线性代数超强的总结(不看你会后悔的)
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结(上)线性代数是数学的一个分支,应用范围广泛,尤其是在数据分析、物理学、经济学等领域。
本文将对线性代数的一些重要知识点进行总结。
1. 向量向量是线性代数中的基本概念,可以看做是一个具有大小和方向的量。
向量的表示方法有多种,例如行向量、列向量和坐标向量。
2. 矩阵矩阵是一个矩形排列的数表,在线性代数中占有重要地位。
矩阵可以看做是向量的扩展,常用于表示线性变换和矩阵方程。
3. 线性方程组线性方程组是线性代数中的重要问题,可以用矩阵方程的形式表示。
求解线性方程组的方法有高斯消元法、LU分解法等。
4. 行列式行列式是一个标志性的概念,可以将一个二阶或三阶方阵计算行列式,或者扩展到更高维度。
行列式用于判定矩阵的逆是否存在和计算解析式。
5. 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵相似变换时的关键因素,具有重要的物理和几何意义。
利用特征值和特征向量可以求解线性微分方程组和主成分分析等问题。
6. 正交性和规范正交基正交性和规范正交基也是线性代数中的一个重要概念,可以将一个向量或矩阵按照一定的方式进行展开,方便计算和求解。
7. 向量空间和子空间向量空间是由所有向量组成的集合,满足一定的运算和性质。
子空间是向量空间的一个子集,仍满足向量空间的运算和性质。
以上是线性代数中的一些常见知识点,掌握这些知识点可以为学生在线性代数的学习中奠定扎实的基础。
线性代数知识点总结(下)上一篇文章我们总结了线性代数的一些重要概念,本文将继续介绍一些线性代数的知识点。
8. 线性变换线性变换是指向量空间上的一个函数,将一个向量映射为另一个向量,并满足一定的性质。
线性变换是线性代数中一个重要的概念,包括线性变换的矩阵表示、线性变换的核和像等。
9. 内积和正交性内积是线性代数中的一个重要概念,用于刻画两个向量之间的关系。
内积常常用于求解向量之间的夹角、长度等。
正交性和内积密切相关,正交向量是指两个向量之间的内积为零。
线性代数超强总结
√ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅:①称为n的标准基,n中的自然基,单位坐标向量;②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关; ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=; ④tr()=E n ;⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示. √ 行列式的计算:① 若A B 与都是方阵(不必同阶),则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线:(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T TT A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦√ 方阵的幂的性质:m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++,对n 阶矩阵A 规定:1110()m m m m f A a A a A a A a E--=++++为A 的一个多项式.√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅,AB 的列向量为12,,,sr r r ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭则:即 用中简若则 单的一个提即:的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量;高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量; 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即:11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦√ 矩阵方程的解法:设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,√ Ax ο=和Bx ο=同解(,A B 列向量个数相同),则:① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等; ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性; ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断12,,,s ηηη是0Ax =的基础解系的条件:① 12,,,s ηηη线性无关; ② 12,,,s ηηη是0Ax =的解;③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<; m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()0r A A ο=⇔=.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关,而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一.⑪ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作:{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅A 经过有限次初等变换化为B . 记作:A B =⑬ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >,则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关. 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价;⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑱ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =,A 的行向量线性无关; 若()r A n =,A 的列向量线性无关,即:12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=5文档收集于互联网,如有不妥请联系删除.线性方程组解的性质:1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A β和的上限. √ 矩阵的秩的性质:① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质: ① 正定性:(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性:(,)(,)αββα=③ 双线性:1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+123,,ααα线性无关,单位化:111βηβ= 222βηβ= 333βηβ= T AA E =.√ A 是正交矩阵的充要条件:A 的n 个行(列)向量构成n的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质:① 1T A A -=;② T T AA A A E ==;③ A 是正交阵,则T A (或1A -)也是正交阵; ④ 两个正交阵之积仍是正交阵; ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦、21122()n n A a b a b a b A =+++,从而A的特征值为:11122n n A a b a b a b λ==+++tr , 230n λλλ====.√ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ,()f x 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ;② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλ, A *的全部特征值为12,,,n A AAλ.√ 1122,.m m A k kA a b aA bEAA A A Aλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x A A A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量.1B P AP -= (P 为可逆阵) 记为:A B√ A 相似于对角阵的充要条件:A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵,1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件:()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= (P 为正交矩阵) √ 相似矩阵的性质:① 11A B -- 若,A B 均可逆② T T A B③ kk A B (k 为整数)④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质:① 特征值全是实数,特征向量是实向量; ② 与对角矩阵合同;③ 不同特征值的特征向量必定正交;④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量;⑤ 必可用正交矩阵相似对角化(一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--).A 与对角阵Λ相似. 记为:AΛ (称Λ是A √ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数(重数重复计算)()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有:[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦.√ 若A B , CD ,则:A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. √ 若A B ,则()()f A f B ,()()f A f B =.12(,,,)T n f x x x X AX = A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =T B C AC =. 记作:A B (,,A B C 为对称阵为可逆阵) √ 两个矩阵合同的充分必要条件是:它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是:A B √ 两个矩阵合同的必要条件是:()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x X AX =经过正交变换合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x xx d y =∑标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1,-1或0时,√ 实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵11110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量;② 对n 个特征向量单位化、正交化; ③ 构造C (正交矩阵),1C AC -=Λ;文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11文档收集于互联网,如有不妥请联系删除. ④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)n n i i f x x x d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.12,,,n x x x 不全为零,12(,,,)0n f x x x >. 正定二次型对应的矩阵.√ 合同变换不改变二次型的正定性.√ 成为正定矩阵的充要条件(之一成立):① 正惯性指数为n ;② A 的特征值全大于0;③ A 的所有顺序主子式全大于0;④ A 合同于E ,即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =; ⑤ 存在可逆矩阵P ,使T A P P = (从而0A >);⑥ 存在正交矩阵,使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦(i λ大于0). √ 成为正定矩阵的必要条件:0ii a > ; 0A >.。
大学数学线性代数知识点归纳总结
大学数学线性代数知识点归纳总结线性代数是数学的一个重要分支,广泛应用于各个领域。
作为大学数学的一门核心课程,线性代数为我们提供了一种处理线性方程组、矩阵运算和向量空间等数学工具和理论。
在这篇文章中,我将对大学数学线性代数的知识点进行归纳总结。
1. 向量与向量空间- 向量的定义和性质- 向量的线性组合与线性相关性- 向量空间的定义和基本性质- 子空间与超平面- 线性无关与基2. 线性方程组- 线性方程组的概念与解的存在唯一性- 矩阵形式与增广矩阵- 初等行变换与线性方程组的等价性- 齐次线性方程组与非齐次线性方程组- 线性方程组的解的结构3. 矩阵与矩阵运算- 矩阵的定义和性质- 矩阵的加法与数乘- 矩阵的转置与对称矩阵- 矩阵乘法与矩阵的秩- 逆矩阵与可逆矩阵4. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义 - 特征多项式与特征方程- 对角化与可对角化条件- 特征值与矩阵的相似性5. 线性变换与线性映射- 线性变换的基本性质- 线性变换矩阵与基变换- 线性变换的零空间与像空间 - 线性变换的维数定理6. 内积空间与正交性- 内积空间的定义和性质- 正交向量与正交补空间- 正交投影与最小二乘法- 施密特正交化过程7. 特殊矩阵与应用- 对角矩阵与对角化- 正交矩阵与正交对角化- 幂零矩阵与Jordan标准形- 应用:图像处理、数据压缩、网络分析等通过对以上知识点的整理和总结,我们对大学数学线性代数的学习有了更加清晰的认识。
线性代数的理论和方法在计算机科学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用,了解和掌握线性代数知识对于我们的学术研究和职业发展都具有重要意义。
希望本文能帮助读者对线性代数有更深入的了解,并在实际应用中发挥作用。
线性代数知识点全面总结
线性代数知识点全面总结线性代数是研究向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组及其解的一门数学学科。
它是高等数学的基础课程之一,广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
下面将全面总结线性代数的知识点。
1.向量向量是线性代数的基本概念之一,它表示有方向和大小的物理量。
向量可以表示为一个有序的元素集合,也可以表示为一个列向量或行向量。
向量的加法、减法、数乘等运算满足一定的性质。
2.向量空间向量空间是一组向量的集合,其中的向量满足一定的性质。
向量空间中的向量可以进行线性组合、线性相关、线性无关等运算。
