＝AO =√2， 所以球O 的表面积为：4πR 2＝8π． 故答案为：8π．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S 4＝a 4+a 5． （1）求a n ；（2）求数列{an 2n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）设公差为d ，由S 4＝a 4+a 5，得4a 1+4×32d =a 1+3d +a 1+4d ，即4+6d ＝2+7d ，解得d ＝2，所以，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； （2）a n 2=2n−12，可得T n =12+322+523+⋯+2n−12n ，两边同乘以12，有12T n =12+32+52+⋯+2n−12， 两式相减，得T n −12T n =12+222+223+224+⋯+22n −2n−12n+1=12+2×14(1−12n−1)1−12−2n−12n+1=32−2n+32n+1．所以，T n =3−2n+32n ． 18．（12分）某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗种植．工作小组根据市场前景重点考察了A ，B 两种景观树苗，为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了引种试验，分别引种树苗A，B各50株，试验发现有80%的树苗成活，未成活的树苗A，B株数之比为1：3．（1）完成2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为树苗A，B的成活率有差异？A B合计成活株数未成活株数合计5050100K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2≥k0）0.050.0100.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828（2）已知树苗A经引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树A在市场上出售，但每株售价y（单位：百元）受其树干的直径x（单位：cm）影响，扶贫工作小组对一批已出售的景观树A的相关数据进行统计，得到结果如表：直径x1015202530单株售价y48101627根据上述数据，判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？并用相关系数r加以说明．（一般认为，|r|＞0.75为高度线性相关）参考公式及数据：相关系数r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1i −x)2√∑i=1i−y)2，∑5i=1（x i−x）2＝250，∑5i=1（y i−y）2＝320【解答】解：（1）由题意填写列联表如下；A B合计成活株数453580未成活株数51520合计5050100由表中数据，计算K2=100×(45×15−5×35)280×20×50×50=6.25＜6.635，所以没有99%的把握认为二者有差异；（2）由题意计算x=15×（10+15+20+25+30）＝20，y=15×（4+8+10+16+27）＝13；所以相关系数为r=250×320=202≈0.95＞0.75；所以可以用线性回归模型拟合．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，P A＝PC＝5，点M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面P AD；（2）若cos∠PCD=45，∠DAB＝60°，求三棱锥P﹣ADN的体积．【解答】（1）证明：取PD的中点H，连接NH，AH，∵N是PC的中点，∴NH∥DC，NH=12 DC，又AM∥DC，AM=12DC，∴NH∥AM且NH＝AM，∴四边形AMNH为平行四边形，则MN∥AH，又MN⊄平面P AD，AH⊂平面P AD，∴MN∥平面P AD；（2）解：∵PC＝5，DC＝4，cos∠PCD=4 5，∴PD2=25+16−2×5×4×45=9，则PC2＝PD2+DC2，∴PD⊥DC，同理PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD，又MN∥平面P AD，∴V P﹣ADN＝V N﹣P AD＝V M﹣P AD＝V P﹣ADM，又∵∠DAB＝60°，∴S△ADM=12×4×2×√32=2√3．∴V P−ADN=12×2√3×3=2√3．20．（12分）已知函数f(x)=2lnx+12ax2+(2a+1)x，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明：f(x)≤−52a−4．【解答】解法一：（1）因为f(x)=2lnx+12ax2+(2a+1)x，定义域为（0，+∞），所以f′（x）=2x+ax+(2a+1)=(x+2)(ax+1)x．当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，x∈(0，−1a)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈(−1a，+∞)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在(0，−1a)上单调递增，在(−1a，+∞)上单调递减．（2）由（1）可知，当a＜0时，f（x）在(0，−1a)上单调递增，在(−1a，+∞)上单调递减．所以f(x)max=f(−1a)=2ln(−1a)−12a−2．要证f(x)≤−52a−4，只要证2ln(−1a)−12a−2≤−52a−4，即证ln(−1a)+1a+1≤0．令t=−1a，即证lnt+t+1≤0在t＞0上成立．令g（t）＝lnt﹣t+1，即证g（t）≤0．因为g′(t)=1t−1，所以g（t）在（0，1）．上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．所以g（t）≤g（1）＝0，命题得证．解法二：（1）同解法．（2）由（1）可知，当a＜0时，f（x）在(0，−1a)单调递增，在(−1a，+∞)单调递减，所以f(x)max=f(−1a)=2ln(−1a)−12a−2．要证f(x)≤−52a−4，只要证2ln(−1a)−12a−2≤−52a−4，即证ln(−1a)+1a+1≤0．因为g′(a)=−1a−1a2=a+1a2，所以g（a）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减．所以g（a）≤g（﹣1）＝0，命题得证．21．（12分）如图，设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），M为直线y＝﹣2p上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A，B．（Ⅰ）求直线AB与y轴的交点坐标；（Ⅱ）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点C，D，记λ=S△EABS△MCD，问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由．