数值分析复习要点new

|| B|| (1) (0) −3 || x − x ||≤ || x − x ||<10 →k > ? 1−|| B||
(k) *
k
敛 度 R =−ln(ρ(B)) 收 速
SO 分 形 :(以 阶 程 为 ) R 量 式 二 方 组 例
ω (k+1) (k ) ( ( x1 (b − a11 x1k) − a12 x2k) ) = x1 + 1 a11 x(k+1) = x(k) + ω (b − a x(k+1) − a x(k) ) 2 2 21 1 22 2 2 a22
P153-----7，11，13 ， ，
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八. 构造正交多项式
c 在 [a, b] 构 正 多 式: 中 造 交 项 由 1 x, x ,..., x ,...)构 首的 交 项 {ϕn (x)}n=0 造 1 正 多 式 {,
2 n ∞
ϕ0 (x) =1 k = 0,1 ,2,... ϕk+1(x) = (x −αk+1)ϕk (x) − βkϕk−1(x) (xϕk (x),ϕk (x)) αk+1 = k = 0,1 ,2,... (ϕk (x),ϕk (x)) (ϕk (x),ϕk (x)) β0 = 0, βk = k =1 ,2,... (ϕk−1(x),ϕk−1(x))
∀ 对 x = ( x1,..., xj ,..., xn ) ≠ 0,
xj ≠ 0
T
LU分解 分解
题 习 : 1.设 = (2,1, −1,3)T ,求 Gauss变 阵 , x 一 换 L Lx 使 = (2,0,0,0) .
T
1 2 3 2. 知 阵 A= 2 6 2, 已 矩 3 1 5 对 阵 作 角 解即 = LU. 矩 A 三 分 , A
T
3. 知 量 = (1 已 向 x ,2,2) , y = (0,3,4) , 试 造 个 构 一
T T
H ouseholder阵 使 x = ky k ∈R 给 k值 H H ， 。 出 和 换 H 变 阵 .
四.矩阵的正交分解 矩阵的正交分解
Schmidt正交化法 正交化法
题 习 : 1 2 1.设 阵 = 2 1,用 Schmidt正 化 法 矩 A 交 方 , −1 2 A 正 分 A R 对 作 交 解 =Q .
b a
积 内 ( f (x), g(x)) = ∫ ρ(x) f (x)g(x)dx
造 于 集 构 关 点 { x0, x1,..., xm} ⊂[a, b]和 wi > 0(∈R), 权 (i = 0,1 m)的 交 数 : ,..., 正 函 组 由 1 x, x ,..., x ,...)构 首的 交 项 {ϕn (x)}n=0 造 1 正 多 式 {,
a b 1 p
p =1 2, ∞, ,
p26−27
题 习 : 3 2 1 1. 知 阵 = 2 3 0, 试 算 已 矩 A 计 1 0 3 (1 A 谱 径 (A), ) 的 半 ρ (2)A 谱 件 cond(A)2, 的 条 数 (3)A 奇 值 的 异 2. 知 量 = (1 −3,0)T , y = (3,6,1 T , ,4, ,2) 已 向 x x 求 , y之 的 离 (x, y). 间 距 ρ
代 阵 迭 矩 A = D− L−U B = D−1(L+U) J
−1
B = (D− L)−1U G
B = (D−ωL) (ωU + (1−ω)D) ω
SO 法 敛 必 条 。 ∗ 0 < ω < 2是 R 收 的 要 件 ∗ A 格 角 优 Jacobi法 G 法 敛 严 对 占 是 ， S 收 的 分 件 充 条 。
习题:P138—14,16. 习题 系数矩阵A为哪些矩阵时 可用顺序 系数矩阵 为哪些矩阵时,可用顺序 为哪些矩阵时 可用顺序Gauss消元 消元 法求解Ax=b. 法求解 系数矩阵A为哪些矩阵时 可用列主元 系数矩阵 为哪些矩阵时,可用列主元 为哪些矩阵时 可用列主元Gauss 消元法求解Ax=b. 消元法求解 何为病态矩阵,如何判别矩阵为病态矩阵 何为病态矩阵 如何判别矩阵为病态矩阵. 如何判别矩阵为病态矩阵 举例说明数学稳定性与数值稳定性的区别. 举例说明数学稳定性与数值稳定性的区别
σ 1为 A的 最 大 奇 异 值 .
