2014-2015学年高中数学人教A版必修四平面向量导学案

§2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案【学习要求】1．能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别．2．会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量．3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．【学法指导】本节内容涉及的概念较多，必须认真辨析易混淆的概念，如向量与数量、向量与矢量、向量与有向线段、平行向量与共线向量、相等向量等．这些内容是平面向量的起始内容，是构建向量理论体系的基础，要注意认真体会概念的内涵.【知识要点】1．向量：既有 ，又有 的量叫做向量．2．向量的几何表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段记作____. 3．向量的有关概念：（1）零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 .（2）单位向量：长度等于 个单位的向量，叫做单位向量． （3）相等向量： 且 的向量叫做相等向量．（4）平行向量(共线向量)：方向 的 向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作 . ②规定：零向量与 平行.【问题探究】探究点一 向量的概念和几何表示（1）我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量．数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量．而把那些只有大小，没有方向的量称为数量．例如，已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度． 其中是数量的有 ，是向量的有 . 向量的模是非负数，可以比较大小，向量不能比较大小．（2）带有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段来表示．有向线段AB →的长度就是向量AB →的长度(简称模)，记作|AB →|；有向线段AB →箭头表示向量AB →的方向．假设下图每个格子是边长为1 cm ，比例尺为1∶100，请求出下列各向量的模． |AB →|＝ ，|CD →|＝ ，|EF →|＝ ，|GH →|＝ ，|a |＝ .探究点二 几个向量概念的理解（1）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的． （2）单位向量：长度(或模)为1的向量叫做单位向量．（2）相等向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量．若向量a 与b 相等，记作a ＝b .研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不可忽略其中任何一个要素．对于初学者来讲，由于向量是一个相对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错．例如：下列说法中正确的是________．①3牛顿的力一定大于2牛顿的力；②长度相等的向量叫作相等向量；③一个向量的相等向量有无数多个；④若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；⑤单位向量都大于零向量． 想一想，在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？ 探究点三 平行向量与共线向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a 、b 平行，通常记作a ∥b .规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a .a 、b 、c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分别作出OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆． 练一练，如图所示，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，（1）写出与BC →相等的向量：________.（2）写出与BC →共线的向量：________. 想一想，向量平行具备传递性吗？【典型例题】例1 判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；②若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；④若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0； ⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 跟踪训练1 判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；（2）若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； （3）对于任意|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ； （4）向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．（1）作出向量AB →、BC →、CD →；（2）求|AD →|.跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1. （1）试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；（2）在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？例3 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．（1）写出与EF →共线的向量；（2）写出与EF →的模大小相等的向量；（3）写出与EF →相等的向量．跟踪训练3 如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点．（1）写出图中所示向量与向量DE →长度相等的向量；（2）写出图中所示向量与向量FD →相等的向量；（3）分别写出图中所示向量与向量DE →，FD →共线的向量．【当堂检测】1．下列说法正确的是( )A ．方向相同或相反的向量是平行向量B ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量 2．下列命题正确的是 ( )A ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bB ．向量的模一定是正数C ．起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量D ．向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上 3．在下图所示的坐标纸上，用直尺和圆规画出下列向量．（1）OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 东偏北45°； （2）AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向； （3）BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 正北方向． 4．如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段 的交点)为起点和终点的向量中．（1）写出与AF →、AE →相等的向量；（2）写出与AD →模相等的向量．【课堂小结】1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．规定：零向量与任一向量都平行.【拓展提高】§2.2.1 向量加法运算及其几何意义【学习要求】1．理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算． 3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．【学法指导】1．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.2．向量的三角形法则可推广到n 个向量求和——多边形法则，即n 个首尾相连的向量的和对应的向量是由第一个向量起点指向第n 个向量的终点的向量．3．当两向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的．而当两个向量共线时，三角形法则适用，平行四边形法则就不适用了.【知识要点】1．