基本不等式与不等式证明(题目)

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利用基本不等式证明不等式

利用基本不等式证明不等式作者李凤岩利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明不等式的形式.若符合基本不等式的条件，可以直接利用基本不等式或最值定理证明.若不符合基本不等式的条件，可以对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用基本不等式的条件.若题中还有等式条件，要分析等式条件和所证不等式之间的联系，当等式条件中含有1时，要注意1的代换.最后，要注意等号能否取到.题型一无等式条件的证明问题【例】已知2a >，求证：log (1)log (1)1a a a a -⋅+<.证明： 2a >，0log (1)log (1)a a a a <-<+，∴22log (1)log (1)log (1)log 1222a a a a a a a a -++-==.【例】已知a ，b ，c 都是实数，求证：22221()3a b c a b c ab bc ca ++≥++≥++.证明： a ，b ，c ∈R ，∴222a b ab +≥，222b c ac +≥，222c a ca +≥.将这三个式子相加，得2222()222a b c ab bc ca ++≥++.①在不等式①两边同时加上222a b c ++，得22223()()a b c a b c ++≥++，即22221()3a b c a b c ++≥++.②将不等式①两边同时加上444ab bc ca ++，得22()6()a b c ab bc ca ++≥++，即21()3a b c ab bc ca ++≥++.③由②③，得22221()3a b c a b c ab bc ca ++≥++≥++.【例】设a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：bc ac ab a b c a b c++>++.证明： a 、b 、c 是不全相等的正数，∴2bc ac c a b +>，2bc ab b a c +>，2ac ab a b c+>.∴2()2()bc ac ab a b c a b c ++>++，即bc ac ab a b c a b c ++>++.【例】已知a ，b ，c 为正数，求证：3b c a c a b a b c a b c+-+-+-++≥.证明：左边111()()()3b c c a a b b a c a b c a a b b c c a b a c c b=+-++-++-=+++++-. 0a >，0b >，∴2b a a b+≥，当且仅当a b =时，取等号；2c a a c+≥，当且仅当a c =时，取等号；2b c c b+≥，当且仅当b c =时，取等号.∴(()()33b a c a b c a b a c c b +++++-≥，即3b c a c a b a b c a b c+-+-+-++≥.【例】已知0a >，0b >，求证：1111222222()()a b a b b a+≥+.证明： 0a >，0b >，∴.≥，即1111222222()()a b a b b a +≥+.当且仅当a b =时，取等号.【例】若a 、b 、c 均为正数，求证：3333a b c abc ++≥.证明： 33223232222()()()()()a b a b ab a a b b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=-+-=-+.又 a ，b 均为正数，0a b +>，2()0a b -≥，2()()0a b a b -+≥，∴3322a b a b ab +≥+.①同理3322a c a c ac +≥+.②3322b c b c bc +≥+.③①＋②＋③得：333222222222()()()a b c a b ab a c ac b c bc ++≥+++++222222()()()b ac a b c c a b =+++++222b ac a bc c ab≥⋅+⋅+⋅6abc =.∴3333a b c abc ++≥，当且仅当a b c ==时，取等号.题型二有等式条件的证明问题【例】若a ，b 均为正数，且1a b +=，求证：149a b+≥.证明： 0a >，0b >，且1a b +=.∴14144()()145529b a a b a b a b a b +=++=+++≥++.当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时取等号.【例】已知a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥.证明：（方法一） 0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=，∴111111()()a b c a b c a b c++=++++111a a b b c c b c a c a b=++++++++3()()()a b b c c a b a c b a c=++++++3≥+9=.当且仅当13a b c ===时，取等号.（方法二） 0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=，111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++111a a b b c c b c a c a b=++++++++3()()()a b b c c a b a c b a c=++++++3≥+9=.当且仅当13a b c ===时，取等号.【例】已知a ，b ，c +∈R ，且不全相等，若1abc =，证明：111a b c ++>.证明： 0a >，0b >，0c >，1abc =，∴11a b +≥=，当且仅当a b =时，取等号.11b c +≥，当且仅当b c =时，取等号.11c a +≥，当且仅当c a =时，取等号. a ，b ，c 不全相等，∴111111()()()a b b c c a+++++>.即111a b c++>.【例】已知正实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，求证：111(1)(1)(1)8x y z---≥.证明： 0x >，0y >，0z >，∴x y +≥，当且仅当x y =时，等号成立.y z +≥，当且仅当y z =时，等号成立.z x +≥，当且仅当z x =时，等号成立.又 1x y z ++=，∴1x y z -=+，1y x z -=+，1z x y -=+.∴111(1)(1)(1)x y z ---111()()()x y z x y z ---=()()()y z x z x y x y z +++=)()(y ≥88xyz xyz==.当且仅当x y =且y z =且z x =，即x y z ==时，等号成立.【例】已知0a >，0b >，1a b +=，求证：1125()(4a b a b ++≥.证明：2111()2a b a b a b aba b b a ab b a ++=+++=++. 0a >，0b >，∴2a b b a +≥.1a b =+≥，∴12≤32-≥，即294-≥.∴11925()(2244a b a b ++≥++=.当且仅当a b =时，等号成立.【例】已知0a >，0b >，1a b +=，求证221125()()2a b a b +++≥.证明：2211(()a b a b+++2222114a b a b =++++222211()()4a b a b =++++22112()2()4a b ab a b ab ⎡⎤⎡⎤=+-++-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦221(12)(1)4ab a b =-++. 21()24a b ab +≤=，∴1112122ab -≥-=，22116a b ≥，221117a b +≥.∴2211125()()17422a b a b +++≥⨯+=(当且仅当12a b ==时，等号成立).。

专题14 基本不等式(解析版)

专题14 基本不等式1．已知关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42<<x x ，则=a b ．【难度】★ 【答案】31-2．若关于实数x 的不等式a x x <++-35无解，则实数a 的取值范围是．【难度】★★ 【答案】(]8,∞-【解析】因为35++-x x 表示数轴上的动点x 到数轴上的点3-、5的距离之和，而()835min=++-x x ，所以当8≤a 时，a x x <++-35无解．热身练习3．不等式212+<-x x 的解集为．【难度】★【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛-331， 4．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解，则实数a 的取值范围是．【难度】★★ 【答案】3≥a 或3-≤a5．若关于x 的不等式164222--≤++x x b ax x 对R x ∈恒成立，则=+b a ．【难度】★★★ 【答案】10-1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．·基本不等式的几何解释：因为()02≥-y x ，令a x =，b y =，代入展开可得2b a ab +≤知识梳理模块一：利用基本不等式求最值·基本不等式的几何解释：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连结AD ，BD .由射影定理或三角形相似可得CD ＝ab ，由CD 小于或等于圆的半径a ＋b 2，可得不等式ab ≤a ＋b2.当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立．【例1】（1）已知，如果，那么的最小值为__________；（2）已知，如果，那么的最小值为______；（3）若，则的最小值为；（4）已知，且，则的最大值为.【难度】★【答案】（1）2 （2）12 （3）22 （4）1162．基本不等式及有关结论(1)基本不等式：如果a >0，b >0，则a ＋b2a b +∈R 、1ab =a b +a b +∈R 、1a b +=22a b +0x >2x x+,x y R +∈41x y +=x y ⋅_____典例剖析≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)重要不等式：a ∈R ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)几个常用的重要结论① b a ＋ab ≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)；② a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)；③ ab ≤2)2(ba (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b时取等号)；④ 21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b22(a ，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数【例2】已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的？（1）abba ≥+2；（2）abb a 222-≥+；（3）ab b a ≥+22；（4）2≥+baa b （5）21≥+a a ；（6） 2≥+abb a （7）222)(2b a b a +≥+）（【难度】★【答案】（2）（3）（6）（7）（1）错误。

