关于计算极限的几种方法

目录摘要 (1)引言 (2)一．利用导数定义求极限 (2)二．利用中值定理求极限 (2)三．利用定积分定义求极限 (3)四．利用施笃兹公式 (4)五．利用泰勒公式 (5)六．级数法 (5)七．结论 (6)参考文献 (6)内容摘要引言：极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。

早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。

例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率 的。

随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。

但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。

直到19世纪，由A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。

数学分析中的基本概念的表述，都可以用极限来描述。

如函数()x f y =在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。

极限是研究数学分析的基本公具。

极限是贯穿数学分析的一条主线。

一．利用导数定义求极限据文[]1定理1导数的定义：函数)(x f 在0x 附近有定义，对于任意的x ∆，则)()(00x f x x f y -∆+=∆ 如果xx f x x f x x ∆-∆+=→∆→∆)()(lim lim 0000存在，则此极限值就称函数)(x f 在点0x 的导数记为 )('0x f .即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )('0000在这种方法的运用过程中。

首先要选好)(x f ，然后把所求极限。

表示成)(x f 在定点0x 的导数。

例1：求ax xa a x x a a a ax--→lim解：原式0)(lim lim 1lim 0---⋅=---=-→→→a x x a a x a a x a x x a aax x a a a a xa a a a ax x a x x，令a x x a y -=， 当a x →时，0→y ，故原式a a a a aaa y y a ln |)'(0=⋅==一般地，能直接运用导数定义求的极限就直接用导数定义来求，值得注意的是许多从表面看起来，不能直接用导数定义但经过恒等变形后，都可以利用导数定义来求，如上述例题。

二．利用中值定理求极限 2.1利用微分中值定理求极限计算数列和函数的极限时，经常遇到的多是"00"，"0"∞⋅，"0"∞···的不定形式，其中有时"0"也以差的形式出现，这就给应用微分中值定理提供了机会，微分中值定理把差化成积之后，就可在积的极限中，用等价无穷小进行代换，从而起到化繁为简的作用，另一方面，微分中值定理把函数差变成其间的导数值这种转化往往能变难为易。

例2：求()1lim +∞→-m mn a a n ξ()0>a解：因为m a 和1+m a 可以看成指数函数x a 在nx 1=和11+=n x 两点处的函数值，又因a a a x x ln )'(=故由微分中值定理知)1(1ln 1+⋅⋅=-+n n a a a a m m ξ，其中1+<<n n ξ，于是()a n n n a a a nm mln )1(11+⋅=-+ξξξ 故得()a a a n m mn ln lim 1=-+∞→ξ例3：求[]x x x ln sin )1ln(sin lim -+∞→解：由微分中值定理知ξξln cos ln sin )1ln(sin =-+x x ，其中1+<<x x ξ，而1ln cos ≤ξ，故[]0ln sin )1ln(sin lim =-+∞→x x x从以上两例可以看出，当不定式中的"0"以同一函数在不同的两点之差的形式出现时，利用微分中值定理求极限，有统一简便且易于掌握的优点。

2.2利用积分中值定理求极限据文[]1定理9.7积分中值定理：如果函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，那么一定存在[]b a ,∈ξ，使()()()ξf a b dx x f ba-=⎰如果某些数列含有带参数的定积分，并且定积分不易计算，那么在求这类数列的极限时应当首先考虑利用积分中值定理脱去积分符号，然后再作进一步的处理。

