求极限的4种特殊方法
求函数的极限值的方法总结
求函数的极限值的方法总结在数学中，函数的极限值是指函数在某一特定区间上取得的最大值或最小值。
求解函数的极限值是数学分析中经常遇到的问题之一，下面将总结一些常用的方法来求解函数的极限值。
一、导数法对于给定的函数，可以通过求导数来判断函数在某一点附近的单调性和极值情况。
导数表示了函数在某一点处的变化率，通过求导数可以获得函数的驻点（导数为零的点）以及极值点。
一般来说，当函数从单调递增变为单调递减时，即导数由正变负，函数的极大值出现；当函数从单调递减变为单调递增时，即导数由负变正，函数的极小值出现。
所以，通过求导数可以找到函数的极值点，然后通过比较极值点和边界点的函数值，即可确定函数的极限值。
二、二阶导数法在某些特殊情况下，求函数的二阶导数可以提供更加准确的信息来确定函数的极限值。
当函数的二阶导数恒为正时，表示函数处于凸型，此时函数可能有极小值但没有极大值；当函数的二阶导数恒为负时，表示函数处于凹型，此时函数可能有极大值但没有极小值。
通过对二阶导数进行符号判断，可以帮助确定函数的极限值。
三、极限值存在性判定对于一些特殊的函数，通过判定函数的极限值是否存在可以快速确定函数的极限值。
当函数在某一区间上连续且存在最大最小值时，函数的极限值也会存在。
因此，可以通过求解函数在区间端点的函数值，并比较这些函数值来确定函数的极限值。
四、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种通过引入约束条件来求解极值的方法，特别适用于求解带有约束条件的函数的极值。
通过构造拉格朗日函数，将原始问题转化为无约束的极值问题，然后通过求解极值问题来确定函数的极限值。
五、切线法切线法是一种直观而有效的求解函数极值的方法。
通过观察函数图像，在极值附近找到一条切线，使得切线与函数图像的接触点的函数值最大或最小。
通过近似切线与函数图像的接触点，可以获得函数的极值的近似值。
六、数值法数值法是一种通过计算机进行数值逼近的方法来求解函数的极限值。
通过将函数离散化，并在离散点上进行计算，可以得到函数在这些离散点上的函数值，然后通过比较这些函数值来确定函数的极限值。
求极限的几种方法
求极限的几种方法在数学分析中，求极限是一种重要的技巧和方法，用于研究数列、函数的收敛性和特性。
对于求极限的方法，可以总结为以下几类：代入法、夹逼法、等价无穷小代换法、洛必达法则、泰勒展开精确到n次、换元法、分数分解法、递归关系法等。
一、代入法：代入法是求函数极限的最基本的方法之一，适用于绝大多数最简单的函数。
通过将自变量值代入函数中，得到具体的函数值，看函数的值是否有限并趋于确定的值，如果有限且趋于确定的值，则可以认为该函数极限存在，并等于该确定的值。
当然，代入法只是一种相对简单和直观的方法，并不适用于复杂函数的极限计算。
二、夹逼法：夹逼法也被称为迫敛法或挤压定理，适用于数列或函数的极限计算。
当数列或函数存在上、下界，且上、下界的极限都为所求极限时，可以通过夹逼法来证明所求极限的存在并求得。
三、等价无穷小代换法：等价无穷小代换法是一种常用的得到极限的方法之一，将一个复杂的极限问题转化成一个简单的等价无穷小求极限问题。
其主要思想是将原函数与理论已知的函数进行比较，找出它们之间的等价关系，进而得到原函数的极限。
常用的等价无穷小有：指数、对数、三角函数等。
四、洛必达法则：洛必达法则是求函数极限的常用方法之一，主要用于求解0/0型或∞/∞型的极限。
其基本思想是将函数的极限转化成求导数的极限。
通常情况下，通过不断使用洛必达法则，可以通过求多次极限最终得到函数的极限。
五、泰勒展开精确到n次：对于有限次求导的函数，可以使用泰勒展开式来近似估计函数极限。
泰勒展开式是用若干项之和来逼近一个函数的方法，通过将函数展开成多项式形式，可以在一定程度上表示出原函数的性质。
通常情况下，使用泰勒展开精确到n次可以更加准确地求得函数的极限。
六、换元法：换元法也称为特殊换元法，通过选择合适的换元变量，将原来复杂的极限问题转化成更加简单的极限计算问题。
常见的换元方法有：取代法、正弦替换法、余弦替换法、平方根替换法等。
七、分数分解法：分数分解法是一种常用的计算复杂函数极限的方法，通过将极限问题利用分式相除的形式，将复杂的极限表达式化简成多个简单函数之比的极限表达式，进而进行求解。
高等数学级数求极限方法
高等数学中求极限的方法
高等数学中求极限的方法有：
1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；
2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；
3、运用两个特别极限；
