自动控制理论数学基础1补充
自动控制理论期末考试知识点1-3(学习总结)
Automatic Control Theory自动控制理论第一章绪论自动：没有人直接参与控制：利用控制装置使某些控制量按指定规律变化自动控制：在没有人直接参与的情况下，通过控制器使被控对象或过程自动地按照预定的规律运行。
自动控制系统：由内部相互联系的部件按照一定规律组成，能够完成一定功能的有机整体。
智能控制（Intelligent Control）：模糊控制（Fuzzy Control）、遗传控制（Genetic Control）、神经控制（Neural Control）、表 1 控制理论的发展1、测量元件：传感器2、比较元件：对控制量与参考输入量进行比较，多和测量或放大元件结合在一起3、放大元件：使微弱信号具有足够的幅值和功率4、执行元件：接受偏差信号的控制产生动作，改变控制量5、校正元件：用于消除或减弱系统在控制过程中产生的震荡图 1 控制系统的组成被控量：即系统的输出，是一种被测量和被控制的量值或状态。
控制量：控制量也称操纵量，是一种由控制器改变的量值或状态，它将影响被控量的值。
通常，被控量是系统的输出量。
控制意味着对系统的被控量的值进行测量，并且使控制量作用于系统，以修正或限制测量值对期望值的偏离。
参考输入：是人为给定的，使系统具有预定性能或预定输出的激发信号，它代表输出的希望值。
故又称为给定输入、给定值、期望输出等。
反馈：将系统（或环节）的输出量经变换、处理送到系统（或环节）的输入端，称为反馈。
偏差：给定输入量与主反馈量之差。
误差：是指系统输出量的实际值与希望值之差。
系统希望值是理想化系统的输出，实际上很难达到，因而用与控制输入量有一定比例关系的信号来表示。
在单位反馈情况下，希望值就是系统的输入量，误差量就等于偏差量。
扰动：扰动是一种对系统的输出量产生不利影响的信号。
如果扰动产生在系统的内部，称为内部扰动；反之，当扰动产生在系统的外部时，则称之为外部扰动。
外部扰动也是系统的输入量。
图 2 控制系统的类别开环控制（信号单向流动）：控制装置与被控对象之间只有顺向作用而没有反向联系的控制。
自动控制理论知识点总结
精心整理1.自控系统的基本要求：稳定性、快速性、准确性（P13）稳定性是由系统结构和参数决定的，与外界因素无关，这是因为控制系统一般含有储能元件或者惯性元件，其储能元件的能量不能突变。
因此系统收到扰动或者输入量时，控制过程不会立即完成，有一定的延缓，这就使被控量恢复期望值或有输入量有一个时间过程，称为过渡过程。
快速性对过渡过程的形式和快慢提出要求，一般称为动态性能。
准确性过渡过程结束后，被控量达到的稳态值（即平衡状态）应与期望值一致。
但由于系统结构，外作用形式及摩擦，间隙等非线性因素的影响，被控量的稳态值与期望值之间会有误差的存在，称为稳态误差。
+2.选作典型外作用的函数应具备的条件：1）这种函数在现场或试验室中容易得到3.）也称为4.f（x）在5.λ2……λn一种类型的运动形态，齐次微分方程的通解则是它们的线性组合。
6.传递函数：线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
（P30）零初始条件是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，此时输出量及各阶导数为零；输入量是在t大于等于0时才作用于系统，因此在t=0-时，输入量及其各阶导数均为零。
1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，且所有系数均为实数；2)传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，它只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。
3)传递函数与微分方程有相通性。
4)传递函数的拉式反变换是脉冲响应7.在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成。