半 谱 径 ρ(A) =| λ (A)|max 奇 值 奇 值 阵 异 与 异 矩
Σr σi = λi ( A A) ≠ 0, i = 1,..., r, Σ= 0
T
0 0
件 条 数 cond(A)p =|| A−1 ||p|| A||p ,
p = F,1,2, ∞
y0 = 2 3、 递推 公式 ， yn = 10 yn −1 − 1, n = 1, 2, ... 41作 如果 取 y0 = 2 ≈ 1.41作 计算 ，则 计 算到y10时 ， 误差 为_______； 这个 计算 公式 数 值稳 定不 稳定 ？
4、计算 y = ln x。若 x ≈ 20，则取 x 的几位有效数 、 。 ， 字可保证 y 的相对误差 < 0.1% ?
i=1 n 1 p p
p =1 2, ∞, , p25
阵 间 距 矩 空 的 离 ρ(A, B) =|| A− B||p
p =1 2, ∞, F ,
续 数 间 距 连 函 空 的 离 ρ( f (x), g(x)) =|| f (x) − g(x)||p = (∫ | f (x) − g( x)|p dx)
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二. Gauss变换与矩阵的三角分解 变换与矩阵的三角分解
Gauss变换阵 变换阵
1 O 1 Lj = −l j+1, j 1 M O −ln, j 1
T
造 换 G 使 构 Gauss变 阵 ， Gx = ( x1,..., xj ,0,...,0) xi 解: G = Lj ,其 li, j = , 中 xj i = j +1 j + 2,...n ,
P65-例2-34 例
Householder变换法 P67-例2-35 变换法 例
2 −1 7 2.设 阵 = 0 3 10,用 ouseholder变 法 H 矩 A 换 , 0 4 5 A 正 分 A . 对 作 交 解 = QR
五. 解线性方Biblioteka Baidu组的直接法
2 n ∞
ϕ0 (x) =1 k = 0,1 ,2,... ϕk+1(x) = (x −αk+1)ϕk (x) − βkϕk−1(x) (xϕk (x),ϕk (x)) αk+1 = k = 0,1 ,2,... (ϕk (x),ϕk (x)) (ϕk (x),ϕk (x)) β0 = 0, βk = k =1 ,2,... (ϕk−1(x),ϕk−1(x))
T
H 使 x = y.
习题
1. 知 量 = (2,0,2,1 , 试 造 ouseholder阵 ) H 已 向 x 构 H
T
H ,0 使 x = ke3,其 e3 = ( 0,0,1 ) , k ∈R . 中
T +
2. 知 量 = (1 , −2) , 试 造 ouseholder阵 已 向 x ,2,1 H 构 H T H , 使 x = (1 −σ2,0,0) .
一. 基本概念
绝对误差,相对误差 有效数字 数值稳定性等. 绝对误差 相对误差,有效数字 数值稳定性等 相对误差 有效数字,数值稳定性等 的相对误差为0.001 1、设x和y的相对误差为0.001，则x*y的相对误差约为 和 的相对误差为0.001， 的相对误差约为 ____________.