【解答】解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），过A点的切线方程为y−x122p=x1p(x−x1)，过B点的切线方程为y−x222p=x2p(x−x2)，联立这两个方程可得x M=x2+x12，y M=x1x22p，又k AB=y2−y1x2−x1=x1+x22p，所以直线AB的方程为：y−x122p=x1+x22p（x﹣x1），化简得（x 1+x 2）x ﹣2py ﹣x 1x 2＝0，令x ＝0，y =−x 1x22p ，又y M =x 1x22p =−2p ，∴y ＝2p ∴直线AB 过点（0，2p ）； （Ⅱ）记x M =x 1+x 22，同理可得x C =x 1+x E 2，x D =x 2+x E2， |AC CM |=|x C−x 1x M−x C |=|x 1+x E 2−x 1||x 1+x 22−x 1+x E 2|=|x E−x 1x 2−x E |，|CEED |=|x E−x c x D−x E |=|x E−x 1+xE 2x 2+x E 2−x E|=|x E−x 1x 2−x E |，∴|AC CM |=|CE ED |，同理|MDDB |=|x E−X C x 2−x E| ∴|AC CM |=|EC DB |＝|DM DB|， ∴设|AC CM |=|EC ED |=|DMDB|=t ，记S △MCE ＝S ，则S △ACE ＝tS ， 同理，S △MDE =S t ，S △BDE =S t2，S △MABS △MCD =|MA||MB||MC||MD|=t+11⋅t+1t =(t+1)2t ， 于是S △MAB=(t+1)2t S △MCD =(t+1)2t (S +S t )=(t+1)3t 2S ， ∴S △EAB ＝S △MAB ﹣S △MCD ﹣S △ACE −S △BDE =2(t+1)t S ，S △MCD=t+1tS ， ∴λ=S△EAB S △MCD=2．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①． 直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m 3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0． 设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =|√3cosθ+sinθ−6|√2=|2sin(θ+π3)−6|2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =8√2=4√2． 五．解答题（共1小题）23．已知f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +a |（a ∈R ）． （1）若a ＝1，求不等式f （x ）＞2的解集； （2）若存在x 0∈R ，对任意m ∈（0，1）恒有1m+41−m＞f(x 0)，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）a ＝1，不等式f （x ）＞2即为|2x ﹣1|+|x +1|＞2， 可得{x ≥122x −1+x +1＞2或{−1＜x ＜121−2x +x +1＞2或{x ≤−11−2x −x −1＞2，解得x ＞23或﹣1＜x ＜0或x ≤﹣1， 则原不等式的解集为{x |x ＜0或x ＞23}；（2）f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +a |＝|x −12|+|x −12|+|x +a |≥0+|x −12−x ﹣a |＝|a +12|， 当x =12时，f （x ）取得最小值|a +12|， 存在x 0∈R ，对任意m ∈（0，1）恒有1m+41−m ＞f(x 0)，可得任意m ∈（0，1）恒有1m+41−m＞|a +12|，由（m +1﹣m ）（1m+41−m）＝5+1−m m +4m 1−m ≥5+2√1−m m ⋅4m 1−m =9，当且仅当m =13取得等号，则|a +12|＜9，解得−192＜a ＜172．。
太和中学高三数学文科期末模拟试卷一
太和中学高三数学文科期末模拟试卷一一．选择题1.已知集合{0,1,2,3,4,5}A =，{1,3,6,9}B =，{3,7,8}C =，则()A B C = （ ） A ．{3}B ．{3,7,8}C ．{1,3,7,8}D ．{1,3,6,7,8} 2．复数z 满足()()25z i i --=，则z =（ ）A ．22i --B ．22i -+C ．22i -D ．22i + 3．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ） A ．3k ≤ B ．4k ≤ C ．5k ≤ D ．5k <4.把函数sin y x =()x R ∈的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是（ ）A ．sin(2)6y x π=-，x R ∈B ．sin()212x y π=+，x R ∈C ．sin(2)3y x π=+，x R ∈D ．sin(2)6y x π=+，x R ∈ 5. 若等差数列{}n a 满足π41371=++a a a ，则7tan a 的值为 （）A.3-B.33-C.3±D.3 6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A ．172π B ．34π CD． 7．已知双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >），1F ，2F 分别为其左、右焦点，点P 为双曲线的右支上的一点，圆M 为三角形12FF P 的内切圆，PM 所在直线与x 轴的交点坐标为()1,0，与双曲线的一条渐近线平行且距离为2，则双曲线C 的离心率是（ ） A．2 C8.函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)e D ．(3,4)9.函数lg xy x=的图象大致是（ ）10.以下说法正确的有（ ） （1）1y x x=+（x R ∈）最小值为2； （2）222a b ab +≥对,a b R ∈恒成立； （3）0a b >>且0c d >>，则必有ac bd >；（4）命题“x R ∃∈，使得210x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++≥”；（5）实数x y >是11x y<成立的充要条件；（6）设,p q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∨⌝”也为假命题. A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个11.已知函数()f x 的定义域为[1,5]-，部分对应值如下表，()f x 的导函数'()y f x =的图象如图所示，下列关于函数()f x 的命题：（1）函数()y f x =是周期函数；（2）（2）函数()f x 在(0,2)上是减函数；（3）（3）如果当[1,]x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； （4）（4）当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点. 