2012年北京高考数学文科试卷(带答案)

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2012年高考真题——文科数学(北京卷)解析版(2)

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= A ．（-∞，-1） B ．（-1，-23） C ．（-23,3） D ． (3,+∞)【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。

因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ．【答案】D2．在复平面内，复数103i i+对应的点的坐标为A ． (1 ,3)B ．(3,1)C ．(-1,3)D ．(3 ,-1)【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。

i i ii i i i i i ii 3110301091030)3)(3()3(1031022+=+=--=-+-=+，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A ．【答案】A3．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π（D ）44π-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。

【答案】D4．执行如图所示的程序框图，输出S值为（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。

【答案】C5．函数x x x f )21()(21-=的零点个数为（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3【解析】x x x f )21()(21-=的零点，即令0)(=x f ，根据此题可得xx )21(21=，在平面直角坐标系中分别画出幂函数21x 和指数函数x)21(的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B 。

2012年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2012•北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合B，然后直接求解A∩B．解答：解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}，所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，故选：D．点评：本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．2．（5分）（2012•北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，3）B．（3，1）C．（﹣1，3）D．（3，﹣1）考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：由==1+3i，能求出在复平面内，复数对应的点的坐标．解答：解：∵===1+3i，∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（1，3），故选A．点评：本题考查复数的代数形式的乘积运算，是基础题．解题时要认真审题，注意复数的几何意义的求法．3．（5分）（2012•北京）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A．B．C．D．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型．专题：概率与统计．分析：本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．解答：解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为=4﹣π，∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=故选：D．点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．4．（5分）（2012•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．4C．8D．16考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．解答：解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选C．点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．5．（5分）（2012•北京）函数f（x）=的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）＜0，f（）＞0由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点解答：解：函数f（x）的定义域为[0，+∞）∵y=在定义域上为增函数，y=﹣在定义域上为增函数∴函数f（x）=在定义域上为增函数而f（0）=﹣1＜0，f（1）=＞0故函数f（x）=的零点个数为1个故选B点评：本题主要考查了函数零点的判断方法，零点存在性定理的意义和运用，函数单调性的判断和意义，属基础题6．（5分）（2012•北京）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a2考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立；，所以；若a1=a3，则a1=a1q2，从而可知a1=a2或a1=﹣a2；若a3＞a1，则a1q2＞a1，而a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故可得结论．解答：解：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；，∴，故B正确；若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D不正确故选B．点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．7．（5分）（2012•北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+12考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．解答：解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．8．（5分）（2012•北京）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A．5B．7C．9D．11考点：函数的图象与图象变化；函数的表示方法．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．解答：解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高，故选C点评：本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义，其中正确分析出平均产量的几何意义是解答本题的关键．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2012•北京）直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长．解答：解：圆x2+（y﹣2）2=4的圆心坐标为（0，2），半径为2∵圆心到直线y=x的距离为∴直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为2=故答案为：点评：本题考查直线与圆相交，考查圆的弦长，解题的关键是求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形求得弦长．10．（5分）（2012•北京）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2= 1，S n=．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的性质可求出公差，从而可求出第二项，以及等差数列的前n项和．解答：解：根据{a n}为等差数列，S2=a1+a2=a3=+a2；∴d=a3﹣a2=∴a2=+=1S n==故答案为：1，点评：本题主要考查了等差数列的前n项和，以及等差数列的通项公式，属于容易题．11．（5分）（2012•北京）在△ABC中，若a=3，b=，，则∠C的大小为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理=，可求得∠B，从而可得∠C的大小．解答：解：∵△ABC中，a=3，b=，，∴由正弦定理=得：=，∴sin∠B=．又b＜a，∴∠B＜∠A=．∴∠B=．∴∠C=π﹣﹣=．故答案为：．点评：本题考查正弦定理，求得∠B是关键，易错点在于忽视“△中大变对大角，小边对小角”结论的应用，属于基础题．12．（5分）（2012•北京）已知函数f（x）=lgx，若f（ab）=1，则f（a2）+f（b2）=2．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，知f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=2lg（ab）．由此能求出结果．解答：解：∵函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=lg（ab）2=2lg（ab）=2．故答案为：2．点评：本题考查对数的运算性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量转化，求出数量积即可．解答：解：因为====1．故答案为：1点评：本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力．14．（5分）（2012•北京）已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2．若∀x∈R，f （x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是（﹣4，0）．考点：复合命题的真假；全称命题．专题：简易逻辑．分析：由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x ＞1时成立，根据二次函数的性质可求解答：解：∵g（x）=2x﹣2，当x≥1时，g（x）≥0，又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴此时f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则∴﹣4＜m＜0故答案为：（﹣4，0）点评：本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2012•北京）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由sinx≠0可得x≠kπ（k∈Z），将f（x）化为f（x）=sin（2x﹣）﹣1即可求其最小正周期；（2）由（1）得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，再由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，x≠kπ（k∈Z）即可求f（x）的单调递减区间．解答：解：（1）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），故求f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．∵f（x）==2cosx（sinx﹣cosx）=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1∴f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函数y=sinx的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）∴由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，x≠kπ（k∈Z）得kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z）∴f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性，注重辅助角公式的考察应用，求得f（x=sin（2x﹣）﹣1是关键，属于中档题．16．（14分）（2012•北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）D，E分别为AC，AB的中点，易证DE∥平面A1CB；（2）由题意可证DE⊥平面A1DC，从而有DE⊥A1F，又A1F⊥CD，可证A1F⊥平面BCDE，问题解决；（3）取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC，平面DEQ即为平面DEP，由DE⊥平面，P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，可证A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ．解答：解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．∵DE∥BC，∴DE∥PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ）知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题．17．（13分）（2012•北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）； “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100可回收物 30 240 30其他垃圾 20 20 60（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a ＞0，a+b+c=600．当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值（结论不要求证明），并求此时s 2的值．（求：S 2=[++…+]，其中为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数）考点：模拟方法估计概率；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得=，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s 2=80000．解答：解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为；（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为；（3）由题意可知：∵a+b+c=600，∴a ，b ，c 的平均数为200 ∴=，∵（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac ≥a 2+b 2+c 2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s 2=80000．点评：本题考查概率知识的运用，考查学生的阅读能力，属于中档题．18．（13分）（2012•北京）已知函数f （x ）=ax 2+1（a ＞0），g （x ）=x 3+bx ．（1）若曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（1，c ）处有公共切线，求a ，b 的值；（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1，求导函数，确定函数的极值点，进而可得k≤﹣3时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28；﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28，由此可得结论．解答：解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f′（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k2=3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①又f（1）=a+1，g（1）=1+b，∴a+1=1+b，即a=b，代入①式，可得：a=3，b=3．（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1则h′（x）=3x2+6x﹣9，令h'（x）=0，解得：x1=﹣3，x2=1；∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28所以k的取值范围是（﹣∞，﹣3]点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．19．（14分）（2012•北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，∴∴b=∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴|MN|==∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为，∴∴k=±1．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|．20．（13分）（2012•北京）设A是如下形式的2行3列的数表，a b cd e f满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[﹣1，1]，且a+b+c+d+e+f=0．记r i（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），C j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值．（1）对如下数表A，求k（A）的值1 1 ﹣0.80.1 ﹣0.3 ﹣1（2）设数表A形如1 1 ﹣1﹣2dd d ﹣1其中﹣1≤d≤0．求k（A）的最大值；（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k（A）的最大值．考点：进行简单的演绎推理．专题：推理和证明．分析：（1）根据r i（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），C j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可求出所求；（2）k（A）的定义可求出k（A）=1+d，然后根据d的取值范围可求出所求；（III）任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k（A）=k（A*）因此，不防设r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，然后利用不等式的性质可知3k（A）≤r1（A）+c1（A）+c2（A），从而求出k（A）的最大值．解答：解：（1）因为r1（A）=1.2，r2（A）=﹣1.2，c1（A）=1.1，c2（A）=0.7，c3（A）=﹣1.8，所以k（A）=0.7（2）r1（A）=1﹣2d，r2（A）=﹣1+2d，c1（A）=c2（A）=1+d，c3（A）=﹣2﹣2d 因为﹣1≤d≤0，所以|r1（A）|=|r2（A）|≥1+d≥0，|c3（A）|≥1+d≥0所以k（A）=1+d≤1当d=0时，k（A）取得最大值1（III）任给满足性质P的数表A（如下所示）a b cd e f任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k（A）=k（A*）因此，不防设r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，由k（A）的定义知，k（A）≤r1（A），k（A）≤c1（A），k（A）≤c2（A），从而3k（A）≤r1（A）+c1（A）+c2（A）=（a+b+c）+（a+d）+（b+e）=（a+b+c+d+e+f）+（a+b﹣f）=a+b﹣f≤3所以k（A）≤1由（2）可知，存在满足性质P的数表A使k（A）=1，故k（A）的最大值为1．点评：本题主要考查了进行简单的演绎推理，同时分析问题的能力以及不等式性质的应用，同时考查了转化的思想，属于中档题．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学(2012年北京市高考文科数学)