一般认为，阶跃输入是对系统最严峻的工作状态；动态过程：又称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。
可提供系统稳定性、响应速度及阻尼情况等信息；稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式，又称稳态响应，提供系统有关稳态误差的信息。
第2章 控制工程的数学基础1
第2章 控制工程的数学基础拉普拉斯变换（简称拉氏变换或者L 变换）是研究控制系统的一种基本数学工具。
它是一种积分变换，它可将时域中的微分方程变换成复域中的代数方程。
利用拉氏变换求解微分方程时，初始条件将包含在微分方程的拉氏变换式中，使求解大为简化。
在控制工程中，使用微分变换的目的不仅仅是为了求解微分方程，更主要的是用它去直接分析系统及其组成的特性，基于拉氏变换和富利叶变换引进传递函数、频率特性之后，就可以不必求解微分方程，而是利用它们直接去分析、设计系统。
2.1 拉氏变换2.1.1 拉氏变换的定义设函数)(t f 当0≥t 时有定义，而且积分⎰+∞-0)(dt e t f st在复参量s 的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为dt e t f s F st-+∞⎰=0)()( （2.1）则称（2.1）式为函数)(t f 的拉普拉斯变换式（简称拉氏变换式）。
记为)]([)(t f L s F =，)(s F 称为)(t f 的拉氏变换（或称为象函数）。
在拉氏变换定义式中，积分的下限是指-0。
因为当)(t f 在原点包含有脉冲函数或其导数时，)(t f 在0=t 是无定义的，为了确保脉冲函数或其导数包含在积分限内，定义式中积分下限约定为-0，而不再声明。
实际工程中遇到的函数)(t f 一般都能使广义积分式（2.1）收敛，所以在此不加讨论，可参见工程数学课程中的“拉氏变换的存在定理”。
2.1.2 几种常用函数的拉氏变换1. 单位脉冲函数单位脉冲函数又称δ函数，它是一个脉冲面积为1，在0=t 时出现无穷跳变的特殊函数，其数学表达式为()⎩⎨⎧=∞≠=000t t t δ 并且 ()⎰∞+∞-=1dt t δ （2.2）根据拉氏变换的定义（2.1）式，并利用性质：⎰+∞∞-=)0()()(f dt t t f δ，有()[]()⎰+∞-=dt e t t L st δδ()()100=====-+∞∞--+∞-⎰⎰-t stst st e dt e t dt e t δδ单位脉冲函数的拉氏变换为()[]1=t L δ （2.3）2. 单位阶跃函数单位阶跃函数的数学表达式为()()⎩⎨⎧≥<==01001t t t t f （2.4）根据拉氏变换的定义（2.1）式，有t()[]sse dt e t L stst1110=-==+∞-∞+-⎰这种函数的拉氏变换是()[]st L 11=（2.5） 3. 单位斜坡函数单位斜坡函数的数学表达式为()()⎩⎨⎧≥<=⋅=001t t t t t t f （2.6）根据拉氏变换的定义（2.1）式，有()[]⎰⎰∞+--∞+-+∞+-==0010dt e s e st dt te t f L stst st21s =这种函数的拉氏变换是()[]21st f L =（2.7） 4. 指数函数指数函数的数学表达式为()⎩⎨⎧≥<=-000t et t f tα （2.8）其中α为常数。
自动控制理论基础知识拉氏变换
∫ 一域内收敛，则由此积分所确定的函数 F (s) = ∞ f (t)e−stdt ，称为函数 f(t)的拉氏变换，记 0
作 F (s) = L[ f (t)] 。
拉氏变换是一种单值变换。f(t)和 F(s)之间具有一一对应关系。
=
b3 (s +1)3
+
b2 (s +1)2
+
b1 + s +1
c4 s
b3
=
1 [ s(s +1)3
(s
+1)3 ]s=−1
=
−1
b2
=
⎧d
⎨ ⎩
ds
[1 s(s +1)3
(s
+
1)3
⎫ ]⎬
⎭s=−1
=
[d ds
(
1 s
)]s
=−1
=
(−s−2 )
s = −1
=
−1
b1
=
1 (2s−3 ) 2!
