数轴上点的运动规律

数轴上“点”的运动规律

在数轴上，A点表示的数是a，B点表示的数是b，显然这两个数里面a

b>，

A、B两点之间的距离我们可以用a

b-来表示。

（图1）

如果我们换个位置，B在左边，A在右边，就会变成下面这样：

（图2）

此时b

a>，A、B两点之间的距离，我们可以用b

a-来表示。

也就是说，在数轴上两点之间的距离，其实就是两个数的差，说具体一点，

就是用较大的数减去较小的数，就等于两个点之间的距离。

由于数轴上的点从左到右越来越大，所以较大的数在右边，较小的数在左边。

我们在计算数轴上两点之间的距离时，对于大部分初学者，可以先这样问问自己：

①这两个点，哪个表示的是大数？哪个表示的是小数？

②我要用哪个数减去哪个数？

（思考题）参考图1，若A点表示的数是b

a-

2，B点表示的数是a

b-

2，那么A、B之间的距离是___________（用含有a、b的代数式表示）

参考图2，若A点表示的数是b

a+

2，B点表示的数是a

b+

2，那么

A、B之间的距离是___________（用含有a、b的代数式表示）【例题1】A、B两地有一条长度是300km的公路，甲车从A地出发开往B地，速度为90km/h，与此同时，乙车从B地出发开往A地，速度为60km/h。

（1）问：甲乙两车出发几小时后相遇？

（2）问：出发几小时后，两车相距50千米？

（变形1）

如图所示，数轴上A、B两点分别表示a、b两个数，并且0

|

8|

)4

(2=

-

+

+b

a，

现有一点P从A出发，以每秒2个单位的速度向右移动，与此同时，有一点Q从B出发，以每秒4个单位的速度向左移动。

（1）_______

______,

_______,之间的距离是

与B

A

b

a=

=个单位长度。

（2）问：几秒后，P、Q两个点重合？

（3）问：几秒后，P、Q两个点之间的距离是4个单位长度？

（4）P点出发时，在A、B之间有一个小球，以每秒10个单位的速度同时出发，

在A、B之间来回滚动，直到P、Q相遇时，小球才停止运动。问：这个过程中，

小球滚动的距离是多少个单位长度？

【方法总结】

①数轴上位置已经确定的点，叫做定点；位置不断变化的点，叫做动点。

②数轴上两个动点重合，就好比马路上两辆车相遇，可以转化成相遇问题。

③数轴上反方向运动的两个点，就好比马路上两辆车相对行驶，相遇之前距离越来越小，

相遇之后距离越来越大。

A B

O

P Q

b－a

B A

O

a－b

（思考与讨论）

由于数轴上的点，向右增大，向左减小。我们假设A 点表示的数为a ，B 点表示的数为b ， 保持A 、B 两点静止不动。我们添上两个能动的点P 和Q ：

P 点从A 出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动；与此同时，Q 点从B 出发，以每秒5个单位长度的速度向左移动。设运动时间为t ，那么t 秒后，P 点表示的数是___________， Q 点表示的数是____________。

由此可见，向左运动的点，它表示的数可以这样算：起点减去速度乘时间 向右运动的点，表示的数就可以这样算：起点加上速度乘时间。

【例题2】甲车速度是60km/h ，乙车速度是90km/h 。某天上午，甲、乙两车在同一个地方， 走同一条路去往300km 外的省城，甲车先走了1小时，然后乙车才出发。 （1）问：乙车能否在抵达省城之前，追上甲车？

（2）问：乙车出发多少小时，甲、乙两车相距30km ？

（变式）如图，A 、B 两点分别对应数轴上b a ,两数，O 为原点，若OA OB 2=，且AB = 24。

有一点P 从A 点出发，以每秒6个单位的速度向右移动，与此同时，有一点Q 从B 出发，以每秒2个单位的 速度向右移动，假设运动时间为 t 。

（1）___________,==b a

（2）t 秒以后，P 点表示的数是__________，Q 点表示的数是___________ （用含有t 的代数式表示）

（3）若P 、Q 之间相距10个单位长度，求t 的值。

【方法总结】

① 向左运动的点，它表示的数可以这样算：起点减去经过的路程， 向右运动的点，表示的数可以这样算：起点加上经过的路程。 这里所说的路程，是指某一个动点的速度乘它的运动时间。

② 数轴上两个动点如果是同方向运动的，一定要比较它们的速度，然后再思考，有没有追上甚至超过的可能， 如果有这样的可能，一定要把这种情况写在答题过程中。

③ 同向运动的两个点如果能相遇，就好比追及问题里面，后面的快车追上了前面的慢车。追上所需的时间就用它们出发前的距离除以速度差，就能算出答案。

三、中点公式

在数轴上有一点A 表示的数为a ，有一点B 表示的数为b ，并且b a < 如果P 是AB 的中点，那么P 点表示的数可以记作：)(2

1

b a + （下面我们就来研究这个公式是怎样得到的）

因为a b AB -=，P 是AB 中点，那么AP 就是AB 的一半，

所以)(2

1

a b AP -=

P 点可以看成是从A 点出发，向右移动了)(2

1

a b -得到的。

所以P 表示的数就可以写成：)(21a b a -+，化简以后就是)(2

1

b a +

A

B

P