向量空间的维数是指向量空间中线性无关向量的个数,也称为向量空间的基的个数。
3.矩阵矩阵是线性代数中的另一个重要概念,它是由若干个数排成的矩形阵列。
矩阵可以表示线性方程组、线性变换等。
矩阵的加法、数乘运算满足一定的性质,矩阵的乘法满足结合律但不满足交换律。
4.线性方程组线性方程组是由线性方程组成的方程组。
线性方程组可以表示为矩阵乘法的形式,其中未知数对应为向量。
线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法求解。
5.行列式行列式是一个包含数字的方阵。
行列式的值可以通过一系列的数学运算求得,它可以表示方阵的一些性质,例如可逆性、行列式的大小等。
6.矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵的重要性质。
特征值表示线性变换后的方向,特征向量表示与特征值对应的方向。
通过求解特征值和特征向量可以分析矩阵的性质,例如对角化、矩阵的相似等。
7.线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射,它满足线性性质。
线性变换可以通过矩阵的乘法表示,矩阵中的元素代表了向量的变换规则。
8.最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化误差的平方和来求解线性方程组的方法。
最小二乘法可以用于求解多项式拟合、数据拟合等问题,它可以通过求矩阵的伪逆来得到解。
9.正交性与正交变换正交性是指向量或函数满足内积为零的性质。
正交变换是一种保持向量长度和夹角不变的线性变换。
(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)(word文档良心出品)
线性代数超强总结()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆 有非零解是的特征值的列(行)向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列(行)向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵总有唯一解R⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅:①称为n ¡的标准基,n ¡中的自然基,单位坐标向量; ②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关; ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=; ④tr()=E n ;⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.√ 行列式的计算:① 若A B 与都是方阵(不必同阶),则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线:(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-K NN√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T TT A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦NN⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N N √ 方阵的幂的性质:m n m n A A A += ()()m n mn A A =√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ,对n 阶矩阵A 规定:1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为A 的一个多项式. √设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,nααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,sβββ⋅⋅⋅,AB 的列向量为12,,,s r r r L ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭L L L L 则:即 用中简若则 单的一个提即:的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量;高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量; 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即:11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11112222kk kk A B A B AB A B οο⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O√ 矩阵方程的解法:设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,,B A B E X −−−−→M M 初等行变换(当为一列时(I)的解法:构造()()即为克莱姆法则) T T T TA XB X X =(II)的解法:将等式两边转置化为,用(I)的方法求出,再转置得√ Ax ο=和Bx ο=同解(,A B 列向量个数相同),则:① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等; ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性; ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断12,,,s ηηηL 是0Ax =的基础解系的条件: ① 12,,,s ηηηL 线性无关; ② 12,,,s ηηηL 是0Ax =的解;③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<; m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()0r A A ο=⇔=.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关,而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一. ⑪ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作:{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅%A 经过有限次初等变换化为B . 记作:A B =%⑬ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >,则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关. 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价; ⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑱ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =,A 的行向量线性无关; 若()r A n =,A 的列向量线性无关,即:12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L M M M M M L 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M1212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A nAx Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==−−−−−→=<<≠⇒⇒⇔==−−−−−→≠⇔=⇔=<≠=⇒L L M L 当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩ML M M 当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解线性方程组解的性质:1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=M ,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A βM 和的上限. √ 矩阵的秩的性质:① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质: ① 正定性:(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性:(,)(,)αββα=③ 双线性:1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)cc c αβαβαβ==123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化:111βηβ= 222βηβ= 333βηβ= T AA E =.√ A 是正交矩阵的充要条件:A 的n 个行(列)向量构成n ¡的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质:① 1T A A -=;② T T AA A A E ==;③ A 是正交阵,则T A (或1A -)也是正交阵; ④ 两个正交阵之积仍是正交阵; ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ=L 1ni A λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A的特征值为:11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 230n λλλ====L . √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ,()f x 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ;② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλL , A *的全部特征值为12,,,n A A AL .√ 1122,.m m Ak kA a b aA bEAA AA A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x A A A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量. 1B P AP -= (P 为可逆阵) 记为:A B :√ A 相似于对角阵的充要条件:A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵,1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件:()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= (P 为正交矩阵) √ 相似矩阵的性质:① 11A B --: 若,A B 均可逆② T T A B :③ k k A B : (k 为整数)④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质:① 特征值全是实数,特征向量是实向量; ② 与对角矩阵合同;③ 不同特征值的特征向量必定正交;④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量;⑤ 必可用正交矩阵相似对角化(一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--).A 与对角阵Λ相似. 记为:A Λ: (称Λ是A √ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数(重数重复计算)()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有:[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L O1442443144424443. √ 若A B :, C D :,则:A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦:. √ 若A B :,则()()f A f B :,()()f A f B =.12(,,,)T n f x x x X AX =L A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =LT B C AC =. 记作:A B ; (,,A B C 为对称阵为可逆阵) √ 两个矩阵合同的充分必要条件是:它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是:A B : √ 两个矩阵合同的必要条件是:()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x X AX =L 经过正交变换合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x x x dy =∑L 标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由{()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1,-1或0时,√ 实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵111100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O OO合同.√ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量; ② 对n 个特征向量单位化、正交化; ③ 构造C (正交矩阵),1C AC -=Λ;④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑L ,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.12,,,n x x x L 不全为零,12(,,,)0n f x x x >L . 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件(之一成立):① 正惯性指数为n ; ② A 的特征值全大于0;③ A 的所有顺序主子式全大于0;④ A 合同于E ,即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =; ⑤ 存在可逆矩阵P ,使T A P P = (从而0A >);⑥ 存在正交矩阵,使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O (i λ大于0). √ 成为正定矩阵的必要条件:0ii a > ; 0A >.。
线性代数知识点超强总结
一、向量组的线性相关性主要知识网络图
运算
概念
向
n 线性表示
证
|A| = 0 , A不可逆 .
