高等代数期中考试试题
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高等代数期中考试试题
一．填空题（每小题4分，共40分）。
1. 设是上的线性变换，,
则下的矩阵为
2. 设的线性变换，其中R是实数域，
，．
3．已知中线性变换在基
矩阵为则在基下的矩阵为
4. 已知矩阵，则A的特征值为 -1 , 5
对应的特征向量分别为，，；，，.
5. 已知矩阵可对角化，则k= .
6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式= .
7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为
， .
8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为
—————————
9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。
10．设矩阵A的特征多项式为，则A可逆，的特征多项式为。
二．（10分）设V是数域P上的4维线性空间，是V上的线性变换，在基
下的矩阵，试求含的最小不变子空间.三．（10分）设是n维线性空间V上的线性变换，证明：
维维n
即,
的秩+的零度=n
四.（15分）求矩阵的Jordan标准形及A的最小多项式。五．（15分）设3维线性空间V上线性变换在基下的矩阵
，记L（V）为V上线性变换全体，. 1）证明：是L(V)的子空间；
2）求的一组基和维数.
六．(10分) 设A，B为n级实矩阵，证明：若A，B在复数域上相似，则A，B 在实数域上也相似。
参考答案
一．填空题（每小题4分，共40分）。
1. 设是上的线性变换，,
则下的矩阵为
2. 设的线性变换，其中R是实数域，
，．
3．已知中线性变换在基
矩阵为则在基下的矩阵为
4. 已知矩阵，则A的特征值为 -1 , 5
对应的特征向量分别为，，不同时为零且；，，.
5. 已知矩阵可对角化，则k= 1 .
6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式= 100 .
7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为
， .
8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为
—————————
9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。
10．设矩阵A的特征多项式为，则A可逆，的特征多项式为。
二．（10分）设V是数域P上的4维线性空间，是V上的线性变换，在基下的矩阵，试求含的最小不变子空间.
解：由题意可知，
设含的最小不变子空间.为W，则，因为W是-不变子空间，则，由可知，即，所以，由
，可知，即，而所以。
，再由的最小性可知，因此，证毕。
三．（10分）设是n维线性空间V上的线性变换，证明：
维维n
即,
的秩+的零度=n
证明：见书中定理。
四.（15分）求矩阵的Jordan标准形及A的最小多项式。
解
所以A的不变因子为，。A的初等因子为，。所以矩阵A的Jordan
标准形为：。
A的最小多项式是A的最后一个不变因子，所以是A的最小多项式。五．（15分）设3维线性空间V上线性变换在基下的矩阵
，记L（V）为V上线性变换全体，. 1）证明：是L(V)的子空间；
2）求的一组基和维数.
证明：1）0，，即，，，
，，所以为的子空间。
3）设在下的矩阵为B，则AB=BA。
=所以
=即，，，，，，即======0，即
=，所以的一组基为，，，其中，
，的维数是3。
六．(10分) 设A，B为n级实矩阵，证明：若A，B在复数域上相似，则A，B 在实数域上也相似。
证明：由于A，B在复数域上相似，所以它们有相同的初等因子，因此它们有相同的不变因子，又因为A,B是实系数矩阵，它的不变因子为实系数多项式，所以在实数域上，不变因子相同，两矩阵相似。