初中数学三角函数综合练习题
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)期末综合复习题(含解析)
第二十八章 锐角三角函数 复习题一、单选题1．陕西渭南·九年级期末）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，设A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，则下面四个等式一定成立的是（ ）A ．sin c bB =⋅B ．cos a c B =⋅C ．tan a b B =⋅D ．tan b c B=⋅2．陕西咸阳·九年级期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是( )A ．sin B ＝23B ．cos B ＝23C ．tan B ＝23D ．tan B ＝323．陕西宝鸡·九年级期末）在△ABC 中，已知∠C ＝90°，AC ＝sin A ＝23，那么BC 边的长是（ ）A ．B ．8C ．D ．124．陕西咸阳·九年级期末）如图，点()3,4A 在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，则cos α=（ ）A ．34B ．35C ．45D ．435．陕西渭南·九年级期末）2cos45°的值为（ ）A ．2BC D ．16．陕西西安·九年级期末）在ABC 中，A ∠，B ∠都是锐角，且sin A =，tan B =，则ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．不能确定7．陕西咸阳·九年级期末）如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成32°的夹角，已知缆车速度为每分钟50米，从山脚下A 到山顶B 需16分钟，则山的高度为（ ）A ．800•sin32°B ．800tan32︒C ．800•tan32°D ．800sin32︒8．陕西宝鸡·九年级期末）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯底（点O ）20米的点A 处，沿AO 所在直线行走12米到达点B 时，小明身影长度（ ）A ．变长2.5米B ．变短2米C ．变短2.5米D ．变短3米二、填空题9．陕西咸阳·九年级期末）如图所示的是一款可折叠的木制宝宝画板．若70cm AB AC ==，8cos 35ABC ∠=，则BC 的长为____________cm ．10．陕西宝鸡·九年级期末）如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，以A 为圆心，AC 的长为半径画弧，得 EC，连接AC ，AE ，则图中阴影部分的面积为________．11．陕西咸阳·九年级期末）在ABC ∆中，(tan cos 0A B =，则∠C 的度数为____．12．陕西宝鸡·九年级期末）已知sinA=12，则锐角∠A=______．三、解答题13．陕西西安·)sin 60cos 456⎫︒-︒-⎪⎪⎭14．陕西咸阳·九年级期末）计算：2221tan 45sin 303cos 304︒+︒-︒．15．陕西宝鸡·九年级期末）计算：4cos 24|+6．16．陕西渭南·九年级期末）计算：212cos302-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭．17．陕西咸阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；（2）以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在图中y 轴右侧，画出△A 2B 2C 2，并求出∠A 2C 2B 2的正弦值．18．陕西宝鸡·九年级期末）在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A 处用高为1.5m 的测角仪AC 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为35°，然后在测量点B 处用同样的测角仪BD 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为45°，最后测量出A ，B 两点间的距离为15m ，并且N ，B ，A 三点在一条直线上，连接CD 并延长交MN 于点E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN 的高度.（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）19．陕西渭南·九年级期末）某地有一座大桥（图1），某初中数学兴趣小组想测量该大桥的外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD ，他们在桥面上选取了一个测量点A 测得点D 的仰角为26.6°，然后他们沿AC 方向移动40m 到达测量点B （即40m AB =），在B 点测得点D 的仰角为37°，如图2所示．求外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD ．[参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈，sin 26.60.45︒≈，cos26.60.89︒≈，tan 26.60.50︒≈]20．陕西汉中·九年级期末）某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面BC 上取E ，G 两点，分别竖立两根高为2m 的标杆EF 和GH ，两标杆间隔EG 为23m ，并且古建筑AB ，标杆EF 和GH 在同一竖直平面内，从标杆EF 后退2m 到D 处（即2m ED =），从D 处观察A 点，A 、F 、D 三点成一线；从标杆GH 后退4m 到C 处（即4m CG =），从C 处观察A 点，A 、H 、C 三点也成一线．已知B 、E 、D 、G 、C 在同一直线上，AB BC ⊥，EF BC ⊥，GH BC ⊥，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑AB 的高度．21．陕西咸阳·九年级期末）如图，琪琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度AD ，琪琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B ，C 的俯角分别为∠EAB ＝60°和∠EAC ＝30°，且D ，B ，C 在同一水平线上．已知桥BC ＝36米，求无人机的飞行高度AD ．22．陕西渭南·九年级期末）如图，小华利用标杆和等腰直角三角尺测量楼高，他先在E 处竖立一根高1.5米的标杆DE ，发现地面上的点A 、标杆顶端D 与楼顶B 在一条直线上，测得1AE =米；然后他站在F 处利用等腰直角三角形测得视线GB 与水平面的夹角45BGM ∠=︒，小华的眼睛到地面的距离 1.5GF =米，1.5AF =米．已知点F 、A 、E 、C 在同一直线上，GF FC ⊥，DE FC ⊥，BC FC ⊥．请根据以上所测数据，计算楼高BC ．23．陕西安康·九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，O 为边AB 上一点，以点O 为圆心，OA 为半径的O 与对角线相交于点E ，连接BE ，且BC BE =．(1)求证：BE 是O 的切线；(2)若30CAB ∠=︒，BC 长为6，求O 的半径．24．陕西西安·九年级期末）如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边的点F 处．(1)求证：△ABF ∽△FCE ；(2)已知AB ＝3，AD ＝5，求tan DAE 的值．参考答案：1．B【解析】根据∠B 的正弦、余弦、正切的定义列式，根据等式的性质变形，判断即可．解：在△ABC 中，∠C=90°，∵sinB=bc ，∴c=sin b B，A 选项等式不成立；∵cosB=a c，∴a=c•cosB ，B 选项等式成立；∵tanB=b a ，∴a=tan b B，C 选项等式不成立；∵tanB=b a ，∴b=a•tanB ，D 选项等式不成立；故选：B ．本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角是三个三角函数的定义是解题的关键．2．C∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，∴，∴sinB=AC AB ==，cosB=BC AB ==，tanB=23AC BC =，故选C.3．B【解析】根据锐角三角函数和勾股定理求解即可．解：由sin A ＝23＝BC AB，不妨设BC ＝2k ，则AB ＝3k ，由勾股定理得，AC 2+BC 2＝AB 2，即（2+（2k ）2＝（3k ）2，解得k ＝4（取正值），所以BC ＝2k ＝8，故选：B ．本题考查锐角三角函数，勾股定理，理解锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的前提．【解析】过A 作AP x ⊥轴于点P ，根据勾股定理求出OA ，再根据锐角三角形函数的定义求解即可过A 作AP x ⊥轴于点PA(3，4)∴4,3AP OP ==由勾股定理得：5OA ===3cos 5OP OA α∴==故选：B ．本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解和计算能力．5．C【解析】根据45°角的三角函数值代入计算即可.解： 2cos452== 故选C ．此题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题关键.6．C【解析】根据特殊角锐角三角函数值，可得60,60A B ∠=︒∠=︒ ，再由三角形的内角和等于180°，可得60C ∠=︒ ，即可求解．解：∵sin A =，tan B =∴60,60A B ∠=︒∠=︒ ，∴18060C A B ∠=︒-∠-∠=︒ ，∴A B C ∠=∠=∠ ，∴ABC 是等边三角形故选：C本题主要考查了等边三角形的判定，特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．【解析】根据题意可得，90BCA ∠=︒，32BAC ∠=︒，5016800AB =⨯=米，再根据三角函数的定义，即可求解．解：根据题意可得，90BCA ∠=︒，32BAC ∠=︒，5016800AB =⨯=米，根据三角函数的定义可得：sin sin 32BC BAC AB∠=︒=∴sin 32800sin 32BC AB =⨯︒=⋅︒（米）故选：A本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形并熟悉三角函数的定义是解题的关键．8．D【解析】利用相似三角形的对应边成比例可求出AM 的长，同理求出BN 的长，再求出AM 与BN 的差即可.∵OF ⊥OM,DA ⊥OM ，∴QF ∥AD ，∴△ADM ∽△OFM ，∴AM AD AM OA OF =+ ，即 1.620+8AM AM = ，解得AM ＝5cm ；同理可得，∵△BNE ∽△ONF ，∴BN AD OA AB BN OF =-+ 即 1.620128BN BN =-+ ，解得BN ＝2m ，∴AM －BN ＝5－2＝3m.故选D.本题考查了相似三角形的应用和中心投影，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.9．32【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，根据余弦定义可求BD ，然后根据等腰三角形的性质即可求出BC ．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ABD 中，cos BD ABC AB ∠=，又AB =70cm ，8cos 35ABC ∠=，∴87035BD =，∴BD =16cm ，又AB =AC ，∴BC =2BD =32cm ．故答案为：32．本题考查了锐角三角函数，等腰三角形的性质等知识，添加辅助线AD 是解题的关键．10．2π【解析】由正六边形ABCDEF 的边长为2，可得AB =BC =2，∠ABC =∠BAF =120°，进而求出∠BAC =30°，∠CAE =60°，过B 作BH ⊥AC 于H ，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH =CH ，BH =1，在Rt △ABH 中，由勾股定理求得AH AC 解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，()6218021206AB BC ABC BAF -⨯︒∴==∠=∠==︒， =120°，∵∠ABC +∠BAC +∠BCA =180°，∴∠BAC =12（180°-∠ABC ）=12×（180°-120°）=30°，过B 作BH ⊥AC 于H ，∴AH =CH ，BH =12AB=12×2=1，在Rt △ABH 中，AH=，∴AC，同理可证，∠EAF =30°，∴∠CAE =∠BAF -∠BAC -∠EAF =120°-30°-30°=60°，∴2CAE S π==扇形∴图中阴影部分的面积为2π，故答案为：2π．本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．11．90︒【解析】先根据平方、绝对值的非负性求得tan A 、cos B ，再利用锐角三角函数确定A ∠、B ∠的度数，最后根据直角三角形内角和求得90C ∠=︒．解：∵(tan cos 0A B =∴tan 0cos 0A B ⎧==∴tan cos A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴6030A B ∠=︒⎧⎨∠=︒⎩∴90C ∠=︒．故答案是：90︒本题考查了平方、绝对值的非负性，锐角三角函数以及三角形内角和，熟悉各知识点是解题的关键．12．30°【解析】根据sin30°=12进行解答即可．∵sinA=12，∠A 为锐角，∴∠A=30°，故答案为30°．本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．13．-7【解析】首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的混合运算．解：原式6⎫-⎪⎪⎭16=7- ．本题考查特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算，解决问题的关键是牢记特殊角的三角函数值以及掌握二次根式的运算法则．14．74-【解析】先将特殊角三角函数值代入，再计算乘方，然后计算乘法，最后计算加减即可．解：原式222111342⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪⎝⎭11313444=⨯+-⨯119444=+-74=-本题考查特殊角的三角函数值，实数混合运算，熟记特殊角三角函数值和实数运算法则是解题的关键．15．7【解析】首先代入特殊角的三角函数值，再利用绝对值的性质和二次根式的乘法法则进行计算，最后计算加减即可．原式＝4×2+4﹣＝4+3=7．此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握特殊角的三角函数值和绝对值的性质，注意计算顺序．16．4--【解析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂的性质进行计算．解：原式24=4=4=-．本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．17．（1）见解析（2【解析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；（2）如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求，由图形可知，∠A 2C 2B 2=∠ACB ，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，由A （2，2），C （4，﹣4），B （4，0），易得D （4，2），故AD =2，CD =6，AC ==∴sin AD ACB AC ∠===即222sin A C B ∠=此题考查了作图−位似变换，平移变换，以及解直角三角形，熟练掌握位似及平移的性质是解本题的关键．18．人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米.试题分析：由题意得，四边形ACDB ，ACEN 为矩形，从而得EN=AC=1.5.AB=CD=15，在Rt △MED 中，由题意可得ME=DE ，设ME ＝DE ＝x ，则EC ＝x+15，在Rt △MEC 中，可得ME=EC ⋅tan ∠MCE ，从而有x≈0.7(x+15)，求出x 的值，从而得MN=ME+EN≈36.5 .试题解析：由题意得，四边形ACDB ，ACEN 为矩形，∴EN=AC=1.5，AB=CD=15，在Rt MED 中，∠MED ＝90°，∠MDE ＝45°，∴∠EMD ＝∠MDE ＝45°，∴ME ＝DE ，设ME ＝DE ＝x ，则EC ＝x+15，在Rt MEC 中，∠MEC ＝90°，∠MCE ＝35°，∵tan ME EC MCE =⋅∠，∴()0.715x x ≈+ ，∴35x ≈ ，∴35ME ≈ ，∴36.5MN ME EN =+≈，∴人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米.19．外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD 为60m【解析】分别在两个直角三角形中由三角函数值建立方程，联立即可求出．解：设m DC x =，在Rt ADC 中，26.6A ∠=︒，∴tan 26.60.50CD AC ︒≈=∴2AC CD=在Rt BDC 中，37DBC ∠=︒，∴tan 370.75CDBC︒≈=∴43BC CD =∵40AC BC -=，∴即42403CD CD -=，解得60CD =，答：外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD 为60m ．本题考查了解直角三角形应用题，一般步骤为弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型，将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形，寻找直角三角形，并解这个三角形．20．古建筑AB 的高度为25m ．【解析】设=AB x ，=BE y ，证明ABD FED ∽，得到222+=x y ，再证明∽ABC HGC △△，得到2724+=x y ，利用227=24++y y 求出=23y ，将=23y 代入222+=x y 得：25x =．解：设=AB x ，=BE y ，∵AB BC ⊥，EF BC ⊥，∴AB EF ∥，∵∠=∠ADB FDE ，∴ABD FED ∽，∴=AB BD FE DE ，即222+=x y ，同理：∽ABC HGC △△，∴=AB BC HG GC，∵=23427++=++=+BC BE EG GC y y ，∴2724+=x y ，∴227=24++y y ，解得：=23y ，将=23y 代入222+=x y 得：25x =，∴古建筑AB 的高度为25m ．本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，解题关键是利用相似三角形的性质求出227=24++y y ，求出y ，再进一步求出x ．21．【解析】由锐角三角函数定义得CD =，BD AD =，再由36BC CD BD AD =-==米，即可求出AD 的长．解：60EAB ∠=︒ ，30EAC ∠=︒，9060CAD EAC ∴∠=︒-∠=︒，9030BAD EAB ∠=︒-∠=︒，tan CD AD CAD ∴=⋅∠=，tan BD AD BAD AD =⋅∠=，36BC CD BD AD ∴=-==米，AD ∴=（米)．答：无人机的飞行高度AD 为米．本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，掌握仰角俯角定义和锐角三角函数定义．22．9m【解析】连接GD ，并延长交BC 于点H ，证明BH =GH ，设BC =x ，则BH =x -1.5，用x 表示出GH 、BH 、EC 、DH ，根据tan DE BC BAE AE AC∠==列出关于x 的方程，解方程即可得出BC ．解：连接GD ，并延长交BC 于点H ，∵GF ⊥CF ，DE ⊥CF ，HC ⊥FC ，∴GF DE HC ∥∥，∵GF =DE ，∴四边形DEFG 为平行四边形，∵∠GFE =90°，∴四边形DEFG 为矩形，∴DG =EF ，∵1m AE =， 1.5m AF =，∴ 2.5m DG EF AE AF ==+=，∵∠DEC =∠EDH =∠ECH =90°，∴四边形DECH 为矩形，∴∠DHC =90°，DH =CE ，DE =CH =1.5m ，∴∠DHB =90°，∵∠BGH =45°，∴∠GBH =45°，∴∠BGH =∠GBH ，∴GH =BH ，设BC =x ，则BH =x -1.5，∴GH =BH =x -1.5，∴EC =DH =GH -DG =x -1.5-2.5=x -4，∴143AC AE EC x x =+=+-=-，∵tan DE BC BAE AE AC ∠==，∴1.513x x =-，解得：9x =，即楼高BC 为9m ．本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，根据tan DE BC BAE AE AC∠==列出关于x 的方程，是解题的关键．23．(1)见解析(2)O 的半径为【解析】（1）根据矩形的性质得出∠ABC =90°，由等腰三角形的性质得出∠EAO =∠AEO ，∠CEB =∠ACB ，证出∠OEB =90°，则可得出结论；（2）证明△BCE 为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠CBE =60°，CB =BE =6，由直角三角形的性质可得出答案．（1）证明：连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，∵OA OE =，BE BC =，∴EAO AEO ∠=∠，CEB ACB ∠=∠，∴90ACB CAB AEO CEB ∠+∠=∠+∠=︒，∴90OEB ∠=︒，∵OE 为O 的半径，∴BE 是O 的切线；（2）解：∵30CAB ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴60ACB ∠=︒，∵BC BE =，∴BCE 为等边三角形，∴60CBE ∠=︒，6CB BE ==，∴30OBE ∠=︒，∴tan 30OE BE =︒=∴6OE ==O 的半径为本题考查了切线的判定，矩形的性质、直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值，掌握直角三角形的边角关系以及矩形、等腰三角形的性质是解题的关键．24．(1)见解析(2)13【解析】（1）由折叠的性质得90AFE D ∠=∠=︒，进而得出BAF CFE ∠=∠，即可证明△ABF ∽△FCE ；（2）设DE x =，则3EC x =-，由折叠的性质知，EF DE x ==，5AF AD ==，利用勾股定理求出BF ，进而求出CF ，在△CEF 中根据勾股定理列方程求出x ，则tan DE DAE AD∠=．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C D ∠=∠=∠=︒，由折叠的性质知，90AFE D ∠=∠=︒，∴90CFE AFB ∠+∠=︒，90BAF AFB ∠+∠=︒，∴BAF CFE ∠=∠．在△ABF 和△FCE 中，BAF CFE B C ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴△ABF ∽△FCE ；（2）解：∵矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，∴3DC AB ==，5BC AD ==，设DE x =，则3EC x =-，由折叠的性质知，EF DE x ==，5AF AD ==，由勾股定理得，4BF ===，∴541FC BC BF =-=-=，在△CEF 中，由勾股定理得：222EF EC CF =+，即()22231x x =-+，解得53x =，∴53DE =，∴511tan 353DE DAE AD ∠==⨯=．本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定，勾股定理，三角函数解直角三角形等知识点，利用折叠的性质得出90AFE D ∠=∠=︒，EF DE =，AF AD =是解题的关键．。