法
AB = E , A与B互逆.
反证法.
二、重要定理
1、设A、B是n阶矩阵,则|AB|=|A||B|。
2、若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵惟一。
3、n阶矩阵A可逆⇔ |A| ≠ 0 ⇔ R(A)=n ⇔ A为满秩矩阵。
4、若AB = E( 或BA =E ), 则B = A-1 。 5、若A为对称矩阵,则AT =A 。 6、若A为反对称矩阵,则AT=-A 。
a11 a12
0 D=
a22
a1n a11 0 a2n a21 a22
00
ann
= a11a22 ann .
an1 an2
0 0 D=
0 a1n a11 a12 a2n1 a2n a21 a22
an1
ann1 ann an1 0
n ( n 1)
= (1) 2 a1na2n1 an1.
0 0
ann
3、用公式
可逆矩阵与初等变换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算,他在 解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都起到了十 分重要的作用。
熟练掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质和 等价矩阵的概念,理解矩阵秩的概念,熟练掌握用初等变 换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。理解齐次线性方程组有非 零解充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条 件。深刻理解线性方程组通解的概念,掌握用初等变换求 解线性方程组的方法。
一、主要知识网络图
矩
阵
矩阵的初等变换
的
初
等 变初等方阵换与线矩 阵的 秩性
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结篇1第一章行列式知识点1:行列式、逆序数知识点2:余子式、代数余子式知识点3:行列式的性质知识点4:行列式按一行(列)展开公式知识点5:计算行列式的方法知识点6:克拉默法则第二章矩阵知识点7:矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8:矩阵的乘法运算及运算律知识点9:计算方阵的幂知识点10:转置矩阵及运算律知识点11:伴随矩阵及其性质知识点12:逆矩阵及运算律知识点13:矩阵可逆的判断知识点14:方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15:矩阵方程的求解知识点16:初等变换的概念及其应用知识点17:初等方阵的概念知识点18:初等变换与初等方阵的关系知识点19:等价矩阵的概念与判断知识点20:矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21:矩阵的秩的概念与判断知识点22:矩阵的秩的性质与定理知识点23:分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24:矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25:向量的概念及运算知识点26:向量的线性组合与线性表示知识点27:向量组之间的线性表示及等价知识点28:向量组线性相关与线性无关的概念知识点29:线性表示与线性相关性的关系知识点30:线性相关性的判别法知识点31:向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32:矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33:求向量组的最大无关组知识点34:有关向量组的定理的综合运用知识点35:内积的概念及性质知识点36:正交向量组、正交阵及其性质知识点37:向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38:向量空间(数一)知识点39:基变换与过渡矩阵(数一)知识点40:基变换下的坐标变换(数一)第四章线性方程组知识点41:齐次线性方程组解的性质与结构知识点42:非齐次方程组解的性质及结构知识点43:非齐次线性线性方程组解的各种情形知识点44:用初等行变换求解线性方程组知识点45:线性方程组的公共解、同解知识点46:方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47:方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例第五章矩阵的特征值与特征向量知识点48:特征值与特征向量的概念与性质知识点49:特征值和特征向量的求解知识点50:相似矩阵的概念及性质知识点51:矩阵的相似对角化知识点52:实对称矩阵的相似对角化.知识点53:利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂第六章二次型知识点54:二次型及其矩阵表示知识点55:矩阵的合同知识点56 : 矩阵的等价、相似与合同的关系知识点57:二次型的标准形知识点58:用正交变换化二次型为标准形知识点59:用配方法化二次型为标准形知识点60:正定二次型的概念及判断线性代数知识点总结篇2行列式一、行列式概念和性质1、逆序数:所有的逆序的总数2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质:(用于化简行列式)(1)行列互换(转置),行列式的值不变(2)两行(列)互换,行列式变号(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。
完整版线性代数知识点总结
完整版线性代数知识点总结线性代数是数学的一个分支,研究向量空间及其上的线性变换。
它在各个领域中都有广泛的应用,包括物理学、计算机科学、工程学等。
以下是线性代数的一些重要知识点总结:1.向量和向量空间:向量是有方向和大小的量,可以用来表示力、速度、位移等。
向量空间是向量的集合,具有加法和标量乘法运算,同时满足一定的性质。
2.线性方程组和矩阵:线性方程组是一组线性方程的集合,研究其解的性质和求解方法。
矩阵是一个由数构成的矩形数组,可以用来表示线性方程组中的系数和常数。
3.矩阵的运算:包括矩阵的加法、减法和乘法运算。
矩阵乘法是一种重要的运算,可以用来表示线性变换和复合变换。
4.行列式和特征值:行列式是一个标量,表示矩阵的一些性质,如可逆性和面积/体积的变换。
特征值是矩阵对应的线性变换中特殊的值,表示该变换在一些方向上的伸缩程度。
5.向量的内积和正交性:向量的内积是一种二元运算,可以用来表示向量之间的夹角和长度。
正交向量是指内积为零的向量,可以用来表示正交补空间等概念。
6.向量的投影和正交分解:向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影,可以用来表示向量的分解。
正交分解是将一个向量分解为与另一个向量正交和平行的两个向量之和。
7.线性变换和线性映射:线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的变换。
线性映射是向量空间之间的函数,具有保持线性运算的性质。
8.特征值和特征向量:特征值和特征向量是线性变换或矩阵中一个重要的概念,用于描述变换的性质和方向。
9.正交矩阵和对称矩阵:正交矩阵是一个方阵,其列向量组成的矩阵是正交的。
对称矩阵是一个方阵,其转置等于自身。
10.奇异值分解:奇异值分解(SVD)是一种矩阵的分解方法,用来将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
SVD在数据压缩、图像处理和机器学习等领域有广泛的应用。
11.最小二乘法:最小二乘法是一种数学优化方法,用来找到一条曲线或超平面,使得这些数据点到该曲线或超平面的距离平方和最小。
线性代数超强地地总结(不看你会后悔地)
精彩文档线性代数超强总结()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆 有非零解是的特征值的列(行)向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列(行)向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵总有唯一解R⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅:①称为n ¡的标准基,n ¡中的自然基,单位坐标向量; ②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关; ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=; ④tr()=E n ;精彩文档⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示. √ 行列式的计算:① 若A B 与都是方阵(不必同阶),则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线:(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-K NN√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T T T A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦精彩文档④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO21111211na a na a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦NN ⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N N √ 方阵的幂的性质:m n m n A A A += ()()m n mn A A =√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ,对n 阶矩阵A 规定:1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为A 的一个多项式. √设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,nααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,sβββ⋅⋅⋅,AB 的列向量为12,,,s r r r L ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭L L L L 则:即 用中简若则 单的一个提即:的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量;高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量; 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,精彩文档与分块对角阵相乘类似,即:11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11112222kk kk A B A B AB A B οο⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O√ 矩阵方程的解法:设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,,B A B E X −−−−→M M 初等行变换(当为一列时(I)的解法:构造()()即为克莱姆法则)T T T TA XB X X=(II)的解法:将等式两边转置化为, 用(I)的方法求出,再转置得√ Ax ο=和Bx ο=同解(,A B 列向量个数相同),则:① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等; ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性; ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断12,,,s ηηηL 是0Ax =的基础解系的条件:精彩文档① 12,,,s ηηηL 线性无关; ② 12,,,s ηηηL 是0Ax =的解;③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<; m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()0r A A ο=⇔=.