2012年普通高等学校招生全国统一考试北京文科1.已知集合A ＝{x ∈R|3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R|(x ＋1)(x ﹣3)>0}，则A ∩B ＝( ). A.(﹣∞，﹣1)B.21,-3⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.(3，＋∞)D 由题意得，A ＝2|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，B ＝{x |x <﹣1或x >3}，所以A ∩B ＝(3，＋∞).2.在复平面内，复数10i 3i+对应的点的坐标为( ).A.(1，3)B.(3，1)C.(﹣1，3)D.(3，﹣1)A ∵10i 3i +＝10i(3i)(3i)(3i)-+-＝1030i 10+＝1＋3i ，∴10i 3i+对应的点的坐标为(1，3).3.设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ).A.π4B.π22-C.π6D.4π4-D 由题意知此概型为几何概型，设所求事件为A ，如图所示，边长为2的正方形区域为总度量μΩ，满足事件A 的是阴影部分区域μA ，故由几何概型的概率公式得P (A )＝22212π242-⨯⨯＝4π4-. 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( ).A.2B.4C.8D.16C 初始：k ＝0，S ＝1，第一次循环：由0<3，得S ＝1×20＝1，k ＝1;第二次循环：由1<3得，S ＝1×21＝2，k ＝2; 第三次循环：由2<3得，S ＝2×22＝8，k ＝3. 经判断此时要跳出循环.因此输出的S 值为8. 5.函数f (x )＝12x ﹣12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的零点个数为( ).A.0B.1C.2D.3B 函数f (x )＝12x ﹣12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的零点个数即为方程12x ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的根的个数，因此可以利用数形结合，在同一坐标系内画出函数y ＝12x 和函数y ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象，两图象的交点个数即为f (x )＝12x ﹣12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的零点个数，如图所示，其零点个数为1.6.已知{a n }为等比数列.下面结论中正确的是( ). A.a 1＋a 3≥2a 2B.21a ＋23a ≥222aC.若a 1＝a 3，则a 1＝a 2D.若a 3>a 1，则a 4>a 2B A 中当a 1，a 3为负数，a 2为正数时，a 1＋a 3≥2a 2不成立;B 中根据等比数列的性质及均值不等式得，21a＋23a ≥222a ;C 中取a 1＝a 3＝1，a 2＝﹣1，显然a 1≠a 2;D 中取a 1＝1，a 2＝﹣2，a 3＝4，a 4＝﹣8，可知a 4>a 2不一定成立.综上可知仅有B 正确.7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( ).A.28＋B.30＋C.56＋D.60＋B 根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为：此几何体为一个底面为直角三角形，高为4的三棱锥，因此表面积为S ＝12×(2＋3)×4＋12×4×5＋12×4×(2＋3)＋1230＋8.某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( ).A.5B.7C.9D.11C 结合S n 与n 的关系图象可知，前2年产量均为0，显然22S ＝0为最小，在第3年~第9年期间，S n 的增长呈现持续稳定性.但在第9年之后，S n 的增长骤然降低，因为当n ＝9时，99S 的值为最大，故m 的值为9.9.直线y ＝x 被圆x 2＋(y ﹣2)2＝4截得的弦长为__________.由题意得，圆x 2＋(y ﹣2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为2，圆心到直线x ﹣y ＝0的距离d.设截得的弦长为l ，则由22l ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2＝22，得l ＝10.已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝__________，S n ＝__________.1 14(n 2＋n ) 由a 1＝12，S 2＝a 3得，a 1＋a 2＝a 3，即a 3﹣a 2＝12，∴{a n }是一个以a 1＝12为首项，以12为公差的等差数列.∴a n ＝12＋(n ﹣1)×12＝12n ，∴a 2＝1，S n ＝11n 222n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝14n 2＋14n ＝14(n 2＋n ).11.在△ABC 中，若a ＝3，bA ＝π3，则∠C 的大小为__________.π2 由正弦定理得，sin a A ∠＝sin b B ∠sin ∠B ＝12， ∴∠B ＝30°或∠B ＝150°.由a >b 可知∠B ＝150°不合题意，∴∠B ＝30°. ∴∠C ＝180°﹣60°﹣30°＝90°.12.已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝__________.2 由已知可得，lg(ab )＝1，∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2×1＝2.13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为__________;DE ·DC 的最大值为__________.1 1 DE ·CB ＝(DA ＋AE )·CB＝(CB ＋AE )·CB ＝|CB |2＋AE ·CB ， ∵AE CB ⊥， ∴AE ·CB ＝0.∴DE ·CB ＝12＋0＝1.DE ·DC ＝(DA ＋AE )·DC＝DA ·DC ＋AE ·DC ＝λ|DC |2(0≤λ≤1)， ∴DE ·DC 的最大值为1.14.已知f (x )＝m (x ﹣2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x ﹣2.若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是__________. (﹣4，0) 由题意可知，m ≥0时不能保证对∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0成立.(1)当m ＝﹣1时，f (x )＝﹣(x ＋2)2，g (x )＝2x ﹣2，画出图象①，显然满足条件;(2)当﹣1<m <0时，2m >﹣(m ＋3)，要使其满足条件，则需10,21,m m -<<⎧⎨<⎩解得﹣1<m <0，如图②; (3)当m <﹣1时，﹣(m ＋3)>2m ，要使其满足条件，则需1,-(3)1,m m <-⎧⎨+<⎩解得﹣4<m <﹣1，如图②.图① 图②综上可知，m 的取值范围为(﹣4，0). 15.已知函数f (x )＝(sin cos )sin2sin x x x x-.(1)求f (x )的定义域及最小正周期; (2)求f (x )的单调递减区间.解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z)，故f (x )的定义域为{x ∈R|x ≠k π，k ∈Z}.因为f (x )＝(sin cos )sin2sin x x x x-＝2cos x (sin x ﹣cos x ) ＝sin2x ﹣cos2x ﹣1π24x⎛⎫-⎪⎝⎭﹣1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)函数y＝sin x的单调递减区间为π3π2π,2kπ22k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k∈Z).由2kπ＋π2≤2x﹣π4≤2kπ＋3π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z).所以f(x)的单调递减区间为3π7ππ,kπ88k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k∈Z).16.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点.将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB;(2)求证：A1F⊥BE;(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ?说明理由.图1图2解：(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.17.近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值.(注：s2＝1n[(x1﹣x)2＋(x2﹣x)2＋…＋(x n﹣x)2]，其中x为数据x1，x2，…，x n的平均数)解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“”厨余垃圾箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400100100++＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确.事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为400240601?000++＝0.7，所以P(A)约为1﹣0.7＝0.3.(3)当a＝600，b＝c＝0时，s2取得最大值.因为x＝13(a＋b＋c)＝200，所以s2＝13×[(600﹣200)2＋(0﹣200)2＋(0﹣200)2]＝80000.18.已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值;(2)当a＝3，b＝﹣9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围.解：(1)f'(x)＝2ax，g'(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f'(1)＝g'(1).即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝﹣9时，h(x)＝x3＋3x2﹣9x＋1，h'(x)＝3x2＋6x﹣9.令h'(x)＝0，得x1＝﹣3，x2＝1.h(x)与h'(x)在(﹣∞，2]由此可知：当k≤﹣3时，函数h(x)在区间[k，2]上的最大值为h(﹣3)＝28;当﹣3<k <2时，函数h (x )在区间[k ，2]上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是(﹣∞，﹣3].19.已知椭圆C ：22x a＋22y b ＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)直线y ＝k (x ﹣1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程;(2)当△AMN时，求k 的值.解：(1)由题意得2222,,a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得b所以椭圆C 的方程为24x ＋22y ＝1. (2)由22(1),1,42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得(1＋2k 2)x 2﹣4k 2x ＋2k 2﹣4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1﹣1)，y 2＝k (x 2﹣1)，x 1＋x 2＝22412k k+，x 1x 2＝222412k k -+. 所以|MN |又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x ﹣1)的距离d所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d，解得k ＝±1. 20.设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：a ，b ，c ，d ，e ，f ∈[﹣1，1]，且a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f ＝0.记r i (A )为A 的第i 行各数之和(i ＝1，2)，c j (A )为A 的第j 列各数之和(j ＝1，2，3);记k (A )为|r 1(A )|，|r 2(A )|，|c 1(A )|，|c 2(A )|，|c 3(A )|中的最小值. (1)对如下数表A ，求k (A)的值;(2)设数表A 形如其中﹣1≤d≤0.求k(A)的最大值;(3)对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k(A)的最大值.解：(1)因为r1(A)＝1.2，r2(A)＝﹣1.2，c1(A)＝1.1，c2(A)＝0.7，c3(A)＝﹣1.8，所以k(A)＝0.7.(2)r1(A)＝1﹣2d，r2(A)＝﹣1＋2d，c1(A)＝c2(A)＝1＋d，c3(A)＝﹣2﹣2d.因为﹣1≤d≤0，所以|r1(A)|＝|r2(A)|≥1＋d≥0，|c3(A)|≥1＋d≥0.所以k(A)＝1＋d≤1.当d＝0时，k(A)取得最大值1.(3)任给满足性质P的数表A(如下所示).任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k(A)＝k(A*).因此，不妨设r1(A)≥0，c1(A)≥0，c2(A)≥0.由k(A)的定义知，k(A)≤r1(A)，k(A)≤c1(A)，k(A)≤c2(A).从而3k(A)≤r1(A)＋c1(A)＋c2(A)＝(a＋b＋c)＋(a＋d)＋(b＋e)＝(a＋b＋c＋d＋e＋f)＋(a＋b﹣f)＝a＋b ﹣f≤3.所以k(A)≤1.由(2)知，存在满足性质P的数表A使k(A)＝1.故k(A)的最大值为1.。

