高等代数期中考试试题
北京大学2022-2023-1实验班高等代数I年期中考试试题
26
8北京大学2022-2023-1实验班高等代数I年期中考试试题
1.(8分)考虑实线性空间R2到自身的(非线性)映射
φ:R2ÑR2,φ(x,y)=(x+1,y).
对下面四种方式给出的子集SĂR2,分别回答:是否存在线性映射T:R2ÑR,使得T(S)=φ(S)?
(1)S=␣
(x,y)P R2;x´2=y´1,1ďxď2
(
,
(2)S=␣
(x,y)P R2;(x´2)2=(y´1)2
(
,
(3)S=␣
(x,y)P R2;(x´2)2+(y´1)2=1
(
,
(4)S=␣
(x,y)P R2;(x´2)2=y´1
(
.
fl:线性空间与线性变换
2.(8分)设F是任意域,n是正整数,称F nˆn的子空间M是“优美”的,如果它满
足:对任意A P F nˆn和B P M,总有AB P M.求F nˆn的“优美”子空间维数的所有可能值.fl:线性空间与线性变换
3.(8分)设F是任意域,n为正整数,A P F nˆn,B=A n,αP F nˆ1.假设B3α=B2α.
证明:B2α=Bα.fl:矩阵
4.(6分)考虑有限域F2上的线性空间F2022
2
.求满足如下条件的最小正整数k:存在
F2022 2的k个互不相同的2021维子空间W1,¨¨¨,W k,使得对F2022
2
的任意2021维
子空间M,总有
M=
kÿ
i=1
M X W i. fl:线性空间与线性变换。
高等代数A(II)期中测验答案
(2) B,C W ， k P , 则 AB 0， AC 0 ，于是 A(B C) AB AC 0 0 0 ， B C W ，
A(kB) k( AB) k0 0 ， kB W ， 所以W 是 Pnn 的子空间．
1 2 3 = 1 2 3 A ,
2
3
4
=
1
0
0
A,
求出
A
0
1
0
1 4 3 1 1 1
1 0 1
0 1 0
4设
A
0
0
1
,
求所有与
A
可交换的矩阵构成子空间 C(A) B AB BA 的维数和一组基
2. 求 L(1,2 ) 与 L(1, 2 ) 交的维数及一组基，其中
12
(1,1, 0, 0) (0,1,1,1)
，
21
(0, 0,1,1) (1, 2, 2, 2)
答: 方法 1: L(1,2 ) L(1, 2 ) ,则有 x11 x22 y11 y22 , 即 x11 x22 y11 y22 0
可以看到 1,2,1 线性无关,构成两个 L(1,2 ) 与 L(1, 2 ) 和的一组基.
2 1 2 1 ,则 1 2 2 1 是 L(1,2 ) 与 L(1, 2 ) 交的一组基 1 2 (1, 2,1,1) , 维数等于 1.
u(x) f (x) v(x)g(x) ( f (x), g(x))
北京大学高等代数_I+2016+期中考试题+-+答案
北京大学数学学院期中试题一．（16分）（1）叙述向量组线性相关, 线性无关, 向量组极大无关组的定义 ;（2）已知向量组α1 , ... , α s 能线性表出β1 , ... , β r , 且α1 , ... , α s 的秩等于β1 , ... , β r 的秩 . 证明: β1 , ... , β r 也能线性表出α1 , ... , αs .二．（16分）计算n 级行列式 D = nn 2n 1n n 22212n 12111b a n b a n b a n b a b a b a b a b a b a +++++++++222111. 解：n = 1时，D = 1+ a 1b 1 ；n = 2时，D =（2a 1–a 2 ）（b 1–b 2 ）；n>2时，D = n1n 21n 11n n 12212112n 12111b a n a b a n a b a n a b a a b a a b a a b a b a b a )()()()2()2()2(111------+++= 0 .三．（24分）设矩阵 A 的列向量依次为α1 , ... , α5 . 已知齐次方程组A X = 0解空间的一组基为 [ 3 1 1 0 0 ] T , [ 5 6 1 2 -1 ] T .1) 求A 的简化阶梯型矩阵J ;2) 求A 列向量组的一个极大无关组, 并用此极大无关组表出A 的每个列向量;3) 求 A 行空间的一组基, 并判断当a 取何值时，β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 写出此时β在 基底下的坐标；4) 将A 写成BC 的形式，B 是列满秩的矩阵，C 是行满秩的矩阵.解: 1) 矩阵A 的行空间与A 的解空间在R 5中互为正交补 , 即向量 [ a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ] 在A 的行空间中当且仅当 3 a 1 + a 2 + a 3 = 0 且 5a 1 + 6a 2 + a 3 +2 a 4 – a 5 = 0 .解此方程组得行空间的一组基⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12052001131216500113 得 ⎩⎨⎧++=--=42152132523a a a a a a a a 1 , a 2 , a 4为自由变量. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21000501102030125234214214212154321a a a a a a a a a a a a a a a a 故A 的简化阶梯形为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-- 00000210005*********. 2) A 列向量组的一个极大无关组为α1 , α2 , α4 , 且α3 = –3 α1 – α2 , α5 = 2 α1 + 5α2 + 2α3 ;3) A 行空间的一组基为简化阶梯形的前3个行向量；若 β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 则β在此基底下的坐标只能是 [ 1 a 3 ] T ，且有–3–a = 0 , 2 + 5 a + 6 =2a –1 .此条件当且仅当 a = –3 时成立.故当且仅当 a = –3 时β落在A 的行空间里, 此时β的坐标是[ 1 –3 3 ] T .4) A = [ a 1 a 2 a 4 ] ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--210005*********.四．（12分）设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000100010. 记 C( A) = { X ∈ M 3 (R) | A X = X A }.1) 证明: 集合C( A )是线性空间M 3 (R) 的子空间;2) 求子空间C( A ) 的维数和一组基 .解：2) C( A ) 的一组基为 I ，A ，A 2 （ A 3 = 0 ）。