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关,而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一.精彩文档⑪ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示.记作:{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅% A 经过有限次初等变换化为B . 记作:A B =%⑬ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >,则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关. 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价; ⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑱ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.精彩文档⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =,A 的行向量线性无关; 若()r A n =,A 的列向量线性无关,即:12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LL M M M M M L 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M精彩文档1212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A nAx Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==−−−−−→=<<≠⇒⇒⇔==−−−−−→≠⇔=⇔=<≠=⇒L L M L 当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩ML M M 当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解精彩文档实用标准文案线性方程组解的性质:1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=M ,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A βM 和的上限. √ 矩阵的秩的性质:① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质: ① 正定性:(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性:(,)(,)αββα=③ 双线性:1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c cc αβαβαβ==123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化:111βηβ= 222βηβ=333βηβ= T AA E =.√ A 是正交矩阵的充要条件:A 的n 个行(列)向量构成n ¡的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质:① 1T A A -=;② T T AA A A E ==;③ A 是正交阵,则T A (或1A -)也是正交阵; ④ 两个正交阵之积仍是正交阵;⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ=L1niA λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A的特征值为:11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 230n λλλ====L . √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ,()f x 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ;② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,nλλλL , A *的全部特征值为12,,,n AAAL .√ 1122,.m m Ak kA a b aA bEAA AA A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x AA A λλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量.1B P AP -= (P 为可逆阵) 记为:A B :√ A 相似于对角阵的充要条件:A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵,1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件:()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= (P 为正交矩阵) √ 相似矩阵的性质:① 11A B --: 若,A B 均可逆② T T A B :③ k k A B : (k 为整数)④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质:① 特征值全是实数,特征向量是实向量; ② 与对角矩阵合同;③ 不同特征值的特征向量必定正交;④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量;⑤ 必可用正交矩阵相似对角化(一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--).A 与对角阵Λ相似. 记为:A Λ: (称Λ是A√ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数(重数重复计算)()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有:[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L O1442443144424443. √ 若A B :, C D :,则:A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦:. √ 若A B :,则()()f A f B :,()()f A f B =.12(,,,)T n f x x x X AX =L A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =LT B C AC =. 记作:A B ; (,,A B C 为对称阵为可逆阵) √ 两个矩阵合同的充分必要条件是:它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是:A B : √ 两个矩阵合同的必要条件是:()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x X AX =L 经过正交变换合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑L 标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由{()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1,-1或0时,√ 实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵111100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O OO合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量;② 对n 个特征向量单位化、正交化; ③ 构造C (正交矩阵),1C AC -=Λ;④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑L ,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.12,,,n x x x L 不全为零,12(,,,)0n f x x x >L . 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件(之一成立):① 正惯性指数为n ; ② A 的特征值全大于0;③ A 的所有顺序主子式全大于0;④ A 合同于E ,即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =; ⑤ 存在可逆矩阵P ,使T A P P = (从而0A >);⑥ 存在正交矩阵,使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O (i λ大于0). √ 成为正定矩阵的必要条件:0ii a > ; 0A >.。
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数复习要点第一部分行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行(列)展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义1.行列式的计算:①(定义法)②(降阶法)行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④若都是方阵(不必同阶),则⑤关于副对角线:⑥范德蒙德行列式:证明用从第n行开始,自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍,按第一列展开,重复上述操作即可。
⑦型公式:⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法.⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式,其中,,等结构相同,再由递推公式求出的方法称为递推公式法.(拆分法) 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;3. 证明的方法:①、;②、反证法;③、构造齐次方程组,证明其有非零解;④、利用秩,证明;⑤、证明0是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系:第二部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵方程的求解1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵.记作:或①同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等.②矩阵相等: 两个矩阵同型,且对应元素相等.③矩阵运算a. 矩阵加(减)法:两个同型矩阵,对应元素相加(减).b. 数与矩阵相乘:数与矩阵的乘积记作或,规定为.c. 矩阵与矩阵相乘:设, ,则,其中注:矩阵乘法不满足:交换律、消去律, 即公式不成立.a. 分块对角阵相乘:,b. 用对角矩阵○左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量;c. 用对角矩阵○右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.④方阵的幂的性质:,⑤矩阵的转置:把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做的转置矩阵,记作.a. 对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b. 分块矩阵的转置矩阵:⑥伴随矩阵:,为中各个元素的代数余子式.,, .分块对角阵的伴随矩阵:,矩阵转置的性质:矩阵可逆的性质:伴随矩阵的性质:(无条件恒成立)r(A)与r(A*)的关系若r(A)=n,则不等于0,A*=可逆,推出r(A*)=n。
