第16章 错误检测和校正资料

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第16章 错误检测和校正
表16-01 GF(23)域中与二进制代码对照表,P(x)=x3+x+1
GF(23)域元素 0 α0 α1 α2 α3 α4 α5 α6
二进制对代码 (000) (001) (010) (100) (011) (110) (111) (101)
建立了GF(23)域中的元素与3位二进制数之 间的一一对应关系。
α3＋α＋1 = 0
和
α3 = α＋1
x7+1/ P(x)=？？？
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GF(23)中的元素可计算如下：
0 α0 α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7 α8 ……
mod(α3＋α＋1) = 0 mod(α3＋α＋1) = α0 = 1 mod(α3＋α＋1) = α1 mod(α3＋α＋1) = α2 mod(α3＋α＋1) = α＋1 mod(α3＋α＋1) = α2＋α mod(α3＋α＋1) = α2＋α1＋1 mod(α3＋α＋1) = α2＋1 mod(α3＋α＋1) = α0 mod(α3＋α＋1) = α1
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– 在模2多项式代数运算中定义的运算规则有：
• 例如，模2多项式的加法和减法： ****
• 结论：
– 对于模2运算来说，代码多项式的加法和减法运算所得的 结果相同。
– 在做代码多项式的减法时，可用做加法来代替做减法。
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两数相除的结果，其商可
不必关心，其余数为
B994(H)就是CRC校验码。
把信息代码写到盘上时，
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将原来的信息代码和CRC
码一起写到盘上。在这个
例子中，写到盘上的信息
代码和CRC码是
4D6F746F B994,
4D6F746F 信息代码
B994 CRC码
这个码是能被11021(H) 除尽的。
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用同样的方法可建立GF(28)域中的256个元 素与8位二进制数之间的一一对应关系。
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– 现仍以GF(23)域中运算为例：
加法例：α0＋α3 = 001＋011 = 010 = α1
减法例：与加法相同 乘法例：α5·α4 = α(5＋4) mod7
= α2 除法例：α5/α3 = α2 α3/α5 = α－2
P(x)=(x16+x15+x2+1)(x16+x2+x+1)
计算CRC码时用的数据块是从扇区的开头到用户数据区结 束为止的数据字节，即字节0～2063共2064个字节。在 EDC中存放的CRC码的次序如下：
EDC： 字节号：
x24－x31 2064
x16－x23 2065
x8－x15 2066
x0－x7 2067
若用二进制表示，则为 : G(x)=10001000000100001(B) =11021(H)
假定要写到盘上的信息代码 M(x)为 M(x)=4D6F746F(H)
由于增加了2个字节共16位的校验码，所以信息代码变成 x16M(x) : 4D6F746F0000(H)。
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CRC检验码计算如下：
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16.2 RS编码和纠错算法
• 16.2.1. GF(2m)域 ****
– 伽罗华域(Galois Field，GF)
• CD-ROM中的数据、地址、校验码等都可以看成是属于 GF(2m) = GF(28)中的元素或称符号。GF(28)表示域中有256 个元素，除0，1之外的254个元素由本原多项式P(x)生成。 本原多项式P(x)的特性是 x2m1 1得到的余式等于0。
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16.1 CRC错误检测原理
– 在纠错编码代数中，把以二进制数字表示的一 个数据系列看成一个多项式。
– 例如，二进制数字序列10101111，用多项式可以表示成：
»=式中的 xi表示代码的位置，或某个二进制数位的位置，
xi前面的系数a i表示码的值。若a i是一位二进制代码， 则取值是0或1。 称 M (x)为信息代码多项式。
xnk M (x) R(x) Q(x)G(x)
– G(x)称为校验码生成多项式。 – 从该式中可以看到，代表新的代码多项式 xn-kM(x)+R(x) 是能够被校验
码生成多项式 除尽的，即它的余项为0。
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• 例如，CD盘中的q通道和软磁盘存储器中使用的 CRC校验码生成多项式是: G(x)=x16+x12+x5+1
P(x)
• CD-ROM用来构造GF(28)域的 是
P(x)=x8+x4+x3+x2+1
而GF(28)域中的本原元素为 :
α＝（00000010）
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– [例13.1] 构造GF(23)域的本原多项式P(x)假定
为
P(x)=x3+x+1
α定义为 P(x) = 0的根，即
– 代码多项式的除法可按长除法做。
• 例如
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– 如果一个k位的二进制信息代码多项式为M(x) ，再增加(n－k)位 的校验码，那么增加(n－k)位之后，信息代码多项式在新的数据
块中就表示成 xn-kM(x)，如图16-01所示。
(n－k)
(n－k)
图16-01 信息代码结构
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从盘上把这块数 据读出时，用同 样的CRC码生成 多项式去除这块 数据，相除后得 到的两种可能结 果是：
①余数为0，表 示读出没有出现 错误；
②余数不为0， 表示读出有错。
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CD-ROM中也采用了相同的CRC检错。CD-ROM扇区方 式01中，有一个4字节共32位的EDC字域，它就是用来存 放CRC码。
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– 如果用一个校验码生成多项式G(x)去除代码多项式 ，得到的商假 定为Q(x)，余式为R(x)，则可写成
xnk M (x) Q(x) R(x)
源自文库
g(x)
G(x)
xnk M (x) Q(x)G(x) R(x)
• 因为模2多项式的加法和减法运算结果相同，所以又可把上式写成：