《专升本高数一》模拟试题及参考答案

2018年成人高考《专升本-高等数学一》模拟试题第Ⅰ卷（选择题，共 40 分）
一、选择题：1～10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．
A．0
B．1
C．2
D．不存在
2 ．
（）．
A．单调增加且为凹
B．单调增加且为凸c．单调减少且为凹D．单调减少且为凸
3．
A．较高阶的无穷小量B．等价无穷小量
C．同阶但不等价无穷小量D．较低阶的无穷小量
4．
A．
B．0
C．
D．1
5．
A．3
B．5
C．1
D．
A．－sinx
B．cos x
C．
D．
A．
B．x2
C．2x
D．2
8．
A．
B．
C．
D．
9．设有直线
当直线 l1与 l2平行时，λ等于（）．A．1
B．0
C．
D．一 1
10．下列命题中正确的有（）．A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共 110 分）
二、填空题：11～20 小题，每小题 4 分，共 40 分．
11．
12．
13．
14．
15．
16．
17．
18．
19．
20．
三、解答题．21～28 小题，共 70 分．解答应写出推理、演算步骤．21．(本题满分 8 分)
22．(本题满分 8 分)设 y=x+arctanx，求 y'．
23．(本题满分 8 分)
24．(本题满分 8 分)计算
25．(本题满分 8 分)
26．(本题满分 10 分)
27．(本题满分 10 分)
28．(本题满分 10 分)求由曲线 y=x，y=lnx 及 y=0，y=1 围成的平面图形的面积 S 及此平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积．
模拟试题参考答案
一、选择题
1．【答案】C．
【解析】本题考查的知识点为左极限、右极限与极限的关系．
2．【答案】B．
【解析】本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．
3．【答案】C．
【解析】本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．
4．【答案】D．
【解析】本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论．
可知应选 D．
5．【答案】A．
【解析】本题考查的知识点为判定极值的必要条件．
故应选 A．
6．【答案】C．
【解析】本题考查的知识点为基本导数公式．
可知应选 C．
7．【答案】D．
【解析】本题考查的知识点为原函数的概念．
可知应选 D．
8．【答案】D．
【解析】本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法.
因此选 D．
9．【答案】C．
【解析】本题考查的知识点为直线间的关系．
10．【答案】B．
【解析】本题考查的知识点为级数的性质．
可知应选 B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用．二、填空题
11．【参考答案】e．
【解析】本题考查的知识点为极限的运算．
12．【参考答案】1．
【解析】本题考查的知识点为导数的计算．
13．【参考答案】x—arctan x+C．
【解析】本题考查的知识点为不定积分的运算．
14．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为定积分运算．
15．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为隐函数的微分．解法 1 将所给表达式两端关于 x 求导，可得
从而
解法 2 将所给表达式两端微分，
16．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解．
17．【参考答案】1．
【解析】本题考查的知识点为二元函数的极值．
可知点(0，0)为 z 的极小值点，极小值为 1．
18．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为二元函数的偏导数．
19．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为二重积分的计算．
20．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．
所给级数为缺项情形，
三、解答题
21．【解析】本题考查的知识点为极限运算．
解法 1
解法 2
【解题指导】
在极限运算中，先进行等价无穷小代换，这是首要问题．应引起注意．22.【解析】