其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12.已知是锐角的外接圆的圆心,且,若,则=（） A.21 B.22 C.31 D.33二．填空题13. 已知),2,1(=b ()1,1=,则在b 方向上的投影为.14.已知函数3log ,0()1(),03x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，那么不等式()1f x ≥的解集___________.15. 已知,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是 .16．已知数列{}n a ，11a =，且110n n n n a a a a ----=（*2,n n N ≥∈），记2121n n n b a a -+=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足不等式817n T <成立的最大正整数n 为.O ABC ∆4A π∠=cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+= m一、选择题二、填空题13、14、 15、16、 三．解答题17.设锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且有2sin a b A =. （1）求B 的大小；（2）若5a c ==，求b .18.已知数列{}n a 中,()111,3nn n a a a n N a *+==∈+. （1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列,并求{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足()312nn nnn b a=-,数列{}nb 的前n 项和为n T ,若不等式()112nn n nT λ--<+对一切n N *∈恒成立,求λ的取值范围.19.已知函数22()cos )2sin cos f x x x x x =-+. （1）求()f x 的最小正周期； （2）设[,]33x ππ∈-，求()f x 的值域和单调递增区间.20．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（Ⅰ）由频率分布直方图估计50名学生数学成绩的中位数和平均数；[50,60)[60,70)[90,100]（Ⅱ）从测试成绩在内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为，求事件“”概率.21.已知函数()ln (1)f x x a x =--，其中0a >. （1）若函数()f x 在(0,)+∞上有极大值0，求a 的值； （提示：当且仅当1x =时，ln 1x x =-）； （2）令()()(1)a F x f x a x x =+-+（03x <≤），其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）讨论并求出函数()f x 在区间1[,]e e上的最大值.选做：请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：2sin 6cos 0ρθθ-=，直线l 的参数方程为：312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），l 与C 交于12,P P 两点. （1）求曲线C 的直角坐标方程及l 的普通方程； （2）已知0(3,0)P ，求0102||||||P P P P -的值.23．选修4-5：不等式选讲 函数()||2|3|f x x x =-+. （1）解不等式()2f x ≥；（2）若存在x R ∈使不等式()|32|0f x t --≥成立，求参数t 的取值范围.[50,60)[90,100] ,m n ||10m n ->。
2020年安徽省阜阳市太和中学高三数学文联考试卷含解析
2020年安徽省阜阳市太和中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. (2011·陕西高考)设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－|＜，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为()A．(0，1) B．(0，1]C．[0，1) D．[0，1]参考答案：C2. 已知ABCD为正方形，其内切圆I与各边分别切于E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则（）A．B．C．D．参考答案：C3. 若a，b，c为实数，下列结论正确的是A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若a＜b＜0，则C．若a＜b＜0，则 D．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2参考答案：D4. 函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）参考答案：A【考点】正弦函数的单调性．【分析】y=sin2x+cos2x﹣sin2x=﹣sin（2x﹣），利用正弦函数的单调增区间，求出函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间．【解答】解：y=sin2x+cos2x﹣sin2x=﹣sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，则x∈[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），即函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，正确化简函数是关键．5. 不等式的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：B不等式的解集为，若，则在恒成立，令当时，即时，在递减，所以在递减，，当0<时，即0<时，令得所以时，所以存在使在因为所以在上，不合题意舍掉当时，在递增，所以在递增，所以不合题意舍掉，综上故选B6. 现有三张卡片，正面分别标有数字1，2，3，背面完全相同，将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】将1，2，3三个数字排序，其中偶数2排在第一位或第三位为甲获胜，故而得出答案．【解答】解：将1，2，3三个数字排序，则偶数2可能排在任意一个位置，其中2排在第一位或第三位为甲获胜，2排在第二位为乙获胜，故甲获胜的概率为．故选C．7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间内单调递增的为（）A． B． C． D．参考答案：A.不是偶函数；B.是偶函数，但在内是单调递减函数；C.奇函数，D.偶函数，并且满足在内单调递增，故选D.考点：函数的性质8. 设函数，若，则实数等于（）A． B．C．2 D．