有限元薄板弯曲问题分析
有限元法与程序-板的弯曲
2） 相邻单元公共边切向转角：
3） 相邻单元公共边法向转角：
该转角的确定包含了单元全部结 点位移参数，由于非公共边上结 点位移的协调关系不能保证，因 此一般
综上所述，本节构造的位移场不能完全满足收敛的协调性 准则，具体为挠度及切向转角跨单元协调，法向转角跨单 元不协调，因此该单元不是完全协调元。
abdddz
2
➢子矩阵为
a11 a12 a13
[krs ]33 a21
a22
a23
(r,
s
1,
2,
3,
4)
a31 a32 a33
a11
3H
15
b2 a2
0
a2 b2
0
14
ห้องสมุดไป่ตู้
4
5
b2 a2
0 0
a12
3Hb 2 3
5 a2 b2
0i
15 a2 b2
i
5
0
j
aaa222113H33bHH2aba2232(21331)5H05(53baabab2222(5ii000jj5)1ba(15522iba(ba22322ij)j05)(53j000 )i
[S
' i
]33
Eh3 96(1 2 )ab
6
b a
6
b a
0 (1 0 (1
0) 0 )
6 6
a
b a
b
0 0
(1 (1
0 0
) )
(1 )ii (3 2 3 2 4)
2i (1 0 )(1 30 )
2ai (1 0 )(1 30 ) (1 )bi (3 2 20 1)
➢ 对于三角形单元，面积坐标的一、二、三次齐次分别有以 下项：
第五章 薄板弯曲问题有限元讲义
第五章薄板弯曲问题有限元法第一节薄板弯曲问题的有关概念一、基本概念1．薄板的定义：薄板是由上下两个平行的表面所构成的片状结构，其间距称为板厚。
同时，定义等分板厚的面为中面，当中面为平面时，称为平板，当中面为曲面时则称为壳体。
2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪力）作用下，发生弯扭而使薄板中面上各个点沿垂直中面方向发生的横向变形称为挠度，记为w。
3．薄板的两类问题：（1）平面应力板问题，载荷作用于板面内—（薄膜单元）；在拉、压力和面内切力作用下，板内将产生薄膜内力，从而使板产生面内变形。
（2）薄板弯曲问题：其特点为：a) 几何尺寸：板的厚度远较长与宽的几何尺寸为小(一般厚度与板面最小尺寸之比小于1/5-1/10)；（否则称为厚板）b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中面的横向载荷作用。
c) 小挠度条件；即挠度与板厚之比值较小，一般为w/t ≤1/5。
研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中面为xoy平面，厚度方向为z轴方向，3．板的一般问题：一般情况下，板既可承受横向载荷作用，也可同时承受平行于板中面的膜载荷作用。
(1) 薄板：在小挠度情况下，当两种载荷同时作用时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作用可按平面应力问题进行处理，而横向载荷的作用则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内力和弯曲内力的叠加便是一般载荷综合作用的结果。
（2）厚板：当1<w／t<5时为大挠度板,w／t≥5时为特大挠度板。
在大挠度情况下，薄板面内变形和弯扭变形之间将相互影响，即横向载荷也可能产生膜内力和面内变形，而膜载荷也可能产生弯曲内力和弯曲变形。
这时描述薄板变形的数学方程是非线性的，应采用更复杂的理论分析方法。
二．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）1．法线假设垂直板中面的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲面，且法线线段没有伸缩，板的厚度无变化。
这样，垂直于中面的正应变便可忽略，即εz=0根据几何方程，可得因此挠度只是x,y的函数，表示为w=w(x,y)，也即薄板中面上法线的各点都有相同位移。
弹性力学：平板弯曲问题的有限元分析(1)
平板弯曲问题的有限元分析(1) Kirchhoff弹性薄板理论
参考文献： “弹性力学(下册)”第13章。徐芝纶
x
2w
2 (z2
2
2
)dz 4
E 3 12(1 2 )
x
2w
(c)
同样，在y为常量的截面上，每单位宽度内的 y , yx , yz
也分别合成如下的弯矩，扭矩，和横向剪力：
M y
2 2
z
y dz
E
12(1
3
2
)
(
2w y2
2w x2
)
(d)
M yx
2
2
z yxdz
E 3 12(1 2 )
(9-6)
( z )z q
(f)
2
将(9-6)式代入薄板上板面的边界条件：
得：
E
12(1
3
2
)
4
w
q
(9-7)
或 D4w q， (9-8)
其中
D
E
12(1
3
2
)
(9-9)
薄板的弹性曲面微分方程
为薄板的弯曲刚度
§9-３ 薄板横截面上的内力
► 薄板横截面上的内力，称为薄板内力，是指薄板横截面的单 位宽度上，由应力合成的主矢量和主矩。
对z积分，得到： z
2(1 2 )
2
( 4
z
z2 )4w 3
F3 (x,
薄板的弯曲破坏分析与预测
薄板的弯曲破坏分析与预测薄板是一种常见的结构材料，广泛应用于建筑、航空航天、汽车等领域。
然而，在使用过程中，薄板可能会遭受弯曲破坏，导致结构的失效。
因此，对薄板的弯曲破坏进行分析与预测，对于设计和使用薄板结构具有重要意义。
首先，我们来探讨薄板弯曲破坏的原因。
薄板在受到外力作用时，会发生弯曲变形。
当外力超过薄板的承载能力时，薄板可能会发生破坏。
薄板的弯曲破坏主要包括弯曲变形和局部破坏两个方面。
在弯曲变形方面，薄板在受到外力作用时，会发生曲率变化，即薄板的中部会凸起或凹陷。
这种变形会导致薄板的强度和刚度下降，进而影响结构的稳定性和安全性。
因此，对于薄板的弯曲变形进行分析与预测，可以帮助我们更好地评估薄板结构的承载能力。
而在局部破坏方面，薄板在受到外力作用时，可能会出现局部的破坏现象，如薄板的边缘开裂、孔洞扩展等。
这种局部破坏会导致薄板的强度降低，进而引发整体结构的失效。
因此，对于薄板的局部破坏进行分析与预测，可以帮助我们更好地评估薄板结构的寿命和可靠性。
接下来，我们来探讨薄板弯曲破坏的分析与预测方法。
薄板的弯曲破坏是一个复杂的力学问题，需要运用弹性力学、塑性力学、断裂力学等多个学科的知识进行分析。
其中，有限元分析是一种常用的分析方法，可以通过建立薄板的数值模型，计算薄板的应力和变形，进而评估薄板的弯曲破坏情况。