4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。
它不是所向无敌，不可以代替其他所有方法，一楼言过其实。
5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。
6、等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。
因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。
7、夹挤法。
这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。
8、特殊情况下，化为积分计算。
用定义证明函数极限方法总结
用定义证明函数极限方法总结函数极限的定义是：对于函数 $f(x)$，如果存在实数 $L$，对于任意给定的正实数 $\varepsilon$，总存在实数 $\delta$，使得当 $0<，x-a，<\delta$ 时，有 $，f(x)-L，<\varepsilon$，则称函数$f(x)$ 在 $x=a$ 处极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to a}f(x)=L$。
函数极限的证明方法有以下几种：1. ε-δ极限法：根据函数极限的定义，选择合适的 $L$，对于任意给定的正实数 $\varepsilon$，找到与之对应的正实数 $\delta$，使得当 $0<，x-a，<\delta$ 时，有 $，f(x)-L，<\varepsilon$。
通过构造一个适当的 $\delta$-$\varepsilon$ 语句，利用数学推理的方法来证明函数极限。
这种方法主要适用于一些简单的函数，如多项式函数、三角函数等。
证明过程中需要灵活运用基本不等式、三角不等式、极限的性质等。
2. 夹逼定理：夹逼定理是计算极限的常用方法。
当一个函数$g(x)$ 在 $x=a$ 处极限为 $L$，另一个函数 $h(x)$ 在 $x=a$ 处极限也为 $L$，且对于 $x$ 的取值范围，有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的极限也为 $L$。
通过构造一对函数，使得它们分别从两个方向逼近待求的极限，再利用夹逼定理来证明函数的极限。
3.无穷小定理：无穷小定理是计算极限的一种重要方法。
当$x$趋于一些确定的数值时，如果函数$f(x)$具有性质：无论$x$多么接近这个确定的数值，$f(x)$与它的极限差不多可以忽略不计，就称$f(x)$为无穷小。
使用无穷小定理可以将函数的极限转化为无穷小的极限计算。
常用的无穷小定理有：常数乘以无穷小还是无穷小、无穷小的加减还是无穷小、无穷小的有界函数与无穷小相乘还是无穷小。
极限计算的21方法总结
极限计算的21方法总结引言在高等数学学习中，极限是一个重要的概念，它在计算、分析和应用问题中发挥着重要的作用。
在求解极限的过程中，我们经常会遇到各种不同的情况和类型。
本文总结了21种常见的极限计算方法，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
1. 代入法代入法是最简单的一种方法，它适用于一些简单的极限计算，例如当函数在某点存在有限极限时，可以直接将该点代入函数进行计算。
2. 分解法分解法是将复杂的函数分解成更简单的函数，例如将分式拆分成多个分式或者利用三角函数的和差化积等等。
3. 换元法换元法是通过引入一个新的变量来改变原函数，使得原函数的形式更简单，从而更容易计算极限。
4. 两边夹法两边夹法是通过找到两个函数，一个上界函数和一个下界函数，使得它们的极限值相等，从而求解原函数的极限值。
5. 大O小o符号法大O小o符号法是一种用来衡量函数增长速度的方法，其中O表示上界，o表示严格上界。
6. 无穷小量法无穷小量法是将有限的增量化为无穷小量，通过比较函数与无穷小量的大小关系来计算极限。
7. 极限的四则运算法则极限的四则运算法则是利用函数之间的基本运算性质，将复杂的极限计算分解成简单的极限计算。
8. 导数与极限的关系导数与极限的关系是利用导数的定义，将函数的极限转化为导数的计算。
9. 洛必达法则洛必达法则是通过对被除函数和除函数同时求导，再计算导数的极限，来求解不定型的极限。
10. 常用的极限公式常用的极限公式包括常数公式、幂函数公式、指数函数公式、对数函数公式、三角函数公式等等。
11. 泰勒展开法泰勒展开法是将函数在某一点处展开成无穷级数的形式，通过截取有限项来近似计算函数的值。
12. 勒让德法勒让德法是一种利用泰勒展开法来计算极限的特殊方法，它通过构造一系列特殊的函数来逼近原函数。
