极限平衡法的几种方法介绍
极限平衡法介绍
基于极限平衡法原理的边坡稳定计算有多种方法，根据不同的适用条件，主要有摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price ）法、毕肖普（Bishop ）法、简布（Janbu ）法、推力法、萨尔玛（Sarma ）法等。
摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price ）法该方法考虑了全部平衡条件与边界条件，消除了计算方法上的误差，并对Janbu 推导出来的近似解法提供了更加精确的解答；对方程式的求解采用数值解法（即微增量法），滑面形状任意，通过力平衡法所计算出的稳定系数值可靠程度较高。
图12—1 力学模型示意图根据其力学模型和几何条件以及静力平衡方程 可解得平衡条件：23111212311121e e e e P e e P e P P e e e e e e e K n n n n n n n n n n n n n n n n c •••++••+•+•••++••+•+=--------ΛΛΛΛαααα （12—1）式中：biϕ——条块底面摩擦角 bic ——条块底面粘聚力 siϕ——条块侧面摩擦角 sic ——条块侧面粘聚力式（12—1）分成n 块滑体达到静力平衡的条件。
该式物理意义是：使滑体达到极限平衡状态，必须在滑体上施加一个临界水平加速度Kc 。
Kc 为正时，方向向坡外，Kc 为负时，方向向坡内，Kc 的大小由式（12—1）确定。
在对该方法应用中，对其进行了进一步完善，充分考虑了分层作用，并使不同层位赋予不同的强度参数，同时它还要求对解的合理性进行校核，使分析计算更趋合理，从而显示了该方法很强的适用性。
Bishop法概述：目前，在工程上常用的两种土坡稳定分析方法仍为瑞典圆弧法(Fellenius法)和简化毕肖普法，它们均属于极限平衡法。
瑞典圆弧法的土条间作用力的假设不太合理，得出的安全系数明显偏低，而简化毕肖普法的假设较为合理，计算也不复杂，因而在工程中得到了十分广泛的应用。
当土坡处于稳定状态时，任一土条内滑弧面上的抗剪强度只发挥了一部分，并与切向力T T相平衡，见图 1(a)，其算式为T T=T T T TT T +T T TTTT TT T（1）如图 1(b)所示，将所有的力投影到弧面的法线方向上，则得T T=[T T+(T T+1−T T)]TTT T T−(T T+1−T T)TTT T T（2）当整个滑动体处于平衡时（图 1(c)），各土条对圆心的力矩之和应为零，此时，条间推力为内力，将相互抵消，因此得∑T T T T−∑T T T=0(3)图1 毕肖普法计算图将式(2)代入式(3)，且T T=T TTT T T，最后得到土坡的安全系数为T T=∑{T T T T+[(T T+T T−T T+1)cos T T−(T T+1−T T)sin T T]tan T T}∑T T sin T T(4)实用上，毕肖普建议不计分条间的摩擦力之差，即T T+1−T T=0，式(4)将简化为T T=∑{T T T T+[T T cos T T−(T T+1−T T)sin T T]tan T T}∑T T sin T T(5)所有作用力在竖直向和水平向的总和都应为零，即∑T T=0,∑T T=0,并结合摩擦力之差为零，得出T T +1−T T =1T T T T cos T T tan T T +T T T T T T−T T sin T T tan T TT Tsin T T +cos T T (6)代入式(5)，简化后得T T =∑(T T T T cos T T +T T tan T T )1tan T T sin T T T T +cos T T⁄∑T T sin T T(7)当采用有效应力法分析时， 重力项T T 将减去孔隙水压力T T T T ，并采用有效应力强度指标T T ′,T T ′有T T =∑(T T ′T T cos T T +T T tan T T ′)1tan T T ′sin T T T T +cos T T⁄∑T T sin T T(8)在计算时，一般可先给T T 假定一值，采用迭代法即可求出。
极限平衡法的基本原理
极限平衡法是一种应用于结构力学中的分析方法，用于研究结构的稳定性和承载能力。
其基本原理可以总结如下：
1. 极限状态假设：极限平衡法假设结构在极限状态下是处于平衡状态的，即结构不再满足弹性条件，而是达到其承载能力的上限。
在这个假设下，结构的形态和应力分布被认为是已知的。
2. 平衡条件和约束方程：根据极限状态假设，结构在极限状态下需要满足平衡条件。
平衡条件可以通过平衡方程来表达，考虑到系统的静力平衡，包括受力平衡和力矩平衡。
除此之外，还需考虑结构的几何约束和材料特性等方面的约束条件。
3. 极限弯矩计算：基于极限状态假设和平衡条件，可以通过计算结构在极限状态下的最大弯矩，并与结构的抗弯承载能力进行比较。
极限弯矩的计算通常涉及到截面形状、材料特性以及边界条件等因素。
4. 承载能力评估：通过比较极限弯矩和结构的抗弯承载能力，可以评估结构在极限状态下的安全性。
如果极限弯矩小于结构的抗弯承载能力，则结构被认为是不稳定的，需要进行进一步强化或加固。
需要注意的是，极限平衡法是一种简化的分析方法，适用于对结构整体稳定性和局部失稳问题进行初步评估。
但在实际工程中，
通常还需要考虑其他因素，如材料非线性、几何非线性、动力效应等，并结合更为精确的数值计算方法进行综合分析。
刚体极限平衡法的名词解释
刚体极限平衡法的名词解释导语：极限平衡法（Limit Equilibrium Method）是一种用于求解土体和岩石坡体稳定性的常用方法，主要依据了刚体力学原理和平衡条件。
本文将解释极限平衡法的概念、原理以及在工程实践中的应用。
一、概念解释极限平衡法是一种经典的土体和岩石稳定性分析方法，其基本思想是，当土体或岩石予以允许的变形和破坏时，仍能保持总体的平衡状态。
该法简单而直观，假定土体或岩石以刚体形式存在，并运用静力平衡原理，寻找使坡体维持稳定的最不利条件。
二、原理解释1. 刚体假设极限平衡法假设土体或岩石均为刚体，意味着在其内部无内部变形，任何一个切面上的应力均为平衡的。