4参考答案：C试题分析：因为，所以，故选C.考点：分段函数的解析式.9. (1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, B = {x∈R| x≤1}, 则(A) (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]参考答案：D10. 设集合，集合，若, 则等于（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在正三棱锥P—ABC中，PC垂直于面PAB，PC=，则过点P、A、B、C的球的体积为．参考答案：答案：12. 已知正三角形ABC边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD的外接球的表面积为．参考答案：7π【考点】球的体积和表面积．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，棱柱的高为，球心到底面的距离为，三棱柱中，底面△BDC，BD=CD=1，BC=，∴∠BDC=120°，∴△BDC的外接圆的半径为：=1∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=7π．故答案为：7π．【点评】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．13. 己知，若恒成立，则实数m的取值范围是___________．参考答案：14. 已知等差数列{}中，=32，=8，则此数列的前10项和= ▲．参考答案：190由，解得，由，解得。
【附20套高考模拟试题】2020届安徽省太和县民族中学高考数学模拟试卷含答案
2020届安徽省太和县民族中学高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A ．12πB ．11πC ．10πD ．9π2．等比数列{}n a 中12a =，公比2q =-，记12n na aa L =⨯⨯⨯∏（即n∏表示数列{}na 的前n 项之积），则891011,,,∏∏∏∏中值最大的是（ ）A ．8∏B ．9∏C ．10∏D ．11∏3．已知数列{}n a 满足321121n n a a a a a a a L ，，，-是首项为1,公比为2的等比数列,则101a = A ．1002B ．49502C ．50502D ．515124．有如下命题：①函数y=sinx 与y=x 的图象恰有三个交点；②函数y=sinx 与x 的图象恰有一个交点；③函数y=sinx 与y=x 2的图象恰有两个交点；④函数y=sinx 与y=x 3的图象恰有三个交点，其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=u u u r u u u r ，(1)AE λ=-u u ur ()AC R λ∈u u u r，若5BE CD ⋅=u u u r u u u r，则λ=（ ）A ．13- B ．2C ．95 D ．36．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()cos '()2f x x xf π=-，若曲线()y f x =在0x =处的切线为l ，则下列直线中与直线l 垂直的是（ ） A ．210x y --= B ．210x y ++=C ．220x y --=D ．210x y ++=7．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A ．1727B ．59C ．1027 D ．138．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<9．若方程()20f x -=在 (),0-∞内有解，则()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 10．运行如图所示框图的相应程序，若输入的值分别为和则输出的值是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设,a b r r 均为单位向量，则“,a b r r 夹角为2π3”是“||3a b +=r r ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 有(3)()f x f x +=-，当(3,0)x ∈- 时，()25f x x =-，则(8)f =（ ）A ．11B ．5C ．-9D ．-1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省太和中学2020届高三11月份检测 数学(文)(含答案)
太和中学高三11月质量检测数学试卷（文科）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂;；）选择题请用直径0. 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作-5!。
...........................................................................................................4.本#b题范围：北师大版集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量、复数、数列、不等式、推理与证明、立体几何、解析几何。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M= { *2,0,1}#= （x"N|-2<x<3 （，则M%N）A.{—2,—1,0,1,2,3( C. {—2,0,1,2,3(B. {—2,0,1,2( D. {*2,—1,0,1,2(2.若i是虚数单位,则冉)A 3/0i10 101 ,JLiJL- C10/101B 3*0.10 101D 0*3.10 1014.已知函数&($)=<, 、则&(&#))的值为4n $,$"(1,/3),5.若双曲线C：64-2 = 1的焦距是20,则正实数）B.D. 711. 如图，在正方体ABCD-A 1B'/ 中，点fj 是棱AB.C.B i 的中点，过E,F, G三点作该正方体的截面,则下列说法错误的是 A. 在平面BDD i B i 内存在直线与平面EFG 平行B. 在平面BDD i B i 内存在直线与平面EFG 垂直 C 平面AB'/平面EFGD 直线AB 】与 EF 所成角为45°12. 已知函数 &#))山*5$, g($) =ln(2a$ / e+1),若存在 $0 "(0,1),使得 &($0) )g(0)成 立，则a 的取值范围为A.(e/1*2)e/1，*eD ( *e *1 )6. 若一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是7. 如下图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁,下一个 呈现出来的图形是7.已知函数&$)=$3+$+1的图象在点(1&/)/1)处的切线斜率为6,且函数&$)在 $ = 2处取得极值，则a/b ) A*' 9.已知抛物线C$2=2p y #>%)的焦点为F ,若抛物线C 上的点"(2,(。