2012年北京高考试题(文数,word解析版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）解析版数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}320A x R x =∈+>，{}(1)(3)0B x R x x =∈+->，则A B = ( ) A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞【答案】D【解析】2|3A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，利用二次不等式的解法可得{}|31B x x x =><-或，画出数轴易得{}|3A x x ⋂=>。

【考点定位】本小题考查的是集合（交集）运算和一次和二次不等式的解法。

2.在复平面内，复数103ii+对应的点坐标为（） A ．（1,3） B ．（3,1） C ．(1,3-） D ．31-（，）【答案】A 【解析】1010(3)133(3)(3)i i i i i i i -==+++-，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A 【考点定位】本小题主要考查复数除法的化简运算以及复平面、实部虚部的概念。

3.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（） A ．4π B ． 22π- C ． 6π D ．44π- 【答案】D【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122244224p ππ⨯-⨯-==⨯，故选D 【考点定位】本小题是一道综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式、概率。

4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】C【解析】0,11,12,23,8k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==，循环结束，输出的S 为8，故选C【考点定位】本小题主要考查程序框图，涉及到判断循环结束的时刻，以及简单整数指数幂的计算。

2012年北京卷(文科数学)

2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（北京卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}320A x R x =∈+>，{}(1)(3)0B x R x x =∈+->，则A B =IA ．(),1-∞- B.2(1)3--， C.2(,3)3- D.(3)+∞，2.在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为A.(1,3)B.(3,1)C.(1,3)-D.(3,1)-3.设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点.则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A.4πB.22-πC.6πD.44π-4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．2B ．4．165.函数121()()2x f x x =-的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 6.已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是A.1322a a a +≥B.2221322a a a +≥C.若13a a =，则12a a =D.若31a a >，则42a a >7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是A.28+30+C.56+60+8.某棵果树前n 前年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 值为A ．5B ．7C ．9D ．11二、填空题：共6小题.每小题5分，共30分. 9.直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得弦长为 . 10.已知{}n a 等差数列，n S 为其前n 项和.若112a =，23S a =，则2a = . 11.在ABC ∆中，若3a =，b =3A π∠=，则C ∠的大小为 .12.已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += .13.己知正方形ABCD 的边长为l ，点E 是AB 边上的动点.则DE CB ⋅u u u r u u u r的值为 .14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-.若x R ∀∈，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算主视图侧视图1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 nn so g g g g g ggg g gg步骤.15．（本小题满分13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x -=.（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间. 16.（本小题满分14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=o ，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A F CD ⊥，如图2. （Ⅰ）求证：//DE 平面1A CB ；（Ⅱ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅲ）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？说明理由.17.（本小题满分13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放ABCDEF A 1BCD E F量分别为a ，b ，c ，其中0a >，600a b c ++=.当数据a ，b ，c 的方差2s 最大时，写出a ，b ，c 的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值.（2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-L ，其中x 为数据1x ，2x ，…，n x 的平均数）18.（本小题满分13分）已知函数2()1f x ax =+（0a >），3()g x x bx =+.（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求a ，b 的值；（Ⅱ）当3a =，9b =-时，若函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的一个顶点为(2,0)A ，离心率为，直线(1)y k x =-与椭圆C 交与不同的两点M ,N . （Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）当AMN ∆k 的值. 20.（本小题满分13分）设A 是如下形式的满足性质P ：a ，b ，c ，d ，e ，[1,1]f ∈-，且0a b c d e f +++++=. 记()i r A 为A 的第i 行各数之和（1i =，2），()i c A 为A 的第j 列各数之和（1,2,3j =）；记()K A 为1()r A ,2()r A ,1()c A ,2()c A ,3()c A 中的最小值. （Ⅰ）对如下数表A ，求()K A 的值其中10K A的最大值；-≤≤.求()d（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求()K A的最大值.。

2012年北京高考数学文科试题及参考答案(WORD版)

绝密★使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试数学 (文) (北京卷)本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{320}A x x =∈+>R ，{(1)(3)0}B x x x =∈+->R ，则A B =I（2）在复平面内，复数10i 3i+对应的点的坐标为（3）设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）(,1)-∞- （B ）2(1,)3--（C ）2(,3)3-（D ）(3,)+∞（A ）(1,3)（B ）(3,1)（C ）(1,3)-（D ）(3,1)-（A ）4π（B ）22π- （C ）6π（D ）44π-（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16S=S ∙2k1k=0, S=1是否输出S结束开始（5）函数121()2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为（6）已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（8）某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（A ）1322a a a +≥ （B ）2221322a a a +≥ （C ）若13a a =，则12a a =（D ）若31a a >，则42a a >（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+（A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11俯视图侧（左）视图正（主）视图434第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为．