自动控制理论数学基础1补充

L
f
(t)
L1(t )
1(t
a)
1 s
e as
1 s
1 e as s
复习拉普拉斯变换有关内容（8）
（5）复位移定理 L e At f (t) F (s A)
证明：左 e At f (t ) etsdt f (t ) e(s A)tdt
0
令
s A s
0
f (t ) estdt F (s ) F(s A) 右 0
自动控制原理课程的任务与体系结构
自动控制原理
§2 控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程 复域模型 — 传递函数
§2 控制系统的数学模型 2.1 引言
数学模型: 描述系统输入、输出变量以及内部各变
量之间关系的数学表达式
建模方法： 解析法，实验法
2.2 时域数学模型 —— 微分方程
线性元部件、线性系统微分方程的建立 非线性系统微分方程的线性化
例1 R-L-C 串连电路
di(t ) ur (t) L dt Ri(t) uc (t)
i(t) C duc (t) dt
LC
d
2uc (t ) dt 2
RC
duc (t) dt
uc
(t)
d 2uc (t ) dt 2
R L
duc (t) dt
1 LC
uc (t)
1 LC
ur (t)
§2. 2. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例1）
§2.1 引言
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系 的数 学表达式
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程 线性定常系统微分方程的一般形式
例 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
y( x) E0 cos[x(t)]
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
y( x)
y( x0 )
y( x0 )( x
x0 )
1 2!
y( x0 )( x
x0 )2
取一次近似，且令
y( x) y( x) y( x0 ) E0 sin x0 ( x x0 )
L1t
1 estdt
0
1 s
e st
0
1 0 1
s
1 s
（2）指数函数 f (t ) eat
L[ f (t )] eat estdt esatdt
0
0
1 sa
e (sa)t
0
1 (01) sa
1 sa
复习拉普拉斯变换有关内容（3）
0
t0
（3）正弦函数 f(t) sinωt t 0
系统微分方程
y(t) a1 y(t) a2 y(t) 1(t)
y(0) y(0) 0
L变换
(s2
a1s
a2 )Y (s)
1 s
1
Y (s) s(s2 a1s a2 )
L-1变换 yt L1 Y (s)
课程小结 (1)
控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程
• 元部件及系统微分方程的建立 • 线性定常系统微分方程的特点 • 非线性方程的线性化 • 微分方程求解
例7 例8
L
L
e at
e-3t
L
cos
1t
5t
e at
s
2
s1s
1 s sa s
52 s s3
a
s
s3 3 2
52
例9
Le
2t cos
- π s e 15
( 5t
s 2
s
π 3
52
)
s
Le
2t
π s
e 15
s2
cos5(t
π 15
2 s 2 s2 2
课程小结 (2)
1 拉氏变换的定义
2 常见函数L变换
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
F (s) f (t ) etsdt 0
f (t)
F(s)
(t)
1
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
1s 1 s2 1 s3
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0)
0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
s0 0 dt
s0
左 df (t) limestdt 0 dt s0
t
df (t) lim df (t)
0
t 0
（4）实位移定理 L f (t 0 ) eτ0s F(s)
证明：左
0
f
(t
0 ) etsdt
令 t 0
f ( ) es( 0 )d e0s f ( ) e sd 右
0
0
0 t 0
例6 f t 1 0 t a , 求F(s)
0 t a
解. f (t) 1(t) 1(t a)
)
52
复习拉普拉斯变换有关内容（9）
（6）初值定理 lim f (t) lim s F(s)
t 0
s
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0) 0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
s 0 dt
s
左 df (t) limestdt 0 0 dt s
解. cos t 1 sin t
Lcos t 1
Lsin t
1
s s2 2
s
s2 2
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
（3）积分定理
L
f tdt
1 Fs 1
s
s
f -10
零初始条件下有： L
f tdt
1 Fs
s
进一步有：
L
f t dtn
1 sn
F s
1 sn
f 1
Fx （3）复数的共轭 F(s) Fx jFy （4）解析 若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。
复习拉普拉斯变换有关内容（2）
2 拉氏变换的定义
L[ f (t )] F (s) f (t ) etsdt 0
3 常见函数的拉氏变换
F(s) 像
f
(t
)
原像
1 t 0 （1）阶跃函数 f (t) 0 t 0
L
f(t)
sin t estdt
1
e jt e jt est dt
0
0 2j
1
e -(s-j)t e(s j)t dt
0 2j
1 2j
s
1
j
e (s j)t
0
s
1
j
e (s j)t
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2Βιβλιοθήκη Baidu
复习拉普拉斯变换有关内容（4）
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
课程小结 (3)
3 L变换重要定理
（1）线性性质 （2）微分定理
La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s) L f t s F s f 0
（3）积分定理 （4）实位移定理 （5）复位移定理
L
f tdt
1 Fs 1
d nc(t)
d n1c(t )
dc(t )
an dt n an1 dt n1 ... a1 dt a0c(t )
d mr(t)
d m1r(t)
dr (t )
bm dt m bm1 dt m1 ... b1 dt b0r(t )
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
4 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
（2）微分定理 L f t s F s f 0
证明：左
f t estdt
estdf t
e-st f
t
0
f t dest
0
0
0
0-f 0 s f testdt sF s f 0 右
0
1 s n1
f 20
1 s
f n0
n个
例4 求 L[t]=? t 1tdt
解.
Lt L 1t dt
11 ss
1t s
t 0
1 s2
例5
解.
求
t2
L
2
?
L t2 2 L
t2 t dt
2
t dt
1 s
1 s2
1 t2 s2
1 s3
t0
复习拉普拉斯变换有关内容（7）
lim
s
s F(s)
f (0 )
0
f
(0
)
lim
t 0
f
(t)
lim
s
s
F(s)
f t t
例10
1
F(s) s2
f (0)
lim s F(s)
s
lim s
s
1 s2
0
复习拉普拉斯变换有关内容（10）
（7）终值定理 lim f (t) lim s F(s) （终值确实存在时）
t
s0
既有 y E0 sin x0 x
线性定常微分方程求解
微分方程求解方法
复习拉普拉斯变换有关内容（1）
1 复数有关概念
（1）复数、复函数
复数 s j
复函数 F (s) Fx (s) Fy (s)
例1 F(s) s 2 2 j
（2）模、相角
模 F s Fx2 Fy2 相角 F s arctan Fy
0
f nt snF s sn-1 f 0 sn-2 f 0 sf n-2 0 f n1 0
0初条件下有： L f nt snF s
复习拉普拉斯变换有关内容（5）
例2 求 L (t) ?
解. t 1t
Lδt L1t s 1 δ 0 1 0 1 s
例3 求 Lcos( t) ?
自动控制原理
作业:
1 已知f(t)，求F(s)
1t
(1) f (t) 1 e T
(2) f (t) 0.03(1 cos 2t)
(3)
f (t) sin(5t ) 3
(4)
f (t) e0.4t cos12t
3s2 2s 8 2 F (s) s(s 2)(s2 2s 4) ,求f(0),f(∞)。
lim f (t) f (0) 右 lims F(s) f (0)
t
s0
例11 F (s)
1
s(s a)( s b)
f
lim
s0
s
ss
1
as
b
1 ab
例12
Fs
s2
ω ω2
f sinωt t
lim s
s0
s2
ω ω2
0
复习拉普拉斯变换有关内容（11）
用拉氏变换方法解微分方程
s
s
f -10
L f (t 0 ) eτs F (s)
L e At f (t) F (s A)
（6）初值定理 （7）终值定理
lim f (t) lim s F(s)
t 0
s
lim f (t) lim s F(s)
t
s0