初中数学等腰三角形复习公开课PPT课件
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等腰三角形的复习ppt课件
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称 轴，即底边的垂直平分线（或底边的中 垂线）。
等腰三角形性质
等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角的平分线， 底边上的中线，底边上的高的 重合（简写成“三线合一”）。
等腰三角形是轴对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
判定方法
在一个三角形中，如果一个角的 平分线与它所对边的高重合，那
么这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果一条边上 的中线等于这条边的一半，那么
这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果两个角的 度数相等，那么这两个角所对的 边也相等，即这个三角形是等腰
三角形。
02
等腰三角形面积与 周长计算
面积计算公式
等腰三角形面积公式
01
$S = frac{1}{2} times 底 times 高$
题目2 已知等腰三角形ABC的周长为16cm，AD是底边 BC上的中线，AD∶AB = 3∶5，且△ABD的周长 为12cm，求△ABC的各边长及AD的长．
题目3 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45°，且腰长为6，则其面积为多少？
THANKS
感谢您的观看
善于利用图形中的隐含条件，如公共边、公共角等。
辅助线构造方法
等腰三角形中的高
连接顶点与底边中点，构 造出高，利用高的性质进 行证明。
中位线
连接两腰中点，构造出中 位线，利用中位线的性质 进行证明。
角平分线
若题目中涉及到角的平分， 可以构造角平分线，利用 角平分线的性质进行证明。
典型例题解析
解析
根据等腰三角形的性质， 我们知道∠B=∠C。又因 为AD是BC边上的高， 所以 ∠ADB=∠ADC=90°。 根据三角形的全等判定， 我们可以证明 △ABD≌△ACD，从而得 出∠BAD=∠CAD。
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称 轴，即底边的垂直平分线（或底边的中 垂线）。
等腰三角形性质
等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角的平分线， 底边上的中线，底边上的高的 重合（简写成“三线合一”）。
等腰三角形是轴对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
判定方法
在一个三角形中，如果一个角的 平分线与它所对边的高重合，那
么这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果一条边上 的中线等于这条边的一半，那么
这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果两个角的 度数相等，那么这两个角所对的 边也相等，即这个三角形是等腰
三角形。
02
等腰三角形面积与 周长计算
面积计算公式
等腰三角形面积公式
01
$S = frac{1}{2} times 底 times 高$
题目2 已知等腰三角形ABC的周长为16cm，AD是底边 BC上的中线，AD∶AB = 3∶5，且△ABD的周长 为12cm，求△ABC的各边长及AD的长．
题目3 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45°，且腰长为6，则其面积为多少？
THANKS
感谢您的观看
善于利用图形中的隐含条件，如公共边、公共角等。
辅助线构造方法
等腰三角形中的高
连接顶点与底边中点，构 造出高，利用高的性质进 行证明。
中位线
连接两腰中点，构造出中 位线，利用中位线的性质 进行证明。
角平分线
若题目中涉及到角的平分， 可以构造角平分线，利用 角平分线的性质进行证明。
典型例题解析
解析
根据等腰三角形的性质， 我们知道∠B=∠C。又因 为AD是BC边上的高， 所以 ∠ADB=∠ADC=90°。 根据三角形的全等判定， 我们可以证明 △ABD≌△ACD，从而得 出∠BAD=∠CAD。
等腰三角形性质(公开课)课件
底边
B
C
底边与腰的夹角叫做底角.
底角
活动（二）: 细心观察 大胆猜想
上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，
找出其中重合的线段和角，填入下表:
B
重合的线段
重合的角
AB=AC ∠B=∠C A D
BD=CD ∠ADB=∠ADC
AD=AD ∠BAD=∠CAD C
等腰三角形除了两腰相等以外,你还 能发现它的其他性质吗?
证明: 作顶角的平分线AD, 则∠1=∠2
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 ) ∠1=∠2 ( 已作 )
B DC
AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法三: 作底边的高线
等腰三角形的两个底角相等。
A
已知: 如图，在△ABC中，AB=AC.
