10实验10 线性方程组及向量正交化

实验十 线性方程组及向量的正交化

1、 已知1111101131133

213A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，计算A 的秩，并计算0AX =的基础解系。 In[ ]:= 111110113113321

3⎛⎫ ⎪-= ⎪- ⎪⎝⎭A Out[ ]= {{1,1,1,1},{1,0,-1,1},{3,1,-1,3},{3,2,1,3}}

In[ ]:= MatrixForm[A]

Out[ ]//MatrixForm=

1111101131133213⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭

In[ ]:= RowReduce[A]//MatrixForm

Out[ ]//MatrixForm=

1011012000000000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

(* 从中可以看出,矩阵A 的秩是2 *)

In[ ]:= NullSpace[A]

Out[ ]= {{-1,0,0,1},{1,-2,1,0}}

In[ ]:= MatrixForm[%]

Out[ ]= ()

10011210-- (*A 的两个线性无关解 *)

2、解方程组12341234123431

33445986

x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨+--=⎪⎩

In[ ]:= a={{1,-3,-1,1},{3,-1,-3,4},{1,5,-9,-8}}

b={1,4,6}

LinearSolve[a,b]

Out[ ]= {{1,-3,-1,1},{3,-1,-3,4},{1,5,-9,-8}}

Out[ ]= {1,4,6} {711,,,0882-}

(* 方程组的一个特解 *)

In[ ]:= NullSpace[a]

Out[ ]= {{-21,-1,-10,8}}

(* 基础解系只有一个解向量 *)

In[ ]:= x=c %[[1]]+%% Out[ ]= {71121c,c,10c,8c 882

----} (* c 为任意实数 *)

3、求下列矩阵的秩

（1）211113213414352A -⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

In[ ]:= 211113213414352-⎛⎫ ⎪=-- ⎪--⎝⎭

A Out[ ]= {{2,1,-1,1,1},{3,-2,1,-3,4},{1,4,-3,5,-2}}

In[ ]:= RowReduce[A]//MatrixForm

Out[ ]//MatrixForm= 116107775950177700000⎛⎫-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

(* 矩阵A 的秩为 2 *)

（2）113413114315981B --⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

In[ ]:= 113413114315981--⎛⎫ ⎪=- ⎪--⎝⎭

B Out[ ]= {{1,1,-3,-4,1},{3,-1,1,4,3},{1,5,-9,-8,1}}

In[ ]:= RowReduce[B]//MatrixForm

Out[ ]//MatrixForm= 31001270100200130⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

(* 矩阵B 的秩为 3 *)

4、解下列线性方程组

（1）1234121111211512155x x x x ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦

方法一:直接利用Solve 函数

In[ ]:= Solve[{x1-2x2+x3+x4==1,x1-2x2+x3-x4==-5,x1-2x2+x3+5x4==5},

{x1,x2,x3,x4}]

Out[ ]= { }

(*此方程组无解*)

方法二:用LinearSolve ,NullSpace 函数

In[ ]:= 121112111215-⎛⎫ ⎪=-- ⎪-⎝⎭

a b={1,-5,5}

LinearSolve[a,b]

NullSpace[a]

Out[ ]= {{1,-2,1,1},{1,-2,1,-1},{1,-2,1,5}}

Out[ ]= {1,-5,5}

LinearSolve::nosol: Linear equation encountered which has no solution. More …

LinearSolve[{{1,-2,1,1},{1,-2,1,-1},{1,-2,1,5}},{1,-5,5}]

Out[ ]= {{-1,0,1,0},{2,1,0,0}}

(*原方程没有特解*)

(*从而原方程无解*)

（2）

1

2

3

4

12122 41213 25410 11111/3

x

x

x

x

---⎡⎤

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

=

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

-

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦

In[ ]:=

1212

4121

2541

1111

---

⎛⎫

⎪= ⎪

-

⎪

⎝⎭a

b={2,3,0,1/3}

LinearSolve[a,b]

NullSpace[a]

Out[ ]= {{1,-2,-1,-2},{4,1,2,1},{2,5,4,-1},{1,1,1,1}}

Out[ ]= {2,3,0,1

3

}

Out[ ]=

871

,,0, 9186⎧⎫--

⎨⎬⎩⎭

Out[ ]= {{-1,-2,3,0}} In[ ]:= x=c %[[1]]+%%

Out[ ]=

871

c,2c,3c, 9186⎧⎫----

⎨⎬⎩⎭

另解: In[ ]:= Solve[{x1-2x2-x3-2x4==2,4x1+x2+2x3+x4==3,2x1+5x2+4x3-x4==0, x1+x2+x3+x4==1/3},{x1,x2,x3,x4}]

Solve::svars: Equations may not give solutions for all "solve" variables.More..

Out[ ]=

8x372x31

x1,x2,x4

931836⎧⎫⎧⎫->-->--->-

⎨⎨⎬⎬⎩⎭⎩⎭

(* x3为一个自由未知量,求出了解 *)

5、已知

411419

471,574

678416

A B

--

⎡⎤⎡⎤

=--=

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

---

⎣⎦⎣⎦

，验证：A B A B

⨯=⨯。

In[ ]:=

411

471

678

-

⎛⎫

⎪=--

⎪

-

⎝⎭A