高一数学子集
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主讲：罗军
1.2.1 子集
（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元 素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素， 我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
例如：{1,1} 与 {1,1}
可以看出，集合相等实质是说集合中的元素完全相同。
（3）真子集：对于两个集合A与B，如果 A B 并且A≠B，我们就说
1.2.1 子集
二、新内容： 1．子集 (1)子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个
元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包
含集合A。记作：A B或 B A 读作：A包含于B或B包含A
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时， 则记作：A B B A 读作：A不包含于B或B不包含A
出来．将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来． 6．集M中元素与集N有何关系．集M中元素与集P有何关系．
主讲：罗军
1.2.1 子集
M {1,1} N {1,1,3} P {x | x2 1 0}
1．集合M和集合N用的是列举法； 2．集合P用的是描述法；
3.
-1 1
-1 1 3
-1 1
(1)
C{x | x 4k 1, k Z} {x | 2(2k ) 1, k Z} 事实上C也是所有奇数形成的集合所以A=B=C
主讲：罗军
1.2.1 子集
（4）子集的个数：
{1}
的子集个数为：
{1，2}
的子集个数为：
{1，2，3} 的子集的个数为：
2 21
4 22 8 23
一个重要结论：如果一个集合中有n个元素，则它有2n 个子集， 2n 1 个非空子集 2n 1个真子集
1.2.1 子集
学习目标： （1）子集、真子集、集合相等的概念； （2）掌握子集、真子集的符号表示方法，会用符号表示一些简单集
合之间的关系； （3）会求一个集合的子集，真子集，会判断两个集合是否相等；
主讲：罗军
1.2.1 子集
一、复习回顾 前两次课我们学习了以下内容： （1）集合的有关概念（集合、元素、属于、不属于）； （2）常用数集的定义以及表示方法； （3）集合中元素的三大特性：确定性、无序性、互异性。 （4）集合的表示方法
主讲：罗军
1.2.1 子集
我们先看下面的个例子：M {1,1} N {1,1,3} P {x | x2 1 0}
问题： 1．哪些集合表示方法是列举法． 2．哪些集合表示方法是描述法． 3．将集M、集N、集P用图示法表示． 4．分别说出各集合中的元素． 5．将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示
集合A是集合B的真子集，记作：A B 或B A 读作A真包含于B或B真包含A。
能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素 不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集．”
用文氏图表示集合之间的关 系是非常简明的，例如：
主讲：罗军
B
A
1.2.1 子集
例1：写出集合{a, b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
例如：集合A={-1，2，3，5，8}中共有5个元素，则它一共有
25个子集 25 1个真子集 25 1个非空子集
注意： 空集是任意集合的子集
主讲：罗军
1.2.1 子集
小结： 1、子集、真子集、集合相等的概念； 2、掌握子集、真子集的符号表示方法，会用符号表示一些简
单集合 之间的关系； 3、会求一个集合的子集，真子集，会判断两个集合是否相等
(2)
(3)
4．集M中元素有－1，1；集N中元素有－1，1，3；
集P中元素有－1，1
5. 1 M 1M 1 N 1 N 3 N 1 P 1 P 3 M
6．集M中任何元素都是集N的元素．集M中任何元素都是集P的元素．
上面几个题中我们已经会表示出元素与集合的关系了，那么集合与集 合之间有什么关系呢？
主讲：罗军
解：集合{a, b} 的所有的子集是： {a} {b} {a, b} 其中 {a} {b} 是真子集 例2：解不等式 x 3 2 ，并把结果用集合表示出来 解：由 x 3 2 得
x5 原不等式的解集是{x | x 5}
例3：写出N，Z，Q，R 的包含关系，并用文氏图表示。
解：N Z N Q N R Z Q Z R Q R
以及一个集合源自文库集的个数。
主讲：罗军
注意：①A A 任何一个集合是它本身的子集
② A 是任何一个集合的子集
思考？ 能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？
不能。因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素 组成的．空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元．由 此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合 是不确切的．
例5:设集合 A {x | x 2n 1, n Z} B {x | x 2m 1, m Z} C {x | x 4k 1, k Z} 试写出集合A，B，C之间的关系
解： A {x | x 2n 1, n Z} 表示所有奇数形成的集合 B {x | x 2m 1, m Z} 表示所有奇数形成的集合
N ZQ R
主讲：罗军
1.2.1 子集
例4:说出下面几个集合表示的意义： {0} {} 0
并说出它们之间的关系。
解： 表示空集，这个集合里不含有任何元素。
{0}表示以0为元素的集合，这个集合里只有唯一一个元素0。
{}表示以 为元素的集合，这个集合里只有唯一一个元素 0 是一个数，它不是集合。
{} 0 {0} {0} 0
1.2.1 子集
（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元 素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素， 我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
例如：{1,1} 与 {1,1}
可以看出，集合相等实质是说集合中的元素完全相同。
（3）真子集：对于两个集合A与B，如果 A B 并且A≠B，我们就说
1.2.1 子集
二、新内容： 1．子集 (1)子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个
元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包
含集合A。记作：A B或 B A 读作：A包含于B或B包含A
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时， 则记作：A B B A 读作：A不包含于B或B不包含A
出来．将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来． 6．集M中元素与集N有何关系．集M中元素与集P有何关系．
主讲：罗军
1.2.1 子集
M {1,1} N {1,1,3} P {x | x2 1 0}
1．集合M和集合N用的是列举法； 2．集合P用的是描述法；
3.