高考数学复习备战：最新真题解析—不等式选讲

（2）基本不等式:如果a，b>0，那么，当且仅当a=b时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.
（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.
（2）法一：利用基本不等式得到，再利用不等式的基本性质证明；法二：利用Cauchy不等式证明.
(1)∵ ，，都为正整数，且．
∴ ，
当且仅当时“=”成立．
(2)法一：由题意得
①+②+③，得，
当且仅当时“=”成立．
法二：由Cauchy不等式，得．
令，
则．
令，则在上单调递增．
∴ ，即．
(1)当时，等价于，
该不等式恒成立，所以；
当时，等价于，
解得，此时不等式无解；
当时，等价于，解得，所以．
综上所述，不等式的解为．
(2)由，得，
当时，恒成立，所以；
当时，恒成立，
因为，
当且仅当时取等号，所以．综上所述，的取值范围是．
2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数．
当时，，解得，
故不等式的解集为或；
(2)由（1）可知：
当时，，
当时，，
当时，，
故的最小值为3，即，则，即
则，
当且仅当时取等号，
故的最小值为 .
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数 .
(1)求不等式的解集；
(2)设时，的最小值为M.若正实数a，b，满足，求的最小值.

高三数学基本不等式试题

高三数学基本不等式试题1.当x>3时，不等式x+≥恒成立，则实数的取值范围是（）A．（－∞，3]B．[3，+∞）C．[，+∞）D．（－∞，]【答案】D【解析】因为当x>3时，不等式x+≥恒成立，所以有，记，设x-1=t，则在上是增函数，所以得，故选Ｄ．【考点】函数的恒成立．2.实数x，y满足x＋2y＝2，则3x＋9y的最小值是________________.【答案】6【解析】3x＋9y＝3x＋32y≥2考点:基本不等式3.阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析.【解析】本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出. （1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分【考点】阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.4.（2011•浙江）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是_________．【答案】【解析】∵4x2+y2+xy=1∴（2x+y）2﹣3xy=1令t=2x+y则y=t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x=1即6x2﹣3tx+t2﹣1=0∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是5.若函数f(x)＝（b≠1)在x＝1处有极值，则ab的最大值等于。

基本不等式经典题目

基本不等式经典题目基本不等式：经典题目1. 证明柯西不等式：若 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 和 $y_1, y_2, \dots, y_n$ 是两个 n 维实数序列，则有$$\left(\sum_{k=1}^n x_ky_k\right)^2 \le\left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^ny_k^2\right)$$2. 证明赫尔德不等式：若 $p$ 和 $q$ 是大于 $1$ 的实数且满足$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，则对于任意 n 维实数序列$x_1, x_2, \dots, x_n$ 和 $y_1, y_2, \dots, y_n$，都有$$\left|\sum_{k=1}^n x_ky_k\right| \le\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n|y_k|^q\right)^{1/q}$$3. 证明明可夫斯基不等式：对于任意p ≥ 1 和 n 维实数序列 $x_1, x_2, \dots,x_n$，都有$$\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p} \le\sum_{k=1}^n |x_k|$$4. 证明切比雪夫不等式：对于任意实数 $a$ 和 n 维实数序列 $x_1, x_2, \dots, x_n$，都有$$P(|X - E(X)| \ge a) \le \frac{V(X)}{a^2}$$其中 $X$ 为序列 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的随机变量，$E(X)$ 为期望，$V(X)$ 为方差。

5. 证明马尔科夫不等式：对于任意实数 $a > 0$ 和 n 维非负实数序列 $x_1, x_2, \dots, x_n$，都有$$P(X \ge aE(X)) \le \frac{E(X)}{a}$$其中 $X$ 为序列 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的随机变量。

3不等式的性质证明和基本不等式

3.分析法: 由结论到条件，注意格式规范→步
步可逆即充要
x Ex：已知：
y 0 ，比较：
x y x y
与
x x
2 2
y y
2 2
的大小.
Ex：比较
x
2
与 2 x 的大小。
1 a b 1 b c 1 a c
ab 2
Ex：已知 a
b c ，求证：

Ex:已知 a , b
R , a b , 求证： a b b ( a b ) a

( Ex:已知 a , b R , 求证：
a
2
1
)2 (

b
2
1
1
1
)2 a 2 b 2
b
a
Ex：已知
求证： lg
2
a,b,c R ,
lg b c 2

且不全相等
a c 2 lg a lg b lg c
2

且可推广：

a,b,c R ,
a b c 3

3
abc 仅当 a b c 0时取等号
n
且进一步：
ai R ,
a1 a 2 a n n
a1 a n
称作：n个正数的算术平均数不小于它的几何平均数且变形为：
1 a,b
二、不等式的基本性质
（1）传递性：a
b,b c a c
a （2）加法单调性：
a （3）乘法单调性：
b a c b c
b, c 0 ac bc b, c d a c b d b 0, c d 0 ac bd

不等式选讲(用基本不等式证明不等式)

不等式选讲(用基本不等式证明不等式)一、用基本不等式证明不等式1．（2014年1卷）若0,0a b >>，且11a b +=．证明：（1）求33a b +的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．【解析】（I11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b == 故33a b+≥≥，且当a b ==时取等号．所以33a b +的最小值为（II ）由（I）知，23a b +≥≥6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=．2.（2013年2卷）设均为正数，且，证明：（1）（2）【解析】（Ⅰ）2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得 222a b c ab bc ca ++≥++由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=．所以()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤ （Ⅱ）∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a+≥+≥+≥ ,,a b c 1a b c ++=13ab bc ca ++≤2221a b c b c a++≥∴222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++ 即222a b c a b c b c a++≥++ ∴2221a b c b c a++≥3.（2019年1卷）已知a ，b ，c正数，且满足abc=1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．【解析】（1）1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭ ()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号， ()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥ （1） ()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥b c +≥a c +≥（当且仅当a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc()()()33324a b b c c a ∴+++++≥4.已知正数x 、y 、z ，且1xyz =.（1）证明：222x y z y z x y++≥+；（2）证明：()()()22212x y y z z x +++++≥.【详解】（1）因为x 、y 、z 为正数，且1xyz =，所以222x y y z +≥==，当且仅当32y zx =时等号成立，即4y x =时，等号成立；同理22y z z x +≥，22x z y x +≥22222x y z y z x z y ⎛⎛⎫++≥++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即222x y z y z x z y++≥+，当且仅当1x y z ===时等号成立；（2）因为()()()222x y y z z x +++++≥由二元均值不等式得x y +≥y z +≥，z x +≥，当且仅当x y z ==时，等号同时成立，所以()24x y xy +≥，()24y z yz +≥，()24z x xz +≥， ()()()()22226464x y y z z x xyz ∴+++≥=，因此，()()()22212x y y z z x +++≥=++，当且仅当1x y z ===时，等号同时成立.【点睛】本题考查利用三元和二元均值不等式证明不等式，考查推理能力，属于中等题.5.（2020年3卷）设a ，b ，c ∈R ，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a ，b ，c}表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c}．【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .。