13. 递推公式法递推公式法适用于由递归关系定义的函数，通过递推关系求解函数的极限。
14. 二次平均值不等式法二次平均值不等式法是利用二次平均值不等式，将函数的极限转化为不等式的极限。
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析
函数极限是高等数学中的重要概念，也是其他数学领域的基础。
在计算函数极限时，有一些常用的技巧和方法，可以帮助我们更快地求解极限问题。
下面是一些常用的函数极限求法技巧。
1. 代入法：当函数极限中存在形如"0/0"或"无穷大/无穷大"的不定型时，可以尝试使用代入法求解。
即将函数中的变量逐渐靠近极限值进行代入，计算出函数在极限点附近的取值，进而得到极限结果。
2. 无穷小代换法：当函数极限中含有无穷大或无穷小的项时，可以使用无穷小代换法进行求解。
即将无穷大或无穷小项替换为相应的无穷小量，对含有无穷大或无穷小的函数进行化简，再进行极限计算。
3. 分子分母除以最高幂次法：当函数极限中含有多项式的幂次较高时，可以尝试使用分子分母除以最高幂次的方法进行化简。
将函数中的每一项均除以该最高幂次，使得函数的分子和分母变为相对较小的多项式，从而更便于求解极限。
4. 辅助函数法：当函数极限较复杂时，可以尝试构造一个辅助函数来辅助求解。
通过适当选择辅助函数，将原函数转化为一个更简单的形式，再求解极限。
5. 夹逼定理：夹逼定理是函数极限求解的重要工具，适用于求解某些特殊的函数极限。
当函数的上下界均存在且极限相等时，可以通过夹逼定理求出函数的极限。
6. 泰勒级数展开法：当函数极限中含有三角函数、指数函数等特殊函数时，可以尝试使用泰勒级数展开法进行求解。
通过将特殊函数展开为无穷级数的形式，可以将原函数转化为一个容易求解的形式，再进行极限计算。
极限计算所有方法
极限计算所有方法极限计算是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在某一点或无穷远处的行为。
在数学中，极限计算有各种方法，本文将介绍其中几种常见的方法。
一、代数运算法代数运算法是最基础的极限计算方法之一。
它适用于利用已知函数的性质进行运算和化简的情况。
例如，对于一个复杂的函数表达式，我们可以先进行因式分解、合并同类项等代数运算，然后再求极限。
这种方法对于简化问题、提高计算效率非常有帮助。
二、夹逼定理夹逼定理也是一种常用的极限计算方法。
它适用于求解一些较难的极限问题，特别是那些无法直接计算或者计算困难的问题。
夹逼定理的核心思想是通过构造两个函数，一个从上方夹逼住目标函数，另一个从下方夹逼住目标函数，然后通过这两个夹逼函数的极限来求解目标函数的极限。
夹逼定理在解决一些特殊的极限问题时非常有效。
三、洛必达法则洛必达法则是求解极限的一种重要方法，尤其适用于0/0或∞/∞型的不定型极限。
洛必达法则的核心思想是将极限转化为某种形式的导数。
具体来说，对于一个0/0型的极限，我们可以对分子和分母同时求导，然后再计算导数的极限；对于一个∞/∞型的极限，我们可以对分子和分母同时取倒数，然后再计算倒数的极限。
通过洛必达法则，我们可以简化极限计算的过程，提高计算的准确性和效率。
四、级数展开法级数展开法是一种用级数来逼近函数的方法，也常用于极限计算中。
它适用于那些无法直接计算的函数极限，通过将函数展开成级数的形式，然后计算级数的极限来求解函数的极限。
级数展开法在实际问题中具有广泛的应用，特别是在物理和工程领域。
五、泰勒展开法泰勒展开法是级数展开法的一种特殊情况，它适用于在某一点附近对函数进行近似的情况。
泰勒展开法的核心思想是将函数在某一点处展开成幂级数，然后根据级数的收敛性和截断误差的控制来求解函数的极限。
泰勒展开法在数值计算和物理模拟中具有重要的应用价值。
极限计算有多种方法，代数运算法、夹逼定理、洛必达法则、级数展开法和泰勒展开法是其中一些常见的方法。
(完整word版)求极限的13种方法 (2)(word文档良心出品)
求极限的13种方法（简叙）龘龖龍极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。
本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。
一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。
常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。
例1、求极限)1...()1)(1(22lim na aa n +++∞→ ，其中1<a分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。