设问: 你发现了什么现象，
猜想等腰△ABC有哪些性质？
结论: 等腰三角形是轴对称图形；
角: ① ∠B = ∠C→ 两个底角相等 ② ∠BAD=∠CDA → AD为顶角∠BAC的平分线 ③∠ADC= ∠ADB=900 → AD为底边BC上的高
边: ④BD = CD →
AD为底边BC上的中线
等腰三角形性质:
知一线得二线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
“三线合一”可以帮助我
们解决线段的垂直、相等
以及角的相等问题。
B
DC
1.等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为__4_0__°_.
2.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 _______________7_0_°_.,40° 或 55°,55°
等腰三角形复习公开课课件
2023
PART 02
等腰三角形周长与面积计 算
REPORTING
周长计算公式
等腰三角形周长的计算公式为：周长 = 2 × 腰长 + 底边长。
若仅知道等腰三角形的一条腰长和底 边长，以及一个角度（如顶角或底 角），则需要通过三角函数计算出另 一条腰长，再套用周长公式。
在已知等腰三角形两条腰长和底边长 的情况下，可以直接套用此公式计算 周长。
工程测量应用
角度测量
等腰三角形可用于工程测量中的角度测量，通过观测和计算等腰三角形的顶角 和底角，可以推算出其他相关角度。
距离测量
在无法直接测量两点间距离的情况下，可以利用等腰三角形的性质，通过测量 其他相关距离间接求得目标距离。
其他领域应用
航海与航空
在航海和航空领域，等腰三角形可用于定位和导航，如通过观测两个已知位置的夹 角来确定自身位置。
解析
设腰长为x，底边长为y，根据题意列 方程组求解，注意分两种情况讨论。
填空题选讲
题目一
等腰三角形的一个外角等于100°， 则它的顶角等于____。
解析
外角与相邻内角互补，故内角为 80°，若80°为顶角则不合题意， 故80°为底角，顶角为180°2×80°=20°。
题目二
已知等腰三角形的周长为21cm， 若有一边长为9cm，则其他两边 长为____。
2023
PART 03
等腰三角形在生活中的应 用
REPORTING
建筑领域应用
建筑设计
等腰三角形在建筑设计中经常出现，如尖顶建筑、拱门等，其 对称性和稳定性为建筑物增添了美感和结构强度。
结构工程
在桥梁、塔楼等建筑结构中，等腰三角形可用于构建稳定的支 撑结构，如斜拉桥的主塔和拉索构成的等腰三角形。
中考一轮复习数学第24讲等腰三角形PPT课件
角相等，那么这两个角所对的边也相等
考点1:等腰三角形的性质
1.(202X•江苏)如图,在△ABC中,AB=AC,D为 BC中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为 .
2.如图,在△ABC中,AB=AD=DC, ∠B=70°,则
∠C的度数为
.
3.若等腰三角形的一底个角角等为于303°0°,则这个等腰三 角形的顶角的大小为________.
4.如图已知,△ABC中,AB＝5,BC＝3,AC＝4， PQ∥AB,P点在AC上(与点A、C不重合),Q点在BC上. (1)当△PQC的面积与四边形 PABQ的面积相等时,求CP的长; (2)当△PQC的周长与四边形 PABQ的周长相等时,求CP的长; (3)试问:在AB上是否存在点M, 使得△PQM为等腰直角三角形? 若不存在,请简要说明理由; 若存在,要求出PQ的长.
则EP+BP=
.
13CE时，
H
2.如图,△ABC中,AB=10,AC=7,AD是角平分 线,CM⊥AD于M,且N是BC的中点,则MN= .
三线中出现两线
构造等腰三角形 E
变式:在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足
为D,过D作DE∥AC,交AB于E,若AB=5,则线段
DE的长为
.
E
考点3:分类讨论思想的应用(等腰三角形) 1.如图正方形网格中,网格线的交点称为格点.已 知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使 得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是( )
.
自学检测4:(8分钟) 1.如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到 一个四边形,则图中∠α+∠β的度数是 .