高代期中考试题库及答案
高代期中考试题库及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵 \(A\) 为 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(\text{rank}(A) = 2\)，则矩阵 \(A\) 的秩是：A. 1B. 2C. 3D. 无法确定答案：B2. 以下哪个选项不是线性代数中的基本概念？A. 向量空间B. 线性映射C. 矩阵D. 微分方程答案：D3. 设 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是两个向量，若 \(\alpha \cdot \beta = 0\)，则 \(\alpha\) 和 \(\beta\)：A. 正交B. 平行C. 垂直D. 斜交答案：A4. 如果一个矩阵 \(A\) 可以表示为 \(A = PDP^{-1}\)，其中 \(P\) 是可逆矩阵，\(D\) 是对角矩阵，则矩阵 \(A\)：A. 可对角化B. 正交C. 正定D. 单位答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设 \(A\) 是一个 \(n \times n\) 矩阵，若 \(A^2 = A\)，则称\(A\) 为幂等矩阵。
若 \(A\) 是幂等矩阵，则 \(A\) 的特征值为______。
答案：0或12. 矩阵 \(A\) 的行列式表示为 \(\text{det}(A)\)，若\(\text{det}(A) = 0\)，则矩阵 \(A\) 的秩小于______。
答案：n3. 设 \(\lambda\) 是矩阵 \(A\) 的一个特征值，对应的特征向量为\(v\)，则 \(A\) 与 \(\lambda\) 乘以单位矩阵 \(I\) 的差 \(A - \lambda I\) 的秩为______。
答案：04. 线性方程组 \(Ax = 0\) 的基础解系由 \(A\) 的零空间的一组基构成，若 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵且 \(\text{rank}(A) = 2\)，则 \(Ax = 0\) 的基础解系包含______个向量。
高数期中考试题目及答案
高数期中考试题目及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3D. x^3 + 3答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x) / x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 定积分∫(0 to 1) (2x + 1) dx的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 微分方程dy/dx = 2x的通解为：A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x + CD. y = 2x^2 + C答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点为______。
答案：22. 函数f(x)=e^x的n阶导数为______。
答案：e^x3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐点为______。
答案：24. 函数f(x)=ln(x)的定义域为______。
答案：(0, +∞)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的一阶导数和二阶导数。
答案：一阶导数f'(x)=3x^2-6x+2；二阶导数f''(x)=6x-6。
2. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。
答案：23. 解微分方程dy/dx - 2y = e^(2x)。
答案：y = (1/3)e^(2x) + C4. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。
答案：极小值点x=2，极小值f(2)=3；极大值点x=3，极大值f(3)=4。
5. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-3x-1在区间(-1,1)内单调递增。
答案：略6. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的凹凸性。
答案：二阶导数f''(x)=6x-6，令f''(x)>0得x>1，令f''(x)<0得x<1，故函数在(-∞, 1)上凹，在(1, +∞)上凸。
(完整word版)高等代数期中考试题答案
高等代数期中考试题答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、___1___，__1/a__2、______3_．3、若4、 (n+1)类5、___n-r__二、1 D 2、 C 3、（ D ）4、( B )5、 A三、1、解：（1）由于A ),,(),,(321321αααβββ=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101110111A于是 1321321),,(),,(-=A βββααα………………………… (2分) 故由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-1111010111A C ………………………… (3分)（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=241),,(321),,(321),,(321321321ββββββααααC即向量3α在基321,,βββ下的坐标为)2,4,1('．………………………… (5分) 2、故该向量组的一个极大线性无关组为124,,ααα。