尽管实际情况中土体和岩石的变形符合连续介质力学的原理，但在小范围内近似将其视为刚体，有助于简化分析计算。
2. 静力平衡条件在极限平衡法中，静力平衡被视为稳定的一个必要条件。
考虑力的平衡条件是基于牛顿第三定律，即外力和内力之和为零。
通过在不同切面上施加斜坡、自重和外部荷载等力的平衡，可以确定最不利的力组合。
三、应用解释1. 坡体稳定性分析极限平衡法广泛应用于土体和岩石坡体的稳定性分析。
通过将坡体看作一个刚体，应用静力平衡条件，可以确定坡体的最不利荷载作用下的稳定状态。
根据判断坡体稳定与否的判据，如Fellenius判据、Bishop判据等，可以预测土体或岩石的稳定性。
2. 边坡工程设计极限平衡法对于边坡工程设计具有重要的意义，其可以用于判断边坡的整体稳定性以及寻找在边坡上最不利的滑动面。
根据切坡角度、土壤和岩石的强度参数以及设计荷载等参数，可以确定边坡的安全系数，并针对不同情况进行合理的设计和加固。
3. 基坑和挖掘工程极限平衡法也常应用于基坑和挖掘工程的稳定性分析。
通过将基坑看作一个刚体，分析土体受力平衡条件，可以评估基坑的稳定性状况。
在土体坍塌、基坑支护结构选取等方面，极限平衡法为工程设计提供了重要的理论基础。
结论：刚体极限平衡法是一种用于分析土体和岩石稳定性的重要方法。
极限平衡法在边坡稳定分析中的应用
极限平衡法在边坡稳定性分析中的应用摘要从瑞典圆弧法、瑞典条分法和毕肖普法的基本原理出发，对比三者的不同假设，从得出的安全系数数据分析得出结论：三种方法中，毕肖普法得出的稳定性系数最大，瑞典条分法得出的稳定性系数居中，瑞典圆弧法迁出的稳定性系数最小。
关键词瑞典圆弧法瑞典条分法毕肖普法稳定性系数1 概述由于边坡内部复杂的结构和岩石物质的不同，使得我们必须采用不同的分析方法来分析其稳定状态。
因此边坡是否处于稳定状态，是否需要进行加固与治理的判断依据来源于边坡的稳定性分析数据。
目前用于边坡稳定分析的方法有很多，但大体上有两种——极限平衡法和数值法。
数值法有离散元法、边界元法、有限元法等；极限平衡法有瑞典圆弧法、毕肖普法、陆军工程师团法、萨尔玛法和摩根斯坦—普莱斯法等。
极限平衡法依据的是边坡上的滑体或滑体分块的力学平衡原理(即静力平衡原理)来分析边坡在各种破坏模式下的受力状态，以及边坡滑体上的抗滑力和下滑力之间的关系来对边坡的稳定性进行评价的计算方法。
由于它概念清晰，容易理解和掌握,且分析后能直接给出反映边坡稳定性的安全系数值，因此极限平衡法是边坡稳定性分析计算中主要的方法，也是在工程实践中应用最多的方法之一。
其中瑞典圆弧法（简称瑞典法或费伦纽斯法）亦称Fellenious法，是边坡稳定分析领域最早出现的一种方法。
这一方法由于引入过多的简化条件和考虑因素的限制 , 它只适用于φ＝ 0 的情况。
虽然求出的稳定系数偏低 10 % ～20 %。
，但却构成了近代土坡稳定分析条分法的雏形。
而在费伦纽斯之后，许多学者都对条分法进行了改良，产生了许多新的计算方法，使计算的方法日趋完善。
在瑞典圆弧法分析粘性边坡稳定性的基础上，瑞典学者Fellenius 提出了圆弧条分析法，也称瑞典条分法。
Fellenius将土条两侧的条间力的合力近似的看成大小相等、方向相反、作用在同一作用面上，因此提出了不计条间力影响的假设条件。
而每一土条两侧的条间力实际上是不平衡的，但经验表明，在边坡稳定性分析中，当土条宽度不大时，忽略条间力的作用对计算结果并没有显著的影响，而且此法应用的时间很长，积累了丰富的工程经验，一般得到的安全系数偏低，即偏于安全，所以目前的工程建设上仍然常用这种方法。
边坡稳定的极限平衡法
极限平衡法在边坡工程设计中应用广泛，可以帮助工程师确定边坡的安 全系数和稳定性。
极限平衡法基本原理：通过计算土体的抗剪强度和滑动面的抗剪强度，判断边坡的稳 定性
计算参数：包括土体的内聚力、内摩擦角、黏聚力、黏聚力等
计算方法：采用极限平衡法计算公式，如瑞典圆弧法、毕肖普法等
边界元法：适用于非 连续介质问题，求解 速度快，但需要大量 的计算
极限平衡法与边界元法 的比较：极限平衡法适 用于连续介质问题，而 边界元法适用于非连续 介质问题，两者在求解 速度上都有优势，但都 需要大量的计算。
边坡稳定的极限平 衡法的发展趋势和 未来展望
极限平衡法在 边坡稳定分析 中的应用越来
性的弹性体
计算原理：通 过求解土体的 应力、应变和 位移方程，得 到边坡的稳定
安全系数
应用范围：适 用于各种土质 边坡，特别是 那些受水、温 度等因素影响
的边坡
Байду номын сангаас
基本假设：土体为连续、均匀、各向同性的弹性体
计算方法：通过求解土体的静力平衡方程，得到土体的应力状态和变形状态
适用范围：适用于土体变形较小、应力状态较简单的情况 优点：计算简单、易于理解，能够快速得到土体的应力状态和变形状态
越广泛
极限平衡法的 计算方法和软 件不断改进和
完善
极限平衡法与 其他分析方法 相结合，提高 边坡稳定分析 的准确性和可
靠性
极限平衡法在 边坡稳定预警 和防治中的应
用前景广阔
技术进步：随着科技 的发展，极限平衡法 的计算方法和技术将 不断完善和改进。
应用领域拓展：极限平 衡法将在更多领域得到 应用，如地质灾害防治、 土木工程、环境工程等。
极限平衡法介绍
si i si i bi i i Q e ϕδϕαϕsec )[cos(-+-=)cos(i ei i a i W Q P αϕ-•=)tan (si i i si i PW d C S ϕ•-•=)(11111+++++•-•=si i i si i tn PW d C S ϕ)tan sec (bi i i i bi i u b C R ϕα•-•=11cos )sec(+++-=si si i bi i Q ϕϕαϕbi ϕ——条块底面摩擦角bic ——条块底面粘聚力si ϕ——条块侧面摩擦角sic ——条块侧面粘聚力式（12—1）分成n 块滑体达到静力平衡的条件。
该式物理意义是：使滑体达到极限平衡状态，必须在滑体上施加一个临界水平加速度Kc 。
Kc 为正时，方向向坡外，Kc 为负时，方向向坡内，Kc 的大小由式（12—1）确定。
在对该方法应用中，对其进行了进一步完善，充分考虑了分层作用，并使不同层位赋予不同的强度参数，同时它还要求对解的合理性进行校核，使分析计算更趋合理，从而显示了该方法很强的适用性。