安徽省太和县民族中学2020届高三冲刺模拟数学试卷含解析《加15套高考模拟卷》
安徽省太和县民族中学2020届高三冲刺模拟数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( ) A ．372B ．34C ．32或372D ．34或3722．已知等比数列满足，，则（ ）A ．7B ．14C ．21D ．263．已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形，且AB ⊥平面BCD ，2AB BD CD ===，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．3π B ．23πC ．43πD ．12π4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．163C ．203 D ．85．若对圆221x y +=上任意一点P(x,y)，34349x y a x y -++--的取值与x 、y 无关,则实数a 的取值范围是A ．a≤-5B ．-5≤a≤5C ．a≤-5或a≥5D ．a≥56．若实数x ，y 满足条件10262x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．6C ．4D ．27．已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上有最小值1-，则a 的最大值（ ）A ．2π-B ．3π- C．4π-D ．6π-8．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）A ．2B ．14C ．116或2D ．14或49．已知()()6211x ax +-的展开式中，3x 系数为56，则实数a 的值为（ ） A ．6或-1B ．-1或4C ．6或5D ．4或510．19世纪德国工程师勒洛发现了一种神奇“三角形”能够象圆一样当作轮子用，并将其命名为勒洛三角形，这种三角形是三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图所示，现从图中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A 33423π-B ．233π-C 3223π-D 233223ππ--11．已知()2sin()f x x ωϕ=+同时满足下列三个条件： ①()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为2π ②3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是偶函数： ③(0)6f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭若()f x 在[0,)t 有最小值，则实数t 的取值范围可以是（ ）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．,63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．;32ππ⎛⎤⎥⎝⎦12．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为a ，当[]2,2019a ∈时，符合条件的a 共有（ ） A ．133个B ．134个C ．135个D ．136个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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安徽省阜阳市太和中学2020届高三下学期最后一模文科数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合}2|20A x x x =-<，{}220B xx =->∣，则A B =（ ）A.(1,2)B.(2,1)-C.(0,1)D.(1,0)-2.已知(1)5z i i -=+，则z =（ ） A.23i -+ B.23i --C.23i -D.23i +3.“12x ≥”是“12x x +≥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）A.2D.55.今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G 基站，4月份增加5G 用户700多万人，5G 通信将成为社会发展的关键动力，下图是某机构对我国未来十年5G 用户规模的发展预测图，阅读下图关于下列说法：①2022年我国5G 用户规模年增长率最高；②2022年我国5G 用户规模年增长户数最多；③从2020年到2026年，我国的5G 用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降； ④这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差.其中正确的个数为（ ） A.1B.2C.3D.46.知函数()3,043,0x e x f x x x -⎧≤=⎨-+>⎩，若()()232f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）A.(],1-∞B.(][),31,-∞-+∞ C.(][),13,-∞+∞ D.[]3,1-7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为360，则框图中空格处应填入（ ）A.6?k ≥B.7?k ≥C.6?k ≤D.7?k ≤8.函数4cos ()xf x xπ=的部分图象大致为（ ） A. B.C. D.9.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，222sin cos A A b c a =+-，则角A 的大小为（ ） A.4π B.6π C.512π D.3π 10.函数()2sin 3cos 363f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象的一条对称轴方程为（ ）A.29x π=B.3x π=C.49x π=D.59x π=11.饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P 从A 点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B 的概率为（ ）A.116B.18C.14D.1212.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 作该正方体的截面，截面将正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积的比值为（ ） A.14B.12C.2349D.2547第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.在中，已知(3,2)，(1,5)B ，(1,2)C ，则AB AC ⋅=________.14.已知函数3()ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为________. 