数轴上点的运动规律

数轴上“点”的运动规律
在数轴上，A点表示的数是a，B点表示的数是b，显然这两个数里面a
b>，
A、B两点之间的距离我们可以用a
b-来表示。

（图1）
如果我们换个位置，B在左边，A在右边，就会变成下面这样：
（图2）
此时b
a>，A、B两点之间的距离，我们可以用b
a-来表示。

也就是说，在数轴上两点之间的距离，其实就是两个数的差，说具体一点，
就是用较大的数减去较小的数，就等于两个点之间的距离。

由于数轴上的点从左到右越来越大，所以较大的数在右边，较小的数在左边。

我们在计算数轴上两点之间的距离时，对于大部分初学者，可以先这样问问自己：
①这两个点，哪个表示的是大数？哪个表示的是小数？
②我要用哪个数减去哪个数？
（思考题）参考图1，若A点表示的数是b
a-
2，B点表示的数是a
b-
2，那么A、B之间的距离是___________（用含有a、b的代数式表示）
参考图2，若A点表示的数是b
a+
2，B点表示的数是a
b+
2，那么
A、B之间的距离是___________（用含有a、b的代数式表示）【例题1】A、B两地有一条长度是300km的公路，甲车从A地出发开往B地，速度为90km/h，与此同时，乙车从B地出发开往A地，速度为60km/h。

（1）问：甲乙两车出发几小时后相遇？
（2）问：出发几小时后，两车相距50千米？
（变形1）
如图所示，数轴上A、B两点分别表示a、b两个数，并且0
|
8|
)4
(2=
-
+
+b
a，
现有一点P从A出发，以每秒2个单位的速度向右移动，与此同时，有一点Q从B出发，以每秒4个单位的速度向左移动。

（1）_______
______,
_______,之间的距离是
与B
A
b
a=
=个单位长度。

（2）问：几秒后，P、Q两个点重合？
（3）问：几秒后，P、Q两个点之间的距离是4个单位长度？
（4）P点出发时，在A、B之间有一个小球，以每秒10个单位的速度同时出发，
在A、B之间来回滚动，直到P、Q相遇时，小球才停止运动。

问：这个过程中，
小球滚动的距离是多少个单位长度？
【方法总结】
①数轴上位置已经确定的点，叫做定点；位置不断变化的点，叫做动点。

②数轴上两个动点重合，就好比马路上两辆车相遇，可以转化成相遇问题。

③数轴上反方向运动的两个点，就好比马路上两辆车相对行驶，相遇之前距离越来越小，
相遇之后距离越来越大。

A B
O
P Q
b－a
B A
O
a－b
（思考与讨论）
由于数轴上的点，向右增大，向左减小。

我们假设A 点表示的数为a ，B 点表示的数为b ， 保持A 、B 两点静止不动。

我们添上两个能动的点P 和Q ：
P 点从A 出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动；与此同时，Q 点从B 出发，以每秒5个单位长度的速度向左移动。

设运动时间为t ，那么t 秒后，P 点表示的数是___________， Q 点表示的数是____________。

由此可见，向左运动的点，它表示的数可以这样算：起点减去速度乘时间 向右运动的点，表示的数就可以这样算：起点加上速度乘时间。

【例题2】甲车速度是60km/h ，乙车速度是90km/h 。

某天上午，甲、乙两车在同一个地方， 走同一条路去往300km 外的省城，甲车先走了1小时，然后乙车才出发。

（1）问：乙车能否在抵达省城之前，追上甲车？
（2）问：乙车出发多少小时，甲、乙两车相距30km ？
（变式）如图，A 、B 两点分别对应数轴上b a ,两数，O 为原点，若OA OB 2=，且AB = 24。

有一点P 从A 点出发，以每秒6个单位的速度向右移动，与此同时，有一点Q 从B 出发，以每秒2个单位的 速度向右移动，假设运动时间为 t 。

（1）___________,==b a
（2）t 秒以后，P 点表示的数是__________，Q 点表示的数是___________ （用含有t 的代数式表示）
（3）若P 、Q 之间相距10个单位长度，求t 的值。

【方法总结】
① 向左运动的点，它表示的数可以这样算：起点减去经过的路程， 向右运动的点，表示的数可以这样算：起点加上经过的路程。

这里所说的路程，是指某一个动点的速度乘它的运动时间。

② 数轴上两个动点如果是同方向运动的，一定要比较它们的速度，然后再思考，有没有追上甚至超过的可能， 如果有这样的可能，一定要把这种情况写在答题过程中。

③ 同向运动的两个点如果能相遇，就好比追及问题里面，后面的快车追上了前面的慢车。

追上所需的时间就用它们出发前的距离除以速度差，就能算出答案。

三、中点公式
在数轴上有一点A 表示的数为a ，有一点B 表示的数为b ，并且b a < 如果P 是AB 的中点，那么P 点表示的数可以记作：)(2
1
b a + （下面我们就来研究这个公式是怎样得到的）
因为a b AB -=，P 是AB 中点，那么AP 就是AB 的一半，
所以)(2
1
a b AP -=
P 点可以看成是从A 点出发，向右移动了)(2
1
a b -得到的。