基本不等式的证明、求最值、实际运用

知识点一（基本不等式）【知识梳理】1.基本不等式ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：___________.(2)等号成立的条件：当且仅当_______时取等号.2. 几个重要的不等式（变形）(1)a 2＋b 2≥_____(a ，b ∈R). (2)b a ＋a b ≥___(a ，b 同号).(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R). (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R).3. 算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为______，几何平均数为_____，基本不等式可叙述为：_______________ _________________ ______________.4. 利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当______时，x ＋y 有最__值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当____时，xy 有最__值是p 24.(简记：和定积最大)5.利用基本不等式应注意的问题⑴必须是正数才能使用基本不等式.若0x >，则12x x +≥(当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”）.若0>ab ，则2≥+a b b a ;(当且仅当b a =时取“=”）；若0ab <，则2a b b a +≤-(当且仅当b a =时取“=”）.【规律方法】利用基本不等式求条件最值的方法知识点二（基本不等式实际运用）【知识梳理】【规律方法】利用基本不等式解决实际问题的步骤.解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题，用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：⑴先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;⑵建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；⑶在定义域内，求出函数的最大值或最小值;⑷正确写出答案.【特别提醒】在解题过程中，一定要注意自变量的取值范围【例题精讲】1、如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．①现有可围36 m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？②若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？2.某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100字型地域.现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4 200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2.(1)设总造价为S 元，A D 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式；(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区.1.下列结论中不正确的是 ( )A.a >0时，a ＋1a ≥2B.b a ＋a b ≥2C.a 2＋b 2≥2abD.a 2＋b 2≥(a ＋b )222.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ( )A.13B.12C.34D.233.要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为 ( )A.50B.25 3C.50 3D.1004.已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值等于( )A.1B.2C.2 2D.2 3（1）列出y 与的函数关系式，并写出其定义域；（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？14．已知函数2()21,f x x ax a a =--+∈R ．（1）若2a =，试求函数()(0)f x y x x=>的最小值；（2）对于任意的[]0,2x ∈，不等式()f x a ≤成立，试求的取值范围．。

第14讲基本不等式 (解析版)

【高中新知识预习篇】第14讲基本不等式解析版一、基本知识及其典型例题知识点一基本不等式1.基本不等式的概念：当a ，b > 0，ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2.基本不等式的意义：一般地，对于正数a ，b ，a ＋b2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数. 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即ab ≤ a ＋b2. 3.基本不等式的常见推论 :(1) (重要不等式) ∀a ，b ∀R ，有a 2＋b 2 ≥ 2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2) ab ≤ 2)2(b a +≤ a 2＋b 22 (R b a ∈、)；(3) b a ＋ab≥ 2 (a ，b 同号)；(4)a 2＋b 2＋c 2 ≥ ab ＋bc ＋ca (R c b a ∈、、). 4.利用基本不等式证明不等式(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2) 注意事项：∀多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；∀累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；∀对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.【例1】证明不等式: a ，b ∀R , ab ≤2)2(b a +≤a 2＋b 22,当且仅当a=b 时取等号.【证明】∀化简得：2)2(b a ab +≤.0)(,0224,422222222≥-≥+-++≤++≤b a b ab a b ab a ab b ab a ab 即，即即.时取等号当且仅)2(0)(2b a b a ab b a =+≤∴≥-当恒成立，恒成立， ∀)(22,2422)2(22222222222b a b ab a b a b ab a b a b a +≤+++≤+++≤+即化简得：.0)(,02222≥-≥+-b a b ab a 即即.2)2(222时等式成立恒成立，当且仅当同理，b a b a b a =+≤+综上， a ，b ∀R , ab ≤2)2(b a +≤a 2＋b 22,当且仅当a=b 时取等号.【变式1】已知x ，y 都是正数. 求证：(1)y x ＋xy ≥2； (2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3;（3）已知a ，b ，c 为任意的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 【证明】 (1)∀x ，y 都是正数，∀x y > 0，yx > 0，∀y x ＋xy≥ 2y x ·x y ＝ 2，即 y x ＋xy≥ 2，当且仅当x ＝y 时，等号成立.(2)∀x ，y 都是正数，∀x ＋y ≥ 2xy > 0， x 2＋y 2 ≥ 2x 2y 2 > 0，x 3＋y 3 ≥ 2x 3y 3 > 0.∀(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥ 2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3，即 (x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥ 8x 3y 3，当且仅当x ＝y 时，等号成立. (3)∀a 2＋b 2≥2ab ；b 2＋c 2≥2bc ；c 2＋a 2≥2ca ， ∀2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立..1.a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 都是带有等号的不等式.“当且仅当…时，取等号”这句话的含义是：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.【例2】(多选题)设a >0，b >0，下列不等式中恒成立的有（） A.a 2＋1>a B.4)1)(1(≥++bb a a C.4)11)((≥++ba b a D.a 2＋9>6a .【解析】由于a 2＋1－a ＝2)21(-a ＋34>0，故A 恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2，∀4)1)(1(≥++bb a a ，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故B 恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b≥21ab，故4)11)((≥++ba b a ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故C 恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故D 不恒成立. 综上，恒成立的是ABC.【变式2】下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是（）. A．x y +≥B ．21x x +>2C ．2111x ≤+ D ．12x x+≥ 【答案】C【分析】取特殊值可得a,b,D 不恒成立，由211x +≥可得C 对应的不等式2111x ≤+恒成立，得解. 【解析】对于A ，当0x <时，根式无意义，故A 不恒成立；对于B ，当1x =时，212x x +=，故B 不恒成立；对于C ，211x +≥，所以2111x ≤+成立，故C 成立；对于D ，当0x <时，12x x+<，故D 恒不成立，即对任何实数x 都成立的一个式子是2111x ≤+ 【例3】已知，，若，证明：。

高中试卷-2.2 基本不等式练习(1)(含答案)

