第三章思考题答案

kij ≡ −δ ji
17．为使图示多跨静定梁 D 截面两侧截面产生 ∆θ 的相对转角，需在 D 处施加一对多 大的力偶 M（如图 a） ？已知 EI ＝ 常数，弹簧刚度 k = 3EI l 3 。
∆θ
答：解法一： 有弹性支座的位移计算公式为：
∆
=
∑∫
MPM EI
dx
+
∑
FRk Fk k
因此，除作单位和荷载 M 图外，还需求出弹性支座由荷载与单位广义力引起的反力。
刚架，忽略轴向和剪切变形对位移的贡献，其误差小于２％～千分之３。
9．如下图乘结果是否正确？为什么？
答：三个结论都是不对的。原因为（a） yi 应该是面积 Ai 形心对应的直线图形坐标， 不应该是分割图形的对应坐标。（b）M 是折线图形，图乘条件必须有一个是直线图形。（c） 二次抛物线 hl 3 的面积公式必须是标准抛物线，也即顶点处图形切线必须与基线（轴线）
11．图乘法求位移时应注意避免哪些易犯的错误？ 答：有如下一些情况应注意避免： １）求面积范围内所对应的取纵坐标图形是折线而非一条直线。例如：
２）非标准抛物线图形没有分解。例如：
8
３）梯形图形相乘时，取坐标图形不能因求面积时分割而只取分割部分坐标。例如：
４）各杆件刚度不同时，没有考虑各杆件应该用其对应的刚度。或者遗漏分母刚度项。
应的虚曲率、虚轴向线应变和虚切应变，ds 为微段长度，ck 为 k 支座的已知位移，FRk 为与 已知位移 ck 对应的单位广义力引起的反力。
5．试说明荷载下位移计算公式的适用条件、各项的物理意义。 答：荷载作用下的位移计算公式一般适用于一切线弹性结构的荷载位移计算，因为这
里荷载引起的应变量是用材料力学公式计算的。式中 M、FN、FQ 分别为单位广义力状态所 引起的杆件弯矩、轴力和剪力， M P 、 FNP 、 FQP 分别为荷载所引起对应的杆件弯矩、轴力
13．增加各杆刚度是否一定能减小荷载作用引起的结构位移？ 答：不一定。因为位移公式中各杆对位移的贡献可正可负，如果最终位移是正值，则 增加负位移贡献的刚度，显然反而能使正位移增加。反之，位移为负时，增加正位移贡献项 刚度，必使总位移绝对值增加。
14．试说明 δ12 和 δ 21 的量纲并用文字阐述位移互等定理。
kij ≡ k ji
16．位移-反力互等定理是否适用于静定结构？如何阐述？ 答：也是可以的，应用的结果可得到支座位移引起的位移计算公式。 位移-反力互等定理可表述为：j 状态单位广义力作用，引起 i 状态单位广义位移方向的
9
广义反力 kij ，恒等于 i 状态发生单位广义位移，引起 j 状态单位广义力方向负的广义位移 δ ji 。 也即
第三章思考题答案
1．变形体虚功原理与刚体虚功原理有何区别和联系？ 答：变形体虚功原理因为虚位移能产生虚变形，所以外荷载（主动力）的总虚功等于变
形体所接受的总虚变形功，也即 ∑δW外 = ∑δW变 。对刚体（刚体系），因为不可能产生虚
变形 ，因此外荷载（主动力）的总虚功等于零，这是两者的区别。 其联系为：刚体虚功原理是变形体虚功原理的基础，也可以说是变形体虚功原理的特
δ12
=
∆12 M2
， δ21
=
θ21 FP1
，若记质量量纲为Ｍ，长度量纲为Ｌ，时间量纲为Ｔ，则力的量纲为
MLT−2 ，力偶的量纲为 ML2T −2 ，考虑到角度是弧长比曲率半径的结果，所以其量纲为 1，
由此 δ12 和 δ 21 的量纲相同，均为 M -1L-1T 2 。
位移互等定理可表述为：j 状态单位广义力作用，引起 i 状态单位广义力方向的广义位
曲变形所产生的 ∆θ1
=
∫
MPM EI
dx
，其另一为 B 处支反力导致弹簧变形（相对于支座位移）
引起的 ∆θ 2 。据此分析，由图（a）可得：
∆θ1
=
2 EI
×(1 2
⋅ 2M
⋅ l) × ( 2 3
⋅ 2)
=
8Ml 3EI
B 支座由 M 所产生的支座位移（向下）为：
∆ = 4M lk
从而由图（a）单位广义力的反力可得：
内项可表示成：
∫
MPM EI
⎡ ⎢1
+
α
⎜⎛
h
⎟⎞
2
⎢⎣ ⎝ l ⎠
+
β
⎜⎛
h
⎟⎞
2
⎤ ⎥dx
⎝ l ⎠ ⎥⎦
=
∫
MPM EI
⎡ ⎢1
+
γ
⎜⎛
h
⎟⎞
2
⎤ ⎥dx
⎢⎣ ⎝ l ⎠ ⎥⎦
( ) 在 h l = 1 8 ~ 1 18 时， (h l)2 = 0.015625 ~ 3.0864 ×10−3 。因此对一般细长杆矩形截面
答：以具体例子加以说明。设悬臂梁Ｉ状态为悬臂端作用竖向集中力 FP1 ，II 状态为悬