3、所以解空间的维数是2， 它的一组基为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,1,38,911a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,0,37,922a 四、 证明题（本题共4个小题，每小题10分，共计40分） 1、证：因为复数域C 作为实数域R 上的向量空间，维数是2； 而2dim 2=R ，两者维数相同，所以同构。
另证：建立映射),(;:2b a bi a R C →+→σ，验证它为同构映射。
2、证明：向量β可以由r ααα,,,21 线性表示， 则不妨设r r r r a a a a ααααβ++++=--112211 ，其中0≠r a ， 若0=r a ，则112211--+++=r r a a a αααβ ， 这与β不能由121,,,-r ααα 表示矛盾。
于是11111-----=r rr r r r a a a a a ααβα 。
故向量r α可以由βααα,,,,121-r 线性表示， 即向量组),,,,(121r r αααα- 与),,,,(121βααα-r 能够相互线性表示， 从而),,,,(121r r αααα- 与),,,,(121βααα-r 等价。
高等代数期中考试试题
高等代数期中考试试题一．填空题（每小题4分，共40分）。
1. 设是上的线性变换，,则下的矩阵为2. 设的线性变换，其中R是实数域，，．3．已知中线性变换在基矩阵为则在基下的矩阵为4. 已知矩阵，则A的特征值为 -1 , 5对应的特征向量分别为，，；，，.5. 已知矩阵可对角化，则k= .6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式= .7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为， .8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为—————————9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。
10．设矩阵A的特征多项式为，则A可逆，的特征多项式为。
二．（10分）设V是数域P上的4维线性空间，是V上的线性变换，在基下的矩阵，试求含的最小不变子空间.三．（10分）设是n维线性空间V上的线性变换，证明：维维n即,的秩+的零度=n四.（15分）求矩阵的Jordan标准形及A的最小多项式。
五．（15分）设3维线性空间V上线性变换在基下的矩阵，记L（V）为V上线性变换全体，. 1）证明：是L(V)的子空间；2）求的一组基和维数.六．(10分) 设A，B为n级实矩阵，证明：若A，B在复数域上相似，则A，B 在实数域上也相似。
参考答案一．填空题（每小题4分，共40分）。
1. 设是上的线性变换，,则下的矩阵为2. 设的线性变换，其中R是实数域，，．3．已知中线性变换在基矩阵为则在基下的矩阵为4. 已知矩阵，则A的特征值为 -1 , 5对应的特征向量分别为，，不同时为零且；，，.5. 已知矩阵可对角化，则k= 1 .6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式= 100 .7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为， .8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为—————————9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。
西南科技大学高代期中上
有唯一解的条件是什么？并求出唯一解．
命题共 2 页第 2 页
参考答案
一．填空题： （每小题 3 分，共 15 分）
1． 5 − 2 2
2．1，2，-3
3． 5i + 7 j + 4k 4．
n(n − 1) −k 2
5． − a23 a14 a31a42， a23 a14 a32 a41
二．选择题： （每小题 3 分，共 15 分）
1． 2． 3． 4． 5． B D C A D
三．解答题： （共 70 分）
−1 −2 1 −7 = −10 ≠ 0,∴ 不共面. 2
1． （10 分）证明：∵ −2
2
3 2
（13 分）证明： 2．
∵ a , b , d c + b , a ,c d = − b , c , d a − c , a , d b = a × b × c × d ．
)
3． （10 分）解： V =
(
)
2 −5 1 −3 7 −1 （10 分）解： A = 4． 5 −9 2 4 −6 1
2 3 = −9 ． 0 3
（14 分）解： 5．
答案共 2 页第 1 页
A=
1 + a1 1 1 1 1 + a2 1 1 1 1 + a3 1 1 a1 0 0 0 a2 0 0 0 1 1 0 0 a3 0 0 1 1 0 0 0 an −1 0
π
6
；
(B)
π
4
；
(C)
π
3
；
(D)
π
2
a 0 0 b 5．行列式 0 g h 0
0 f c 0
e 0 =( 0 d
高等代数II期中试卷
北 京 交 通 大 学2018-2019学年第二学期《高等代数I I 》期中考试试卷课程名称： 高等代数II 学年学期： 18-19学年第二学期 课程编号： 70L155Q 开课学院： 理学院 学生姓名： 学号： 任课教师： 学生学院： 班级： 本试卷共七大题一、填空题(每题3分,共30分)1、设W 1是由全体n 阶实反对称矩阵构成的集合，则作为实数域上的线性空间， W 1的维数等于-12（）n n ． 2、 已知R 3 中两组基123(002),(030),(400)，，，，，，ααα===和 1(100),，，ε= 23(01,0),(00,1)，，εε==。
则从基123,,ααα到基123,,εεε的过渡矩阵是 121314⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 3、已知R n 的两个子空间{}111(,...,) 0n n W x x x x =++=和{}2111(,...,) 0,n n W x x x x -=++=则W 1∩W 2的维数等于 n-2 ．.4、设3[]P x 上的线性变换A 为：A (())(2)f x f x =+。