此外，实验方法也是分析薄板弯曲破坏的重要手段。
通过设计合适的试验装置和加载方式，可以模拟薄板在实际使用中的受力情况，从而观察薄板的弯曲变形和破坏过程。
通过实验数据的分析，可以得到薄板的弯曲破坏特征和破坏机制，为薄板结构的设计和使用提供参考依据。
此外，还可以借助计算机模拟和人工智能等新技术手段，对薄板的弯曲破坏进行预测。
通过建立合适的模型和算法，可以预测薄板在不同工况下的弯曲破坏情况，从而指导薄板结构的设计和使用。
这种方法不仅可以提高分析和预测的准确性，还可以节省时间和成本，提高工作效率。
综上所述，薄板的弯曲破坏分析与预测对于设计和使用薄板结构具有重要意义。
薄板弯曲问题有限元法
T
wl xl yl
Fzl M zl M yl T
j
xj
yj
wj
7
第8页/共24页
薄板弯曲时，只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数，而其它量，如u,v 等都是w(x,y)的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是w(x,y) 的选取。注意单元有12个自由度，则
w(x, y) 1 2x 3 y 4x2 5xy 6 y2
1 2
(w,
Ljj
w, Ljm
),
a5
1 2
(w,Lii
w, Lim
),
6
1 2
(w,Lii
w, Lij
w, Lji
w,Ljj
),
7
wj
wm
1 2 (w,Ljj
w, Ljm
)
8
wi
wm
1 2
(w,Lii
w, Lim
)
w,Lij 表示w对Li的 偏导数在j点的值。
9
wi
wj
1 2
(w,Lii
角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节点
，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。每个节点有三个自由度，即一
个扰度和分别绕x，y轴的转角。 1.设位移函数
l
xl
yl wl
m
xm ym wm
节点位移分量和节点力分量
i
xi
yi
wi
q e wi xi yi F e Fzi M xi M yi
w(x, y) c1 c2 x c3x2 c4 x3
四个系数刚好通过i，j两个端点的扰度值和绕y轴的两个转角值唯一确定 ；同时，相邻单元在此边界上也能通过i，j的值唯一确定，故连续。
薄板弯曲问题的有限元求解
薄板弯曲问题的有限元求解1.问题描述如图所示，已知悬臂矩形薄板，其几何尺寸为20m×10m×1m,左边固定，右上角节点上作用有向下垂直于板中面的集中载100N。
材料的弹性模量为Ex=300GPa,泊松比μ=0.3，求薄板的位移、应力及固定端反力。
2.分析步骤（1）进入Ansys（设定工作目录和工作文件）；（2）设置计算类型为Structural；（3）选择单元类型shell63，选择与厚度有关，在Real constants中定义厚度参数为1；（4）定义材料参数弹性模量为EX:3e11;泊松比PRXY：0.3；（5）建立几何模型生成节点和单元。
此题结构简单，受力也简单，因此可用4个单元来分析。
首先创造节点，节点的坐标是：1（0，0，1）2（0，5，1）3(0,10,1) 4(10,0，1) 5(10,5,1) 6(10,10,1) 7(20,0,1) 8(20,5,1) 9(20,10,1)，操作如下：GUI：Preprocessor>Modeling>Create>Nodes>In Active CSGUI：Preprocessor>Modeling>Create>Elements>AutoNumbered>ThruNodes，逆时针方向依次连接这几个点形成4个4节点四边形单元（6）施加载荷与约束加载与施加边界条件板的左边完全被固定，其自由度为0；右边第9节点施加了一个垂直方向的集中力（7）求解 （8）查看结果 1）变形结果可得最大变形为51011.0-⨯m 2）查看节点位移3）查看等效应力可以看出3节点受最大应力1248Pa，节点7所受应力最小。
4）查看节点力及力矩可以看出节点1、2、3既受到Z轴的集中力又受到X、Y的弯矩。
节点9只受外载作用。
3.如果将例题中的受力作如下图的改变，则此时单元的计算应为薄壳问题。
按照前面的计算方法可得出节点的线位移、角位移及力和力矩。
有限元薄板弯曲有限元法
M x M xy Qx x y M xy M y Qy x y
o
Mx
My M yxy
a
z
Qy
2 M xy 2 M y 2M x 2 q 2 2 x xy y
{M } [ D]{ }
2 w x Qy D 2 w y Qx D
Qx Qy q0 x y
4w 4w 4w q 2 2 2 4 x 4 x y y D
y
o
Mx
My M yx My
x
M xy
h
Mx Qx
a
z
Qy
h / 2 xz xz zdz xz z z h / 2 xz z z h / 2 dz x zx h / 2 z h / 2 z h / 2 x y z zdz 0 利用 Qx
一、薄板弯曲理论基础 2、基本方程
应力形式
Ez 2 w 2w x 2 2 2 1 x y Ez 2 w 2w y 2 1 2 y 2 x Ez 2 w xy 1 xy
Eh3 D 12(1 2 )
---弯曲刚度
弯矩的定义：
( M x , M y , M xy )
h/2 h / 2
( x , y , xy ) zdz
记为： {M } [ D]{ }
Qy
一、薄板弯曲理论基础 2、基本方程
Qx
M yx
o
Mx
My M yx My M xy
机械工程用有限元法学习笔记(四)
薄板弯曲问题的有限元法一、 薄板弯曲问题的基本方程什么是薄板？薄板就是指厚度t 远小于其长度、宽度的板。
