安徽省阜阳市太和中学2020届高三下学期最后一模文科数学试卷及答案解析

安徽省阜阳市太和中学2020届高三下学期最后一模文科数学试
卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题
1.已知集合}
2
|20A x x x =-<，{}
220B x
x =->∣，则A B =（ ）
A.(1,2)
B.(2,1)-
C.(0,1)
D.(1,0)-
2.已知(1)5z i i -=+，则z =（ ） A.23i -+ B.23i --
C.23i -
D.23i +
3.“12
x ≥
”是“1
2x x +≥”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条
件
4.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为
（ ）
A.2
D.
5
5.今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G 基站，4月份增加5G 用户700多万人，5G 通信将成为社会发展的关键动力，下图是某机构对我国未来十年5G 用户规模的发展预测图，阅读下图
关于下列说法：
①2022年我国5G 用户规模年增长率最高；
②2022年我国5G 用户规模年增长户数最多；
③从2020年到2026年，我国的5G 用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降； ④这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差.
其中正确的个数为（ ） A.1
B.2
C.3
D.4
6.知函数()3,043,0
x e x f x x x -⎧≤=⎨-+>⎩，若()()2
32f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）
A.(],1-∞
B.(]
[),31,-∞-+∞ C.(][),13,-∞+∞ D.[]3,1-
7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为360，则框图中空格处应填入（ ）
A.6?k ≥
B.7?k ≥
C.6?k ≤
D.7?k ≤
8.函数4
cos ()x
f x x
π=
的部分图象大致为（ ） A. B.
C. D.
9.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2
22
sin cos A A b c a =+-，则角A 的大小为（ ） A.
4
π B.
6
π C.
512
π D.
3
π 10.函数()2sin 3cos 363f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的图象的一条对称轴方程为（ ）
A.29
x π
=
B.3
x π
=
C.49
x π=
D.59
x π=
11.饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P 从A 点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B 的概率为（ ）
A.
116
B.
18
C.
14
D.
12
12.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，
F 作该正方体的截面，截面将正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积的比值为
（ ） A.
14
B.
12
C.
2349
D.
2547
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题（题型注释）
13.在中，已知(3,2)，(1,5)B ，(1,2)C ，则AB AC ⋅=________.
14.已知函数3()ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为________. 15.长方体1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 是正方形，O 为正方形1111D C B A 的中心，
114A B =，13AA =，则异面直线1AD 与BO 所成角的正弦值为_______.
16.已知抛物线C ：22(0)x py p =>，倾斜角为
4
π
的直线l 过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，8AB =，则AOB 的面积为_______
. 三、解答题（题型注释）
17.已知等差数列n a 满足833a a =，124a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召，开展了网课学习.为了检查网课学习的效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有.将这2000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如下表所示：
（1）是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联？
（2）从“成绩上升的学生中随机抽取了六人进行更详细的调查发现他们的进步幅度如下有两人进步幅度在(50,70)内，有三人的进步幅度在(20,30)内，另外一人进步幅度在
(10,20)内.如果从这六人中任选两人进行比较，求这两人的进步幅度之差在20分以内的概
率.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
ABCD ，E 为
BS 的中点，30ASB ABS ∠=∠=，1
tan 3
ASD ∠=，3AB =.
（1）证明：平面DAE ⊥平面DSB ； （2）求三棱锥B SAD -的体积.
20.已知椭圆M ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，P 为M 上的任意
一点，124PF PF +=，且该椭圆的短轴长等于焦距. （1）求椭圆M 的标准方程.
（2）已知点R ，Q 是M 上关于原点O 对称的两点，过M 的左顶点A 作直线l 交椭圆M 于另一点B ，交y 轴于点C ，且//BC RQ ，判断2
RQ
AB AC
是否为定值.若是，求出该值；
若不是，请说明理由. 21.已知函数()e
x
x f x =
，()f x '
是()f x 的导函数. (1)求()f x 的极值；
(2)当01x <时，证明：000()()()()f x f x x x f x '≤-+.
22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为4cos ,
4sin .
x y θθ=⎧⎨=⎩以O 为极点，x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系，设点A 在曲线2C ：5(0)6
π
θρ=
≥，点B 在曲线3C ：sin 4ρθ=上，
且AOB 为正三角形.
（1）分别求出点A ，B 的极坐标(,)ρθ（其中0ρ≥，02θπ≤<）； （2）若点P 为曲线1C 上的动点，M 为线段AP 的中点，求BM 的最大值. 23.设函数()3f x x =-，()4g x x =-. （1）解不等式()()3f x g x +<；
（2）对于实数x ，y ，若()1f x ≤，()1g y ≤，证明：2338x y -+≤.
参考答案
1.C
【解析】1.
解一元二次不等式，化简集合A ，B ，再画数轴求交集即可.
