高等数学二常用公式

《高等数学二》考试常用方法和公式

一、 求极限 （一）形如)

()(lim x g x f a x → 1.代入法

把a x =代入)

()()()(a g a f x g x f = （0)(≠a g ） 2.因式分解法

若把a x =代入0

0)()()()(==a g a f x g x f 可分解分子或者分母，约去一个因式，再把a x =代入即可。

3.重要极限法

若把a x =代入0

0)()()()(==a g a f x g x f 且分子或分母中含有)sin(或)tan(，利用公式 1)()sin(lim 0)(=→ 1)

()tan(lim 0)(=→ 4.洛必达法则

若把a x =代入00)()()()(==a g a f x g x f 或∞

∞，可利用洛必达法则，即 )

()(lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→，再把a x =代入即可。 （二）形如01110111lim b x b x

b x b a x a x a x a m m m m n n n n x ++++++++----∞→L L 方法：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++++----∞→m n m n m n b a b x b x b x b a x a x a x a m

n m m m m n n n n x ,,0,lim 01110111L L

（三）形如e x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→)()(11lim 或()e x =+→)(1

)(1lim 0 （四）形如)()

()())((lim 0)(a f a f a f '=-+→ 二、 分段函数分段点处连续或极限存在

(1)⎩⎨⎧>≤=b

x x f b x x f x f ),(),()(21在b x =处连续（或极限存在），求表达式中的待定常数

方法：把b x =代入两个表达式并令其相等，即令)()(21b f b f =，解出待定常数即可。

(2)求间断点：使得分母为零的点。

方法：令分母为0,解得x 值。

三、求导公式

)(x f dx

dy y '==' 1.0)(='a

2.1='x

3.2211--=-='⎪⎭

⎫ ⎝⎛x x x 4.212

121)(-=='x x x 5.()1-='a a ax x

，推广())()(1'='-a a （a 是任意常数，括号里面可以是任意函数） 6.()x x e e ='，推广())()()('='e

e （括号里面可以是任意函数） 7.()a a a x x ln ='，推广()a a a ln )()(=' （a 是任意正常数，括号里面可以是任意函数）

8.x

x 1)(ln ='，推广)()(1))(ln('=' （括号里面可以是任意函数） 9.x x cos )(sin ='，推广)()cos())(sin('⋅=' （括号里面可以是任意函数）

10. x x sin )(cos -='，推广)()sin())(cos('⋅-=' （括号里面可以是任意函数） 上面公式中的x 改成y 也成立。

四、求导法则

1.))(())(())()(('+'='+x g x f x g x f

2.))(())(('='x f k x kf

3.))(()()())(())()(('⋅+⋅'='⋅x g x f x g x f x g x f

4.2))(())(()()())(()()(x g x g x f x g x f x g x f '⋅-⋅'='⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛ 五、求导数值

)(0x f '表示先求出)(x f y '='，再把0x x =代入)(x f y '='。

六、微分（dy ）求法

方法：先求出y '，则dx y dy '=

七、导数应用

1.判断)(x f 在),(b a 的单调性

方法：求出)(x f '，判别)(x f '在),(b a 的正负号。

若为正数，则),(b a 为单调增加函数；若为负数，则),(b a 为单调减少函数。

2.切线斜率和切线方程

曲线)(x f y =在),(00y x （或者0x x =）处的

切线斜率为：)(0x f k '=（即先求出导数，再把0x x =代入导数所得的值）

切线方程为：)(00x x k y y -=-

3.驻点求法

先求出)(x f '，再令)(x f '=0，求出驻点0x x =。

4.求单调区间

步骤：（1）求出函数定义域；

（2）求出一阶导数)(x f '；

（3）令)(x f '=0，求出驻点0x x =；

（4）利用0x 划分定义域，使其分为两个（或几个）区间；

（5）判断)(x f '在各区间的正负号，求出单调区间。

5.拐点求法

先求出一阶导数)(x f '，再求出二阶导数)(x f ''，然后令)(x f ''=0，求出拐点0x x =，再把0x x =代入原函数)(x f y =，求出0y y =，则),(00y x 即为拐点坐标。

6.求凹凸区间

步骤：（1）求出函数定义域；

（2）求出一阶导数)(x f '和二阶导数)(x f ''；

（3）令二阶导数)(x f ''=0，求出拐点0x x =；

（4）利用0x 划分定义域，使其分为两个（或几个）区间；

（5）判断)(x f ''在各区间的正负号，若为正号，则该区间为凹区间，若为负号，该区间为凸区间。

八、积分性质

1.())()()(x f dx x f dx d dx x f =='⎰⎰

2. )()()(x f dt t f dx d dt t f x a

x a =='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰ 3. 0)()(=='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰b a

b a dt t f dx d dt t f 4.

()⎰⎰='dx x f k dx x kf )()( 5.

C x f dx x f +='⎰)()( 6.

()⎰⎰⎰+='+dx x g dx x f dx x g x f )()())()(( 7.0)(=⎰-dx x f a

a （若)(x f 是奇函数）

九、不定积分公式

1. C x dx +=⎰

1 2. C x xdx +=

⎰22

1 3. C x a dx x a a ++=+⎰111 推广C a d a a ++=+⎰1)(11)()( （1-≠a ）