1. 三个基本假设（克希霍夫假设）： (1) 法线假设，εz =0,γyz =γzx =0 (2) 正应力假设，σz <<σx ,σy ,τxy (3) 小挠度假设，w<t/4根据假设，可以得到位移分量()()()()()(),,,,,,,,,,, x y z u x y z z x x y z v x y z z y x y z x y ωωωω∂⎧=-⎪∂⎪∂⎪=-⎨∂⎪⎪=⎪⎩式4-1图 1 薄板弯曲后某点B 的位移2. 应变分量{}222222x y z x z y x y ωεωεεεω⎧⎫∂-⎪⎪∂⎪⎪⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-23. 曲率{}222222x y z x y x y ωχωχχχω⎧⎫∂-⎪⎪∂⎪⎪⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-3 22=x x ωχ∂-∂——薄板弹性曲面在x 方向的曲率22=y yωχ∂-∂——薄板弹性曲面在y 方向的曲率2=z x yωχ∂-∂∂——薄板弹性曲面在x 方向和y 方向的扭率4. 应力分量与应变分量间的关系：{}[]{}2222222222221 11D Ez xy Ez x y Ez x y σεωωμμωωμμωμ=⎧⎫⎛⎫∂∂-+⎪⎪ ⎪-∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫∂∂⎪⎪=-+⎨⎬ ⎪-∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪--∂∂⎪⎪⎩⎭式4-4 5. 线力矩{}()2222222101012110022x y z x M Et M M y M x y ωμωμμμω⎧⎫∂-⎪⎪⎡⎤∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬⎢⎥∂-⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎩⎭⎪⎪⎢⎥∂⎣⎦-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-5a广义应力与广义应变之间的关系式{}[]{}D M χ= 式4-5b式中：[D]—薄板弯曲问题的弹性矩阵6. 薄板弯曲问题的基本方程（双调和方程）()32222222121Et p xx y y ωωωμ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂∂-⎝⎭ 式4-6()32121Et μ-——薄板弯曲刚度 二、 矩形薄板单元分析 1、矩形薄板单元图 2 矩形薄板单元2、位移函数22123456322333789101112 a a x a y a x a xy a y a x a x y a xy a y a x y a xy ω=+++++++++++ 式4-73、形状函数[]{}k i i xi xi yi yi j j xj xj yj yj k kxk xk yk y l l xl xl yl yl N N N N N N N N N N N N N q ωωθθωθθωθθωθθ=+++++++++++= 式4-8式中：i,j,k,l ——节点号N i ，N xi ，N yi ，……，N yl ——形状函数()()()()()()()()()()2211128N 111 ,,,8111 8y i i i i i xi i i iyi i i i b N i i j h l N a x a b ξξηηξξηηξηηξξηηηξξξηηξξη⎧⎫++++--⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-++-=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪++-⎪⎪⎩⎭==， 式4-94、单元刚阵[][][][]S K TB D B dxdy =⎰ 式4-10式中：[]22222222222222222222 2222yi yl i xiyi yl ixi yi yl i xi N N N N x x x x N N NN B y y y y N N N N x yx yx yx y ⎡⎤∂∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂=⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦式4-11 5、节点力与节点位移的关系式{}[]{}F K q = 式4-12三、 三角形薄板单元分析1、三角形薄板单元当薄板具有斜交边界或曲线边界时，可采用三角形单元较好地反映边界形状。
薄板弯曲的变分原理及有限元素法
第三章 薄板弯曲的变分原理及有限元素法3.1 基本问题基本认识：板作为承力的结构元件，主要通过弯曲起作用。
如果垂直于板面的挠度与板的厚度相比很小的话1<<Hw，则由弯曲而引起的板中面的拉伸作用就可以忽略不及，这是所谓的小挠度问题，一般认为4.0<H w以下。
反之，Hw越大，弯曲引起的中面拉伸的影响越来越大，就不能忽略不计，导致所谓大挠度问题。
除板的弯曲变形之外，还伴随有剪切变形，剪切作用的影响一方面取决于材料的剪切模量，另一方面取决于厚度/跨度（l H ）之比，即横向剪切随l H 的增大而增大。
通常把不考虑剪切作用（横向剪应变无穷大）的板理论叫做薄板理论，把考虑剪切作用的板理论叫做厚板理论。
本章仅考虑小挠度薄板问题。
基本假设：取板的中面为xy 平面，取z 轴与y x ,轴垂直，设板的厚度为h ，可以是()y x ,的函数。
① 变形假设：变形前垂直于中面的直线段在变形后没有伸缩，并且继续垂直变形后的中面。
由此得： ② 内力假设：板内应力的6个分量的大小不是同一量级，一般xy y x τσσ,,最大，yz xz ττ,约小一个量级，而z σ又小一个量级；在静力学分析中，0=z σ。
控制方程（内力平衡方程及物理方程）① 由弹性力学方法，对于均质材料构成的薄板，应力分量yz xz xy y x τττσσ,,,,可用5个内力()()()()()y x Q y x Q y x M y x M y x M y x xy y x ,,,,,,,,,表示，即：x x zM h 312=σ y y zM h 312=σ xy xyzM h 312=τ （矩定义为单位宽度上的矩） Note ：上述的弯距及剪力代表单位宽度上的，而不是整个板侧面的。
② 用内力表示的平衡方程：0=+∂∂+∂∂p yQ x Q yx ()y x p p ,= 分布的横向载荷 在薄板理论中，内力y x Q Q ,不产生应变，因而也不做功，可在以后的分析中不计算它们，在上式中消去y x Q Q , 即得：③ 几何关系： ④ 物理关系：（各向同性体）点应力应变关系：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y x v v v v E εεετσσ2100010112内力与应变关系：注意： ()v E G +=12 ()23112v Eh D -=⑤ 单位面积上的应变能及余应变能（密度）应变能密度（曲率作为自变量）变分：[]xy xy y y x x k M k M k M U δδδδ2++= ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=x w x k x (单位长度上转角的变化) ∴ x x k UM ∂∂=y y k U M ∂∂= xyxy k U M ∂∂=21（这也是一种物理关系） 代入关于内力矩的物理关系，有：注意：上式中都是关于曲率的二次项，而且从物理上对于任意的曲率U >0，故U 称为正定的二次齐次函数。
