大学物理 机械波及波的形式波长 波线及波面 波速

（本章研究对象）
第七章 机械波
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结 论 (1) “ 上游”的质元依次带动“下游”的质元振 动。 (2) 质元并未“随波逐流”，波的传播不是媒 质质元的传播，是振动的传播。 (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于 “下游”某处出现，波动是振动状态 —— 振 动相位的传播。 同相点----质元的振动状态相同。
第七章 机械波
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例4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播.图 （a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方程。
解：t=0时此质点的相位
0.40 0.20
5.0 t/s
t=5s时质点第一次回到平衡 位置所以
t=5 t 0.2 0.4 o y/m t=0
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x=1m处质点的运动方程为
第七章 机械波
把u=1.0m/s，x=1.0m代入波动方程一般形式
并与x=1.0m处的运动方程作比较，得 波动方程为
第七章 机械波
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例5 已知一沿X轴负向传播的平面简谐波在t=0时的 波形曲线如图所示。试求该波的波函数
解 确定坐标原点的 振动初相0
由图知：t=0时，x=0 处的质点位于A/2处 且向位移正方向运动
e. 稀薄大气中的纵波波速为
ul
RT
M
p

—— 气体摩尔热容比
—— M R ——
气体摩尔质量 气体摩尔常数
7.2 平面简谐波
简谐波（harmonic waves): 波源的振动是简谐
振动，介质中的质元都作简谐振动。
平面简谐波（plane harmonic waves）
波面是平面的简谐波。
等幅平面简谐波 ：介质不吸收波动的能量，介质中
的质元都作振幅相等的简谐振动 波线
平面简谐波
第七章 机械波
波面
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一、（等幅）平面简谐波的波函数
波函数:能够描述波动中所有质点运动状态的函数 y=y(x,t) 右行波:沿x轴正向传播 介质中所有质点均作同频率、 左行波:沿x轴负向传播 同振动方向、同振幅的简谐振动。
y
o
第七章 机械波
x
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3. t 与 x 都发生变化
y y
O
u
t源自文库
时刻
t t 时刻
x
x x
波在t时刻x处的相位经t时间后传到x+x处， 传播的距离是u t, x ut
总之：当t, x都发生变化时，波函数就描述了波 的传播过程。波函数就是普适性的振动方程.
第七章 机械波
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三、有关波函数的应用
波传播方向上相邻两振动状态完全相同的质 点间的距离（一完整波的长度）.波源振动一个周 期波动向前推进的距离。或振动状态在一个周期 内传播的距离 A O A
y
u


第七章 机械波
x
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横波：相邻 波峰——波峰
波谷—— 波谷

纵波：相邻 波疏——波疏
波密——波密
第七章 机械波
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3 周期 T 波传过一波长所需的时间，或一完整波通过 波线上某点所需的时间.在数值上等于波源振动 的周期。 4 频率
Y A A/2
0 -A
u=100m/s
1
X(m)
由图知：t=0时，x=1m 处的质点位于平衡位置 处且向位移负方向运动
第七章 机械波
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0
T /u 0.024s 2/T 250/3(rad/s)
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u 250π x π A cos[ (t ) ](SI) 3 100 3
ut
T