线性代数超强的总结(不看你会后悔的)
线性代数超强的总结(不看你会后悔的).doc线性代数超强总结(不看你会后悔的)引言线性代数是数学中的一个重要分支,广泛应用于科学、工程、经济学和社会科学等领域。
本文档旨在提供一个全面而深入的线性代数总结,帮助读者掌握这一重要学科的核心概念和应用。
矩阵理论矩阵运算加法:两个同型矩阵对应元素相加。
乘法:矩阵乘积涉及到行与列的点积。
转置:矩阵的转置是将行列互换。
逆矩阵:方阵的逆矩阵满足 ( AA^{-1} = A^{-1}A = I )。
特殊矩阵单位矩阵:对角线上全是1,其他位置为0的方阵。
对角矩阵:除了对角线上的元素,其他位置元素都是0。
上三角矩阵和下三角矩阵:上三角矩阵的对角线以下元素为0,下三角矩阵的对角线以上元素为0。
向量空间向量空间的定义向量空间是满足加法和标量乘法封闭性的集合。
基和维数基:向量空间的一组基是线性无关的向量集合,任何向量都可以唯一地表示为基向量的线性组合。
维数:向量空间的维数是其基中向量的数量。
子空间子空间是向量空间的一个子集,它自身也是一个向量空间。
线性变换线性变换的定义线性变换是满足加法和标量乘法保持性的函数。
线性变换的矩阵表示任何线性变换都可以用一个矩阵来表示。
特征值和特征向量特征值:使得 ( Av = \lambda v ) 成立的标量 ( \lambda )。
特征向量:对应的非零向量 ( v )。
线性方程组线性方程组的表示线性方程组可以表示为矩阵形式 ( Ax = b )。
高斯消元法高斯消元法是一种通过行操作求解线性方程组的方法。
克拉默法则当系数矩阵是可逆的,克拉默法则提供了一种解线性方程组的公式。
特征值和特征向量特征多项式特征多项式是 ( \det(A - \lambda I) ),其根即为矩阵 ( A ) 的特征值。
对角化如果矩阵 ( A ) 有足够多的线性无关的特征向量,则 ( A ) 可以对角化。
内积空间内积的定义内积是一个二元运算,满足正定性、线性和对称性。
线性代数公式必背 完整归纳清晰版
线性代数必背公式(完全整理版)2010.41、行列式1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式;2. 代数余子式的性质:①、ij A 和ij a 的大小无关;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D :将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)21(1)n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2D ,则(1)22(1)n n D D -=-;将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =;将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;⑤、拉普拉斯展开式:A O A CA B C B O B==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值;6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)nn k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式;7. 证明0A =的方法:①、A A =-; ②、反证法;③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值;2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵:⇔0A ≠(是非奇异矩阵);⇔()r A n =(是满秩矩阵) ⇔A 的行(列)向量组线性无关; ⇔齐次方程组0Ax =有非零解;⇔n b R ∀∈,Ax b =总有唯一解; ⇔A 与E 等价;⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积; ⇔A 的特征值全不为0; ⇔T A A 是正定矩阵;⇔A 的行(列)向量组是n R 的一组基; ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵;2. 对于n 阶矩阵A :**AA A A A E == 无条件恒成立;3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A 、B 可逆:若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则: Ⅰ、12s A A A A = ; Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; ②、111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(主对角分块) ③、111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(副对角分块) ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯) ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ⇔ ; 2. 行最简形矩阵:①、只能通过初等行变换获得;②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)①、 若(,)(,)rA E E X ,则A 可逆,且1X A -=;②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成1A B -,即:1(,)(,)cA B E A B - ~ ;③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)rA b E x ,则A 可逆,且1x A b -=;4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ,左乘矩阵A ,i λ乘A 的各行元素;右乘,iλ乘A 的各列元素;③、对调两行或两列,符号(,)E i j ,且1(,)(,)E i j E i j -=,例如:1111111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;④、倍乘某行或某列,符号(())E i k ,且11(())(())E i k E i k -=,例如:1111(0)11k k k-⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ⑤、倍加某行或某列,符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-,如:11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;5. 矩阵秩的基本性质:①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤;②、()()T r A r A =;③、若A B ,则()()r A r B =;④、若P 、Q 可逆,则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+;(※) ⑥、()()()r A B r A r B +≤+;(※) ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤;(※)⑧、如果A 是m n ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵,且0AB =,则:(※) Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解(转置运算后的结论);Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵,则()()()r AB r A r B n ≥+-;6. 三种特殊矩阵的方幂:①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)⨯行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵:利用二项展开式;二项展开式:01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C a b Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑ ;注:Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项;Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====- m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质:11112---+-===+==∑nm n mmm m r nr r n nn n nnn n r C C CC CCrC nC ; ③、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵:①、伴随矩阵的秩:*()()1()10()1n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩; ②、伴随矩阵的特征值:*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =;③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述:①、()r A n =,A 中有n 阶子式不为0,1n +阶子式全部为0;(两句话)②、()r A n <,A 中有n 阶子式全部为0; ③、()r A n ≥,A 中有n 阶子式不为0;9. 线性方程组:Ax b =,其中A 为m n ⨯矩阵,则:①、m 与方程的个数相同,即方程组Ax b =有m 个方程;②、n 与方程组得未知数个数相同,方程组Ax b =为n 元方程; 10. 线性方程组Ax b =的求解:①、对增广矩阵B 进行初等行变换(只能使用初等行变换);②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得;11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程:①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ;②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(向量方程,A 为m n ⨯矩阵,m 个方程,n 个未知数)③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (全部按列分块,其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭);④、1122n n a x a x a x β+++= (线性表出)⑤、有解的充要条件:()(,)r A r A n β=≤(n 为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A :12,,,m ααα 构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A = ααα; m 个n 维行向量所组成的向量组B :12,,,T T Tm βββ 构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解;(齐次线性方程组)②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解;(线性方程组) ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解;(矩阵方程)3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组0Ax =和0Bx =同解;(101P 例14)4.