第二章　一元二次函数、方程和不等式2.2等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）一、选择题1．（2019·内蒙古集宁一中高一期末）下列不等式一定成立的是（）A ．a b2B ．a b 2≤C ．x +1x ≥2D ．x 2+1x 2≥2【答案】D【解析】当a ,b ,x 都为负数时，A,C 选项不正确.当a ,b 为正数时，B 选项不正确.根据基本不等式，有x 2+1x 2≥=2，故选D.2．（2019山东师范大学附中高一期中）已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】∵x ＞0，∴函数96y x x =+³=，当且仅当x=3时取等号，∴y 的最小值是6．故选：C ．3.（2019广东高一期末）若正实数a ，b 满足a +b =1，则下列说法正确的是( )A ．ab 有最小值14BC ．1a +1b 有最小值4D ．a 2+b 2【答案】C【解析】∵a >0，b >0，且a +b =1；∴1=a +b ≥∴ab ≤14；∴ab 有最大值14，∴选项A 错误；=a +b =1+1+=2，∴B 项错误.1a+1b ==1ab ≥4，∴1a +1b 有最小值4，∴C 正确；a 2+b 2=(a +b )2―2ab =1―2ab ≥1―2×14=12,∴a 2+b 2的最小值是12，不是∴D 错误．4．（2019·柳州市第二中学高一期末）若x >―5，则x +4x 5的最小值为（）A ．-1B ．3C ．-3D ．1【解析】x +4x5=x +5+4x 5―5≥2×2―5=―1，当且仅当x =―3时等号成立，故选A.5．（2019吉林高一月考）若()12f x x x =+- (2)x >在x n =处取得最小值，则n =（）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B 【解析】：当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6．（2019·广西桂林中学高一期中）已知5x 2³,则f(x)= 24524x x x -+-有A ．最大值B ．最小值C ．最大值1D ．最小值1【答案】D【解析】()()()2211112122222x f x x x x -+éù==-+³=ê--ëû当122x x -=-即3x =或1（舍去）时， ()f x 取得最小值1二、填空题7．（2019·宁夏银川一中高一期末）当1x £-时，1()1f x x x =++的最大值为__________.【答案】-3.【解析】当1x £-时，()11[(1)111f x x x x x =+=--+--++又1(1)21x x -+-³+，()11[(1)1311f x x x x x =+=--+--£-++,故答案为：-38．（2019·上海市北虹高级中学高一期末）若0m >，0n >，1m n +=，且41m n+的最小值是___.【答案】9【解析】∵0m >，0n >，1m n +=，4()5414519n m m n m n m n m n æö\+=++=+++=ç÷èø…,当且仅当12,33n m == 时“=”成立，故答案为9.9．（2019·浙江高一期末）已知0a >，0b >，若不等式212ma b a b+³+恒成立，则m 的最大值为【答案】9.【解析】由212m a b a b +³+得()212m a b a b æö£++ç÷èø恒成立，而()212225a b a b a b b a æö++=++ç÷èø5549³+=+=，故9m £，所以m 的最大值为9.10．（2019·浙江高一月考）设函数24()(2)(0)f x x x x x=-++>．若()4f x =，则x =________．【答案】2【解析】因为2(2)0y x =-³，当2x =时，取最小值；又0x >时，44y x x=+³=，当且仅当06（，），即2x =时，取最小值；所以当且仅当2x =时，24()(2)f x x x x=-++取最小值(2)4f =.即()4f x =时，2x =.故答案为2三、解答题11．（2016·江苏高一期中）已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值；（2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值；（3）已知x ＜54，求f （x ）＝4x －2＋145x -的最大值；【答案】（1）的最大值；（2）的最小值为5；（3）函数的最大值为【解析】（1）,当且仅当,时取等号，故的最大值为（2），当且仅当即时取等号（3）当且仅当,即时,上式成立,故当时,函数的最大值为.12．（2019·福建高一期中）设0,0,1a b a b >>+= 求证：1118a b ab++³ 【答案】可以运用多种方法。

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ，＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，求得x ＝15，即铁栅的长是15米．练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。

基本不等式

解： (1)由题意得， 100＋ 0.5x＋（ 2＋ 4＋ 6＋„＋ 2x） y＝， x 100 * 即 y＝ x＋＋ 1.5(x∈ N )． x (2)由基本不等式得： y＝ x＋ 100 ＋ 1.5≥ 2 x x· 100 ＋ 1.5＝ 21.5，当且仅当 x＝ x
100 ，即 x＝ 10 时取等号． x 故该企业 10 年后需要重新更换新的污水处理设备．
(3)已知函数 y＝a
x＋3
－2(a>0，a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A
x y 16 ．在直线＋＝－1 上，且 m， n>0，则 3m＋n 的最小值为_____ m n
(3)易知函数 y＝ ax＋ 3－ 2(a>0，a≠ 1)恒过定点(－ 3，－ 1)，所 x y 3 以 A(－ 3，－ 1)．又因为点 A 在直线＋＝－ 1 上，所以＋ m n m 3 1 3m 3n 1 ＋＝ 10＋＋ ≥ 10＋2 ＝ 1.所以 3m ＋ n＝(3m ＋n)· m n n n m 3m 3n · ＝ 16，当且仅当 m＝n 时，等号成立，所以 3m＋ n m n 的最小值为 16.
x＝y 时， x＋ y 有 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 ________
2 p ． (简记：积定和最小 ) 最小值是 ________ ________
x＝y 时， xy 有 (2)如果和 x＋ y 是定值 p，那么当且仅当 ________
p2 最大值是 ________． (简记：和定积最大 ) ________ 4
应用基本不等式解实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)写出正确答案．

基本不等式(很全面)

基本不等式(很全面).(精选)知识框架】1、基本不等式原始形式若a,b∈R，则a2+b2≥2ab2）若a,b∈R，则ab≤(a+b)2/42、基本不等式一般形式（均值不等式）若a,b∈R*，则a+b≥2ab3、基本不等式的两个重要变形1）若a,b∈R*，则a+b/2≥√(ab)2）若a,b∈R，则ab≤(a2+b2)/2总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1）若x>1，则x+1/x≥2(当且仅当x=1时取“=”）2）若x<1，则x+1/x≤-2(当且仅当x=-1时取“=”）3）若ab>0，则a+b/2≥√(ab)(当且仅当a=b时取“=”）4）若a,b∈R，则ab≤(a2+b2)/25）若a,b∈R*，则a+b/2≤√(ab)≤(a+b)/2≤√(a2+b2)/26、柯西不等式1）若a,b,c,d∈R，则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)22）若a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R，则有：(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)23）设a1,a2,…,an与b1,b2,…,bn是两组实数，则有(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目1、设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)2/4题目2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2>ab+bc+ca题目3、已知a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥1/3题目4、已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc题目5、已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≤abc/8题目6：设$a,b,c$均为正数，且$a+b+c=1$，证明：frac{1}{a^2b^2c^2}\geq\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq \frac{1}{3abc}$$ 题型二：利用不等式求函数值域题目1：求下列函数的值域1）$y=3x^2+\frac{1}{2x^2}$2）$y=x(4-x)$3）$y=x+\frac{11}{x}$，其中$x>0$4）$y=x+\frac{1}{x}$，其中$x\neq 0$题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知$x>2$，求函数$y=2x-4+\frac{4}{x}$的最小值；变式1：已知$x>2$，求函数$y=2x+\frac{4}{x}$的最小值；变式2：已知$x<2$，求函数$y=2x+\frac{4}{x}$的最大值；变式3：已知$x<2$，求函数$y=2x+\frac{4x}{2-x}$的最大值；练：1、已知$x>\frac{5}{4}$，求函数$y=4x-2+\frac{4}{4x-5}$的最小值；题目2、已知$x<\frac{5}{4}$，求函数$y=4x-2+\frac{4}{4x-5}$的最大值；题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）题目1：当$0<x<4$时，求$y=x(8-2x)$的最大值；变式1：当$0<x<4$时，求$y=4x(8-2x)$的最大值；变式2：设$0<x<\frac{3}{2}$，求函数$y=4x(3-2x)$的最大值。

