2007统计学第十三章

第十三章时间序列分析§1 时间序列及其分解一、时间序列及其分类时间序列是指一组按照时间顺序或时间段排列的数据序列.它由时间和水平两个因素组成:一个是统计数据所属的时间(或时间段),另一个是序列水平的统计数据.依照时间因素,时间序列可分为时期序列和时点序列.依照水平因素,时间序列可分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列.由一系列绝对数按时间(或时间段)顺序排列而成的序列称为绝对数时间序列.绝对数时期序列具有可加性,相加后的值可以反映更长一个时期的水平.由绝对数时间序列可以派生出相对数时间序列和平均数时间序列.下表给出了四个不同类型的时间序列.人口自然增居民消费水GDP(亿元)198919901991199219931994199519961997199819992000200120022003时间序列中各期指标是许多不同因素共同影响的结果.对各种因素按其作用来划分,可大致分为四种:长期趋势(Secular trend),季节变动(Seasonal fluctuation),循环变动(Cyclical movement)和不规则变动(Irregular variations).长期趋势是指时间序列所反映的现象在某一个相对较长的时期内持续发展变化的趋势.它受根本性因素的作用和制约.就经济系统而言,它反映基本经济力量的作用.形式上,可表现为向上趋势,向下趋势,平稳趋势,直线趋势,二次曲线趋势和指数曲线趋势等. 长期趋势为平稳趋势的时间序列也称为平稳序列。

季节变动是指一年以内的、具有一定周期性且每年重复出现的变动.循环变动是一种围绕长期趋势出现的具有一定起伏形态的周期性波动.循环周期时间间隔在一年以上.循环周期的持续时间和振幅的大小不一定相等,因而较难预测与把握.不规则变动,又称随机变动,是除去长期趋势,季节变动和循环变动之后余下的变动.包括严格的随机变动(由许多细小原因综合引起)和偶发性变动(如政治动荡,战争爆发,大的自然灾害产生的影响).上述四种因素的共同作用使得时间序列的指标值呈现出不规则的变化.（传统）时间序列分析即是要把序列指标值分解为与上述四种因素对应的四个部分.一般地,有所谓加法模型和乘法模型.加法模型: I C S T Y +++= 乘法模型: I C S T Y ⋅⋅⋅=加法模型中, S,C,I 均是对T 的定量偏差,四种因素相互独立,都用原始单位表示.乘法模型中,趋势通常用原始单位表示,其余三个因素则表示成相对数或百分数.§2 时间序列的描述性分析 一、时间序列的图形描述时间序列的图形描述即是将时间序列数据按时间顺序在平面坐标图上描出,必要时加上折线、直线或曲线,用以直观地、定性地描述时间序列的变化模式及变化趋势。