()()T r A A r A =;(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义: ①、α线性相关 ⇔0α=;②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线(平行);③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面;6. 线性相关与无关的两套定理:若12,,,s ααα 线性相关,则121,,,,s s αααα+ 必线性相关;若12,,,s ααα 线性无关,则121,,,s ααα- 必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶) 若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量,构成n 维向量组B :若A 线性无关,则B 也线性无关;反之若B 线性相关,则A 也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7. 向量组A (个数为r )能由向量组B (个数为s )线性表示,且A 线性无关,则r s ≤(二版74P 定理7);向量组A 能由向量组B 线性表示,则()()r A r B ≤;(86P 定理3) 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解;()(,)r A r A B ⇔=(85P 定理2)向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==(85P 定理2推论) 8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ,使12l A P P P = ;①、矩阵行等价:~rA B PA B ⇔=(左乘,P 可逆)0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价:~c A B AQ B ⇔=(右乘,Q 可逆); ③、矩阵等价:~A B PAQ B ⇔=(P 、Q 可逆); 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯:①、若A 与B 行等价,则A 与B 的行秩相等;②、若A 与B 行等价,则0Ax =与0Bx =同解,且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A 的行秩等于列秩; 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=,则:①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示,B 为系数矩阵;②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,T A 为系数矩阵;(转置)11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明; ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解;②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解;12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯ 可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯ 线性表示为:(110P 题19结论)1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K = (B AK =)其中K 为s r ⨯,且A 线性无关,则B 组线性无关()r K r ⇔=;(B 与K 的列向量组具有相同线性相关性) (必要性:()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴= ;充分性:反证法)注:当r s =时,K 为方阵,可当作定理使用;13. ①、对矩阵m n A ⨯,存在n m Q ⨯,m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关;(87P ) ②、对矩阵m n A ⨯,存在n m P ⨯,n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关; 14. 12,,,s ααα 线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ,使得11220s s k k k ααα+++= 成立;(定义)⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解,即0Ax =有非零解;⇔12(,,,)s r s ααα< ,系数矩阵的秩小于未知数的个数;15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ,则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为:()r S n r =-;16. 若*η为Ax b =的一个解,12,,,n r ξξξ- 为0Ax =的一个基础解系,则*12,,,,n r ηξξξ- 线性无关;(111P 题33结论)5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=(定义),性质:①、A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即1(,1,2,)0T i j i ja a i j n i j=⎧==⎨≠⎩ ; ②、若A 为正交矩阵,则1T A A -=也为正交阵,且1A =±; ③、若A 、B 正交阵,则AB 也是正交阵; 注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2. 施密特正交化:12(,,,)r a a a11b a =;1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=---- ; 3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ;⇔=PAQ B ,P 、Q 可逆; ()()⇔=r A r B ,A 、B 同型;②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ,其中可逆;⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数; ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ; 5. 相似一定合同、合同未必相似;若C 为正交矩阵,则T C AC B =⇒A B ,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格); 6. A 为对称阵,则A 为二次型矩阵; 7. n 元二次型T x Ax 为正定:A ⇔的正惯性指数为n ;A ⇔与E 合同,即存在可逆矩阵C ,使T C AC E =; A ⇔的所有特征值均为正数; A ⇔的各阶顺序主子式均大于0;0,0ii a A ⇒>>;(必要条件)。
学习线性代数期末总结
学习线性代数期末总结线性代数是数学中的一门重要学科,它研究向量空间及其上的线性变换和线性方程组,对于计算机科学、物理学、工程学等多个领域都有广泛的应用。
在过去的一个学期中,我学习了线性代数的基本概念、定理和方法,并通过习题和实例的练习,逐渐掌握了线性代数的基本知识和解题技巧。
在本篇总结中,我将回顾学习线性代数的整个过程,并总结出一些重要的学习心得和经验。
在学习线性代数的过程中,我首先学习了向量的概念和运算。
向量是线性代数中最基本的概念之一,它可以表示多个数的组合,具有大小和方向。
学习向量时,我重点掌握了向量的加法、减法和数量乘法等运算法则,并学会了求向量的模长、夹角和投影等常用计算方法。
此外,我还学习了向量的线性相关性和线性无关性,它们在解决线性方程组和矩阵的问题时起到了重要的作用。
接着,我学习了矩阵的概念和运算。
矩阵是线性代数中另一个重要的概念,它可以表示多个数按照一定规则排列成的矩形数表。
矩阵的加法、减法和数量乘法分别对应向量的加法、减法和数量乘法,这样使得矩阵能够模拟很多实际问题。
在学习矩阵的过程中,我重点掌握了矩阵相等、矩阵乘法和逆矩阵等概念和性质,并学会了通过矩阵的运算来解决线性方程组的问题。
此外,我还学习了矩阵的转置、行列式和特征值等重要概念,并通过习题的练习加深了对它们的理解。
接下来,我学习了线性变换的概念和性质。
线性变换是将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换,它是线性代数中的一个核心概念。
在学习线性变换的过程中,我重点掌握了线性变换的定义、线性变换矩阵和标准基变换矩阵等基本概念,并学会了通过线性变换来解决向量的旋转、投影和放缩等问题。
此外,我还学习了线性变换的复合、逆变换、核和像等重要性质,并通过实例的分析和计算来加深了对线性变换的理解。
最后,我学习了线性方程组的概念和求解方法。
线性方程组是线性代数中最基本和最重要的问题之一,它广泛应用于科学、工程和经济等领域。
在学习线性方程组的过程中,我首先学习了线性方程组的解的概念和性质,明确了解的存在唯一性和解的结构。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结1线性代数在考研数学中占有重要地位,必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出,以计算题为主,证明题为辅,因此,太奇考研专家们提醒广大的20__年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%,所以考生要想取得高分,学好线代也是必要的。
下面,就将线代中重点内容和典型题型做了总结,希望对20__考研的同学们学习有帮助。
行列式在整张试卷中所占比例不是很大,一般以填空题、选择题为主,它是必考内容,不只是考察行列式的概念、性质、运算,与行列式有关的考题也不少,例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题,必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法,计算行列式的主要方法是降阶法,用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形,化简之后再展开.另外,一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有:数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《20__年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。
矩阵是线性代数的核心,是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多,重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种:计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。
向量组的线性相关性是线性代数的重点,也是考研的重点。
考生一定要吃透向量组线性相关性的概念,熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用,还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系,从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有:判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。
