高等桥梁结构理论课程讲义2014-05
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(5-34)
(5-35)
4/14/2015
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称为广义扇形坐标,则式(5-34)变为
u( z, s) u0 ( z) ' ( z) (s)
根据基本假定 c),可以写出闭口薄壁截面的约束扭转轴向位移,即
(5-36)
u( z, s) u0 ( z) ' ( z) (s)
式中, ' ( z ) ——表示截面的翘曲程度。 将式(5-37)对 z 微分一次,则
M E ' ' ' ( z ) S
(5-60)
从上式中可以看出,薄壁杆件在扭矩荷载作用下的剪应力由两项组成,即自由扭转剪应力和约束扭转 剪应力。约束扭转剪应力也可以用扭转双力矩来表示,即
( z, s)
B' ( z ) S J M ( z ) S J
(5-37)
z u0 ' ( z,0) ' ' ( z) (s)
(5-38)
5.2.1 约束扭转正应力
闭口薄壁截面约束扭转正应力为
E[u0 ' ( z,0) ' ' ( z) (s)]
(5-39)
由于杆件截面仅有扭转力矩 M ,故截面上的轴力 N 、绕两个轴的弯矩 M x , M y 均为零,即翘曲应力 (或约束扭转正应力)是自相平衡的,根据力的平衡,可列出如下方程:
对于闭口截面的扭转中心而言,广义扇性惯性矩应该为零,即 (5-41)
Jx ( s) xds 0 Jy ( s) yds 0
S ( s )ds 0
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(5-42)
当选择适当的积分起点(扇性坐标零点,即 S 坐标的起点)时,使广义扇性静矩也等于零,则 (5-43)
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s
0
ds 0 ( z ) z
(5-53)
其中, 0 ( z ) 是任意积分函数,其物理意义表示曲线坐标 s 0 点的剪应力。
8
将式(5-47)代入到(5-53),则
( z, s) E ' ' ' ( z) (s)ds 0 ( z)
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与开口截面薄壁杆件类似,闭口截面薄壁杆件的广义内力——双力矩定义如下:
B( z ) ( z , s ) ( s ) dF
将式(5-47)代入上式,即
(5-48)
B( z ) E ' ' ( z ) ( s) 2 dF EJ ' ' ( z )
第五讲 薄壁箱梁约束扭转
1
5.2 闭口截面的约束扭转
乌曼斯基闭口薄壁杆件约束扭转理论基本假定: 横截面周边不变形; 横截面上的法向应力和剪切应力沿壁厚是均匀分布的;
横截面上轴向位移沿本截面的分布规律与自由扭转时是相同的。
图5-10 薄壁杆件约束扭转
2015-4-14
2
令轴向位移为 u ( s, z ) , z 为纵向坐标, s 表示沿横截面周边。当闭口截面发生自由扭转时,由式(4-9) 可知,薄壁截面轴向位移为:
u ( z, s) u0 ( z )
s M K s ds ' ( z ) 0 (s)ds G 0
(5-31)
对于闭口薄壁杆件,由截面 s 0 处的位移连续条件可得,即
u ( z, s) u 0 ( z )
化简,得
M K ds ' ( z ) ( s)ds u 0 ( z ) G
(5-61)
由公式(5-28)可知,上式还可以写成如下表达式
( z, s)
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(5-62)
10
5.2.3 ( z ) 函数的确定
对于闭口截面而言 ,为确定约束扭转 正应力和 剪应力, 必须先确定函数 ( z ) 。故必须先列出薄壁杆 件约束扭转微分方程 式:
u v s z G
将式(5-45)、(5-46)代入式(5-39)中,有
(5-46)
( z, s) E ' ' ( z) (s)
(5-47)
从上式中可以看出,截面上约束扭转正应力的分布是和广义扇性坐标成正比的。对应扇性零点的物理意义 是:该点上广义扇性坐标为零,或者说正应力为零,因而在该点上的积分起始值也是零。
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N 0, ds 0 M 0, yds 0 M 0, xds 0
x y
(5-40)
将(5-39)代入到(5-40)中,则有
u ' ( z,0) ds "( z ) ( s)ds 0 u ' ( z,0) yds "( z ) ( s) yds 0 u ' ( z,0) xds "( z ) ( s) xds 0
M ds E ' ' ' ( z ) S 0 ( z ) ds 0 ( z ) ds E ' ' ' ( z ) S ds
故ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(5-57)
0 ( z )
将式(5-58)带入到(5-56)中,有
M E ' ' ' ( z ) S ds
将(5-69)对 z 微分一次,并将各项除以
(5-69)
,且将 ( s ) ds 代入,即
dM K ds 2 E ' ' ' ' ( z ) S G ' ' ( z ) 0 ds ds dz
(5-70)