Bishop 法概述：目前，在工程上常用的两种土坡稳定分析方法仍为瑞典圆弧法(Fellenius 法)和简化毕肖普法，它们均属于极限平衡法。
瑞典圆弧法的土条间作用力的假设不太合理，得出的安全系数明显偏低，而简化毕肖普法的假设较为合理，计算也不复杂，因而在工程中得到了十分广泛的应用。
当土坡处于稳定状态时，任一土条内滑弧面上的抗剪强度只发挥了一部分， 并与切向力T i 相平衡，见图 1(a)，其算式为T i =c i l i F s+N i tanφiF s（1）如图 1(b)所示，将所有的力投影到弧面的法线方向上，则得N i =[W i +(H i+1−H i )]cos αi −(P i+1−P i )sin αi （2）当整个滑动体处于平衡时（图 1(c)），各土条对圆心的力矩之和应为零，此时，条间推力为内力，将相互抵消，因此得∑W i x i −∑T i R =0 (3)图1 毕肖普法计算图将式(2)代入式(3)，且x i=R sinαi，最后得到土坡的安全系数为F s=∑{c i l i+[(W i+H i−H i+1)cosαi−(P i+1−P i)sinαi]tanφi}∑W i sinαi(4)实用上，毕肖普建议不计分条间的摩擦力之差，即H i+1−H i=0，式(4)将简化为F s=∑{c i l i+[W i cosαi−(P i+1−P i)sinαi]tanφi}∑W i sinαi(5)所有作用力在竖直向和水平向的总和都应为零，即∑F x=0,∑F y=0,并结合摩擦力之差为零，得出P i+1−P i=1F sW i cosαi tanφi+c i l iF s−W i sinαitanφiF ssinαi+cosαi(6)代入式(5)，简化后得F s=∑(c i l i cosαi+W i tanφi)1tanφi sinαi F s+cosαi⁄∑W i sinαi(7)当采用有效应力法分析时，重力项W i将减去孔隙水压力u i l i，并采用有效应力强度指标c i′,φi′有F s=∑(c i′l i cosαi+W i tanφi′)1tanφi′sinαi F s+cosαi⁄∑W i sinαi(8)在计算时，一般可先给F s假定一值，采用迭代法即可求出。
边坡稳定性分析方法简介
边坡稳定性分析方法简介介绍了边坡稳定性分析的极限平衡法：瑞典圆弧法、简化Bishop法、简化Janbu法、Morgenstern&Price法、Spencer法以及嚴格Janbu法；以及边坡稳定的可靠性分析方法：蒙特卡洛法、可靠指标法、统计矩法、模糊可靠度分析法以及随机有限元法。
标签：边坡稳定性滑坡极限平衡法可靠性分析方法一、引言滑坡是指人工或自然边坡在外界因素的诱发下丧失自身稳定性而发生滑移的地质现象，是一种严重的地质灾害，长期以来给人类造成了巨大的财产损失和人生伤害，是人类面临的三大自然灾害之一。
我国是滑坡多发国家之一，据《中国地质环境公报》有关数据显示，我国2012年全国共发生各类地质灾害18751起，全年共造成人员伤亡1021人，其中发生滑坡灾害8971起，造成人员伤亡379人，分别占地质灾害总数的47.8%和37.1%。
因此研究边坡稳定的影响因素及滑坡的发生机理，探索滑坡的防治技术具有极高的社会价值。
鉴于此，人类对边坡稳定的研究已有将近百年的历史，这使得边坡稳定性分析的方法也极大的丰富了起来。
二、边坡稳定的极限平衡分析方法极限平衡法假定边坡出现滑动面且处于极限平衡状态，然后将边坡离散成有垂直边界的土条，假设土条为刚体（即不考虑土条的变形），建立土条的静力平衡方程，通过求解静力平衡方程得到边坡的安全系数。
1776年法国工程师库仑提出了计算挡土墙土压力的方法，标志着土力学雏型的产生；1857年朗肯在假设墙后土体各点处于极限平衡状态的基础上，建立了计算主动和被动土压力的方法；库仑和朗肯在分析土压力时采用的方法后来被推广到边坡稳定分析中，形成了一个边坡稳定性评价体系，这就是极限平衡法。
在过去将近一个世纪中，这一方法逐步从一种经验性的简化方法发展成一个具有完整理论体系、较为成熟的分析方法。
（1）瑞典圆弧法。
瑞典人Fellenius提出了边坡稳定分析的圆弧滑动分析方法，即瑞典圆弧法，它是边坡稳定分析领域中最早的一种方法。
极限平衡法介绍
si i si i bi i i Q e ϕδϕαϕsec )[cos(-+-=)cos(i ei i a i W Q P αϕ-•=)tan (si i i si i PW d C S ϕ•-•=)(11111+++++•-•=si i i si i tn PW d C S ϕ)tan sec (bi i i i bi i u b C R ϕα•-•=11cos )sec(+++-=si si i bi i Q ϕϕαϕbi ϕ——条块底面摩擦角bic ——条块底面粘聚力si ϕ——条块侧面摩擦角sic ——条块侧面粘聚力式（12—1）分成n 块滑体达到静力平衡的条件。
该式物理意义是：使滑体达到极限平衡状态，必须在滑体上施加一个临界水平加速度Kc 。
Kc 为正时，方向向坡外，Kc 为负时，方向向坡内，Kc 的大小由式（12—1）确定。
在对该方法应用中，对其进行了进一步完善，充分考虑了分层作用，并使不同层位赋予不同的强度参数，同时它还要求对解的合理性进行校核，使分析计算更趋合理，从而显示了该方法很强的适用性。
Bishop 法概述：目前，在工程上常用的两种土坡稳定分析方法仍为瑞典圆弧法(Fellenius 法)和简化毕肖普法，它们均属于极限平衡法。
瑞典圆弧法的土条间作用力的假设不太合理，得出的安全系数明显偏低，而简化毕肖普法的假设较为合理，计算也不复杂，因而在工程中得到了十分广泛的应用。