15.长方体1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 是正方形，O 为正方形1111D C B A 的中心，114A B =，13AA =，则异面直线1AD 与BO 所成角的正弦值为_______.16.已知抛物线C ：22(0)x py p =>，倾斜角为4π的直线l 过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，8AB =，则AOB 的面积为_______. 三、解答题（题型注释）17.已知等差数列n a 满足833a a =，124a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召，开展了网课学习.为了检查网课学习的效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有.将这2000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如下表所示：（1）是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联？（2）从“成绩上升的学生中随机抽取了六人进行更详细的调查发现他们的进步幅度如下有两人进步幅度在(50,70)内，有三人的进步幅度在(20,30)内，另外一人进步幅度在(10,20)内.如果从这六人中任选两人进行比较，求这两人的进步幅度之差在20分以内的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.ABCD ，E 为BS 的中点，30ASB ABS ∠=∠=，1tan 3ASD ∠=，3AB =.（1）证明：平面DAE ⊥平面DSB ； （2）求三棱锥B SAD -的体积.20.已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，P 为M 上的任意一点，124PF PF +=，且该椭圆的短轴长等于焦距. （1）求椭圆M 的标准方程.（2）已知点R ，Q 是M 上关于原点O 对称的两点，过M 的左顶点A 作直线l 交椭圆M 于另一点B ，交y 轴于点C ，且//BC RQ ，判断2RQAB AC是否为定值.若是，求出该值；若不是，请说明理由. 21.已知函数()exx f x =，()f x '是()f x 的导函数. (1)求()f x 的极值；(2)当01x <时，证明：000()()()()f x f x x x f x '≤-+.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为4cos ,4sin .x y θθ=⎧⎨=⎩以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点A 在曲线2C ：5(0)6πθρ=≥，点B 在曲线3C ：sin 4ρθ=上，且AOB 为正三角形.（1）分别求出点A ，B 的极坐标(,)ρθ（其中0ρ≥，02θπ≤<）； （2）若点P 为曲线1C 上的动点，M 为线段AP 的中点，求BM 的最大值. 23.设函数()3f x x =-，()4g x x =-. （1）解不等式()()3f x g x +<；（2）对于实数x ，y ，若()1f x ≤，()1g y ≤，证明：2338x y -+≤.参考答案1.C【解析】1.解一元二次不等式，化简集合A ，B ，再画数轴求交集即可.因为{}02A xx =<<∣，{}|1B x x =<，所以{}01A B x x =<<∣.故选：C 2.D【解析】2.根据复数除法运算，即可求得z ．(1)5z i i -=+∴()()()()514623112i i i z ii i +++===+-+．故选：D. 3.A【解析】3.由12x x +≥=和充要条件的定义，可得答案.若12x ≥，则12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号； 若12x x+≥，则0x >. 所以 “12x ≥”是“12x x +≥”的充分不必要条件.故选：A. 4.C【解析】4.根据双曲线的方程得到渐近线的方程，根据一条渐近线所经过的点的坐标，得到,a b 的关系，进而利用c e a ==.因为渐近线b y x a =经过点，所以b a ===e 故选：C 5.B【解析】5.根据统计表分析可得；解：由图可以看出：2022年增长率最高，①正确；2022年比2021年增加用户20498.1万人，而2023年比2022年增加用户37499.9万人，②错误；从2023年起年增长率逐年下降，③正确；这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数大于前5年的平均数，但是方差小，④错误. 故选：B 6.D【解析】6.分析出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()232f a f a -≥-得出232a a -≤-，解此不等式即可得出实数a 的取值范围.当0x ≤时，()3xf x e -=单调递减；当0x >时，()43f x x =-+单调递减.又03403e =-⨯+，则函数()y f x =在R 上连续，则函数()y f x =在R 上单调递减. 如下图所示：由()()232f a f a -≥-，可得232a a -≤-，即2230a a +-≤，解得31a -≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]3,1-. 故选：D. 7.B【解析】7.根据程序逐行模拟，考察何时才能输出360，即可得到判断框中的条件. 本题考查程序框图的知识，考查运算求解能力.0.5S =，2k =；1S =，3k =；3S =，4k =；12S =，5k =；60S =，6k =；360S =，7k =.所以填入“7?k ≥”，输出的结果为360.8.B【解析】8.先利用函数()f x 为奇偶性，排除部分选项，再利用特殊值确定即可. 因为()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，()()44cos cos ()()ππ--===-x xf x f x xx ， 所以()f x 为偶函数，排除A ，C.又当1x =时，(1)cos 10f π==-<，排除选项D . 故选:B. 9.A【解析】9.由余弦定理对条件进行化简，可得sin A =ABC 中，可得角的大小. 由余弦定理可得222cos 2b c a A bc+-=，所以2222cos b c a bc A +-=，所以sin cos 2cos 2cos A A bc A A==，即sin 2A =. 又ABC 为锐角三角形，所以4A π=.故选：A 10.C【解析】10.先把函数解析式进行化简，然后求出对称轴，可得选项.因为()2sin 3cos 33sin 3636f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以其图象的对称轴方程为36x π+=()2k k Z ππ+∈，解得()93k x k Z ππ=+∈， 当1k =时，49x π=. 故选：C. 11.B【解析】11.列举出所有的基本事件，确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.