正弦定理、余弦定理单元测试及答案

正弦定理、余弦定理

一、选择题

1．在△ABC 中，已知,30,10,25︒===A c a 则B=

（ ）

（A ）105° （B ）60°

（C ）15°

（D ）105°或15°

2．在△ABC 中，已知a=6，b=4，Ｃ=120°，则sinB 的值是

（ ）

（A ）

7

21 （B ）

19

57 （C ）

383 （D ）19

57- 3．在△ABC 中，有a=2b ，且Ｃ=30°，则这个三角形一定是

（ ）

（A ）直角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）锐角三角形

（D ）以上都有可能

4．△ABC 中，已知b=30，c=15，C=26°，则此三角形的解的情况是

（ ）

（A ）一解 （B ）二解

（C ）无解

（D ）无法确定

5．在△ABC 中，中，若2

cos

sin sin 2

A

C B =，则△ABC 是 （ ）

（A ）等边三角形 （B ）等腰三角形

（C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形

6．在△ABC 中，已知13

5

cos ,53sin ==

B A ，则

C cos 等于 （ ）

（A ）

6556 （B ）

6516 （C ）6516或65

56 （D ）

65

33 7．直角△ABC 的斜边AB=2，内切圆的半径为r ，则r 的最大值是

（ ）

（A ）2

（B ）1

（C ）

2

2

（D ）12-

8．若△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且,)()(2

22222c x a c b x b x f +-++=则f （x ）的图

象是

（ ）

（A ）在x 轴的上方 （B ）在x 轴的下方 （C ）与x 轴相切 （D ）与x 轴交于两点

二、填空题

9．在△ABC 中，∠C=60°，c=22，周长为),321(2++则∠A= ．

10．三角形中有∠A=60°，b ∶c=8∶5，这个三角形内切圆的面积为12π，则这个三角形

面积为 ．

11．平行四边形ABCD 中，∠B=120°，AB=6，BC=4，则两条对角线的长分别是 ． 12．在60°角内有一点P ，到两边的距离分别为1cm 和2cm ，则P 到角顶点的距离为 ．

三、解答题

13．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，A ＜B ＜C ，B=60°，且满足

).13(2

1

)2cos 1)(2cos 1(-=

++C A 求：（1）A 、B 、C 的大小； （2）c

b

a 2+的值．

14．在△ABC 中，已知,27

7cos 2cos ,251sin 2sin =--=-B A B A 求)tan(C A -的值．

15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边．

（Ⅰ）若△ABC 面积为

,60,2,2

3

︒==A c 求a ，b 的值； （Ⅱ）若acosa=bcosB ，试判断△ABC 的形状．

单元十二 正弦定理、余弦定理

一、选择题

1．D 2．B 3．B 4．B 5．B 6．B 7．D 8．A 6．提示：,13

12sin ,135cos ,53sin =∴==

B B A 则A B A B >⇒>sin sin 则A 一定是锐角，从而65

16cos =C

7．提示：在Rt △ABC 中，有题意22cot 2cot =+B r A r )

2

sin(2sin 2sin

22cot 2cot 2B

A B

A B A r +=

+=∴ 又,90︒=+B A ]2cos 2[cos 22sin 2sin 222

2

2sin

2sin 2B A B A B A B A r +--===

∴ 12)2

2

1(2]222[cos

2-=-≤--=B A 8．提示：222224)(c b a c b --+=∆ 而A bc a c b cos 2222=-+

0sin 44cos 422222222<-=-=∆A c b c b A c b 而02>b )(x f ∴恒大于0

二、填空题

9．45°或75° 10．340 11．192或72 12．3

212

三、解答题

13．解：（1）由)13(2

1

)2cos 1)(2cos 1(-=

++C A 得)13(21|cos cos |2-=C A

即2

13|)cos()cos(|-=

-++C A C A 而

︒=-︒=+120180B C A 及△ABC 为锐角三角形

2

3)cos(=

-∴C A 又︒=-∴<<30A C C B A 且C+A=120°∴C=75°，B=60°，A=45°

（2）由（1）及正弦定理得.275sin 60sin 245sin sin sin 2sin 2=︒

︒

+︒=+=+C B A c b a 14．解：由251

sin 2sin -

=-B

A 得25

122sin 22cos 2-=-+B A B A ① 由257cos 2cos =

-B A 得25

722sin 22sin 2=-+-B A B A ②

②÷①得72

2tan =+B A 又A+B=π－C ∴2A+B=A+A+B=π+A －C 则72tan =-+C A π即712tan 72cot =-∴=-C A C A 则.24

72

2tan

12tan

2)tan(=---=-C A C

A C A

15．解：（I ）23sin 21==A bc S 2

360sin 221=

︒⋅∴b 得b=1。由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=

360cos 212212

2

=︒⋅⋅-+=∴a 则3=a ．

（Ⅱ）由正弦定理及acosA=bcosB 得sinAcosA=sinBcosB ∴sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A=π－2B 即A=B 或A+B=

2

π

∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形