解 因为)1...()1)(1(22na a a +++ =)1...()1)(1)(1(1122na a a a a +++-- =)1...()1)(1(11222na a a a ++-- =)1(1112+--n a a当∞→n 时，,21∞→+n 而1<a ，故从而,012→+n a)1...()1)(1(22lim naa a n +++∞→=a-11 二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。
常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。
例2、求极限11lim 1--→nmx x x ，其中m,n 为正整数。
分析 这是含根式的（00）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。
解 令11,1→→=t x x t mn时，则当原式=mnt t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1( 例3、求极限ox →lim xx 2csc )(cos解 原式=ox →lim 21sin sin 21lim csc )1(cos 2202---==→ee e xx xx x四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。
证明极限的几种方法
证明极限的几种方法极限是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点或无穷远处的趋势。
在数学中，有多种方法可以用来证明极限的存在或计算极限的值。
本文将介绍几种常用的证明极限的方法。
一、数列极限的证明方法数列极限是极限的一种特殊情况，通常用来描述数列在无穷项处的趋势。
对于数列${a_n}$，如果存在一个实数$a$，使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|a_n-a|<\varepsilon$成立，则称数列${a_n}$的极限为$a$，记作$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=a$。
数列极限的证明方法主要有夹逼准则、单调有界准则等。
夹逼准则是证明数列极限存在的常用方法。
其思想是通过夹逼数列，找到一个已知的收敛数列，使得待证数列夹在这两个数列之间。
然后利用已知数列的极限，推导出待证数列的极限。
例如，要证明数列${\frac{1}{n}}$收敛于0，可以利用夹逼准则。
首先，我们知道对于任意正整数$n$，都有$0<\frac{1}{n}<\frac{1}{1}=1$。
又因为$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{1}=0$，所以根据夹逼准则，数列${\frac{1}{n}}$的极限存在且为0。
二、函数极限的证明方法函数极限是极限的一般情况，用来描述函数在某一点处的趋势。
对于函数$f(x)$，如果存在一个实数$a$，使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正实数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-a|<\varepsilon$成立，则称函数$f(x)$在点$a$处具有极限$a$，记作$\lim\limits_{x\to a} f(x)=a$。
函数极限的证明方法主要有$\varepsilon-\delta$准则、夹逼准则等。
大一求极限方法总结及例题
大一求极限方法总结及例题讨论极限问题是数学中最重要的内容之一，极限是数学能力和知识的基石，它也是理解物理和其他专业的基础。
在大学入学期间，大一学生们就要学会求解极限问题，而学习极限问题也是深入学习数学的关键。
首先，求极限要明确什么是“极限”：当x的取值趋近于某值a 时，由x的取值趋近于a的函数的值的趋近极限就是极限。
这是数学中对极限的定义，即极限是表示一类函数在一定条件下的取值的一种数学概念。
极限的概念是基于一定条件的，由极限的具体条件可以推断出求极限的方法。
其次，解决极限问题的方法有四种：（1）利用定义论证。
如果函数f(x)在x=a时有定义，则极限L=f(a)。
（2）利用极限归纳法。
如果极限存在，有满足极限等式的函数可以得到极限；（3）利用公式求解极限。
如果满足极限等式的函数有其特殊公式，可以利用公式直接求解极限；（4）利用函数性质求解极限。
如果函数有某种特殊的函数性质，可以利用这些性质来求解极限。
上述就是求极限的四种方法，只要掌握了这些方法，当遇到求极限问题时，就可以恰当地使用这些方法完成求极限任务。