因为{}02A x
x =<<∣，{}|1B x x =<，所以{}01A B x x =<<∣.
故选：C 2.D
【解析】2.
根据复数除法运算，即可求得z ．
(1)5z i i -=+
∴()()()()
514623112i i i z i
i i +++=
==+-+．
故选：D. 3.A
【解析】3.
由12x x +
≥=和充要条件的定义，可得答案.
若12x ≥
，则12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号； 若1
2x x
+
≥，则0x >. 所以 “12
x ≥”是“1
2x x +≥”的充分不必要条件.
故选：A. 4.C
【解析】4.
根据双曲线的方程得到渐近线的方程，根据一条渐近线所经过的点的坐标，得到,a b 的关
系，进而利用c e a ==.
因为渐近线b y x a =经过点，所以b a ===e 故选：C 5.B
【解析】5.
根据统计表分析可得；
解：由图可以看出：2022年增长率最高，①正确；2022年比2021年增加用户20498.1万人，而2023年比2022年增加用户37499.9万人，②错误；从2023年起年增长率逐年下降，③正确；这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数大于前5年的平均数，但是方差小，④错误. 故选：B 6.D
【解析】6.
分析出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()
()2
32f a f a -≥-得出232a a -≤-，解
此不等式即可得出实数a 的取值范围.
当0x ≤时，()3x
f x e -=单调递减；当0x >时，()43f x x =-+单调递减.
又03403e =-⨯+，则函数()y f x =在R 上连续，则函数()y f x =在R 上单调递减. 如下图所示：
由()
()2
32f a f a -≥-，可得232a a -≤-，即2230a a +-≤，解得31a -≤≤.
因此，实数a 的取值范围是[]3,1-. 故选：D. 7.B
【解析】7.
根据程序逐行模拟，考察何时才能输出360，即可得到判断框中的条件. 本题考查程序框图的知识，考查运算求解能力.
0.5S =，2k =；1S =，3k =；3S =，4k =；12S =，5k =；60S =，6k =；
360S =，7k =.所以填入“7?k ≥”，输出的结果为360.
8.B
【解析】8.
先利用函数()f x 为奇偶性，排除部分选项，再利用特殊值确定即可. 因为()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，()
()
4
4
cos cos ()()ππ--==
=-x x
f x f x x
x ， 所以()f x 为偶函数，排除A ，C.
又当1x =时，(1)cos 10f π==-<，排除选项D . 故选:B. 9.A
【解析】9.
由余弦定理对条件进行化简，可得sin A =
ABC 中，可得角的大小. 由余弦定理可得222
cos 2b c a A bc
+-=，所以2222cos b c a bc A +-=，
所以
sin cos 2cos 2cos A A bc A A
==
，即sin 2A =. 又ABC 为锐角三角形，所以4
A π
=.
故选：A 10.C
【解析】10.
先把函数解析式进行化简，然后求出对称轴，可得选项.
因为()2sin 3cos 33sin 3636f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
所以其图象的对称轴方程为36
x π
+=
()2
k k Z π
π+∈，解得()9
3
k x k Z π
π
=
+
∈， 当1k =时，49
x π=. 故选：C. 11.B
【解析】11.
列举出所有的基本事件，确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
点P 从A 点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，
跳3次的所有基本事件有：（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8种不同的跳法（线路），
符合题意的只有（下，下，右）这1种，
所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B 的概率为18
. 故选：B. 12.D
【解析】12.
根据已知条件，利用平面的基本性质作出截面，利用棱锥、棱柱的体积公式进行分割计算即可得解.
如图，可以作出截面1D MEFN ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，则其体积为216，延长1D M 交DA 的延长线于点K ，连接KE ，延长1D N 交DC 的延长线于点L ，连接FL .因为E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，M ，N 分别为两棱的三等分点，所以
3AK CL ==，2AM CN ==，1116998132D DKL V -⎛⎫
=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
，
11233332M AKE N CFL V V --⎛⎫
==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
，所以正方体被截面分成两部分，其中一部分的
体积为81675-=，另外一部分的体积为21675141-=，所以体积比值为752514147
=.
13.4
【解析】13.
先根据点的坐标求出向量坐标，然后利用数量积计算公式进行求解.
因为(3,2)A ，(1,5)B ，(1,2)C ，
所以(2,3)AB =-，(2,0)AC =-，
所以2(2)4AB AC ⋅=-⨯-=.
故答案为：4.
14.210x y --=
【解析】14.
求出''(),(1),(1)f x f f ，即可求出切线的点斜式方程，化简得出结论.
因为3()ln f x x x =-，所以'21()3f x x x
=-，又(1)1f =，(1)2f '=， 所以切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=.
故答案为：210x y --=.
【解析】15.
