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2 对后者，当b≠0时，其图象不关于直线x=1对称．
③ 若a2+b≤0，则= 4（a2+b）≤0，f（x）=x2-2ax-b =（x-a）-a2 2-b ， 可知：命题③是正确．
④ 虽然当x=a时，（x-a）2 -a2-b有最小值-a2-b ， 但不能确定f（x）＝ x2-2ax-b（x∈R）有最大值a2+b， 因此正确命题的序号应为③．
高中数学函数
函数的高考要求：
1．理解和掌握集合、子集、交集、并集、补集、命题的四种形式与等价 命题、充要条件等概念，能掌握集合与命题的有关述语和符号，以集 合语言和集合思想为工具，能正确的表示函数的定义域、值域、方程 与不等式的解集、曲线的轨迹方程及其交点等问题．
2．掌握函数关系的建立，在此基础上理解函数及其有关概念，掌握互为反函 数的函数图象间的关系．
例4．已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5 ，函数 y = f（x） （-1≤x≤1）是奇函数．又知y=f（x）在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上 是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5． （Ⅰ）证明：f（1）+ f（4）= 0； （Ⅱ）试求y=f（x）分别在[1，4]、[4，9]上的解析式．
一、函数的概念及性质
例1．已知函数y = f（x） （定义域为D，值域为A）有反函数y= f x -1（ ），
则方程 f（x）=0有解x=a，且f（x）＞x（x∈D）的充要条件是y= f -1（x）
满足
．
答：函数f -1（x）的图象在直线y= x的下方且过点（0，a）
或: f -1（0）=a 且f -1（x）＜ x（ x ∈Ａ ）
3．理解和掌握函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的最大值、最小值的概念， 并能判定简单函数的这些性质，能利用函数的奇偶性、周期性与图象的对称性 的关系描绘函数的图象．
4．掌握幂函数、指数函数、对数函数的概念、图象与性质，并会解简单的指数方 程和对数方程．
5．掌握二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的关系，并能综合解 决相关问题．
∴不存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T f（x）成立．
∴f（x）= x M．
（2） 由题意可知：公共点在第一象限．
设公共点的横坐标为T（T≠0），
于是（T， aT）与（T，T）重合，∴aT=T， ∵ 任取x∈R，f（x+T）= ax+T = ax× aT= ax×T= Tf（x），
∴ f（x）= ax∈M．
例2．设函数f（x）= sin2x，若f（x+t）是偶函数，则t的一个可能值是
．
分析:
f（x+t）=sin2（x+t）

sin2（x+ ） =sin（2x+ ）=cos2x ,
4
2
，
答：t的一个可能值是 2 k1 ，k∈Z．
4
sin2（x+
3 4）
=sin（2x+
3 2
）=
-cos2x
,
例3. 已知函数f（x）= x2-2ax-b（x∈R），给出下列命题： ①f（x）必是偶函数； ②当f（0）=f（2）时，f（x）的图象必关于直线x=1对称； ③若a2+b≤0，则f（x）在区间a，+∞上是增函数； ④f（x）有最大值a2+b ． 其中正确命题的序号是 ③ ． 分析：① 当a≠0时，x∈R，f（x）是非奇非偶函数． ② 由f（0）=f（2）得-b=4-4a-b，此时，a=1或a=1- 1 b，
∴ 当x∈[0，1]时，f（x）= -3x．
∴f（x）= - f（-x）= -3x，
∴ 当x∈[-1，1]时，f（x）= -3x．
当x∈[4，6]时，x-5∈[-1，1]，f（x）= f（x-5）= -3（x-5）= -3x+15 当x∈（6，9]时， x-5∈(1，4] ，
f（x）= f（x-5）= 2[（x-5）-2]2 - 5 = 2（x-7）2 - 5．
∴ f（x）= 2（x-2）2 -5 （1≤x≤4）
∵ f（x）在x∈[-1，1]上是奇函数，
∴f（0）= - f（0），∴f（0）= 0． 可设f（x）= kx，x∈[0，1]， 又f（1）= k×1= k，∴ k= -3， 当x∈-1，0)时， 0＜-x≤1，
又y=f（x）在x∈[0，1]上是一次函数， ∵ f（1）=2（1-2）2 -5= -3，
分析（Ⅰ）∵函数y=f（x）是以5为周期的周期函数，且在x∈[-1，1]上是奇函数，
∴ f（4）= f（4-5）= f（-1）= - f（1），
从而 f（1）+ f（4）= 0．
（Ⅱ）当x∈[1，4]时，由题意可设：f（x）= a（x-2）2 -5 （a≠0）， 由f（1）+ f（4）= 0得 a（1-2）2-5+ a（4-2）2 -5 = 0， 解得a=2 ，
∴
{ f（x）=
-3x+15 , x∈[4，6]
2(x-7）2- 5 , x∈（6，9]
例4．已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5 ，函数 y = f（x） （-1≤x≤1）是奇函数．又知y=f（x）在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上 是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5． （Ⅰ）证明：f（1）+ f（4）= 0； （Ⅱ）试求y=f（x）分别在[1，4]、[4，9]上的解析式．
回顾:（Ⅰ） f（1） = - f（-1）= - f（-1+5）= -f（4）
f（1）+ f（4）= 0．
（Ⅱ） [1,4]
[1,4]
[0,1]
[-1,0)
[-1,1]
} [4,6]
[6,9]
[4,9]
例5．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零 常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T f（x）成立．
（1）函数f（x）= x是否属于集合M？说明理由； （2）设函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象与y= x的图象有公共点．
证明：f（x）= ax ∈M； （3）若函数 f（x）=sinKx∈M，求实数K的取值范围． 分析： （１） 任取非零实数T∈R，
∵当x = - T时，f（x+T）= f（ - T +T）= f（0）=0， Tf（x）= Tf（ - T ）= T×（-T）= - T2， 而T≠0，∴ Tf（x）≠0， 从而f（x+T）≠Tf（x）．