现在来看一个具体的例子：求如下函数的极限$$lim_{xrightarrow2} frac{x^2-4}{x-2}$$求此函数的极限，可以采取公式求解的方式，$$lim_{xrightarrow2} frac{x^2-4}{x-2} =lim_{xrightarrow2} (x+2)=4$$可以看出，当x趋近于2时，该函数的极限值为4。
上面介绍了求极限的一般方法和具体的例子，现在，基于以上的介绍，可以做出以下总结：1.确极限的定义，即当x的取值趋近于某值a时，由x的取值趋近于a的函数的值的趋近极限值就是极限。
2.极限的方法有四种：定义论证，极限归纳法，利用公式求解极限，利用函数性质求解极限。
3.体例子：对于函数$$lim_{xrightarrow2}frac{x^2-4}{x-2}$$，可以利用公式求解极限，得出极限值L=4。
极限的无穷技巧
极限的无穷技巧极限是数学中一种重要的概念，用来描述函数或数列在某一点或某个方向上的趋势。
在数学分析中，极限是一个基本且核心的概念，无处不在。
对于理解数学中的极限概念，应该掌握一些常用的无穷技巧，这些无穷技巧可以帮助我们更好地计算和理解极限。
下面我将介绍一些常见的无穷技巧。
1. 用洛必达法则计算极限洛必达法则是一种用来计算极限的常用方法。
它适用于具有形式为0/0或∞/∞的不定型的极限计算。
该法则的基本思想是通过求导的方式将原极限转化为一个新的极限，从而使计算变得更加简洁。
需要注意的是，使用洛必达法则计算极限时，必须确保被求导的分子和分母在该点的导数存在，否则无法使用该法则。
2. 利用泰勒展开求解泰勒展开是将一个任意函数展开为幂级数的方法。
利用泰勒展开，我们可以将复杂的函数转化为简单的多项式。
在计算极限时，可以利用泰勒展开将要求解的函数展开为一个多项式，然后计算多项式的极限。
需要注意的是，泰勒展开的适用范围是在展开点附近的某个小区间内。
3. 利用特殊极限的性质在计算极限时，有一些特殊的极限性质可以帮助我们简化计算。
比如，对于n 的某个正整数幂，极限n的幂次根等于1。
另外，绝对值的极限等于绝对值的极限。
利用这些特殊极限的性质，我们可以很方便地计算一些常见的极限。
4. 利用夹逼定理求解夹逼定理是一种常用的极限计算方法。
夹逼定理的关键思想是找到两个函数，一个比要求解的函数要小，一个比要求解的函数要大，并且这两个函数的极限都相等。
然后通过夹逼定理，可以得到要求解的函数的极限。
夹逼定理在计算复杂的极限时非常有用。
5. 利用递推公式求解对于一些递推函数或数列，我们可以通过递推公式求解它们的极限。
递推公式给出了函数或数列中后一项与前一项之间的关系，通过逐项计算可以得到极限。
递推公式的求解需要使用到递推关系，可以根据递推关系得到极限的解析表达式。
6. 利用反函数和对数函数求解对于一些特殊函数，可以利用反函数和对数函数的性质求解极限。
求极限方法总结
求极限方法总结求极限是微积分的重要内容之一，需要通过特定的方法来计算。
下面对常见的求极限方法进行总结。
1. 代入法：将极限中的变量直接代入函数中，求出函数在该点处的函数值，作为极限的近似值。
这种方法适用于简单的极限。
2. 分子有理化法：当极限的分子、分母含有根式时，可以通过有理化的方法，将根式分子分母有理化，然后进行化简，化简后求极限。
这种方法适用于分子分母含有根式的情况。
3. 夹逼法：当函数的极限不存在或难以直接求出时，可以通过构造一个上界函数和下界函数，使得它们的极限都存在且相等，且夹住函数的极限。
然后通过夹逼原理，求出该极限。
这种方法适用于极限存在且难以直接求出的情况。
4. L'Hopital法则：当极限为形式为“∞/∞”、“0/0”、“1^∞”、“0^0”等无穷型与无穷型的不定式时，可以通过求导的方法，将其转化为可直接计算的形式。
这种方法适用于无穷型与无穷型的不定式。
5. 推广L'Hopital法则：当极限为形式为“∞*0”、“∞-∞”等不定型不定式时，可以通过引入参数，将其转化为可直接计算的形式。
这种方法适用于不定型不定式。
6. 换元法：当极限为特殊函数形式时，可以通过换元的方法，将其转化为可直接计算的形式。
比如将极限中的自变量换成1/自变量或sin(1/自变量)等函数形式。
这种方法适用于特殊函数形式的极限。
7. Taylor展开法：当极限为函数值在某点的展开式时，可以通过泰勒展开的方法，将其转化为可直接计算的形式。
这种方法适用于函数值在某点的展开式。
8. 综合运用：对于复杂的极限问题，可以综合运用以上方法，逐步化简。
先运用代入法、分子有理化法，再运用夹逼法、L'Hopital法则等，逐步逼近极限的值。
在实际应用中，根据题目的要求和已知条件，选择适合的方法来求解极限。
