10实验10 线性方程组及向量正交化
两个向量正交化公式
两个向量正交化公式
正交化是线性代数中一个重要的概念，指的是将两个向量调整为正交的过程。
通过正交化，我们可以得到一组相互垂直的向量，这对于很多计算问题都是非常有用的。
假设有两个向量a和b，我们需要将它们正交化。
首先，我们需要计算出这两个向量的内积。
内积可以看作是对两个向量的相似度的度量，如果两个向量正交，它们的内积为0。
通过计算内积，我们可以找到一个向量c，它与向量a正交，并且与向量b也正交。
具体的正交化过程如下：
1. 首先，计算向量a和向量b的内积。
内积的计算可以通过将两个向量对应位置上的元素相乘，然后将结果相加得到。
2. 根据内积的计算结果，我们可以得到一个系数k，使得向量 c =
a - kb。
3. 向量c就是我们需要的正交化后的向量。
它与向量a正交，并且与向量b也正交。
通过这个正交化的过程，我们可以得到一组正交的向量，这对于很多应用来说非常重要。
例如，在计算机图形学中，正交化可以用来解决投影问题，使得物体在屏幕上的显示更加清晰。
在信号处理中，正交化可以用来解决信号的分解和重构问题，提高信号的传输效率。
总的来说，正交化是线性代数中一个重要的概念，通过调整向量使其正交，我们可以得到一组相互垂直的向量。
正交化在很多领域都有着广泛的应用，它可以帮助我们解决各种计算问题，并提高计算的效率和准确性。
希望通过本文的介绍，读者能够对正交化有一个更加清晰的理解。
特征向量的正交化与单位化的公式
特征向量的正交化与单位化的公式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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线性方程组实验报告
实
验
结
果
分
1.A=[1 2 4 6 -3 2;2 4 1 4;5 10 -2 5 6 -14] b=[4 3 -1 8 12 -5 2] A1=[A b'] 1）B=rank(A1) A = 1 2 4 2 4 -4 3 6 2 2 3 0 1 1 -6 0 -4 -5 5 10 -2 b = 4 3 -1 A1 =1 2 4 2 4 -4 3 6 2 2 3 0 1 1 -6 0 -4 -5 5 10 -2 B =5 故增广矩阵的秩为5.
x1 2 x 2 4 x3 6 x 4 3 x5 2 x 6 4 2 x 4 x 4 x 5x x 5x 3 1 2 3 4 5 6 3 x1 6 x 2 2 x3 5 x5 9 x 6 1 实 1. 线性方程组 2 x1 3 x 2 4 x 4 x 6 8 x x 6 x 9 x 4 x 5 x 12 2 3 4 5 6 1 4 x 2 5 x3 2 x 4 x5 4 x 6 5 5 x1 10 x 2 2 x3 5 x 4 6 x5 14 x 6 2
2 3 0 4 0 1 8 0 0 0 1 0 0 0
0 -4 -5 2 1 4 -5 0 0 0 0 1 0 0
5 5 -3 6 6 -4 2 0 0 0 0 0 1 0
3 6 0 11 -2 -3 7 1 1 0 0 0 0 0
极大线性无关组为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ， 6 。 3）方程组的一个特解 x=(-1,-1,0,0,0,0,1)；通解为 k*x 其中 k 为任意常数
y=null(A,'r')
规范正交化
规范正交化正交化是数学中常用的一个概念，用于描述向量空间中向量之间的相互关系。
在实际应用中，正交化有助于简化计算、提高计算精度和减少冗余信息。
本文将介绍正交化的概念、常用的正交化方法以及其在不同领域中的应用。
一、正交化的概念正交化是指将非正交向量集合转化为正交向量集合的过程。
在向量空间中，正交向量具有特殊的相互关系，即两两之间的夹角为90度，且长度可以不同。
正交化的目标是使得向量集合中的每个向量都与其他向量正交。
二、常用的正交化方法1. 施密特正交化方法（Gram-Schmidt Orthogonalization）该方法是最常用的正交化方法之一，对于一个非正交向量集合{v1, v2, ..., vn}，依次求取正交向量集合的方法如下：a) 设v1为原始向量集合中的第一个向量，令u1 = v1；b) 对于第k（k > 1）个向量vk，计算其在前k-1个向量的张成空间中的投影，得到正交向量uk；c) 将uk标准化，得到单位正交向量ek = (1/||uk||) * uk。
2. QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的过程。
在QR分解中，正交矩阵Q的列向量即为原始矩阵的正交向量集合。
QR分解可以通过多种方法实现，如Gram-Schmidt算法、Givens变换、Householder变换等。
3. 奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）SVD是矩阵分解的一种方法，将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：A = UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
在SVD中，U的列向量和V的行向量即为原始矩阵的正交向量集合。
三、正交化的应用正交化在许多领域中都有广泛的应用，以下是一些常见的应用示例。
1. 数据压缩正交化可以用于数据压缩的过程中，通过去除非正交向量的冗余信息，从而减小数据大小。
例如，在图像压缩中，正交化可以用于将图像的原始数据转化为正交基下的表示，从而减小图像数据的维度。
三个向量正交化公式
三个向量正交化公式1、正交化的一般的定义：正交化（Orthogonalization），也可称为“正交调整”，是指将三个或三个以上的向量组成一个正交系统，使该系统中的向量成正交关系。
正交向量意味着互相垂直，两个向量的点积（内积）等于 0。
2、正交化的三个向量的公式：（1）正交调整法：设给定的三个向量A、B、C，要将它们变成正交的，让A、B、C形成一个正交系，则需要先令A、B正交，再令B、C正交，最后令A、C正交。
a) A、B正交：B=A-(A・B)A/|A|^2b) B、C正交：C=B-(B・C)B/|B|^2c) A、C正交：C=C-(A・C)A/|A|^2（2）Gram-Schmidt正交化法：令A、B、C是任意三个实值向量，要使它们成为正交系绩，即A、B、C互相垂直，应令A、B、C满足以下公式：a) A'=A/(|A|)b) B'=B+(A'・B) A'c) C'=C+(A'・C) A' + (B'・C) B'3、正交化的具体过程：（1）首先选取三个向量A、B、C，并将它们定义到一个笛卡尔空间中。
（2）计算每个向量的长度，用来确定它们之间的位置关系。
（3）通过正交化的公式对每组向量进行计算，计算出向量A、B、C之间的正交比例，以产生正交系统。
（4）根据正交系统中向量比例确定具体正交关系，并测试两个向量的点积是否为0，来确定正交化是否成功。