连接1BC ，将1AD 与BO 的夹角转化为1BC 与BO 所成角，然后通过几何法计算夹角的正弦值.
如图，在长方体中因为1111//,,AB C D AB C D =
所以四边形11ABC D 是平行四边形，1AD //1BC ，
所以异面直线1AD 与BO 所成角为1OBC ∠（或补角）.
又115A B C B ==，O 为11A C 的中点，所以11BO A C ⊥.
易知1AC =
，所以111sin OC OBC BC ∠==.
.
16.
【解析】16.
设出直线l 的方程，联立方程结合韦达定理及弦长求出2p =，利用点到直线的距离公式可求AOB 的高，结合面积公式可得结果. 根据题意知0,2p F ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，设直线l 的方程为2p y x =+，代入抛物线得2220x px p --=， 所以1212248AB y y p x x p p =++=++==，解得2p =，
所以直线l 的方程为1y x =+.
又原点O 到直线l
的距离2d ==，
所以118222
AOB S AB d =⋅=⨯⨯=△故答案为
：17.（1）21n a n =-；（2）21n n T n =
+.
【解析】17.
（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据所给条件得到方程组，解得即可； （2）由（1）可得()()1
2121n b n n =-+，再利用裂项相消法求前n 项和；
（1）设数列{}n a 的公差为d ，
8312
3,4,a a a a =⎧⎨+=⎩ ∴()111
732,24,a d a d a d ⎧+=+⎨+=⎩ 解得11,2,a d =⎧⎨=⎩
∴21n a n =-.
（2）由（1）知1(21)(21)
n b n n =-+，
11122121n b n n ⎛⎫=
- ⎪-+⎝⎭， ∴111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 即11122121
n n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 18.（1）有；（2）
715
.
【解析】18. （1）由22⨯列联表，代入公式2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++可得观测值，根据临界表，做出判断.
（2）分别标记6名学生，用枚举法列出基本事件和满足条件得基本事件，用古典概型求概率即可.
（1）22
2000(500500300700)125 3.4728001200120080036K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯ 因为3.472 2.706>.
所以有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联.
（2）设a ，b 两人的进步幅度在(50,70)内，
c ，
d ，
e 三人的进步幅度在(20,30)内，
另外一人f 的进步幅度在(10,20)内，
则从这六人中任选两人，有(,)a b 、(,)a c 、(,)a d 、(,)a e 、(,)a f 、(,)b c 、(,)b d 、(,)b e 、
(,)b f 、(,)c d 、(,)c e 、(,)c f 、(,)d e 、(,)d f 、(,)e f ，共15种不同选法，
其中符合两人的进步幅度之差在20分以内的有(,)a b 、(,)c d 、(,)c e 、(,)c f 、(,)d e 、(,)d f 、(,)e f ，共7种
所以两人的进步幅度之差在20分以内的概率715
P =.
19.（1）证明见解析；（2
【解析】19. （1）利用面面垂直的性质定理推导出AD ⊥平面SAB ，可得出BS AD ⊥，利用等腰三角形三线合一的性质可得出BS AE ⊥，由线面垂直的判定定理可得出BS ⊥平面DAE ，再利用面面垂直的判定定理可得出平面DAE ⊥平面DSB ；
（2）计算出SAB 的面积和AD 的长，利用等体积法得出B SAD D ABS V V --=，然后利用锥体的体积公式可求得三棱锥B SAD -的体积.
（1）因为ABCD 是矩形，所以AD AB ⊥.
因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面ABCD
平面SAB=AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以AD ⊥平面SAB .
又BS ⊂平面SAB ，所以AD BS ⊥.
因为ASB ABS ∠=∠，所以AS AB =，又E 为BS 的中点，所以AE BS ⊥.
又AD AE A ⋂=，所以BS ⊥平面DAE .
由于BS ⊂平面DSB ，所以平面DAE ⊥平面DSB ；
（2）三棱锥B SAD -的体积B SAD D ABS V V --=， 因为1tan 3
ASD ∠=，3AS AB ==，所以tan 1AD AS ASD =∠=. 由于30ASB ABS ∠=∠=︒，所以19333sin1202SAB S =
⨯⨯⨯=△，
从而1113344D ABS SAB V S AD -=
⋅=⨯=△，即三棱锥B SAD -的体积为4. 20.（1）
22
142x y +=；（2）是，2
RQ AB AC 为定值2. 【解析】20.
（1）根据椭圆的定义和性质可得,,a b c ，从而得椭圆M 的方程；
（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设l ：(2)(0)y k x k =+≠，令0x =，得2y k =，即(0,2)C k
，得AC =222244,1212k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
，得AB =.因为//BC RQ ，所以直线RQ 的方程为y kx =，与椭圆的方程联立得点R 的坐标，可得2
2
24412k OR k +=+.由2RQ OR =，得222161612k QR k
+=+，可得2
RQ AB AC 的值. （1）因为124PF PF +=，所以24a =，解得2a =.