则A 在基21,,x x 下的矩阵是 124014001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．5、已知方阵1111a b b a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭有特征值0,0,3，则,a b 的值分别为1,1 。
6、已知三阶矩阵A 有特征值1,2,3，则行列式2E A += 60 ．7、设线性变换A 在基123,,ααα下的矩阵为100020003⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，线性变换B 在基123,,ααα下的矩阵为100011001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么AB 在基3213,2,ααα下的矩阵为300320001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
8、3R 中向量112-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭在基0111,0,1111⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标是 110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭。
复旦大学数学学院高等代数历届期中考试大题精选之三（18级--20级）
复旦⼤学数学学院⾼等代数历届期中考试⼤题精选之三（18级--20级）本⽂收集了复旦⼤学数学学院 18 级到 20 级⾼等代数期中考试的精选⼤题, 其中⼀部分⼤题由习题课⽼师或任课⽼师⾃编⽽来, ⼀部分⼤题从兄弟院校的⾼等代数教材或学习指导书中的习题或考研试题改编⽽来, 也有⼀部分⼤题已经融⼊到复旦⼤学⾼等代数学习指导书 (第三版) 中了. 由于篇幅所限, 这⾥我们不公布这些精选⼤题的解答, 但会根据情况附加⼀些注解, 以供读者参考.本科 18 级⾼代 I 期中考试⼆、(12分) 计算下列 n 阶⾏列式的值:|A |=1−a n 1b n11−a 1b 11−a n 1b n21−a 1b 2⋯1−a n 1b nn1−a 1b n1−a n 2b n11−a 2b 11−a n 2b n21−a 2b 2⋯1−a n 2b nn1−a 2b n⋮⋮⋮1−a n n b n11−a n b 11−a n n b n21−a n b 2⋯1−a n n b nn1−a n b n.五、(12分) 设函数 f (x )=m∑i =−k a ix i , 其中 k ,m 都是正整数. 设 n 阶⾮异阵 A 的每⾏元素之和都等于 c , 证明: f (A )=m∑i =−k a iA i 的每⾏元素之和都等于 f (c ).六、(10分) 设多项式 f (x )=a 0+a 1x +⋯+a n −1x n −1, ωk =cos 2k πn +i sin 2k πn (0≤k ≤n −1) 为全体 n 次单位根, 循环矩阵A =a 0a 1⋯a n −2a n −1a n −1a 0⋯a n −3a n −2⋮⋮⋮⋮a 2a 3⋯a 0a 1a 1a 2⋯a n −1a 0.证明: 恰有 n −r (A ) 个 n 次单位根是 f (x ) 的根 (不计重根数).七、(10分) 设 A ,B 为 n (n ≥3) 阶⽅阵, 满⾜ AB =0. 证明: |AB ∗+BA ∗|=0.注 第⼆⼤题⽤ Vander Monde ⾏列式. 第五⼤题是⽩⽪书例 2.22 的推⼴. 第六⼤题参考博⽂《》. 第七⼤题转化成矩阵秩的问题, 并⽤秩的不等式进⾏证明.本科 18 级⾼代 II 期中考试四、(10分) 设 n 阶⽅阵 A 的所有元素都是整数, p ,q 是互素的整数且 q >1, 证明: 线性⽅程组 Ax =pq x 只有零解.五、(10分) 设 A 1,⋯,A n 为两两乘法可交换的 2019 阶实⽅阵, f (x 1,⋯,x n ) 是 n 元实系数多项式. 令 B =f (A 1,⋯,A n ), 证明: 存在 B 的某个特征值 λ0, 使得⽅程 f (x 1,⋯,x n )−λ0=0 有⼀组实数解.六、(10分) 设 A 为 n 阶复⽅阵, 证明: A 不可对⾓化当且仅当存在⼀元多项式 f (x ), 使得 f (A ) ⾮零, I n +f (A ) 可逆, 并且 (I n +f (A ))−1 与 I n −f (A )相似.七、(10分) 设 A 是 n 阶复⽅阵, 证明: 存在复数 c 1,⋯,c n −1, 使得A −c 1e A −c 2e 2A −⋯−c n −1e (n −1)A是可对⾓化矩阵.||()注 第四⼤题是⽩⽪书例 6.4 的推⼴. 第五⼤题需要⽤到如下结论"两个乘法可交换的奇数阶实矩阵必有公共的实特征向量", 其证明可参考教学论⽂ 12 的例 3. 第六⼤题利⽤ Jordan-Chevalley 分解定理来做. 第七⼤题利⽤ Jordan 标准型的应⽤或 Jordan-Chevalley 分解定理来做.本科 19 级⾼代 I 期中考试五、(10分) 设 n 阶⾮零复⽅阵 A 满⾜ A ∗=¯A ′, 求证: A 是⾮异阵.六、(10分) 设 A 为数域 K 上的 n 阶幂零阵, B 为 n 阶⽅阵, 满⾜ AB =BA 且 r (AB )=r (B ). 求证: B =0.七、(10分) 设 A 为 m 阶实反对称阵, C 为 n 阶实反对称阵, B 为 m ×n 阶实矩阵. 证明: A +I m 和 C −I n −B ′(A +I m )−1B 都是⾮异阵.注 第五⼤题是⽩⽪书例 2.21 的复版本. 第六⼤题利⽤⽩⽪书的例 3.75 来证明. 第七⼤题的第 1 ⼩问是⽩⽪书的例 3.78 (利⽤线性⽅程组的求解理论), 第 2 ⼩问可通过降阶公式 (构造⼀个⼤矩阵) 转化为第 1 ⼩问.本科 19 级⾼代 II 期中考试四、(14分) 设 n (n >2) 阶复⽅阵 A 的秩等于 2, 试求 A 的 Jordan 标准型.五、(10分) 设 n 阶⽅阵 A 的所有元素都是整数, 其中阶数 n 为偶数, 并且对任意的 1≤r ≤n , A 的所有 r 主⼦式之和都是奇数. 证明: 不存在整数 k , 使得线性⽅程组 Ax =kx 有⾮零解.六、(10分) 设 A =(a ij ) 是 n 阶实⽅阵, 若对任意的 1≤i ≤n , 都有 |a ii |>∑j ≠i |aij |, 则称 A 是严格对⾓占优阵. 