4、正交化的应用：（1）在数值分析中，正交化可用于提高矩阵运算效率。
对于求解线性方程组，正交化可以增加迭代收敛速度，从而减少计算量。
（2）在信号处理中，正交化的原则被用来实现“均衡化”，也就是信号中的每个载波组合成一个正交基，使载波互不干扰。
（3）在数学分析中，正交化可以将一个多元函数简化为一个对象函数，从而简化解题步骤。
（4）在概率论中，正交化可以将一组独立变量 transforming into 规范正交变量，也就是两个变量的点积等于0的情况。
求解线性方程组的直接方法算法实验报告
求解线性方程组的直接方法（2学时）一 实验目的1．掌握求解线性方程组的高斯消元法及列主元素法；2. 掌握求解线性方程组的克劳特法；3. 掌握求解线性方程组的平方根法。
二 实验内容1．用高斯消元法求解方程组（精度要求为610-=ε）：1231231233272212240x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=-⎨⎪-+=⎩2．用克劳特法求解上述方程组（精度要求为610-=ε）。
3. 用平方根法求解上述方程组（精度要求为610-=ε）。
4. 用列主元素法求解方程组（精度要求为610-=ε）：1231231233432222325x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=⎨⎪--=-⎩三 实验步骤（算法）与结果1. #include<stdio.h>main(){ float a11,a12,a13,b1,a21,a22,a23,b2,a31,a32,a33,b3,l21,l31,l32,u11,u12,u13,u22,u23,u33,z1,z2,z3,x1,x2,x3;printf("enter a11,a12,a13,b1,a21,a22,a23,b2,a31,a32,a33,b3 :"); scanf("%f%f%f%f%f%f%f%f%f%f%f%f/n",&a11,&a12,&a13,&b1,&a21,&a22, &a23,&b2,&a31,&a32,&a33,&b3 );l21=a12/a11;l31=a31/a11;u22=a22-l21*a12;l32=(a32-l31*a12)/u22;u23=a23-l21*a13;u33=a33-l31*a13-l32*u23;z2=b2-l21*b1;z3=b3-l31*b1-l32*z2;printf("u22=%fu23=%fz2=%fu33=%fz3=%f`````",u22,u23,z2,u33,z3); x3=z3/u33;x2=(z2-u23*x3)/u22;x1=(b1-a13*x3-a12*x2)/a11;printf("x1=%f x2=%f x3=%f ",x1,x2,x3);return 0;}2．#include<stdio.h>main(){float a11,a12,a13,b1,a21,a22,a23,b2,a31,a32,a33,b3,l22,l32,l33,u11,u12,u13,u22,u23,u33,z1,z2,z3,x1,x2,x3;printf("enter a11,a12,a13,b1,a21,a22,a23,b2,a31,a32,a33,b3 :");scanf("%f%f%f%f%f%f%f%f%f%f%f%f/n",&a11,&a12,&a13,&b1,&a21,&a22,&a23,&b2,&a31,&a32,&a33,&b3 );u11=1;u22=1; u33=1;u12=a12/a11;u13=a13/a11;z1=b1/a11;l22=a22-a21*u12;u23=(a23-a21*u13)/l22;z2=(b2-a21*z1)/l22;l32=a32-a31*u12;l33=a33-a31*u13-l32*u23;z3=(b3-a31*z1-l32*z2)/l33;printf("u11=%f u12=%f u13=%f z1=%f u22=%f u23=%f z2=%f u33=%f z3=%f------",u11,u12,u13,z1,u22,u23,z2,u33,z3);x3=z3;x2=z2-u23*x3;x1=z1-u13*x3-u12*x2;printf("x1=%f x2=%f x3=%f ",x1,x2,x3);getch();return 0;}3． #include<stdio.h>#include<math.h>{float a11,a12,a13,b1,a21,a22,a23,b2,a31,a32,a33,b3,l11,l12,l13,l23,l21,l22,l31,l32,l33,z1,z2,z3,x1,x2,x3;printf("enter a11,a12,a13,b1,a21,a22,a23,b2,a31,a32,a33,b3 :");scanf("%f%f%f%f%f%f%f%f%f%f%f%f/n",&a11,&a12,&a13,&b1,&a21,&a22, &a23,&b2,&a31,&a32,&a33,&b3 );l11=sqrt(a11);l21=a21/l11; l31=a31/l11;l22=sqrt(a22-l21*l21);l32=(a32-l21*l31)/l22;l33=sqrt(a33-l31*l31-l32*l32);z1=b1/l11;z2=(b2-l21*z1)/l22;z3=(b3-l31*z1-l32*z2)/l33;printf("l11=%f z1=%f l22=%f z2=%f l33=%fz3=%f---",l11,z1,l22,z2,l33,z3);x3=z3/l33;x2=(z2-l32*x3)/l22;x1=(z1-l31*x3-l21*x2)/l11;printf("x1=%f x2=%f x3=%f ",x1,x2,x3);getch();return 0;}4． #include "stdio.h"#include "math.h"main(){ float a11,a12,a13,b1,a21,a22,a23,b2,a31,a32,a33,b3,l21,l31,A22,A23,d1,A32,A33,d2,l32,a,d3,x1,x2,x3,A,B,C,D;printf("enter a11,a12,a13,b1,a21,a22,a23,b2,a31,a32,a33,b3:"); scanf("%f%f%f%f%f%f%f%f%f%f%f%f", &a11,&a12,&a13,&b1,&a21,&a22,&a23,&b2,&a31,&a32,&a33,&b3);if(fabs(a11)<fabs(a21)){ if(fabs(a11)>fabs(a31))A=a11;a11=a31;a31=A;B=a12;a12=a32;a32=B;C=a13;a13=a33;a33=C;D=b1;b1=b3;b3=D ;}if (fabs(a11)<fabs(a21)){if(fabs(a21)>fabs(a31)){A=a11;a11=a21;a21=A;B=a12;a12=a22;a22=B;C=a13;a13=a23;a23=C;D=b1;b1=b2;b2=D ;}elseA=a11;a11=a31;a31=A;B=a12;a12=a32;a32=B;C=a13;a13=a33;a33=C;D=b1;b1=b3;b1=D ;}printf("now a11=%f a12=%f a13=%f b1=%f\n",a11,a12,a13,b1); printf("now a21=%f a22=%f a23=%f b2=%f\n",a21,a22,a23,b2); printf("now a31=%f a32=%f a33=%f b3=%f\n",a31,a32,a33,b3);l21=a21/a11; l31=a31/a11;A22=a22-l21*a12;A23=a23-l21*a13;d1=b2-l21*b1;A32=a32-l31*a12; A33=a33-l31*a13;d2=b3-l31*b1;if(fabs(A22)>fabs(A32)){ l32=A32/A22;a=A33-l32*A23;d3=d2-l32*d1;x3=d3/a;x2=(d1-A23*x3)/A22;x1=(b1-a13*x3-a12*x2)/a11;}else l32=A22/A32;a=A23-l32*A33;d3=d1-l32*d2;x3=d3/a;x2=(d2-A33*x3)/A32;x1=(b1-a13*x3-a12*x2)/a11;printf("x1=%f x2=%f x3=%f\n",x1,x2,x3);getch(); return 0; }。
[精华]§4.4向量的正交化
![[精华]§4.4向量的正交化](https://img.taocdn.com/s3/m/1ab8d7ea710abb68a98271fe910ef12d2af9a980.png)
例4-13 证明)0,21,21(1=α，)0,21,21(2-=α ，)1,0,0(3=α 是R 3的一组标准正交基．分析：证明已知量是一组标准正交基，可以分两步证明：（1）证明所给向量两两正交，且为基． 方法：求所给向量的两两内积，如果内积等于零，则两向量正交；（2）每个向量的长度等于1． 方法：求每个向量的长度，判断长度是否等于1．证明： （1）证明所给向量两两正交．000)21(21212121=⨯+-⨯+⨯=∙αα，所以，1α 与2α 正交；01002102131=⨯+⨯+⨯=∙αα ，所以，1α 与3α 正交；0100)21(02132=⨯+⨯-+⨯=∙αα ，所以，3α 与2α 正交；有以上证明可知，所给向量1α 、2α、3α 两两正交．又由于三个向量都是3维向量，所以1α 、2α 、3α是R 3的一组正交基．（2）证明1α 、2α 、3α的长度都是1．10)21()21(2221=++=α ；10)21()21(2222=+-+=α；11002223=++=α． 有以上证明可知，所给向量1α 、2α、3α 是R 3的一组标准正交基．例4-14 设)3,2,1(=α，)3,1,4(-=β是R 3中的向量，试求α 在β上的投影向量，投影长度；β 在α上的投影向量和投影长度．解：βα∙=1×4+2×(-1)+3×3=11，14321222=++=α ， 263)1(4222=+-+=β ，α 在β上的投影向量为)3,1,4(2611)3,1,4()26(11221-=-=∙=βββαγα 在β上的投影纯量，或称为投影长度为26111=∙=ββαγβ 在α上的投影向量为)3,2,1(1411)3,2,1()14(11222==∙=ααβαγβ 在α上的投影纯量或称为投影长度为14112=∙=αβαγ例4-15 将R 4中向量组{(3，0，0，0)，(0，1，2，1，)，(0，-1，3，2)}标准正交化．解：1．证明所给的三个向量是线性无关的向量．以所给的三个向量为行的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231012100003A用矩阵的第三行加第二行得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231012100003A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛350012100003所以r (A )=3，所以三个向量线性无关．2．用施密特法将向量组正交标准化（1）正交化 构建两两正交向量组令)0,0,0,3(11==αβ)0,0,0,3()0003(01020130)1,2,1,0(222221211222+++⨯+⨯+⨯+⨯-=∙-=βββααβ)1,2,1,0(=)65,32,613,0()1,2,1,0(67)0,0,0,0()2,3,1,0()1,2,1,0()1210(2132)1(100)0,0,0,3()0003(02030)1(30)2,3,1,0(2222222222222231211333-=---=+++⨯+⨯+-⨯+⨯-+++⨯+⨯+⨯-+⨯--=∙-∙-=βββαβββααβ（2）标准化将正交向量组321,,βββ中的三个向量单位化．)0,0,0,1(0003)0,0,0,3(2222111=+++==ββε ，)1,2,1,0(611210)1,2,1,0(2222222=+++==ββε ，)5,4,13,0(2101)65()32()613(0)65,32,613,0(2222333-=++-+-==ββε．至此完成了向量{(3，0，0，0)，(0，1，2，1，)，(0，-1，3，2)}标准正交化，得到一个标准正交向量组{)0,0,0,1(，)61,62,61,0(，)2105,2104,21013,0(-}．。
线性方程组直接解法实验
实验一 线性方程组直接解法实验一、实验目的1.运用matlab 软件完成线性方程组的直接实验；2.通过实验,了解Doolittle 分解方法和列主元消去法解方程组的过程，并比较两种方法的优点。
二、实验题目分别用Doolittle 分解方法和列主元消去法解方程组123410-7018-3 2.09999962 5.9000015-15-1521021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x x . 输出A ，b ；Doolittle 分解方法的L 和U ；解向量x,det A ;列主元方法的行交换次序，解向量x,det A ；比较两种方法所得的结果。
三、实验原理1) Doolittle 分解方法的原理算法原理：应用高斯消去法解n 阶线性方程Ax b =经过1n -步消去后得出一个等价的上三角形方程组()()n n A x b =，对上三角形方程组用逐步回代就可以求出解来。
这个过程也可通过矩阵分解来实现。
将非奇异阵分解成一个下三角阵L 和上三角阵U 的乘积称为对矩阵A 的三角分解，又称LU 分解。
根据LU 分解,将Ax b =分解为Ly bUx y =⎧⎨=⎩形式,简化了求解问题。