线性代数知识点全面总结
线性代数知识点全面总结线性代数是数学的一个重要分支,在许多领域,如物理学、计算机科学、工程学等都有着广泛的应用。
接下来,让我们一起来全面了解线性代数的主要知识点。
首先,我们来谈谈行列式。
行列式是一个数值,它可以通过一定的计算规则从一个方阵中得出。
对于二阶行列式,它的计算很简单,就是“左上乘右下减去右上乘左下”。
而对于更高阶的行列式,计算方法就较为复杂,通常会使用按行(列)展开法则、化为上三角行列式等方法。
行列式具有许多重要的性质,比如某行(列)元素乘以同一数后,加到另一行(列)的对应元素上,行列式的值不变。
矩阵是线性代数中的另一个核心概念。
矩阵可以看作是一组数按照一定的规则排列而成的矩形数组。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘和乘法。
矩阵加法和减法要求两个矩阵具有相同的行数和列数,运算时对应位置的元素相加减。
数乘则是将矩阵中的每个元素乘以一个数。
矩阵乘法相对复杂一些,只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘。
矩阵的转置也是一个重要的操作,即将矩阵的行和列互换。
还有逆矩阵,如果一个矩阵 A 存在逆矩阵 A⁻¹,那么 AA⁻¹= A⁻¹A =单位矩阵。
求逆矩阵的方法有伴随矩阵法和初等变换法。
向量是具有大小和方向的量。
在线性代数中,向量通常表示为一列数或一行数。
向量组的线性相关性是一个关键概念,如果存在一组不全为零的数,使得向量组的线性组合等于零向量,那么这个向量组线性相关,否则线性无关。
线性方程组是线性代数中的常见问题。
可以用矩阵的形式来表示线性方程组,通过对增广矩阵进行初等行变换,来求解方程组。
当方程组有唯一解、无解或有无穷多解时,对应的矩阵的秩会有不同的情况。
接下来是特征值和特征向量。
对于一个矩阵 A,如果存在一个数λ和一个非零向量 x,使得 Ax =λx,那么λ就是矩阵 A 的特征值,x 就是对应的特征向量。
通过求解特征方程可以得到特征值,再代入方程求解特征向量。
线性代数重要知识点总结
线性代数重要知识点总结线性代数是数学中的一个重要分支,它研究向量、向量空间以及线性变换等概念。
在科学、工程、计算机科学等领域中都广泛应用线性代数的知识。
下面是线性代数的一些重要知识点的总结。
1.向量:向量是表示大小和方向的量,可以用有序数组表示。
向量的加法和数乘运算满足交换律、结合律和分配律。
2.向量空间:向量空间是一组向量的集合,在其中向量可以进行加法和数乘运算。
向量空间必须满足闭合性、加法逆元、加法交换律、加法结合律、数乘结合律和数乘分配律等性质。
3.线性相关与线性无关:向量组中的向量可以是线性相关的,也可以是线性无关的。
线性相关表示一些向量可以由其他向量线性表示出来,而线性无关表示所有向量不能通过线性组合得到零向量。
4.矩阵:矩阵是二维数组,也可以看作是向量的扩展。
矩阵的加法和数乘运算满足交换律、结合律和分配律。
5.矩阵乘法:矩阵乘法是矩阵之间的一种运算,前提是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
矩阵乘法满足结合律,但不满足交换律。
6.线性方程组:线性方程组是一组线性方程的集合。
可以使用矩阵的形式表示线性方程组,通过高斯消元法或矩阵求逆等方法求解线性方程组。
7.特征值与特征向量:在线性代数中,对于一个n维向量,如果它乘以一个n×n的矩阵后,仍然保持方向不变(可能会变长或变短),那么这个向量称为这个矩阵的特征向量,而乘以矩阵后的长度变化倍数称为特征值。
8.内积与外积:内积是向量之间的一种运算,满足交换律和分配律,内积为一个标量。
外积是向量之间的一种运算,满足反对称性和分配律,外积为一个向量。
9.正交与正交子空间:正交指的是两个向量的内积为零,正交子空间是由正交向量组成的向量空间。
10.线性变换:线性变换是将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换,保持向量空间的线性运算性质。
11.特征值分解:矩阵的特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量的乘积的形式。
12.奇异值分解:矩阵的奇异值分解是将一个矩阵分解为奇异值和左右奇异向量的乘积的形式。
考研数学:线性代数知识点汇总精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版2019考研数学:线性代数知识点汇总摘要:尽管考研数学的考查内容各个学校的侧重点不一样,但是都是在考研大纲里面的更改。
因此,了解好考研数学的每一个小知识点,才能全面掌握考研数学。
就帮大家整理了一些线性代数的知识点,分享给在数学上犯愁的同学们。
►【行列式】1、行列式本质就是一个数2、行列式概念、逆序数考研:小题,无法联系其他知识点,当场解决。
3、二阶、三阶行列式具体性计算考研:不会单独出题,常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。
4、余子式和代数余子式考研:代数余子式的正负是一个易错点,了解代数余子式才能学习行列式展开定理。
5、行列式展开定理考研:核心知识点,必考!6、行列式性质考研:核心知识点,必考!小题为主。
7、行列式计算的几个题型①、划三角(正三角、倒三角)②、各项均加到第一列(行)③、逐项相加④、分块矩阵⑤、找公因这样做的目的,在行/列消出一个0,方便运用行列式展开定理。
考研:经常运用在找特征值中。
⑥数学归纳法⑦范德蒙行列式⑧代数余子式求和⑨构造新的代数余子式8、抽象型行列式(矩阵行列式)①转置②K倍③可逆③伴随④题型丨A+B丨;丨A+B-1丨;丨A-1+B丨型(这部分内容放在第二章,但属于第一章的内容)考研:出小题概率非常大,抽象性行列式与行列式性质结合考察。
►【矩阵】1、矩阵性质考研:与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。
2、数字型n阶矩阵运算①方法一:秩是1②方法二:含对角线上下三角为0的矩阵③方法三:利用二项式定理,拆写成E+B型④方法四:利用分块矩阵⑤方法五:P-1AP=B;P-1APP-1AP=B2方法五涉及相似对角化知识。
方法三涉及高中知识。
考研:常见在大题出现,是大题的第一问!看到数字型n阶矩阵运算,一定出自这5个方法。
(二战考上,如果本题不会做,你的问题出在只掌握这五种方法的某几种,所以你是失败在归纳总结上了)3、伴随矩阵考研:伴随矩阵常与其他知识考察,与行列式、转置、K倍、可逆、伴随的伴随结合考察。
线性代数复习总结(重点精心整理)
线性代数复习总结大全第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ(奇偶)排列、逆序数、对换行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。
(转置行列式T D D =) ②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。
推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行(列),等于k 乘以此行列式。
推论:若行列式中两行(列)成比例,则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。
④行列式具有分行(列)可加性⑤将行列式某一行(列)的k 倍加到另一行(列)上,值不变 行列式依行(列)展开:余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则:非齐次线性方程组 :当系数行列式0≠D 时,有唯一解:)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 :当系数行列式01≠=D 时,则只有零解 逆否:若方程组存在非零解,则D 等于零 特殊行列式:①转置行列式:332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零,。
化为三角形行列式 ⑤上(下)三角形行列式: 行列式运算常用方法(主要)行列式定义法(二三阶或零元素多的) 化零法(比例)化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n *(零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ,不满足消去律;由AB=0,不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂:2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=矩阵:对角矩阵:若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 数量矩阵:相当于一个数(若……)单位矩阵、上(下)三角形矩阵(若……) 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵:每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注:把分出来的小块矩阵看成是元素阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A=-1(非|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行(列)3、将某行(列)的K 倍加到另 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A):满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩若A 是非奇异矩阵,则r (AB )=r (B ) 初等变换不改变矩阵的秩求法:1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别:都是数表;行列式行数列数一样,矩阵不一样;行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等;矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式nij n nija k ka =逆矩阵注:①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆; ③不是所有的方阵都存在逆矩阵;④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的。
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线性代数超强总结()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆 有非零解是的特征值的列(行)向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列(行)向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵总有唯一解R⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅:①称为n ¡的标准基,n ¡中的自然基,单位坐标向量; ②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关; ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=; ④tr()=E n ;⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示. √ 行列式的计算:① 若A B 与都是方阵(不必同阶),则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线:(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-K NN√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T T T A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO21111211na a na