（10）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ；n S = ．（11）在A B C ∆中，若3a =，b =3A π∠=，则C ∠的大小为．（12）已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += ．（13）已知正方形A B C D 的边长为1，点E 是A B 边上的动点，则D E C B ⋅uuu r uur的值为；D E D C ⋅uuu r uuu r的最大值为．（14）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-．若x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题共13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的单调递减区间．（16）（本小题共14分）如图1，在R t A B C ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为A C ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿D E 折起到1A D E ∆的位置，使1A F C D ⊥，如图2．（Ⅰ）求证：D E //平面1A C B ；（Ⅱ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅲ）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥⊥平面DEQ ？说明理由．（17）（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，a b c ++=600．当数据,,a b c 的方差2s 最大时，写出,,a b c的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值．（注：222121[()()s x x x x n=-+-+ (2)()]n x x +-，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）D FDEBCA 1F CB图2图1（18）（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+．（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a =，9b =-时，若函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2．直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当A M N ∆3k 的值．（20）（本小题共13分）设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：,,,,,[1,1]a b c d e f ∈-，且0a b c d e f +++++=．记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1,2)i =，()j c A 为A 的第j 列各数之和(1,2,3)j =；记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，3|()|c A 中的最小值．（Ⅰ）对如下数表A ，求()k A 的值；（Ⅱ）设数表A 形如其中1-≤d ≤0．求()k A 的最大值；（Ⅲ）对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求()k A 的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）绝密使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）A （3）D （4）C （5）B（6）B（7）B（8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）1 1(1)4n n +（11）2π（12）2（13）1 1（14）(4,0)-三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得()x k k π≠∈Z ，故()f x 的定义域为{|,}x x k k π∈≠∈R Z ．因为(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=2cos(sin cos )x x =- sin 2cos 21x x =--)14x π=--，所以()f x 的最小正周期22T ππ==．（Ⅱ）函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k ππππ++∈Z ．由 3222242k x k πππππ+≤-≤+，()x k k π≠∈Z ，得 37()88k x k k ππππ+≤≤+∈Z ．所以()f x 的单调递减区间为37[,]()88k k k ππππ++∈Z ．解：（Ⅰ）因为D ，E 分别为A C ，A B 的中点，所以D E //B C ．又因为D E ⊄平面1A C B ，所以D E //平面1A C B 平面．（Ⅱ）由已知得A C B C ⊥且D E //B C ，所以D E A C ⊥．所以1D E A D ⊥，D E C D ⊥．所以D E ⊥平面1A D C ．而1A F ⊂平面1A D C ，所以1D E A F ⊥．又因为1A F C D ⊥，所以1A F ⊥平面B C D E ．所以1A F BE ⊥．（Ⅲ）线段1A B 上存在点Q ，使1A C ⊥⊥平面DEQ ．理由如下：如图，分别取1A C ，1A B 的中点P ，Q ，则PQ //B C ．又因为D E //B C ，所以D E //PQ ．所以平面DEQ 即为平面D EP ．由（Ⅱ）知，D E ⊥平面1A D C ，所以1D E A C ⊥．又因为P 是等腰三角形1D A C 底边1A C 的中点，所以1A C D P ⊥．所以1A C ⊥平面D EP ．从而1A C ⊥平面DEQ ．故线段1A B 上存在点Q ，使得1A C ⊥⊥平面DEQ ．A 1P F D QECB解：（Ⅰ）厨余垃圾投放正确的概率约为40024001001003==++“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量．（Ⅱ）设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量得总和除以生活垃圾总量，即()P A 约为400240600.71000++=，所以约为10.70.3-=．（Ⅲ）当600a =，0b c ==时，2s 取得最大值．因为1()2003x a b c =++=，所以22221[(600200)(0200)(0200)]800003s =-+-+-=．（18）（共13分）解：（Ⅰ）()2f x ax '=，2()3g x x b '=+．因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，所以(1)(1)f g =，且(1)(1)f g ''=．即 11a b +=+，且23a b =+．解得 3a =，3b =．（Ⅱ）记()()()h x f x g x =+．当3a =，9b =-时，32()391h x x x x =+-+， 2()369h x x x '=+-．令()0h x '=，得13x =-，21x =．()h x 与()h x '在(,2]-∞上的情况如下：由此可知：当k ≤3-时，函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值为(3)28h -=；当32k -<<时，函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值小于28．因此，k 的取值范围是(,3]-∞-．解：（Ⅰ）由题意得2222,2,a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得b =．所以椭圆C 的方程为22142xy+=．（Ⅱ）由22(1),1,42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4240k x k x k +-+-=．设点M ，N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，2122412kx x k+=+，21222412k x x k-=+．所以||M N ==12k=+．又因为点(2,0)A 到直线(1)y k x =-的距离d =，所以A M N ∆的面积为21||||212k S M N d k=⋅=+．123k=+，解得1k =±．（20）（共13分）解：（Ⅰ）因为1() 1.2r A =，2() 1.2r A =-，1() 1.1c A =，2()0.7c A =，3() 1.8c A =-，所以()0.7k A =．（Ⅱ）1()12r A d =-，2()12r A d =-+，12()()1c A c A d ==+，3()22c A d =--．因为1-≤d ≤0，所以12|()||()|10r A r A d =≥+≥，3|()|10c A d ≥+≥．所以()1k A d =+≤0．当0d =时，()k A 取得最大值1．（Ⅲ）任给满足性质P 的数表A （如下所示）．任意改变A 的行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数表A *仍满足性质P ，并且()()k A k A *=．因此，不妨设1()0r A ≥，1()0c A ≥，2()0c A ≥．由()k A 的定义知，1()()k A r A ≤，1()()k A c A ≤，2()()k A c A ≤．从而1123()()()()()()()k A r A c A c A a b c a d b e ≤++=++++++()()a b c d e f a b f =+++++++- 3a b f =+-≤．所以()1k A ≤．由（Ⅱ）知，存在满足性质P 的数表A 使()1k A =．故()k A 的最大值为1．。