对于复杂的问题，可以采用逐步化简的方法，一步步逼近极限的值。
同时，对于无法通过常见方法求解的特殊问题，还可以借助数值计算的方法，利用计算机进行近似计算。
高等数学求极限的各种方法
求极限的各种方法1.约去零因子求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分子分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方;(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分子(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限,就是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应用两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
函数的极限求解方法
函数的极限求解方法
1. 直接代入法
直接代入法是指将极限中的自变量直接代入函数中求值，这种方法适用于特殊的函数，例如常数函数、幂函数和指数函数等。
2. 等价无穷小代换法
等价无穷小代换法是指将极限中的无穷小量替换为与其等价的无穷小量，这种方法适
用于不同函数之间的无穷小量比较。
3. 夹逼定理
夹逼定理是指通过夹逼中间项来求出极限，这种方法适用于求解无穷大或无穷小的情况。
4. 分式分解法
分式分解法是指将分式中的分母部分分解为可求的部分，这种方法适用于有理函数的
求值。
5. 因子分解法
因子分解法是指将极限中的函数按照因子分解，再进行化简运算，这种方法适用于多
项式求值。
6. 泰勒展开法
泰勒展开法是指将函数展开成泰勒级数，并取其一部分进行求值，这种方法适用于需
要高阶导数的情况。
7. 充分条件法
充分条件法是指通过已知的极限结果，推出另一个极限的结果，这种方法适用于一些
特殊的函数。
8. 对数估计法
对数估计法是指将极限通过对数运算变换成解概率分布函数的极限，这种方法适用于
特殊的函数。
9. 利用反函数法
利用反函数法是指将函数中的自变量替换成对应的函数值，然后利用已知的极限结果求得新的极限，这种方法适用于含反三角函数的函数。
10. 利用积分法
利用积分法是指将极限转化为定积分的形式，然后通过定积分的数值求值方法求解极限，这种方法适用于一些特殊的函数。
高等数学求极限的各种方法
⾼等数学求极限的各种⽅法求极限的各种⽅法1.约去零因⼦求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x ⽆限接近,但1≠x ,所以1-x 这⼀零因⼦可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分⼦分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分⼦分母都以多项式给出的极限,可通过分⼦分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) ⼀般分⼦分母同除x 的最⾼次⽅;(2)=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分⼦(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分⼦或分母有理化求极限,就是通过有理化化去⽆理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使⽤分⼦有理化⽅法外,及时分离极限式中的⾮零因⼦．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应⽤两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第⼀个重要极限过于简单且可通过等价⽆穷⼩来实现。
求极限的13种方法
求极限的13种方法（简叙）龘龖龍极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。
本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。
一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。
常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。
例1、求极限)1...()1)(1(22lim na aa n +++∞→ ，其中1<a分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。
