曲线运动解题技巧

r
图１
O
mgtg mv02
r
通常倾角α不太大， 可近似取tgα=h/d， 则
d hα
r
O
hr
d
v
2 0
g
图２
我国铁路转拐速率一般规定为v０ 弯道半径r/m 内外轨高度差h/mm
为54km/h，轨距d=1435mm，所以
hr 为定值。铁路弯道的曲率半径
６６０
５０
r是根据地形条件决定的，根据上 式及上述相应的数据可a 以算出：
第四讲 曲线运动解题技巧
第一部分 基础知识——回顾 第二部分 解题技巧——例析
a
1
曲线运动
曲
知线
识
结 构
运 动 相 关
概
念
运
两种典型的曲线运动
动
的 合运动、
合 成
分运动的 概念
与 平行四边 分 形定则
解 渡河问题
平 定义 匀 定义
抛
速
运 动
研究 方法
圆 线速度 周 角速度
运动 规律
运 动
向心加 速度和
2.合运动、分运动的概念
注意:实际观测到的运动是合运动
运动合成
分运动
合运动
图5-9
运动分解
注意:分运动的同时性 和
独立性
红蜡块在竖直方向的分运动和水平方向的分运 动与它由A到C的合运动是同时发生的。
红腊块在竖直方向分运动的运动规律（如速度、
到达玻璃管顶部的时间等）并不因它存在随玻
璃管a 在水平方向的分运动而改变。
何不同 ?
质点
物体
2.描述匀速圆周运动的物理量
（1）线速度 v s t
（2）角速度 2
tT a
两者 vr
关系
15
3.向心力和向心加速度的概念
(1)向心力:质点做圆周运动时受到的始终指 向圆心的力 。(按效果命名的)
v F O
向心力作用效果：只改变物体速度的方 向，不改变速度的大小。
(2)向心加速度: 向心力产生的加速度叫向心加 速度。它描述速度方向改变的快慢。
条件求平抛物体的初速度及B点瞬时速度的大小.
v0=x·
g
y2 y1
vB= g (x2y122y1y2y22)
y2y1
4
a
12
3.如图所示，一光滑斜面与竖直方向成α角，一小球有两种 方式释放：第一种方式是在A点以速度v0平抛落至B点；第 二种方式是在A点松手后沿斜面自由下滑，求： （1）AB （2）两种方式到B点，平抛的运动时间为t1，下滑的时间为 t2,t1/t2等于多少？ （3）两种方式到B点的水平速度之比v1x/v2x和竖直分速度
l cos
g
与单摆的周期公 式很象
a
θ
O
F1
θ
A FO
G
F1y F1
θ
A
O
F1x
G
18
（２）火车转弯
火车转弯时是什么力提供向心力呢？
实际在修筑铁路时，要根据转弯处的
半径r和规定的行驶速度v０，适当选择内 外轨的高度差，使转弯时所需的向心力完
全由重力G和支持力FN的合力来提供，如图 ２所示。此时圆心在哪里呢？
之比v1y/v2y各是多少？
a
13
11 c2oscos
【答案】 （1）2v02cosα/gsin2α (2)cosα (3）
1
1
cos
2 cos
a
14
四、匀速圆周运动
1.定义:质点沿圆周运动，如果在相等时间
s
里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀
速圆周运动．
φ r
请想一想:匀速圆周运动与匀速转动有
a
22
一、如何对运动进行合成或分解？
——需要是出发点、认清合运动是关键 什么是合运动?你实际观察到的运动就是合运动
运动的分解 通常有两种方式:
1.结合受力情况，根据力的独立作用原理和运 动独立性原理来分解，如前述平抛运动。
2. 仅根据运动的效果进行分解，
如”渡河问题”
y
θ E
+
y vy
vx
xa
v0
v
3．曲线运动一定是变速运动
v0 d
v
a
图5-1
3
关于互成角度的两个匀变速直线运动的合运动，下
述说法中正确的是[C、D
]
A．一定是直线运动 B．一定是曲线运动 C．一定是匀变速运动 D．可能是直线运动，也可能是曲线运动
a
4
二、运动的合成与分解
1.运动合成与分解的目的
把复杂的(曲线)运动看成是两个简单的运动合成的,以方便解决问 题
设船头垂直河岸渡河，如图5－2(B)所示，所需的 时间为tB，则
比较上面两式易得知：tA＞tB．又由于从A点到达 对岸的所有路径中AB最短，故
a
9
三、平抛运动
0
v
1.定义:将物体以一定的初速度沿水平方向抛
出，物体只在重力作用下所做的运动，叫平抛
运动。
2.研究方法:
水平方向:匀速直线运动 竖直方向:自由落体运动
2 2m /s
v
θ
v1
v2
200m
θ
A
a
危 险 区
25
例3、如图所示，某人从高出水平地面h高的坡上水
平击出一个高尔夫球。由于恒定的水平风力的作用，
高尔夫球竖直地落入距击点水平距离为L的A穴。该