有限单元法第6章平板弯曲问题的有限元分析.ppt
（6-1）
对式（6-1）进行积分，注意到 w 只是x和y的函数，不随z而
变，因而得：
u
z
x
f1 ( x,
y)
v
z
y
f2 (x,
y)
（6-2）
有限单元法
假设（3）可以表示为 u 0，v 0 ，代入到式（6-2）得：
z0
z0
f1(x, y) 0 f2 (x, y) 0
于是式（6-2）就简化为：
y
xy T
12z t3
M x
My
M xy T
（6-15）
有限单元法
6.2 三角形单元
O
x1
1
y1
w
x 3
y
z
2
有限单元法
6.2.1 位移模式问题
为保证挠度 w 为坐标的全三次多项式，从帕斯卡三角形可 知必须要有10项，但三角形3个结点只能有9个自由度，若舍 去三次项中的任一项，显然都无法保证对坐标的不变性，为 此Tocher提出了一种解决方案如下：
t/2
y z
1
1
xy
yx
x
Mx
y
M yx
M xy
O
My
x
（a）
图6.4
z Mx
M xy
y My
O
My
M yx
（b）
M yx Mx M xy x
t/2
弯矩和
扭矩M
、M
x
y
、M
xy
、M
yx
的方
向
及其作
用面的
位
置示
于图6.4a中。按右手螺旋法则用双箭头矢量来表示力偶，如
有限单元法 第6章平板弯曲问题的有限元分析
! $ %! !
! 第 ! 章 ! 平板弯曲问题的有限元分析 $ #! ! """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
图! "#! 板的位移
$# ! 中面上 的 ) 点 变 形 后 移 到 ) * 点 " 挠 度 为 $# 弹 性 曲 面 沿 ! 方 向 的 倾 角 为 ! ! 在 ) 点法线上取点 )# $ " 变 形 后 )# 点 移 到 )# )# 与 ) 点 的 距 离 为#% *点 # 根 据 法 线 假 $ # 因此 ! 设 " 变形后的法线 ) * )# *与弹性曲面垂直 " 即法线 ) * )# *与# 轴的夹角 也是 )# * ! ! $" 其 中 负 号 是 因 为 位 移 的 方 向 与 轴 方 向 相 反 # 至 于 ! 点沿! 方向的位移为&)+ # & ! ! ! $ 的几何意义与 $ 相类似 # ! ! %)+ # &)+ # ! ! ! " 现用挠度来表示应变 " 不难得到 &
# ’ ’ #3
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将式 " # (式 " # 和式 " # 中的第一式合并起来 $ 用矩阵表示 $ 则有 & ! ’ # % ! ’ # # ! ’ # & & %! + &$ # !% # ! ! % & & % " # # ) -" )"( +! $ ! ’ # ’ )" " ! ! " (
有限元薄板弯曲问题分析
第4章 弹性薄板弯曲问题的有限元法薄板弯曲问题在理论上和应用上都具有重要意义,并有专门著作加以论述（如杨耀乾《平板理论》）。
象其它弹性力学问题一样，用微分方程、差分法等经典方法所能求解的薄板问题很有限，一般只能解决等厚、小孔口、支承情况较简单的单跨板。
故工程设计中以往多采用简化、近似、图表等方法来解决板的设计问题。
在板的分析中，常取板的中面为xoy 平面(如图)。
平板结构按其厚度t 与短边a 的比值大小而分为:厚板（Thick plate ）和 薄板（Thin plate)两种。
当1<<at时称为薄板 平板上所承受的荷载通常有两种:1. 面内拉压荷载。
由面内拉压刚度承担, 属平面应力问题。
2. 垂直于板的法向荷载, 弯扭变形为主,具有梁的受力特征, 即常说的弯曲问题。
平板在垂直于板面的荷载作用下产生挠度W 。
当最大挠度w 远小于t 时, 称为小挠度问题(or 刚性板)(stiffness plate) 当最大挠度w 与t 相差不大时,称为大挠度问题(or 柔性板)(flexure plate)(工程定义: 51≤t w 为刚性板；551≤≤t w 为柔性板； 5>tw为绝对柔性板。
) 4.1 基本理论一、基本假定１、略去垂直于中面的法向应力。
（0=z σ），即以中面上沿Z 方向的挠度W 代表板的挠度) ２、变形前垂直中面的任意直线，变形后仍保持为垂直中面的直线。
（─法向假定0=zx τ,0=zy τ）３、板弯曲时，中面不产生应力。
(─中面中性层假定)上述假定常称为薄板小挠度问题假定（or 柯克霍夫假定）。
符合上述假定的平板即为刚性板。
二、基本方法以上述假定为基础，板分析中常用挠度w 作为基本未知量,下面介绍以w 为基本未知量所导出的有关方程。
１、几何方程（应变─挠度关系）①弹性曲面沿x, y 方向的倾角从中面取出一微小矩形ABCD ，如图所示，设其边长为dx, dy ，变形后弯曲成曲面A'B'C'D' 设A 点挠度w , 则沿x 方向倾角(绕y 轴)x wy ∂∂=θ (B ’点绕度dx x w w ∂∂+) 沿y 方向倾角(绕x 轴) y wx ∂∂=θ (D ’点绕度dy yw w ∂∂+) ② 沿x, y 方向位移作平行于xoz 平面,设中面上点A 到A 1的距离为Z ，变形后,A 点有挠度W, 同时发生弯曲，曲面沿x 方向的倾角为xw∂∂, 根据法线假定,则A 1点沿x 方向的位移:x wz u∂∂-= (负号为方向与x 相反)同理取yoz 平面得： y wzv ∂∂-= (4-1-1)③ Z 平面的应变分量和曲、扭率 基本假定，由于0===zy zx zττσ, 故板内任意点的应变与平面问题相同:xv y u yv x u xy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=εεε−−−→−代入将V U .{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂-∂∂-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧y x w z y w z x w z xy y x 222222εεεε＝ (4-1-2)此为Z 平面的应变─挠度度几何方程。
薄板弯曲问题的有限元分析