向量的加法法则 （1）三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量____叫做a 与b 的和(或和向量)，记作_____，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝_____.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝__＋__＝__. （2）平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以 ， 为邻边作 ，则对角线上的向量 ＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 2．向量加法的运算律（1）交换律：a ＋b ＝ .（2）结合律：(a ＋b )＋c ＝ .【问题探究】探究点一 向量加法的三角形法则如图所示，是上海到台北的航线示意图：一是经香港转停到台北；二是由上海直接飞往台北．问题1 当向量a ，b 是共线向量时，a ＋b 又如何作出？ 问题2 想一想，|a ＋b |与|a |和|b |之间的大小关系如何？当a 与b 同向共线时，a ＋b 与____同向，且|a ＋b |＝_______.当a 与b 反向共线时，若|a |>|b |，则a ＋b 与__的方向相同，且|a ＋b |＝_______；若|a |<|b |，则a ＋b 与__的方向相同，且|a ＋b |＝_______.探究点二 向量加法的平行四边形法则向量加法还可以用平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以 这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和．以点A 为起点作向量AB →＝a ，AD →＝b ，以AB 、AD 为邻边作▱ABCD ，则以A 为起点的对角线AC →就是a 与b 的和，记作a ＋b ＝AC →，如图．对于零向量与任一向量a ，我们规定：a ＋0＝0＋a ＝a .①根据下图中的平行四边形ABCD 验证向量加法的交换律：a ＋b ＝b ＋a .(注：AB →＝a ，AD →＝b )．②根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．探究点三 向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．即：A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋… ＋A n －1A n ＝A 1A n →.或A 1A 2→＋A 2A 3→＋… ＋A n －1A n ＋A n A 1→＝__. 这是一个极其简单却非常有用的结论(如图)．利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效．例如，在正六边形ABCDEF 中， AC →＋BD →＋CE →＋DF →＋EA →＋FB →＝________.【典型例题】例1 已知向量a ，b 如图所示，试用三角形法则和平行四边形法则作出向量a ＋b . 跟踪训练1 如图，已知向量a ，b ，c ，利用三角形法则作出向量a ＋b ＋c .例2 化简：（1）BC →＋AB →； （2）DB →＋CD →＋BC →； （3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 跟踪训练2 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点．（1）AB →＋AD →＝________； （2）AC →＋CD →＋DO →＝________；（3）AB →＋AD →＋CD →＝________； （4）AC →＋BA →＋DA →＝________.例3 在水流速度为4 3 h km /的河中，如果要船以12 h km /的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．跟踪训练3 某人在静止的水中的游泳速度为2 3 h km /，如果他以这个速度径直游向河对岸，已知水流的速度为2 h km /，那么他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？【当堂检测】1．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中错误的是 ( )A ．FD →＋DA →＋DE →＝0B ．AD →＋BE →＋CF →＝0C ．FD →＋DE →＋AD →＝AB → D ．AD →＋EC →＋FD →＝BD →2．设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式：（1）DE →＋EA →＝________；（2）BE →＋AB →＋EA →＝______；（3）DE →＋CB →＋EC →＝________；（4）BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________. 3．如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.4．如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋ AD →，试判断四边形的形状．【课堂小结】1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．【拓展提高】§2.2.2 向量减法运算及其几何意义【学习要求】1．理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则．2．掌握向量减法的几何意义．3．能熟练地进行向量的加、减运算．【学法指导】1．关于向量的减法，在向量代数中，常有两种理解方法：第一种方法：是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是说，如果b ＋x ＝a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a －b ，这样，作a －b 时，可先在平面内任取一点O ，再作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .(如图(1))第二种方法：是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知a ，b ，定义a －b ＝a ＋(－b )，在这种定义下，作a －b 时，可先在平面内任取一点O ，作OB ′→＝－b ，OA →＝a ，则由向量加法的平行四边形法则知OC →＝a ＋(－b )，由于a ＋(－b )＝a －b ，即OC →＝a －b .(如图(2))2．关于“差向量”方向的确定，通常归纳为“指向被减向量”，这个结论成立的前提是两个“作差向量”共起点，因此几何法确定差向量的方向有两个关注点：（1）共起点；（2）指被减.【知识要点】1．我们把与向量a 长度相等且方向相反的向量称作是向量a 的相反向量，记作____，并且有a ＋(－a )＝__. 2．向量减法的定义若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的 ，记为______，求两个向量差的运算，叫做 . 3．向量减法的平行四边形法则以向量AB →＝a ，AD →＝b 为邻边作 ，则对角线的向量BD →＝b －a ，DB →＝a －b . 4．向量减法的三角形法则在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 表示从向量 的终点指向向量 的终点的向量.【问题探究】探究点一 向量的减法对照实数的减法，类比向量的减法，完成下表：对比项实数的减法向量的减法对比 内容（1）相反数绝对值相等，符号相反的两个数，互为相反数（1）相反向量的两个向量，互为相反向量 （2）零的相反数是零（2）对比项 实数的减法向量的减法对比内容（3）互为相反数的和是零（3）（4）实数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数（4）向量的减法：减去一个 向量相当于根据相反向量的含义，完成下列结论：（1）－AB →＝___；（2）－(－a )＝__；（3）－0＝__； （4）a ＋(－a )＝__； （5）若a 与b 互为相反向量，则有：a ＝____，b ＝____，a ＋b ＝__. 探究点二 向量减法的三角形法则（1）由于a －b ＝a ＋(－b )．因此要作出a 与b 的差向量a －b ，可以转化为作a 与－b 的和向量．已知向量a ，b 如图所示，请你利用平行四边形法则作出差向量a －b .（2）当把两个向量a ，b 的始点移到同一点时，它们的差向量a －b 可以通过下面的作法得到： ①连接两个向量(a 与b )的终点；②差向量a －b 的方向是指向被减向量的终点．这种求差向量a －b 的方法叫向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a 与b 的差向量a －b . 探究点三 |a －b |与|a |、|b |之间的关系 （1）若a 与b 共线，怎样作出a －b ?