当土坡处于稳定状态时，任一土条内滑弧面上的抗剪强度只发挥了一部分， 并与切向力T i 相平衡，见图 1(a)，其算式为T i =c i l i F s+N i tanφiF s（1）如图 1(b)所示，将所有的力投影到弧面的法线方向上，则得N i =[W i +(H i+1−H i )]cos αi −(P i+1−P i )sin αi （2）当整个滑动体处于平衡时（图 1(c)），各土条对圆心的力矩之和应为零，此时，条间推力为内力，将相互抵消，因此得∑W i x i −∑T i R =0 (3)图1 毕肖普法计算图将式(2)代入式(3)，且x i=R sinαi，最后得到土坡的安全系数为F s=∑{c i l i+[(W i+H i−H i+1)cosαi−(P i+1−P i)sinαi]tanφi}∑W i sinαi(4)实用上，毕肖普建议不计分条间的摩擦力之差，即H i+1−H i=0，式(4)将简化为F s=∑{c i l i+[W i cosαi−(P i+1−P i)sinαi]tanφi}∑W i sinαi(5)所有作用力在竖直向和水平向的总和都应为零，即∑F x=0,∑F y=0,并结合摩擦力之差为零，得出P i+1−P i=1F sW i cosαi tanφi+c i l iF s−W i sinαitanφiF ssinαi+cosαi(6)代入式(5)，简化后得F s=∑(c i l i cosαi+W i tanφi)1tanφi sinαi F s+cosαi⁄∑W i sinαi(7)当采用有效应力法分析时，重力项W i将减去孔隙水压力u i l i，并采用有效应力强度指标c i′,φi′有F s=∑(c i′l i cosαi+W i tanφi′)1tanφi′sinαi F s+cosαi⁄∑W i sinαi(8)在计算时，一般可先给F s假定一值，采用迭代法即可求出。
极限平衡法的几种方法介绍
基于极限平衡法原理的边坡稳定计算有多种方法，根据不同的适用条件，主要有摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price）法、毕肖普（Bishop）法、简布（Janbu）法、推力法、萨尔玛（Sarma）法等。
Bishop法概述：目前，在工程上常用的两种土坡稳定分析方法仍为瑞典圆弧法(Fellenius法)和简化毕肖普法，它们均属于极限平衡法。
瑞典圆弧法的土条间作用力的假设不太合理，得出的安全系数明显偏低，而简化毕肖普法的假设较为合理，计算也不复杂，因而在工程中得到了十分广泛的应用。
当土坡处于稳定状态时，任一土条内滑弧面上的抗剪强度只发挥了一部分，并与切向力T i相平衡，见图1(a)，其算式为T i=c i l iF s +N i tanφiF s（1）如图1(b)所示，将所有的力投影到弧面的法线方向上，则得N i=[W i+(H i+1−H i)]cosαi−(P i+1−P i)sinαi（2）当整个滑动体处于平衡时（图1(c)），各土条对圆心的力矩之和应为零，此时，条间推力为内力，将相互抵消，因此得∑W i x i−∑T i R=0 (3)图1 毕肖普法计算图将式(2)代入式(3)，且x i=R sinαi，最后得到土坡的安全系数为F s=∑{c i l i+[(W i+H i−H i+1)cosαi−(P i+1−P i)sinαi]tanφi}∑W i sinαi(4)实用上，毕肖普建议不计分条间的摩擦力之差，即H i+1−H i=0，式(4)将简化为F s=∑{c i l i+[W i cosαi−(P i+1−P i)sinαi]tanφi}∑W i sinαi(5)所有作用力在竖直向和水平向的总和都应为零，即∑F x=0,∑F y=0,并结合摩擦力之差为零，得出P i+1−P i=1F sW i cosαi tanφi+c i l iF s−W i sinαitanφiF ssinαi+cosαi(6)代入式(5)，简化后得F s=∑(c i l i cosαi+W i tanφi)1tanφi sinαi F s+cosαi⁄∑W i sinαi(7)当采用有效应力法分析时，重力项W i将减去孔隙水压力u i l i，并采用有效应力强度指标c i′,φi′有F s=∑(c i′l i cosαi+W i tanφi′)1tanφi′sinαi F s+cosαi⁄∑W i sinαi(8)⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑00Y X可解得平衡条件：（12—1）式中：si i si i bi i i Q e ϕδϕαϕsec )[cos(-+-=)cos(i ei i a i W Q P αϕ-•=)tan (si i i si i PW d C S ϕ•-•=)(11111+++++•-•=si i i si i tn PW d C S ϕ)tan sec (bi i i i bi i u b C R ϕα•-•= 11cos )sec(+++-=si si i bi i Q ϕϕαϕbi ϕ——条块底面摩擦角bic ——条块底面粘聚力si ϕ——条块侧面摩擦角sic ——条块侧面粘聚力式（12—1）分成n 块滑体达到静力平衡的条件。
滑坡计算方法(极限平衡法)
6.3 极限平衡法•6.3.1 概述•6.3.2 简单（瑞典）条分法•6.3.3 简化毕肖甫法•6.3.4 Janbu法•6.3.5 Spencer方法•6.3.6 Morgenstern-Price方法•6.3.7 陈祖煜的通用条分法•6.3.8 总结•6.3.9 孔隙水压力的考虑•6.3.10 最小滑裂面的搜索6.3.1 概述•极限平衡法是建立在（刚体）极限状态时的静力平衡基础上；•不考虑变形协调条件与变形过程；•假设滑裂面（圆形或者任意）；•由于求解条件不足，需要一些假设；R M =∫()n n l σσ=其中是未知函数syxE 方程数：静力平衡＋力矩平衡＝3n滑动面上极限平衡条件＝n 未知数：条块间力＋水平力作用点位置＝2(n -1)+(n -1) ＝3n -3滑动面上的力＝2n 安全系数F＝14n5n -2未知数－方程数＝n-2q图6－64忽略土条体底部力N i 的作用点位置yE i i安全系数定义：条块底部：F c c =e ee e ef tg sec tg ϕαϕτi i i i i i N x c N l c l T +∆=+=⋅=Fϕϕtg tg e =en e f tg ϕστ+=c 极限平衡条件图6－65几种极限平衡法iq方程数：未知数：(5n -2)-3(n -1)=2n +14n图6－66h瑞典条分法0方程数：未知数：(5n-2)-(n -1)=4n -14nE iq图6－69毕肖普法(cos sin )(sin cos tg )(eee e =−∆−∆+∆−+∆+∆+∆∑∑∑R h Q x q W tg x c x q W i i i i i i i ααϕααϕFcc =e Fϕϕtg tg e =一个方程，一个未知数F ，可解，需试算。