lim f (t) = lim sF (s)
t→∞
s→0
上式表明：原函数 f(t)在 t →∞ 时的数值（稳态值），可以通过将象函数 F(s)乘以 s 后，再
求 s→ 0 的极限求得。
（6）延迟定理： L[ f (t −τ )] = e−sτ F (s)
（7）位移定理： L[e−α t f (t)] = F (s + α )
=
(l
1 {d l−1 −1)! ds
[M (s) D(s)
(s
自动控制理论知识点汇总
自动控制理论知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第二章 控制系统的数学模型复习指南与要点解析要求： 根据系统结构图应用结构图的等效变换和简化或者应用信号流图与梅森公式求传递函数（方法不同，但同一系统两者结果必须相同）一、控制系统3种模型，即时域模型----微分方程；※复域模型——传递函数；频域模型——频率特性。
其中重点为传递函数。
在传递函数中，需要理解传递函数定义（线性定常系统的传递函数是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比）和性质。
零初始条件下：如要求传递函数需拉氏变换，这句话必须的。
二、※※※结构图的等效变换和简化--- 实际上，也就是消去中间变量求取系统总传递函数的过程。
1．等效原则：变换前后变量关系保持等效，简化的前后要保持一致（P45）2．结构图基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。
如果结构图彼此交叉，看不出3种基本连接方式，就应用移出引出点或比较点先解套，再画简。
其中：※引出点前移在移动支路中乘以()G s 。
（注意：只须记住此，其他根据倒数关系导出即可）引出点后移在移动支路中乘以1/()G s 。
相加点前移在移动支路中乘以1/()G s 。
相加点后移在移动支路中乘以()G s 。
[注]：乘以或者除以()G s ，()G s 到底在系统中指什么，关键看引出点或者相加点在谁的前后移动。
在谁的前后移动，()G s 就是谁。
1. 考试范围：第二章~第六章+第八章 大纲中要求的重点内容注：第一章自动控制的一般概念不考，但其内容都为后续章节服务。
特别是作为自动化专业的学生应该知道：开环和闭环控制系统的原理和区别2. 题型安排与分数设置：1） 选择题 ---20分（共10小题，每小题2分） 2） 填空题 ---20分注：选择题、填空题重点考核对基础理论、基本概念以及常识性的小知识点的掌握程度---对应上课时老师反复强调的那些内容。
自动控制系统的数学基础
L[ f (t τ )] = e F(s)
sτ
证:
L[ f (t τ )] = ∫ f (t τ )e st dt
0
∞
= ∫ f (t τ )e st dt + ∫ f (t τ )e st dt
0
τ
∞
τ
由条件可知,当t <τ时,f(t-τ)=0,所以 上式左端的第一个积分为零.对于第二个积分, 令t-τ= u,则
h(t ) = ∫ f (t )dt
0 t
积分性质
1 L[ ∫ f (t )dt ] = F ( s ) s 0
t
设F(s) = L[f(t)] ,则有
则有
h′(t ) = f (t ), 且h(0) = 0
由微分性质,则有F(s)=
t
L[h′(t )] = sL[h(t )] h(0)
∴
1 1 L[ ∫ f (t )dt = L[ f (t )] = F ( s ) s s 0
∞ 0
st
∞ 0
se
st
sin kt 2 k
∞ 0
∞ 0
se st + ∫ sin ktd 2 k 0
∞
se st sin kt k2
st
s2 2 ∫ sin kte st dt k
∞
e k ( s sin kt k co2 s +k s +k 0
st ∞ 0
∫ f (t )de st
0
∞
= f (t )e
st ∞ 0
+ s ∫ f (t )e st dt = sF ( s ) f (0)
0
∞
这个性质表明一个函数求导后去求拉氏变换等 于这个函数的拉氏变换乘以参变量s,再减去 函数的初值.
自动控制理论基础(1)
比例环节： 成比例地反映控制系统的偏差信号 e(t)。偏差一旦产生，控制器立即产生 控制作用，以减少偏差。
不能消除稳态误差。 比例系数加大会引起系统的不稳定。
4.3 比例-积分-微分控制
积分环节： 用于消除静差，强弱取决于积分时
间常数。 越大积分作用越弱。积分作用太强会 使系统超调加大，甚至出现振荡。
4.2 开环与闭环控制
(4) 例—步进电机
方向 计 算 机 指令 脉冲 脉 冲 分 配 功 率 驱 动 步进 电机 工作台
4.2 开环与闭环控制
步进电机为执行元件。没有位置反馈。 每当向步进电机发出一个进给脉冲时，
步进电机的转子就在此脉冲所产生的同 步转矩下旋转一个固定的角度。
步进电机通过传动机构带动工作台移动。
4.3 比例-积分-微分控制
位置式PID控制算法是非递推形式的， 计算u(k)不仅需要本次及上次采样偏差 值e(k)和e(k-1)，还需要e(0)到e(k)的所有 值。当k很大时，要占用很多内存，计 算机运算量大。
4.3 比例-积分-微分控制
增量式PID控制算法
u(k ) K P e(k ) K I e( j ) K D e(k ) e(k 1) u0
u(k ) K P e(k ) K I e( j ) K D e(k ) e(k 1) u0
j 0
k
KP—比例系数；KI—积分系数， KI = KP * T / TI ； KD—微分系数， KD = KP * TD / T ；T—采样周期。 k — 采样序号，k=0，1，2，… u(k) —第k次采样时刻的计算机输出值； e(k)—第k次采样时刻输入的偏差值。
哈尔滨工程大学 自动控制原理 第0章 现代控制理论的数学基础
9．对称矩阵和斜对称矩阵（反号对称矩阵） ．对称矩阵和斜对称矩阵（反号对称矩阵）
1）对称矩阵：如果方阵 的元素相对于主对角线对称， ）对称矩阵：如果方阵A的元素相对于主对角线对称 的元素相对于主对角线对称， 则称A为对称矩阵（也可以这样说：如果方阵A等于它的 则称 为对称矩阵（也可以这样说：如果方阵 等于它的 为对称矩阵 转置矩阵， 为对称矩阵） 转置矩阵，即A=AT，则A为对称矩阵）。 为对称矩阵 2）斜对称矩阵：如果方阵 等于它的转置矩阵的负值， ）斜对称矩阵：如果方阵A等于它的转置矩阵的负值 等于它的转置矩阵的负值， 则方阵A称为斜对称矩阵 反号对称矩阵） 称为斜对称矩阵（ 即A= -AT，则方阵 称为斜对称矩阵（反号对称矩阵）.