（2）通过上面的作图，探究|a －b |与|a |，|b |之间的大小关系： 当a 与b 不共线时，有：_____________________； 当a 与b 同向且|a |≥|b |时，有：_______________； 当a 与b 同向且|a |≤|b |时，有：_______________.【典型例题】例1 如图所示，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .跟踪训练1 如图所示，在正五边形ABCDE 中，AB →＝m ，BC →＝n ，CD →＝p ，DE →＝q ，EA →＝r ，求作向量m －p＋n －q －r .例2 化简下列式子：（1）NQ →－PQ →－NM →－MP →；（2）(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．跟踪训练2 化简：（1）(BA →－BC →)－(ED →－EC →)；（2）(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)． 例3 若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .（1）当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？ （2）当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |?（3）当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？ （4）a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？跟踪训练3 如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试求：（1）|a ＋b ＋c |；（2）|a －b ＋c |.【当堂检测】1．在平行四边形ABCD 中，AC →－AD →等于( )A ．AB → B ．BA →C ．CD → D ．DB →2．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是 ( )A ．AB →－DC →＝0B ．AD →－BA →＝AC → C ．AB →－AD →＝BD →D ．AD →＋CB →＝03．在平行四边形ABCD 中，BC →－CD →＋BA →－AD →＝_______.4．已知OA →＝a ，OB →＝b ，若|OA →|＝12，|OB →|＝5，且∠AOB ＝90°，则|a －b |＝________【课堂小结】1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD 的两邻边AB 、AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住.【拓展提高】§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义【学习要求】1．了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义．2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算．3．理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．【学法指导】1．实数λ与向量a 可作数乘，但实数λ不能与向量a 进行加、减运算，如λ＋a ，λ－a 都是无意义的．还必须明确λa 是一个向量，λ的符号与λa 的方向相关，|λ|的大小与λa 的模长有关．2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.【知识要点】1．向量数乘运算实数λ与向量a 的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作 ，其长度与方向规定如下： （1）|λa |＝ .（2）λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当 时，与a 方向相同当 时，与a 方向相反；特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝ 或λ0＝ .2．向量数乘的运算律（1）λ(μa )＝ .（2）(λ＋μ)a ＝ .（3）λ(a ＋b )＝ .特别地，有(－λ)a ＝ ＝ ；λ(a －b )＝ . 3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______. 4．向量的线性运算向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝ .【问题探究】探究点一 向量数乘运算的物理背景（1）一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v ，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v 表示，试在直线l 上画出3v 向量，看看向量3v 与v 的关系如何？（2）已知非零向量a ，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你能说明它们与向量a 之间的关系吗？ （3）已知非零向量a ，你能说明实数λ与向量a 的乘积λa 的几何意义吗？ 探究点二 向量数乘的运算律根据实数与向量积的定义，可以验证下面的运算律：设λ，μ∈R ，则有 ①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③λ(a ＋b )＝λa ＋λb .向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同．你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗？ 探究点三 共线向量定理及应用由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在一个实数λ，使b ＝λa .判断两个向量是否共线可转化为存在性问题．解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程(组)求解．若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在．例如，已知e 1，e 2是不共线的向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，则a 与b 是否共线？ 探究点四 三点共线的判定由共线向量定理可得，A ，B ，C 三点共线⇔存在λ∈R ，使AC →＝λAB →.请你根据该结论证明下列常用推论：推论1：已知O 为平面ABC 内任一点，若A 、B 、C 三点共线，则存在α、β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，其中α＋β＝1.推论2：已知O 为平面ABC 内任一点，若存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，α＋β＝1，则A 、B 、C 三点共线．【典型例题】例1 计算： （1）(－3)×4a ； （2）3(a ＋b )－2(a －b )－a ； （3）(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )． 跟踪训练1 计算：（1）6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；（2）12⎣⎡⎦⎤3a ＋2b －23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； （3）6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．例2 已知任意两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并说明理由．跟踪训练2 已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A 、B 、D 三点共线．例3 如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示MA →、MB →、MC →和MD →吗？跟踪训练3 如图，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，求证：DE →＝12BC →.【当堂检测】1．化简：（1）8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )； （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+)24()82(2131b a b a 2．如图，AM →＝13AB →，AN →＝13AC →.求证：MN →＝13BC →.3．已知e 1与e 2不共线，AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线．