a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦NN⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N N √ 方阵的幂的性质:m n m n A A A += ()()m n mn A A =√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ,对n 阶矩阵A 规定:1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为A 的一个多项式. √设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,nααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,sβββ⋅⋅⋅,AB 的列向量为12,,,s r r r L ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭L L L L 则:即 用中简若则 单的一个提即:的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量;高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量; 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即:11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11112222kk kk A B A B AB A B οο⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O√ 矩阵方程的解法:设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,,B A B E X −−−−→M M 初等行变换(当为一列时(I)的解法:构造()()即为克莱姆法则) T T T TA XB X X =(II)的解法:将等式两边转置化为,用(I)的方法求出,再转置得√ Ax ο=和Bx ο=同解(,A B 列向量个数相同),则:① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等; ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性; ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断12,,,s ηηηL 是0Ax =的基础解系的条件: ① 12,,,s ηηηL 线性无关; ② 12,,,s ηηηL 是0Ax =的解;③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<; m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()0r A A ο=⇔=.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关,而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一. ⑪ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作:{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅%A 经过有限次初等变换化为B . 记作:A B =%⑬ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >,则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关. 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价; ⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑱ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =,A 的行向量线性无关; 若()r A n =,A 的列向量线性无关,即:12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β= 1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L M M M M M L 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M1212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A nAx Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==−−−−−→=<<≠⇒⇒⇔==−−−−−→≠⇔=⇔=<≠=⇒L L M L 当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩ML M M 当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解线性方程组解的性质:1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=M ,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A βM 和的上限. √ 矩阵的秩的性质:① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质: ① 正定性:(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性:(,)(,)αββα=③ 双线性:1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c cc αβαβαβ==123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化:111βηβ= 222βηβ=333βηβ= T AA E =.√ A 是正交矩阵的充要条件:A 的n 个行(列)向量构成n ¡的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质:① 1T A A -=;② T T AA A A E ==;③ A 是正交阵,则T A (或1A -)也是正交阵; ④ 两个正交阵之积仍是正交阵; ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ=L1niA λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A的特征值为:11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 230n λλλ====L . √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ,()f x 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ;② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλL , A *的全部特征值为12,,,n A A AL .√ 1122,.m m Ak kA a b aA bEAA AA A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x A A A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量. 1B P AP -= (P 为可逆阵) 记为:A B :√ A 相似于对角阵的充要条件:A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵,1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.√ A 可对角化的充要条件:()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= (P 为正交矩阵) √ 相似矩阵的性质:① 11A B --: 若,A B 均可逆② T T A B :③ k k A B : (k 为整数)④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质:① 特征值全是实数,特征向量是实向量; ② 与对角矩阵合同;③ 不同特征值的特征向量必定正交;④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量;⑤ 必可用正交矩阵相似对角化(一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--).A 与对角阵Λ相似. 记为:A Λ: (称Λ是A √ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数(重数重复计算)()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有:[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L O1442443144424443. √ 若A B :, C D :,则:A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦:. √ 若A B :,则()()f A f B :,()()f A f B =.12(,,,)T n f x x x X AX =L A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x=LT B C AC =. 记作:A B ; (,,A B C 为对称阵为可逆阵) √ 两个矩阵合同的充分必要条件是:它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是:A B : √ 两个矩阵合同的必要条件是:()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x X AX =L 经过正交变换合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f xx x d y =∑L 标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由{()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1,-1或0时,.√ 实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵111100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O OO合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量; ② 对n 个特征向量单位化、正交化; ③ 构造C (正交矩阵),1C AC -=Λ;④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑L ,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.12,,,n x x x L 不全为零,12(,,,)0n f x x x >L . 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件(之一成立):① 正惯性指数为n ; ② A 的特征值全大于0;③ A 的所有顺序主子式全大于0;④ A 合同于E ,即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =; ⑤ 存在可逆矩阵P ,使T A P P = (从而0A >);⑥ 存在正交矩阵,使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O (i λ大于0). √ 成为正定矩阵的必要条件:0ii a > ; 0A >.。