a11 a12 a 21 a22 A= ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ a1m ⋯ a2 m ⋱ ⋮ ⋯ anm
1
矩阵。 称为 n × m 矩阵。
补充 现代控制理论的数学基础
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
4．对角线矩阵 ．
如果除方阵A的主对角线元素外， 如果除方阵 的主对角线元素外，其余的元素均 的主对角线元素外 为零，则称矩阵A为对角线矩阵 为对角线矩阵， 为零，则称矩阵 为对角线矩阵，写成
a11 a22 = diag[a , a ,⋯, a ] A= 11 22 nn ⋱ ann
a11 a AT = 12 ⋮ a1m a21 a22 ⋮ a2 m ⋯ an1 ⋯ an 2 ⋱ ⋮ ⋯ anm
矩阵转置的规律： 矩阵转置的规律： 1）(AT )T = A ） 3）(AB )T = BT AT ） 2）(A+B )T = AT+ BT ） 4）(kA )T = kAT ）
自动控制理论基础
杂控制能力的闭环系统。（例如 图14）手是被控对象，手的位置为被控量。
人作为闭环系统的方框图
人眼 大脑 手臂,手
输入
信号
输出信号
人眼
用自动装 置代替人 工操作
反馈的概念
反馈：输出量送回至输入端并与输入信号比较的 过程 负反馈：反馈的信号是与输入信号相减而使偏差 越来越小 反之，则称为正反馈。显然，负反馈控制是一个利 用偏差进行控制并最后消除偏差的过程，又称偏差 控制。同时，由于有反馈的存在，整个控制过程是 闭合的，故也称为闭环控制。
开环向闭环控制的转换例题
闭环控制的电加热炉方框图
闭环控制的特点
系统信号按照前向通路和反馈通路形成的 回路进行传递。 实现了按偏差控制，因而在元件精度不高 的条件下，能获得较高的控制精度。 能够抵消所有干扰对系统的影响。 系统结构复杂。 闭环系统存在稳定性的问题。
闭环控制系统典型方框图
举例
控制装置 大脑，眼睛，手臂 恒温控制 自动驾驶仪 导弹发射 控制对象 手
水 飞机 导弹
被控物理量
位置
温度 姿态，飞行参数 轨迹
2.自动控制理论 古典（经典）控制理论：单输出的线性定常系统 作为研究对象，数学模型采用以拉氏变换为基础 建立起来的传递函数，其主要方法包括时域响应 法、频率特性法和根轨迹法。 现代控制理论：多输出的非线性及时变（非定常） 系统作为研究对象，基于状态空间法、贝尔曼动 态规划法和卡尔曼滤波技术等方法实现最优控制、 最优滤波和自适应控制的理论和方法，克服了经 典控制理论的很多局限性，为控制技术的发展开 辟了更加宽广的道路。
2. 自动控制理论的发展
自动控制原理补充拉普拉斯变换
补 充
立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立
） 在拉氏变换的基础上的，因此，拉氏变换是经典控制理
论的数学基础。
一．拉普拉斯变换的定义和存在定理
1． 定义
设函数 f(t) 在 t 0 时有定义，而且积分
拉
普 拉
f (t)est dt 0
s j是复变量
斯
变 在s的某个域内收敛，则由此积分所确定的函数可写成
0
F (s) f (t)dt t0 F (s) f 1 0
s
s
s
s
• 当初始条件 f (t )dt t0 0 时，由上式有
拉 普 拉
L
f
(t)dt
F (s) s
斯
变 • 同理，可以证明在零初始条件下有
换
及 其 反
L
f
(t
)(
d
t
)
2
F (s) s2
变 换 （ 补
L
n
f
(t
斯
变
换 • 若具有零初始条件，
及 其
•
即
反
f (0) f (0) f (n1) (0) 0
变
换 （
•则
L f (t) s2 F (s)
…… L f (n) (t ) s n F (s)
补
充 • 上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的阶导数的拉
） 氏式等于其象函数乘以。这使函数的微分运算变得十分简单
（11）
充
）
• 3、微分定理
拉 普 拉
L f (t) sF (s) f (0) （12）
斯
变
换•
及
在零初始条件下
补充的数学知识自动控制原理
同样求得
s 0 .5 0 . 866
a3 1
2
s s s 1
1
1 s
1 s
查反变换表得
f t L
s 0 . 5 2
0 .5
s 0 . 5 2