程序框图：变量说明：ij a 为系数矩阵元素，i b 为常数矩阵系数，,ij ij l u 分别为下、上三角矩阵元素。
2)列主元消去法解方程组的原理算法原理：列选主元是当变换到第k步时，从k列的kk a及以下的各元素中选取绝对值a的位置上，然后再进行消元过程。
交换系数矩阵中最大的元素，通过行交换将其交换到kk的两行（包括常数项），相当于两个方程的位置交换了。
程序框图：Array变量说明：k表示消元到a为消元第k步时第k步，kk主对角线元素3)四、实验过程及结果1)Doolittle分解方法的输出结果----------计算实习题----------Page64 第1题用Doolittle分解方法解方程组A =10.0000 -7.0000 0 1.0000-3.0000 2.1000 6.0000 2.00005.0000 -1.0000 5.0000 -1.00002.0000 1.0000 0 2.0000b =8.00005.90005.00001.0000L =1.0e+006 *0.0000 0 0 0-0.0000 0.0000 0 00.0000 -2.5000 0.0000 00.0000 -2.4000 0.0000 0.0000 U =1.0e+007 *0.0000 -0.0000 0 0.00000 -0.0000 0.0000 0.00000 0 1.5000 0.57500 0 0 0.0000 X =-0.0000-1.00001.00001.0000det(A)值为-762.00009000----------输出完毕----------2)列主元消去法输出结果----------计算实习题----------Page64 第1题列主元消去法解方程组A =10.0000 -7.0000 0 1.0000-3.0000 2.1000 6.0000 2.00005.0000 -1.0000 5.0000 -1.00002.0000 1.0000 0 2.0000b =8.00005.90005.00001.0000X =0.0000-1.00001.00001.0000detA值为-762.00009000----------输出完毕----------五、实验分析1.运用LU分解法可以成批地解方程组,且速度快.若c先求LU=A3,再解(LU)x=b,则要重新计算,计算量增加;如果按照上述方法计算,能够减少运算次数,加快运算速度.3. ⑴无论当n=10、n=100、n=1000时,x1与x2的值都相等,且随着n的增大,变化的只是解的中间部分数字,头、前后几位数都没有变化.⑵高斯消去法应用于三对角方程组得到的就是所谓的“追赶法”.追赶法不需要对零元素计算，只有6n-5次乘除法计算量，求解速度快.且当系数矩阵对角占优时数值稳定，是解三对角方程组的优秀解法.⑶用LU分解法解此方程组速度慢.顺序高斯消去法实际上就是将方程组的系数矩阵分解成单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积.顺序高斯消去法的消元过程相当于LU分解过程和Ly=b的求解,回代过程则相当于解线性方程组Ux=y,故其求解速度慢.六、附原程序1)Doolittle分解方法原程序fprintf('----------计算实习题----------\n')fprintf('Page64 第1题用Doolittle分解方法解方程组\n')A=[10 -7 0 1 ; -3 2.099999 6 2 ;5 -1 5 -1 ; 2 1 0 2];b=[8;5.900001;5;1];n=length(A);U=zeros(n,n);L=eye(n,n);U(1,:)=A(1,:);L(2:n,1)=A(2:n,1)/U(1,1);for i=2:n;U(i,i:n)=A(i,i:n)-L(i,1:i-1)*U(1:i-1,i:n);L(i+1:n,i)=(A(i+1:n,i)-L(i+1:n,1:i-1)*U(1:i-1,i))/U(i,i); endY=zeros(n);Y(1)=b(1);for i=2:nY(i)=b(i)-L(i,1:i-1)*Y(1:i-1,1);endX=zeros(n,1);if det(U)==0;X=0;elseX(n)=Y(n)/U(n,n);for i=n-1:-1:1X(i)=(Y(i)-U(i,i+1:n)*X(i+1:n,1))/U(i,i);endendAbLUXfprintf('det(A)值为%9.8f\n',det(A))fprintf('----------输出完毕 ----------\n')2)列主元消去法原程序fprintf('----------计算实习题----------\n')fprintf('Page64 第1题列主元消去法解方程组\n')A=[10 -7 0 1 ; -3 2.099999 6 2 ;5 -1 5 -1 ; 2 1 0 2];b=[8;5.900001;5;1];C=[A b];n=length(A);D=zeros(n,n+1);l=zeros(n,1);for i=1:nD=C;k=min(find(C(i:n,i)==max(C(i:n,i))));C(i,i:n+1)=D(k+i-1,i:n+1);C(k+i-1,i:n+1)=D(i,i:n+1);l(i+1:n,1)=C(i+1:n,i)/C(i,i);C(i+1:n,i:n+1)= C(i+1:n,i:n+1)- l(i+1:n,1)*C(i,i:n+1); endX=zeros(n,1);X(n)=C(n,n+1)/C(n,n);for i=n-1:-1:1X(i)=(C(i,n+1)-C(i,i+1:n)*X(i+1:n,1))/C(i,i); endAbXfprintf('detA值为%9.8f\n',det(A))fprintf('----------输出完毕----------\n')。
向量组的正交化ppt课件
(a m , bm1 ) b m1 ( b m1 , b m1 )
另外：①很明显，向量组a1,a2,,am可由向量组b1,b2,,bm线性 表示.
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②向量组b1,b2,,bm也可由向量组a1,a2,,am线性表示，因为：
b1 a1 (a 2 , b1 ) (a 2 , b1 ) b2 a 2 b1 a 2 a1 ( b1 , b1 ) ( b1 , b1 ) (a3 , b1 ) (a3 , b 2 ) b3 a 3 b1 b2 ( b1 , b1 ) (b2 , b2 )
(a3 , b1 ) (a3 , b 2 ) b3 a 3 b1 b2 ( b1 , b1 ) (b2 , b2 )
(a m , b1 ) (a m , b2 ) bm a m b1 b2 ( b1 , b1 ) (b2 , b2 )
则向量组b1,b2,,bm是正交向量组.
由此可知，若向量组a1,a2,,am为AX=o的一个基础解系，则向
量组b1,b2,,bm也为AX=o的一个基础解系.