臂端作用集中力偶 M 2 。悬臂梁Ｉ状态悬臂端沿集中力偶 M 2 方向转角位移为θ21 ，II 状态悬
臂端 沿竖向集中力 FP1 方向线位移为 ∆12 。则根据功的互等定理有 FP1∆12 = M θ2 21 ，因为
线温度为 (t1 + t2 ) 。而截面中性轴不对称时，轴线温度就要根据中性轴位置按沿截面高度线
2 性变化来求。设截面高度为 h，中性轴到 t1 一侧高度为 h1，另一侧高度为 h2，则按温度线性
变化的假设，可求得轴线温度为 (t1h2 + t2h1 ) 。这就是说中性轴不对称，对轴线温度改变引起
h 的伸长是有影响的。
和剪力，EI、EA、GA 分别为截面的抗弯、抗拉压和抗剪刚度，k 为考虑切应力不均匀分布 的系数。
6．图乘法的适用条件是什么？对连续变截面梁或拱能否用图乘法？ 答：图乘法只适用于等截面直杆所组成的结构（每一图乘计算均应该是等直杆），并且 两个内力图中必须有一个是直线图形。对连续变截面梁或拱不能用图乘法计算。
12．如果杆件截面对中性轴不对称，则对温度改变引起的位移有何影响？ 答：一般情况下温度改变引起的位移包含两部分：轴线温度改变引起的伸长；两侧温差
引起的弯曲。后者计算虚曲率时，是微段截面两侧“伸长之差”除截面高度，因此中性轴不
对称对它没有影响。但是，因为假设温度沿截面高度线性变化，因此截面中性轴对称时，轴
移 δij ，恒等于 i 状态单位广义力作用，引起 j 状态单位广义力方向的广义位移 δ ji 。也即
δij ≡ δ ji
15．反力互等定理是否适用于静定结构？这时会得到什么结果？反力互等定理如何阐 述？
答：原则上是可以的。由于静定结构支座位移不产生内力、反力，因此反力互等的结 果是零等于零。
反力互等定理可表述为：j 状态发生单位广义位移，引起 i 状态单位广义位移方向的广 义反力 kij ，恒等于 i 状态发生单位广义位移，引起 j 状态单位广义位移方向的广义反力 k ji 。 也即
I+ A
FQP FQ MPM
kE G
I A
⎟⎟⎠⎞dx
因为对矩形截面 I 为 h 2 ，弯矩是力×长度，因此 FNP FN 可表示为α 1 ，同理， FQP FQ 可
A 12
MPM
l2
MPM
7
表示为 β 1 ，α 、 β 为量纲 １的代数量。k ＝１.２，若 E ≈ 8 ，则上式积分号中括号
l2
G3
7．图乘法公式中正负号如何确定？ 答：当面积和形心坐标在轴线同侧时该项乘积为正，否则为负。
8．对矩形截面细长杆（ h l = 1 8 ~ 1 18 ，h 为矩形截面高度，l 为杆长 ）位移计算忽
略轴向变形和剪切变形会有多大的误差？ 答：位移计算公式可改写为：
∆
=
∑
∫
MPM EI
⎜⎜⎝⎛1 +
FNP FN MPM
∆θ 2
= −∑ FRC
= −( 4) ⋅ (−∆) = 16M
l
kl 2
= 16Ml 3EI
由于
所以 M = EI∆θ 8l 。
∆θ
=
∆θ1
+
∆θ 2
=
24Ml 3EI
10
图 (a)
图（a）即为按第二章知识求得的 M 图和弹簧反力值。由此根据上述位移计算公式可得：
∆ = 2 × (1 ⋅ 2M ⋅ l) × ( 2 ⋅ 2) + 1 ( 4M ⋅ 4) = ∆θ
EI 2
3 kl l
从而得： M Leabharlann EI∆θ 8l 。解法二：
荷载 M 作用下的 D 截面两侧相对转角可看作由两部分组成，其一是 B 处改为链杆时弯
例（无变形）。
2． 变形体虚功原理证明中何时用到平衡条件？何时用到变形协调条件？ 答：在隔离体总虚功计算中，当将虚位移分成刚体和变形虚位移时，总虚功等于总虚变 形功是应用平衡条件的结果。当将隔离体上外力区分成外荷载和切割面内力时，总虚功等于 外荷载的总虚功是应用变形协调条件的结果。
3． 单位广义力状态中的“单位广义力”的量纲是什么？ 答：位移计算公式是通过功的计算导出的，为使功的计算能够直接得到位移值，应该将 功除以做功的广义力。因此单位广义力状态中的单位广义力，其实质是广义力比自身。由此， 单位广义力的量纲为１（以前也称为无量纲）。
4．试说明如下位移计算公式的适用条件、各项的物理意义。
∆ = ∑ ∫ (Mκ + FNε + FQγ )ds − ∑ FRk ck
答：此计算公式适用于一切杆系结构、一切变形体材料。式中 M、FN、FQ 分别为单位 广义力状态所引起的杆件弯矩、轴力和剪力，κ 、ε 、γ 为所求位移结构与 M、FN、FQ 对
平行或重合。 10．荷载和单位弯矩图如下图所示，如何用图乘法计算？