中考数学专题 初中三角函数应用题10道-含答案
初中三角函数应用题10道(1)求步道AC 的长度（结果保留根号）；(2)游客中心Q 在点A 的正东方向，步道AC 与步道BQ 交于点P 小明和爸爸分别从B 处和A 处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．0.1）（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449≈）2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）下图是儿童游乐场里的一个娱乐项目转飞椅的简图，该设施上面有一个大圆盘（圆盘的半径是 3.5OA =米），圆盘离地面的高度1 6.5OO =米，且1OO ⊥地面l ，圆盘的圆周上等间距固定了一些长度相等的绳子，绳子的另一端系着椅子（将椅子看作一个点，比如图中的点B 和1B ），当旋转飞椅静止时绳子是竖直向下的，如图中的线段AB ，绳长为4.8米固定不变．当旋转飞椅启动时，圆盘开始旋转从而带动绳子和飞椅一起旋转，旋转速度越大，飞椅转得越高，当圆盘旋转速度达到最大时，飞椅也旋转到最高点，此时绳子与竖直方向所成的夹角为57α=︒．（参考数据：sin 570.84︒≈，cos570.55︒≈，tan 57 1.54︒≈）(1)求飞椅离地面的最大距离（结果保留一位小数）；(2)根据有关部门要求，必须在娱乐设施周围安装安全围栏，而且任何时候围栏和飞椅的水平距离必须超过2米．已知该旋转飞椅左侧安装有围栏EF ，且EF l ⊥，19.8O E =米，请问圆盘最大旋转速度的设置是否合规？并说明理由．3．（2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB ，小明在斜坡的坡脚D 处测得宣传牌底部B 的仰角为45︒，沿斜坡DE 向上走到E 处测得宣传牌顶部A 的仰角为31︒，已知斜坡DE 的坡度3:4，10DE =米，22DC =米，求宣传牌AB 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin 310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan 310.6)︒≈。
初中数学中考复习：25锐角三角函数综合复习(含答案)
中考总复习：锐角三角函数综合复习—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,则tan A等于( )A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（ ）A．tanA•cotA=1 B．sinA=tanA•cosA C．cosA=cotA•sinA D．tan2A+cot2A=1第2题第3题3．如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（ ）A．B．C．D．4．如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是( )A．B．C．D．5．如图所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB的方程为y＝－x＋，则cosα等于( )A．B．C．D．第5题第6题6．如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（ ）A. B.C. D.;二、填空题7．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的两根之差为．则θ＝．8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为.9．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB= .第8题第9题第11题10．当0°＜α＜90°时，求的值为．11．如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE=．12．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是 ．三、解答题13．如图所示，某拦河坝截面的原设计方案为AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6m 为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长．(精确到0.1m)14. 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，如图所示．按规定，地下停车库坡道1:3上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE(精确到0.1 m)（sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）15．如图所示，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB上，测量湖中两个小岛C、D间的距离．从山顶A处测得湖中小岛C的俯角为60°，测得湖中小岛D的俯角为45°．已知小山AB的高为180米，求小岛C、D间的距离．(计算过程和结果均不取近似值)16. 在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA，交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．(1)在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；(2)当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系；然后证明你的猜想；(3)当三角尺在②的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tan A＝．故选D.2.【答案】D；【解析】根据锐角三角函数的定义，得A、tanA•cotA==1，关系式成立；B、sinA=，tanA•cosA=，关系式成立；C、cosA=，cotA•sinA=，关系式成立；D、tan2A+cot2A=（）2+（）2≠1，关系式不成立．故选D．3.【答案】B；【解析】连接BD．∵E、F分別是AB、AD的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5，CD=3∴△BCD是直角三角形．∴tanC=故选B．4.【答案】C；【解析】设CE＝x，则AE＝8-x．由折叠性质知AE＝BE＝8-x．在Rt△CBE中，由勾股定理得BE2＝CE2+BC2，即(8-x)2＝x2+62，解得，∴tan∠CBE．5.【答案】A；【解析】∵y＝－x＋，∴当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝1，∴A(1，0)，B，∴OB＝，OA＝1，∴AB＝＝，∴cos∠OBA＝.∴OP⊥AB，∴∠α＋∠OAB＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA＝．故选A.6.【答案】D；【解析】由数轴上A点的位置可知，＜A＜2．A、由sin30°＜x＜sin60°可知，×＜x＜，即＜x＜，故本选项错误；B、由cos30°＜x＜cos45°可知，＜x＜×，即＜x＜，故本选项错误；C、由tan30°＜x＜tan45°可知，×＜x＜1，即＜x＜1，故本选项错误；D、由cot45°＜x＜cot30°可知，×1＜x＜，即＜x＜，故本选项正确．故选D．二、填空题7．【答案】30°；【解析】x1·x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－8sinθ＝()2，∴sinθ＝，∴θ＝30°．8．【答案】；【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，∴DF=3，∴tan∠AFE=tan∠DCF==．9．【答案】；【解析】连接AO并延长交圆于E，连CE．∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，∴sin∠E=；又∵∠B=∠E（同弧所对的的圆周角相等），∴sinB=．10．【答案】1；【解析】由sin2α＋cos2α＝1，可得1－sin2α＝cos2α∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α．∴.∵0°＜α＜90°，∴cosα＞0．∴原式＝＝1．11．【答案】；【解析】连接EC．根据圆周角定理∠ECO=∠OBE．在Rt△EOC中，OE=4，OC=5，则tan∠ECO=．故tan∠OBE=．12．【答案】2或；【解析】此题有两种可能：（1）当点P在线段CD上时，∵BC=2，DP=1，CP=1，∠C=90°，∴tan∠BPC==2；（2）当点P在CD延长线上时，∵DP=1，DC=2，∴PC=3，又∵BC=2，∠C=90°，∴tan∠BPC=．故答案为：2或．三、解答题13.【答案与解析】解：如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．在Rt△ABE中，，∴AE＝ABsin∠ABE＝6sin 74°≈5.77(cm)；，∴BE＝ABcos∠ABE＝6cos 74°≈1.65(m)．∵AH∥BC，∴DF＝AE≈5.77m．在Rt△BDF中，，∴(m)．∴AD＝EF＝BF-BE＝4.04-1.65≈2.4(m)．14.【答案与解析】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，∴，BD＝tan∠BAD·AB＝tan 18°×9，∴CD＝tan 18°×9-0.5．在Rt△DCE中，∠DEC＝90°，∠CDE＝72°，∴，＝sin 72°×(tan 18°×9-0.5)≈2.3(m)．即该图中CE的长约为2.3m．15.【答案与解析】解：如图所示，由已知可得∠ACB＝60°，∠ADB＝45°．∴在Rt△ABD中，BD＝AB．又在Rt△ABC中，∵，∴，即．∵BD＝BC+CD，∴．∴CD＝AB-AB＝180-180×＝（180-60)米．答：小岛C、D间的距离为(180-)米．16.【答案与解析】解：(1)BF＝CG．证明：在△ABF和△ACG中，∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠GAC，AB＝AC，∴△ABF≌△ACG(AAS)，∴BF＝CG．(2)DE+DF＝CG．证明：过点D作DH⊥CG于点H(如图所示)．∵DE⊥BA于点E，∠G＝90°，DH⊥CG，∴四边形EDHG为矩形，∴DE＝HG．DH∥BG．∴∠GBC＝∠HDC∴AB＝AC．∴∠FCD＝∠GBC＝∠HDC．又∵∠F＝∠DHC＝90°，CD＝DC，∴△FDC≌△HCD(AAS)，∴DF＝CH．∴GH+CH＝DE+DF＝CG，即DE+DF＝CG．(3)仍然成立．(注：本题还可以利用面积来进行证明，比如(2)中连结AD)。
初中数学三角函数习题有答案
一、计算题1、计算：．2、计算：3、计算：+() - ；4、计算：sin600cos300+5、小明的家在某公寓楼AD内.他家的前面新建了一座大厦BC.小明想知道大厦的高度.但由于施工原因.无法测出公寓底部A与大厦底部C的直线距离.于是小明在他家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为.爬上楼顶D处测得大厦的顶部B的仰角为.已知公寓楼AD的高为60米.请你帮助小明计算出大厦的高度BC。
6、（1）计算：；（2）已知∶∶＝2∶3∶4.求的值.二、简答题7、先化简.再求值：.其中（tan45°-cos30°）8、已知.凸4n＋2边形A1A2…A4n+2（n是非零自然数）各内角都是30°的整数倍,•又关于x的方程均有实根.求这凸4n＋2边形各内角的度数.9、已知：sinα是关于x的一元二次方程的一个根.请计算代数式：tan2α-sinα+2cosα的值10、已知是锐角.且.计算11、如图.△A BC和△CDE均为等腰直角三角形.点B.C.D在一条直线上.点M是AE的中点.BC=3.CD=1.(1)求证tan∠AEC=;(2)请探究BM与DM的关系.并给出证明.12、先化简再求值：.其中a=tan60°13、观察与思考：阅读下列材料.并解决后面的问题．在锐角△ABC中.∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.过A作AD⊥BC于D(如图).则sinB=.sinC=.即AD=c sin B.AD=bsinC.于是csinB=bsinC.即.同理有：..所以即：在一个三角形中.各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中.若已知三个元素（至少有一条边）.运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料.完成下列各题.（1）如图.△ABC中.∠B=450.∠C=750.BC=60.则∠A= ；AC= ；（2）如图.一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上.随后货轮以60海里／时的速度按北偏东30°的方向航行.半小时后到达B处.此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上(如图).求此时货轮距灯塔A的距离AB.14、开放探索题：（1）如图.锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定、变化而变化. 试探索随着锐角度数的增大.它的正弦值和余弦值变化的规律.（2）根据你探索到的规律.试比较18°.34°.50°.62°.88°.这些锐角的正弦值和余弦值的大小.（3）比较大小（在空格处填“>”、“<”或“=”）若.则______；若.则______；若>45°.则______.（4）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系.试比较下列正弦值和余弦值的大小：Sin10°、cos30°、sin50°、cos70°.15、学科内知识综合题：已知∠A是锐角.且tanA、cotA是关于x的一元二次方程=0的两个实数根.（1）求k的值；（2）问∠A能否等于45°？请说明你的理由.16、学习过三角函数.我们知道在直角三角形中.一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定.因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的.可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图.在△ABC中.AB=AC.顶角A的正对记作sadA.这时sad A=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述对角的正对定义.解下列问题：（1）sad的值为（）A. B. 1 C. D. 2（2）对于.∠A的正对值sad A的取值范围是 .（3）已知.其中为锐角.试求sad的值.17、已知：如图.在△ABC中...．求：(1) △ABC的面积； (2) sinA的值．18、如图.在Rt△ABC中.BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c.则sinA=. cosA=.tanA=．我们不难发现：sin260o+cos260o=1.…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系.并说明理由．三、填空题19、在中.三边之比为.则=20、如图.在平面直角坐标系O中.已知点A（3.3）和点B（7.0）.则sin∠ABO的值等于 .21、“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4.大正方形的面积为100.直角三角形中较小的锐角为α.则tanα的值等于___________22、已知为锐角.若.＝；若.则；23、已知Rt△中,若cos,则四、选择题24、已知在RT△ABC中.∠C=900.∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.则下列关系式错误的是（▲）A、a=btanAB、b=ccosAC、a=csinAD、c=25、直线y=2x与x轴正半轴的夹角为.那么下列结论正确的是（）A. tan=2B. tan=C. sin=2D. cos=226、将两副三角板如下图摆放在一起.连结.则的余切值为( )A．B．C．2 D．327、关于的二次函数+.其中为锐角.则：①当为30°时.函数有最小值-；②函数图象与坐标轴必有三个交点.并且当为45°时.连结这三个交点所围成的三角形面积小于1；③当<60°时.函数在x >1时.y随x的增大而增大；④无论锐角怎么变化.函数图象必过定点。
初中数学三角函数巩固练习含答案