——
Y ——
T —— 张力
线密度
b. 均匀细棒中，纵波的波速为：
ul
Y
固体棒的杨氏模量 固体棒的密度

——
c. 固体媒质中传播的横波速率
ut
G
G——
固体的切变弹性模量
固体密度

——
d. 液体和气体只能传播纵波，波速
ul
B
B ——
流体的容变弹性模量 流体的密度

——
π , 2.4m, u 100(m/s) 3
第七章 机械波
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四、平面波的波动微分方程
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u 2 y x 2 A cos[ (t ) 0 ] 2 t u 2 y 1 2 y 2 2 2 2 2 y x x u t A 2 cos[ (t ) 0 ] 2 x u u 说明 2 y (1)上式适用于一切沿x方向传播平面波， 2 系数倒数的平 t 方根是传播速度；
右行波
这就是平面简谐波的波函数，或称为波动方程 P点在t时刻的位移等于原点处质点 在
第七章 机械波
时刻的位移
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左行波的波函数：
p点的相位超前于O点相位：
所以
p点的振动方程，也就是左行波的波函数为：
第七章 机械波
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波函数的几种常用形式
第七章 机械波
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二
波函数的物理含义
2π
2 πx y A cos t
第七章 机械波
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2）利用波函数研究质点的运动
任意 x 处质点的运动方程为：
该质点的速度和加速度分别为：
该质点的振动初相位为：
第七章 机械波
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2、建立平面简谐波的波函数 已知质元的振动情况，确定波函数。 难点是确定坐标原点的初相 例3 已知一沿X轴正向传播的平面简谐波的振幅A、 周期T、波速u。t=0时，x=0处的质点位于-A/2处且向 位移的负方向运动。试求该波的波函数。 解 确定坐标原点的振动初相0 由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处 且向位移的负方向运动，知
Y
O
P
x
X
平面简谐波函数的一般形式应为：
y A cos t ( x )
第七章 机械波
关键问题：确定位于x 处的质点的振动初相(x)。
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波动是振动 相位的传播
u
a
沿波的传播方向 , 各质元 的振动相位依次落后。
传播方向
b
L
x
沿着波动传播的方向上相距L的两个质元间的 振动相位差如何？ 图中b点比a点的相位落后
第七章 机械波
1
第第 十 章 七 章
机械动 波 波
第七章 机械波
2
振动在空间的传播过程叫做波动
机械振动在弹性介质中的传播称为机械波。
第七章 机械波
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振动和波动的关系： 波动——振动的传播 振动——波动的成因 波动的种类： 机械波、电磁波、物质波
第七章 机械波
4
重点内容
1、波产生条件与传播的物理机制 振动相位的传播机理,是正确把握波动本质的关键。 2、平面简谐波的波函数 1）如何建立波函数；2）如何应用波函数。
平面简谐波的波函数
(2) 它广泛适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程；
(3) 若物理量是在三维空间中以波 的形式传播，波动方程为
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x y z u t
复
习
第七章 机械波
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作业
• 大作业： • 预习7.5波的干涉
第七章 机械波
第七章 机械波
6
第七章 机械波
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二 横波与纵波 1 横波
特点： 波传播方向上各点的振动方 向与波传播方向垂直 (峰或谷的移动)
第七章 机械波
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2 纵波（又称疏密波） 纵波
特点：质点的振动方向与波传播方向一致
(疏或密状态的移动)
第七章 机械波
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3 复杂波 例如：地震波 特点：复杂波可分解为横波和纵波的合成 简谐波 特点：波源及介质中各点均作简谐振动
分类（1）平面波 （2）球面波
第七章 机械波
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四 波长 周期和频率 波速
1 波速
u
波在介质中传播的速度 例如，声波在空气中 340 m s 1 水 中 1 500 m s 1
1
钢铁中 5 000 m s
决定于介质的弹性（弹性模量）和惯 性（密度）
第七章 机械波
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2 波长
a点的振动传到b点需时间：
在这段时间内a点的振动相位增加量（即旋转矢量 又转过的角度）为：
第七章 机械波
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沿波线上相距为一个波长的两点，振动的 相位差为2。
设原点振动表达式为：
第七章 机械波
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为坐标原点O点在t=0时刻的振动相位,设为已知. P点与O点的相位差为：
P点的振动 初相位： 所以，p 点的振动方程为：
第七章 机械波
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三、波面和波线
波面 在波传播过程中，振动相位相同的 点联结成的面。 波线 沿波的传播方向的直线。 波前 在某一时刻，波传播到的最前面的波面。
波面
波线
波线
波线 波 面 球面波
第七章 机械波
波面
柱面波
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性质
（1）同一波阵面上各点振动状态相同. （2）波阵面的推进即为波的传播. （3）各向同性介质中，波线垂直于波阵面.
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1、已知波函数—即 均为已知.
1) 从波函数表达式中求: 利用比较法:将所给的波函数化为标准形 式,再与标准式比较,得到所求.
第七章 机械波
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例1
已知某一简谐波的波函数为：
求该波的波长、波速、周期、和坐标原点的振动初相 解 将原式变形为标准形式： 立即可得： y( x , t )
x A cos[ ( t ) 0 ] u
1 x一定，t 变化 令

x
y
则 y A cost
O
t
表示 x点处质点的振动方程（ y — t 的关系）
y ( x, t ) y ( x, t T ) （波具有时间的周期性）
第七章 机械波
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波线上各点的简谐运动图
第七章 机械波
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2πx 2 t 一定 x 变化 y A cos t 令 t C（定值） 2πx 则 y A cos 该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 即 t 时刻的波形（y — x的关系）

T
u
单位时间内通过与波传播方向垂直的平面的 完整波形数。在数值上等于波源振动的频率。
1 T
第七章 机械波
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u
四个物理量的联系
1 T
注意
u

T

u Tu
周期或频率只决定于波源的振动 波速主要决定于介质的性质
第七章 机械波
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说明
(1) 波长反映了波的空间周期性。周期表征了波的时间周期性； (2) 波的频率 与媒质的性质无关； (3) 波速u 大小主要决定于媒质的性质。 a. 拉紧的绳子或弦线中横波的波速为
3、波的叠加与干涉 为波动光学的干涉和衍射打下基础。
第七章 机械波
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7.1 机械波的产生和传播 一 机械波的产生
1 波源
能够产生机械振动的任何物体。 由弹性力相互作用的连续介质。
2 弹性介质
注意
波源的振动通过弹性介质中的弹性力，在介质中 传播开去，从而形成机械波。波动是振动状态的 传播，是能量的传播，而不是质元的传播。