13基本不等式(2)

12-x
x
例 3 过点 1,2 的直线 l与 x的正半径、 y轴的正半轴分别交于 A, B两点,当AOB 的面积最小时, 求直线 l的方程.
解设点Aa,0, B0, ba 0, b 0, 则直线 l x y 1 2 的方程为 1, 点1,2在l上, 故 1.
2）解决实际问题注意：
审题——建模——求解——评价
3）注重分类讨论、换元、化归等数学思想方法在解题中的运用
练习练习(1)求周长为 12的直角三角形面积的最大值.
(2)、若直角三角形的内切圆半径为，求其面积的 1
半径为，求其面积的最小值。 1 (3) 如图，设矩形ABCD(AB>CD)的周长为 24，把它关于AC对折起来，AB折过去以后，交DC于点P，AB=x，求⊿ADP的最大面积及相应的x值。
Thursday, September 25, 2008
知识回顾
1、基本不等式的内容：
ab ab (a, b R ) 2 2、基本不等式的条件：
一正、二定、三相等
3、基本不等式的变形：
x y 2 xy ( x R , y R )
x y 2 xy ( ) (x R , y R ) 2
4 (3)已知x 3, 求x 的最小值. x 4 4 解 : x 2 x 4, 原式有最小值4. x x 4 当且仅当x , 即x 2时, 等号成立. x

D : 练1.下列函数的最小值为2的是 ____
1 A. y x x
C. y x 2
1 1 变式(2) : 设0 x , y x(1 2 x)最大值是 ____ . 2 8
例1 用长为4 a 的铁丝围成一个矩形 , 怎样才能使所围矩形的面积最大 . 解设矩形长为 x 0 x 2a , 则宽为2a x, 矩形

基本不等式练习题带答案

• a. 假设 a > b，则 ab > b^2（反面结论）； • b. 根据已知条件，推导出 ab - b^2 = b(a - b) < 0（矛盾）； • c. 否定反面结论，得出 a ≤ b，从而证明原命题成立。
06
基本不等式的扩展知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，用于解决最优化问题、估计值域和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式等。
基本不等式的证明方法：可以通过代数、几何和概率统计等方法证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab

基本不等式全题型

题型1 根本不等式正用a ＋b ≥2ab例1：(1)函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1x(x ∈R )值域为________；(2)函数f (x )＝x 2＋1x 2＋1的值域为________．解析：(1)∵x >0，x ＋1x≥2x ·1x＝2，∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)；当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2x 2＋1·1x 2＋1－1＝1，当且仅当 x ＝0 时等号成立．答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞)4．(2021·XX 期中)假设x >1，那么x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5 [例1] (1)x ＜0，那么f (x )＝2＋4x＋x 的最大值为________．(1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x ＋－x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x ＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2. 例：当x ＞0时，那么f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号． 3．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是________．解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2 x －13x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．答案：23＋2 10．x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝1a －2x－x 的最小值．解：y ＝1a －2x ＋a －2x 2－a 2≥2 12－a 2＝2－a 2.当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a2. 题型2 根本不等式反用ab ≤a ＋b2例：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0<x <1)的值域为__________；(2)函数f (x )＝x (1－2x )⎝⎛⎭⎪⎫0<x <12的值域为__________．解析：(1)∵0<x <1，∴1－x >0, x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1－x 22＝14，∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.(2)∵0<x <12，∴1－2x >0. x (1－2x )＝12×2x (1－2x )≤12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋1－2x 22＝18，∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，183．(教材习题改编)0<x <1，那么x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．解析：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．答案：123．函数y ＝x 1－x 2的最大值为________．解析：x 1－x 2＝x21－x2≤x 2＋1－x 22＝12. 4．0<x <1，那么x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23 解析 ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．答案 B10．x ＞0，a 为大于2x 的常数，求函数y ＝x (a －2x )的最大值；解：∵x ＞0，a ＞2x ，∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋a －2x 22＝a 28，当且仅当x ＝a4时取等号，故函数的最大值为a 28.题型三：利用根本不等式求最值2．t >0，那么函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解析 ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．答案－2例：当x >0时，那么f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．解析：∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．例1：(1)求函数f (x )＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值；(2)求函数f (x )＝x 2－3x ＋1x －3(x ＞3)的最小值；思维突破：(1)“添项〞，可通过减3再加3，利用根本不等式后可出现定值．(2)“拆项〞，把函数式变为y ＝M ＋a M的形式．(1)∵x ＞3，∴x －3＞0.∴f (x )＝1x －3＋(x －3)＋3≥21x －3·x －3＋3＝5.当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时取等号，∴f (x )的最小值是5.(2)令x －3＝t ，那么x ＝t ＋3，且t ＞0.∴f (x )＝t ＋32－3t ＋3＋1t ＝t ＋1t＋3≥2t ·1t＋3＝5. 当且仅当t ＝1t，即t ＝1时取等号，此时x ＝4，∴当x ＝4时，f (x )有最小值为5.技巧总结：当式子不具备“定值〞条件时，常通过“添项〞到达目的；形如y ＝cx 2＋dx ＋fax ＋b(a ≠0，c ≠0)的函数，一般可通过配凑或变量替换等价变形化为y ＝t ＋pt(p 为常数)型函数，要注意t 的取值X 围；例：设x >－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值；解：∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2x ＋1·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．∴当x ＝1时，函数y 的最小值是9. 1．假设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，那么xy 的最大值是________．解析由于x >0，y >0，那么x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81. 答案 815．x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，那么xy 的最大值为_______________．解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号．答案 3 6．(2021·XX 期中)x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，那么xy 的最大值为________．解析：∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎨⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎨⎧x ＝32，y ＝2时xy 取得最大值3.答案：32．m >0，n >0，且mn ＝81，那么m ＋n 的最小值为________．解析：∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立．答案：185．x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，那么z ＝2x ＋5y的最小值为________．解析：由条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10.那么2x ＋5y≥210xy＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．答案：2(2021·XX 高考)log 2a ＋log 2b ≥1，那么3a ＋9b的最小值为________．解析：由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3a ＋2b 2(当且仅当3a ＝32b，即a ＝2b 时取等号)．∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)，∴3a ＋9b ≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18.3．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，假设a x＝b y＝3，a ＋b ＝23，那么1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1 D.12解析由a x＝b y＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝〞成立，那么1x ＋1y的最大值为1. 答案 C6．(2021·)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝〞成立．答案 9例：假设正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求xy 的最小值．解：∵x ＞0，y ＞0，那么5xy ＝x ＋3y ≥2x ·3y ，∴xy ≥1225，当且仅当x ＝3y 时取等号．∴xy 的最小值为1225.4．假设正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，那么xy 的最小值是________．答案 18解析由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝〞)，即(xy )2－22xy －6≥0，∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18. ∴xy 的最小值为18.例：x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，那么x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.112解析依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋12y ＋1＝6，即x ＋2y ≥4.当且仅当⎩⎨⎧ x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴x ＋2y 的最小值是4.3．假设x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30. (1)求xy 的取值X 围； (2)求x ＋y 的取值X 围．解：由x ＋2y ＋xy ＝30，(2＋x )y ＝30－x ，那么2＋x ≠0，y ＝30－x2＋x ＞0,0＜x ＜30.(1)xy ＝－x 2＋30x x ＋2＝－x 2－2x ＋32x ＋64－64x ＋2＝－x －64x ＋2＋32 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2＋64x ＋2＋34≤18，当且仅当x ＝6时取等号，因此xy 的取值X 围是(0,18]． (2)x ＋y ＝x ＋30－x 2＋x ＝x ＋32x ＋2－1＝x ＋2＋32x ＋2－3≥82－3，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝42－2，y ＝42－1时，等号成立，又x ＋y ＝x ＋2＋32x ＋2－3＜30，因此x＋y 的取值X 围是[82－3,30)．例：a >b >0，那么a 2＋16ba －b的最小值是________．解析：∵a >b >0，∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，当且仅当a ＝2b 时等号成立．∴a 2＋16b a －b ≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a2≥2a 2·64a2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16ba －b取得最小值16.8．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，那么y 2xz的最小值是________．解析：由条件可得y ＝x ＋3z2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋9z x ＋6 ≥14⎝⎛⎭⎪⎫2 x z ×9z x ＋6＝3，当且仅当x ＝y ＝3z 时，y 2xz取得最小值3.答案：3例：x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，假设xy ≥m －2恒成立，那么实数m 的最大值是________．解析：由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥22xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，即m ≤10.故m 的最大值为10.1．正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，那么实数λ的最小值为________．解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xy x ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xyx ＋y的最大值是2；又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值是2.答案：21．关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，那么实数a 的最小值为________．解析：因为x >a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22x －a ·2x －a＋2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32.答案：325．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，那么ab 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14答案 A解析由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14(a ＝b 时取等号)．故ab 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14.典例：(12分)a 、b 均为正实数，且a ＋b ＝1，求y ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b 的最小值．易错分析在求最值时两次使用根本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到．审题视角 (1)求函数最值问题，可以考虑利用根本不等式，但是利用根本不等式，必须保证“正、定、等〞，而且还要符合条件．(2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值X 围．规X 解答解方法一 y ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b＝⎝⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab ＋1ab －3ab 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫24ab ·1ab －3×a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－322＝254.[10分]当且仅当a ＝b ＝12时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 取最小值，最小值为254.[12分]方法二 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ab ＋1ab ＋a b ＋b a＝ab ＋1ab ＋a 2＋b 2ab ＝ab ＋1ab ＋a ＋b 2－2ab ab＝2ab＋ab －2.[8分]令t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，即t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14. 又f (t )＝2t ＋t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上是单调递减的，[10分]∴当t ＝14时，f (t )min ＝334，此时，a ＝b ＝12.∴当a ＝b ＝12时，y 有最小值254.[12分]温馨提醒 (1)这类题目考生总感到比拟容易下手．但是解这类题目却又常常出错．(2)利用根本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等．否那么求解时会出现等号成立、条件不具备而出错．(3)此题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件. 方法与技巧1．根本不等式具有将“和式〞转化为“积式〞和将“积式〞转化为“和式〞的放缩功能，常常用于比拟数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的构造特点，选择好利用根本不等式的切入点． 2．恒等变形：为了利用根本不等式，有时对给定的代数式要进展适当变形．比方：(1)当x >2时，x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2＋2＝4.(2)0<x <83，x (8－3x )＝13(3x )(8－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163.失误与防X1．使用根本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等〞的无视．要利用根本不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆〞“拼〞“凑〞等技巧，使其满足重要不等式中“正〞“定〞“等〞的条件．3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．题型四：利用根本不等式整体换元例2：假设正数 a ，b 满足 ab ＝a ＋b ＋3，求 ab 及 a ＋b 的取值X 围．思维突破：此题主要考察均值不等式在求最值时的运用，并表达了换元法、构造法等重要思想．自主解答：方法一：由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0.即(ab －3)(ab ＋1)≥0. ∵ab ≥0，∴ab ＋1≥1. 故ab －3≥0，∴ab ≥9. 当且仅当a ＝b ＝3时取等号．又∵ab ≤a ＋b2，∴ab ＝a ＋b ＋3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.当且仅当a ＝b ＝3时取等号．即(a ＋b )2－4()a ＋b －12≥0，(a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0.∵a ＋b ＋2＞0，有a ＋b －6≥0，即a ＋b ≥6. ∴a ＋b 的取值X 围是[6，＋∞)．方法二：由ab ＝a ＋b ＋3，那么b ＝a ＋3a －1. ab ＝a ＋4a a －1＝a ＋4＋4a －1＝a －1＋4a －1＋5≥2a －1·4a －1＋5＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴ab 的取值X 围是[9，＋∞)．由ab ＝a ＋b ＋3，得b ＝a ＋3a －1，a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋2≥2()a －1·4a －1＋2＝6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴a ＋b 的取值X 围是[6，＋∞)．技巧总结：整体思想是分析这类题目的突破口，即a ＋b 与ab 分别是统一的整体，把a ＋b 转换成ab 或把ab 转换成a ＋b .例3：正数a ，b 满足a ＋2b ＝1，那么1a ＋1b的最小值是____．试解：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b＝3＋2b a ＋ab≥3＋22b a ·ab＝3＋2 2.易错点评：屡次利用根本不等式解题，没有考虑等号能否同时成立。