2012高考真题——文科数学(北京卷)解析版

2012年北京高考数学（文）逐题详解2012年的北京数学高考是高中新课改后的第三次高考，试卷延续了近几年高考数学命题的风格，题干大气，内容丰富，难度客观讲适中，和以往一样，其中8,14,20三个题技巧性较高，侧重考查学生的数学思维和探索精神。

一、试题体现数学的人文教育功能拿到试卷的第一感觉是亲切，大部分试题均注重考查基础知识、基本技能和基本方法,考查数学传统的主干知识，较好把握了传统知识的继承点和新增知识的起步点，但是有几个试题还是非常具有心意，难度不小，重点考察能力，给笔者留下了较深的印象：例如选择第3题，在不等式背景下考查了一个概率问题，还是非常具有综合性的。

选择第7题，常见的三视图问题，但是计算几何体的表面积，对空间想象力要求还是很高的。

填空题第13小题，难度虽然不大，但是综合性以及对于函数思想的要求都很高。

第16题，立体几何考查了一个折纸的问题，难度虽然不大，但是形式还是比较有亮点的，第三问又设计为探索型问题，体现了能力立意的考试要求，要求学生有较好的空间想象力和逻辑推理能力才能顺利解答. 再比如17题以生活背景为模型考查了一个概率统计的知识，题目难度仍然不大，但是第三问非常有创新思维的让学生大胆猜想方差最大的情况，还是非常考查能力的，另外，从生活的角度命题，让学生体验数学的建模思想和应用价值，激发学生学习数学的兴趣，拓展视野，开展研究性学习，实现数学的人文教育功能。

二、试题解析（一）、选择题：【解析】第（1）题和往年一样，依然是集合（交集）运算，本次考察的是一次和二次不等式的解法。

因为，利用二次不等式的解法可得，画出数轴图易得：，答案：D【解析】第（2）题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。

，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为，答案：A【解析】第（3）题是一道微综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式，概率。

题目中表示的区域如右图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方型面积减去四分之一圆的面积部分，因此，答案：D【解析】第（4）题考查程序框图，涉及到判断循环结束的时刻，以及简单整数指数幂的计算。

2012年北京高考数学文科试卷(带答案)

r2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}{}320,(1)(3)0A x x B x x x =∈+>=∈+->R R ，则A B I=（）A.(,1)-∞-B.2(1,)3--C.2(,3)3-D.(3,)+∞ 【测量目标】集合的含义与表示、集合的基本运算. 【考查方式】给出两个集合，求交集.【参考答案】C 【试题解析】23A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎭⎩，利用二次不等式的解法可得{3B x x =>或}1x <，画出数轴易得}{3A B x x =>I . 2.在复平面内，复数10i3i+对应的点坐标为（） A. (1,3) B.(3,1) C.(1,3)- D.(3,1-)【测量目标】复数的运算法则及复数的几何意义. 【考查方式】给出复数，求对应的点坐标. 【参考答案】A 【试题解析】10i 10i(3i)13i 3i (3i)(3i)-==++++，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A. 3.设0202x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩剟剟不等式组表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A.π4 B. π22- C. π6 D.4π4-【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、几何概型.【考查方式】给出不等式组，求不等式组所表示的区域中点到直线距离的概率. 【参考答案】D【试题解析】题目中0202x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩剟剟表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224p ⨯-⨯-==⨯，故选D4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A.2B.4 C ．8 D.16 【测量目标】循环结构的程序图框.【考查方式】给出程序图，求最后的输出值. 【参考答案】C 【试题解析】0,11,12,23,8,k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==循环结束，输出的S 为8，故选C.5.函数121()()2xf x x =-的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【测量目标】导函数的定义与应用.【考查方式】已知复合函数，求零点个数. 【参考答案】B【试题解析】函数121()()2x f x x =-的零点，即令()0f x =，根据此题可得121()2xx =，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B .6. 已知}{n a 为等比数列.下面结论中正确的是（）A.1222a a a +…B.2221322a a a +…C.若则12a a = ,则132a a a +…D.若31a a >，则42a a >【测量目标】等比数列的公式与性质.【考查方式】给出等比数列，判断选项中那些符合等比数列的性质. 【参考答案】B【试题解析】当10,0a q <<时，可知1320,0,0,a a a <<>，所以A 选项错误；当1q =-时，C 选项错误；当0q <时，323142a a a q a q a a >⇒<⇒<，与D 选项矛盾。