二、时间序列的水平分析（一）发展水平与平均发展水平发展水平是时间序列的统计指标的数值.序列第一个指标值称为最初水平, 最末一个指标值称为最末水平,被研究的那一时期的指标水平称为报告期水平,用来作比较的水平称为基期水平.平均发展水平是时间序列在一个时间段内各期水平的平均值,也称为序时平均数.序时平均数因时间序列指标性质的不同而有不同的计算方法.1、绝对数时间序列的序时平均数绝对数时间序列可分为时期序列和时点序列. 时期序列序时平均数的计算公式为nYnY Y Y Y ni in∑==+++=121 .时点序列序时平均数的计算公式为∑-=--⋅+++⋅++⋅+=1111232121222n i in n n T T Y Y T Y Y T Y Y Y , 式中,T i 为观察值Y i 与Y i+1之间的时间间隔.2、相对数或平均数时间序列的序时平均数相对数和平均数通常由两个绝对数对比而成.所以,计算序时平均数时,应先分别求出构成相对数或平均数的分子和分母的平均数,然后再进行对比,即如果ii i b a Y =则 b a Y =.时间序列.xls （sheet2）（二）增长量与平均增长量增长量是时间序列中报告期水平与基期水平之差,用于描述现象在观察期内增长的绝对数量.因采用基期不同,增长量可分为逐期增长量与累积增长量.逐期增长量 = 报告期水平 - 前期水平; 累积增长量 = 报告期水平 - 基期水平;平均增长量 =时段长度累积增长量逐期增长量个数逐期增长量之和=.三、时间序列的速度分析（一）发展速度与增长速度（增长率）发展速度是报告期发展水平与基期发展水平之比,用于描述现象在观察期内相对的发展变化程度. 因采用基期不同,发展速度可分为环比发展速度与定基发展速度.设时间序列为n Y Y Y ,,,10 ,则环比发展速度与定基发展速度的一般形式可写成环比发展速度: n i Y Y R i ii ,,2,1,1==-定基发展速度: n i Y Y R ii ,,2,1,0==. 显然,观察期内各个环比发展速度的连乘积等于最末期的定基发展速度.增长速度是增长量与基期水平之比,用于描述现象的相对增长程度.1-=-==发展速度基期水平基期水平报告期水平基期水平增长量增长速度.增长速度也可分为环比增长速度和定基增长速度. 环比增长速度=环比发展速度-1 定基增长速度=定基发展速度-1 例（二）平均发展速度与平均增长速度平均发展速度是各个时期环比发展速度的几何平均数,用于描述现象在观察期内平均发展变化的程度. 平均增长速度则是用于描述现象在观察期内平均增长变化的程度,它通常用平均发展速度减1来求得.设时间序列为n Y Y Y ,,,10 ,则从第一期到第n 期的平均发展速度为n n nn n Y Y Y Y Y Y Y Y R 011201=⋅⋅⋅=- ;平均增长速度为 1-=R G .例（三）关于速度分析的说明1、 当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算速度。

2、 在评价一个企业的经营业绩，一个地区的经济发展时，要将增长速度和绝对水平结合考虑。

通常以增长1%的绝对值作为参考。

增长1%的绝对值=前期水平/100例13-3 将增长速度和绝对水平结合考虑.§3 时间序列预测的程序（略）§4 平稳序列的预测时间序列分析的一项重要内容就是根据过去已有的数据来预测未来的结果。

当序列的长期趋势呈现平稳趋势时，可用简单平均法、移动平均法和指数平滑法对时间序列进行短期预测。

一、简单平均法简单平均法就是将过去所有观察值的平均值作为下一期预测值的预测方法。

计算公式为tYtY Y Y Y F ti itt t ∑=+=+++==1211二、移动平均法简单移动平均法是将时间序列的数据逐项移动,依次计算包含一定期数（最近k 期）的序时平均数。

以此平均数作为下一期数据的预测值。

计算公式为kY Y Y F tk t k t t +++=+-+-+ 211，k 称为移动平均的移动步长。

应用移动平均法时应注意,若序列有围绕趋势的周期性变动(季节的或循环的),移动步长应与周期相同,以消除这些变动(其原因在于,在每一次平均中,有一半的数据在循环中点的上半部, 另一半的在循环中点的下半部,通过平均使得上下两部分数据差异大致相互抵消)。

例 具有明显趋势的时间序列不适宜用移动平均法进行预测。

时间序列.xls(sheet5) 例居民消费指数（上年为100）三期移动预测值1989 99.51990 103.41995 107.51996 109.11997 104.21998 105.5 106.9333 1999 107.9 106.26672000 108.3 105.8667 2001 105.3 107.2333 2002 106.2 107.1667 2003106.3106.6105.9333加权移动平均就是在预测时，对近期的观察值和远期的观察值赋予不同的权数后再进行预测。

一般而言，近期观察值的权数较大，远期观察值的权数较小。

三、指数平滑法指数平滑法的第1+t 期预测值的计算公式为t t t F Y F )1(1αα-+=+，其中t Y 为第t 期实际观察值，t F 为第t 期预测值，α称为平滑系数。