所以P 表示的数就可以写成：)(21a b a -+，化简以后就是)(2
1
b a +
A
B
P
典型例题讲解
【例题1】如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足
|a+2|+（3a+b）2＝0
（1）a＝，b＝；
（2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）．
①当点P运动到线段OB 上，且PO＝2PB时，求t的值；
②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究的值是否为定值？
若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示．
③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O
后立即原速返回向右匀速运动，当PQ＝1时，求t的值．（题目来源：2018年无锡市惠山区初一期末）
【小提示】做这类动点问题，先要标明每个点表示的数，然后弄清楚动点从哪里出发，朝什么方向，速度是多少，正确表示出动点的位置。

（备用图）【例题2】如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：
（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；
（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
（备用图）
【例题3】如图，已知线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t＞0），点M为AP的中点．
（1）若点P在线段AB上运动，当t为多少时，PB＝2AM ？
（2）若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点．
①当N为PB的中点时，求线段MN的长度；
②当PN＝2NB时，是否存在这样的t，使M、N、P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点．如果
存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．【例题4】阅读理解：
若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的妙点．例如，如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的妙点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的妙点，但点D是【B，A】的妙点．
知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．
（1）数所表示的点是【M，N】的妙点；
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣40，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动多少个单位时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的妙点？
图3
【参考答案】
1.【解答】解：（1）∵|a+2|+（3a+b）2＝0，
∴a+2＝0，3a+b＝0，
∴a＝﹣2，b＝6；
（2）①∵若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴运动t秒后P点对应的数为﹣2+t，
∵点A表示的数为﹣2，点B表示的数为6，
∴PO＝|﹣2+t|，PB＝|﹣2+t﹣6|＝|t﹣8|，
当PO＝2PB时，有|﹣2+t|＝2|t﹣8|，
解得t＝6或14（舍去）．
答：点P的运动时间t为6；
②当点P运动到线段OB上时，
AP中点F 表示的数是＝，OB的中点E表示的数是3，
所以EF＝3﹣＝，
则＝＝2．
③相遇前PQ＝1，（1+2）t＝8﹣1，
解得t ＝；
相遇后PQ＝1，t＝3或5；
点Q返回到B，PQ＝1，
t＝（8﹣1）÷1＝7．
综上所述，当PQ＝1时，t 的值是或3或5或7．
故答案为：﹣2；6．2.【解答】解：（1）点P运动至点C时，所需时间t＝10÷2+10÷1+8÷2＝19（秒），
（2）由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM＝x．
则10÷2+x÷1＝8÷1+（10﹣x）÷2，
解得x ＝．
故相遇点M 所对应的数是．
（3）P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能：
①动点Q在CB上，动点P在AO上，则：8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2．
②动点Q在CB上，动点P在OB上，则：8﹣t＝（t﹣5）×1，解得：t＝6.5．
③动点Q在BO上，动点P在OB上，则：2（t﹣8）＝（t﹣5）×1，解得：t＝11．
④动点Q在OA上，动点P在BC上，则：10+2（t﹣15）＝t﹣13+10，解得：t＝17．
综上所述：t的值为2、6.5、11或17．
【点评】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用PO与BQ的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
3.【解答】解：（1）∵M是线段AP的中点，
∴AM ＝AP＝t，
PB＝AB﹣AP＝24﹣2t．
∵PB＝2AM，
∴24﹣2t＝2t，
解得t＝6．
（2）①点P在B点左侧．∵M是线段AP的中点，
∴PM ＝AP＝t，
∵N是线段BP的中点，
∴PN ＝BP ＝（24﹣2t）＝12﹣t．
∴MN＝t+12﹣t＝12．
②点P在B点或B点右侧．
∵M是线段AP的中点，
∴PM ＝AP＝t，
∵N是线段BP的中点，
∴PN ＝BP ＝（2t﹣24）＝t﹣12．
∴MN＝t﹣（t﹣12）＝12．
（3）①0＜t≤12
由题意得：PM＝t，PN ＝（24﹣2t），PM＝PN，t ＝（24﹣2t），t ＝．
②12＜t≤48
由题意得：PM＝t，PN ＝（2t﹣24），PM＝2PN，t＝2×（2t﹣24），t ＝．
③t＞48
由题意得：PM＝t，PN ＝（2t﹣24），PN＝2PM ，（2t﹣24）＝2t，t＝﹣24（不成立）．答：当t ＝时，P是MN的中点；当t ＝时，N是MP的中点．
4. 【解答】解：（1）设所求数为x，由题意得
x﹣（﹣2）＝2（4﹣x），
解得x＝2；
或x+2＝2（x﹣4），
解得x＝10．
故数2或10所表示的点是【M，N】的妙点；
故答案为：2或10．
（2）设点P表示的数为y，分四种情况：
①P是【A，B】的妙点．
由题意，得y﹣（﹣40）＝2（20﹣y），
解得y＝0，
20﹣0＝20；
②P是【B，A】的妙点．
由题意，得20﹣y＝2[y﹣（﹣40）]，解得y＝﹣20，
20﹣（﹣20）＝40；
③B是【A，P】的妙点．
由题意，得20﹣（﹣40）＝2（20﹣y），
解得y＝﹣10，
20﹣（﹣10）＝30；
④A为【B，P】的妙点，
由题意得20﹣（﹣40）＝2[y﹣（﹣40）]
y＝﹣10，
20﹣（﹣10）＝30．
综上可知，当P点运动20或40或30个单位时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的妙点．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解妙点的定义，找出合适的等量关系列出方程，再求解．。