2.如图,等边△ABC的边长为1cm,D、E分别是 AB、AC上的点,将△ADE沿着直线DE折叠,点 A落在点A′处,且点A′在△ABC外部,则阴影部分 图形的周长为_______cm.
考点1:等腰三角形的性质
1.(202X•江苏)如图,在△ABC中,AB=AC,D为 BC中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为 .
2.如图,在△ABC中,AB=AD=DC, ∠B=70°,则
∠C的度数为
.
3.若等腰三角形的一底个角角等为于303°0°,则这个等腰三 角形的顶角的大小为________.
4.如图已知,△ABC中,AB＝5,BC＝3,AC＝4， PQ∥AB,P点在AC上(与点A、C不重合),Q点在BC上. (1)当△PQC的面积与四边形 PABQ的面积相等时,求CP的长; (2)当△PQC的周长与四边形 PABQ的周长相等时,求CP的长; (3)试问:在AB上是否存在点M, 使得△PQM为等腰直角三角形? 若不存在,请简要说明理由; 若存在,要求出PQ的长.
则EP+BP=
.
13CE时，
H
2.如图,△ABC中,AB=10,AC=7,AD是角平分 线,CM⊥AD于M,且N是BC的中点,则MN= .
三线中出现两线
构造等腰三角形 E
变式:在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足
为D,过D作DE∥AC,交AB于E,若AB=5,则线段
DE的长为
.
E
考点3:分类讨论思想的应用(等腰三角形) 1.如图正方形网格中,网格线的交点称为格点.已 知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使 得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是( )
.
自学检测4:(8分钟) 1.如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到 一个四边形,则图中∠α+∠β的度数是 .
2.如图,等边△ABC的边长为1cm,D、E分别是 AB、AC上的点,将△ADE沿着直线DE折叠,点 A落在点A′处,且点A′在△ABC外部,则阴影部分 图形的周长为_______cm.
《等腰三角形的性质》优秀课件
全等识别
若两个三角形三边及三角分别相等，则这两个三角形全等。在等腰三角形中， 若两个等腰三角形的底边和腰长分别相等，则这两个等腰三角形全等。
2024/1/26
21
对后续知识点（如圆、三角函数）的铺垫作用
对圆的知识点铺垫
等腰三角形的性质与圆的性质有密切联系。例如，在等腰三角形中，底边上的中垂线同时也是底边所 在圆的直径；此外，在等腰三角形中引入外接圆和内切圆的概念，可以进一步探讨三角形的性质。
SAS全等判定
若两个三角形两边和夹角分别相等，则这两个三 角形全等。
3
HL全等判定（直角三角形）
在直角三角形中，若斜边和一条直角边分别相等 ，则这两个三角形全等。
2024/1/26
5
与其他特殊三角形关系
与等边三角形的关系
等边三角形是特殊的等腰三角形，三 边都相等。
与相似三角形的关系
若两个等腰三角形的顶角和底角分别 相等，则这两个三角形相似。
8
边角关系
等腰三角形中，两个等腰边所 对的两个底角相等，即等边对 等角。
2024/1/26
等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高相互 重合，即“三线合一”。
等腰三角形中，若有一个角是 60度，则这个三角形是等边三 角形。
9
面积计算公式
等腰三角形的面积可以通过以下公式计算
面积 = (底边长度 × 高) / 2。其中，底边长度是两个等腰边所夹的底边的长度， 高是从顶点到底边的垂直距离。
《等腰三角形的性质》 优秀课件
2024/1/26
1
目录
2024/1/26
• 等腰三角形基本概念 • 等腰三角形性质探究 • 等腰三角形在生活中的应用 • 等腰三角形相关定理证明 • 等腰三角形在几何变换中的地位和作用 • 典型例题解析与课堂互动环节
等腰三角形ppt课件
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C.
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
新课讲解
性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
G
新课讲解
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
新课讲解
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）A．40° B．30° C．70° D．50°
CD
新课讲解
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
不重合！
为什么不一样?
新课讲解
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以.3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
随堂即练
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
70°或20°
注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
随堂即练
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °∴x+2x+2x=180 °.
重合的线段
重合的角
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C.