2012年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学文科

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) 2 在复平面内，复数103i i +对应的点的坐标为 A (1 ,3) B (3,1) C(-1,3) D (3 ,-1)（3）设不等式组，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π- （4）执行如图所示的程序框图，输出S 值为（A ）2（B ）4（C ）8（D ）16(5)函数f（x）＝x121x2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为（A）0 （B）1（C）2 （D）3（6）已知为等比数列，下面结论种正确的是（A）a1+a3≥2a2（B）（C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）28+B）30+C）56+D）60+（8）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（A）5（B）7（C）9（D）11第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）直线y=x被圆x2+（y-2）2=4截得弦长为__________。

（10）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1= ，S2=a3，则a2=____________，S n=_________________。

（11）在△ABC中，若a=3，b=，，则的大小为_________。

2012年高考真题——文科数学(北京卷)解析版(2)

【答案】D4．执行如图所示的程序框图，输出S 值为（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。

北京高考数学文科word解析版2012

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）解析版一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B=（） A ．（-∞，-1） B ．（-1，-23） C ．（-23,3） D ． (3,+∞)【考点】集合的运算【难度】1 【答案】D 【解析】因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ．2．在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为（） A ． (1 ,3) B ．(3,1) C ．(-1,3)D ．(3 ,-1)【考点】复数综合运算【难度】1 【答案】A 【解析】i ii i i i i i i i i 3110301091030)3)(3()3(1031022+=+=--=-+-=+，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A ． 3．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）（A ）4π（B ）22π- （C ）6π（D ）44π- 【考点】几何概型【难度】1 【答案】D 【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P，故选D。

4．执行如图所示的程序框图，输出S值为（）（A）2 （B）4 （C）8 （D）16 【考点】算法和程序框图【难度】1【答案】C【解析】=k，11=⇒=ks，21=⇒=ks，22=⇒=ks，8=s，循环结束，输出的s为8，故选C。

2012年高考试题及解析：文科数学(北京卷)

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）.已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B=（A ）（﹣∞，﹣1）（B ）（﹣1，﹣23）（C ）（﹣23,3）（D ） (3,+∞) 【考点】集合【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系。

在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

（2）.在复平面内，复数103i i+对应的点的坐标为（A ） (1 ,3) （B ） (3,1) （C ）(-1,3) （D ） (3 ,-1)【考点】复数的计算【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（文）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

（3）设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π- 【考点】概率【难度】容易【点评】本题考查几何概率的计算方法。

在高二数学（文）强化提高班，第三章《概率》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。

（4）执行如图所示的程序框图，输出S 值为（A ）2 （B ）（C ）8 （D ）16【考点】算法初步【难度】中等【点评】本题考查几何概率的计算方法。

2012年北京市高考文科数学试卷真题及参考答案(文科)

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学〔文〕〔卷〕本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷〔选择题共40分〕一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}320A x x =∈+>R ，()(){}130B x x x =∈+->R ，则A B =〔〕.A.(),1-∞-B.21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.()3,+∞ 2.在复平面内，复数10i3i+对应的点的坐标为〔〕. A.()1,3 B.()3,1C.()1,3- D.()3,1- 3. 设不等式组0202x y⎧⎨⎩，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是〔〕. A.π4B.π22- C.π6D.4π4- 4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为〔〕.A.2B.4C.8D.165. 函数121()2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为〔〕.A.0B.1C.2D.36. 已知{}n a 为等比数列. 下面结论中正确的是〔〕.A.1322a a a +B.2221322a a a +C.若13a a =，则12a a =D.若31a a >，则42a a > 7. 某三棱锥的三视图如图所所示，该三棱锥的表面积是〔〕.A.2865+3065+ C.565+60125+8. 某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为〔〕.A.5B.7C.9D.11第II 卷〔共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.09.直线y x =被圆()2224x y +-=截得的弦长为. 10. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若112a =，23S a =，则2a =； n S =.11.在△ABC 中，若3a =，3b =π3A ∠=，则C ∠的大小为. 12.已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则()()22f a f b +=.13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为；DE DC ⋅的最大值为.14.已知()()()23f x m x m x m =-++，()22xg x =-，若x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <，则m的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.〔本小题共13分〕已知函数()sin cos sin 2()sin x x x f x x-=.〔1〕求()f x 的定义域与最小正周期；〔2〕求()f x 的单调递减区间.16.〔本小题共14分〕如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点. 将△ADE 沿DE折起到△1A DE 的位置，使1A F CD ⊥. 如图2. 〔1〕求证：DE ∥平面1A CB ；〔2〕求证：1A F BE ⊥；〔3〕线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？说明理由.17.〔本小题共13分〕近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物与其他垃圾三类分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类“厨余垃圾〞箱 “可回收物〞箱 “其他垃圾〞箱厨余垃圾 400100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾20 20 60〔1〕试估计厨余垃圾投放正确的概率；〔2〕试估计生活垃圾投放错误的概率；〔3〕假设厨余垃圾在“厨余垃圾〞箱、“可回收物〞箱、“其他垃圾〞箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中0a >，600a b c ++=，当数据a ，b ，c 的方差2s 最大时，写出a ，b ，c 的图1图2值〔结论不要求证明〕. 并求此时2s 的值.〔求：()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中x 为数据1x ，2x ，…，n x 的平均数〕.18.〔本小题共13分〕已知函数()2()10f x ax a =+>，3()g x x bx =+.〔1〕若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线，求a ，b 的值；〔2〕当3a =，9b =-时，求函数()()f x g x +在区间[],2k 上的最大值为28.求k 的取值范围.19.〔本小题共14分〕已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()2,0A ，离心率为2. 直线()1y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ，N .〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕当△AMN的面积为3时，求k 的值. .20.〔本小题共13分〕设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：a ，b ，c ，d ，e ，f []1,1∈-，且0a b c d e f +++++=.记()i r A 为A 的第i 行各数之和〔1,2i =〕，()j c A 为A 的第j 列各数之和〔1,2,3j =〕；记()k A 为1()r A ，2()r A ，1()c A ，2()c A ，3()c A 中的最小值.〔1〕对如下数表A ，求()k A 的值；〔2〕设数表形如其中10d -. 求()k A 的最大值；〔3〕对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求()k A 的最大值.。