-1 1
-1 1 3
-1 1
(1)
C{x | x 4k 1, k Z} {x | 2(2k ) 1, k Z} 事实上C也是所有奇数形成的集合所以A=B=C
主讲：罗军
1.2.1 子集
（4）子集的个数：
{1}
的子集个数为：
{1，2}
的子集个数为：
{1，2，3} 的子集的个数为：
2 21
4 22 8 23
一个重要结论：如果一个集合中有n个元素，则它有2n 个子集， 2n 1 个非空子集 2n 1个真子集
1.2.1 子集
学习目标： （1）子集、真子集、集合相等的概念； （2）掌握子集、真子集的符号表示方法，会用符号表示一些简单集
合之间的关系； （3）会求一个集合的子集，真子集，会判断两个集合是否相等；
主讲：罗军
1.2.1 子集
一、复习回顾 前两次课我们学习了以下内容： （1）集合的有关概念（集合、元素、属于、不属于）； （2）常用数集的定义以及表示方法； （3）集合中元素的三大特性：确定性、无序性、互异性。 （4）集合的表示方法
主讲：罗军
1.2.1 子集
我们先看下面的个例子：M {1,1} N {1,1,3} P {x | x2 1 0}
问题： 1．哪些集合表示方法是列举法． 2．哪些集合表示方法是描述法． 3．将集M、集N、集P用图示法表示． 4．分别说出各集合中的元素． 5．将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示
集合A是集合B的真子集，记作：A B 或B A 读作A真包含于B或B真包含A。
能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素 不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集．”
用文氏图表示集合之间的关 系是非常简明的，例如：
主讲：罗军
B
A
1.2.1 子集
例1：写出集合{a, b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
例如：集合A={-1，2，3，5，8}中共有5个元素，则它一共有
25个子集 25 1个真子集 25 1个非空子集
注意： 空集是任意集合的子集
主讲：罗军
1.2.1 子集
小结： 1、子集、真子集、集合相等的概念； 2、掌握子集、真子集的符号表示方法，会用符号表示一些简
单集合 之间的关系； 3、会求一个集合的子集，真子集，会判断两个集合是否相等
(2)
(3)
4．集M中元素有－1，1；集N中元素有－1，1，3；
集P中元素有－1，1
5. 1 M 1M 1 N 1 N 3 N 1 P 1 P 3 M
6．集M中任何元素都是集N的元素．集M中任何元素都是集P的元素．
上面几个题中我们已经会表示出元素与集合的关系了，那么集合与集 合之间有什么关系呢？
主讲：罗军
解：集合{a, b} 的所有的子集是： {a} {b} {a, b} 其中 {a} {b} 是真子集 例2：解不等式 x 3 2 ，并把结果用集合表示出来 解：由 x 3 2 得
x5 原不等式的解集是{x | x 5}
例3：写出N，Z，Q，R 的包含关系，并用文氏图表示。
解：N Z N Q N R Z Q Z R Q R
以及一个集合源自文库集的个数。
主讲：罗军
注意：①A A 任何一个集合是它本身的子集
② A 是任何一个集合的子集
思考？ 能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？
不能。因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素 组成的．空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元．由 此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合 是不确切的．
例5:设集合 A {x | x 2n 1, n Z} B {x | x 2m 1, m Z} C {x | x 4k 1, k Z} 试写出集合A，B，C之间的关系
解： A {x | x 2n 1, n Z} 表示所有奇数形成的集合 B {x | x 2m 1, m Z} 表示所有奇数形成的集合
N ZQ R
主讲：罗军
1.2.1 子集
例4:说出下面几个集合表示的意义： {0} {} 0
并说出它们之间的关系。
解： 表示空集，这个集合里不含有任何元素。
{0}表示以0为元素的集合，这个集合里只有唯一一个元素0。
{}表示以 为元素的集合，这个集合里只有唯一一个元素 0 是一个数，它不是集合。
{} 0 {0} {0} 0