变分原理与有限元素法课程报告报告名称：薄板弯曲问题的有限元分析姓名：学号：导师：专业：2015.5.15目录1.问题描述 (3)2.理论基础 (3)2.1矩形薄板弯曲单元 (3)2.1.1挠度函数 (3)2.1.2单元刚度矩阵 (5)2.2四边简支矩形板的纳维叶解法 (5)3.有限元模型 (6)4.结果与分析 (7)4.1均布载荷作用下四边简支板 (7)4.2集中载荷作用下四边简支板 (8)4.2均布载荷作用下四边固支板 (9)4.2集中载荷作用下四边固支板 (10)4.5总结 (11)1.问题描述一块方板，边长为L，厚度为t（51/801≤≤t L ），材料为铝，分别用不同密度的四节点12个自由度的矩形单元来划分网格。
要求：考虑四边简支和四边固支两种边界情况，分别计算受均匀载荷q 和在板中心处受集中载荷P 两种载荷情况下，板的中心挠度max ω(不超过板厚t 的1/5)，进而计算出不同情况下的方板的中心挠度系数；将计算出的系数与精确解进行比较，通过比较发现不同有限元网格密度对薄板弯曲问题计算结果的影响。
本例中，方板边长L=40mm，厚度t=1mm，铝的弹性模量E=70GPa，泊松比3.0=μ，粗略计算当q=0.1MPa 或者P=50N 时，板中心挠度小于板厚的1/5，属于小挠度弯曲，因此载荷可取这两个值。
2.理论基础2.1矩形薄板弯曲单元2.1.1挠度函数薄板弯曲单元中比较简单的是四节点12个自由度的矩形单元，将矩形薄板沿坐标方向划分为若干矩形单元，如图1所示，每个单元设有四个节点，每个节点位移有三个分量：挠度w，绕x 轴的转角y w x ∂∂=/θ，绕y 轴的转角x w y ∂-∂=/θ，即)4,3,2,1()/()/(}{=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂-∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=i x w y w w w i i i yi xi i i ϕϕδ图1单元的节点位移为TT T T Te ]}{}{}{}{[}{4321δδδδδ=节点荷载为)4,3,2,1(}{=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=i M M V F yi xi i i 单元的节点荷载为TT T T Te F F F F F ]}{}{}{}{[}{4321=取位移函数为31231131029283726524321xy y x y xy y x x y xy x y x w αααααααααααα+++++++++++=在位移函数中，前三项包含了单元的刚体位移状态，二次项代表了单元的均匀应变状态。
有限元分析薄板挠度(附C程序)
1问题描述某周边简支非均匀的矩形（或圆形）板在均布载荷作用下挠度过大。
结合实际，提出集中改进设计方案，并进行对比分析。
2.问题分析不均匀板有两种主要的情况，结构不均匀和材料不均匀，结构不均匀是指板的厚度不是常量，材料不均匀体现在板的弹性模量和泊松比是变化的。
另外，有的板可以是以上两种情况的混合情形。
不均匀板与均匀板的有限元问题有哪些差别呢？下面从均匀板问题推导出非均匀板有限元问题的解决方法。
2.1应力应变先以结构不均匀板为例来讨论。
假设一矩形板长为2，宽为2，厚度沿x ，y 不均匀，由一函数()h ,h x y =描述，但仍然符合薄板假设。
对于均匀板，显然h 是一个常数。
设挠度为()=x,y ωω，则板内应变向量可以表示为{}2222211==z 12x x y y xy xy x z y x y ρεεεωεγγ⎧⎫⎧⎫∂⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪∂∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭应力应变关系为{}1p z D σρ⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎣⎦⎩⎭弯矩扭矩矩阵{}{}()()h ,2h ,2x y x y M zdz σ-=⎰这里就体现出不均匀板和均匀板的区别了。
积分完毕后，可以得到{}[]1M D ρ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭其中薄板的弯曲系数矩阵[]()()()321,1012101/2Eh x y D μμμμ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦是关于薄板总体坐标的函数，所以对各个分单元都是不同的。
各单元的弯曲系数矩阵可以采用单元中心处的代替。
那么就可以得出一系列的弯曲系数矩阵[]D ei 。
如果单元划分得足够细，是可以代替真实解的。
2.2单元分析可以将板分为边长为0.25的矩形小单元，每一个单元都是一样的。
对于任何一个单元的节点，都有3项独立的位移{}i i i xi i yi i w w w y w x δθθ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎛⎫∂⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂⎛⎫⎪⎪- ⎪∂⎪⎪⎝⎭⎩⎭位移模式()22312345672233389101112,w x y x y x xy y x x y xy y x y xy αααααααααααα=+++++++++++形状函数矩阵是一个112⨯的行向量()[],kl mn N x y N N N N =⎡⎤⎣⎦其中222222222222222211128111111i i i i i i i i i i i i i x x y y x x y y x y N a b a b a b x x y y y y x x y y x x y x a b b a b a ⎛⎫⎡⎛⎫⎛⎫=++++--⎡⎤ ⎪⎪⎪⎣⎦⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎝⎭⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--++-⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦(),,,i k l m n =单元刚度矩阵[][][][]1212ee TS k B D B dxdy ⨯=⎰很明显，积分式中包含了弹性系数矩阵，而不同单元的弹性系数矩阵是不同的，所以，即便单元划分相同，得到的单元刚度矩阵也不同。
PVA-ECC薄板四点弯曲有限元分析