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例1．已知向量组a1(1,1,1,1)T, a2(3,3,-1,-1)T, a3(-2, 0, 6, 8)T,
线性无关，试将它们正交化、标准化. 解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令
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(a3 , b1 ) (a3 , b 2 ) (a 2 , b1 ) a3 a1 [a 2 a1 ] ( b1 , b1 ) (b2 , b2 ) ( b1 , b1 ) (a m , b1 ) (a m , b 2 ) (a 2 , b1 ) bm a m a1 [a 2 a1 ] ( b1 , b1 ) (b2 , b2 ) ( b1 , b1 )
线性代数schmidt正交化方程组求解
c1n c2n … crn 0 0 … 1
2 = ,
nr = .
(1) 若r = n, 则Ax = 没有基础解系; (2) 若r < n, 则Ax = 有基础解系, 且 dimK(A) = n – r.
1,
s = s
<s, 1>
<1, 1>
1 …
<s, s1>
<s1, s1>
s1
再将1, 2, …, s单位化得:
1 =
1
||1||
,
2 =
2
||2||
, …,
s =
s
||s||
.
第四章 n维向量
§4.4 向量的内积
第四章 n维向量
另外，从上述构造可总结： 设1, 2, …, s线性无关(s2), 则存 在一个正交向量组1, 2, …, s使得 1, 2, …, t与1, 2, …, t等价 (1 t s).
初等行变换
3 2 1 1 -2 0 -1 0 -4 1 11 0 0 -4 3 0 9
初等行变换
0 0 -19/2 4 71/2 0 1 0 4 -1 -11 0 0 1 -3/4 0 -9/4
第四章 n维向量
第4节 向量的内积
二. 正交向量组和Schmidt正交化方法
正交向量组
标准正交向量组
正交基
标准正交基
1. 概念
第四章 n维向量
§4.4 向量的内积
发现的结论 设1, 2, …, s是标准正交向量组, 且 = k11+k22+…+kss, 则ki = <, i>, i = 1, 2, …, s.
解线性方程组实验
实验2 解线性方程组实验实验类型：●验证性实验 ○综合性实验 ○设计性实验实验目的：进一步熟练掌握高斯消去法解线性方程组的算法并编写程序，提高编程能力和解算非线性方程问题的实践技能。
实验内容：用高斯消去法解线性方程组：123412341234123412141320432842212031326x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪-+++=⎩ 实验原理 高斯消去法上三角线性方程组的回代解法实验步骤1 要求上机实验前先编写出程序代码2 编辑录入程序3 调试程序并记录调试过程中出现的问题及修改程序的过程4 经反复调试后，运行程序并验证程序运行是否正确。
5 记录运行时的输入和输出。
实验总结实验报告：根据实验情况和结果撰写并递交实验报告。
参考程序（1） 高斯消元法 a) 运行结果b ）function X=uptrbk(A,B) [N N]=size(A); X=zeros(N,1); C=zeros(1,N+1); Aug=[A B];for p=1:N-1[Y,j]=max(abs(Aug(p:N,p)));C=Aug(p,:);Aug(p,:)=Aug(j+p-1,:);Aug(j+p-1.:)=C;if Aug(p,p)==0'A was singular.No unique solution'breakendfor k=p+1:Nm=Aug(k,p)/Aug(p,p);Aug(k,p:N+1)=Aug(k,p:N+1)-m*Aug(p,p:N+1); endendX=backsub(Aug(1:N,1:N),Aug(1:N,N+1));function X=backsub(A,B)n=length(B)X=zeros(n,1);X(n)=B(n)/A(n,n);for k=n-1:-1:1X(k)=(B(k)-A(k,k+1:n)*X(k+1:n))/A(k,k);end（2）上三角线性方程组的回代解法a)运行结果)b）程序代码function X=uptrbk(A,B)[N,N]=size(A);X=zeros(N,1);C=zeros(1,N+1);Aug=[A B];for p=1:N-1[Y,j]=max(abs(Aug(p:N,p)));C=Aug(p,:);Aug(p,:)=Aug(j+p-1,:);Aug(j+p-1,:)=C;if Aug(p,p)==0'A was singular. No unique solution'breakendfor k=p+1:Nm=Aug(k,p)/Aug(p,p);Aug(k,p:N+1)=Aug(k,p:N+1)-m*Aug(p,p:N+1); endendX=backsub(Aug(1:N,1:N),Aug(1:N,N+1));function X=backsub(A,B)n=length(B);X=zeros(n,1);X(n)=B(n)/A(n,n);for k=n-1:-1:1X(k)=(B(k)-A(k,k+1:n)*X(k+1:n))/A(k,k);end。
解线性方程组实验
实验报告专用纸实验项目名称解线性方程组的直接法课程名称数值方法教师评语及成绩：实验成绩：教师签字：（请按照实验报告的有关要求书写。
一般必须包括：1、实验目的；2、实验内容；3、实验步骤与方法；4、实验数据与程序清单；5、出现的问题与解决方法；6、实验结果、结果分析与体会等内容）1、实验目的（1）掌握Gauss消元法及Gauss列主元消去法，能用这两种方法求解线性方程组；（2）掌握平方根法与追赶法；（3）掌握相应数值算法的程序编写；（4）理解方程组的性态、条件数及误差分析。
2、实验内容1.应用高斯消元法和高斯列主元素法解线性方程组Ax=b。
2.解线性方程组Ax=b的LU分解法。
用熟悉的算法语言编写程序，用高斯消去法和高斯列主元消去法求解方程组，输出Ax=b 中矩阵A、b、解向量x及detA。
3、实验步骤和方法（1）要求上机实验前先编写出程序代码；（2）编辑录入程序；（3）调试程序并记录调试过程中出现的问题及修改程序的过程；（4）经反复调试后，运行程序并验证程序运行是否正确；（5）记录运行时的输入和输出；（6）对程序的运行结果进行分析；（7）根据实验情况和结果撰写并提交实验报告。
4、实验原理（1）实验结果图1Gauss消元法图2Gauss消元法近似为0（2）结果分析在Gauss消元法中，可以看到3的值是一个非常接近于0的数，如果将消元后的系数矩阵打印出来，可以看到消元后的系数矩阵并不是一个真正的上三角矩阵，下三角部分有几处是绝对值极小的值，这是由于计算机的浮点计算造成的，浮点在计算机中本身就不是一个精确的数，在消元的过程中，一些浮点运算有误差，最后得到的是近似值而不是0。
线性方程组的直接解法实验报告
本科实验报告
课程名称：数值计算方法B
实验项目：线性方程组的直接解法
最小二乘拟合多项式
实验地点：ZSA401
专业班级：学号：201000
学生姓名：
指导教师：李志
2012年4月13日
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n+1;j++)