设椭圆的焦距为2c ，所以22b c =，即b c =.
由222a b c =+，解得22b =， 所以椭圆M 的方程为22
142
x y +=. （2）2
RQ AB AC 为定值2，理由如下.
由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设l ：(2)(0)y k x k =+≠，令0x =，得2y k =，即(0,2)C k ，又易知(2,0)A -
，所以AC = 由22
1,42(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2
2224,124,12B B k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩即222244,1212k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
，所以AB =. 因为//BC RQ ，所以直线RQ 的方程为y kx =， 由221,42,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222224,124,12R R x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以2224412k OR k +=+. 由2RQ OR =，得2
2
2161612k QR k +=+，
所以22216162k RQ AB AC +==.
故2
RQ AB AC 为定值2.
21.(1)极大值为
1e
，无极小值；(2)证明见解析.
【解析】21. (1)求()f x 定义域，利用导数判断其单调性，即可求得函数()f x 的极值；
(2)令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---，只需证明max ()0g x ≤即可，而
000e (1)e 1()e
()x x x x x x g x +---'=，令00()e (1)e (1)x x x x x =---ϕ，利用导数可判断当0x x <时，()0x ϕ>；当0x x >时，()0x ϕ<，从而可得()g x 的单调性，进而可求出max ()g x .
(1)解：函数()f x 的定义域为R ，因为()e x x f x =，所以1()x
x f x e -'=， 当(,1)x ∈-∞时， ()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，
所以()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，
所以当1x =时，()f x 取得极大值，极大值为1(1)e
f =，无极小值. (2)证明：令000()()()()()
g x f x f x x x f x '=---，
则()()()()()000000e 1e 111e
x x x x x x x x x x g x f x f x e e +''-----==-='-. 设00()e (1)e (1)x x x x x =---ϕ，则()00()e e 1x x
x x '=---ϕ. 因为01x <，所以()0x ϕ'<，所以()x ϕ在R 上单调递减，又0()0x ϕ=，
所以当0x x <时，()0x ϕ>；当0x x >时，()0x ϕ<，
即当0x x <时，()0g x '>；当0x x >时，()0g x '<，
所以()g x 在区间0(,)x -∞上单调递增，在区间0(,)x +∞上单调递减，
所以0()()0g x g x ≤=，
所以000()()()()f x f x x x f x '≤-+.
22.（1）54,
6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,2B π⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（2）2.
【解析】22.
（1）由AOB 为正三角形知2xOB π
∠=，再根据点B 所在直线数形结合可求得两点的极
坐标；（2）求出点M
的轨迹方程为以()为圆心，2为半径的圆，圆外点与圆上点的距离最大值为点到圆心的距离加半径.
（1）因为点A 在曲线2C ：5(0)6πθρ=
≥上，且AOB 为正三角形， 所以2xOB π
∠=，
又因为点B 在曲线3C ：sin 4ρθ=上，即点B 在直线4y =上，则=4OA OB =， 所以在极坐标系中，54,6A π⎛
⎫ ⎪⎝⎭，4,2B π⎛⎫ ⎪⎝⎭
. （2）由（1）知点A
的直角坐标为(2)-，点B 的直角坐标为(0,4)，
设点M 的直角坐标为(,)x y
，所以点(222)P x y +-.
因为曲线1C 的参数方程为4cos ,4sin ,
x y θθ=⎧⎨=⎩即1C 为圆2216x y +=，
所以22(2(22)16x y ++-=
，22((1)4x y +-=，
即点M
在以()
为圆心，2为半径的圆上，
因为(0,4)B
在圆22((1)4x y +-=外， 所以BM
22=.
23.（1）(2,5)；（2）证明见解析.
【解析】23.
（1）零点分区间，写出函数的表达式，分段求解不等式，然后取并集即得；
（2）233x y -+内部写成()3x -和()4y -的组合的形式，利用绝对值三角不等式即可证明． （1）解：设()()()h x f x g x =+，则27,3,()1,34,27, 4.x x h x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩
因为()()3f x g x +<，
所以3,273x x ≤⎧⎨-+<⎩或34,13x <<⎧⎨<⎩或4,273,x x ≥⎧⎨-<⎩
解得23x <≤或34x <<或45x ≤<，即25x <<，
所以不等式()()3f x g x +<的解集为(2,5).
（2）证明：因为()1f x ≤，()1g y ≤，所以31x -≤，41y -≤ 又2332(3)3(3)233(4)1x y x y x y -+=---≤-+-+， 所以233233(41)23(11)8x y x y -+≤-+-+≤+⨯+=.。