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
新课讲解
性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
G
新课讲解
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
新课讲解
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）A．40° B．30° C．70° D．50°
CD
新课讲解
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
不重合！
为什么不一样?
新课讲解
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以.3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
随堂即练
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
70°或20°
注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
随堂即练
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °∴x+2x+2x=180 °.
等腰三角形性质公开课课件
等腰三角形性质公开课课件一、等腰三角形的定义•等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
•等腰三角形的两个底角（底边的两个对角）也是相等的。
二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合。
2.等腰三角形的高也是中线、角平分线和垂直平分线。
3.等腰三角形的高也是底边的中线。
4.等腰三角形的对角也是顶角的平分线。
三、等腰三角形的性质证明1. 等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合证明：设等腰三角形 ABC 的底边为 AC，顶点为 B，底边中点为 M，顶点到底边的垂直平分线为 BM。
因为 AM = CM（等腰三角形的性质），且 BM 也是 AM 的垂直平分线，所以BM = AM = CM。
又因为 BM 的定义是顶点到底边的垂直平分线，所以 BM 也是 AC 的垂直平分线。
所以，等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合。
2. 等腰三角形的高也是中线、角平分线和垂直平分线证明：设等腰三角形 ABC 的底边为 AC，顶点为 B，高为 BH，中点为 M，角平分线为BK。
由于等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合（性质1），所以BH 是 AC 的垂直平分线。
又因为 BM 是 AC 的中线（三角形中线的性质），所以 BH 也是 BM 的垂直平分线。
又因为 BK 是角 B 的平分线，所以 BH 也是 BK 的垂直平分线。
综上所述，等腰三角形的高 BH 同时是 AC 的中线、角平分线和垂直平分线。
3. 等腰三角形的高也是底边的中线证明：设等腰三角形 ABC 的底边为 AC，顶点为 B，高为 BH，底边的中点为 M。
由等腰三角形的性质可知，等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合。
所以，BH 是 AC 的垂直平分线，而 M 是 AC 的中点，所以 BH 也是 AM 的垂直平分线。
所以，BH 也是所有从顶点到底边的线段的垂直平分线。
又因为 BH 与 AC 重合（等腰三角形的性质），所以 BH 也是 AC 的中线。
初中数学课件等腰三角形的性质(几何)ppt课件
接求出等腰三角形的面积。
利用三角函数
通过已知角度和边长，利用三角函 数求出高或底，再代入公式计算面 积。
利用向量
在平面直角坐标系中，可以利用向 量表示三角形的顶点，通过向量的 运算求出三角形的面积。
案例分析：不同类型题目解法
01
02
03
04
已知等腰三角形的底和高，直 接代入公式求解。
已知等腰三角形三边长度，利 用海伦公式求解。
勾股定理在等腰三角形中的推广
对于非直角的等腰三角形，可以通过作高将其分为两个直角三角形，再利用勾股定理求解 相关问题。
相似三角形与等腰三角形关系探讨
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相 似。
等腰三角形的相似性质
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三 角形相似。此外，如果两个等腰三角形的底边和腰成比例 ，则这两个三角形也相似。
实际应用：测量、作图等问题
01
测量
在实际生活中，等腰三角形的性质可以应用于测量问题。例如，在无法
直接测量某一边长时，可以通过测量等腰三角形的底角和腰长来间接计
算。
02
作图