2018-2019学年高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法 1.2 基本不等式(一

1.2 基本不等式(一)1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题.自学导引1.定理1(重要不等式)：对于任意实数a ，b ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 2.定理2(基本不等式)：如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立.3.我们常把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均值，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均值，所以基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 4.关于用不等式求函数最大、最小值(1)若x ≥0、y ≥0，且xy ＝p (定值)，则当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p . (2)若x ≥0、y ≥0，且x ＋y ＝s (定值)，则当x ＝y 时，xy 有最大值s 24.基础自测1.设0<a <1，0<b <1，且a ≠b ，下列各式中值最大的是( ) A.a 2＋b 2B.a ＋bC.2abD.2ab解析 ∵0<a <1，0<b <1，且a ≠b ，∴a ＋b >2ab ，a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b ，a 2＋b 2>2ab ，且ab <ab .答案 B2.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析由条件1a ＋2b＝ab 知a ，b 均为正数.因而可利用基本不等式求解.由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2. 答案 C3.若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 解析 ∵a >0，b >0，ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，∴(ab )2－2ab ＋3≥0， ∴ab ≥3或ab ≤－1(舍去)， ∴ab ≥9. 答案 [9，＋∞)知识点1 不等式证明【例1】求证：4a －3＋a ≥7 (其中a >3). 证明4a －3＋a ＝4a －3＋(a －3)＋3，由基本不等式，得4a －3＋a ＝4a －3＋(a －3)＋3 ≥24a －3（a －3）＋3＝24＋3＝7. 当且仅当4a －3＝a －3，即a ＝5时取等号. ●反思感悟：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.1.若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.证明方法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab＝1＋2ab≥1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9.方法二：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥9. 知识点2 最值问题【例2】设x ，y ∈R ＋且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值.解方法一：2x ＋y ＝13·3(2x ＋y )＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y (2x ＋y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋y x ＋4x y ≥83. 当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝23，y ＝43时，等号成立， ∴2x ＋y 的最小值为83.方法二：设1x ＝3m m ＋n ，2y ＝3nm ＋n则x ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n m ，y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m n2x ＋y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n m ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m n ＝43＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n≥83，当且仅当m ＝n ，即x ＝23，y ＝43时，取得最小值83. ●反思感悟：利用基本不等式求最值，关键是对式子恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用.注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值.2.已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值.解由y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3≤－24x －5·14x －5＋3＝1.当4x －5＝14x －5时取等号，∴x ＝1，∴最大值为1. 知识点3 基本不等式的实际应用【例3】甲、乙两公司在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片.甲、乙两公司分别购芯片各两次，两次的芯片价格不同，甲公司每次购10 000片芯片，乙公司每次购10 000元芯片.哪家公司平均成本较低？请说明理由.解设第一次、第二次购电脑芯片的价格为每片a 元和b 元，那么甲公司两次购电脑芯片的平均价格为10 000（a ＋b ）20 000＝a ＋b2(元/片)；乙公司两次购电脑芯片的平均价格为20 00010 000a ＋10 000b ＝21a ＋1b(元/片).∵a >0，b >0且a ≠b ， ∴a ＋b2>ab ，1a ＋1b >21ab＝2ab，∴21a ＋1b<ab ，∴a ＋b 2>21a ＋1b， ∴乙公司的平均成本比较低.3.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧砌砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.试问： (1)仓库底面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则有S ＝xy ，由题意得： 40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200. (1)由基本不等式，得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0. ∵S ＋16>0，∴S －10≤0，从而S ≤100. ∴S 的最大允许值是100 m 2. (2)S 取最大值的条件是40x ＝90y ，又xy ＝100，由此解得x ＝15. ∴正面铁栅的长度应设计为15米.课堂小结1.两个不等式：a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数.如(－3)2＋(－2)2≥2×(－3)×(－2)是成立的，而（－3）＋（－2）2≥2（－3）×（－2）是不成立的.2.两个不等式：a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解. 当a ＝b 取等号，其含义是a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 取等号，其含义是a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .综合上述两条，a ＝b 是a ＋b2＝ab 的充要条件.3.与基本不等式有关的两个常用不等式： (1)b a ＋a b≥2 (a 、b 同号)； (2)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0).随堂演练1.设实数x ，y ，满足x 2＋y 2＝1，当x ＋y ＋c ＝0时，c 的最大值是( ) A. 2 B.－ 2 C.2 2D.－2 2解析方法一：设x ＝cos θ，y ＝sin θ，θ∈[－π，π] 当x ＋y ＋c ＝0时，c ＝－x －y ＝－(cos θ＋sin θ)＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1时，c max ＝ 2. 方法二：c 2＝(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2 ∵－2≤c ≤2，∴c max ＝ 2. 答案 A2.若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A.6＋2 3 B.7＋2 3 C.6＋4 3D.7＋4 3解析先判断a ，b 的符号，再将已知的式子转化为关于a ，b 的方程，最后根据基本不等式求解.由题意得⎩⎨⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋3a b ＋4b a≥7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba时取等号，故选D. 答案 D3.已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值________.解析 ∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝y x＋9xy＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy时，上式等号成立. 又1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.答案 164.x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，y 2xz的最小值是________.解析由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，将其代入y 2xz，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz4xz＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”. 答案 3基础达标1.若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则a ＋1＋b ＋1的最大值为( ) A. 3 B. 2 C. 6 D.2 3 答案 C2.若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ≤2，则1a ＋1b的最小值为( )A.1B.2C. 2D.4答案 B3.下列命题：①x ＋1x 最小值是2；②x 2＋2x 2＋1的最小值是2；③x 2＋5x 2＋4的最小值是2；④2－3x－4x的最小值是2.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 ①当x <0时结论不成立；②由x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2，故结论成立；③由x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4，由x 2＋4≥2，1x 2＋4≤12，∴x 2＋4≠1x 2＋4，故结论不成立；④当x >0时，2－3x －4x＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≤2－212＝2－43，当x <0时，2－3x －4x＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≥2＋212＝2＋43，故结论不成立.答案 A4.若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 a ≥25.若a 是1＋2b 与1－2b 的等比中项，则2ab |a |＋2|b |的最大值为________.解析由题意得a 2＝(1＋2b )(1－2b )＝1－4b 2. 即a 2＋4b 2＝1.∵a 2＋4b 2≥24a 2b 2，得|ab |≤14且1|ab |≥4，∴2ab |a |＋2|b |＝ 4a 2b2a 2＋4|ab |＋4b 2＝ 4a 2b21＋4|ab |＝41a 2b 2＋4|ab |＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1|ab |＋22－4≤436－4＝24. 答案246.已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4.证明 ∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab >0，当且仅当a ＝b 时，取等号.①1a ＋1b ≥21ab>0，当且仅当1a ＝1b，即a ＝b 时取等号.②①×②，得(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4，当且仅当a ＝b 时，取等号.综合提高7.函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A.－3 B.3 C.4D.－4解析 x >1，x －1>0，y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＋6 ≥log 2(2＋6)＝log 28＝3. 答案 B8.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A.80元 B.120元 C.160元D.240元解析设底面矩形的一条边长是x m ，总造价是y 元，把y 与x 的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号.答案 C9.设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________.解析将a ＋1＋b ＋3进行平方，为使用基本不等式创造条件，从而求得最值. 令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2（a ＋1）（b ＋3）＝9＋2（a ＋1）（b ＋3）≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝72，b ＝32.∴t max ＝18＝3 2. 答案 3 210.对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为________.解析利用均值不等式找到|2a ＋b |取得最大值时等号成立的条件，从而可以用字母c 表示a ，b ，再求1a ＋2b ＋4c的最小值.由题意知，c ＝4a 2－2ab ＋b 2＝(2a ＋b )2－6ab ， ∴(2a ＋b )2＝c ＋6ab .若|2a ＋b |最大，则ab >0. 当a >0，b >0时，(2a ＋b )2＝c ＋6ab ＝c ＋3×2a ·b ≤c ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22，∴(2a ＋b )2≤c ＋34(2a ＋b )2，∴(2a ＋b )2≤4c ，|2a ＋b |≤2c ，当且仅当b ＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c 2，b ＝c时取等号.此时1a ＋2b ＋4c＝2c＋2c ＋4c>0.当a <0，b <0时，(2a ＋b )2＝c ＋6ab ＝c ＋3(－2a )·(－b )≤c ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a －b 22， ∴(2a ＋b )2≤4c ，|2a ＋b |≤2c ，即－2a －b ≤2c .当且仅当b ＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－c 2，b ＝－c时取等号. 此时1a ＋2b ＋4c ＝－2c －2c ＋4c ＝4c －4c ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －122－1≥－1，当1c ＝12，即c ＝4时等号成立.综上可知，当c ＝4，a ＝－1，b ＝－2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＋4c min＝－1.答案－111.若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由.解 (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立.故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立. 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43＞6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.12.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速率v (千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？解 (1)依题意，y ＝9203＋⎝ ⎛⎭⎪⎫v ＋1 600v ≤9203＋2 1 600＝92083≈11.1(千辆/时)(2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25))(v －64)＜0，解得25＜v ＜64.答当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.。