0 .5 t
0 . 866
2
F s 1 e 0 .5 t cos
0 . 866 t 0 . 578 e
F s s s
1
而
a r 1 , , a n
的求法同前。
例 解:
F s
s3
s 1 s 2
a1 a2
2
求
a3
f t
s1 s 2 2 为重极点 , s 3 1
F s
s 2 2
s 2
或
t L f F s
定理3（复位移定理）
设 则
L f t F s
,a
为常数
Re s a
0
L f t e
at
F s a
定理4（实位移定理） 设 则 设 则
为任意正数
1
式中 a
, a 2 , a n 为待定系数,分别为 F s 在极点 s1 , s 2 , s n 的留数。
B s A s
ai
s
s i s si
A s i
B si
i 1, 2 , n
A s i
dA s ds
s
a1 s a 2
《自动控制理论》课件
1.1 自动控制理论的定义1.2 自动控制系统的分类1.3 自动控制理论的应用领域二、数学基础2.1 线性代数基础2.2 微积分基础2.3 常微分方程2.4 拉普拉斯变换三、经典控制理论3.1 概述3.2 传递函数3.3 系统稳定性分析3.4 系统响应分析3.5 系统校正设计四、现代控制理论4.1 状态空间描述4.2 状态空间分析4.3 控制器设计4.4 观测器设计4.5 系统李雅普诺夫稳定性分析五、线性二次调节器5.2 性能指标5.3 调节器设计5.4 数字实现六、非线性控制系统6.1 非线性系统的特点6.2 非线性方程和方程组的求解6.3 非线性系统的分析和设计方法6.4 非线性控制系统的应用实例七、模糊控制系统7.1 模糊控制理论的基本概念7.2 模糊控制规则和推理方法7.3 模糊控制器的设计7.4 模糊控制系统的仿真和应用八、自适应控制系统8.1 自适应控制的基本概念8.2 自适应控制算法8.3 自适应控制系统的性能分析8.4 自适应控制的应用实例九、智能控制系统9.1 智能控制的基本概念9.2 人工神经网络在自动控制中的应用9.3 遗传算法在自动控制中的应用9.4 模糊神经网络在自动控制中的应用十、自动控制技术的应用10.1 工业自动化10.2 交通运输自动化10.3 生物医学工程自动化10.4 家居自动化六、非线性控制系统6.1 非线性系统的特点6.2 非线性方程和方程组的求解求解非线性方程和方程组通常需要使用数值方法，如牛顿法、弦截法和迭代法等。
6.3 非线性系统的分析和设计方法对于非线性系统，常用的分析方法有相平面分析、李雅普诺夫方法和描述函数法等。
设计方法包括反馈线性化和滑模控制等。
6.4 非线性控制系统的应用实例例如，臂的控制、电动汽车的稳定控制等。
七、模糊控制系统7.1 模糊控制理论的基本概念模糊控制是一种基于的控制方法，它通过模糊逻辑对系统的输入和输出进行处理，从而实现控制目的。
《自动控制原理》第一章-自动控制原理精选全文完整版
● 执行环节： 其作用是产生控制量，直接推动被控对象的 控制量发生变化。如电动机、调节阀门等就是执行元件。
常用的名词术语
1.稳定性
一个控制系统能正常工作的首要条件。 稳定系统：当系统受到外部干扰后，输出会偏离正 常工作状态，但是当干扰消失后，系统能够回复到 原来的工作状态，系统的输出不产生上述等幅振荡、 发散振荡或单调增长运动。
2.动态性能指标
反映控制系统输出信号跟随输入信号的变化情况。 当系统输入信号为阶跃函数时，其输出信号称为 阶跃响应。
时，线性系统的输出量也增大或缩小相同倍数。
即若系统的输入为 r(t) 时，对应的输出为 y(t)，则
当输入量为 Kr(t)时，输出量为 Ky(t) 。
（2）非线性系统
● 特点：系统某一环节具有非线性特性，不满足叠加原理。 ● 典型的非线性特性：继电器特性、死区特性、饱和特性、
间隙特性等。
图1-5 典型的非线性特性
对被控对象的控制作用，实现控制任务。
图1-3 闭环控制系统原理框图
Hale Waihona Puke (3)复合控制系统 工作原理：闭环控制与开环控制相结合的一种自动控制系 统。在闭环控制的基础上，附加一个正馈通道，对干扰信 号进行补偿，以达到精确的控制效果。
图1-4 复合控制系统原理框图
2.按系统输入信号分类
（1）恒值控制系统 系统的输入信号是某一恒定的常值，要求系统能够克服 干扰的影响，使输出量在这一常值附近微小变化。
举例：连续生产过程中的恒温、恒压、恒速等自动控制 系统。
自动控制原理 前置课程
