复习(数理逻辑部分)

第1章命题逻辑的基本概念

一：基本概念：

1.称能判断真假而不是可真可假的陈述句为命题。

2.真值为真的命题称为真命题。

3.真值为假的命题称为假命题。

4.简单命题(原子命题)。

5.由简单命题通过联结词而成的陈述句，称这样的命题为复合命题。

例1判断下列句子是否为命题。

(1)4是素数。

(2)x大于y。

(3)充分大的偶数等于两个素数之和。

(4)北京是中国的首都。

(5)请不要吸烟！

(6)我正在说假话。

6.合式公式: 命题符号与联结词组成

不是合式公式的例子：pq→r；(p→(r→q)

7.公式的类型：重言式、永真式、可满足式

重言式(永真式)：都是1

矛盾式(永假式)：都是0

可满足式：有1，也有0

二. 联结词：

否定：┐p非p

合取：p∧q p并且q(或“p与q”)

析取：p∨q p或q

蕴涵：p→q如果p，则q

等价：p↔q p当且仅当q

本书规定的联结词优先顺序为：( )，┐，∧，∨，→，↔，对于同一优先级的联结词，先出现者先运算。

例2令p：北京比天津人口多。

q：2+2＝4.

r：乌鸦是白色的。

求下列复合命题的真值：

(1)(q∨r)→(p→┐r)

(2)(┐p∨r)↔(p∧┐r)

解：p、q、r的真值分别：

1、1、0

(1) 1 (2) 0

例3求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。判断公式类型

(1)(p∧┐p)↔(q∧┐q)

(2)(┐p∧q)→┐r

(3)┐(p→q)∧q∧r

解：先做真值表

（1）是永真式，00，01，10，11是成真赋值，没有成假赋值。（2）是可满足式，011是成假赋值，其余是成真赋值。

（3）是永假式，都是成假赋值，没有成真赋值。

第2章命题逻辑等值演算

一：验证两个公式是否等值：

方法一：真值表

方法二：等值演算

1.双重否定律 A ⇔┐┐A

2.幂等律 A ⇔ A∨A, A ⇔ A∧A

3.交换律A∨B ⇔ B∨A，A∧B ⇔ B∧A

4.结合律(A∨B)∨C ⇔ A∨(B∨C)

(A∧B)∧C ⇔ A∧(B∧C)

5.分配律 A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C)

（∨对∧的分配律）

A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C)

（∧对∨的分配律）

6.德·摩根律┐(A∨B) ⇔┐A∧┐B

┐(A∧B) ⇔┐A∨┐B

7.吸收律 A∨(A∧B) ⇔ A，A∧(A∨B) ⇔ A

8.零律A∨1 ⇔ 1,A∧0 ⇔ 0

9.同一律A∨0 ⇔ A，A∧1 ⇔ A

10.排中律A∨┐A ⇔ 1

11.矛盾律A∧┐A ⇔ 0

12.蕴涵等值式A→B ⇔┐A∨B

13.等价等值式A↔B ⇔ (A→B)∧(B→A)

例1.用等值演算法验证等值式

(p∨q)→r ⇔ (p→r)∧(q→r)

解：方法一：真值表

方法二：等值演算：(p→r)∧(q→r)

⇔ (┐p∨r)∧(┐q∨r) (蕴含等值式)

⇔ (┐p∧┐q)∨r (分配律)

⇔┐(p∨q)∨r (德摩根律)

⇔ (p∨q)→r (蕴含等值式)

二：基本概念（理解）：

1. 在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式）中，若每个命题变项和它的否定式不

同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）。

2. 定理2.4 设mi与Mi是命题变项p1,p2,…,pn形成的极小项和极大项，则┐mi ⇔Mi，

┐Mi ⇔ mi

3. 极小项构成的析取范式称为主析取范式。

极大项构成的合取范式称为主合取范式。

4. 定理2.5任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是唯一的。表p,q,r形成的极小项与极大项

三. 范式的求法（计算）

方法一、等值演算法

(1)消去联结词→、↔(若存在)。

A→B ⇔┐A∨B

A↔B ⇔ (┐A∨B)∧(A∨┐B)

(2)否定号的消去(利用德摩根律)。 (3)利用分配律：

A ∧(

B ∨C) ⇔ (A ∧B)∨(A ∧C)求析取范式， A ∨(B ∧C) ⇔ (A ∨B)∧(A ∨C)求合取范式。 并化成极小（大）项.

(4)表示成主析取（合取）范式. 方法二、真值表法 (1)写出A 的真值表，

(2)找出成真（假）赋值，得到极小（大）项， (3)表示成主析取（合取）范式.

例2 求命题公式 p →q 的主析取范式和主合取范式。 解：方法一：等值演算 (1)求主合取范式

p →q ⇔ ┐p ∨q ⇔ M 2 (2)求析取范式

p →q ⇔ ┐p ∨q ⇔ （┐p ∧（┐q ∨q ）） ∨ （(┐p ∨p)∧q ） ⇔ (┐p ∧┐q)∨(┐p ∧q)∨(┐p ∧q)∨(p ∧q) ⇔ (┐p ∧┐q)∨(┐p ∧q)∨(p ∧q) ⇔ m 0∨m 1∨m 3 方法二：真值表 2.主析取范式：

成真赋值有：00，01，11

所以：p →q ⇔ m 0∨m 1∨m 3

3.主合取范式： 成假赋值：10

所以： p →q ⇔ ┐p ∨q ⇔ M 2

第3章 命题逻辑的推理理论

一.判断推理是否正确的方法：

❑ 真值表法 ❑ 等值演算法 ❑ 主析取范式法

p q p →q

0 0 1 0 1 1 1 0 0 1

1

1