6.3.4Janbu 法假定：假定各土条间推力作用点连线为光滑连续曲线↔“推力作用线”方程数：未知数：(5n -2)-(n -1)=4n -14ni qh i 即假定了条块间力的作用点位置Janbu 法)}tg()()]tg(tg 1[{eee=−∆−∆+∆+−+∆−∆∑ϕαϕααiiiiiiX x q W x c Q 此式可用于迭代求解安全系数F s ，但尚须先得到∆X i6.3.5 Spencer 法假定：假定土条间的切向力与法向力之比为常数，即方程数：未知数：(5n -2)-(n -1)+1=4n 4niqX i / E i = tg β= λSpencer 法补充一个方程：根据力矩平衡条件得到两个未知数：F 、β]cos sec )cos()sin()[sec(eeeee=∆−−∆+−∆−−∑ϕαϕαϕαϕβαiiiiiix c QW 1)(,0)()()(tan 1010==+=x f x f x f x f λβV 6.3.6 Morgenstern-Price 方法yxMorgenstern & Price 待求，f 1(x )为人为假定函数其中k 、m 为常数f 1(x )=1 Spencer 方法f 1(x )=0 Bishop 方法6－81Morgenstern-Price方法两个未知数F λ、两个方程，于是可以求解6.3.7yx假定：陈祖煜在Morgenstern & Price 方法的基础上，提出了更具一般性的方法其中λ待求，f 0(x )、f (x ) 为人为假定函数6.3.8 总结图6－97 几种计算方法小结极限平衡法边坡稳定分析的一些结论Duncan 关于边坡稳定分析方法的结论（1980、1996）：（1）瑞典条分法所得安全系数较小，在圆弧中心角较大和孔隙水压力较大时，安全系数的误差较大。
极限平衡法介绍
基于极限平衡法原理的边坡稳定计算有多种方法，根据不同的适用条件，主要有摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price）法、毕肖普（Bishop）法、简布（Janbu）法、推力法、萨尔玛（Sarma）法等。
摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price）法该方法考虑了全部平衡条件与边界条件，消除了计算方法上的误差，并对Janbu推导，滑ϕ——条块侧面摩擦角sic——条块侧面粘聚力si式（12—1）分成n块滑体达到静力平衡的条件。
该式物理意义是：使滑体达到极限平衡状态，必须在滑体上施加一个临界水平加速度Kc。
Kc为正时，方向向坡外，Kc为负时，方向向坡内，Kc 的大小由式（12—1）确定。
在对该方法应用中，对其进行了进一步完善，充分考虑了分层作用，并使不同层位赋予不同的强度参数，同时它还要求对解的合理性进行校核，使分析计算更趋合理，从而显示了该方法很强的适用性。
Bishop法概述：（1）（2）推力为内力，将相互抵消，因此得∑T T T T−∑T T T=0(3)图1 毕肖普法计算图将式(2)代入式(3)，且T T=T TTT T T，最后得到土坡的安全系数为T T=∑{T T T T+[(T T+T T−T T+1)cos T T−(T T+1−T T)sin T T]tan T T}(4)∑T T sin T T实用上，毕肖普建议不计分条间的摩擦力之差，即T T+1−T T=0，式(4)将简化为T T=∑{T T T T+[T T cos T T−(T T+1−T T)sin T T]tan T T}(5)∑T T sin T T所有作用力在竖直向和水平向的总和都应为零，即∑T T=0,∑T T=0,并结合摩擦简布（janbu）法简布（janbu）法是假定条块间的水平作用力的位置，每个条块都满足全部的静力平衡条件和极限平衡条件，滑动土体的整体力矩平衡条件也满足，而且它适用于任何滑动面而不必规定滑动面是一个圆弧面，所以又称为普遍条分法。
极限平衡法
圆弧形条分法
瑞典费兰纽斯等人所创立，也叫瑞典法。
针对平面问题，假定可能的滑面为圆弧形，位置和安全系数经反复试算确定，计算中不考虑条块间的作用力。
（1）计算方法
1.在已给定的边坡上，做出任意通过坡脚的圆弧AC ，半径为R ，以此圆弧作为可能的滑动面，将滑动面以上的土体分为几个条块。
A B
C
O
L i T i
W i N i αi
N i T i
T 2T 1E i
E i
W i
2.计算作用在每一个条块上的力，将每一个条块的自重W i 分解为垂直于滑动面的法向压力N i 和平行于滑动面的切向力T i ，即：
i i i i
i i W T W N ααsin cos ==
作用于该条块所对应的长为L i 还有摩擦力N i tg φ和内聚力CL i ，这些都是抵抗滑动的力。
在条块分界面上还有E 1，E 2，T 1，T 2等力，为了简化计算，假定E 1=E 2，T 1=T 2。
计算中这些力不预考虑。
3.计算和条块的下滑力对滑弧圆心O 点的力矩M 1：
i n
i i n i i W R T R M αsin 1
11∑∑==== 4.计算各条块抗滑力对O 点的力矩M 2： )cos ()(1
12φαφtg W CL R tg N CL R M i i i n
i i i n i +=+=∑∑== 5.计算安全系数F s ∑∑∑∑+=+==i i i i s i
i i i i s a W tg W CL F a W R tg W CL R M M F sin cos sin )cos (12φαφα。
极限平衡分析方法
第六章 边坡稳定性的极限平衡分析6.1概述边坡稳定性分析的核心问题是边坡安全系数的计算。
边坡稳定性分析的方法较多，极限平衡分析计算方法简便，且能定量地给出边坡安全系数的大小，方法本身已臻成熟，广为工程界接受，仍然是当今解决工程问题的基本方法。
现行众多任意滑面边坡稳定性计算方法均建立在条分极限平衡法基础上。
其主要原理是将滑体划分为若干条块，条块看作是刚性的，滑面认为达到极限平衡状态且抗剪强度的发挥状态一致。