在几何作图中，等腰三角形的性质也有广泛应用。例如，可以通过作等
腰三角形的高来平分底边，或者通过作等腰三角形的角平分线来得到对
称的图形。
初中数学课件等腰三角形的性质(几 何)ppt课件
目录
• 等腰三角形基本概念与性质 • 等腰三角形判定方法 • 等腰三角形面积计算 • 等腰三角形在生活中的应用 • 等腰三角形相关定理和推论 • 练习题与课堂互动环节
01
等腰三角形基本概念与性质
等腰三角形定义及特点
定义
有两边相等的三角形叫做等腰三 角形。
利用三角函数
通过已知角度和边长，利用三角函 数求出高或底，再代入公式计算面 积。
利用向量
在平面直角坐标系中，可以利用向 量表示三角形的顶点，通过向量的 运算求出三角形的面积。
案例分析：不同类型题目解法
01
02
03
04
已知等腰三角形的底和高，直 接代入公式求解。
已知等腰三角形三边长度，利 用海伦公式求解。
勾股定理在等腰三角形中的推广
对于非直角的等腰三角形，可以通过作高将其分为两个直角三角形，再利用勾股定理求解 相关问题。
相似三角形与等腰三角形关系探讨
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相 似。
等腰三角形的相似性质
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三 角形相似。此外，如果两个等腰三角形的底边和腰成比例 ，则这两个三角形也相似。
实际应用：测量、作图等问题
01
测量
在实际生活中，等腰三角形的性质可以应用于测量问题。例如，在无法
直接测量某一边长时，可以通过测量等腰三角形的底角和腰长来间接计
算。
02
作图
在几何作图中，等腰三角形的性质也有广泛应用。例如，可以通过作等
腰三角形的高来平分底边，或者通过作等腰三角形的角平分线来得到对
称的图形。
初中数学课件等腰三角形的性质(几 何)ppt课件
目录
• 等腰三角形基本概念与性质 • 等腰三角形判定方法 • 等腰三角形面积计算 • 等腰三角形在生活中的应用 • 等腰三角形相关定理和推论 • 练习题与课堂互动环节
01
等腰三角形基本概念与性质
等腰三角形定义及特点
定义
有两边相等的三角形叫做等腰三 角形。
等腰三角形ppt课件
THANKS
感谢观看
工程绘图
在工程绘图中，等边三角形 可用于表示某些特定的角度 或距离关系，简化绘图过程 。
标志设计
由于等边三角形具有对称性 和稳定性，因此在标志设计 中常被用作基本图形元素， 如交通标志中的警告标志。
数学教育
在数学教育中，等边三角形 常被用作教学工具，帮助学 生理解几何形状、角度和边 长关系等基本概念。
如果一个三角形有两个角相等 ，那么这两个角所对的边也相
等。
等腰三角形性质总结
性质1
等腰三角形的两个底角相等。
性质2
等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高互相 重合，简称“三线合一”。
性质3
等腰三角形的对称轴是底边的 垂直平分线。
性质4
等腰三角形是轴对称图形，只 有一条对称轴。
02 等腰三角形面积 与周长计算
06 课件总结与回顾
关键知识点总结
定义
两边相等的三角形称为等腰三角 形。
性质
等腰三角形的两个底角相等；底 边上的中线、高线和顶角的平分 线三线合一。
关键知识点总结
等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角 对等边）。
推论：三个角都相等的三角形是等边三角形。
特点
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是 底边的垂直平分线。
等腰三角形判定定理
01
02
03
04
边边边定理
如果两个三角形的三边分别相 等，则这两个三角形全等。
边角边定理
如果两个三角形有两边和夹角 分别相等，则这两个三角形全
等。
角边角定理
如果两个三角形有两个角和夹 边分别相等，则这两个三角形
等腰三角形ppt课件
若x为腰，y为底，则2x+y=5,即2（3m-3）+（-m+3）=5.解得m=8/5.∴x=9/5,y=7/5.
符合题意
符合题意
不符合题意
所以该等腰三角形的腰长为9/5或3/2.
1.等腰三角形中的分类讨论：
（1）当顶角和底角不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形内角和定理检验；
6
基础小练
2、如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE,OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，求OE+OF的值?
OE+OF=5
拓展提高
1,若二元一次方程组 的解x,y的值是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为5，求等腰三角形的腰长。
解：解方程组 得
若y为腰，x为底，则x+2y=5,即（3m-3）+2（-m+3）=5.解得m=2,∴x=3,y=1.
若x,y都为腰，则x=y,即3m-3=-m+3.解得m=3/2,∴x=y=3/2.底边长为2.