printf("%lf\t",A[i][j]);
printf("\n");
}
double answer[N];
Gauss_eliminate(n,answer);
/*输出解*/
for(i=1;i<=n;i++)
printf("a[%d]=%lf\t",i-1,answer[i]);
getchar();
getchar();
}
四、实验结果与讨论、心得
讨论、心得:
刚开始调试代码的时候有时候就是很小的错误导致整个程序不能运行，需要我们一步一步慢慢来，经过无数次的检查程序错误的原因，以及在老师的帮助下，完成了这次实验。
这段时间的实验课提高了我的分析问题，解决问题的能力，特别提高了对一个程序的整。
《数学实验》实验报告——解线性方程组
班级
****
学号
****
姓名
****
成绩
试验内容
解线性方程组
试验
类别
自选试验
试验
时间
试验问题：
1．比较用逆矩阵法、除法、克拉默法则解方程Ax=b的用时和误差
2．求解方程组最多零解
试验目的：
1.了解MATLAB在实际问题中的应用
2.学会利用MATLAB做图并求解实际问题
问题分析（可含问题的背景、相关知识、数学建模与求解的方法等）：
2、
function C=solution(A)
[l,u]=lu(A);
M1=[];M2=[];e=[];f=[];C=[];
r=rank(A);rf=size(A);n=rf(1,2);
k=1;
for i=1:r
while k<=n
if u(i,k)~=0
e=[e,k];
M1=[M1,u(1:r,k)];
k=k+1;
break;
else
f=[f,k];
M2=[M2,-u(1:r,k)];
end
k=k+1;
end
end
M2=[M2,-u(1:r,k:n)];
f=[f,k:n];
for i=1:(n-r)
y=zeros((n-r),1);
y(i)=1;
x=M1\(M2*y);
c=zeros(n,1);
for j=1:r
c(e(j))=x(j);
end
for j=1:(n-r)
c(f(j))=y(j);
end
C=[C,c];
end
结果分析：
线性方程组及向量的正交化
实验十 线性方程组及向量的正交化1、 已知1111101131133213A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，计算A 的秩，并计算0AX =的基础解系。
In[ ]:= 1111101131133213⎛⎫ ⎪-= ⎪- ⎪⎝⎭AOut[ ]= {{1,1,1,1},{1,0,-1,1},{3,1,-1,3},{3,2,1,3}}In[ ]:= MatrixForm[A]Out[ ]//MatrixForm=1111101131133213⎛⎫⎪- ⎪- ⎪⎝⎭In[ ]:= RowReduce[A]//MatrixFormOut[ ]//MatrixForm=1011012000000000-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(* 从中可以看出,矩阵A 的秩是2 *)In[ ]:= NullSpace[A]Out[ ]= {{-1,0,0,1},{1,-2,1,0}}In[ ]:= MatrixForm[%]Out[ ]= ()10011210--(*A 的两个线性无关解 *)2、解方程组1234123412343133445986xx x x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨+--=⎪⎩In[ ]:= a={{1,-3,-1,1},{3,-1,-3,4},{1,5,-9,-8}}b={1,4,6}LinearSolve[a,b]Out[ ]= {{1,-3,-1,1},{3,-1,-3,4},{1,5,-9,-8}}Out[ ]= {1,4,6} {711,,,0882-}(* 方程组的一个特解 *)In[ ]:= NullSpace[a]Out[ ]= {{-21,-1,-10,8}}(* 基础解系只有一个解向量 *)In[ ]:= x=c %[[1]]+%% Out[ ]= {71121c,c,10c,8c 882----} (* c 为任意实数 *)3、求下列矩阵的秩（1）211113213414352A -⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ In[ ]:= 211113213414352-⎛⎫ ⎪=-- ⎪--⎝⎭A Out[ ]= {{2,1,-1,1,1},{3,-2,1,-3,4},{1,4,-3,5,-2}}In[ ]:= RowReduce[A]//MatrixFormOut[ ]//MatrixForm= 116107775950177700000⎛⎫-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(* 矩阵A 的秩为 2 *)（2）113413114315981B --⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ In[ ]:= 113413114315981--⎛⎫ ⎪=- ⎪--⎝⎭B Out[ ]= {{1,1,-3,-4,1},{3,-1,1,4,3},{1,5,-9,-8,1}}In[ ]:= RowReduce[B]//MatrixFormOut[ ]//MatrixForm= 31001270100200130⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(* 矩阵B 的秩为 3 *)4、解下列线性方程组（1）123412111 12115 12155xxxx⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦方法一:直接利用Solve函数In[ ]:= Solve[{x1-2x2+x3+x4==1,x1-2x2+x3-x4==-5,x1-2x2+x3+5x4==5}, {x1,x2,x3,x4}]Out[ ]= { }(*此方程组无解*)方法二:用LinearSolve ,NullSpace函数In[ ]:=121112111215-⎛⎫⎪=--⎪-⎝⎭ab={1,-5,5}LinearSolve[a,b]NullSpace[a]Out[ ]= {{1,-2,1,1},{1,-2,1,-1},{1,-2,1,5}}Out[ ]= {1,-5,5}LinearSolve::nosol: Linear equation encountered which has no solution. More…LinearSolve[{{1,-2,1,1},{1,-2,1,-1},{1,-2,1,5}},{1,-5,5}]Out[ ]= {{-1,0,1,0},{2,1,0,0}}(*原方程没有特解*)(*从而原方程无解*)（2）123412122 41213 25410 11111/3xxxx---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦In[ ]:=1212412125411111---⎛⎫⎪= ⎪-⎪⎝⎭ab={2,3,0,1/3}LinearSolve[a,b]NullSpace[a]Out[ ]= {{1,-2,-1,-2},{4,1,2,1},{2,5,4,-1},{1,1,1,1}}Out[ ]= {2,3,0,13}Out[ ]=871,,0, 9186⎧⎫--⎨⎬⎩⎭Out[ ]= {{-1,-2,3,0}} In[ ]:= x=c %[[1]]+%%Out[ ]= 871c,2c,3c,9186⎧⎫----⎨⎬⎩⎭ 另解: In[ ]:= Solve[{x1-2x2-x3-2x4==2,4x1+x2+2x3+x4==3,2x1+5x2+4x3-x4==0,x1+x2+x3+x4==1/3},{x1,x2,x3,x4}] Solve::svars: Equations may not give solutions for all "solve" variables.More.. Out[ ]= 8x372x31x1,x2,x4931836⎧⎫⎧⎫->-->--->-⎨⎨⎬⎬⎩⎭⎩⎭ (* x3为一个自由未知量,求出了解 *)5、已知411419471,574678416A B --⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦，验证：A B A B ⨯=⨯。