自动控制原理前置课程自动控制原理的前置课程主要包括以下几部分：一、数学基础1. 高等数学：提供数学分析和微积分的基础知识，包括极限、导数、积分、级数等。
2. 线性代数：提供矩阵运算、行列式、特征值、向量空间等基础知识，这对于理解控制系统中的状态空间表示以及系统稳定性分析非常重要。
3. 概率论与数理统计：提供概率论和统计的基础知识，包括随机变量、概率分布、统计推断等。
这些知识对于理解控制系统的噪声模型和性能评估非常重要。
二、物理和电路基础1. 大学物理：提供物理学的基础知识，包括力学、热学、电磁学等。
这些知识对于理解控制系统中的物理现象和建模非常重要。
2. 电路理论：提供电路设计的基础知识，包括电阻、电容、电感、二极管等元件的性质和行为，以及基本电路的原理和分析方法。
这些知识对于理解控制系统的信号处理和电路设计非常重要。
三、计算机科学基础1. 计算机科学导论：提供计算机科学的基础知识，包括计算机体系结构、操作系统、编程语言等。
这些知识对于理解控制系统的数字实现和算法设计非常重要。
2. 数据结构和算法：提供数据结构和算法的基础知识，包括数组、链表、栈、队列、树等数据结构，以及排序、搜索等基本算法。
这些知识对于理解控制系统的优化和实现方法非常重要。
四、工程基础1. 工程力学：提供工程力学的基础知识，包括静力学、动力学、材料力学等。
这些知识对于理解控制系统的机械设计和分析非常重要。
2. 工程图学：提供工程图学的基础知识，包括制图标准、投影原理、机械制图等。
这些知识对于理解控制系统的机械表示和设计非常重要。
前置课程的结构和内容可能会因不同的教育体系和专业方向而有所不同。
例如，对于电气工程或机械工程专业的自动控制原理课程，可能需要更深入的数学知识、物理知识和电路知识；对于计算机科学或软件工程专业的自动控制原理课程，可能需要更深入的计算机科学和编程知识。
此外，不同的课程设置也可能需要学生修习一些其他相关课程，如信号处理、系统辨识等。
自控中常用数学基础知识
II. 当 A( s ) ( s p1 )( s pn ) 0 有重根时
(设 p1为m重根，其余为单根)
Cm Cm-1 C m 1 Cn C1 F(s) m m-1 (s-p1 ) (s-p1 ) s-p1 s-pm 1 s-pn
C m lim (s p1 )m .F(s) s p1 Cm C m-1 C1 1 1 d m f(t) L [ m m- 1 (s p1 ) .F(s) C m- 1 slim (s-p ) (s-p ) s-p1 p 1 1 1! 1 ds C m 1 Cn ] ( j) s-pm 1 s-pn 1 d m (s p1 ) .F(s) C m-j slim Cm C m-1 m 2 p1 ds j m 1 j ! [ t t C 2 t C1 ].e p1t (m 1 )! (m 2 )! n ( m 1 ) pi t 1 d m C e i (s p1 ) .F(s) C1 (m- 1 )! slim p1 ds m 1 i m 1
f ( n 1) (0)
（3）积分定理
（4）实位移定理
（5）复位移定理 （6）初值定理 （7）终值定理
（终值确实存在时）
四 拉氏反变换
（1）反演公式
f (t )
2 j j
1
j
F ( s ) e t s ds
（2）查表法（分解部分分式法）
1 例1 已知 F(s) ，求 f ( t ) ? s(s a)
I. 当 A( s ) 0 无重根时
n Cn Ci C1 C2 F(s) s p1 s p2 s pn i 1 s pi
自动控制理论-
规则8：特征方程式根之和与根之积
n
n
( pl ) ( pcj )
l 1
j 1
n
n
m
( pcj ) ( pl ) K (zi )
j 1
l 1
i 1
当K从0→∞变化时，虽然闭环方程式旳n个根都会随之而变化，但他
们旳和却恒等于n个开环极点之和。假如一部分根轨迹分支伴随K旳增大
特征方程：
1 GsHs 0
由上式可知，但凡满足方程 GsHs 1
旳s值，就是该方程旳根，或是根轨迹上旳
一种点。因为s 是复数，故有：
图4-3 控制系统旳框图
G s H s e j{argGsH s} 1e j2k1 , k 0,1,2,
于是得：
GsH s 1 根轨迹幅值条件 argGsH s 2k 1 , k 0,1,2,根轨迹相角条件
mr和nr分别为点si右方实轴上的开环零、 极点结论。
mr nr 奇数， 点si满足相角条件。