0前言超高韧性水泥基复合材料具有类似金属材料的拉伸强化性能,其极限拉伸应变可达3%以上,几乎相当于钢材的塑性应变能力,是一种具有像金属一样可变形的纤维混凝土材料[1]。
目前,国内研究比较多的是聚乙烯醇纤维增强超高韧性水泥基复合材料(以下简称PVA-ECC )。
PVA-ECC 无论在拉伸还是弯曲荷载作用下都表现出明显的应变硬化特征,材料受力开裂后,承载力不会立刻下降,而是经历一个很长的硬化阶段,且在开裂过程中裂缝的宽度始终保持在较低水平,具有显著的韧性和优良的耐久性能[2-3]。
弯曲性能是PVA-ECC 比较重要的力学性能,可以反映PVA-ECC 的耗能能力以及有效地描述材料的变形硬化特征。
针对PVA-ECC 的弯曲性能,国内外做了大量的试验研究。
李贺东通过薄板四点弯曲试验评价了PVA-ECC 的弯曲性能,表明PVA-ECC 具有可与金属相比拟的弯曲变形能力[4]。
徐世烺[2]对碳纤维编织网与PVA 短纤维联合增强水泥基复合材料进行四点弯曲试验,表明两种纤维的结合明显改善了材料的韧性,提高了材料的裂缝控制能力,使得裂缝开展更为细密,并出现大量微裂缝,表现出了较高的延性和抵抗变形能力。
MAALEJ [5]进行了薄板四点弯曲试验,研究表明,脆性水泥基材料的抗弯强度与受拉初裂强度的比值与材料脆性比率相关。
然而,少见学者对PVA-ECC 进行有限元分析。
黄均雄[6]利用ABAQUS 软件建立了PVA-ECC 配筋梁受拉有限元模型,但未与试验进行对比;袁方[7]对钢筋增强ECC 柱偏心受压力学性能进行有限元建模分析,并与试验进行比较,验证有限元模型的有效性。
YUAN[8]利用有限元模型研究了钢筋增强PVA-ECC 薄板四点弯曲有限元分析周超1,张黎飞2,刘波1,郭亚芳1(1.东莞理工学院城市学院城建与环境学院,广东东莞523419;2.河海大学力学与材料学院江苏南京210098)摘要:利用有限元软件建立了聚乙烯醇纤维增强超高韧性水泥基复合材料(PVA-ECC )薄板四点弯曲的有限元模型,并与已有PVA-ECC 薄板四点弯曲试验进行比较,验证了有限元模型的有效性。
薄板弯曲问题
M xy zdzdy
' xy - h/2
- h/2 h/2
- h/2 h/2
扭矩
M
' yx
yx zdzdx
- h/2
h/2
内力与应力的关系
Mx 3 Eh M My 2 12 1 M xy 1 0
2
x y z xy
弯扭变形列阵
几何方程
2w 2 2 4 6 7 x 2 8 y 611xy x 2 w 2 2 6 2 9 x 610 y 612 xy x 2 w 2 x 2 y 3 x 2 3 y 2 5 8 9 11 12 xy
N x1 i 1 0
b2 c2 d 2 0 N x1 1 N x1 0 (2) y b i 2 a2 e2 N x1 最后利用本点1，确 0 (3) , (4) x i 4,1 定a2=b/8，代回
(1)
弹性薄板矩形（R12）单元
弹性薄板矩形（R12）单元
薄板的形函数可以用 广义坐标法，也可以用试 凑法得到。由于单元自由 度为12，因此可有12个广 义坐标，位移模式可设为 如下不完全四次多项式
Q1 1 Mx1 4
My1
w3 2 y z 3
x
x3 y3
w a1 a2 x a3 y a4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x 3 2 2 3 3 3 a8 x y a9 xy a10 y a11 x y a12 xy
物理方程
应变
位移函数
薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；
有限元法基础平板弯曲问题详解演示文稿
论的板单元是C1类连续问题。
11
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有限元法基础
10.1 Kirchhoff板单元
有限元列式
➢ 设插值函数为
w Nqe
qe [q1, q2 , , qn ]T , qi [wi , w,xi , w,yi ] ➢ 通过泛函取驻值得有限元方程
➢ 单元刚度矩阵
Kq Q
K e A L T C LN dA
10.1 Kirchhoff板单元
应力与广义内力的关系
x
12M x h3
z,
y
12M y h3
z,
xy
yx
12M h3
xy
z
平衡方程
2M x 2 2M xy 2M y q(x, y) 0
x2
xy y2
以中面挠度w表示的微分方程
D
4w x4
2
4w x 2y 2
4w y 4
q(x,
y)
w是非协调元的产值函数, 为待i 定常数。
目的：调整
使在
i
单元边界
中点处的
w,n等于两端节点
的 w,n 的平均值，也即使得边界上法向导数线性化，可由两
端点的值唯一确定。
29
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有限元法基础
10.1 Kirchhoff板单元
i 的确定
原插值 函数计 算出的 各边界 中点值
w
项式
1
1
3
6
2
2
10
3
2
2
3
15 4
3
2 2
3
4
14
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有限元法基础
10.1 Kirchhoff板单元
第五章薄板弯曲问题有限元讲义
第五章薄板弯曲问题有限元讲义第五章薄板弯曲问题有限元法第⼀节薄板弯曲问题的有关概念⼀、基本概念1．薄板的定义：薄板是由上下两个平⾏的表⾯所构成的⽚状结构，其间距称为板厚。
同时，定义等分板厚的⾯为中⾯，当中⾯为平⾯时，称为平板，当中⾯为曲⾯时则称为壳体。
2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪⼒）作⽤下，发⽣弯扭⽽使薄板中⾯上各个点沿垂直中⾯⽅向发⽣的横向变形称为挠度，记为w。
3．薄板的两类问题：（1）平⾯应⼒板问题，载荷作⽤于板⾯内—（薄膜单元）；在拉、压⼒和⾯内切⼒作⽤下，板内将产⽣薄膜内⼒，从⽽使板产⽣⾯内变形。
（2）薄板弯曲问题：其特点为：a) ⼏何尺⼨：板的厚度远较长与宽的⼏何尺⼨为⼩(⼀般厚度与板⾯最⼩尺⼨之⽐⼩于1/5-1/10)；（否则称为厚板）b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中⾯的横向载荷作⽤。
c) ⼩挠度条件；即挠度与板厚之⽐值较⼩，⼀般为w/t ≤1/5。
研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中⾯为xoy平⾯，厚度⽅向为z轴⽅向，3．板的⼀般问题：⼀般情况下，板既可承受横向载荷作⽤，也可同时承受平⾏于板中⾯的膜载荷作⽤。