点P 从A 点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次的所有基本事件有：（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8种不同的跳法（线路），符合题意的只有（下，下，右）这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B 的概率为18. 故选：B. 12.D【解析】12.根据已知条件，利用平面的基本性质作出截面，利用棱锥、棱柱的体积公式进行分割计算即可得解.如图，可以作出截面1D MEFN ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，则其体积为216，延长1D M 交DA 的延长线于点K ，连接KE ，延长1D N 交DC 的延长线于点L ，连接FL .因为E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，M ，N 分别为两棱的三等分点，所以3AK CL ==，2AM CN ==，1116998132D DKL V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，11233332M AKE N CFL V V --⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以正方体被截面分成两部分，其中一部分的体积为81675-=，另外一部分的体积为21675141-=，所以体积比值为752514147=.13.4【解析】13.先根据点的坐标求出向量坐标，然后利用数量积计算公式进行求解.因为(3,2)A ，(1,5)B ，(1,2)C ，所以(2,3)AB =-，(2,0)AC =-，所以2(2)4AB AC ⋅=-⨯-=.故答案为：4.14.210x y --=【解析】14.求出''(),(1),(1)f x f f ，即可求出切线的点斜式方程，化简得出结论.因为3()ln f x x x =-，所以'21()3f x x x=-，又(1)1f =，(1)2f '=， 所以切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=.故答案为：210x y --=.【解析】15.连接1BC ，将1AD 与BO 的夹角转化为1BC 与BO 所成角，然后通过几何法计算夹角的正弦值.如图，在长方体中因为1111//,,AB C D AB C D =所以四边形11ABC D 是平行四边形，1AD //1BC ，所以异面直线1AD 与BO 所成角为1OBC ∠（或补角）.又115A B C B ==，O 为11A C 的中点，所以11BO A C ⊥.易知1AC =，所以111sin OC OBC BC ∠==..16.【解析】16.设出直线l 的方程，联立方程结合韦达定理及弦长求出2p =，利用点到直线的距离公式可求AOB 的高，结合面积公式可得结果. 根据题意知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线l 的方程为2p y x =+，代入抛物线得2220x px p --=， 所以1212248AB y y p x x p p =++=++==，解得2p =，所以直线l 的方程为1y x =+.又原点O 到直线l的距离2d ==，所以118222AOB S AB d =⋅=⨯⨯=△故答案为：17.（1）21n a n =-；（2）21n n T n =+.【解析】17.（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据所给条件得到方程组，解得即可； （2）由（1）可得()()12121n b n n =-+，再利用裂项相消法求前n 项和；（1）设数列{}n a 的公差为d ，83123,4,a a a a =⎧⎨+=⎩ ∴()111732,24,a d a d a d ⎧+=+⎨+=⎩ 解得11,2,a d =⎧⎨=⎩∴21n a n =-.（2）由（1）知1(21)(21)n b n n =-+，11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭， ∴111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即11122121n n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 18.（1）有；（2）715.【解析】18. （1）由22⨯列联表，代入公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++可得观测值，根据临界表，做出判断.（2）分别标记6名学生，用枚举法列出基本事件和满足条件得基本事件，用古典概型求概率即可.（1）222000(500500300700)125 3.4728001200120080036K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯ 因为3.472 2.706>.所以有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联.（2）设a ，b 两人的进步幅度在(50,70)内，c ，d ，e 三人的进步幅度在(20,30)内，另外一人f 的进步幅度在(10,20)内，则从这六人中任选两人，有(,)a b 、(,)a c 、(,)a d 、(,)a e 、(,)a f 、(,)b c 、(,)b d 、(,)b e 、(,)b f 、(,)c d 、(,)c e 、(,)c f 、(,)d e 、(,)d f 、(,)e f ，共15种不同选法，其中符合两人的进步幅度之差在20分以内的有(,)a b 、(,)c d 、(,)c e 、(,)c f 、(,)d e 、(,)d f 、(,)e f ，共7种所以两人的进步幅度之差在20分以内的概率715P =.19.（1）证明见解析；（2【解析】19. （1）利用面面垂直的性质定理推导出AD ⊥平面SAB ，可得出BS AD ⊥，利用等腰三角形三线合一的性质可得出BS AE ⊥，由线面垂直的判定定理可得出BS ⊥平面DAE ，再利用面面垂直的判定定理可得出平面DAE ⊥平面DSB ；（2）计算出SAB 的面积和AD 的长，利用等体积法得出B SAD D ABS V V --=，然后利用锥体的体积公式可求得三棱锥B SAD -的体积.（1）因为ABCD 是矩形，所以AD AB ⊥.因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面ABCD平面SAB=AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以AD ⊥平面SAB .又BS ⊂平面SAB ，所以AD BS ⊥.因为ASB ABS ∠=∠，所以AS AB =，又E 为BS 的中点，所以AE BS ⊥.又AD AE A ⋂=，所以BS ⊥平面DAE .由于BS ⊂平面DSB ，所以平面DAE ⊥平面DSB ；（2）三棱锥B SAD -的体积B SAD D ABS V V --=， 因为1tan 3ASD ∠=，3AS AB ==，所以tan 1AD AS ASD =∠=. 