13.3等腰三角形专题复习
考点1 等腰三角形的性质与判定
性质
(1)等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴；(2)等腰三角形的两底角相等(简称为“等边对等角”)；(3)等腰三角形顶角的平分线，底边上的①______、底边上的高相互重合(简称为“三线合一”)
判定
(1)两边相等的三角形是等腰三角形；(2) ②______相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)
2.性质：
①三条边相等
②三个内角相等
③三线合一
④轴对称图形
3.判定：
（三等角）
（叠合性）
（对称性）
①三边相等
②两个内角为60°
符合题意
符合题意
不符合题意
所以该等腰三角形的腰长为9/5或3/2.
1.等腰三角形中的分类讨论：
（1）当顶角和底角不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形内角和定理检验；
6
基础小练
2、如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE,OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，求OE+OF的值?
OE+OF=5
拓展提高
1,若二元一次方程组 的解x,y的值是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为5，求等腰三角形的腰长。
解：解方程组 得
若y为腰，x为底，则x+2y=5,即（3m-3）+2（-m+3）=5.解得m=2,∴x=3,y=1.
若x,y都为腰，则x=y,即3m-3=-m+3.解得m=3/2,∴x=y=3/2.底边长为2.
13.3等腰三角形专题复习
考点1 等腰三角形的性质与判定
性质
(1)等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴；(2)等腰三角形的两底角相等(简称为“等边对等角”)；(3)等腰三角形顶角的平分线，底边上的①______、底边上的高相互重合(简称为“三线合一”)
判定
(1)两边相等的三角形是等腰三角形；(2) ②______相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)
2.性质：
①三条边相等
②三个内角相等
③三线合一
④轴对称图形
3.判定：
（三等角）
（叠合性）
（对称性）
①三边相等
②两个内角为60°
等腰三角形复习PPT课件
说明 本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等，故要构造三 角形的全等，本题的另一种证法是过E作EF∥BD，交BC的延长线于F，证明 △DBG≌△EFG，同学们不妨试一试。
例8 如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、 BE相交于P，BQ⊥AD于Q. 求证：BP=2PQ
Ｄ
150°
Ｈ
Ｏ
ＣＥ
Ｆa
请把这个等腰三角形纸片折成两个等腰
三角形！
A
A
A
36°
36°
D
36°
D
B
CB
CB
C
请把这个三角形纸片折成两个等腰三角形！
20°
B
A
120°
40°
C
A
120°
20°
B
D
40°
20°
CB
A
120°
40°
DC
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的其中两顶点构成等腰三角形！
例7 如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线 上一点，且BD=CE，DE交BC于G 求证：DG=EG
• 思路 因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内 作出一个与△GEC全等的三角形。
证明：过D作DH∥AE，交BC于H ∴ ∵AB=AC ∴ ∴ ∴DB=DH 又∵DB=CE ∴DH=CE 又∵ ∴ ∴DG=EG.
AD=DE=EB.
• 分析：求本∠A题的有度较数多.的等腰三角形的条件，最好用列方程组 的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过
程清晰明了。
解：设∠A=x ，∠EBD=y，∠C=z
∵AB=AC
A
例8 如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、 BE相交于P，BQ⊥AD于Q. 求证：BP=2PQ
Ｄ
150°
Ｈ
Ｏ
ＣＥ
Ｆa
请把这个等腰三角形纸片折成两个等腰
三角形！
A
A
A
36°
36°
D
36°
D
B
CB
CB
C
请把这个三角形纸片折成两个等腰三角形！
20°
B
A
120°
40°
C
A
120°
20°
B
D
40°
20°
CB
A
120°
40°
DC
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的其中两顶点构成等腰三角形！
例7 如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线 上一点，且BD=CE，DE交BC于G 求证：DG=EG
• 思路 因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内 作出一个与△GEC全等的三角形。
证明：过D作DH∥AE，交BC于H ∴ ∵AB=AC ∴ ∴ ∴DB=DH 又∵DB=CE ∴DH=CE 又∵ ∴ ∴DG=EG.
AD=DE=EB.