向量空间的正交化
定理2 定理
A为正交矩阵的充要条件是 的行（列）向 为正交矩阵的充要条件是A的行 为正交矩阵的充要条件是 的行（
量都是单位向量且两两正交。 量都是单位向量且两两正交。 证明：令 A = (α1 , α 2 ,..., α n ) ，则 证明：
β1 = α1
(α 3 , β1 ) (α 3 , β 2 ) β3 = α3 − β1 − β2 ( β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
k −1
(α 2 , β1 ) β2 = α2 − β1 ( β1 , β1 )
(α k , β i ) βk = α k − ∑ β i , k = 2,3, ⋯, r i =1 ( β i , β i )
中的一组标准正交基， 是 R 中的一组标准正交基，而
2
R 中的自然基
n
e1 = (1,0,⋯ ,0) , e2 = (0,1, ⋯,0) , ⋯, en = (0,0, ⋯ ,1)
也是标准正交基。 也是标准正交基。 设
三、Schmidt正交化方法 正交化方法
α1 , α 2 , ⋯ , α r
(r ≤ n) 是 R n 空间中的线性无关
定理1 定理1 若正交向量组
α1 , α 2 , ⋯, α r 中不含零向量，则 中不含零向量，
α1 , α 2 ,⋯ , α r 线性无关。 线性无关。
证明： 对任意常数 ki , 设 证明：
∑k α
i =1 i
r
i
= 0，两边用 α j
作内积， 作内积，因为 (α i , α j ) = 0 , i ≠ j ，所以 r r 0 = (0, α j ) = ( ∑ kiα i , α j ) = ∑ ki (α i , α j ) = kj (αj ,αj ) 又因为 α j ≠ 0 , 所以 (α i , α j ) ≠ 0 ,
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实验十 线性方程组及向量的正交化1、 已知1111101131133213A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，计算A 的秩，并计算0AX =的基础解系。
In[ ]:= 1111101131133213⎛⎫ ⎪-= ⎪- ⎪⎝⎭A Out[ ]= {{1,1,1,1},{1,0,-1,1},{3,1,-1,3},{3,2,1,3}}In[ ]:= MatrixForm[A]Out[ ]//MatrixForm=1111101131133213⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭In[ ]:= RowReduce[A]//MatrixFormOut[ ]//MatrixForm=1011012000000000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(* 从中可以看出,矩阵A 的秩是2 *)In[ ]:= NullSpace[A]Out[ ]= {{-1,0,0,1},{1,-2,1,0}}In[ ]:= MatrixForm[%]Out[ ]= ()10011210-- (*A 的两个线性无关解 *)2、解方程组1234123412343133445986x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨+--=⎪⎩In[ ]:= a={{1,-3,-1,1},{3,-1,-3,4},{1,5,-9,-8}}b={1,4,6}LinearSolve[a,b]Out[ ]= {{1,-3,-1,1},{3,-1,-3,4},{1,5,-9,-8}}Out[ ]= {1,4,6} {711,,,0882-}(* 方程组的一个特解 *)In[ ]:= NullSpace[a]Out[ ]= {{-21,-1,-10,8}}(* 基础解系只有一个解向量 *)In[ ]:= x=c %[[1]]+%% Out[ ]= {71121c,c,10c,8c 882----} (* c 为任意实数 *)3、求下列矩阵的秩（1）211113213414352A -⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦In[ ]:= 211113213414352-⎛⎫ ⎪=-- ⎪--⎝⎭A Out[ ]= {{2,1,-1,1,1},{3,-2,1,-3,4},{1,4,-3,5,-2}}In[ ]:= RowReduce[A]//MatrixFormOut[ ]//MatrixForm= 116107775950177700000⎛⎫-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(* 矩阵A 的秩为 2 *)（2）113413114315981B --⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦In[ ]:= 113413114315981--⎛⎫ ⎪=- ⎪--⎝⎭B Out[ ]= {{1,1,-3,-4,1},{3,-1,1,4,3},{1,5,-9,-8,1}}In[ ]:= RowReduce[B]//MatrixFormOut[ ]//MatrixForm= 31001270100200130⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(* 矩阵B 的秩为 3 *)4、解下列线性方程组（1）1234121111211512155x x x x ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦方法一:直接利用Solve 函数In[ ]:= Solve[{x1-2x2+x3+x4==1,x1-2x2+x3-x4==-5,x1-2x2+x3+5x4==5},{x1,x2,x3,x4}]Out[ ]= { }(*此方程组无解*)方法二:用LinearSolve ,NullSpace 函数In[ ]:= 121112111215-⎛⎫ ⎪=-- ⎪-⎝⎭a b={1,-5,5}LinearSolve[a,b]NullSpace[a]Out[ ]= {{1,-2,1,1},{1,-2,1,-1},{1,-2,1,5}}Out[ ]= {1,-5,5}LinearSolve::nosol: Linear equation