三角函数巩固练习一．选择题（共16小题）1．如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行15km 到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东45°的方向，则观测站O距港口A 的距离为（）A．km B．15km C．km D．15km2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cos A的值是（）A．B．C．D．3．如图，从地面B处测得热气球A的仰角为45°，从地面C处测得热气球A的仰角为30°，若BC为240米则热气球A的高度为（）A．120米B．120（﹣1）米C．240米D．120（+1）米4．临沂高铁即将开通，这将极大方便市民的出行．如图，在距离铁轨200米处的B处，观察由东向西的动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上，10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处西北方向上，则这时段动车的平均速度是（）米/秒．A．20（+1）B．20（﹣1）C．200D．3005．如图，点P（x，y）（x＞0，y＞0）在半径为1的圆上，则cosα＝（）A．x B．y C．D．6．如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m．在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝60°．则气球A离地面的高度（）A．（30﹣10）米B．20米C．（30+10）米D．40米7．如图，一辆小车沿着坡度为i＝1：的斜坡向上行驶了50米，则此时该小车离水平面的垂直高度为（）A．25米B．25米C．30米D．35米8．如图，小明为了测量大楼AB的高度，他从点C出发，沿着斜坡面CD走52米到点D处，测得大楼顶部点A的仰角为37°，大楼底部点B的俯角为45°，已知斜坡CD的坡度为i＝1：2.4．大楼AB的高度约为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．32米B．35米C．36米D．40米9．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosα的值是（）A．B．C．D．10．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD为100m，点A、D、B在同一直线上，CD⊥AB，则A、B两点的距离是（）A．200m B．200m C．m D．11．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90m，那么该建筑物的高度BC约为（）A．100m B．120m C．100m D．120m12．如图，河流的两岸PQ，MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树CD之间的距离为50米，某人在河岸MN的A处测得∠DAN＝45°，然后沿河岸走了130米到达B处，测得∠CBN＝60°．则河流的宽度CE为（）A．80B．40（3﹣）C．40（3+）D．4013．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为（）米．A．750B．375C．375D．75014．朝天门，既是重庆城的起源地，也是“未来之城”来福士广场的停泊之地，广场上八幢塔楼临水北向，错落有致，宛若巨轮扬帆起航，成为我市新的地标性建筑﹣﹣“朝天扬帆”，来福士广场T3N塔楼核芯筒于2017年12月11日完成结构封顶，高度刷新了重庆的天际线，小明为了测量T3N的高度，他从塔楼底部B出发，沿广场前进185米至点C，继而沿坡度为i＝1：2.4的斜坡向下走65米到达码头D，然后在浮桥上继续前行100米至趸船E，在E处小明操作无人勘测机，当无人勘测机飞行之点E的正上方点F时，测得码头D的俯角为58°．楼顶A的仰角为30°，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，则T3N塔楼AB的高度约为（）（结果精确到1米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）A．319米B．335米C．342米D．356米15．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平底面A处安置测角仪测一得楼房CD顶部点CD的仰角为45°，向前走20米到达A1处，测得点D的仰角为67.5°．已知测角仪AB的高度为1米，则楼房CD的高度为（）A．（）米B．（）米C．（）米D．（）米16．在Rt△ABC中，把各边都缩小到，那么sin A的值（）A．都缩小B．都不变C．都扩大5倍D．无法确定二．填空题（共4小题）17．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值＝______，tan∠APD的值＝______．18．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为______．19．如图所示是小明家房子的侧面图，屋面两侧的斜坡AB＝AC＝6米，屋顶∠BAC＝150°，计划把图中△ABC（阴影部分）涂上墙漆，若墙漆的造价每平方米为100元，则这部分墙漆的造价共需______元．20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cos B＝______．三．解答题（共7小题）21．小明学校门前有座山，山上有一电线杆PQ，他很想知道电线杆PQ的高度．于是，有一天，小明和他的同学小亮带着测角器和皮尺来到山下进行测量，测量方案如下：如图，首先，小明站在地面上的点A处，测得电线杆顶端点P的仰角是45°；然后小明向前走6米到达点B处，测得电线杆顶端点P和电线杆底端点Q的仰角分则是60°和30°，设小明的眼睛到地面的距离为1.6米，请根据以上测量的数据，计算电线杆PQ的高度（结果精确到1米，参考数据＝1.7，＝1.4）．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，AB：BD＝．（1）求tan∠DAC的值；（2）若BD＝4，求S△ABC．23．我国海域辽阔，渔业资源丰富，如图所示．现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上，在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向海里处，则海岛A，C之间的距离为多少海里？24．如图是某路灯在铅锤面内的示意图，灯柱AC的高为15.25米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为22米，从D、E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα＝8，tanβ＝，求灯杆AB的长度．25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD＝5，sin∠ADC＝，求tan∠ABC的值．26．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求（1）∠C的度数．（2）A，C两港之间的距离为多少km．27．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是边AB上一点，且tan∠DCB＝．（1）试求cos B的值；（2）试求△BCD的面积．三角函数巩固练习参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．解：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∠B＝180°﹣45°﹣90°﹣15°＝30°，∴AD＝AB•sin30°＝15×＝km，∴OA＝AD＝km．即观测站O距港口A的距离为km．故选：A．2．解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，∴AB＝＝＝，∴cos A＝＝＝，故选：C．3．解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，由题意知，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝240米，设AD＝x米，则BD＝AD＝x米，CD＝＝＝x米，由BC＝BD+CD可得x+x＝240，解得：x＝120（﹣1），即热气球的高度为120（﹣1）米，故选：B．4．解：作BD⊥AC于点D．∵在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，∴AD＝BD•tan∠ABD＝200（米），同理，CD＝BD＝200（米）．则AC＝200+200（米）．则平均速度是＝20（+1）米/秒．故选：A．5．解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则OQ＝x、PQ＝y，OP＝1，∴cosα＝＝x，故选：A．6．解：作AE⊥BD于E，在Rt△ACE中，CE＝＝AE，∵∠ABE＝45°，∴BE＝AE，由题意得BE﹣CE＝20，即AE﹣AE＝20，解得AE＝30+10．答：气球A离地面的高度约为（30+10）m．故选：C．7．解：设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米．根据勾股定理可得：x2+（x）2＝502．解得x＝25．即此时该小车离水平面的垂直高度为25米．故选：A．8．解：作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，∵CD的坡度为i＝1：2.4，CD＝52米，∴＝1：2.4，∴＝52，∴DF＝20（米）；∴BE＝DF＝20（米），∵∠BDE＝45°，∴DE＝BE＝40m，在Rt△ADE中，∠ADE＝37°，∴AE＝tan37°•20＝15（米）∴AB＝AE+BE＝35（米）．故选：B．9．解：如图所示：∵AD＝3，CD＝4，∴AC＝5∴cosα＝＝．故选：C．10．解：∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，∴∠BCD＝90°﹣45°＝45°，∠ACD＝90°﹣30°＝60°，∵CD⊥AB，CD＝100m，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD＝100m，在Rt△ACD中，∵CD＝100m，∠ACD＝60°，∴AD＝CD•tan60°＝100×＝100m，∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（+1）m．故选：D．11．解：由题意可得：tan30°＝＝＝，解得：BD＝30，tan60°＝＝＝，解得：DC＝90，故该建筑物的高度为：BC＝BD+DC＝120（m），故选：D．12．解：过点C作CF∥DA交AB于点F．∵MN∥PQ，CF∥DA，∴四边形AFCD是平行四边形．∴AF＝CD＝50，∠CFB＝∠DAN＝45°，∴FE＝CE，设BE＝x，∵∠CBN＝60°，∴EC＝x，∵FB+BE＝EF，∴130﹣50+x＝x，解得：x＝40（+1），∴CE＝x＝40（3+），故选：C．13．解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，AC＝30×25＝750（米），∴AD＝AC•sin45°＝375（米）．在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝750（米）．故选：A．14．解：如图，作FG⊥AB于点G，CH⊥DO于点H，由i＝＝可设CH＝x、DH＝2.4x，∵CD2＝CH2+DH2，且CD＝65，∴652＝x2+（2.4x）2，解得：x＝25，则BO＝CH＝25，DH＝2.4x＝60，∴FG＝EO＝ED+DH+OH＝100+60+185＝345，则AG＝FG tan∠AFG＝345×＝115，又∵GO＝EF＝ED×tan∠FDE＝100×tan58°≈100×1.60＝160．∴AB＝AG+OG﹣OB＝115+160﹣25≈198.95+135≈335（米）故选：B．15．解：过B作BF⊥CD于F，作B′E⊥BD，∵∠BDB'＝∠B'DC＝22.5°，∴EB'＝B'F，在Rt△BEE′中，∵∠BEB′＝45°，BB′＝20米，∴EB′＝B′F＝10（米），∴BF＝BB′+B′F＝（20+10）（米）∴DF＝（20+10）（米）∴DC＝DF+FC＝20+10+1＝（21+10）米故选：B．16．解：根据锐角三角函数的定义，知若各边都缩小到，则∠A的大小没有变化，所以sin A的值不变．故选：B．二．填空题（共4小题）17．解：∵四边形BCED是正方形，∴DB∥AC，∴△DBP∽△CAP，∴＝＝3，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，∴BF＝CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，∴DP：DF＝1：2，∴DP＝PF＝CF＝BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，∵∠APD＝∠BPF，∴tan∠APD＝2，故答案为：3，2．18．解：过A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，sin B＝，AB＝3，∴AD＝AB•sin B＝1，在Rt△ACD中，tan C＝，∴＝，即CD＝，根据勾股定理得：AC＝＝＝，故答案为．19．解：如图，过点B作BD垂直于CA延长线于点D，∵∠BAC＝150°，∴∠BAD＝30°．∴BD＝AB•sin30°＝AB＝3米．∴S阴影＝AC•BD＝＝9（平方米）则造价为：9×100＝900（元）故答案是：900．20．解：由勾股定理可知：BC＝＝，∴cos B＝＝，故答案为：三．解答题（共7小题）21．解：设QH＝x米，由题意得，∠PDH＝60°，∠QDH＝30°，∴∠DPH＝30°，在Rt△QDH中，tan∠QDH＝，则DH＝＝＝x，在Rt△PDH中，tan∠PDH＝，则PH＝＝3x，∵∠PCH＝45°，∴CH＝PH，即6+x＝3x，解得，x＝3+，则PQ＝3x﹣x＝2x＝6+2≈9，答：电线杆PQ的高度约为9米．22．解：（1）过D作DE⊥AB于E，∴∠BED＝∠C＝90°，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DC，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∵AB：BD＝，∴tan∠DAC＝＝；（2）∵tan∠DAC＝，∴∠DAC＝30°，∴∠ADC＝60°，∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠B＝30°，∴∠ABD＝∠DAB，∴AD＝BD＝4，∴CD＝AD＝2，AC＝AD＝2，∴BC＝6，∴S△ABC＝AC•BC＝6×＝．23．解：作AD⊥BC于D，设AC＝x海里，在Rt△ACD中，AD＝AC×sin∠ACD＝x，则CD＝x，在Rt△ABD中，BD＝x，则x+x＝28（1+），解得，x＝28，答：A，C之间的距离为28海里．24．解：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥BF，交BF于点G，则FG＝AC ＝15.25．由题意得∠BDE＝α，tan∠β＝．设BF＝4x，则EF＝5x在Rt△BDF中，∵tan∠BDF＝＝8，∴DF＝＝，∵DE＝22，∴x+5x＝22．∴x＝4．∴BF＝16，∴BG＝BF﹣GF＝16﹣15.25＝0.75，∵∠BAC＝120°，∴∠BAG＝∠BAC﹣∠CAG＝120°﹣90°＝30°．∴AB＝2BG＝1.5，答：灯杆AB的长度为1.5米25．解：在Rt△ADC中，sin∠ADC＝＝，∴＝，∴AC＝4，CD＝＝＝3，∴BC＝CD+DB＝3+5＝8，在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝＝．26．解：（1）由题意得：∠ACB＝20°+40°＝60°；（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，如图所示：∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，∴CE＝＝＝10，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km．27．解：（1）作AE⊥BC于E，如图，∵AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝×8＝4，在Rt△ABC中，cos B＝＝；（2）作DF⊥BC于F，如图，在Rt△CDF中，tan∠DCF＝＝，设DF＝3x，则CF＝5x，在Rt△ABE中，AE＝＝3，∴tan B＝＝，在Rt△BDF中，tan B＝＝，而DF＝3x，∴BF＝4x，∴BC＝BF+CF＝4x+5x＝9x，即9x＝8，解得x＝，∴DF＝3x＝，∴S△BCD＝×DF×BC＝××8＝．。
初中三角函数10道大题综合练习
三角函数1.已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值.2、已知函数.,1cos 2)32sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=ππ（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值.4、已知函数xxx x x f sin 2sin )cos (sin )(-=.（1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间.5、 设函数2()cos(2)sin 24f x x x π=++. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时，1()()2g x f x =-，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.6、函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值. 7、设426f (x )cos(x )sin x cos x π=ω-ω+ω，其中.0>ω （Ⅰ）求函数y f (x )= 的值域（Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，求 ω的最大值.9、已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --= （1）求A ； （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c .10、在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23，sin B C ．(Ⅰ)求tan C 的值； (Ⅱ)若a ∆ABC 的面积．答案1、【思路点拨】先利用和角公式展开，再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数，最后求周期及闭区间上的最值.【精讲精析】（Ⅰ）因为()4cos sin()16f x x x π=+-14cos cos )12x x x =+-222cos 1x x =+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+， 所以()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤.于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当266x ππ+=-，即6x π=-时，()f x 取得最小值－1.2、【解析】 （1）2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--2sin 2coscos 2)34x x x ππ=+=+ 函数()f x 的最小正周期为22T ππ==（2）32sin(2)11()4444424x x x f x ππππππ-≤≤⇒-≤+≤⇒-≤+≤⇔-≤≤当2()428x x πππ+==时，()max f x ，当2()444x x πππ+=-=-时，min ()1f x =-【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.3、【思路点拨】1、根据正切函数的有关概念和性质；2、根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值.【精讲精析】（I ）【解析】由2,42+≠+∈x k k Z πππ， 得,82≠+∈k x k Z ππ. 所以()f x 的定义域为{|,}82∈≠+∈k x R x k Z ππ，()f x 的最小正周期为.2π（II ）【解析】由()2cos 2,2f =αα得tan()2cos 2,4+=παα 22sin()42(cos sin ),cos()4+=-+παααπα 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin +=+--αααααααα因为(0,)4∈πα，所以sin cos 0.+≠αα因此211(cos sin ),sin 2.22-==ααα即 由(0,)4∈πα，得2(0,)2∈πα.所以2,.612==ππαα即4、解（1）：sin 0()x x k k Z π≠⇔≠∈得：函数()f x 的定义域为{,}x x k k Z π≠∈(sin cos )sin 2()(sin cos )2cos sin x x xf x x x xx-==-⨯sin 2(1cos 2))14x x x π=-+=--得：)(x f 的最小正周期为22T ππ==；（2）函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈ 则322224288k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇔-≤≤+得：)(x f 的单调递增区间为3[,),(,]()88k k k k k Z ππππππ-+∈5、本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力. 【解析】2111())sin cos 2sin 2(1cos 2)4222f x x x x x x π=++=-+-11sin 222x =-， （I ）函数()f x 的最小正周期22T ππ== （II ）当[0,]2x π∈时，11()()sin 222g x f x x =-= 当[,0]2x π∈-时，()[0,]22x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时，()[0,)2x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1x x g x ππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪.6、【解析】（1）∵函数()f x 的最大值是3，∴13A +=，即2A =.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴最小正周期T π=，∴2ω=. 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16f x x π=-+.