23．【解析】本题考查的知识点为定积分的换元积分法．
【解题指导】
比较典型的错误是利用换元计算时，一些考生忘记将积分限也随之变化. 24．【解析】本题考查的知识点为计算反常积分．
计算反常积分应依反常积分收敛性定义，将其转化为定积分与极限两种运算．25．【解析】
26．【解析】
27．【解析】本题考查的知识点为二重积分运算和选择二次积分次序．
28．【解析】所给曲线围成的图形如图 8—1 所示．
第二部分（选择题，共 40 分）
一、选择题：1～10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
A．
B．e
C．e2
D．1
2．
A．
B．
C．
D．
3．
A．凹
B．凸
C．凹凸性不可确定
D．单调减少
4．
A．2
B．
C．1
D．一 2
5．设 f(x)为区间[a，b]上的连续函数，则曲线 y=f(x)与直线 x=a，x=b，y=0 所围成的封闭图形的面积为（）．
A．
B．
C．
D．不能确定
6．
A．f(2)－f(0)
C．
D．f(1)－f(0)
7．
A．
B．
C．
D．
8．
A．
B．
C．
D．
9．
A．条件收敛B．绝对收敛C．收敛性与 k 有关D．发散
10．
A．Ax
B．
C．
第Ⅱ卷（非选择题，共 110 分）
二、填空题：11～20 小题，每小题 4 分，共 40 分．
11．
12．
13．设 sinx 为 f(x)的原函数，则 f(x)=．
14．
15.已知平面π：2x+y 一 3z+2=0，则过原点且与π垂直的直线方程为．16．
17．
1 8．
19．
20．
三、解答题：21～28 小题，共 70 分．解答应写出推理、演算步骤．21．(本题满分 8 分)
22．(本题满分 8 分)
23．(本题满分 8 分)
24．(本题满分 8 分)
25．(本题满分 8 分)
26．(本题满分 10 分)
(1)切点 A 的坐标(a，a2)．
(2)过切点 A 的切线方程。

27．(本题满分 10 分)
28．(本题满分 10 分)
模拟试题参考答案一、选择题
1．【答案】C．
【解析】本题考查的知识点为重要极限公式．
2．【答案】D．
【解析】本题考查的知识点为可变上限积分的求导．当 f(x)为连续函数，φ(x)为可导函数时，
因此应选 D．
3．【答案】A．
【解析】本题考查的知识点为利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．
4．【答案】C．
【解析】本题考查的知识点为函数连续性的概念．
5．【答案】B．
【解析】本题考查的知识点为定积分的几何意义．
由定积分的几何意义可知应选 B．
常见的错误是选 C．如果画个草图，则可以避免这类错误．6．【答案】C．
【解析】本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和不定积分的性质．
可知应选 C．
7．【答案】C．
【解析】本题考查的知识点为复合函数求导．
可知应选 C．
8．【答案】A．
【解析】本题考查的知识点为偏导数的计算．
可知应选 A．
9．【答案】A．
【解析】本题考杏的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛．
10．【答案】D．
二、填空题
11．
【解析】本题考查的知识点为极限的运算．
若利用极限公式
如果利用无穷大量与无穷小量关系，直接推导，可得
12．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为导数的四则运算．
13．【参考答案】cosx．
【解析】本题考查的知识点为原函数的概念．
由于 sinx 为 f(x)的原函数，因此 f(x)=(sin x)'=cosx．
14．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．
15．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为直线方程和直线与平面的关系．
由于平面π与直线 1 垂直，则直线的方向向量 s 必定平行于平面的法向量 n，因此可以取
16．【参考答案】5．
【解析】本题考查的知识点为二元函数的偏导数．
解法 1
解法 2
17．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为二重积分的性质．
18．【参考答案】1．
【解析】本题考查的知识点为函数在一点处导数的定义．
由于 f'(1)=2，可知
19．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程的求解．