解 因为)1...()1)(1(22na a a +++ =)1...()1)(1)(1(1122na a a a a +++-- =)1...()1)(1(11222na a a a ++-- =)1(1112+--n a a当∞→n 时，,21∞→+n 而1<a ，故从而,012→+n a)1...()1)(1(22lim na a a n +++∞→=a-11 二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。
常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。
例2、求极限11lim 1--→nmx x x ，其中m,n 为正整数。
分析 这是含根式的（00）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。
解 令11,1→→=t x x t mn时，则当原式=mnt t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1( 例3、求极限ox →lim xx 2csc )(cos解 原式=ox →lim 21sin sin 21lim csc )1(cos 2202---==→ee e xx xx x四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。
求极限值的应用有哪些方法
求极限值的应用有哪些方法
求极限值的方法有以下几种:
1. 代入法: 将变量代入极限式中，计算当变量趋近于某个特定值时极限的值。
2. 夹逼定理: 对于一个无法直接计算的极限，可以找到两个已知的函数，使得其中一个函数逐渐逼近该极限且不受限制，而另一个函数则逐渐逼近这个极限，并且受限制。
通过比较这两个函数，可以确定这个极限的值。
3. 导数法: 通过计算函数的导数来求解极限。
这种方法适用于可以对函数进行求导的情况。
4. 泰勒级数法: 将一个函数展开为无穷级数，并通过截取级数的有限项来求解极限。
5. 极限的等价性: 如果两个函数在某个极限点附近接近，则这两个函数的极限也是相等的，可以将难以计算的函数替换为易于计算的等价函数。
6. 化简法: 对于复杂的极限表达式，可以通过化简、分解、组合等方法来简化求解，使得极限的计算更加可行。
7. 极限的特殊形式: 对于一些常见的限制形式，如\frac{0}{0}，
\frac{\infty}{\infty}，\infty -\infty等，可以利用特定的极限转化方式，将其转化为更容易处理的形式，从而求解极限。
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究函数极限点的有效方法。
压缩映射原理:设称f(x)是［a切上的一个压缩映射，且 x° € ［a, b］, = y(x”)，对 Vne N，有x” € ［a, b］，则称 f(x)在
当”=时勺=吋坯由于％=亍 1 »«„=— 3" . 是，舸％=陋a”=齐 3" =1
［a, b］上存在唯一的不动点c,且辄x”=c pi 例 3设召=%x”厂出•(0<a<l) , n = l,2,2曲 2
析和研究，对该区长2储层特征有了进一步的认识和了解，为今后油田开发生产提供理论基础。
关键词：长2储层；碎屑;成岩作用
中图分类号:TE325.TE34
文献标识码：A
文章编号：2096-4390 (2019)15-0062-02
1储层碎屑成分特征 根据青平川油田永坪区及邻区共61块样品的薄片资料分 析:该区长2储层主要为灰色细粒~中粒长石砂岩，其次为岩屑 长石砂岩。石英、长石以及岩屑具体数据如表1所示。长石含量 普遍较高，反应了其成分成熟度低的特点。碎屑颗粒分选性好， 磨圆度为次棱状,接触类型为点~线、线性接触，以孔隙式和压 嵌式胶结，砂岩结构成熟度较高,沉积时期水动力条件较强。
无穷小量伴随极限而存在，因此可利用无穷小量求数列极 造数列递推公式的重要方法。
限，如若lni—mx”=a，则X“可作“变量”替换:令x”=a + a”，其中
(1)若数列的递推公式形如:x” = px”T +gx”_2，且已知九、
3”｝是一个无穷小数列,反之也成立。
其中这P、q为常数且卩工0,9工0,"：=2, 3, ■-，则有
例1设a〉0，求极限值.in
f(x)| = X< < 1 °
解：对函数y = ax在
上应用拉格朗日中值定
E+1 利
j
j
理可知，丽-"妬=(亦Ina)•［丄
］，其中 ----- V £” V—,
5 川+1丿
n+1
n
当“too时，则& — 0，从而得原极限
川2
lim(a& In a)---------- = In a .