13
自动控制理论
规则4：根轨迹旳渐近线
1、渐近线旳倾角
n m 2k 1 2k 1 , k 0,1,2,
nm
2、渐进线与实轴交点
K0 sm
m
zi sm1
m
zi
GsH s
试绘制系统的概略根轨 迹
解:
(1)起始点 p1 0 p2 -0.5 - j1.5 p3 -0.5 j1.5 p4 -2.5 实轴上的根轨迹 [0,-1.5] [-2.5,-]
(2)渐近线 180 一条
(3)无分离点
(4)出射角,入射角
p2 180 - 56.5 19 59 - 108.5 - 90 - 37 79
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例7 例8
L
L
e at
e-3t
L
cos
1t
5t
e at
s
2
s1s
1 s sa s
52 s s3
a
s
s3 3 2
52
例9
Le
2t cos
- π s e 15
( 5t
s 2
s
π 3
52
)
s
Le
2t
π s
e 15
s2
cos5(t
π 15
2 s 2 s2 2
L1t
1 estdt
0
1 s
e st
0
1 0 1
s
1 s
（2）指数函数 f (t ) eat
L[ f (t )] eat estdt esatdt
0
0
1 sa
e (sa)t
0
1 (01) sa
1 sa
复习拉普拉斯变换有关内容（3）
0
t0
（3）正弦函数 f(t) sinωt t 0
例1 R-L-C 串连电路
di(t ) ur (t) L dt Ri(t) uc (t)
i(t) C duc (t) dt
LC
d
2uc (t ) dt 2
RC
duc (t) dt
uc
(t)
d 2uc (t ) dt 2
R L
duc (t) dt
1 LC
uc (t)
1 LC
ur (t)
§2. 2. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例1）
L
f(t)
sin t estdt
1
e jt e jt est dt
0
0 2j
1
e -(s-j)t e(s j)t dt
0 2j
1 2j
s
1
j
e (s j)t
0
s
1
j
e (s j)t
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
复习拉普拉斯变换有关内容（4）
§2.1 引言
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系 的数 学表达式
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程 线性定常系统微分方程的一般形式
)
52
复习拉普拉斯变换有关内容（9）
（6）初值定理 lim f (t) lim s F(s)
t 0
s
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0) 0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
s 0 dt
s
左 df (t) limestdt 0 0 dt s
自动控制原理课程的任务与体系结构
自动控制原理
§2 控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程 复域模型 — 传递函数
§2 控制系统的数学模型 2.1 引言
数学模型: 描述系统输入、输出变量以及内部各变
量之间关系的数学表达式
建模方法： 解析法，实验法
2.2 时域数学模型 —— 微分方程
线性元部件、线性系统微分方程的建立 非线性系统微分方程的线性化
4 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
（2）微分定理 L f t s F s f 0
证明：左
f t estdt
estdf t
e-st f
t
0
f t dest
0
0
0
0-f 0 s f testdt sF s f 0 右
s
s
f -10
L f (t 0 ) eτs F (s)
L e At f (t) F (s A)
（6）初值定理 （7）终值定理
lim f (t) lim s F(s)
t 0
s
lim f (t) lim s F(s)
t
s0
d nc(t)
d n1c(t )