（2）∵()2f α2sin()126πα=-+=，即1sin()62πα-=，∵02πα<<，∴663πππα-<-<，∴66ππα-=，故3πα=.7、解：（1）()314sin sin cos 22f x x x x x ωωωω⎫=++⎪⎪⎝⎭22223cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-321x ω=+因1sin 21x ω-≤≤，所以函数()y f x =的值域为13,13⎡+⎣（2）因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数， 故()3sin 21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数. 依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立，此时必有0k =，于是 32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得16ω≤，故ω的最大值为16. 8. 本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想. [解析]（Ⅰ）由已知可得：2()6cos33(0)2xf x x ωωω=->=3cosωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23，则BC=4 所以，函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以，函数]32,32[)(-的值域为x f .……………………6分（Ⅱ）因为，由538)(0=x f （Ⅰ）有 ，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即 由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（ 所以，53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即 故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos )34([sin 3200⨯+⨯=+++=ππππππx x567=………………………………………………………12分 9..解：（1）由正弦定理得：cos 3sin 0sin cos 3sin sin sin a C a C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos 3sin sin()sin 13cos 1sin(30)2303060A C A C a C CA A A A A ︒︒︒︒⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（2）1sin 342S bc A bc ==⇔=， 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+= 10. 本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ)∵cos A ＝23＞0，∴sin A 251cos A -=5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝5cos C ＋23sin C ． 整理得：tan C 5．(Ⅱ)由图辅助三角形知：sin C ＝56．又由正弦定理知：sin sin a cA C=， 故3c = (1)对角A 运用余弦定理：cos A ＝2222b c a +-=． (2)解(1) (2)得：b=or b舍去)．∴∆ABC的面积为：S．。
人教中考数学专题训练---锐角三角函数的综合题分类含答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈）【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】解：作BF CE ⊥于F ，在Rt BFC ∆中， 3.20BF BC sin BCF ⋅∠≈＝，3.85CF BC cos BCF ⋅∠≈＝，在Rt ADE ∆E 中，3 1.73tan 3AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．【点睛】考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=12∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想：BFPE=，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE的值．（用含α的式子表示）【答案】（1）证明见解析（2）12BFPE=（3）1tan2BFPEα=【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．（2）BF1PE2=．证明如下：如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．∴NB=NP．∵∠MBN=900—∠BMN ， ∠NPE=900—∠BMN ，∴∠MBN=∠NPE ． ∴△BMN ≌△PEN （ASA ）．∴BM=PE ．∵∠BPE=12∠ACB ，∠BPN=∠ACB ，∴∠BPF=∠MPF ． ∵PF ⊥BM ，∴∠BFP=∠MFP=900．又∵PF=PF ， ∴△BPF ≌△MPF （ASA ）．∴BF="MF" ，即BF=12BM ． ∴BF=12PE ， 即BF 1PE 2=． （3）如图，过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．由（2）同理可得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ．∴BM BNPE PN=． 在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴BM =tan PE α，即2BF=tan PEα． ∴BF 1=tan PE 2α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出BF 1PE 2=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BNtan =PNα即可求得BF 1=tan PE 2α．3．已知Rt △ABC 中，AB 是⊙O 的弦，斜边AC 交⊙O 于点D ，且AD=DC ，延长CB 交⊙O 于点E ．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．4．如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【解析】试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C （0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；（2）解题要点有3个：i）判定△ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．试题解析：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．①∵OC=2，∴C（0，2）．∵点C在抛物线C2上，∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入（I）式，得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．②在（I）式中，令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．假设存在满足条件的a值．∵AP=BP，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，∴OP⊥BC．如图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OP⊥BC，OE=a．∵点P在直线BC上，∴P（a，a+），PE=a+．∵tan∠EOP=tan∠BCO=，∴，解得：a=．∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+m）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．∴D（﹣m，3）．AB=OB+OA=2﹣m+m=2．如图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．∵tan∠ABD=，∴∠ABD=60°．又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE•tan30°=×=1，∴P1（﹣m，1）；在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．在Rt△BEP2中，P2E=BE•tan60°=•=3，∴P2（﹣m，﹣3）；易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x轴．∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【考点】二次函数综合题．5．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．【答案】（1）见解析；（2）∠FCN ＝45°，理由见解析；（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43．理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形， ∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°， ∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ， ∴∠BAE ＝∠DAG ， 在△ADG 和△ABE 中，ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADG ≌△ABE （AAS ）． （2）解：∠FCN ＝45°，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：则∠EHF ＝90°＝∠ABE ， ∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°， ∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EFH ≌△ABE （AAS ）， ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ， ∴CH ＝BE ＝FH ， ∵∠FHC ＝90°， ∴∠FCN ＝45°．（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90°，结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ， ∴EH ＝AD ＝BC ＝8， ∴CH ＝BE ， ∴EH FH FHAB BE CH==； 在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝8463FH EH CH AB ===， ∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 与直线y ＝12x ﹣3分别交x 轴、y 轴上的B 、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，连接CD 交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标； （2）求∠DCB 的正切值；（3）如果点F 在y 轴上，且∠FBC ＝∠DBA +∠DCB ，求点F 的坐标．【答案】（1）21y 234x x =-+-，D （4，1）；（2）13；（3）点F 坐标为（0，1）或（0，﹣18）． 【解析】 【分析】 （1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3，求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx+c ，即可求解； （2）求出则点E （3，0），EH ＝EB•sin ∠OBC ＝5，CE ＝32，则CH ＝5，即可求解；（3）分点F 在y 轴负半轴和在y 轴正半轴两种情况，分别求解即可． 【详解】 （1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3， 则点B 、C 的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c ＝﹣3， 将点B 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx ﹣3得：0＝﹣14×36+6b ﹣3，解得：b ＝2， 故抛物线的表达式为：y ＝﹣14x 2+2x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6或2， 即点A （2，0），则点D （4，1）； （2）过点E 作EH ⊥BC 交于点H ，C 、D 的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1）， 直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣3，则点E （3，0）， tan ∠OBC ＝3162OC OB ==，则sin ∠OBC 5，则EH ＝EB•sin ∠OBC 5CE＝32，则CH＝5，则tan∠DCB＝13 EHCH=；（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），则BC＝35，∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，tan∠DBE＝164-＝12，故：∠DBE＝∠OBC，则∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，①当点F在y轴负半轴时，过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，则∠GFC＝∠OBC＝α，设：GF＝2m，则CG＝GFtanα＝m，∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，即：5＝2m，解得：m＝5CF22GF CG+5＝15，故点F（0，﹣18）；②当点F在y轴正半轴时，同理可得：点F（0，1）；故：点F坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），确定∠FBC ＝∠DBA+∠DCB ＝∠AEC ＝45°，是本题的突破口．7．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ，切点为G ，连接AG 交CD 于K ． （1）如图1，求证：KE ＝GE ； （2）如图2，连接CABG ，若∠FGB ＝12∠ACH ，求证：CA ∥FE ； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CG 交AB 于点N ，若sin E ＝35，AK ＝10，求CN 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）△EAD 是等腰三角形．证明见解析；（3201013【解析】 试题分析：（1）连接OG ，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA 可得∠AGO=∠OAG ，从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG ，这样即可得到KE=GE ；（2）设∠FGB=α，由AB 是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°-α，结合GE=KE 可得∠EKG=90°-α，这样在△GKE 中可得∠E=2α，由∠FGB=12∠ACH 可得∠ACH=2α，这样可得∠E=∠ACH ，由此即可得到CA ∥EF ； （3）如下图2，作NP ⊥AC 于P ，由（2）可知∠ACH=∠E ，由此可得sinE=sin ∠ACH=35AH AC =，设AH=3a ，可得AC=5a ，CH=4a ，则tan ∠CAH=43CH AH =，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC ，从而可得CK=AC=5a ，由此可得HK=a ，tan ∠AKH=3AHHK=，10a ，结合10可得a=1，则AC=5；在四边形BGKH 中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG 可得∠ACG=∠AKH ， 在Rt △APN 中，由tan ∠CAH=43PN AP=，可设PN=12b ，AP=9b ，由tan ∠ACG=PN CP =tan ∠AKH=3可得CP=4b ，由此可得AC=AP+CP=13b =5，则可得b=513，由此即可在Rt △CPN 中由勾股定理解出CN 的长. 试题解析：（1）如图1，连接OG ．∵EF 切⊙O 于G ， ∴OG ⊥EF ，∴∠AGO+∠AGE=90°， ∵CD ⊥AB 于H ， ∴∠AHD=90°， ∴∠OAG=∠AKH=90°， ∵OA=OG ， ∴∠AGO=∠OAG ， ∴∠AGE=∠AKH ， ∵∠EKG=∠AKH ， ∴∠EKG=∠AGE ， ∴KE=GE ． （2）设∠FGB=α， ∵AB 是直径， ∴∠AGB=90°，∴∠AGE =∠EKG=90°﹣α， ∴∠E=180°﹣∠AGE ﹣∠EKG=2α，∵∠FGB=12∠ACH ， ∴∠ACH=2α， ∴∠ACH=∠E ， ∴CA ∥FE ．（3）作NP ⊥AC 于P ． ∵∠ACH=∠E ， ∴sin ∠E=sin ∠ACH=35AH AC =，设AH=3a ，AC=5a ， 则224AC CH a -=，tan ∠CAH=43CH AH =， ∵CA ∥FE ， ∴∠CAK=∠AGE ， ∵∠AGE=∠AKH ，∴∠CAK=∠AKH，∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH=AHHK =3，AK=2210AH HK a+=，∵AK=10，∴1010a=，∴a=1．AC=5，∵∠BHD=∠AGB=90°，∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，∴∠AKH=∠ABG，∵∠ACN=∠ABG，∴∠AKH=∠ACN，∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，∵NP⊥AC于P，∴∠APN=∠CPN=90°，在Rt△APN中，tan∠CAH=43PNAP=，设PN=12b，则AP=9b，在Rt△CPN中，tan∠ACN=PNCP=3，∴CP=4b，∴AC=AP+CP=13b，∵AC=5，∴13b=5，∴b=513，∴CN=22PN CP+=410b⋅=2010 13．8．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，CG是⊙O的弦∠PCA＝∠ABC，CG⊥AB，垂足为D(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求证：PA AD PC CD；(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若sin∠P＝35，CF＝5，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2）BE=12．【解析】【分析】（1）连接OC，由PC切⊙O于点C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB为⊙O的直径，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，证得∠OCA=∠OAC，于是得到结论；（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到弧AC=弧AG，于是得到∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根据等腰三角形的性质得到CF=AF，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=35，求得FD=3，AD=4，CD=8，在R t△OCD中，设OC=r，根据勾股定理得到方程r2=（r-4）2+82，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，在R t△ABE中，由sin∠EAD=35，得到BEAB＝35，于是求得结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，∴∠PCA+∠OCA=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠OAC=90°，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠PCA=∠ABC；（2）解：∵AE∥PC，∴∠PCA=∠CAF，∵AB⊥CG，∴弧AC=弧AG，∴∠ACF=∠ABC，∵∠PCA=∠ABC，∴∠ACF=∠CAF，∴CF=AF，∵CF=5，∴AF=5，∵AE∥PC，∴∠FAD=∠P，∵sin∠P=35，∴sin∠FAD=35，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=35，∴FD=3，AD=4，∴CD=8，在R t△OCD中，设OC=r，∴r2=（r﹣4）2+82，∴r=10，∴AB=2r=20，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，在R t△ABE中，∵sin∠EAD=35，∴35BEAB，∵AB=20，∴BE=12．