设 A ,B 均为主对⾓元都⼤于零的n 阶严格对⾓占优阵, 且满⾜ A 2(A +B )=(A +B )B 2, 证明: A =B .七、(10分) 设 a ,b 都是实数, 其中 b ≠0, 证明: 对任意的正整数 m , 存在 4 阶实⽅阵 A , 使得A m =a b 20−b a 2000a b 0−ba.注 第四⼤题先将 A 的 Jordan 标准型 J 写出, 通过计算 J 的秩可得到 5 个分类结果. 第五⼤题利⽤⽩⽪书的例 6.15, 再由反证法即得结论. 第六⼤题先利⽤⼽⽒圆盘定理得到 A ,B 特征值的实部都⼤于零, 再利⽤两次⽩⽪书的例 6.63 即得结论. 第七⼤题利⽤⼴义 Jordan 块 (⽩⽪书第366 页第 2 ⾏和第 3 ⾏的矩阵) 作为测试矩阵进⾏讨论.本科 20 级⾼代 I 期中考试四、记数域 K 上所有 n 阶⽅阵全体构成的线性空间为 M n (K). 对 A ∈M n (K), 考虑 C (A )={B ∈M n (K)∣AB =BA }.(1) 若 n =3, A =01000111, 求 C (A ) 的⼀组基.(2) 若 n =2, 试确定 dim C (A ) 的所有可能值.五、设 n 阶复⽅阵 A 不可逆, 证明: ⾄多只有两个复数 λ, 使得 λI n +A ∗ 不可逆.六、设 A ,B 为 n 阶⽅阵, 证明: |r (AB )−r (BA )|≤n2.七、设 A ,B 为 n 阶实⽅阵, 其中 A 是主对⾓元全⼤于零的上三⾓阵, 并且满⾜ AB +BA ′=2AA ′. 证明:(1) B 必为对称阵;(2) A 为对⾓阵当且仅当 B 2=AA ′;(3) |B |>0.本科 20 级⾼代 II 期中考试四、设 n 阶⽅阵 A 的极⼩多项式为 λ3−λ2, 试求 A 可能的互不相似的 Jordan 标准型的总个数.五、设 V 为线性空间, φ1,⋯,φk 是 V 上的线性变换, 满⾜: φ2i =φi (1≤i ≤k ), φi φj =0(1≤i ≠j ≤k ), 证明:()()V =k⨁i =1Im φi ⨁k⋂j =1Ker φj .六、设 n 阶复矩阵 A 的全体特征值都是属于开区间 (−1,1) 的实数, 证明: 矩阵⽅程 sin X =A 必有解.七、设 A ,B 为 n (n ≥2) 阶⽅阵, 满⾜: r (A )=n −1, AB =BA =0. 证明: A +B 为⾮异阵的充要条件是 A 的特征值 0 的代数重数等于 1 且 B 的秩等于 1.()Processing math: 100%。
高数上期期中考试和答案
高数上期期中考试和答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 极限的定义是：函数f(x)当x趋近于a时的极限为L，如果对于任意的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε，则称f(x)在x=a处的极限为L。
根据极限的定义，下列函数中，极限不存在的是（）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = 1/xD. f(x) = 1/x^2答案：C2. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x=1处的导数为（）。
A. 0B. 3C. -6D. 6答案：B3. 曲线y=x^2+2x-3在点(1,0)处的切线斜率为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 函数f(x) = e^x的不定积分为（）。
A. e^x + CB. e^x - CC. 1/e^x + CD. 1/e^x - C答案：A5. 以下哪个函数是偶函数（）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：D6. 以下哪个函数是周期函数（）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = ln(x)答案：C二、填空题（每题5分，共20分）7. 函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分为______。
答案：1/38. 函数f(x) = 2x在区间[1,2]上的定积分为______。
答案：29. 函数f(x) = x^3的不定积分为______。
答案：1/4 * x^4 + C10. 函数f(x) = 1/x的不定积分为______。
答案：ln|x| + C三、计算题（每题10分，共40分）11. 计算极限lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。
答案：-112. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
高等代数2期中试卷
一、填空题（本大题30分 每小题5分）1. 二次型123121323(,,)226f x x x x x x x x x =+-，则该二次型的符号差为____ _.2. 当λ满足 时，222123123122331(,,)()222f x x x x x x x x x x x x λ=+++--是正定二次型.3. 已知矩阵A 相似于矩阵1234B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则矩阵A 的行列式A =____________.4. 若线性变换σ关于基{}21,αα的矩阵为a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭，那么线性变换σ关于基{}12,3αα的矩阵为 .5. 设1234{,,,}αααα是4维线性空间V 的一组基，则由该基到基2341{,,,}αααα 的过渡矩阵为___________________.6. 设V 与W 都是P 上的两个有限维线性空间，则V 与W 同构的一个充要条件是 .二、叙述题（本大题20分 每小题5分）7.叙述W 是数域P 上的线性空间V 的子空间的定义.8.设V 与W 都是数域P 上的线性空间，叙述V 与W 同构的定义.9.设A 与B 都是数域P 上的n 阶矩阵，叙述A 与B 相似的定义.10.叙述线性变换的定义，并在3P 中，举出一个线性变换的例子.三.解答题（本大题20分）11.已知数域P 上三维线性空间V 的线性变换σ关于基{}123,,ααα的矩阵460350361A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，①求线性变换σ的特征值与特征向量；②令1232ξααα=+-，求()σξ关于基123{,,}ααα的坐标.四.证明题（本题共30分 第12题10分 第13题20分）12.设V 是数域P 上的线性空间，1W 与2W 是V 的两个子空间，证明：12W W +也是V 的子空间.13.设σ是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，并且满足条件2σσ=.证明： ①{}1(0)()|V σξσξξ-=-∈； ②1(0)()V V σσ-=⊕；。