dc(t )
an dt n an1 dt n1 ... a1 dt a0c(t )
d mr(t)
d m1r(t)
dr (t )
bm dt m bm1 dt m1 ... b1 dt b0r(t )
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0)
0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
s0 0 dt
s0
左 df (t) limestdt 0 dt s0
t
df (t) lim df (t)
0
t 0
Fx （3）复数的共轭 F(s) Fx jFy （4）解析 若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。
复习拉普拉斯变换有关内容（2）
2 拉氏变换的定义
L[ f (t )] F (s) f (t ) etsdt 0
3 常见函数的拉氏变换
F(s) 像
f
(t
)
原像
1 t 0 （1）阶跃函数 f (t) 0 t 0
课程小结 (2)
1 拉氏变换的定义
2 常见函数L变换
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
F (s) f (t ) etsdt 0
f (t)
F(s)
(t)
1
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
1s 1 s2 1 s3
0
f nt snF s sn-1 f 0 sn-2 f 0 sf n-2 0 f n1 0
0初条件下有： L f nt snF s
复习拉普拉斯变换有关内容（5）
例2 求 L (t) ?
解. t 1t
Lδt L1t s 1 δ 0 1 0 1 s
例3 求 Lcos( t) ?
自动控制原理
作业:
1 已知f(t)，求F(s)
1t
(1) f (t) 1 e T
(2) f (t) 0.03(1 cos 2t)
(3)
f (t) sin(5t ) 3
(4)
f (t) e0.4t cos12t
3s2 2s 8 2 F (s) s(s 2)(s2 2s 4) ,求f(0),f(∞)。
0
1 s n1
f 20
1 s
f n0
n个
例4 求 L[t]=? t 1tdt
解.
Lt L 1t dt
s2
例5
解.
求
t2
L
2
?
L t2 2 L
t2 t dt
2
t dt
1 s
1 s2
1 t2 s2
1 s3
t0
复习拉普拉斯变换有关内容（7）
（4）实位移定理 L f (t 0 ) eτ0s F(s)
证明：左
0
f
(t
0 ) etsdt
令 t 0
f ( ) es( 0 )d e0s f ( ) e sd 右
0
0
0 t 0
例6 f t 1 0 t a , 求F(s)
0 t a
解. f (t) 1(t) 1(t a)
lim
s
s F(s)
f (0 )
0
f
(0
)
lim
t 0
f
(t)
lim
s
s
F(s)
f t t
例10
1
F(s) s2
f (0)
lim s F(s)
s
lim s
s
1 s2
0
复习拉普拉斯变换有关内容（10）
（7）终值定理 lim f (t) lim s F(s) （终值确实存在时）
t
s0
系统微分方程
y(t) a1 y(t) a2 y(t) 1(t)
y(0) y(0) 0
L变换
(s2
a1s
a2 )Y (s)
1 s
1
Y (s) s(s2 a1s a2 )
L-1变换 yt L1 Y (s)
课程小结 (1)
控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程
• 元部件及系统微分方程的建立 • 线性定常系统微分方程的特点 • 非线性方程的线性化 • 微分方程求解
L
f
(t)
L1(t )
1(t
a)
1 s
e as
1 s
1 e as s
复习拉普拉斯变换有关内容（8）
（5）复位移定理 L e At f (t) F (s A)
证明：左 e At f (t ) etsdt f (t ) e(s A)tdt
0
令
s A s
0
f (t ) estdt F (s ) F(s A) 右 0
解. cos t 1 sin t
Lcos t 1
Lsin t
1
s s2 2
s
s2 2
复习拉普拉斯变换有关内容（6）