encountered which has no solution. More …LinearSolve[{{1,-2,1,1},{1,-2,1,-1},{1,-2,1,5}},{1,-5,5}]Out[ ]= {{-1,0,1,0},{2,1,0,0}}(*原方程没有特解*)(*从而原方程无解*)（2）123412122 41213 25410 11111/3xxxx---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦In[ ]:=1212412125411111---⎛⎫⎪= ⎪-⎪⎝⎭ab={2,3,0,1/3}LinearSolve[a,b]NullSpace[a]Out[ ]= {{1,-2,-1,-2},{4,1,2,1},{2,5,4,-1},{1,1,1,1}}Out[ ]= {2,3,0,13}Out[ ]=871,,0, 9186⎧⎫--⎨⎬⎩⎭Out[ ]= {{-1,-2,3,0}} In[ ]:= x=c %[[1]]+%%Out[ ]=871c,2c,3c, 9186⎧⎫----⎨⎬⎩⎭另解: In[ ]:= Solve[{x1-2x2-x3-2x4==2,4x1+x2+2x3+x4==3,2x1+5x2+4x3-x4==0, x1+x2+x3+x4==1/3},{x1,x2,x3,x4}]Solve::svars: Equations may not give solutions for all "solve" variables.More..Out[ ]=8x372x31x1,x2,x4931836⎧⎫⎧⎫->-->--->-⎨⎨⎬⎬⎩⎭⎩⎭(* x3为一个自由未知量,求出了解 *)5、已知411419471,574678416A B--⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦，验证：A B A B⨯=⨯。
In[ ]:=411471678-⎛⎫⎪=--⎪-⎝⎭A419574416-⎛⎫ ⎪= ⎪--⎝⎭B Out[ ]= {{4,-1,1},{-4,7,-1},{6,-7,8}}Out[ ]= {{4,1,-9},{5,7,4},{-4,-1,6}}In[ ]:= Det[A.B]Det[A]×Det[B]Out[ ]= -10764Out[ ]= -107646、利用施密特正交化方法进行单位正交化，并验证（1） a={1，-2，2}，b=(-1，0，1)，c={5，-3，-7}In[ ]:= <<LinearAlgebra`Orthogonalization`In[ ]:= a={1,-2,2}b={-1,0,1}c={5,-3,-7}GramSchmidt[{a,b,c}]Out[ ]= {1,-2,2}Out[ ]= {-1,0,1}Out[ ]= {5,-3,-7}Out[5]= 122,,,,333⎧⎫⎧⎧⎧⎫-⎨⎨⎬⎨⎨⎩⎭⎩⎩⎩⎭ In[6]:= a1=%5[[1]] (*上面结果的第一个分量*)a2=%5[[2]]a3=%5[[3]] Out[ ]= 122,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭Out[ ]= ⎧⎨⎩Out[ ]= ⎧⎨⎩ In[ ]:= Length[a1] Out[ ]= 3 (*说明向量a1是三维的*)In[ ]:= a1.a1 Out[ ]= 1 (*单位向量*)In[ ]:= a2.a2 Out[ ]= 1In[ ]:= a3.a3 Out[ ]= 1In[ ]:= a1.a2 Out[ ]= 0 (*正交向量*)In[ ]:= a2.a3 Out[ ]= 0In[ ]:= a3.a1 Out[ ]= 0In[ ]:= t={a1.a1,a2.a2,a3.a3,a1.a2,a2.a3,a3.a1}(*弄一个表,简洁*)Out[ ]= {1,1,1,0,0,0}（2）a={1，1，1，1}，b={3，3，-1，-1}，c={-2，0，6，8} In[ ]:= a={1,1,1,1}b={3,3,-1,-1}c={-2,0,6,8}GramSchmidt[{a,b,c}]Out[ ]= {1,1,1,1}Out[ ]= {3,3,-1,-1}Out[ ]= {-2,0,6,8}Out[15]=111111111111,,,,,,,,,,,222222222222⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫----⎨⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭In[16]:= aa=%15[[1]] (*上面第15次输出的第一个分量*)ab=%15[[2]]ac=%15[[3]]t={aa.aa,ab.ab,ac.ac,aa.ab,ab.ac,ac.aa}Out[ ]=1111,,, 2222⎧⎫⎨⎬⎩⎭Out[ ]=1111,,, 2222⎧⎫--⎨⎬⎩⎭Out[ ]=1111,,,2222⎧⎫--⎨⎬⎩⎭Out[ ]= {1,1,1,0,0,0}7、求向量a={1，4，7}在b={3，5，6}上的投影，并求二者间的夹角。
In[ ]:= a={1,4,7}b={3,5,6}Projection[a,b]Out[ ]= {1,4,7}Out[ ]= {3,5,6}Out[ ]=396539,, 14147⎧⎫⎨⎬⎩⎭In[ ]:= l3[t_]:=Sqrt[t[[1]]^2+t[[2]]^2+t[[3]]^2]In[ ]:= l4[t_]:=Sqrt[t[[1]]^2+t[[2]]^2+t[[3]]^2+t[[4]]^2](*定义三,四维向量的长度*) (*此法较繁,实际上,cosα=*)长度*)In[ ]:= a Out[ ]= {1,4,7}In[ ]:= a.a Out[ ]= 66In[ ]:= ?l3Global`l3In[ ]:= ArcCos[a.b/(l3[a] l3[b])] Out[ ]=In[ ]:= Simplify[%] Out[ ]=In[ ]:= N[%] Out[ ]= 0.296736IN[ ]:= %*180/Pi Out[ ]= 17.00178、构造一个规范的1-30度的七位正弦、余弦函数表。
In[ ]:= tsc=Table[{t,PaddedForm[N[Sin[t Degree]],{11,7}],PaddedForm[N[Cos[t Degree]],{11,7}]},{t,1,5}]Out[ ]= {{1,0.0174524,0.9998477},{2, 0.0348995,0.9993908},{3,0.0523360,0.9986295},{4,0.0697565,0.9975641},{5,0.0871557,0.9961947}}In[ ]:= TableForm[tsc,TableAlignments→Center,TableHeadings→{None,{"角度"," 正弦"," 余弦"}}]Out[ ]= //TableForm=角度正弦余弦1 0.0174524 0.99984772 0.0348995 0.99939083 0.0523360 0.99862954 0.0697565 0.99756415 0.0871557 0.99619479、求出以下集合的交并差及各自的所有的子集：a={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，b={2，4，6，8}，c={1，3，5}。