(完整word版)高等代数期中考试题
高等代数期中考试题答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、全体正实数的集合+R ，对加法和数量乘法ab b a =⊕， k a a k = 构成实数域R 上的向量空间，则该空间的零元为______，+∈R a 的负元为______2、设321,,ααα是线性空间V 的一个线性无关的向量组，则L (321,,ααα)的维数为______．3、若矩阵1234(,,,)A αααα=经过行初等变换化为1003002401050000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭, 那么向量组1234,,,αααα的一个极大无关组是_____________ 其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为 ______4、若把同构的子空间看成一类,则n 维向量空间的子空间共分成___类5、设A 是数域F 上的n s ⨯矩阵且秩r A =)(，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21. 若方程组0=AX 有非零解，则它的基础解系所含解的个数为_______个.二、单选题（每小题3分，共15分）1、按照数的加法和乘法,下列集合( )构成实数域R 上的向量空间.A ．整数集；B ．有理数集；C ．正实数集；D ．实数集2、下列子集（ ）作成向量空间n R 的子空间。
A ．}0|),,,{(2121=a a a a a nB ．},,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈C ．}0|),,,{(121∑==n i i n a a a aD ．}1|),,,{(121∑==ni i n a a a a3、下列向量组（ ）是线性无关的。
A ．}0{B ．},,0{βαC ．1221},,,,{αααααk r =其中D ．},,,{21r ααα ，其中任一向量都不能表成其余向量的线性组合。
4、关于向量组极大无关组的结论, 下面有( )个正确．(Ⅰ) 任何向量组都有极大无关组； (Ⅱ) 任何有限个不全为零的向量组都有极大无关组； (Ⅲ) 若极大无关组存在则唯一； (Ⅳ) 极大无关组存在不唯一, 但彼此等价．(A)1； (B)2； (C)3； (D)4．5、3F 的两个子空间{}02),,(3213211=+-=x x x x x x V ，{}0),,(313212=+=x x x x x V ，则子空间21V V 的维数为（ ）。
高等代数Ⅰ期中试卷07-08(1-1)答案
i =1 ∞
法 2(加边法)
1 0 0
a a +
1 a −1 x1 −1 0
1 xi
a x1 0
a
∞ ⎛ 1 0 = ⎜1 + a ∑ i =1 xi ⎝
=
0 0
⎞ ⎟ x1 x2 ⎠
xn
xn
四． （10 分）(1)设 A = ⎜
⎛ 1 −2 ⎞ ∗ −1 ⎟ , 求 A 的伴随矩阵 A 和逆矩阵 A . ⎝3 4 ⎠
0 x 0 0
x 0 = x4 , 选 A 0 0
（D） −4 .
x 1 2 2. − 1 x 3 的 x 2 的系数是（ 2 x −1
）.
（A）1;
（B） −1 ;
（C）2;
答案: 含 x 2 的项有 2 项: a11a22 a33 + ( −1) 3.下面说法正确的是（ ）.
τ (132 )
a11a23 a32 = − x 2 − 3 x 2 = −4 x 2 , x 2 的系数是-4, 选 D
2
5 设 A，B，A+B， A （A） A
−1
−1
−1 + B −1 均为 n 阶可逆矩阵，则 （A −1 + B −1） = （ ）. −1 （C） ; （ A + B） −1 （D） A（A + B） B.
+ B −1 ;
（B）A+B;
答案: 一般和的逆不等于逆的和, 答案 A,B 直接排除, 现在验证答案 D 的正确性: 选 D 法 1: A + B
（A）AC=AB ⇒ C=B; （C） ( A − B ) = A2 − 2 AB + B 2 ;
高等代数期中考试试卷(2011.5)
19. 设 A 是一个 n 级矩阵, 若已知 A 的 n 个特征值是 λ1 , λ2 , · · · , λn , 则 A 的行列式 与迹分别是 .
20. 在线性空间 P [x]n 中, 线性变换 D (f (x)) = f (x) , 则 D 在基 1, x, x2 , · · · , xn−1 下 的矩阵为 .
【第3页，共4页】
三、证明题: 第 24 小题 10 分, 25 小题 15 分, 共 25 分. 24. 设 A 是 n 级矩阵, 证明: (1) W1 = {A ∈ P n×n |A = A } 与 W2 = {A ∈ P n×n |A = −A } 都是 P n×n 的子空间; (2)P n×n = W1 ⊕ W2 .
Hale Waihona Puke 25. 设 V 为数域 P 上的 n 维线性空间, A 是 V 的一个线性变换, 且有 ξ ∈ V 使 A n−1 ξ = 0, A n ξ = 0. (1) 证明: ξ, A ξ, A 2 ξ, · · · , A n−1 ξ 为 V 的一组基; (2) 求出 A 在上述基下的矩阵以及 A 的特征多项式; (3) 证明: 当 n > 1 时, A 不能对角化.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .密. . . . . . . . . . . . . . . . . .封. . . . . . . . . . . . . . . . . .线. . . . . . . . . . . . . . . . . .
得分
一、 填空题: 1-20 小题, 每小题 2.5 分, 共 50 分. 1. 映射 f : A → B 称为满射, 是指 f (A) = . . .