(1) 薄板：在⼩挠度情况下，当两种载荷同时作⽤时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作⽤可按平⾯应⼒问题进⾏处理，⽽横向载荷的作⽤则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内⼒和弯曲内⼒的叠加便是⼀般载荷综合作⽤的结果。
（2）厚板：当1⼆．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）1．法线假设垂直板中⾯的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲⾯，且法线线段没有伸缩，板的厚度⽆变化。
这样，垂直于中⾯的正应变便可忽略，即εz=0根据⼏何⽅程，可得因此挠度只是x,y的函数，表⽰为w=w(x,y)，也即薄板中⾯上法线的各点都有相同位移。
2．正应⼒假设在平⾏于中⾯的截⾯上，应⼒分量ζz、τzx及τyz远⼩于其他三个应⼒分量，可忽略不计。
3．⼩挠度假设板中⾯只发⽣弯曲变形⽽没有⾯内变形，即中⾯内各点没有平⾏于中⾯的位移，表⽰为：在这些假设前提下，薄板的位移、应变和应⼒都可⽤挠度w表⽰。
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第4章 弹性薄板弯曲问题的有限元法薄板弯曲问题在理论上和应用上都具有重要意义,并有专门著作加以论述（如杨耀乾《平板理论》）。
象其它弹性力学问题一样，用微分方程、差分法等经典方法所能求解的薄板问题很有限，一般只能解决等厚、小孔口、支承情况较简单的单跨板。
故工程设计中以往多采用简化、近似、图表等方法来解决板的设计问题。
在板的分析中，常取板的中面为xoy 平面(如图)。
平板结构按其厚度t 与短边a 的比值大小而分为:厚板（Thick plate ）和 薄板（Thin plate)两种。
当1<<at时称为薄板 平板上所承受的荷载通常有两种:1. 面内拉压荷载。
由面内拉压刚度承担, 属平面应力问题。
2. 垂直于板的法向荷载, 弯扭变形为主,具有梁的受力特征, 即常说的弯曲问题。
平板在垂直于板面的荷载作用下产生挠度W 。
当最大挠度w 远小于t 时, 称为小挠度问题(or 刚性板)(stiffness plate) 当最大挠度w 与t 相差不大时,称为大挠度问题(or 柔性板)(flexure plate)(工程定义: 51≤t w 为刚性板；551≤≤t w 为柔性板； 5>tw为绝对柔性板。
) 4.1 基本理论一、基本假定１、略去垂直于中面的法向应力。
（0=z σ），即以中面上沿Z 方向的挠度W 代表板的挠度) ２、变形前垂直中面的任意直线，变形后仍保持为垂直中面的直线。
（─法向假定0=zx τ,0=zy τ）３、板弯曲时，中面不产生应力。
(─中面中性层假定)上述假定常称为薄板小挠度问题假定（or 柯克霍夫假定）。
符合上述假定的平板即为刚性板。
二、基本方法以上述假定为基础，板分析中常用挠度w 作为基本未知量,下面介绍以w 为基本未知量所导出的有关方程。
１、几何方程（应变─挠度关系）①弹性曲面沿x, y 方向的倾角从中面取出一微小矩形ABCD ，如图所示，设其边长为dx, dy ，变形后弯曲成曲面A'B'C'D' 设A 点挠度w , 则沿x 方向倾角(绕y 轴)x wy ∂∂=θ (B ’点绕度dx x w w ∂∂+) 沿y 方向倾角(绕x 轴) y wx ∂∂=θ (D ’点绕度dy yw w ∂∂+) ② 沿x, y 方向位移作平行于xoz 平面,设中面上点A 到A 1的距离为Z ，变形后,A 点有挠度W, 同时发生弯曲，曲面沿x 方向的倾角为xw∂∂, 根据法线假定,则A 1点沿x 方向的位移:x wz u∂∂-= (负号为方向与x 相反)同理取yoz 平面得： y wzv ∂∂-= (4-1-1)③ Z 平面的应变分量和曲、扭率 基本假定，由于0===zy zx zττσ, 故板内任意点的应变与平面问题相同:xv y u yv x u xy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=εεε−−−→−代入将V U .{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂-∂∂-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧y x w z y w z x w z xy y x 222222εεεε＝ (4-1-2)此为Z 平面的应变─挠度度几何方程。
上式中的22x w ∂∂,22y w ∂∂,yx w∂∂∂2为曲面在X,Y 方向的曲、扭率，记为：{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂-∂∂-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=y x w y w x w xy y x 222222χχχχ (4-1-3) 所以, {}{}χεz =２、物理方程（应力─挠度关系）由于忽略σz 对变形的影响, 因此z 平面的应力─应变关系具有与平面问题相同的形式:()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+-=xy xy x y y y x x E EEγμτμεεμσμεεμσ121122 将(4-1-2)代入得:{}[]{}εμμμμμτσσσ022222222222111D y x wEz x w y w Ez y w x w Ez xy y x =⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧= 或简写为：{}[]{}x D z 0=σ (4-1-4)式中弹性矩阵:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=21000101120μμμμE D ３、内力方程（内力─挠度关系）从板内取微元体tdxdy , 由其上正应力x σ,y σ和剪应力xy τ,可在截面上合成合力矩:x M (z y 0面上由x σ产生的绕Y 轴弯矩)y M (z x 0面上由y σ 产生的绕X 轴弯矩)扭矩: xy M （由剪应力产生，如图）假定 xy y x M M M ,,分别表示单位宽度上的内力矩。