【点睛】本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接OC构造直角三角形．9．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A处与E处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C点测得条幅顶端A点的仰角为45°，条幅底端E点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD为12米，求条幅AE的长度．(结果保留根号)【答案】AE 的长为(123)+ 【解析】 【分析】在Rt ACF 中求AF 的长, 在Rt CEF 中求EF 的长,即可求解. 【详解】过点C 作CF AB ⊥于点F 由题知：四边形CDBF 为矩形12CF DB ∴==在Rt ACF 中，45ACF ∠=︒tan 1AFACF CF∴∠== 12AF ∴=在Rt CEF 中，30ECF ∠=︒ tan EFECF CF∴∠= 3123EF ∴=43EF ∴=1243AE AF EF ∴=+=+∴求得AE 的长为(1243+【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.10．已知：如图，在Rt △ABO 中，∠B =90°，∠OAB =30°，OA =3．以点O 为原点，斜边OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，以点P （4，0）为圆心，PA 长为半径画圆，⊙P 与x 轴的另一交点为N ，点M 在⊙P 上，且满足∠MPN =60°．⊙P 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向左运动，设运动时间为ts ，解答下列问题： （发现）（1）MN 的长度为多少；（2）当t =2s 时，求扇形MPN （阴影部分）与Rt △ABO 重叠部分的面积．（探究）当⊙P 和△ABO 的边所在的直线相切时，求点P 的坐标．（拓展）当MN 与Rt △ABO 的边有两个交点时，请你直接写出t 的取值范围．【答案】【发现】（1）MN 的长度为π3；（23P 的坐标为10（，）；或230）或230（）；【拓展】t 的取值范围是23t ≤＜或45t ≤＜，理由见解析．【解析】 【分析】发现：（1）先确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论； （2）先求出PA =1，进而求出PQ ，即可用面积公式得出结论； 探究：分圆和直线AB 和直线OB 相切，利用三角函数即可得出结论；拓展：先找出MN 和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论． 【详解】 [发现]（1）∵P （4，0），∴OP =4． ∵OA =3，∴AP =1，∴MN 的长度为6011803ππ⨯=． 故答案为3π； （2）设⊙P 半径为r ，则有r =4﹣3=1，当t =2时，如图1，点N 与点A 重合，∴PA =r =1，设MP 与AB 相交于点Q ．在Rt △ABO 中，∵∠OAB =30°，∠MPN =60°． ∵∠PQA =90°，∴PQ 12=PA 12=，∴AQ =AP ×cos30°3=∴S 重叠部分=S △APQ 12=PQ ×AQ 3= 即重叠部分的面积为38． [探究]①如图2，当⊙P 与直线AB 相切于点C 时，连接PC ，则有PC ⊥AB ，PC =r =1． ∵∠OAB =30°，∴AP =2，∴OP =OA ﹣AP =3﹣2=1； ∴点P 的坐标为（1，0）；②如图3，当⊙P 与直线OB 相切于点D 时，连接PD ，则有PD ⊥OB ，PD =r =1，∴PD ∥AB ，∴∠OPD =∠OAB =30°，∴cos ∠OPD PD OP =，∴OP 123303cos ==︒，∴点P 的坐标为（233，0）； ③如图4，当⊙P 与直线OB 相切于点E 时，连接PE ，则有PE ⊥OB ，同②可得：OP 233=； ∴点P 的坐标为（233-，0）；[拓展]t 的取值范围是2＜t ≤3，4≤t ＜5，理由：如图5，当点N 运动到与点A 重合时，MN 与Rt △ABO 的边有一个公共点，此时t =2； 当t ＞2，直到⊙P 运动到与AB 相切时，由探究①得：OP =1，∴t 411-==3，MN 与Rt △ABO 的边有两个公共点，∴2＜t ≤3．如图6，当⊙P 运动到PM 与OB 重合时，MN 与Rt △ABO 的边有两个公共点，此时t =4； 直到⊙P 运动到点N 与点O 重合时，MN 与Rt △ABO 的边有一个公共点，此时t =5； ∴4≤t ＜5，即：t 的取值范围是2＜t ≤3，4≤t ＜5．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的性质，锐角三角函数，三角形面积公式，作出图形是解答本题的关键．。
初中数学三角函数习题有答案
一、计算题1、计算：．2、计算：3、计算：+() - ；4、计算：、计算：sin60sin6000cos3000+5、小明的家在某公寓楼AD 内，他家的前面新建了一座大厦BC BC，小明想知道大厦的高度，但由于施工原因，无法测，小明想知道大厦的高度，但由于施工原因，无法测出公寓底部A 与大厦底部C 的直线距离，于是小明在他家的楼底A 处测得大厦顶部B 的仰角为，爬上楼顶D 处测得大厦的顶部B 的仰角为，已知公寓楼AD 的高为60米，请你帮助小明计算出大厦的高度BC BC。
6、（、（11）计算：；（2）已知∶∶＝2∶3∶4，求的值的值. .二、简答题7、先化简，再求值：，其中（tan45tan45°°-cos30-cos30°）°）8、已知，凸4n ＋2边形A 1A 2…A 4n+2（n 是非零自然数）各内角都是3030°的整数倍°的整数倍°的整数倍,• ,•又关于x 的方程均有实根，求这凸4n ＋2边形各内角的度数边形各内角的度数. .9、已知：、已知：sin sin α是关于x 的一元二次方程的一个根，请计算代数式：的一个根，请计算代数式：tan tan 22α-sin α+2cos α的值1010、已知、已知是锐角，且，计算1111、如图，△、如图，△、如图，△A A BC 和△CDE 均为等腰直角三角形，点B ，C ，D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，BC =3=3，，CD=1.(1)(1)求证求证tan tan∠∠AEC =;(2);(2)请探究请探究BM 与DM 的关系，并给出证明的关系，并给出证明. .1212、、 先化简再求值：先化简再求值：其中a=tan60a=tan60°° 1313、观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△、观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，过A 作 AD ⊥BC 于D (如图如图))，则sinB =，sinC =，即AD =c sin B ，AD =bsinC ，于是csinB =bsinC ，即.同理有：，，所以即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素根据上述材料，完成下列各题（1）如图，△ABC 中，∠B =450，∠C =750，BC =60=60，则∠，则∠A = = ；；AC = = ；； （2）如图，一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西3030°的方向上，随后货轮以°的方向上，随后货轮以60海里／时的速度按北偏东3030°的方向航行，半小时后到达°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西7575°的方向上°的方向上°的方向上((如图如图))，求此时货轮距灯塔A 的距离AB .1414、开放探索题：、开放探索题：、开放探索题：（1）如图，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定、变化而变化）如图，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定、变化而变化. . . 试探索随试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律. .（2）根据你探索到的规律，试比较1818°，°，°，343434°，°，°，505050°，°，°，626262°，°，°，888888°，这些锐角的正弦°，这些锐角的正弦值和余弦值的大小值和余弦值的大小. .（3）比较大小（在空格处填“）比较大小（在空格处填“>>”、“”、“<<”或“”或“==”）”）若，则______；若，则______；若>45>45°，则°，则______.（4）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：Sin10 Sin10°、°、°、cos30cos30cos30°、°、°、sin50sin50sin50°、°、°、cos70cos70cos70°°.1515、学科内知识综合题：、学科内知识综合题：、学科内知识综合题：已知∠已知∠A A 是锐角，且tanA tanA、、cotA 是关于x 的一元二次方程=0的两个实数根的两个实数根. . （1）求k 的值；的值；（2）问∠）问∠A A 能否等于4545°？请说明你的理由°？请说明你的理由°？请说明你的理由. .1616、、 学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化小之间可以相互转化. . 类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.如图，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sad A =.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的相互唯一确定的. .根据上述对角的正对定义，解下列问题：根据上述对角的正对定义，解下列问题：根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）sad的值为（的值为（ ））A. B. 1 C. D. 2（2）对于，∠A 的正对值sad A 的取值范围是的取值范围是 . .（3）已知，其中为锐角，试求sad 的值的值. .1717、已知：如图，在△、已知：如图，在△ABC 中，，，．求：求：求：(1) (1) (1) △△ABC 的面积；的面积； (2) (2) sinA 的值．的值．1818、如图，在、如图，在Rt Rt△△ABC 中，中，BC BC BC、、AC AC、、AB 三边的长分别为a 、b 、c ，则，则sinA=， cosA=，tanA=．我们不难发现：我们不难发现：sin sin 260o +cos 260o =1=1，…，… 试探求sinA sinA、、cosA cosA、、tanA 之间存在的一般关系，并说明理由．之间存在的一般关系，并说明理由．三、填空题1919、在、在中，三边之比为，则=2020、如图，在平面直角坐标系、如图，在平面直角坐标系O 中，已知点A （3，3）和点B （7，0），则sin ∠ABO 的值等于的值等于 . .2121、、“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100100，直角三角形中较小的锐角为，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α的值等于的值等于___________ ___________2222、已知、已知为锐角，若，＝ ；若；若，则；2323、已知、已知Rt Rt△△中,若cos ,则 四、选择题2424、已知在、已知在RT RT△△ABC 中，∠中，∠C=90C=900，∠，∠A A 、∠、∠B B 、∠、∠C C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列关系式错误的是（▲），则下列关系式错误的是（▲）A 、a=btanAB a=btanA B、、b=ccosAC b=ccosA C、、a=csinAD a=csinA D、、c=2525、直线、直线y=2x 与x 轴正半轴的夹角为，那么下列结论正确的是（，那么下列结论正确的是（ ）A. tan =2B. tan =C. sin =2D. cos=22626、将两副三角板如下图摆放在一起，连结、将两副三角板如下图摆放在一起，连结，则的余切值为的余切值为( ) ( )A ．B B．．C C．．2D 2 D．．32727、关于、关于的二次函数+，其中为锐角，则：为锐角，则：① 当为3030°时，函数有最小值°时，函数有最小值°时，函数有最小值--；② 函数图象与坐标轴必有三个交点，并且当为4545°时，连结这三个交点所围成的三角形面积小于°时，连结这三个交点所围成的三角形面积小于1； ③ 当<60<60°时，函数在°时，函数在x >1时，y 随x 的增大而增大；的增大而增大；④ 无论锐角怎么变化，函数图象必过定点。
(完整)初中数学三角函数练习题
(完整)初中数学三角函数练习题初中数学三角函数练题1. 求下列三角函数的值：a) sin 30°b) cos 45°c) tan 60°2. 在直角三角形 ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 5 cm，BC = 12 cm。
求 sin A、cos A 和 tan A 的值。
3. 如果 sin x = 0.6，求 x 的值（0° ≤ x ≤ 180°）。
4. 已知 sin y = 0.8，求 cos y 的值（0° ≤ y ≤ 180°）。
5. 在直角三角形 DEF 中，∠E = 30°，EF = 6 cm，DE = 8 cm。
求 sin F、cos F 和 tan F 的值。
6. 如果 cos z = 0.4，求 z 的值（0° ≤ z ≤ 180°）。
7. 已知 cos w = 0.7，求 sin w 的值（0° ≤ w ≤ 180°）。
8. 在直角三角形 GHI 中，∠H = 60°，GH = 9 cm，HI = 3 cm。
求 sin G、cos G 和 tan G 的值。
9. 如果 tan v = 1.5，求 v 的值（0° ≤ v ≤ 180°）。
10. 已知 tan u = 2，求 sin u 的值（0° ≤ u ≤ 180°）。
11. 在直角三角形 ___ 中，∠K = 45°，JK = 6 cm，KL = 6 cm。
求 sin L、cos L 和 tan L 的值。
12. 如果 cot t = 0.75，求 t 的值（0° ≤ t ≤ 180°）。
13. 已知 cot s = 4，求 sin s 的值（0° ≤ s ≤ 180°）。
14. 已知cos α = 0.6，求sin^2 α 和cos^2 α 的值。
初三数学上册综合算式专项练习题三角函数的运算
初三数学上册综合算式专项练习题三角函数的运算初三数学上册综合算式专项练习题：三角函数的运算三角函数在初中数学的学习中占据着重要的地位。
掌握三角函数的运算规则，不仅可以解决与角度相关的问题，还可以在几何图形的计算中起到重要的作用。
本文将围绕三角函数的运算，给出一些综合算式专项练习题，帮助同学们熟练掌握三角函数的运算方法。
一、计算题1. 计算以下各式的值：a) sin30°b) cos60°c) tan45°2. 分别求以下各式的值：a) cos(90° + x)b) sin(180° - x)c) tan(270° + x)3. 确定以下各式的符号：a) cos(-45°)b) sin(-120°)c) tan(-60°)二、简化题1. 简化以下各式：a) cos^2x + sin^2xb) tan^2x + 12. 简化以下各式，并求出其值：a) sin^2x - cos^2xb) 1 - sin^2x三、综合题1. 已知在直角三角形中，∠A = 30°，边AC = 5，边BC = 3。
求：a) sinAb) cosAc) tanA2. 已知在直角三角形中，∠A = 60°，边AB = 4，边BC = 2。
求：a) sinAb) cosAc) tanA四、复杂题1. 已知在任意三角形ABC中，AB = 5，BC = 7，AC = 8。
求：a) sinAb) cosAc) tanA2. 已知在任意三角形ABC中，∠B = 45°，c = 10。
求：a) sinBb) cosBc) tanB以上是初三数学上册综合算式专项练习题，通过解答这些题目，同学们可以加深对三角函数的运算规则的理解，同时也能够巩固自己的计算能力和运算技巧。
希望同学们认真对待这些练习题，刻苦锻炼自己的数学能力，提高自己的成绩。
初中数学锐角三角函数练习、解直角三角形练习及详细解答
初中三角函数练习及解答1.锐角三角函数1.比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin19︒与cos70︒；（2）cot 65︒与cos40︒；（3）cos1︒，tan 46︒，sin88︒和cot 38︒．2.化简求值：（1）tan1tan 2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒ ；（2sin83︒；（3）2222tan sin tan sin αααα⋅-；（4cos 79sin 79-︒-︒；3.若tan 3α=求2sin sin 13sin cos αααα-+的值．4.下列四个数中哪个最大：A ．tan 48cot 48︒+︒B ．sin 48cos48︒+︒C ．tan 48cos48︒+︒D ．cot 48sin 48︒+︒5.设x 为锐角，且满足sin 3cos x x =，求sin cos x x ．6.已知sin cos αα+=，求sin cos αα的值．7．已知m 为实数，且sin α、cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根．求44sin cos αα+的值．8．设A 、B 是一个直角三角形的两个锐角，满足2sin sin 2A B -=．求sin A 及sin B 的值．9．已知关于x 的一元二次方程()()22211120m x m x +--+=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数m 的值．10．已知方程2450x x k -+=的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求k ．11．若直角三角形中的两个锐角A 、B 的正弦是方程20x px q ++=的两个根；（1）那么，实数p 、q 应满足哪些条件？（2）如果p 、q 满足这些条件，方程20x px q ++=的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A 、B 的正弦？12．已知方程()24210x m x m -++=的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求m 的值．13．不查表，求15︒的四种三角函数值．14．求22.5︒角的正切值（不查表，不借助计算器）．15．求sin18︒的值．16．若x 、y 为实数，221x y +=，α为锐角，求证：sin cos x y αα+的绝对值不大于1．2解直角三角形1．如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AD 是A ∠的平分线，且CD =，DB =求ABC △的三边长．2．在Rt ABC △中（如图），D 、E 是斜边AB 的三等分点，已知sin CD x =，()cos 090CE x x =︒<<︒．试求AB 的长．3．如图，ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，6AC =，AD 是BAC ∠的平分线，求点B 到直线AD 的距离BH ．4．已知ABC △是非等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB BC CE ==，连结AD 、AE ．已知45BAD ∠=︒．求tan CAE ∠的值．5．设有一张矩形纸片ABCD （如图），3AB =，4BC =．现将纸片折叠，使C 点与A 点重合，试求折痕EF 的长．6．已知三角形两边之和是10，这两边的夹角为30︒，面积为254，求证：此三角形为等腰三角形．7．在ABC △中，90C ∠=︒，其周长为2+，且已知斜边上的中线长为1．如果BC AC >，求tan A的值．8．已知a 、b 、c 分别是ABC △中A ∠、B ∠，C ∠的对边，且a 、b 是关于x 的一元二次方程()()2 424x c c x ++=+的两个根．（1）判断ABC △的形状；（2）若3tan 4A =求a 、b 、c ．9．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，12ABC S m =△，且两直角边长满足条件32a b m +=．（1）证明：24m ≥；（2）当m 取最小值时，求ABC △中最小内角的正切值．10．如图所示．90A BEF EBC ECD ∠=∠=∠=∠=︒，30ABF ∠=︒，45BFE ∠=︒，60ECB ∠=︒且2AB CD =．求tan CDE ∠的值．11．如图所示．在锐角ABC △中，4sin 5B =，tan 2C =，且10ABC S =△．