各种方法都是通过力平衡和力矩平衡或二者都平衡来建立边坡安全系数表达式，具体表达式为：矩）驱使滑塌的致滑力（或矩）能够提供的抗滑力（或安全系数s FF s 为1时出现临界或极限状态。
极限平衡分析方法主要有：Bishop 法、Janbu 法、Sarma 法、余推力法等。
各种方法都是基于一定的假定条件。
采用何种方法主要看其假定条件是否与待研究边坡的实际情况相吻合。
本文结合大顶铁矿边坡实际情况，采用Sarma 法分析了边坡工程的稳定性。
6.2计算原理和计算方案6.2.1 Sarma 法基本原理Sarma 法是70年代初由Sarma 本人发展起来的一种折线性滑动面及倾斜（任意角度）分条的极限分析方法。
其基本思想是：边坡岩体除非是沿一个理想的平面或圆弧而滑动，才可以作为一个完整的刚体运动，否则，只有滑体内部先发生剪切，即岩体先破裂成多块可相对滑动的块体后才可能发生滑动。
Sarma 在1979年推导出计算公式，后来，Hoek 对Sarma 法进行了改进、完善和发展。
改进后的方法可允许对各个条块的边和基底采取不同的抗剪强度。
条块体各边的倾角可自由改变，使其可同时反映诸如断层和层面等特定的结构特征。
该分析法可对各个条块体引入外力，并能自动反映边坡任何部分浸水时引起的各种效应。
典型的滑动条块体的几何形状为如图1所示的四边形单元，计算中以角点坐标XT i ，YT i ，XB i ，YB i ，XT i+1，YT i+1，XB i+1，YB i ＋1等描述。
极限平衡法
1定义（两种）极限平衡法是岩土体稳定性分析方法之一。
通常根据作用于岩土体中潜在破坏面上块体沿破坏面的抗剪力与该块体沿破坏面的剪切力之比，求该块体的稳定性系数。
[1]分析岩体和土体稳定性时假定一破坏面,取破坏面内土体,为脱离体计算出作用于脱离体上的力系达到静力平衡时所需的岩土的抗力或抗剪强度,与破坏面实际所能提供的岩土的抗力或抗剪强度相比较,以求得稳定性安全系数的方法,或根据所给定的安全系数求允许作用外荷载的方法.2目前常用的二维极限平衡分析方法有：瑞典法（亦称作Fellenious法）、简化Janbu 法、Bishop简化法、严格Janbu法、Lowe-Karafiath（罗厄）法、美国陆军工程师团法、Morgenstern-Price法、Spencer法、垂直条分Sarma法、斜条分Sarma法、传递系数法等，区别主要在于条间力假设。
这些方法都是假定滑体各分条块在某种条件下（超载或材料强度折减）在剪切面上都达到极限平衡状态，并将超载倍数或强度折减的系数定义为边坡稳定的安全系数。
上述各种极限平衡分析方法是一些基本的分析方法，在分析中需要进行迭代计算，在计算时会遇到迭代不收敛及计算精度问题。
随着岩土力学、数值分析方法和计算机技术的发展，许多学者对这些分析方法进行了不断地改进、发展与完善。
在边坡、坝基和其他建筑物的抗滑稳定分析中，极限平衡法是工程中普遍采用的方法；Spencer 和Morgenstern and Price method 都是严格的极限平衡；Fredlund和Krahn通过对不同分析方法的比较，得出Morgenstern-Price法是最优方法。
在二维分析的基础上，一些学者对边坡抗滑稳定的三维极限平衡分析方法进行了研究，将二维时的分条变成了三维时的分条柱，其分析方法的基本思路与二维一致。
三维极限平衡分析时将二维时的分条变成了三维时的分条柱，其分析方法的基本思路与二维一致。
三维极限平衡法计算的稳定安全系数均高于二维极限平衡平面法，三维法计算结果更接近真实性，二维法偏于保守。
极限平衡法介绍
基于极限平衡法原理的边坡稳定计算有多种方法，根据不同的适用条件，主要有摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price ）法、毕肖普（Bishop ）法、简布（Janbu ）法、推力法、萨尔玛（Sarma ）法等。
摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price ）法该方法考虑了全部平衡条件与边界条件，消除了计算方法上的误差，并对Janbu 推导出来的近似解法提供了更加精确的解答；对方程式的求解采用数值解法（即微增量法），滑面形状任意，通过力平衡法所计算出的稳定系数值可靠程度较高。
图12—1 力学模型示意图根据其力学模型和几何条件以及静力平衡方程 可解得平衡条件：23111212311121e e e e P e e P e P P e e e e e e e K n n n n n n n n n n n n n n n n c ∙∙∙++∙∙+∙+∙∙∙++∙∙+∙+=-------- αααα （12—1）式中：biϕ——条块底面摩擦角 bic ——条块底面粘聚力 siϕ——条块侧面摩擦角 sic ——条块侧面粘聚力式（12—1）分成n 块滑体达到静力平衡的条件。
该式物理意义是：使滑体达到极限平衡状态，必须在滑体上施加一个临界水平加速度Kc 。
Kc 为正时，方向向坡外，Kc 为负时，方向向坡内，Kc 的大小由式（12—1）确定。
在对该方法应用中，对其进行了进一步完善，充分考虑了分层作用，并使不同层位赋予不同的强度参数，同时它还要求对解的合理性进行校核，使分析计算更趋合理，从而显示了该方法很强的适用性。
Bishop法概述：目前，在工程上常用的两种土坡稳定分析方法仍为瑞典圆弧法(Fellenius法)和简化毕肖普法，它们均属于极限平衡法。
瑞典圆弧法的土条间作用力的假设不太合理，得出的安全系数明显偏低，而简化毕肖普法的假设较为合理，计算也不复杂，因而在工程中得到了十分广泛的应用。
当土坡处于稳定状态时，任一土条内滑弧面上的抗剪强度只发挥了一部分，并与切向力相平衡，见图1(a)，其算式为（1）如图1(b)所示，将所有的力投影到弧面的法线方向上，则得（2）当整个滑动体处于平衡时（图1(c)），各土条对圆心的力矩之和应为零，此时，条间推力为内力，将相互抵消，因此得(3)图1 毕肖普法计算图将式(2)代入式(3)，且，最后得到土坡的安全系数为(4)实用上，毕肖普建议不计分条间的摩擦力之差，即，式(4)将简化为(5)所有作用力在竖直向和水平向的总和都应为零，即并结合摩擦力之差为零，得出(6)代入式(5)，简化后得(7)当采用有效应力法分析时， 重力项 将减去孔隙水压力 ，并采用有效应力强度指标有(8)在计算时，一般可先给 假定一值，采用迭代法即可求出。