4．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋b 与a ＋k b 共线，试求实数k 的值．【课堂小结】1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的．2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题.【拓展提高】§2.3平面向量的基本定理及坐标表示【学习要求】1．理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义．2．在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量．3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．【学法指导】1．平面向量基本定理的实质：平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式；而且基底一旦确定，这种分解是唯一的．2．求两个非零向量夹角，要注意两向量一定是有公共起点；两向量夹角的范围是[0，π].【知识要点】 1．平面向量基本定理 （1）定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a ， 实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. （2）基底：把 的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内 向量的一组基底． 2． 两向量的夹角与垂直 （1）夹角：已知两个 向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是 ．②当θ＝0°时，a 与b ． ③当θ＝180°时，a 与b ．（2）垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作______.【问题探究】探究点一 平面向量基本定理的提出（1）平面内的任何向量都能用这个平面内两个不共线的向量来表示．如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .通过观察，可得： AB →＝_______，CD →＝________，EF →＝_______，GH →＝__________，HG →＝_________，a ＝______. （2）平面向量基本定理的内容是什么？什么叫基底？ 探究点二 平面向量基本定理的证明 （1）证明定理中λ1，λ2的存在性．如图，e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能否表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式，请通过作图探究a 与e 1、e 2之间的关系． （2）证明定理中λ1，λ2的唯一性．如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和e 1、e 2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法) 探究点三 向量的夹角（1）已知a 、b 是两个非零向量，过点O 作出它们的夹角θ.（2）两个非零向量夹角的范围是怎样规定的？确定两个向量夹角时，要注意什么事项？ （3）在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角：①〈AB →，AC →〉＝ ；②〈AB →，CA →〉＝ ； ③〈BA →，CA →〉＝ ；④〈AB →，BA →〉＝ .【典型例题】例1 已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c . 跟踪训练1 如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.例2 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a 、b 表示DC →、BC →、MN →.跟踪训练2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →.例3 在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a ，b为基底表示OM →.跟踪训练3 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .（1）用a 和b 表示向量OC →、DC →；（2）若OE →＝λOA →，求实数λ的值．【当堂检测】1．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)3．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.4．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a 、b 表示向量AG →.【课堂小结】1．对基底的理解 （1）基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． （2）零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理（1）平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．（2）平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．【拓展提高】§2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示§2．3.3 平面向量的坐标运算【学习要求】1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．3．正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．【学法指导】1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点时，则向量的终点坐标并不是向量的坐标，此时AB →＝(x B －x A ，y B －y A )．3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.【知识要点】1．平面向量的坐标表示（1）向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．（2）向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个 i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则 叫做向量a 的坐标， 叫做向量a 的坐标表示．（3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝ ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝ 2．平面向量的坐标运算（1）若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝ ， 即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．（2）若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝ ， 即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．（3）若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝ ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.【问题探究】探究点一 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的任一向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．显然有，i ＝ ，j ＝ ，0＝ ．问题1 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1.问题2 当向量的始点坐标为原点时，终点坐标是对应向量的坐标；当向量的始点不是坐标原点时，向量AB →＝(x B －x A ，y B －y A )．所以相等向量的坐标相同，从原点出发的向量和平面直角坐标系的点是一一对应关系． 请把下列坐标系中的向量的始点移到原点，并标出向量a ，b ，c ，d 所对应的点A ，B ，C ，D .探究点二 平面向量的坐标运算问题1 已知a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，如下图所示，写出a ，b ，c 的坐标，并在直角坐标系内作出向量a ＋。