求BC ．12．如图所示．在ACD △中，45A ∠=︒，5CB =，7CD =，3BD =．求CBD ∠及AC ．13．如图，已知ABC △中，1AB =，D 是AB 的中点，90DCA ∠=︒，45DCB ∠=︒．求BC 的长．14．如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：33AE AC BF BC =．15．如图，在ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，M 是AC 边的中点，AD 垂直于BM 且交BC 于D ．求证：AMB CMD ∠=∠．16．如图（a ），正方形ABCD 的边长E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 分别交DE 、DB 于点M 、N ，求DMN △的面积．17．已知a 、b 、c 是ABC △三边的长，其中b a c >=，且方程20ax c +=两根的差的绝对值等．求ABC △中最大角的度数．18．如图，AB 是圆的直径，弦CD AB ∥，AC 与BD 相交于E ，已知AED θ∠=，试求:CDE ABE S S △△．19．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上．如果CD与地面成45︒，60A ∠=︒，4m CD =，(m BC =-，求电线杆AB 的长（精确到0.1m ）．20．如图，某岛S 周围42海里内存在着大量的暗礁．现在一轮船自西向东以每小时15海里的速度航行，在、A 处测得S 在北偏东60︒，2小时后在B 处测得S 在正东北方向，试问轮船是否需要改变航行方向行驶，才能避免触礁危险，说明理由．21．如图，某污水处理站计划砌一段截面为等腰梯形的排污渠，如果渠深为h ，截面积为S ，试求当倾角θ为多少时造价最小？1.锐角三角函数（详细解答）1.比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin19︒与cos70︒；（2）cot 65︒与cos40︒；（3）cos1︒，tan 46︒，sin88︒和cot 38︒．解析（1）利用互余角的三角函数关系式，将cos70︒化sin 20︒，再与sin19︒比大小．因为()cos70cos 9020sin 20︒=︒-︒=︒，而sin19sin 20︒<︒，所以sin19cos70︒<︒．（2）余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊的三角函数值，间接比较它们的大小．32cot 60cos 4532︒=<︒=，再将cot 65︒，cos40︒分别与cot 60︒，cos45︒比大小．因为cot 65cot 60︒<︒=，cos 40cos 45︒>︒>，所以cot 60cos45︒<︒，所以cot 65cos40︒<︒．（3）tan 451︒=，显然cos1︒，sin88︒均小于1，而tan 46︒，cot 38︒均大于1．再分别比较cos1︒与sin88︒，以及tan 46︒与cot 38︒的大小即可．因为()cos38cot 9052tan52︒=︒-︒=︒，所以tan52tan 46tan 451︒>︒>︒=．因为()cos1cos 9089sin89︒=︒-︒=︒，所以sin88sin891︒<︒<，所以cot 38tan 46cos1sin88︒>︒>︒>︒．评注比较三角函数值的大小，一般分为三种类型：（1）同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．（2）互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小．（3）不能化为同名的两个三角函数，可通过与某些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如30︒，45︒，60︒的三角函数值．2.化简求值：（1）tan1tan 2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒ ；（2sin83︒；（3）2222tan sin tan sin αααα⋅-；（4cos 79sin 79-︒-︒；解析（1）原式=tan1tan 2tan3tan 44tan 45cot 44cot 43cot 3cot 2cot1︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒ ()()()tan1cot1tan 2cot 2tan 44cot 44tan 45=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒ 1111=⋅⋅⋅= ．（2）原式1cos7cos71cos7=︒=⋅︒=︒．（3）原式()22442242222sin sin sin sin cos 1sin sin sin 1cos sin cos ααααααααααα⋅====--．（4）原式sin11cos11sin11cos11sin11cos110-︒-︒=︒-︒-︒-︒=．3.若tan 3α=求2sin sin 13sin cos αααα-+的值．原式2222sin cos sin sin cos sin 13sin cos sin cos 3sin cos αααααααααααα--==+++2222tan tan 336tan 13tan 313319αααα--===-++++⨯．4.下列四个数中哪个最大：A ．tan 48cot 48︒+︒B ．sin 48cos48︒+︒C ．tan 48cos48︒+︒D ．cot 48sin 48︒+︒解析显然0sin 481<︒<，0cos481<︒<0<cos48°<1．因此有：sin 48sin 48tan 48cos 48︒︒<=︒︒，cos 48cos 48cot 48sin 48︒︒<=︒︒所以A 最大．5.设x 为锐角，且满足sin 3cos x x =，求sin cos x x ．解析我们将sin 3cos x x =代入22sin cos 1x x +=，得到210cos 1x =，并且x 是锐角，因此cos x=所以sin x =．因此3sin cos 10x x =．6.已知sin cos αα+=，求sin cos αα的值．解析由sin cos αα+=两边平方得()22sin cos αα+=．又22sin cos 1αα+=，所以12sin cos 2αα+=，得1sin cos 2αα=．7．已知m 为实数，且sin α、cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根．求44sin cos αα+的值．解析由根与系数的关系知1sin cos 3αα=．则有()()2244227sin cos sin cos 2sin cos 9αααααα+=+-=．8．设A 、B 是一个直角三角形的两个锐角，满足2sin sin 2A B -=．求sin A 及sin B 的值．解析由于90A B +=︒，故由互余关系得()sin sin 90cos B A A =︒-=．因此条件即为sin cos A A -=，①将上式平方，得221sin cos 2sin cos 2A A A A +-=，由正、余弦的平方关系，即有12sin cos 2A A =，所以()2223sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 2A A A A A A A A +=++=+=，因sin A 、cos A 均为正数，故sin cos 0A A +>．因此由上式得sin cos A A +=，②由①、②得sin A =，cos A =sin B =9．已知关于x 的一元二次方程()()22211120m x m x +--+=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数m 的值．解析设方程的两个实根1x 、2x 分别是直角三角形ABC 的锐角A 、B 的正弦．则()22222212sin sin sin cos 190x x A B A A A B +=+=+=+=︒，又122112m x x m -+=+，12122x x m =+，所以()2222111212211242122m x x x x x x m m -⎛⎫+=+-=-= ⎪++⎝⎭．化简得224230m m -+=，解得1m =或23．检验，当1m =时，()()22114820m m =--+<△；当23m =时，()()22114820m m =--+△≥．所以23m =．评注本题是三角函数与一元二次方程的综合，基本解法是利用韦达定理和22sin cos 1αα+=列方程求解．要注意最后检验方程有无实数根．10．已知方程2450x x k -+=的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求k ．解析根据韦达定理，有12125 , 4.4x x k x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩并且由于其两根是直角三角形的两个锐角的正弦，所以又有22121x x +=．于是有()2222121212512244k x x x x x x ⎛⎫=+=+-=--⨯ ⎪⎝⎭．解得98k =．11．若直角三角形中的两个锐角A 、B 的正弦是方程20x px q ++=的两个根；（1）那么，实数p 、q 应满足哪些条件？（2）如果p 、q 满足这些条件，方程20x px q ++=的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A 、B 的正弦？解析（1）设A 、B 是某个直角三角形两个锐角，sin A 、sin B 是方程20x px q ++=的两个根，则有240p q =-△≥．①由韦达定理，sin sin A B p +=-,sin sin A B q =．又sin 0A >，sin 0B >，于是0p <，0q >．由于()sin sin 90cos B A A =︒-=．所以sin cos A A p +=-，sin cos A A q =，所以()()22sin cos 1sin cos 12p A A A A q -=+=+=+，即221p q -=．由①得21240q p q -=-≥，则12q ≤．故所求条件是0p <，102p <≤，221p q -=．②（2）设条件②成立，则24120p q q -=-≥，故方程有两个实根：α==，β==．由②知p -=p <=-，所以0p p <--+，故0βα>≥．又()2222221p q αβαβαβ+=+-=-=，故01αβ<<≤．12．已知方程()24210x m x m -++=的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求m 的值．解析设题中所述的两个锐角为A 及B ，由题设得()241160 , 1cos cos , 2cos cos .4m m m A B m A B ⎧=+-⎪⎪+⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩△≥因为cos sin B A =，故()2, 1cos sin , 2cos sin , 410m A A m A m m A ++==⎧=-⇒⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩可△≥取任意实数①②①式两边平方，并利用恒等式22sin cos 1A A +=，得()()221cos sin 12sin cos 4m A A A A ++=+=．再由②得()21124m m ++=，解得m =．由cos 0A >，sin 0A >及②知0m >．所以m =．13．不查表，求15︒的四种三角函数值．解析30︒、45︒、60︒这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样，15︒角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出．如图所示．在ABC △中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB 到D ，使BD BA =，则1152D BAD ABC ∠=∠=∠=︒．设1AC =，则2AB =，3BC =2BD =，所以 23CD CB BD =+=+所以()()())2222123843242323123162AD AC CD =++++++=+=+．所以162sin15462AC AD -︒===+，2362cos15462CD AD ++︒===+1tan152323AC CD ︒===-+cot1523CDAC︒==．评注将15︒角的三角函数求值问题，通过构造适当的三角形，将它转化为30︒角的三角函数问题，这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法，是我们研究解决新问题的重要方法．根据互余三角函数关系式，我们很容易得到75︒角的四种三角函数值．14．求22.5︒角的正切值（不查表，不借助计算器）．解析4522.52︒︒=，所以设法构造一个含22.5︒角的直角三角形，用定义求值．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，45B ∠=︒，延长CB 到D ，使BD BA =，则122.52D B ∠=∠=︒．设AC b =，有222AB b b b =+=，()21DC DB BC b =+=+．故()tan 22.52121ACDCb︒==+．15．求sin18︒的值．解析构造一个顶角A 为36︒的等腰ABC △，AB AC =，如图，作内角平分线则36ABD DBC ∠=∠=︒，设1AC =，BC x =．由于36DBA DAB ∠=∠=︒，72BDC BCD ∠=∠=︒，故CB BD DA x ===，而CAB △∽CBD △（36CAB CBD ∠=∠=︒），故AC BC BC DC =，故11xx x=-，有512x -=（舍去512-）．再作AH BC ⊥于H ，则18CAH ∠=︒，514CH -=．所以1sin184-︒=．评注本题所构造的等腰三角形是圆内接正十边形的相邻顶点与圆心确定的三角形，利用它可以求出半径为R 的圆内接正十边形的边长．16．若x 、y 为实数，221x y +=，α为锐角，求证：sin cos x y αα+的绝对值不大于1．解析由221x y +=，22sin cos 1αα+=，得()()2222sin cos 1x y αα++=，即22222222sin cos cos sin 1x y x y αααα+++=，加一项减一项，得22222222sin 2sin cos cos cos 2cos sin sin 1x xy y x xy y αααααααα+++-+=．即()()2sin cos cos sin 1x y x y αααα2++-=，因为()2cos sin 0x y αα-≥，所以()2sin cos 1x y αα+≤，故sin cos 1x y αα+≤．2解直角三角形（详细解答）1．如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AD 是A ∠的平分线，且CD =，DB =求ABC △的三边长．解析由角平分线想到对称性，考虑过D 作DE AB ⊥，交AB 于E ，则由90C ∠=︒得CD DE ==．在直角三角形BDE 中，1sin 2DE B DB ==，则60B ∠=︒，所以3tan3AC BC B ==+⋅=，2sin ACAB AC B===，BC CD DB =+=．故ABC △的三边长分别为，．2．在Rt ABC △中（如图），D 、E 是斜边AB 的三等分点，已知sin CD x =，()cos 090CE x x =︒<<︒．试求AB 的长．解析作DF AC ⊥于F ，EG AC ⊥于G ；DP BC ⊥于P ，EQ BC ⊥于Q ．令BP PQ QC a ===，AG GF FC b ===．则2DF a =，EG a =．在Rt CDF △和Rt CEG △中，由勾股定理，得()2222sin a b x +=，及()2222cos a b x +=，两式相加得()2251a b +=，2215a b +=．所以35AB BD ===．3．如图，ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，6AC =，AD 是BAC ∠的平分线，求点B 到直线AD 的距离BH ．解析已知Rt ABH △中，10AB =，要求BH ，可求出BAH ∠的正弦值，而BAH CAD ∠=∠，因而可先求出DC 的长．作DE AB ⊥于E ，有6AE AC ==，ED CD =．设3DC k =，由三角形内角平分线性质有106BD DC =，则5BD k =．Rt BDE △中，222DE BE BD +=，即()()()22231065k k +-=，得1k =．33CD k ==，AD ==sin10BHDAC ∠==，故BH =．4．已知ABC △是非等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB BC CE ==，连结AD 、AE ．已知45BAD ∠=︒．求tan CAE ∠的值．解析如图，过B 、C 两点作BM AC ∥、CN AB ∥分别交AD 、AE 于M 、N ．易知2AC BM =，2AB CN =，tan BM BAD AB ∠=，tan CNCAE AC∠=，从而，1tan tan 4BAD CAE ∠∠=．因为tan 1BAD ∠=，则1tan 4CAE ∠=．5．设有一张矩形纸片ABCD （如图），3AB =，4BC =．现将纸片折叠，使C 点与A 点重合，试求折痕EF 的长．解析设O 是矩形对角线AC 的中点．连结CF ，由折叠知CF AF =，故FO AC ⊥，即EF AC ⊥．由3AB =，4BC =，得5AC =，从而1522AO AC ==．在Rt AOF △中，90AOF ∠=︒，故tan OF AO FAO =⋅∠．又由Rt ADC △得3tan tan 4DC FAO DAC AD ∠=∠==，所以5315248OF =⋅=，1524EF OF ==．7.已知三角形两边之和是10，这两边的夹角为30︒，面积为254，求证：此三角形为等腰三角形．解析由题意可设10a b +=，30α=︒，则125sin 24S ab α==△，即1125224ab ⋅=，得25ab =．于是，由10a b +=，25ab =，得a 、b 是方程210250x x -+=的两个根．而此方程有两个相等的根，所以5a b ==，即此三角形为等腰三角形．评注也可以直接由()()2240a b a b ab -=+-=，得a b =．7．在ABC △中，90C ∠=︒，其周长为2+，且已知斜边上的中线长为1．如果BC AC >，求tan A的值．解析由于斜边长是斜边上中线长的2倍，故2AB c ==．于是，由题设及勾股定理，得224. a b a b ⎧++==⎪⎨⎪⎩①②把①式两边平方，得2226a ab b ++=．再由②得1ab =．③由①、③知，a 、b 分别是二次方程210u +=的两根，解得622u ±=．因为BC AC >（即a b >），故12BC =，12AC =，所以tan 2BC A AC ===+．8．已知a 、b 、c 分别是ABC △中A ∠、B ∠，C ∠的对边，且a 、b 是关于x 的一元二次方程()()2 424x c c x ++=+的两个根．（1）判断ABC △的形状；（2）若3tan 4A =求a 、b 、c ．解析（1）根据题意，尝试从边来判断．因为4a b c +=+，()42ab c =+，所以()2222a b a b ab +=+-()()224242c c c =+-⨯+=，从而知ABC △是直角三角形，90C ∠=︒．（2）由90C ∠=︒，3tan 4A ∠=，得34a b =．令3a =，()40b k k =>，则5c k =，于是754k k =+，得2k =，从而有6a =，8b =，10c =．9．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，12ABC S m =△，且两直角边长满足条件32a b m +=．（1）证明：24m ≥；（2）当m 取最小值时，求ABC △中最小内角的正切值．解析（1）由题设得 , 32.ab m a b m =⎧⎨+=⎩消去b ，得32m a a m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故实数a 满足二次方程2320x mx m -+=．①所以()224240m m m m =-=-△≥．因为0m >，所以24m ≥．10．如图所示．90A BEF EBC ECD ∠=∠=∠=∠=︒，30ABF ∠=︒，45BFE ∠=︒，60ECB ∠=︒且2AB CD =．求tan CDE ∠的值．解析因为tan CECDE CD∠=，已知2AB CD =，因此，只需求出AB 与CE 的比值即可．不妨设1CD =，则2AB =．在Rt ABF △中，90A ∠=︒，30ABF ∠=︒，所以cos30AB BF ==︒．在Rt BEF △中，90BEF ∠=︒，45BFE ∠=︒，所以2cos 452BE BF =︒==在Rt BEC △中，90EBC ∠=︒，60ECB ∠=︒，42sin 603BE CE ===︒，所以42tan 3CE CDE CD ∠==．11．如图所示．在锐角ABC △中，4sin 5B =，tan 2C =，且10ABC S =△．求BC．解析作AD BC ⊥于D ，设AD x =，在Rt ABD △中，因为4sin 5B =，所以3cos 5B ==，所以sin 4tan cos 3B B B ==，所以43AD BD =，34BD x =．在Rt ADC △中，因为tan 2AD C DC ==，所以22AD x CD ==，所以35424x BC BD CD x x =+=+=．①因为1102ABC S BC AD =⨯=△，所以151024x x ⨯⋅=，所以4x =．