绝对误差,相对误差 有效数字 数值稳定性等. 绝对误差 相对误差,有效数字 数值稳定性等 相对误差 有效数字,数值稳定性等
习题:P139----20----25,27 习题
七. 广义逆与列满秩最小二乘问题
满 矩 A 广 逆 列 秩 阵的 义
T T + ) (1)A = (A A −1 A
(2)A = Q , A = R−1QT R +
利 广 逆 矛 方 组 =b 最 二 解 用 义 求 盾 程 Ax 的 小 乘 x = A+b
Matlab_zm@163.com
九. 连续函数的最佳平方逼近 十. 离散数据的最佳平方逼近 十一. 十一 函数插值 十二. 十二 数值积分 十三. 数值微分 十三 十四. 非线性方程（ 十四 非线性方程（组）的数值解法 十五. 十五 常微分方程的数值解法 十六.数值计算的基本思想 十六 数值计算的基本思想 十七.读程序 十七 读程序
何为事后误差估计. 何为事后误差估计
|| e || −1 || r || 答:由 算 估 误 计 解 计 差 ∗ ≤|| A|||| A || || x || || b ||
解线性方程组Ax=b的迭代法 六. 解线性方程组 的迭代法
代 式 迭 格 x(k+1) = Bx(k) + g → 敛 充 必 条 收 的 分 要 件 B 0 ⇔ρ(B) <1
值 算 应 意 问 数 计 中 注 的 题
(1) 防止相近的两数相减 (2) 防止大数吃小数 (3) 防止接近零的数做除数 (4) 注意计算步骤的简化 减小运算次数 注意计算步骤的简化,减小运算次数
向量范数 矩阵范数 ① 矩 阵 A的1 − 范 数 ( 又 称 为 A的 列 范 数 )
A
1 n
= max ∑ a ij
三. Householder变换 变换
Householder变 阵 H = I − 2ww ,其 || w ||2 =1 换 中
T
理 定 : 设 维 量 , y, x ≠ y, 但|| x ||2 =|| y ||2 , u = x − y, n 向 x u 则 在 ouseholder变 阵 H = I − 2ww , w = 存 H 换 , || u||2
解的精度改进的常用方法.P102-105 解的精度改进的常用方法 何为先验误差估计. 何为先验误差估计
−1
|| δ A|| || δb || || A |||| A|| ( + ) || δ x || || A|| || b || ≤ * || x || 1 || A−1 |||| δ A|| −
1 1 1 已 矩 A= 1 −1;b = 0 知 阵 1 0 −1 （） 计 A 奇 值 1 试 算的 异 ； 2 利 矩 A 正 分 A （ ） 用 阵 的 交 解 = QR 求 A 广 逆 +; ， 出的 义 A （ ） 用 的 义 A+,求 矛 方 组 = b 3 利 A 广 逆 解 盾 程 Ax 。
k k→ ∞
敛 充 条 收 的 分 件
|| B||p <1 p =1 ， , ,2 ∞
Jacobi迭代法 迭代法,Gauss-Seidel迭代法 迭代法,SOR松弛迭代法 迭代法 迭代法 松弛迭代法 的分量形式,迭代矩阵 收敛条件. 迭代矩阵,收敛条件 的分量形式 迭代矩阵 收敛条件 P110-118 估计迭代次数
1≤ j ≤ n i =1
② 矩 阵 A的 ∞ − 范 数 ( 又 称 为 A的 行 范 数 ) A
∞
= max ∑ a ij
1≤ i ≤ n j =1
n
③ 矩 阵 A的 2 − 范 数 ( 又 称 为 A的 谱 范 数 ) A
2
=
λ max ( A A ) = σ 1
T
其 中 λ max ( A T A )表 示 ( AT A )的 最 大 特 征 值 ,
谱 件 条 数
λmax( AT A) σ1 cond( A)2 =|| A−1 ||2|| A||2 = = T λmin(A A) σn
A 称 ， 对 时 | λ ( A)|max cond( A)2 =|| A ||2|| A||2 = | λ ( A)|min
−1
距离概念
量 间 距 向 空 的 离 | （ ρ x, y) =|| x − y ||p = (∑ xi − yi | )
数值分析复习要点
一. 基本概念
二. Gauss变换与矩阵的三角分解 变换与矩阵的三角分解 三. Householder变换 变换 四. 矩阵的正交分解 解线性方程组Ax=b Ax=b的直接法 五. 解线性方程组Ax=b的直接法 解线性方程组Ax=b的迭代法 六. 解线性方程组Ax=b的迭代法 七. 列满秩最小二乘问题 八. 构造正交多项式