2012年高考数学北京文解析版

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）解析本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) [答案]D[解析]和往年一样，依然是集合（交集）运算，本题考查的是一次和二次不等式的解法.因为A={x ∈R|3x+2＞0}32->⇒x ，利用二次不等式的解法可得{}31>-<=x x x B 或，画出数轴易得：A ∩B={x|x ＞3}.[点评]集合的运算往往与解不等式联系在一起考查，属低档题. 2 在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 A (1 ,3) B (3,1) C(-1,3) D (3 ,-1) [答案]A [解析]i i ii i i i i i i i 3110301091030)3)(3()3(1031022+=+=--=-+-=+,实部为1，虚部为3，对应点为（1,3）.[点评]复数的除法原则是分子分母同时乘以分母的共轭复数，即分母实数化，这一过程要熟练掌握.（3）设不等式组，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-[答案]D[解析]这是道微综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式，概率.题目中表示区域如下图正方形所示，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积，因此P=4422241222ππ-=⨯-⨯[点评]与面积、体积、长度有关的概率问题属于几何概型.（4）执行如图所示的程序框图，输出S值为（A）2 （B）4 （C）8 （D）16[答案]C[解析]本题考查程序框图，设计到判断循环结束的时刻，以及简单整数指数幂的计算，k=o,s=1⇒k=1,s=1⇒k=2,s=2⇒k=3,s=8,结束[点评]读懂程序，做好循环结束的判断.本题属低档题.(5)函数f（x）＝x121x2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为（A）0 （B）1（C）2 （D）3[答案]B[解析]该题表面上看考查的是零点问题，实质上是函数图像问题（单调性）的变式，所涉及的函数为幂函数和指数函数. 函数f（x）＝x121x2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点，即令f(x)=0,可得xx)21(21=，在坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个. [点评]函数的基本性质在每年的高考中是重点，要予以重视.（6）已知{n a }为等比数列，下面结论中正确的是（A ）a 1+a 3≥2a 2（B ）2223212a a a ≥+（C ）若a 1=a 3，则a 1=a 2（D ）若a 3＞a 1，则a 4＞a 2 [答案]B[解析]该题考查的等比数列的基本概念，鉴于是选择题，可以选择排除法解决.当0,0,00,02311><<<<a a a q a 时，可知,故A 错；当q=-1时，C 选项错误；当q<0时，241313a a q a q a a a <⇒<⇒>，与D 选项矛盾.正确答案为B.[点评]等差、等比数列的基本性质，要多用特例去验证. （7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A ）28+B ）30+C ）56+D ）60+[答案]B[解析]本题考查的是三棱锥的三视图问题，问题变化为求表面积，因此对学生的计算基本功以及空间想象能力都存在着综合性的考查.从所给的三视图可以得到该几何体的直观图，如下图所示，结合图中的数据，利用勾股定理计算出各边的长度，进而求出面积.563056101010+=+++=+++=左右后底表S S S S S[点评]把三视图正确地转化为直观图是解决问题的关键.（8）某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（A ）5（B ）7（C ）9（D ）11 [答案]C[解析]该题考查知识点很灵活，要根据图像看出变化趋势，由于目的是看年平均产量最高，就需要随着n 的增大，总年产量变化超过平均值的加入，随着n 的增大，由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C.[点评]考察阅读理解能力，这也对数学的学习平时要求不能过于僵化，要灵活. 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2012高考数学(文)真题精校精析(北京卷)(纯word书稿).解答