例4:求dx x x I pn nn 2sin lim ⎰+∞→⎪⎭⎫⎝⎛= （0>p ） 解：利用积分中值定理，得22sin sin ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+ξξp dx x x pn n（p n n +≤≤ξ） 因为无穷小与有界量的乘积还是无穷小，所以0sin 1lim sin lim sin lim 2222=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→+∞→∞→ξξξξξξξξn 故所求极限0sin lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∞→ξξn p I 例5：求⎰-∞→=21arctan lim nxdx I n解：作变量代换:nx u =则ndx du =于是⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰⎰-∞→-∞→nn n n n n n n udu udu n udu n I 22arctan arctan 1lim arctan 1lim⎰∞→=nnn udu n 2arctan 1lim （利用定积分的对称性，第一项积分为零） =()ξarctan 21lim n n nn -∞→ （n n 2≤≤ξ）（利用积分中值定理） =2arctan lim arctan lim πξξξ==+∞→∞→n所以原式⎰-∞→=21arctan lim nxdx I n =2π三．利用定积分定义求极限据文[]1定理2：设f 是定义在[]b a ,上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[]b a ,的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集i ξ，只要ξ<T ，就有εξ<-∆∑=ni i i J x f 1)(，则称函数f 在区间[]b a ,上可积或黎曼可积，数J 称为f 在[]b a ,上的定积分或黎曼积分，记作dx x f J ba⎰=)(例6:()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→22212111lim n n n n n n 解：记f （x ）=()211x +，x []1,0∈，则()x f 在[]1,0上连续，所以可积，取T ={0，n 1，n 2，n n , }，i ε=i x =i ni∆∈，i =1，2， ，n则 ()⎰+1021x dx =()i n i i T f ∆∑=→10lim ξ=∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+n i n n i n 12_111lim =()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→22212111lim n n n n n =-10|11x +=（-21）-（-1） =21 例7：41limn n ∞→（1+332n ++ ） 解：记()x f =3x ，则()x f 在[]1,0上连续且可积，取T ={0，n 1，n 2， ，nn}==i i x εi nii ,∆∈=1，2， ，n 则dx x ⎰103=()i ni i T f ∆∑=∞→1limξ=311lim ∑=∞→⎪⎭⎫⎝⎛n i n n i n =()33343211lim n n n ++++∞→ =41|4110= 运用该方法时，通常是将所求式转化成和式nab n i a b a f ni --+∑=1))((的极限，相当于定积分中的na b x i -=∆，n ia b a i )(-+=ξ也就是将区间[]b a ,等分，每个小区间的长度为n a b -，取每个小区间的右断点为nia b a i )(-+=ξ，这样就可以将和式的极限nab n i a b a f ni n --+∑=∞→1))((lim 写成定积分dx x f b a ⎰)(形式。

四．利用施笃兹公式据文[]2117页定理6：设数列{}n x 及{}n y 满足： （1）n n y y >+1 （n=1,2,3，····）； （2）+∞=∞→n n y lim ；（3）n n n n n y y x x --++∞→11lim存在（有理数或者是-∞+）则nn n n n n n n y y xx y x --=++∞→∞→11lim lim例5：求αααn n n 111lim --∞→++ （0>α）解:利用施笃兹公式原式=()αααα⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--∞→-∞→n nn n nn n 1111lim1lim1=nn n n e nn n n 11lim 11ln 1lim11lim11ln αααα--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--∞→∞→⎪⎭⎫⎝⎛-∞→ =α1例8：求nn n ln 1211lim+++∞→ 解：因为∞→-→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n ,11111ln 利用施笃兹公式，便有 原式=()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--∞→∞→111ln 1lim 1ln ln 1limn n n n n n n =nn n 1lim-∞→=1推论1：若存在（有限数或者是-∞+），则其算术平均值数列 nx x x n+++ 21 （n=1,2,3,····）的极限也存在，并且n n n n x nx x x ∞→∞→=++lim lim 21 推论2：若0>n x 且n n x ∞→lim 存在（有限数或者是∞+），则其几何平均值数列nn x x x 21（n=1,2,3···）的极限也存在，并且 n n n n n x x x x ∞→∞→=lim lim 21例9：设0>n x ，并且()0lim1>=+∞→l x x nn n ，证明l x n n n =∞→lim证明：由条件()0lim1>=+∞→l x x nn n ，即正项数列 ,,,,123121n n x x x xx x x +当∞→n 时，有极限l ，于是根据推论2，应有l x x x x x x x x n n n n n n n ==⋅⋅∞→-∞→lim lim 123121 例10：求nn n n !1lim∞→ 解：设0!>=n n n n x 则()()!1!1lim lim 11n n n n x x n n x nn x ⋅++=+∞→+∞→=n n nn n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→111lim 1lim =e1 由例9便得en n x n n n n n 1!1limlim ==∞→∞→ 在数列极限中，有一类数列极限用常规方法，是不容易解决或者是相当困难的，比如求10999433321lim ,21lim n n n n n n ++++++∞→∞→ 按通常的方法是先求和式∑=ni i 13和∑=ni i 19再求极限，显然第一步是困难的，对于这类∞∞型不定式nn y x 极限，如果运用施笃兹定理将会得到一种简便的方法。