基本不等式练习题及答案

基本不等式练习题及答案1.函数y＝x＋x/(x>0)的值域是什么？正确答案：B．(0，＋∞)解析：当x>0时，x/x=1，所以函数可以简化为y=2x。

因为x>0，所以函数的值域为(0，＋∞)。

2.下列不等式中正确的个数是多少？正确答案：C．1解析：只有第一组不等式a^2+1>2a成立，其他两个不等式都不成立。

3.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为多少？正确答案：B．1解析：将a＋2b－2＝0变形得到2b=2－a，所以b=1－a/2.因为a>0，所以1－a/2<1，所以b<1.所以ab的最大值为a(1－a/2)=a－a^2/2，当a=1时取得最大值为1/2.4.若函数f(x)＝x＋1/(x－2)在x＝a处取最小值，则a等于多少？正确答案：C．3解析：f(x)可以写成x+1/(x－2)=x－2+3+1/(x－2)，所以f(x)的最小值在x=3时取得，此时f(3)=3+1=4.5.已知t＞0，则函数y＝(t^2－4t＋1)/t的最小值为多少？正确答案：1解析：将分子t^2－4t＋1写成(t－2)^2－3，所以y=(t－2)^2/t－3/t。

因为t>0，所以y的最小值为3/t－(t－2)^2/t，当t=2时取得最小值1.某单位要建造一间背面靠墙的矩形小房，地面面积为12平方米，房子侧面的长度x不得超过5米。

房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，墙高为3米，不计房屋背面的费用。

求侧面的长度为多少时，总造价最低。

去年，XXX年产量为10万件，每件产品的销售价格为100元，固定成本为80元。

今年起，工厂投入100万元科技成本，每年递增100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。

每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80.若水晶产品的销售价格不变，求第n次投入后的年利润f(n)。

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第四讲：基本不等式与不等式证明
一、常用的基本不等式有以下这些：
（1 a、b E R,a2+b2启2ab，当且仅当a = b时,取号；
⑵a、b R，_ *$ab,当且仅当a =b时，取"号；
2
2
⑶a、b R, a2 b2——，当且仅当a=b时，取“=”号；
2
⑷ a、b、c R，a3 b3 c3亠3abc，当且仅当a = b = c时，取“=”号；
（5）a、b、c^R戈一b_ >3abc，当且仅当a=b = c时取“=”号。

3
推广到n:
山-厂+印+a?十j|| +a^ 訂--- ---
a i, a2^l,a^ R，------ 一一n a^?|）1 a.,
n
当且仅当耳虫厂川二a n时取“号。

二、证明不等式常用的方法有比较法、公式法、综合法、分析法、放缩法、反证法、数形结合
法以及数学归纳法等。

a~b
例题仁若0 £ a £ b ci,贝Ua a,a b, a ab, a 2中最小的数是______ .
例题2、如果正数a, b, c, d满足a - b =cd =4，那么（）
A. ab< c d，且等号成立时a, b, c, d的取值唯一
B. ab > c d，且等号成立时a, b, c, d的取值唯一
c. ab < c d，且等号成立时a, b, c, d的取值不唯一
D. ab > c d，且等号成立时a, b, c, d的取值不唯一
例题3、
（i）已知求x j：的最小值。

（2）函数y 二a 1公（a 0, a =1）的图象恒过定点 A ，若点A 在直线mx • ny -1 =0（mn • 0）
1 1
上，则的最小值为.
m n
a b 例题4、已知a 、b 为两个正常数，x>0,y>0,且 1 ,求x+y 的最小值.
x y
例题5、某种汽车，（1）购买时费用为10万元，（2）每年交保险费、养路费、汽油费合计 9 千元；（3）汽车的维修费平均为第一年 2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差
数列，逐年递增，求这种汽车使用多少年报废最合算？
1 1 n
例题6、若对一切a>b>c,不等式 _ 恒成立，求n 的最大值.
a —
b b —
c a — c (3) （09全国高考题） 3
y = tan2xtan x 的最大值
例题7、求证：sin $二亠si n ?，U _s in .^ ^sin ■' i si n 「si n 一：，并指出等号成立的条件。

例题8已知： a 1> a 2、a 3、bp b 2、d 均为正数，且色—邑一空，求证:
b 1 b 2 b 3
1
例题 9、设 0<a<1,0<b<1,0<c<1,证明:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能都大于一
4
10、设 a>0,b>0,且 a+b=1,求证：J a +1
\ 2
A A
例题11、已知命题：如果 a 、b R ,且a b -1，那么 4 .
a b
(1) 证明这个命题是真命题。

(2) 根据已知条件还能得到什么新的不等式，试写出其中两个，并加以证明。

a a 2 bi
b ?
a i ■ a ? ■ 83
b i b 2 b 3
例题
⑶如果a、b、c・R ,且a+b+c=1,推广上述已知命题能得到什么不等式，并加以证明
例12、（ 1 ）三个同学对问题“关于X的不等式x2+ 25+ |x3- 5x2|> ax在［1 ,12］上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.
乙说：“把不等式变形为左边含变量X的函数，右边仅含常数，求函数的最值”.
丙说：“把不等式两边看成关于X的函数，作出函数图像”.
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是.
自测练习题：
… ” - 2
1、右不等式x + ax + 1-0对于-切X -(0, 1〕
2
1成立，则a的最小值是
（）
A. 0
B.
—2 C.-
5
D.-3
2、若关于x的不等式(1 k2)x < k4+ 4的解集是M,则对任意实常数k ,总有()
(A) 2€ M , 0 € M ; ( B) 2 ' M , 0 ' M ; ( C) 2 € M , O'M ; ( D) 2'M , 0€ M .
x 2
3、在y = 2 , y = I o g x, y = x , y = c o 2x 这四个函数中，当0 ：：： X j ：：：x? ：：： 1 时，使
空x2) 恒成立的函数的个数是()
2 2
A . 0
B . 1 C. 2 D. 3
2 5
4、已知lg X lg ，则U 的最小值为( )。

x y
A.1
B.2
C. 10 D2、10
5、已知x,y・R •，且x ^3,则u =2― 2y的最小值为( )。

A.2
B.8
C.2&
D.4&。