• 分析：求本∠A题的有度较数多.的等腰三角形的条件，最好用列方程组 的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过
程清晰明了。
解：设∠A=x ，∠EBD=y，∠C=z
∵AB=AC
A
《等腰三角形的性质》优秀课件pptx
定义及特点定义有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
特点等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平分线；两腰相等，两底角相等。
与等边三角形关系区别等边三角形的三边都相等，三个角都是60度；而等腰三角形只有两边相等，两底角相等，顶角可以是任意角度（小于180度）。
联系等边三角形可以看作是特殊的等腰三角形，即当等腰三角形的顶角为60度时，它就变成了等边三角形。
03在建筑设计中，等腰三角形常被用于构建具有对称美的结构，如尖顶房屋、桥梁的支撑结构等。
建筑学在机械设计和制造中，等腰三角形的稳定性被广泛应用，如三脚架、起重机的支撑结构等。
工程学在解决一些实际问题时，等腰三角形可以作为数学模型，帮助我们理解和解决问题，如测量高度、计算角度等。
数学建模实际应用举例01等腰三角形定义有两边相等的三角形称为等腰三角形。
02两边相等定理内容等腰三角形的两个底角相等。
03定理证明方法通过构造中线或高，利用全等三角形或相似三角形的性质进行证明。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。
两角相等定理内容定理证明方法推论通过构造角平分线或中线，利用全等三角形或相似三角形的性质进行证明。
在等腰三角形中，若有一个角是60°，则这个三角形是等边三角形。
030201等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线。
对称性在等腰三角形中，若两条边相等，则对应的两个角也相等。
对称性推论1在等腰三角形中，若一个角是另一个角的两倍，则这个三角形是直角三角形，且直角在顶角处。
对称性推论2在等腰三角形中，若底边两端点到对称轴的距离相等，则这两个点是底边的两个三等分点。
对称性推论3对称性及其推论两条边相等根据等腰三角形的定义，若一个三角形有两条边长度相等，则该三角形为等腰三角形。
两个角相等等腰三角形的两个底角相等，因此若一个三角形有两个角相等，则可根据此性质判定该三角形为等腰三角形。
17.1 等腰三角形 - 第1课时课件(共23张PPT)
等边三角形的性质定理
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于６０°．
例题解析
例１已知：如图，在△ABC中，AB=BC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线．求证：BD＝CE．
证明：∵BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABD＝½∠ABC，∠ACE＝½∠ACB．∵∠ABC＝∠ACB（等边对等角）∴∠ABD＝∠ACE（等量代换）．∵AB＝AC（已知），∠A＝∠A（公共角），∴△ABD≌△ACE（ ASA ）.∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝５０°，则∠C的度数为（ ）．A．８０° B．６０°C．５０° D．４０°
C
3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（ ）A.25° B.60° C.85° D.95°
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC =BC，CD =CE，∠ACB =∠DCE=60°，又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DBC，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC =BC，∠ACD=∠BCE，CD =CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.
三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是等腰三角形的特例.
定义
知识点3 等边三角形的定义及性质定理
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C＝６０°．
证明：∵在△ABC中，AB=BC=AC，∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）．∵∠A＋∠B＋∠C＝１８０°，∴∠A=∠B=∠C＝６０°．
（2）解：在等边△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，∴∠ADC=120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于６０°．
例题解析
例１已知：如图，在△ABC中，AB=BC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线．求证：BD＝CE．
证明：∵BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABD＝½∠ABC，∠ACE＝½∠ACB．∵∠ABC＝∠ACB（等边对等角）∴∠ABD＝∠ACE（等量代换）．∵AB＝AC（已知），∠A＝∠A（公共角），∴△ABD≌△ACE（ ASA ）.∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝５０°，则∠C的度数为（ ）．A．８０° B．６０°C．５０° D．４０°
C
3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（ ）A.25° B.60° C.85° D.95°
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC =BC，CD =CE，∠ACB =∠DCE=60°，又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DBC，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC =BC，∠ACD=∠BCE，CD =CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.
三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是等腰三角形的特例.