实际应用中，第1期预测值往往取成第1期观察值。

例 居民消费指数时间序列.xls （sheet7）§5 趋势型序列的预测当长期趋势表现的比较明显时,我们常用一个比较合理的函数来拟合序列的长期趋势,并称其为所讨论序列的趋势函数(或趋势方程). 描述时间序列长期趋势的方程通常有直线方程和曲线方程,曲线方程又可分为二次曲线,三次曲线,指数曲线,修正指数曲线,Gompertz 曲线,Logisti 曲线等.（一）直线趋势的测定当我们通过散点图认为时间序列的长期趋势大致呈直线形态时,可利用上一章介绍的最小二乘法得出序列的直线趋势方程.例 人口自然增长率时间序列.xls （sheet1）（二）曲线趋势的测定在测定时间序列的曲线趋势时,首先要通过散点图或理论分析选择合适的曲线方程形式,然后再通过变量替换进行线性回归或直接进行非线性回归.1、 二次曲线当现象的发展趋势呈现抛物线形态时，可用二次曲线拟合趋势线，其一般方程为2ct bt a Y ++=，式中，三个未知参数a,b,c 可由最小二乘估计得出。

例 我国糖产量的预测糖产量.xls2、 指数曲线指数曲线用以描述以几何级数递增或递减的现象。

指数曲线的一般形式为xab Y =.例13-10 我国轿车产量预测时间序列.xls （sheet5） 设趋势曲线拟合方程为 xab Y = .方程两端取对数，得 b x a Y log log log +=. 将有关数据列表计算,利用最小二乘估计方法,得b a log ,log所以 285.1,038.4==b a ,即曲线趋势拟合方程为 xY 285.1038.4⨯=. 拟合情况见下图.3、 修正指数曲线修正指数曲线的一般方程为 tab K Y +=, 其中10,0,0<<<>b a K .修正指数曲线常用于描述这样一类现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终以K 为增长极限。

例如，某种刚刚问世的新产品，初期销售量增长可能很快，当社会拥有量接近饱和时，销售量逐渐趋于某个稳定的水平。

修正指数曲线方程中的未知参数可由如下两种方法确定：（1）当K 可以预先确定时，其它两个参数可用最小二乘法估计得出；（2）三和法。

三和法是确定修正指数曲线中未知参数的常用方法。

其基本思想是：将时间序列观察值等分为三个部分，每部分有m 个时期，从而根据趋势值的三个局部总和分别等于原序列观察值的三个局部总和来确定三个参数。

设观察值的三个局部总和分别为321,,S S S ，即∑==mt t y S 11，∑+==mm t tyS 212，∑+==mm t tyS 3123.根据三和法的假设，有⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=+++=+++=++++=-++-++-)1()1()1(112312*********m m m m m m m m m m b b ab mK ab ab mK S b b ab mK ab ab mK S b b ab mK ab ab ab mK S 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--⋅+=--⋅+=--⋅+=++111111123121b b abm K S b b ab m K S b b ab m K S mm mm m解之，得 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧---⋅=--⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=)1)1((1)1(1)(121211223b b ab S m K b b b S S a S S S S b m m m 例解：由上表中的数据及修正指数曲线中参数的计算公式，得87864.01325417955179552011861=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=b6733.2227)187864.0(87864.0187864.0)1325417955(26-=-⨯-⋅-=a 2346.3660=K .所以，小麦单位面积产量的修正指数曲线为：t tY 87864.06733.22272346.3660ˆ⨯-=.小麦产量.xls4、 Gompertz 曲线Gompertz 曲线的一般方程为 tb Ka Y =， 其中10,10,0≠<≠<>b a K .Gompertz 曲线所描述的现象的特点是：初期增长缓慢，以后逐渐加快，达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线。