20．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．
注意此处幂级数为缺项情形．
三、解答题
21．【解析】本题考查的知识点为用洛必达法则求未定型极限．
22．【解析】本题考查的知识点为参数方程的求导运算．
【解题指导】
23．【解析】本题考查的知识点为定积分的换元积分法．
24．【解析】本题考查的知识点为求二元隐函数的偏导数与全微分．解法 1
解法 2 利用微分运算
【解题指导】
求二元隐函数的偏导数有两种方法：
25．【解析】本题考查的知识点为将初等函数展开为 x 的幂级数．
【解题指导】
如果题目中没有限定展开方法，一律要利用间接展开法．这要求考生记住几个标准展开式：
26．【解析】本题考查的知识点为定积分的几何意义和曲线的切线方程．
α=1．
因此 A 点的坐标为(1，1)．
过 A 点的切线方程为 y 一 1=2(x 一 1)或 y=2x 一 1．
【解题指导】
本题在利用定积分表示平面图形时，以 y 为积分变量，以简化运算，这是值得注意的技巧．
27．【解析】本题考查的知识点为：描述函数几何性态的综合问题．
极小值点为 x=一 1，极小值为
曲线的凹区间为(一 2，+∞)；
曲线的凸区间为(一∞，一 2)；
28．【解析】本题考查的知识点为二重积分的物理应用．
解法 1 利用对称性．
解法 2
【解题指导】
若已知平面薄片 D，其密度为 f(x，Y)，则所给平面薄片的质量 M 可以由二重积分表示为
第三部分（选择题，共 40 分）
－、选择题：1～10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的．
1．
A．0
B．1
C．2
D．不存在
2．设 f(x)在点 x0 处连续，则下列命题中正确的是（）．
A．f(x)在点 x0 必定可导
B．f(x)在点 x0 必定不可导
C．
D．
3．
A．2
B．1
C．
D．0
4．设函数 y＝f(x)的导函数，满足 f'(－1)＝0，当 x<－1 时，f'(x)<0；当 x>－1 时，f'(x)>0．则下列结论肯定正确的是（）．
A．x＝－1 是驻点，但不是极值点
B．x＝－1 不是驻点
C．x＝－1 为极小值点
D．x＝－1 为极大值点
5．设函数 f(x)＝2sinx，则 f'(x)等于（）．
A．2sinx
B．2cosx
C．－2sinx
D．－2cosx
6．
A．f(1)－f(0)
B．2[f(1)－f(0)]
C．2[f(2)－f(0)]
D．
7．
A．椭球面
B．圆锥面
C．旋转抛物面
D．柱面
8．
A．
B．
C．
D．
9 ．
为二次积分为（）．A．
B．
C．
D．
10．
A．必定收敛
B．必定发散
C．收敛性与α有关
D．上述三个结论都不正确
第Ⅱ卷（非选择题，共 110 分）
二、填空题：11～20 小题，每小题 4 分，共 40 分．
11．
12．
13．
14．
15．
16．
17．
18．
19．
20．
三、解答题：21～28 小题，共 70 分．解答应写出推理、演算步骤．21．(本题满分 8 分)
22．(本题满分 8 分)
23．(本题满分 8 分)
24．(本题满分 8 分)
25．(本题满分 8 分)
26．(本题满分 10 分)
27．(本题满分 10 分)
28．(本题满分 10 分)
模拟试题参考答案
－、选择题
1．【答案】D．
【解析】本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系．
由于 f(x)为分段函数，点 x＝1 为 f(x)的分段点，且在 x＝1 的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限．
2．【答案】C．
【解析】本题考查的知识点为极限、连续与可导性的关系．
这些性质考生应该熟记．由这些性质可知本例应该选 C．
3．【答案】D．
【解析】本题考查的知识点为重要极限公式与无穷小量的性质．
4．【答案】C．
【解析】本题考查的知识点为极值的第－充分条件．
由 f'(－1)＝0，可知 x＝－1 为 f(x)的驻点，当 x<－1 时 f'(x)<0；当 x>－1 时，f'(x)>1，由极值的第－充分条件可知 x＝－1 为 f(x)的极小值点，故应选C．5．【答案】B．
【解析】本题考查的知识点为导数的运算．
f(x)＝2sin x，
f'(x)＝2(sin x)'≈2cos x．
可知应选 B．
6．【答案】D．
【解析】本题考查的知识点为定积分的性质；牛顿－莱布尼茨公式．
可知应选 D．
7．【答案】C．
【解析】本题考查的知识点为二次曲面的方程．
8．【答案】A．
【解析】本题考查的知识点为偏导数的计算．
由于
故知应选 A．
9．【答案】A．
【解析】本题考查的知识点为将二重积分化为极坐标系下的二次积分．由于在极坐标系下积分区域 D 可以表示为