定义
知识点3 等边三角形的定义及性质定理
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C＝６０°．
证明：∵在△ABC中，AB=BC=AC，∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）．∵∠A＋∠B＋∠C＝１８０°，∴∠A=∠B=∠C＝６０°．
（2）解：在等边△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，∴∠ADC=120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
中考数学专题《等腰三角形》复习课件(共18张PPT)
挑战7：已知△ABC中，AB=AC，点D在AC上，
且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。 A
解：因为AB=AC，所以∠ABC=∠C 因为BD=BC=AD，所以 ∠C=∠BDC ∠A=∠ABD 设∠A=x°，则∠ABD= x°， ∠BDC=2 x°， ∠C=2 x°
X°
D
B
X°
2X° 2X°
C
根据题意得：x+2x+2x=180
等腰三角形复习
思考
怎样的三角形叫做等腰三角形？
有__两__条__边__相__等____的三角形叫做_等__腰__三__角__形______。 A 顶角
腰
腰
B 底角
底边
C 底角
三角形
性质
判定
等腰 1.等边对等角。 三角 形 2.三线合一 。
1.等角对等边。
2.定义：两边相等的 三角形是等要三角形。
A
D
B
C
E
5、 如图，直线AB平行直线CD，AD
交BC于O，且AO=BO。求证：
A
(1)∠C=∠D
(2)OC=OD
C
B O
D
6、如图，AB=AC，BD⊥AC于D， A
求证：∠DBC= ∠A
1
2
D
B
E
C
7、在Rt △ ABC中，∠ACB=90°，D、 E在斜边AB上，且AC=AE，BD=BC，
求∠DCE的度数
ＢＤ
Ｃ
2. 如图：点B、C、D、E、F在∠MAN的 边上， ∠A=15°，AB=BC=CD＝DE=EF， 求∠ MEF的度数。
M
E C
A
B
DF
N
3 求证：等腰三角形底边中点到两腰（中 点）的距离相等
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（二）我会算
1.等腰三角形腰为6 ，底边为10,则它的周长为 ___.
变式1：等腰三角形两条边为6和10,则它的周长为 . 变式2：等腰三角形两条边为4和10,则它的周长为 .
注意：1、等腰三角形腰和底不确定时，要分类讨论!（遇边
分类） 2、还要注意能否组成三角形。
（二）我会算
2.等腰三角形的一个内角是50°，则它的顶角为 .
特殊三角形复习课
----等腰三角形
（一）我会说Biblioteka 提到等腰三角形，你会想到什么？
名 概 念 图 形 性质与边角关系 称
判定
等
腰
有两条 边相等
三 的三角
形是等
A 1.两腰相等
1.两边相等
2.在同一个三角形中，2.在同一个三角形中，
等边对等角
等角对等边
角 腰三角
形形
B
3. 等腰三角形三线 合一
C
4.是轴对称图形
（五）我会用
如图钢架中，∠A=20度，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4， P4P5，…来加固钢架.若P1A= P1P2,（1）求图中∠P3P2P4的度数;（2） 问这样的钢条至多需要多少根？
（6）我会小结 今天，你学会了什么？
谢谢
注意：三角形形状不确定时需要分类，钝角三角形 的高在三角形的外部
（三）我会画
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线AC上 取一点P，使得△PAB是等腰三角形
（三）我会画
3.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、 B是两个点，如果C也是图中的格点，且使得⊿ABC为等腰三 角形，请你找出图中所有符合条件的点C.
变式1：等腰三角形的一个外角是50°，则它的顶角为 .
变式2：等腰△ABC中∠A=50°，则∠C= _____ .
注意：1等腰三角形顶角和底角不确定时，要分类讨论!（遇
边分类） 2.钝角和直角在等腰三角形中只能作为顶角。
（二）我会画
1.已知,等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30o， 则等腰三角形的底角为 ______
B
A
（四）我会证
如图，在等边三角形ABC中，点E是AB上的中点，点D在 CB延长线上，且DE=CE. 求证：AE=BD
转化思想：边和角的转化、 边和边的转化
（四）我会证
变式：如图，在等边三角形ABC中，点E是AB上任意一点，点D在CB延长线上，且 ED=EC.那么AE和BD还相等吗？若相等，请说明理由.