2012·北京卷(数学文科)1．[2012·北京卷] 已知集合A ＝{x ∈|3x ＋2>0}，B ＝{x ∈|(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，－1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3 D ．(3，＋∞)1．D [解析] 本题考查集合的表示集合交集运算和一元一次二次不等式求解，考查学生基础知识的掌握情况，属于基础题．因为A ＝{x |3x ＋2>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞， B ＝{x |x <－1或x >3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，所以A ∩B ＝(3，＋∞)，答案为D.2．[2012·北京卷] 在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(3,1) C ．(－1,3) D ．(3，－1)2．A [解析] 本题考查复数代数形式的乘法运算和复数几何意义，考查学生对基本知识的掌握情况. 10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝1＋3i ，所以它对应点的坐标为(1,3)．3．[2012·北京卷] 设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－2 2C.π6 D.4－π43．D[解析] 本题考查了线性规划圆的概念圆的面积公式以及几何概型公式等基础知识，考查学生的实际应用能力，灵活反应能力．如图所示，P＝S2S＝S－S1S＝4－π4.4．[2012·北京卷] 执行如图1－2所示的程序框图，输出的S值为()图1－2A．2 B．4C．8 D．164．C[解析] 本题考查了循环结构的流程图，简单的指数幂计算等基础知识，考查了学生的读图能力以及数学语言转译水平．根据循环k＝0，S＝1；k＝1，S＝2；k＝2，S＝8，当k＝3，时，输出S＝8.5．[2012·北京卷] 函数f(x)＝x 12－⎝⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．35．B[解析] 本题考查指数函数和幂函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想．由f(x)＝x 12－⎝⎛⎭⎪⎫12x＝0，可得x12＝⎝⎛⎭⎪⎫12x，令h(x)＝x12，g(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x，所以函数f(x)的零点个数就是函数h(x)与g(x)的交点个数，如图可知交点个数只有一个，所以函数f(x)的零点个数为1，答案为B.6．[2012·北京卷] 已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是()A．a1＋a3≥2a2B．a21＋a23≥2a22C．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3>a1，则a4>a26．B[解析] 本题考查等比数列通项简单不等式性质与均值不等式．对于A选项，当数列{a n}首项为负值，公比为负值时明显不成立，比如a n ＝(－1)n，a1＋a3＝－2<2a2＝2，故A错误；对于B选项，a21 ＋a23 ≥2|a1 a3 | ＝2a22 ，明显成立，故B正确；对于C选项，由a1＝a3＝a1q2只能得出等比数列公比q2＝1，q＝±1，当q＝－1时，a1≠a2，故C错误；对于选项D，由a3>a1可得a 1(q 2－1)>0，而a 4－a 2＝a 2(q 2－1)＝a 1q (q 2－1)的符号还受到q 符号的影响，不一定为正，也就得不出a 4>a 2，故D 错误．7．[2012·北京卷] 某三棱锥的三视图如图1－4所示，该三棱锥的表面积是( )图1－4A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 57．B [解析] 本题考查三棱锥的三视图与表面积公式，考查学生对数据的运算处理能力和空间想象能力．由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥，如图所示，可知S 底面＝12×5×4＝10，S 后＝12×5×4＝10， S 左＝12×6×25＝65， S 右＝12×4×5＝10，所以S 表＝10×3＋65＝30＋6 5.8．[2012·北京卷] 某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图1－6所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为()图1－6A．5 B．7C．9 D．118．C[解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢，检查学生从现象中提炼本质的数学能力．法一：因为随着n的增大，S n在增大，要使S nn取得最大值，只要让随着n的增大S n＋1－S n的值超过S n＋1－S1n(平均变化)的加入即可，S n＋1－S n的值不超过S n＋1－S1n(平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.法二：假设S mm是S nn取的最大值，所以只要S mm>S m＋1m＋1即可，也就是S m－0 m－0>S m＋1－0(m＋1)－0，即可以看作点Q m(m，S m)与O(0,0)连线的斜率大于点Q m＋1(m＋1，S m ＋1)与O (0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q 9(9，S 9)与O (0,0)连线的斜率开始大于点Q 10(10，S 10)与O (0,0)连线的斜率．答案为C.9．[2012·北京卷] 直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________．9．22 [解析] 本题考查直线和圆的位置关系考查简单的平面几何知识．法一：几何法：圆心到直线的距离为d ＝|0－2|2＝2，圆的半径r ＝2，所以弦长为l ＝2×r 2－d 2＝24－2＝22；法二：代数法：联立直线和圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋(y －2)2＝4，消去y 可得x 2－2x ＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为2(2－0)2＝2 2.10．[2012·北京卷] 已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________.10．1 14n ()n ＋1 [解析] 本题考查等差数列的基础量运算．设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3可得d ＝a 1＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝14n (n ＋1)．11．[2012·北京卷] 在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．11.π2 [答案] 本题考查三角形中正弦定理(或余弦定理)以及三角形性质的应用．法一：正弦定理：由正弦定理知a sin A ＝3sin π3＝b sin B ＝3sin B ，所以sin B ＝12，又a ＝3>b ＝3，所以A >B ，所以0<B <π3，得B ＝π6，故C ＝π－B －A ＝π－π6－π3＝π2；法二：余弦定理：由余弦定理可得a 2＝32＝c 2＋(3)2－2×c ×3cos π3，故c 2－3c －6＝0，所以c ＝2 3.再由正弦定理可得c sin C ＝23sin C ＝a sin A ＝3sin π3＝23，所以sin C ＝1，故C ＝π2.12．[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.12．2 [解析] 本题考查函数解析式与对数运算性质．因为f (ab )＝lg(ab )＝1，所以f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(ab )2＝2lg(ab )＝2.13．[2012·北京卷] 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE→·CB →的值为________，DE →·DC →的最大值为________．13．1 1 [解析] 本题考查平面向量的数量积，平面向量的投影等基础知识，考查学生对平面数量积的理解，属于基础题．法一：投影法：设向量DE →，DA →的夹角为θ，则DE →·CB →＝DE →·DA →＝|DE →|·|DA →|cos θ，由图可知，|DE →|cos θ＝|DA →|，所以原式等于|DA →|2＝1，要使DE →·DC →最大只要使向量DE →在向量DC →上的投影达到最大即可，因为DE →在向量DC →上的投影达到最大为|DC →|＝1，所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|2＝1；法二：因为DE →＝DA →＋AE →且DA →⊥AE →，所以DE →·CB →＝(DA →＋AE →)·DA →＝|DA →|2＝1，DE →·DC →＝(DA →＋AE →)·AB →＝AB →·AE →＝|AB →||AE →|＝|AE →|，所以要使DE →·DC →最大，只要|AE →|最大即可，明显随着E 点在AB 边上移动|AE →|max ＝1，故(DE →·DC →)max ＝1.法三：以D 为坐标原点，DC →与DA →所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，可知E (x,1)，0≤x ≤1，所以DE →＝(x,1)，CB →＝(0,1)，可得DE →·CB →＝x ×0＋1×1＝1. 因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝x ，因为1≥x ≥0，所以(DE →·DC →)max ＝1.14．[2012·北京卷] 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若∀x ∈，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________．14．(－4,0) [解析] 本题考查函数图像与性质不等式求解逻辑二次函数与指数函数等基础知识和基本技能，考查分类讨论的数学思想分析问题和解决问题以及综合运用知识的能力．由已知g (x )＝2x－2<0，可得x <1，要使∀x ∈，f (x )<0或g (x )<0，必须使x ≥1时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0恒成立，当m ＝0时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f (x )必须开口向下，也就是m <0，要满足条件，必须使方程f (x )＝0的两根2m ，－m －3都小于1，即⎩⎪⎨⎪⎧2m <1，－m －3<1，可得m ∈(－4,0)．15．[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x . (1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．15．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈)，故f (x )的定义域为{x ∈|x ≠k π，k ∈}．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x ＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈)．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈)．得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈)．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，kx ＋7π8(k ∈)．16．[2012·北京卷] 如图1－9(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图1－9(2)．(1)求证：DE ∥平面A 1CB ； (2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由．图1－916．解：(1)因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE ∥BC .又因为DE ⊄平面A 1CB ，所以DE ∥平面A 1CB .(2)证明：由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ，所以DE ⊥AC .所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC . 而A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F . 又因为A 1F ⊥CD ，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如下图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP，由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.17．[2012·北京卷] 近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a >0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．注：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数17．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值．因为x ＝ 13(a ＋b ＋c )＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.18．[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．18．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)．即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b . 解得a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时， h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1， h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1. h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的情况如下：由此可知：当k ≤－3时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值为h (－3)＝28；当－3＜k ＜2时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．19．[2012·北京卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．19．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2. 所以|MN |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2，所以△AMN的面积为S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2.由|k|4＋6k21＋2k2＝103，解得k＝±1.20．[2012·北京卷] 设A是如下形式的2行3列的数表，满足性质P：a，b，c，d，a＋b＋c＋d＋e＋f＝0.记r i(A)为A的第i行各数之和(i＝1,2)，c j(A)为A的第j列各数之和(j＝1,2,3)；记k(A)为|r1(A)|，|r2(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值．(1)对如下数表A，求k(A)的值；(2)设数表A形如其中－1≤d≤0，求k(A)(3)对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k(A)的最大值．20．解：(1)因为r1(A)＝1.2，r2(A)＝－1.2，c1(A)＝1.1，c2(A)＝0.7，c3(A)＝－1.8，所以k(A)＝0.7.(2)r1(A)＝1－2d，r2(A)＝－1＋2d，c1(A)＝c2(A)＝1＋d，c3(A)＝－2－2d.因为－1≤d≤0，所以|r1(A)|＝|r2(A)|≥1＋d≥0，|c3(A)|≥1＋d≥0.所以k(A)＝1＋d≤1.当d＝0时，k(A)取得最大值1.(3)任给满足性质P的数表A(如下所示)．任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k(A)＝k(A*)．因此，不妨设r1(A)≥0，c1(A)≥0，c2(A)≥0.由k(A)的定义知，k(A)≤r1(A)，k(A)≤c1(A)，k(A)≤c2(A)．从而3k(A)≤r1(A)＋c1(A)＋c2(A)＝(a＋b＋c)＋(a＋d)＋(b＋e)＝(a＋b＋c＋d＋e＋f)＋(a＋b－f)＝a＋b－f≤3.所以k(A)≤1.由(2)知，存在满足性质P的数表A使k(A)＝1.故k(A)的最大值为1.。