A 分解为一个列向量与一个行向量的乘积.
2019级高等代数(下)期中模拟卷(2)(1) 答案 (1)
1 1
3
0 1
0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
2 1 0 0
，
kk21 k
2k4 k4 3 0
取 k4 = 1得基础解系为 (2,1,0,1) ，相应的 2
L(1, 2 ) L(1, 2 ) L( 2 ) 是 1 维的， 2 为一组基。
又 L(1, 2 ) L(1, 2 ) L(1, 2 , 1, 2 )
因为 A 的秩=2,所以1,2 的秩=2,从而1,2 线性无关.
以1，2，1，2 为列向量并进行初等行变换可得
(2)将 1 2 3t t3,2 1 t 2t2 3t3 延拓成线性空间 P[t]4 的一组
基. 为此，取3 t2,4 t3 P[t]4 .
2 1 0 0
由于
(1
,2
,3
,4
)
(1,
t,
t
2
,
t
3
Hale Waihona Puke )A,其中
A
3 0
1 2
0 1
0 0
,
1 3 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
2 10
1 0 1
0 1 0
3 10
0 0 0
1 0 0
2 1 0
1 00
L(1, 2 ) L(1, 2 ) L(1, 2 , 1 ) 是 3 维的，1, 2 , 1 为一组基。
共3页 第1页
1. 设 A 为 n n 矩阵，若对任意 n 1矩阵 X 均有 X T AX 0 ，则 A 为( C ).
A 零矩阵 B 对称矩阵 C 反对称矩阵 D 负定矩阵
取
X
ei
(0,..., 0,1, 0,..., 0)T i
高等代数09-10(2)_期中试题答案
北 京 交 通 大 学2009-2010学年第二学期高等代数II 期中考试试卷答案一． 填空题(每题3分,共30分)1. 复数域C 看做实数域R 上的线性空间,其维数为 2 , 一组基可取为 1,i 。
2. 4R 中基 10001100,,,11101111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭到基10000100,,,00100001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵是 1111111⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭. 3. 设线性变换A 在基ε1, ε2, ⋯, εn 下的矩阵是A , 向量α在 此基下的坐标是(x 1, x 2, ⋯, x n )T , 则A (α)在此基下的坐标是 A (x 1, x 2, ⋯, x n )T .4. 设线性空间V 的线性变换A 在基ε1, ε2, ε3下的矩阵是123456789⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则A 关于基3ε2, 2ε3, ε1的矩阵为 454371292661⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.5. 设111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭是12533102a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭的特征向量，则a = 2 ．6. 设矩阵11100000A x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有3个线性无关的特征向量，则 x = 07.设D 是线性空间4[]P x 中定义的求微商的变换，则D 的值 域为 3[]P x ．D 的核的维数为 1 ． 8. 以下和12V V +是直和的有 ( A )(A) n n R ⨯的两个子空间12,V V ，其中1V 是全体n 阶实对称矩阵，2V 是全体n 阶实反对称矩阵；(B) 4[]P x 的两个子空间12,V V ，其中1V 是D 的值域， 2V 是D 的核，D 是4[]P x 上的微分变换，(C) n n R ⨯的两个子空间12,V V ，其中1V 是全体迹为0的n 阶实方阵，2V 是全体n 阶实上三角阵；(D) n R 的两个子空间 {}111(,...,)| 0n n n V x x R x x =∈++=，{}2111(,...,)| 0n n n V x x R x x -=∈++=。
高等代数05期中试题(含答案)
《高等代数》05-06年度第一学期期中试题一、单项选择题1．对任意n 阶方阵A 、B 总有[ ] A. AB = BA B. | AB | = | BA | C. (AB)T =A T B T D. (AB)2=A 2B 2 2. 在下列矩阵中，可逆的是[ ]A. 000010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B. 110220001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C. 110011121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D. 100111101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. 设A 是3阶方阵，且|A| = 2-，则| A -1 |等于[ ]. A. 2-B. 12-C.12D. 24. 设A 是m n ⨯矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是[ ]. A. A 的行向量线性无关 B. A 的行向量线性相关 C. A 的列向量线性无关 D. A 的列向量线性相关 5．设有m 维向量组12():,,...,n I ααα，则[ ]. A. 当m < n 时，()I 一定线性相关 B. 当m > n 时，()I 一定线性相关 C. 当m < n 时，()I 一定线性无关D. 当m > n 时，()I 一定线性无关6．已知1β、2β是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，1α、2α是其导出组0Ax =的一个基础解系，1k 、2k 为任意常数，则方程组Ax b =的通解可表成[ ]. A. 1211212()2k k ββαββ-+++ B. 1211212()2k k ββαββ++++C. 1211222k k ββαα-++D. 1211222k k ββαα+++7. 向量组12():,,...,n I ααα,（n>1） 线性无关等价于[ ]. A. 存在一组不全为0的数n k k k ,,,21 ，使其线性组合∑=nk ii k 1α不等于0B. 其中任意两个向量线性无关C. 任何一个向量均不能用其它向量线性表出D. 存在一个向量不能用其它向量线性表出8. 设矩阵111121231A λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为2，则λ=[ ].A. 2B. 1C. 0D. 1-9. 设A 是n 阶可逆矩阵，()adj A 是A 的伴随矩阵（adjoint of A ），则[ ]. A. 1()n adj A A-=B. ()adj A A =C. ()nadj A A =D. 1()adj A A -=10. 设A ，B 为n 阶方阵，满足AB = 0，则必有[ ]. A. A = 0 或 B = 0 B. A + B = 0 C. | A | = 0 或 | B | = 0 D. | A | + | B | = 0二、填空题11．设m n ⨯矩阵A 的m 个行向量线性无关，则矩阵TA 的秩为 。