2019.15科学技术创新-61 -
求极限的4种特殊方法
吴航航1'2李泽，赵临龙1 (1、安康学院数学与统计学院，陕西安康725000 2、兰州理工大学理学院，甘肃兰州730050)
摘 要：极限是《高等数学》课程的重要基础，直接关系到课程后面内容的学习，但求极限的方法众多，非常灵活，给学习者带
来较大困难.现介绍求极限的4种特殊方法:微分中值定理法、无穷小法、不变量法、矩阵法。 关键词：极限;特殊方法;应用
中图分类号：0175
文献标识码：A
文章编号:2096-4390(2019) 15-0061-02
1利用微分中值定理求极限 拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数 的导数将函数特性转化为函数自变量的特性。，
求更驴• a 解:考察函数/(X)= ^ + y, X€［0, 字］. 易见对Vxe［O,字］,有：和=警=心)，齐=討0,字］,
碎屑成分 含量(%)
变质岩
岩浆岩
范围 均值 范围
2〜8 3.9 0〜4 0. 7
沉积岩
黑云母
范围 均值 范围
均值
0〜3 0. 2 2〜11 3.5
2填隙物特征 长2储层砂岩的填隙物由杂基和胶结物组成，具体统计数 据见表3。杂基中泥质的含量最高，绿泥石的含量次之，云母的 含量最少;胶结物中长石加大含量最高、石英加大次之、浊沸石 含量较少、硅质含量最少。
表1永坪区长2油层组碎屑成分分布表
碎屑成分 含量(%)
石英
长石
范围
均值
范围
均值
16—30 20.1 54 〜62 58.5
岩屑
范围
均值
4〜27
14.4
该区长2储层岩屑储层组岩屑及黑云母含量根部数据表
所示。变质岩比较发育，岩浆岩与沉积岩的不发育，很多样品中 不含沉积岩，黑云母在每个样品都可以看到。
表2永坪区长2储层组岩屑及黑云母分布表
引理数列｛兀｝收敛于a的充要条件是:数列［x„-a］为无穷
小数列。 推论若数列3”｝为无穷小数列,则数列｛q'+^+- + q")
也为无穷小数列。
Jtj |
‘ + ‘... | 兀
例2设limx”=a,求极限lim ~?------- -.円
n—*oo
n—»oo
川
解:由 些石,作“变量”代换,令+ 其中
1 yn-2
c 片-2
c
即数列
d为对比数列。
.yn-l J
由-( —d) = (— - — d)+b)-，得
c
c yn_2
ynA
hm 召+兀+…+ £ = lim@+q)+ S+°2)+…+ @ + 勺)
n~n―00
*
=,ln.—im»oo -M---+---(-q---+--斤q--+---・-・・--+--Q- ”--) = a +'h一 l—itmoo (—q-+---q- --斤+--•-•-•-+--&--”-)- = a+0 = a
另解1:由于s = 王的两个不等的不变点分别为： 25 + 1
兀=1"2 = 0，则有等比数列｛黔｝(公比为器)：(转下页)
-62- 科学技术创新2019.15
青平川油田永坪区长2储层特征研究
韩杰冯全中 (延长石油股份有限公司，陕西延安717200)
摘要：针对青平川油田永坪区长2储层特征，本次研究筛选了 61块样話岩心，运用各类实验统计分析手段，做了详细的分
y” = (a + d)y^+(bc-ad)yn_2，由⑴可求极限。
例4(2008年全国高考数学陕西卷理科第22题)已知数 列｛唧的首项am=严十，n=l,2,…，求胞a”.。P!
3利用压缩映射原理求数列极限 压缩映射原理作为泛函分析重要的内容，其不动点成为研
解:矩阵形式(2)得：y” = 4y”_|-3y”_2，于是，有
"p
n(n +1)
2巧用无穷小数列求数列极限
所以,f(x)是压缩的，由压缩映射原理，数列｛X”｝收敛。 设S2X”=C，则c是x = + y在【0,号3的解，解得
c = l — Jl —a ，即 limx = 1—— a。 n-Ka
4利用矩阵求解一类数列的极限 矩阵作为高等代数的基础内容，其矩阵递推关系式成为构
｛%｝是一无穷小数列。
由推论的结论有：
P q Vi
1 o Xn-2,
1
Pq 勺 1 o丿h
(2)若数列的递推公式形如:x” = %书，且已知知,其
CX”一1+d
中 c h 0 , ad be , n = l, 2, ••-，其 ln-iKmx) x 求法： 令cx”j + d =型，则和=2(出")，乙=丄(耳一d).