由①知5454BC =⨯=．评注在一般三角形中，在适当位置作高线，将其转化为直角三角形求解，这是解斜三角形常采用的方法．12．如图所示．在ACD △中，45A ∠=︒，5CB =，7CD =，3BD =．求CBD ∠及AC．解析作CE AD ⊥于E ，设CE x =，BE y =，则有()2222225 , 37. x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩①②②-①得22697524y +=-=，所以52y =．因为2x =，所以512cos 52BE CBE CB ∠===，所以60CBE ∠=︒，18060120CBD ∠=︒-︒=︒，所以5356sin 4522CE AC ==︒．13．如图，已知ABC △中，1AB =，D 是AB 的中点，90DCA ∠=︒，45DCB ∠=︒．求BC 的长．解析作BE AC ⊥B ，交AC 的延长线于E ，设BC x =．则sin 45BE BC =⨯︒=，cos 45CE BC =⋅︒=由DC BE ∥，D 是AB 的中点，知2AE EC ==．而222AE BE AB +=，得221+=．即x =，所以BC =．评注通过构造直角三角形，使用三角函数、勾股定理等知识将边角联系起来是求线段长的常用方法．14．如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：33AE AC BF BC =．解析ADE ACD B ∠=∠=∠，而tan AE ADE DE ∠=，tan ED ACD EC ∠=，tan DFB BF=，所以tan AE ED DFB DE EC FB===，又DF EC =，所以3tan AE ED EC B DE EC BF ⋅⋅=，所以3tan AEB BF=．又tan ACB BC=，所以33AE AC BF BC =．15．如图，在ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，M 是AC 边的中点，AD 垂直于BM 且交BC 于D ．求证：AMB CMD ∠=∠．解析作DF AC ⊥于F ，不妨设3AB =，因AD BM ⊥，90BAM ∠=︒，所以DAF ABM ∠=∠．又112tan 2AC MA ABM AB AB ∠===．1tan 2DF DAF FA ∠==．又90BAC ∠=︒，AB AC =，45C ∠=︒，而90DFC ∠=︒，故FC FD =．由于12FC FA =，而3FC FA +=，1FC =，2FA =，而32MC =，31122FM =-=，1FD =，即1tan 212FD CMD FM ∠===，又tan 2AB AMB AM ∠==，AMB ∠，CMD ∠是锐角．因此AMB CMD ∠=∠．16．如图（a ），正方形ABCD的边长E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 分别交DE 、DB 于点M 、N ，求DMN △的面积．解析记正方形ABCD 的边长为2a ．由题设易知BFN △∽DAN △，则有21AD AN DN BF NF BN ===，得2AN NF =，所以23AN AF =．在直角ABF △中，2AB a =，BF a =，则AF ==，于是cos 5AB BAF AF ∠==．由题设可知ADE △≌BAF△，所以AED AFB ∠=∠，18018090AME BAF AED BAF AFB ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒．于是cos AM AE BAF =⋅∠=，23MN AN AM AF AM =-=-=，从而415MND AFD S MN S AF ==△△．又()()212222AFD S a a a =⋅⋅=△，所以2481515MND AFD S S a ==△△．因a =8MND S =△．17．已知a 、b 、c 是ABC △三边的长，其中b a c >=，且方程20ax c +=两根的差的绝对值等．求ABC △中最大角的度数．解析由已知条件b a c >=可知，这是一个等腰三角形，且底边b 最长，则最大角为B ∠，求出ABC △中的底角A （或C ）即可．我们可以先求角A （或C ）的三角函数值，再确定角的大小，如图所示．由图知2cos 2b AD b A AB c c===，则关键是求出b 与c 的比值．通过一元二次方程中的条件，可得到关于c 、b 的方程，则问题得到解决．因为a c =，所以方程为20cx c +=．设1x 、2x 为方程的两个根，则有122b x x c +=，121x x =．因为12x x -=，()2122x x -=，即()2121242x x x x +-=，所以2242c ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，c =，b c =，所以cos 22b A c ==，所以30A ∠=︒，所以1803030120B ∠=︒-︒-︒=︒．评注这是一道方程与几何知识的综合题．三角形的边是一元二次方程的系数，利用方程条件导出边的关系，由边的关系再进一步求角的大小．18．如图，AB 是圆的直径，弦CD AB ∥，AC 与BD 相交于E ，已知AED θ∠=，试求:CDE ABE S S △△．解析由AB CD ∥，得CDE △∽ABE △．所以22::CDE ABE S S DE BE =△△．连结AD ，则90ADB ∠=︒．故由Rt ADE △，有cos DE AEθ=，又AE BE =，所以2:cos CDE ABE S S θ=△△．19．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上．如果CD 与地面成45︒，60A ∠=︒，4m CD =，(m BC =-，求电线杆AB 的长（精确到0.1m ）．解析如图，延长AD 交地面于点E ，过点D 作DF CE ⊥于点F ．因为45DCF ∠=︒，60A ∠=︒，4CD =，所以2sin 4542CF DF CD ==︒=⨯=，tan 60EF DF =︒==．因为3tan 303AB BE =︒=，所以(()8.5m 33AB BE ==++⨯=≈．20．如图，某岛S 周围42海里内存在着大量的暗礁．现在一轮船自西向东以每小时15海里的速度航行，在、A 处测得S 在北偏东60︒，2小时后在B 处测得S 在正东北方向，试问轮船是否需要改变航行方向行驶，才能避免触礁危险，说明理由．解析若设船不改变航向，与小岛S 的最近距离为SC ．则有tan 60tan 45152SC SC ︒-︒=⨯，解得1542SC =<．因此需要改变航向，以免触礁．21．如图，某污水处理站计划砌一段截面为等腰梯形的排污渠，如果渠深为h ，截面积为S ，试求当倾角θ为多少时造价最小？解析要使造价最小，只需考虑AD DC CB ++最小，故首先设法用h 、S 、θ表示AD DC CB ++．()()()1122cot cot 22S AB CD h CD h h CD h h θθ=+=+=+．有cot S CD h h θ=-，则2AD DC CB AD CD ++=+2cot sin h S h θθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()2cos sin h S hθθ-=+．因S 、h 为常数，则要求AD DC CB ++的最小值，只需求2cos sin m θθ-=的最小值．设2cos sin m θθ-=，两边平方整理得()()2221cos 4cos 40m m θθ+---=，cos θ=由上式知()2230m m -≥，解得m m =时，2cos sin θθ-有最小值．当m =时，221cos 12m θ==+，从而得60θ=︒，此时排污渠造价最小．。
初中三角函数知识点+题型总结+课后练习
锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+2、如以下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定义表达式取值围关系正弦 斜边的对边A A ∠=sin caA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切 的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A A余切的对边的邻边A A A ∠∠=cot abA =cot0cot >A(∠A 为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数 0° 30°45°60°90° αsin 0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan 0 33 1 3 不存在 αcot不存在3133 0对边邻边 斜边 B锐角三角函数题型训练类型一：直角三角形求值1．Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2．：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．3．：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4.A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值 类型二. 利用角度转化求值：1．：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．8AB =，10BC =,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．453. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，假设1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为( )A ．2 B ．2 C ．1 D ．224. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316求∠B 的度数及边BC 、AB 的长. 类型三. 化斜三角形为直角三角形例1〔2021•〕如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．例2．：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A(1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．例3．：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ABC 的值．对应训练 1．〔2021•〕如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．假设AB=2，求△ABC 的周长．〔结果保存根号〕2．：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ． 类型四：利用网格构造直角三角形例1 〔2021•江〕如下图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为〔 〕 A ．12 B ．55 C ．1010 D ．255DABC对应练习：1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.特殊角的三角函数值例1．求以下各式的值︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2=. 计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°= 030tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+= ︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒=在ABC ∆中，假设0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数 例2．求适合以下条件的锐角．(1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α〔5〕为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值〔〕在ABC ∆中，假设0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数 例3. 三角函数的增减性 1．∠A 为锐角，且sin A <21，则∠A 的取值围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. A 为锐角，且030sin cos <A ，则 〔 〕A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90° 例4. 三角函数在几何中的应用1．：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. ：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ． 解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如下图)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ， ①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直角三角形中成比例的线段(如下图)．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．类型一例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (3)：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(4)：,9,23tan ==b B 求a 、c ； (5)：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．例2．：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．例3．：如图，Rt △ABC 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长． 例4．：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长． 类型二：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角：例1．〔2021•〕如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是〔 〕 A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100〔〕米例2．：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ．例3〔昌平〕19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD =30m ． 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°， 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°，求风力发电装置的高AB 的长．例4.如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度.例5．：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)． 例5．〔2021•〕如图，为测量*物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为〔 〕 A ． 10米 B ． 10米 C ． 20米 D ．米 例6．〔2021•〕超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离大道的距离〔AC 〕为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． 〔1〕求B 、C 两点的距离；〔2〕请判断此车是否超过了大道60千米/小时的限制速度.〔计算时距离准确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒〕 类型四. 坡度与坡角A B CD EA例．〔2021•〕如图，*水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是〔 〕A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m类型五. 方位角1．：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少"(准确到0.1海里，732.13≈) 综合题：三角函数与四边形：〔西城二模〕1．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2， tan∠BDC=63． (1)求BD 的长； (2)求AD 的长．〔2021东一〕2．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 分别作AE BC E AF ⊥CD 于点F ． 〔1〕求证：∠BAE =∠DAF ； 〔2〕假设AE =4，AF =245，3sin 5BAE ∠=，求CF 的长．三角函数与圆：1． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与*轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC 的值为〔 〕 A ．12 B ．32C ．35D ．45〔延庆〕19.：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D,(1) 求证：∠AOD=2∠C(2) 假设AD=8，tanC=34，求⊙O 的半径。
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三角函数综合练习题一.选择题(共10小题）1．如图，在网格中，小正方形の边长均为1，点A,B，Ｃ都在格点上，则∠ＡBCの正切值是( ）A.2ﻩＢ.ﻩC.ﻩD.２.如图,点D（0,3），O(0，0),C(4，0)在⊙A上，BＤ是⊙Aの一条弦,则ｓin∠OＢD＝（）A.ﻩB.ﻩC.D．３.如图，在Rt△AＢC中，斜边ABの长为m，∠A=3５°，则直角边ＢCの长是（）Ａ．msin35°ﻩＢ.mcos３5°C．Ｄ．４.如图，△ABＣ中AＢ=AC＝4，∠Ｃ=72°，D是AB中点,点E在AＣ上,ＤE⊥AB，则cｏsA の值为（ )Ａ．Ｂ. C.ﻩD.５.如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形）钢架の跨度ＢC＝1０米，∠Ｂ=3６°，则中柱AD(Ｄ为底边中点）の长是( )A．５sin36°米ﻩB.5cos36°米ﻩC．5tａn36°米ﻩＤ.1０ｔan3６°米6.一座楼梯の示意图如图所示，BC是铅垂线,ＣA是水平线，BＡ与CAの夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=４米，楼梯宽度1米,则地毯の面积至少需要（)A.米2B．米2C．（4+）米2ﻩＤ．(４+4tａnθ)米27．如图,热气球の探测器显示，从热气球Ａ处看一栋楼顶部B处の仰角为30°,看这栋楼底部C处の俯角为６0°，热气球Ａ处与楼の水平距离为120m,则这栋楼の高度为（）A.１6０mB.120m Ｃ.3０0m D．160m８.如图,为了测量某建筑物ＭNの高度,在平地上A处测得建筑物顶端Ｍの仰角为30°，向N点方向前进１6m到达B处,在B处测得建筑物顶端Mの仰角为4５°，则建筑物MNの高度等于（）A．8（)ｍB．8（）m C．16（）mﻩＤ．1６（）m９.某数学兴趣小组同学进行测量大树ＣD高度の综合实践活动,如图,在点A处测得直立于地面の大树顶端Cの仰角为36°,然后沿在同一剖面の斜坡AB行走13米至坡顶Ｂ处，然后再沿水平方向行走６米至大树脚底点Ｄ处，斜面ABの坡度(或坡比)i=1:2．４,那么大树ＣＤの高度约为（参考数据：sin３6°≈0.5９，coｓ３6°≈0．81,tan36°≈0.73）( ）A.8.1米Ｂ．１7.2米ﻩC．１9．７米D.2５.５米10.如图是一个3×2の长方形网格，组成网格の小长方形长为宽の2倍,△ABCの顶点都是网格中の格点，则cos∠ＡBCの值是（）Ａ．B．ﻩＣ． D．二．解答题(共13小题）１1．计算：（﹣)０+（)﹣1﹣|tan45°﹣|１2.计算：．13.计算：sin４５°+cos2３0°﹣+２ｓin6０°．１４．计算：coｓ24５°﹣+cｏt23０°.15．计算：sｉn45°+ｓin60°﹣2taｎ4５°.１6．计算：cos２4５°+ｔaｎ60°•cos3０°﹣3coｔ260°.17．如图，某办公楼ABの后面有一建筑物CD,当光线与地面の夹角是2２°时，办公楼在建筑物の墙上留下高2米の影子CE，而当光线与地面夹角是4５°时，办公楼顶Ａ在地面上の影子F与墙角C有25米の距离(B,Ｆ,C在一条直线上）．(1)求办公楼AＢの高度；(2)若要在Ａ,E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间の距离.（参考数据:sin22°≈,cos2２°,tan2２）18.某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作,如图,某探测对在地面Ａ、Ｂ两处均探测出建筑物下方Ｃ处有生命迹象,已知探测线与地面の夹角分别是25°和６0°,且AB＝4米，求该生命迹象所在位置Cの深度．