高代期中考试题库及答案
高代期中考试题库及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是：A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的答案：B2. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的行列式不为0B. 系数矩阵的行列式为0C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩D. 增广矩阵的秩不等于系数矩阵的秩答案：A3. 向量组线性无关的定义是：A. 向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表示B. 向量组中任意一个向量都可以由其他向量线性表示C. 向量组中没有任何一个向量可以由其他向量线性表示D. 向量组中所有向量都可以由其他向量线性表示答案：C4. 矩阵的特征值是：A. 矩阵的对角线元素B. 矩阵的非对角线元素C. 矩阵的特征多项式的根D. 矩阵的迹答案：C5. 向量空间的维数定义为：A. 向量空间中向量的数量B. 向量空间中线性无关向量的最大数量C. 向量空间中基的数量D. 向量空间中任何一组基的元素数量答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵A的秩为r，则矩阵A的零空间的维数为_________。
答案：n-r2. 两个向量α和β线性相关，则存在不全为零的实数k和l，使得kα+lβ=_________。
答案：03. 矩阵A和B相似，则它们具有相同的_________。
答案：特征值4. 线性变换T: R^n → R^m的矩阵表示依赖于_________。
答案：基的选择5. 向量组{v1, v2, ..., vn}的张成空间记作_________。
答案：Span{v1, v2, ..., vn}三、计算题（每题10分，共40分）1. 计算矩阵A的特征值和特征向量，其中A为：\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]答案：特征值为3和1，对应的特征向量分别为\[ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]和\[ \begin{pmatrix} -1 \\ 1\end{pmatrix} \]。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高等代数期中考试试题
一．填空题（每小题4分，共40分）。
1. 设是上的线性变换，,
则下的矩阵为
2. 设的线性变换，其中R是实数域，
，．
3．已知中线性变换在基
矩阵为则在基下的矩阵为
4. 已知矩阵，则A的特征值为 -1 , 5
对应的特征向量分别为，，；，，.
5. 已知矩阵可对角化，则k= .
6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式= .
7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为
， .
8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为
—————————
9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。
10．设矩阵A的特征多项式为，则A可逆，的特征多项式为。
二．（10分）设V是数域P上的4维线性空间，是V上的线性变换，在基
下的矩阵，试求含的最小不变子空间.三．（10分）设是n维线性空间V上的线性变换，证明：
维维n
即,
的秩+的零度=n
四.（15分）求矩阵的Jordan标准形及A的最小多项式。
五．（15分）设3维线性空间V上线性变换在基下的矩阵
，记L（V）为V上线性变换全体，. 1）证明：是L(V)的子空间；
2）求的一组基和维数.
六．(10分) 设A，B为n级实矩阵，证明：若A，B在复数域上相似，则A，B 在实数域上也相似。
参考答案
一．填空题（每小题4分，共40分）。
1. 设是上的线性变换，,
则下的矩阵为
2. 设的线性变换，其中R是实数域，
，．
3．已知中线性变换在基
矩阵为则在基下的矩阵为
4. 已知矩阵，则A的特征值为 -1 , 5
对应的特征向量分别为，，不同时为零且；，，.
5. 已知矩阵可对角化，则k= 1 .
6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式= 100 .
7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为
， .
8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为
—————————
9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。
10．设矩阵A的特征多项式为，则A可逆，的特征多项式为。
二．（10分）设V是数域P上的4维线性空间，是V上的线性变换，在基下的矩阵，试求含的最小不变子空间.
解：由题意可知，
设含的最小不变子空间.为W，则，因为W是-不变子空间，则，由可知，即，所以，由
，可知，即，而所以。
，再由的最小性可知，因此，证毕。
三．（10分）设是n维线性空间V上的线性变换，证明：
维维n
即,
的秩+的零度=n
证明：见书中定理。
四.（15分）求矩阵的Jordan标准形及A的最小多项式。
解
所以A的不变因子为，。
A的初等因子为，。
所以矩阵A的Jordan
标准形为：。
A的最小多项式是A的最后一个不变因子，所以是A的最小多项式。
五．（15分）设3维线性空间V上线性变换在基下的矩阵
，记L（V）为V上线性变换全体，. 1）证明：是L(V)的子空间；
2）求的一组基和维数.
证明：1）0，，即，，，
，，所以为的子空间。
3）设在下的矩阵为B，则AB=BA。
=所以
=即，，，，，，即======0，即
=，所以的一组基为，，，其中，
，的维数是3。
六．(10分) 设A，B为n级实矩阵，证明：若A，B在复数域上相似，则A，B 在实数域上也相似。
证明：由于A，B在复数域上相似，所以它们有相同的初等因子，因此它们有相同的不变因子，又因为A,B是实系数矩阵，它的不变因子为实系数多项式，所以在实数域上，不变因子相同，两矩阵相似。