由于30ASB ABS ∠=∠=︒，所以19333sin1202SAB S =⨯⨯⨯=△，从而1113344D ABS SAB V S AD -=⋅=⨯=△，即三棱锥B SAD -的体积为4. 20.（1）22142x y +=；（2）是，2RQ AB AC 为定值2. 【解析】20.（1）根据椭圆的定义和性质可得,,a b c ，从而得椭圆M 的方程；（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设l ：(2)(0)y k x k =+≠，令0x =，得2y k =，即(0,2)C k，得AC =222244,1212k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，得AB =.因为//BC RQ ，所以直线RQ 的方程为y kx =，与椭圆的方程联立得点R 的坐标，可得2224412k OR k +=+.由2RQ OR =，得222161612k QR k+=+，可得2RQ AB AC 的值. （1）因为124PF PF +=，所以24a =，解得2a =.设椭圆的焦距为2c ，所以22b c =，即b c =.由222a b c =+，解得22b =， 所以椭圆M 的方程为22142x y +=. （2）2RQ AB AC 为定值2，理由如下.由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设l ：(2)(0)y k x k =+≠，令0x =，得2y k =，即(0,2)C k ，又易知(2,0)A -，所以AC = 由221,42(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22224,124,12B B k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩即222244,1212k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以AB =. 因为//BC RQ ，所以直线RQ 的方程为y kx =， 由221,42,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222224,124,12R R x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以2224412k OR k +=+. 由2RQ OR =，得222161612k QR k +=+，所以22216162k RQ AB AC +==.故2RQ AB AC 为定值2.21.(1)极大值为1e，无极小值；(2)证明见解析.【解析】21. (1)求()f x 定义域，利用导数判断其单调性，即可求得函数()f x 的极值；(2)令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---，只需证明max ()0g x ≤即可，而000e (1)e 1()e()x x x x x x g x +---'=，令00()e (1)e (1)x x x x x =---ϕ，利用导数可判断当0x x <时，()0x ϕ>；当0x x >时，()0x ϕ<，从而可得()g x 的单调性，进而可求出max ()g x .(1)解：函数()f x 的定义域为R ，因为()e x x f x =，所以1()xx f x e -'=， 当(,1)x ∈-∞时， ()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以当1x =时，()f x 取得极大值，极大值为1(1)ef =，无极小值. (2)证明：令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---，则()()()()()000000e 1e 111ex x x x x x x x x x g x f x f x e e +''-----==-='-. 设00()e (1)e (1)x x x x x =---ϕ，则()00()e e 1x xx x '=---ϕ. 因为01x <，所以()0x ϕ'<，所以()x ϕ在R 上单调递减，又0()0x ϕ=，所以当0x x <时，()0x ϕ>；当0x x >时，()0x ϕ<，即当0x x <时，()0g x '>；当0x x >时，()0g x '<，所以()g x 在区间0(,)x -∞上单调递增，在区间0(,)x +∞上单调递减，所以0()()0g x g x ≤=，所以000()()()()f x f x x x f x '≤-+.22.（1）54,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,2B π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）2.【解析】22.（1）由AOB 为正三角形知2xOB π∠=，再根据点B 所在直线数形结合可求得两点的极坐标；（2）求出点M的轨迹方程为以()为圆心，2为半径的圆，圆外点与圆上点的距离最大值为点到圆心的距离加半径.（1）因为点A 在曲线2C ：5(0)6πθρ=≥上，且AOB 为正三角形， 所以2xOB π∠=，又因为点B 在曲线3C ：sin 4ρθ=上，即点B 在直线4y =上，则=4OA OB =， 所以在极坐标系中，54,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,2B π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）由（1）知点A的直角坐标为(2)-，点B 的直角坐标为(0,4)，设点M 的直角坐标为(,)x y，所以点(222)P x y +-.因为曲线1C 的参数方程为4cos ,4sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩即1C 为圆2216x y +=，所以22(2(22)16x y ++-=，22((1)4x y +-=，即点M在以()为圆心，2为半径的圆上，因为(0,4)B在圆22((1)4x y +-=外， 所以BM22=.23.（1）(2,5)；（2）证明见解析.【解析】23.（1）零点分区间，写出函数的表达式，分段求解不等式，然后取并集即得；（2）233x y -+内部写成()3x -和()4y -的组合的形式，利用绝对值三角不等式即可证明． （1）解：设()()()h x f x g x =+，则27,3,()1,34,27, 4.x x h x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩因为()()3f x g x +<，所以3,273x x ≤⎧⎨-+<⎩或34,13x <<⎧⎨<⎩或4,273,x x ≥⎧⎨-<⎩解得23x <≤或34x <<或45x ≤<，即25x <<，所以不等式()()3f x g x +<的解集为(2,5).（2）证明：因为()1f x ≤，()1g y ≤，所以31x -≤，41y -≤ 又2332(3)3(3)233(4)1x y x y x y -+=---≤-+-+， 所以233233(41)23(11)8x y x y -+≤-+-+≤+⨯+=.。