(结果精确到1米，参考数据:sin2５°≈0.4,cos25°≈0．９,taｎ25°≈0.5,≈1.7）19．如图,为测量一座山峰ＣＦの高度，将此山の某侧山坡划分为AＢ和ＢC两段,每一段山坡近似是“直”の，测得坡长AB＝800米，ＢC＝200米，坡角∠ＢAF＝30°，∠CBE=45°．(1)求ＡＢ段山坡の高度EF；（2)求山峰の高度CF.（1．41４,CF结果精确到米）20．如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点Ｃの仰角为6０°，沿山坡向上走到P 处再测得Ｃの仰角为４5°，已知OＡ=200米，山坡坡度为(即tａn∠PＡB＝)，且Ｏ,A,B 在同一条直线上，求电视塔OＣの高度以及此人所在の位置点Pの垂直高度.(侧倾器の高度忽略不计,结果保留根号)21.如图,为了测量出楼房ACの高度，从距离楼底Ｃ处６0米の点D（点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i=1:の斜坡DＢ前进３0米到达点B，在点Ｂ处测得楼顶Aの仰角为53°，求楼房AＣの高度(参考数据:sin53°≈0．8,ｃoｓ53°≈0.６，tａｎ５３°≈,计算结果用根号表示，不取近似值).22．如图，大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物の旁边有一幢小楼ＤＥ,在小楼の顶端D处测得障碍物边缘点Ｃの俯角为30°，测得大楼顶端Ａの仰角为45°（点B,C,E在同一水平直线上），已知AＢ=８0m,DＥ=１0m,求障碍物B，C两点间の距离（结果精确到０.1m)(参考数据:≈1.４14,≈1.7３2)23．某型号飞机の机翼形状如图，根据图示尺寸计算AC和ABの长度（精确到0.１米,≈1．4１,≈1.73 ).２016年1２月２３日三角函数综合练习题初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）１.(2016•安顺)如图,在网格中，小正方形の边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠AＢCの正切值是( ）A．２ B.ﻩC．ﻩＤ．【分析】根据勾股定理,可得AC、ＡBの长，根据正切函数の定义，可得答案．【解答】解：如图:,由勾股定理,得AC=,AB＝2，BＣ=，∴△AＢC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D.【点评】本题考查了锐角三角函数の定义，先求出AC、ABの长,再求正切函数.2．（２０1６•攀枝花)如图，点Ｄ（0，3)，O(0,0），C（4,0)在⊙Ａ上,ＢD是⊙Aの一条弦，则ｓin∠OＢD＝（）A．Ｂ．ﻩC．ﻩD．【分析】连接CD,可得出∠OBD＝∠OCD,根据点D（0，３）,C（4，0)，得OD=3,OC＝４，由勾股定理得出ＣD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出ｓin∠OＢD即可．【解答】解:∵D(０,3）,C(4,0）,∴OD=３,OＣ=4,∵∠COD=90°，∴CＤ==５,连接CD,如图所示:∵∠OBＤ＝∠OCD，∴sin∠OBD=ｓin∠OＣD==.故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理,勾股定理、以及锐角三角函数の定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题の关键.3.(2０16•三明）如图，在Rt△ABＣ中，斜边ABの长为m，∠Ａ=35°,则直角边BCの长是( )A．msｉn35°ﻩＢ．ｍcoｓ35° C. D.【分析】根据正弦定义：把锐角Aの对边ａ与斜边cの比叫做∠Ａの正弦可得答案．【解答】解：ｓin∠A=,∵AB=m,∠A＝35°，∴BC=msｉn35°,故选:A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．4．(2０1６•绵阳）如图，△ABC中AB=AＣ=4，∠C=７2°，D是ＡB中点,点Ｅ在AC上,DE ⊥AＢ,则coｓAの值为（)A.ﻩB．C． D.【分析】先根据等腰三角形の性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC＝36°，∠BＥC=72°，AE＝BE=BC.再证明△ＢCE∽△ABC，根据相似三角形の性质列出比例式=，求出AＥ,然后在△ＡDＥ中利用余弦函数定义求出ｃoｓAの值.【解答】解:∵△ABC中，AB=AC＝4，∠C=７2°,∴∠ＡBC=∠C＝７2°,∠A=36°,∵D是AB中点，DE⊥AB,∴AE=ＢE，∴∠AＢＥ＝∠A=36°，∴∠ＥBＣ＝∠AＢC﹣∠ABE=36°,∠ＢEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=7２°，∴∠BEC=∠Ｃ=72°，∴BＥ=BC,∴AE=BE＝ＢＣ．设AE=ｘ,则BＥ＝BC=x，EC=4﹣x.在△BＣE与△ABC中，,∴△BＣＥ∽△ABC,∴=，即=，解得x＝﹣２±2(负值舍去)，∴AＥ=﹣2+２.在△ADＥ中，∵∠AＤE=90°，∴cosA===.故选C.【点评】本题考查了解直角三角形,等腰三角形の性质与判定，三角形内角和定理,线段垂直平分线の性质,相似三角形の判定与性质，难度适中．证明△BCE∽△ＡBＣ是解题の关键．5.（20１6•南宁）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架の跨度BC＝１0米,∠B=36°，则中柱AＤ(D为底边中点）の长是（）Ａ．5ｓin36°米 B．5cos36°米ﻩC．5tan３６°米D．10tａn３6°米【分析】根据等腰三角形の性质得到ＤC＝ＢD=5米，在Ｒt△ABＤ中，利用∠Bの正切进行计算即可得到ADの长度.【解答】解:∵AＢ=AC，AD⊥BC,BC=10米，∴DＣ＝ＢＤ=5米，在Ｒt△AＤC中,∠Ｂ=3６°，∴ｔan36°=,即AD=BD•tan36°＝5tan3６°（米)．故选:C.【点评】本题考查了解直角三角形の应用．解决此问题の关键在于正确理解题意の基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．6.(2016•金华)一座楼梯の示意图如图所示,BC是铅垂线,CＡ是水平线，BＡ与CAの夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知ＣA=４米，楼梯宽度1米，则地毯の面积至少需要（ )A.米２Ｂ．米2Ｃ．（4+）米2ﻩD.(４+4taｎθ)米2【分析】由三角函数表示出BＣ,得出ＡＣ+ＢCの长度，由矩形の面积即可得出结果.【解答】解:在Rt△ABC中，ＢC＝AC•tanθ=４taｎθ(米）,∴AC+BC=4+4tanθ（米）,∴地毯の面积至少需要1×(4＋4ｔanθ)=4+4tanθ（米2)；故选:D.【点评】本题考查了解直角三角形の应用、矩形面积の计算；由三角函数表示出ＢC是解决问题の关键.7.(２016•长沙)如图，热气球の探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处の仰角为30°,看这栋楼底部C处の俯角为60°，热气球A处与楼の水平距离为1２0m,则这栋楼の高度为( ）A．160m B．1２0m C.300mﻩD．1６0m【分析】首先过点A作ＡD⊥ＢC于点Ｄ，根据题意得∠BＡＤ=３０°，∠CＡＤ=60°，AD=1２0ｍ,然后利用三角函数求解即可求得答案.【解答】解:过点A作AD⊥BC于点D,则∠BAＤ=3０°，∠CAＤ=6０°,ＡD=120ｍ，在Rｔ△ABD中,BＤ＝AD•tａn3０°＝12０×=４0(m)，在Rt△ACD中,ＣD=AD•tan60°=120×=1２0（ｍ),∴ＢC=ＢＤ＋CD＝1６０(m).故选A．【点评】此题考查了仰角俯角问题.注意准确构造直角三角形是解此题の关键.8.（2０1６•南通）如图，为了测量某建筑物MNの高度，在平地上A处测得建筑物顶端M の仰角为３0°，向N点方向前进1６m到达B处，在Ｂ处测得建筑物顶端Mの仰角为45°,则建筑物MＮの高度等于（)A.8（)ｍﻩB．8()m C．16()ｍﻩＤ.１６（）ｍ【分析】设ＭN＝xm，由题意可知△BMN是等腰直角三角形,所以BN=MN=x，则AN=１6+x,在Rt△ＡMＮ中，利用30°角の正切列式求出xの值.【解答】解:设MＮ＝xm,在Rt△BMN中，∵∠MＢN＝４5°,∴BN=MＮ=ｘ，在Rt△AＭN中,tan∠MAN=，∴taｎ30°=＝，解得:x=8（＋1),则建筑物ＭNの高度等于8(+１）ｍ；故选Ａ.【点评】本题是解直角三角形の应用，考查了仰角和俯角の问题，要明确哪个角是仰角或俯角,知道仰角是向上看の视线与水平线の夹角；俯角是向下看の视线与水平线の夹角;并与三角函数相结合求边の长．9.（２016•重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度の综合实践活动，如图,在点Ａ处测得直立于地面の大树顶端Cの仰角为3６°，然后沿在同一剖面の斜坡AB行走1３米至坡顶Ｂ处,然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处,斜面ABの坡度(或坡比）i=1:2.４，那么大树CDの高度约为（参考数据:sｉn36°≈0.59，cｏs36°≈0.８１,taｎ36°≈０.73)( ）Ａ．８．1米ﻩB．17．2米C．１9.７米 D．２5．5米【分析】作ＢF⊥AE于F，则FE＝BＤ=６米,ＤE=BF,设BF=ｘ米,则ＡF=2.4米，在Rt△ABF 中，由勾股定理得出方程,解方程求出DE=BF=５米,AF＝１2米，得出AＥの长度，在Rｔ△ACＥ中,由三角函数求出CE，即可得出结果.【解答】解:作ＢＦ⊥AE于F，如图所示：则ＦＥ=ＢＤ=６米,DＥ＝BＦ,∵斜面AＢの坡度i=1：２.4,∴AF=2．4ＢF,设BF＝x米,则AF=2.4x米，在Rt△AＢF中,由勾股定理得:x２+(2.4x)２＝13２,解得：x=5，∴DE=BF＝５米,AＦ=１2米,∴AE=AF+ＦE=18米,在Rt△AＣE中，CE=ＡE•taｎ36°=18×0．73=１３.１4米,∴ＣD＝CE﹣DE=13.14米﹣5米≈８.１米;故选:Ａ．【点评】本题考查了解直角三角形の应用、勾股定理、三角函数;由勾股定理得出方程是解决问题の关键.10．(２０1６•广东模拟)如图是一个３×2の长方形网格，组成网格の小长方形长为宽の2倍,△ABCの顶点都是网格中の格点，则cos∠ABCの值是( )A.ﻩB． C.ﻩD.【分析】根据题意可得∠D=90°,ＡD＝３×1=３，BD＝２×2=4，然后由勾股定理求得AB の长，又由余弦の定义,即可求得答案．【解答】解:如图，∵由6块长为2、宽为１の长方形，∴∠D=９0°,AD=３×1=3，BD=２×2=4，∴在Rt△AＢD中，AB==５,∴cos∠ABＣ==．故选D.【点评】此题考查了锐角三角函数の定义以及勾股定理.此题比较简单,注意数形结合思想の应用．二.解答题(共1３小题)11．（20１6•成都模拟）计算：（﹣）0+()﹣1﹣|tａn45°﹣｜【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角の三角函数值、二次根式化简四个考点.在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数の运算法则求得计算结果．【解答】解:原式=１＋３×﹣︳１﹣︳=１+2﹣＋1=.【点评】本题考查实数の综合运算能力，是各地中考题中常见の计算题型.解决此类题目の关键是熟记特殊角の三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点の运算．１2.（2０1６•顺义区二模）计算：.【分析】要根据负指数,绝对值の性质和三角函数值进行计算．注意:()﹣1=3，|1﹣|＝﹣1，ｃos45°＝.【解答】解:原式==＝2.【点评】本题考查实数の运算能力,解决此类题目の关键是熟记特殊角の三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点の运算.注意:负指数为正指数の倒数;任何非0数の0次幂等于1；二次根式の化简是根号下不能含有分母和能开方の数．1３.（2016•天门模拟)计算:ｓｉn４5°+cos23０°﹣+2sｉｎ60°.【分析】先把各特殊角の三角函数值代入,再根据二次根式混合运算の法则进行计算即可. 【解答】解：原式=•+(）2﹣+2×＝+﹣＋=1+．【点评】本题考查の是特殊角の三角函数值，熟记各特殊角度の三角函数值是解答此题の关键.1４．（２０16•黄浦区一模）计算:cos245°﹣＋cｏt23０°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数の运算，根据实数の运算，可得答案.【解答】解：原式=()２﹣+(）2=﹣＋3＝．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.15．（2０16•深圳校级模拟)计算：sin45°+sin60°﹣2taｎ45°．【分析】根据特殊角の三角函数值进行计算．【解答】解：原式＝×＋2×﹣2×１=+3﹣2=.【点评】本题考查了特殊角の三角函数值．特指30°、45°、6０°角の各种三角函数值．sｉn30°=; cos30°=;taｎ30°=；sin45°＝;cos４5°＝；tan4５°=1；ｓiｎ6０°＝；cos60°=; tan60°=.１6．（2０１6•虹口区一模）计算:cos２45°＋tan６0°•cos30°﹣３cot2６0°．【分析】将特殊角の三角函数值代入求解．【解答】解：原式＝（)２＋×﹣3×(）２=1.【点评】本题考查了特殊角の三角函数值，解答本题の关键是掌握几个特殊角の三角函数值.17.(2016•青海）如图,某办公楼ＡBの后面有一建筑物CD，当光线与地面の夹角是22°时,办公楼在建筑物の墙上留下高2米の影子ＣE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A 在地面上の影子F与墙角C有25米の距离(Ｂ，F，C在一条直线上)．(１)求办公楼ABの高度;（2)若要在A,Ｅ之间挂一些彩旗，请你求出A,E之间の距离．(参考数据：ｓin22°≈，ｃｏs22°，tan２2)【分析】（1）首先构造直角三角形△ＡEM,利用tａｎ22°＝，求出即可;(2)利用Rt△AME中，coｓ２2°=,求出ＡE即可【解答】解：(１)如图，过点E作ＥM⊥AB，垂足为M.设AＢ为x．Rt△ABF中,∠AFB=45°,∴BF=AB=x，∴BC＝BF+FＣ＝x+２5,在Rt△AEM中，∠AEM=２2°，AM=ＡB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，tan２2°=，则=,解得：ｘ=20．即教学楼の高２0m.（2)由（1）可得MＥ=BC=x+25＝2０+25=4５．在Rｔ△AＭE中，ｃoｓ22°=.∴AE=，即A、E之间の距离约为48m【点评】此题主要考查了解直角三角形の应用,根据已知得出taｎ2２°=是解题关键1８.(201６•自贡）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作,如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方Ｃ处有生命迹象，已知探测线与地面の夹角分别是25°和60°，且ＡB=4米，求该生命迹象所在位置Cの深度．（结果精确到１米，参考数据:sin２5°≈0.４，cos２5°≈0.9,ｔａn２5°≈0．５，≈１.7)【分析】过C点作ＡＢの垂线交AＢの延长线于点D,通过解Ｒt△ADC得到AD=2ＣD＝2ｘ，在Rt△BDＣ中利用锐角三角函数の定义即可求出CＤの值.【解答】解：作CＤ⊥AB交AＢ延长线于D，设CD＝x米.在Rt△ＡDC中,∠DAC＝25°,所以tan2５°＝=0.5，所以AＤ＝=2x.Rｔ△BDC中,∠DＢC＝60°，由ｔａn 60°＝=,解得:ｘ≈3．即生命迹象所在位置Cの深度约为3米．【点评】本题考查の是解直角三角形の应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题の关键.１９．（２０1６•黄石)如图，为测量一座山峰CFの高度，将此山の某侧山坡划分为ＡB和BC两段,每一段山坡近似是“直”の，测得坡长AB=8０0米，BC=200米,坡角∠BAF＝３0°,∠CBＥ=45°．(1)求AＢ段山坡の高度EＦ；(2)求山峰の高度ＣＦ.(１．4１4，CF结果精确到米)【分析】(１）作ＢH⊥AF于Ｈ,如图,在Rt△ABF中根据正弦の定义可计算出BＨの长，从而得到EFの长;(2）先在Rt△CBE中利用∠ＣBＥの正弦计算出ＣE，然后计算CＥ和EFの和即可．【解答】解：（1）作BＨ⊥AF于H，如图，在Rｔ△ABＦ中，∵ｓｉn∠BＡH=，∴ＢH=800•ｓin３0°=400，∴EF=ＢH=40０m;（２）在Rｔ△CBＥ中，∵sin∠CBE=，∴ＣE=20０•sin4５°＝1０0≈14１.4，∴ＣF=CE+EＦ=141.４+４0０≈５41（m）.答:AB段山坡高度为４00米，山CＦの高度约为5４1米.【点评】本题考查了解直角三角形の应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面の铅直高度h和水平宽度lの比,又叫做坡比,它是一个比值，反映了斜坡の陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1:mの形式．把坡面与水平面の夹角α叫做坡角,坡度i与坡角α之间の关系为:i═taｎα．２0．（20１6•天水）如图所示,某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点Cの仰角为６０°，沿山坡向上走到P处再测得Ｃの仰角为4５°，已知OA=2００米,山坡坡度为（即tan∠ＰＡＢ＝），且O,A，B在同一条直线上，求电视塔OCの高度以及此人所在の位置点Pの垂直高度.(侧倾器の高度忽略不计，结果保留根号)【分析】在直角△AOC中，利用三角函数即可求解;在图中共有三个直角三角形，即RT△ＡO Ｃ、RＴ△PCF、RT△PＡＥ，利用6０°、45°以及坡度比，分别求出CO、CＦ、PE，然后根据三者之间の关系，列方程求解即可解决．【解答】解：作PＥ⊥ＯＢ于点E，PＦ⊥CO于点F，在Rt△AOＣ中，ＡO=2００米,∠CＡＯ=60°,∴CO=ＡO•taｎ60°=200（米）（2）设PE=x米，∵tan∠PＡＢ==,∴AE＝3ｘ.在Rｔ△PCF中，∠CＰF=45°，CF＝2００﹣x,ＰF＝ＯA+ＡＥ=２00+3ｘ,∵PF=CF,∴200+３x=２00﹣x，解得x=50(﹣1)米．答：电视塔OＣの高度是２00米,所在位置点Pの铅直高度是50(﹣1)米.【点评】考查了解直角三角形の应用﹣仰角俯角问题以及坡度坡角问题，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．（20１６•泸州）如图,为了测量出楼房ＡCの高度，从距离楼底C处6０米の点D（点Ｄ与楼底Ｃ在同一水平面上）出发,沿斜面坡度为ｉ=１：の斜坡DB前进30米到达点B,在点B处测得楼顶Aの仰角为5３°，求楼房ＡＣの高度（参考数据:ｓｉｎ5３°≈0．８,co ｓ53°≈0．6,tａn５３°≈，计算结果用根号表示,不取近似值)．【分析】如图作BN⊥ＣD于Ｎ,ＢM⊥AC于M,先在RT△ＢDN中求出线段BＮ，在RT△AＢＭ中求出AM，再证明四边形ＣMＢN是矩形,得CM=BＮ即可解决问题.【解答】解：如图作BN⊥ＣＤ于Ｎ，BM⊥AC于Ｍ．在ＲT△BＤＮ中,ＢD=3０,ＢＮ:ND=1:，∴BＮ=15，DＮ＝15,∵∠C=∠CＭＢ=∠CＮB=９0°，∴四边形CMBN是矩形,∴CＭ＝BＭ=15,BM＝ＣN=6０﹣1５＝4５,在ＲT△ABM中，tａn∠ＡBM==,∴AM=６０,∴AC=AM+ＣM=1５+60.【点评】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念,解题の关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度の定义，属于中考常考题型.2２.（２01６•昆明)如图,大楼AＢ右侧有一障碍物，在障碍物の旁边有一幢小楼DE，在小楼の顶端D处测得障碍物边缘点Ｃの俯角为30°,测得大楼顶端Ａの仰角为４5°(点B,C,E 在同一水平直线上)，已知ＡB＝80m，DE=10ｍ,求障碍物Ｂ,C两点间の距离（结果精确到0.1m)(参考数据:≈1.4１4，≈1．7３2)【分析】如图，过点D作ＤＦ⊥ＡB于点Ｆ，过点C作CH⊥DF于点H．通过解直角△AFD得到DFの长度;通过解直角△ＤCＥ得到CＥの长度，则ＢC＝BE﹣ＣE.【解答】解：如图,过点D作DF⊥AB于点F，过点Ｃ作CＨ⊥DF于点H．则DE=BF=CＨ=10m,在直角△ADＦ中,∵ＡF＝80m﹣１０m=７０m,∠ＡDF＝4５°，∴DF=AF＝70m．在直角△CDE中，∵ＤE＝1０m，∠DＣE＝３0°，∴CE==＝１0（m),∴BC=BE﹣ＣE=7０﹣10≈70﹣17.32≈52.７(m）．答：障碍物B，C两点间の距离约为52.７m.【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题.要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.23．(20１６•丹东模拟）某型号飞机の机翼形状如图，根据图示尺寸计算AC和ABの长度(精确到０.1米，≈１.4１，≈1.73 ).【分析】在Rｔ△CＡE中,∠ACＥ＝４５°，则△ACE是等腰直角三角形即可求得ＡCの长；在Rt△BFＤ中已知∠BＤＦ与FBの长，进而得出ABの长．【解答】解：在Rｔ△ＣAE中,∠ACE=４5°,∴ＡE=CＥ=5（m)，∴AＣ=CE=５≈5×１.４14≈７．1(m),在Rｔ△BFD中,∠BDF=30°,∴ＢF＝FＤ•tａn30°=5×≈５×≈2．89(m），∵DC=EＦ=3．４(m),∴AＦ=1．6m，则ＡB=２．８9﹣１.６=1．2９≈1.3(m），答：ＡＣ约为7.1米，ＢA约为１.3米．【点评】此题考查了三角函数の基本概念，主要是正切函数の概念及运算,关键把实际问题转化为数学问题加以计算．。