极限平衡法介绍
基于极限平衡法原理的边坡稳定计算有多种方法，根据不同的适用条件，主要有摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price ）法、毕肖普（Bishop ）法、简布（Janbu ）法、推力法、萨尔玛（Sarma ）法等。
摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price ）法该方法考虑了全部平衡条件与边界条件，消除了计算方法上的误差，并对Janbu 推导出来的近似解法提供了更加精确的解答；对方程式的求解采用数值解法（即微增量法），滑面形状任意，通过力平衡法所计算出的稳定系数值可靠程度较高。
图12—1 力学模型示意图根据其力学模型和几何条件以及静力平衡方程可解得平衡条件：23111212311121e e e e P e e P e P P e e e e e e e K n n n n n n n n n n n n n n n n c •••++••+•+•••++••+•+=--------ΛΛΛΛαααα （12—1）式中：biϕ——条块底面摩擦角bic ——条块底面粘聚力siϕ——条块侧面摩擦角sic ——条块侧面粘聚力式（12—1）分成n 块滑体达到静力平衡的条件。
该式物理意义是：使滑体达到极限平衡状态，必须在滑体上施加一个临界水平加速度Kc 。
Kc 为正时，方向向坡外，Kc 为负时，方向向坡内，Kc 的大小由式（12—1）确定。
在对该方法应用中，对其进行了进一步完善，充分考虑了分层作用，并使不同层位赋予不同的强度参数，同时它还要求对解的合理性进行校核，使分析计算更趋合理，从而显示了该方法很强的适用性。
Bishop法概述：目前，在工程上常用的两种土坡稳定分析方法仍为瑞典圆弧法(Fellenius法)和简化毕肖普法，它们均属于极限平衡法。
瑞典圆弧法的土条间作用力的假设不太合理，得出的安全系数明显偏低，而简化毕肖普法的假设较为合理，计算也不复杂，因而在工程中得到了十分广泛的应用。
当土坡处于稳定状态时，任一土条内滑弧面上的抗剪强度只发挥了一部分，并与切向力T T相平衡，见图 1(a)，其算式为T T=T T T TT T +T T TTTT TT T（1）如图 1(b)所示，将所有的力投影到弧面的法线方向上，则得T T=[T T+(T T+1−T T)]TTT T T−(T T+1−T T)TTT T T（2）当整个滑动体处于平衡时（图 1(c)），各土条对圆心的力矩之和应为零，此时，条间推力为内力，将相互抵消，因此得∑T T T T−∑T T T=0(3)图1 毕肖普法计算图将式(2)代入式(3)，且T T=T TTT T T，最后得到土坡的安全系数为T T=∑{T T T T+[(T T+T T−T T+1)cos T T−(T T+1−T T)sin T T]tan T T}∑T T sin T T(4)实用上，毕肖普建议不计分条间的摩擦力之差，即T T+1−T T=0，式(4)将简化为T T=∑{T T T T+[T T cos T T−(T T+1−T T)sin T T]tan T T}∑T T sin T T(5)所有作用力在竖直向和水平向的总和都应为零，即∑T T=0,∑T T=0,并结合摩擦力之差为零，得出T T+1−T T=1T TT T cos T T tan T T+T T T TT T−T T sin T Ttan T TT Tsin T T+cos T T(6)代入式(5)，简化后得T T=∑(T T T T cos T T+T T tan T T)1tan T T sin T T T T+cos T T⁄∑T T sin T T(7)当采用有效应力法分析时，重力项T T将减去孔隙水压力T T T T，并采用有效应力强度指标T T′,T T′有T T=∑(T T′T T cos T T+T T tan T T′)1tan T T′sin T T T T+cos T T⁄∑T T sin T T(8)在计算时，一般可先给T T假定一值，采用迭代法即可求出。
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For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use基于极限平衡法原理的边坡稳定计算有多种方法，根据不同的适用条件，主要有摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price）法、毕肖普（Bishop）法、简布（Janbu）法、推力法、萨尔玛（Sarma）法等。
Bishop法概述：目前，在工程上常用的两种土坡稳定分析方法仍为瑞典圆弧法(Fellenius法)和简化毕肖普法，它们均属于极限平衡法。
瑞典圆弧法的土条间作用力的假设不太合理，得出的安全系数明显偏低，而简化毕肖普法的假设较为合理，计算也不复杂，因而在工程中得到了十分广泛的应用。
当土坡处于稳定状态时，任一土条内滑弧面上的抗剪强度只发挥了一部分，并与切向力相平衡，见图1(a)，其算式为（1）如图1(b)所示，将所有的力投影到弧面的法线方向上，则得（2）当整个滑动体处于平衡时（图1(c)），各土条对圆心的力矩之和应为零，此时，条间推力为内力，将相互抵消，因此得(3)图1 毕肖普法计算图将式(2)代入式(3)，且，最后得到土坡的安全系数为(4)实用上，毕肖普建议不计分条间的摩擦力之差，即，式(4)将简化为(5)所有作用力在竖直向和水平向的总和都应为零，即并结合摩擦力之差为零，得出(6)代入式(5)，简化后得(7)当采用有效应力法分析时，重力项将减去孔隙水压力，并采用有效应力强度指标有(8)在计算时，一般可先给假定一值，采用迭代法即可求出。
根据经验，通常只要迭代3~4次就可满足精度要求，而且迭代通常总是收敛的。
摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price）法该方法考虑了全部平衡条件与边界条件，消除了计算方法上的误差，并对Janbu推导出来的近似解法提供了更加精确的解答；对方程式的求解采用数值解法（即微增量法），滑面形状任意，通过力平衡法所计算出的稳定系数值可靠程度较高。
si i si i bi i i Q e ϕδϕαϕsec )[cos(-+-=)cos(i ei i a i W Q P αϕ-∙= )t a n (si i i si i PW d C S ϕ∙-∙= )(11111+++++∙-∙=si i i si i tn PW d C S ϕ )tan sec (bi i i i bi i u b C R ϕα∙-∙= 11cos )sec(+++-=si si i bi i Q ϕϕαϕbi ϕ——条块底面摩擦角bi c ——条块底面粘聚力si ϕ——条块侧面摩擦角si c ——条块侧面粘聚力式（12—1）分成n 块滑体达到静力平衡的条件。
该式物理意义是：使滑体达到极限平衡状态，必须在滑体上施加一个临界水平加速度Kc 。
Kc 为正时，方向向坡外，Kc 为负时，方向向坡内，Kc 的大小由式（12—1）确定。
在对该方法应用中，对其进行了进一步完善，充分考虑了分层作用，并使不同层位赋予不同的强度参数，同时它还要求对解的合理性进行校核，使分析计算更趋合理，从而显示了该方法很强的适用性。
简布（janbu ）法简布（janbu ）法是假定条块间的水平作用力的位置，每个条块都满足全部的静力平衡条件和极限平衡条件，滑动土体的整体力矩平衡条件也满足，而且它适用于任何滑动面而不必规定滑动面是一个圆弧面，所以又称为普遍条分法。
简布（janbu ）法条块作用力分析。
i+1P iiiP i（a ） （b ） （c ） 其中：i 1(tg )i i i i sT c l N F φ=+ （8-1）1i i i P P P +∆=- （8-2）1i i i H H H +∆=- （8-3）第i 条块力平衡条件：0ZF=∑ 得 c o s s i n i i i i i i W H N T θθ+=+ （8-4） 0XF=∑ 得 c o s s i n i i ii i P T N θθ=- （8-5） 将8-1式、 8-2式、8-3式和8-5式代入到8-41式中，得[]2i i isec 1cos ()tg ()tg 0tg tg 1i i i i i i i ii i s a P c l W H W H F F θθθθθϕ=++-+=+ （8-6）条块侧面的法向力P ，显然有11P P =，21212P P P P P =+=+， 依次类推，有ii i j i P P ==∑若全部条块的总数为n ，则有10nn i i P P ===∑ （8-7）将8-6式代入8-7，得[]2i sec ()tg 1tg tg /()tg ii i i i i i ss i i i c l W H FF W H θθθφθ+++=+∑∑ （8-8） 由以上公式，利用迭代法可以求得普遍条分法的边坡稳定性安全系数。
其步骤如下：（1）假定0i H ∆=，利用8-8公式求得第一次近似的安全系数F s1 。
（2）将F s1和0i H ∆=代入8-6式，求相应得i P ∆（对每一条块，从1到n ）。
（3）用公式8-7，求条块的法向力（对每一条块，从1到n ）。
（4）将i P 和i P ∆代入公式8-2和8-3种，求得条块间的切向作用力i H （对每一条块，从1到n ）和i H ∆。
（5）将i H ∆重新代入到8-8公式中，迭代求新的稳定安全系数F s2。
如果21s s F F ->，为规定的安全系数计算精度，重新按照上述步骤进行新的一轮计算。
如是反复进行，直到()(1)s k s k F F --≤为止。
此时()s k F 就是假定滑面的安全系数。
Sarma 法Sarma 法属于刚体极限平衡分析法，其基于以下的6条假设： （1）将边坡稳定性问题视为平面应变问题；（2）滑动力以平行于滑动面的剪应力和垂直于滑动面的正应力集中作用于滑动面上；（3）视边坡为理想刚塑性材料，认为整个加荷过程中，滑体不会发生任何变形，一旦沿滑动面剪应力达到其剪切强度，则滑体即开始沿滑动面产生剪切变形；（4）滑动面的破坏服从Mohr-Coulomb 破坏准则，即滑动面强度主要受粘聚力和摩擦力控制；（5）条块间的作用力合力（剩余下滑力）方向与滑动面倾角一致，剩余下滑力为负值时则传递的剩余下滑力为零；（6）沿着滑动面满足静力的平衡条件，但不满足力矩平衡条件。
图7-1 Sarma 法岩体破坏形式 图7-2 Sarma 法力学破坏模型 将上一条块剩余下滑力向下一条块滑动面逐块投影法计算边坡的稳定性及滑坡推力，滑坡的稳定性及推力计算同时满足当剩余下滑力小于零时令其等于零的条件。
即条块间不出现拉应力的条件。
单元极限平衡公式为：（7.1）第i 条块剩余下滑力：cos sin st W tg CLI F W αβα+=（7.2）当小于零时，令，此时（7.3） 公式8-9也可表达为（7.4） 则稳定系数F st 计算公式如下：（7.5）当所有1至n 条块的剩余下滑力均大于等于零时，利用数学归纳法可以证明：（7.6）111sin()cos()i i i i st i st i st i i i i st tg E F E F T F E R F ααααα---⎡⎤-=⨯=⨯+⨯---⎢⎥⎣⎦i E 0i E =11i st i i E F T R ++=⨯-11111111sin()sin()cos()cos()i n n n n in n n nst n n n st n n n n st nE tg R E tg R IF E F T E F T ααφααφαααα---------+-+==-+-+1111sin()cos()i n n n nst n n n nE tg RF E T ααφαα-----+=-+11111111()()n n ijni j st n n ijni j R R F T T ψψ--==--==+=+∑∏∑∏仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
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