ds dM 2 S 令 mt ,Jd (自由扭转惯性矩), J (扇性惯性矩),则式(5-70)可记为 ds ds dz
0
,则
s s ds u ( z , s ) u 0 ( z ) ' ( z ) ( s )ds 0 ds 0 J s ds s u 0 ( z ) ' ( z ) ( s )ds d 0 0
u0 ( z)
故
M ds E ' ' ' ( z ) ds S ' ( z) (s)ds u 0 ( z) G G
(5-68)
M ds E ' ' ' ( z ) ds S ' ( z ) (s)ds 0 G G ds
将式(5-74)对 s 微分一次,则
(5-73)
u ( z, s) J 1 ' ( z ) d ( s ) s
另外,考虑到式(5-64)可知
(5-74)
v ( s ) ' ( z ) z
由式(5-63)可得,
G s z
0
s
(5-54)
令
S (s)ds
0
s
(5-55)
则
( z, s) E ' ' ' ( z)S 0 ( z)
(5-56)
图 5-12 薄壁箱梁在扭转力矩 M(注:图中 Mk 应修改为 M)
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初始剪力流 0 ( z ) ,如图 5-12,由薄壁箱梁内、外力平衡条件可得
(5-32)
G 2 MK '( z) ds
(5-33)
将(5-33)代入到(5-31)中,则有
令
s s ds u ( z, s) u0 ( z ) ' ( z ) ( s)ds 0 0 ds s s ds (s) (s)ds 0 ds 0
2 式中, J 为闭口薄壁截面广义主扇性惯性矩,即 J ( s ) dF 。
(5-49)
' ' ( z)
将式(5-50)代入到(5-47)中,有
B( z ) EJ
(5-50)
( z, s)
B( z ) ( s) J
(5-51)
上式即为闭口薄壁杆件截面约束扭转正应力与双力矩的关系。
5
将式(5-42)、(5-43)代入到式(5-41)中,有
u ' ( z,0) ds 0 u ' ( z,0) yds 0 u ' ( z,0) xds 0
当截面对称,且扇性零点为对称轴与周边的交点时,有 (5-44)
u ' ( z,0) 0
则
(5-45)
u ( z,0) const
J 1 G ' ( z ) d ( s ) ' ( z )
又知 M ds ,即
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u
v
(5-75)
13
J 1 M G ' ( z ) d ( s) ' ( z )ds J 1 G ' ( z ) d ds ( s)ds ' ( z ) ds G ' ( z) J d J ' ( z) J
(5-76)
对式(5-76)化简,则
J M ' ( z ) ' ( z ) 1 d GJ J
令
(5-77)
1
则式(5-77)记为
Jd J
(5-78)
M ' ( z) ' ( z) GJ
2 2 式中: J ds dF 为截面的极惯性矩;
对式( 5-66)积分,有
(5-66)
u ( z, s)
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s M s ds E ' ' ' ( z ) s ds S ' ( z ) 0 0 (s)ds u0 ( z) G 0 G
(5-67)
11
为了满足周期条件(或变形协调条件),沿周边积分一周后 u( z, s) u0 ( z) ,即
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7
5.2.2 约束扭转剪应力
在闭口薄壁截面杆件中面上任取一 M ( z, s) 点附近微元体,如图 5-11 所示。
图 5-11 闭口薄壁截面杆件中面上任取一点 M ( z, s)
由力的平衡条件可知,
0 z s
对上式积分,即
(5-52)
( z, s)
当截面周边不变形时,切线位移为
(5-63)
v ( s) ( z )
式中: ( z ) 为截面的扭转角。 将式( 5-64)微分一次,并代入式( 5-63),则
(5-64)
u (s) ' ( z ) s G
将式(5-60)代入上式,即
(5-65)
u M E ' ' ' ( z ) S ( s) ' ( z ) s G G
(5-79)
1
故
Jd 3 为截面约束扭转系数(或称为翘曲系数), 的大小反映了截面受约束的程度。对于圆形截面杆件, J d J 2r , J Jd M ' ( z) ,表明圆截面杆件仅发生自由扭转而没有约束扭转。对于箱型截面,当箱的高宽比较大时,J d 与 J 0 ,即 GJ J
EJ ' ' ' ' ( z) GJ d ' ' ( z) mt
由式(5-37)可知,
(5-71)
u( z, s) u0 ( z) ' ( z) (s)
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(5-72)
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由于 ( s )
s
0
( s )ds
ds
s
ds
(5-58)
S ds M M ( z, s) E ' ' ' ( z)S E ' ' ' ( z)S
式中, S S
(5-59)
S ds ,为闭口截面的换算静面矩。
故约束扭转剪应力为
( z, s)