故知应选 A．
10．【答案】D．
【解析】本题考查的知识点为正项级数的比较判别法．
二、填空题
11．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为微分的四则运算．注意若 u，v 可微，则
12．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为重要极限公式．
13．【参考答案】f'(0)．
【解析】本题考查的知识点为导数的定义．
由于 f(0)＝0,f'(0)存在，因此
本题如果改为计算题，其得分率也会下降，因为有些考生常常出现利用洛必达法则求极限而导致运算错误：
因为题设中只给出 f'(0)存在，并没有给出f'(x)(x≠0)存在，也没有给出 f'(x)连续的条件，因此上述运算的两步都错误．
14．【参考答案】－24．
【解析】本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．
若 f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定 f(x)在[a，b]上的最值：
15．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为：参数方程形式的函数求导．
16．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为定积分的基本公式．
17．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系．
由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，－1)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为
18．【参考答案】(－∞，＋∞)．
【解析】本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．
若ρ＝0，则收敛半径 R＝＋∞，收敛区间为(－∞，＋∞)．
若ρ＝＋∞，则收敛半径 R＝0，级数仅在点 x＝0 收敛．
19．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为可分离变量方程的求解．可分离变量方程求解的－般方法为：
(1)变量分离；
(2)两端积分．
20．【参考答案】
【解析】本题考查的知识点为计算二重积分．
三、解答题
21．【解析】
解法 1 利用等价无穷小量代换．
解法 2 利用洛必达法则．
22．【解析】本题考查的知识点为定积分的换元积分法．
23．【解析】本题考查的知识点为求隐函数的微分．
解法 1 将方程两端关于 x 求导，可得
解法 2 将方程两端求微分
【解题指导】
若 y＝y(x)由方程 F(x，y)＝0 确定，求 dy 常常有两种方法．
(1)将方程 F(x，y)＝0 直接求微分，然后解出 dy．
(2)先由方程 F(x，y)＝0 求 y'，再由 dy＝y'dx 得出微分 dy．24．
25．【解析】本题考查的知识点为求解－阶线性微分方程．
将方程化为标准形式
【解题指导】
求解－阶线性微分方程常可以采用两种解法：
解法 1 利用求解公式，必须先将微分方程化为标准形式 y'＋p(x)y＝q(x)，则
解法 2 利用常数变易法．
原方程相应的齐次微分方程为
令 C＝C(x)，则 y＝C(x)x，代入原方程，可得
可得原方程通解为 y＝x(x＋C)．
本题中考生出现的较常见的错误是：
这是由于没有将所给方程化为标准方程而导致的错误．读者应该明确，上述通解公式是标准方程的通解公式．
26．【解析】本题考查的知识点为定积分的几何应用：利用定积分表示平面图形的面积；利用定积分求绕坐标轴旋转而成旋转体体积．所给平面图形如图 4—1 中阴影部分所示，
注这是常见的考试题型，考生应该熟练掌握．
27．【解析】本题考查的知识点为计算二重积分．
将区域 D 表示为
【解题指导】
问题的难点在于写出区域 D 的表达式．
本题出现的较常见的问题是不能正确地将区域 D 表示出来，为了避免错误，考生应该画出区域 D 的图形，利用图形确定区域 D 的表达式．
与应试模拟第 4 套第 27 题相仿，初学者对此常常感到困难．只要画出图来，认真分析－下，就可以写出极坐标系下 D 的表达式．
28．【解析】本题考查的知识点为导数的应用．
单调增加区间为(0，＋∞)；
单调减少区间为(－∞，0)；
极小值为 5，极小值点为 x＝0；
注上述表格填正确，则可得满分．
【解题指导】
这个题目包含了利用导数判定函数的单调性；求函数的极值与极值点；求曲线的凹凸区间与拐点．。