如是，内力矩阵：{}{}[]{}[]⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂-∂∂===⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰--y x w y w x w D t dz D z dz z M M M F t t t t xy y x 2222203222202212χσ 简写成 {}[]{}χ0312D t F = (4-1-5) 比较(4-1-4)和(4-1-5)可得用内力矩表示的平板应力: []{}F z t 312=σ由此可见，平板上、下表面处的应力最大： {}{}F t t z 226±=±=σ以上是薄板弯曲问题中的基本公式,从中可见其挠度W 是弯曲问题中的基本未知函数。
且由于忽略了z 方向的变化,因此它只是x ，y 的函数: w=w(x, y )。
若w 已知，则位移，内力、应力均可按上述相应公式求出。
在经典解析法中，W(x, y)常设为三角级数形式。
例如，四边简支矩形板的W(x, y)设为: (纳维尔解)()∑∑∞=∞==11sin sin,m n mn byn a x m A y x w ππ 式中mn A 为待定系数。
假定荷载 ()∑∑∞=∞==11sin sin ,m n mn b y n a x m q y x q ππ则可得位移函数: ()∑∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=byn a x m b n a m q D y x w mn πππsin sin 1,2222244.2 有限元分析方法一、矩形单元的典型形式将图示矩形薄板沿x,y 方向划分成若干小矩形(常取等分)从中取出一小矩形(单元)，共有四个结点，此时不能象在平面问题中一样，将结点视为“铰”，而是“刚性的”，即每个结点有三个位移分量： 挠度w ,绕x 、y 轴转角()()⎪⎩⎪⎨⎧方向倾角上节为沿轴转角绕方向倾角上节为沿轴转角绕挠度x y y x w y x θθ 即结点i 的位移{}iyi xi i i x w y w w w d ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=θθ()4,1 =i 同理,相应的结点力{}）轴力偶（上节中的绕）轴力偶（上节中的绕竖向力x y M y M x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=yi xi i i M M f F 符号重新定义是为了有限元表示的方便，由此得单元结位移向量{}[][]Ty x y x Te w w d d d 44411141θθθθ ==节点力{}[][]Ty x y x Te M Mf M M f F F F 44411141==二、 位移模式（函数）１、位移模式的选取插值多项式取为：()+++++++++=29283726524321,xy y x x y xy x y x y x wααααααααα312311310xy y x y ααα++ (4-2-1)在上式中,前10项取到了三次项的全部,最后两项则是从五个四次项()432234y xy y x y x x 中选用了两个。
没选22y x是因为它没有多一项与其配对，没选44,y x 它们在边界上结出的挠度函数是四次的，比y x3和3xy 要高一次,较之更难满足边界的协调和条件。
２、位移模式的检验（三个基本要求： 刚体位移，常应变，尽可能的边界协调） ① 前三项含单元的刚体位移状态：第一项1α与坐标x, y 无关, 表示z 方向的挠度是─常量, 刚体移动表示刚体转动第三项第二项⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂=-=∂∂-=32αθθαθθx x y y y wxw ② 二次项代表均匀变形状态:曲率 4222α-=∂∂xw， 6222α-=∂∂y w ， 522α-=∂∂∂y x w ③ 能保证相邻单元在公共边界上挠度的连续性。
④ 不能保证相邻单元在公共边界上法线转角的连续性。
以单元１～２边界为例，在此边界上b y -==常量，代入位移模式 4-2-1，可知边界上的挠度W 是x 的三次函数，合并整理后可得：34232121x c x c x c c w +++=-两个端点共有4个边界条件,(结点1,2的挠度W1 , W2 ,和转角21 ,y y θθ。
利用他们可唯一确定四个常数C1 ～C4。
因为相邻单元在结点1, 2的W, θy 对应相同，则两个单元依据四个条件得到的C1 ～C4 亦相同，即两单元在边界具有同一挠度函数W 。
⑤ 法线转角仍以1-2边界为例，将y=-b 代入后，此时342321x d x d x d d x +++=θ 但对θx 来讲，1, 2结点只能提供2个已知条件，不能完全确定上式，故边界的法线转角不能保证连续性。
因此，这种单元是非协调元，但可以验证这种非协调远是能通过分片试验的。
（即当单元划分不断缩小时，计算结果仍能收敛于精确解。
）三、形函数和形函数矩阵。
分别将单元结点1, 2, 3, 4的坐标值代入(4-2-1)，并事先求出y w x ∂∂=θ，xwy ∂∂-=θ，便可得到各结点的位移值。
一共可得12个关于i α的方程组，联立求解可得： []{}e d N w =}{ (4-2-2)形函数矩阵: []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=x N x N y N yN N N N N N N N y y y x y x ////4141444111式中形函数:()()()2221181ηξηηξξηηξξ--++++=ii i i i N()()()211181ηηηξξη-++-=i i i xi b N ()()()211181ξηηξξξ-++=ii i yi a N (4-2-3)(i=1 2 3 4)在上面的推导中,我们仍然选用了局部坐标(无因次坐标)。
局部坐标与整体坐标的关系为:()01x x a-=ξ()061y y -=ηz =ς四、单元的几何矩阵[B]和内力矩阵[S]1．几何矩阵[B]由前可知{}{}χεz =, 将（4－2－3）代入(4-2-4)得到几何矩阵：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-=y x N y x N y N y N x N x N x N x N B y y y y x 442122422122221221221222（4-2-5） 或以子块形式表示： [B]=[B 1 B 2 B 3 B 4]。