球被击出时初速度的大小为________m/s。
解:
水平方向: L 1 at 2 2
竖直方向: h 1 gt 2 2
g
θ
y
x
x
23
例1.如图4－6所示，汽车以速度v0匀速向左运动， 当绳子与水平面的夹角为θ时，求重物上升的
速度，并讨论重物的运动性质。
解:将v0分解成沿绳方向的分速度
v1和垂直于绳方向的分速度v2，
v2
v
重物上升的速度即为v1，易得： v0 θ
θ
v1＝v0cosθ
v1
当汽车向左匀速运动时，θ角将
a r2 r2 2
T
或 a v2 r
根据牛顿第二定律可得：
Fm r2 mr22或
T a
F m v2 r
F1 F2 A
G
16
概念辩析
从
向心力 与
作
用 效
度只 的改
一
度不 定 的改 指
果 方变 大变 向
看 向速 小速 圆
心
向心加速度
合力
小可 、改 方变 向速
不 一 定 指 向
度圆
的心
加速大度
当物体做匀速圆周运动时
3.运动规律:
x ＝ v0t
y ＝ 1 gt 2 2
vx=v0 vy=gt
v
tgΦ＝ 0
gt
y
y/m
4.适用条件：
初速不太大、抛出点的高 度不太高。在平抛物体运动 范围内，地面可看成平面。
思考题：发射洲际导弹，火 箭停止工作后，导弹获得很 大的水平速度，此后导弹的 运动规律是否满足平抛运动 的运动规律？
v1
v
（２）物体作曲线运动的条件
v2
根据两个分运动的情况，应用力与运动的关系，我们可以判断出物体
所受的合外力方向，再应用平行四边形定则判断出初始时刻合速度方向。
如果合外力方向与初速度方向在同一直线上，物体就做直线运动，如果合
外力方向与初速度方向不在同一直线上，物体就做曲线运动。
a
6
tcosd vy
拉力或弹力等于零
F mgmv2
N
r
v rg
3 .会灵活运用能量关系求速度
a
27
例4、某地有一试车场，其中有一检测汽车在极限状态下
车速的试车道，其试车道呈碗状，如图所示．有一质量为m ＝1t的小汽车在极限状态下在A车道上飞驰，使汽车在某一 水平面内作匀速圆周运动．已知该车道转弯半径R为150m， 路面倾斜角θ＝45°(与水平面夹角)，路面与车胎摩擦因 数μ＝0.25，求汽车所能允许的最大车速．( g取10m/s2)
45°
R
解：A
y FN
Ro
x Ff G 45°
Fco 40 s5 Fco 40 s5 m v2
N
N
R
m F gsi4n 0 5 Fsi4n 05
f
N
V=50m/s
a
28
例5.如图所示，质量均为m的两小球A、B套在转盘的 水平杆CD上，并用轻质细绳连接．A距盘心为R，B距 盘心为2R，A、B与CD杆的最大静摩擦力均为Fm，为保 持A、B两球距盘心的距离不变，转盘的角速度不得超
a
x
x/m
Vx
φ
Vy V
P Q
图5-35 10
3 1 2
1.水平抛出一物，其速度方向由与水平方向成45°
角变为60°角所经历的时间为t.求平抛物体的初速
度
3 1
3 1 gt
2
2
a
11
2.如图所示，A、B、C为平抛物体运动轨迹上的三点，已知A、B间与B、 C间的水平距离均为x，而竖直方向间的距离分别为y1、y2.试根据上述
这时静摩擦力指向圆心的分力Fn也就是汽
车所受的合力。
a
20
(3) 汽车过拱桥和凹桥
①汽车过拱桥
G F1
v2 m
r
v2 F1 Gm r
②汽车过凹桥
F1
G
mv2 r
F1
G
v2 m
r
汽车对桥的压力与桥对汽 车的支持力是一对作用力 和反作用力，大小相等。
图1
由上式可以看出这个压力 小于汽车的重力G，速度v 越大，压力就越小。当速
v2 vv11
d
si1n
4．“渡河”问
(1题)渡河的最短时间t
船身与河岸垂直时， 渡河时间最短
t
d v
(2)渡河的最短路程s
cos v①αv12 角当1 ，v1使>v船2 时的，合船速身度与垂河直岸 河岸
cos
v 2
v
1
sd
②当v1<v2 时，船身与河岸α
cos
v 1
角，使船的合速度垂直船身，
v 2
5
3.运动合成与分解遵循平行四边形定则
“合成”与“分解”什么呢？在运动的合成与分解中，根据实
际需要，分别对描述运动的物理量：位移、速度、加速度进行
合成或分解。位移、速度、加速度都是矢量，所以运动合成与
分解是按照平行四边形定则来进行的．
s2
s v2
v
s1
v1
思考题:如何判断合运动轨迹的“曲”或
（“１直）”看？合速度的方向是否变化
２２０
１５０ 19
思考题:
汽车在水平的圆弧路面上做匀速圆周运动时 （如图甲所示），是什么力作为向心力的呢？
甲
如果不考虑汽车行驶时 受到的阻力，则汽车所 受的地面对它的静摩擦 力就是向心力。
O
F
O
F
Fn
Ft
Ff
乙
丙
如果考虑汽车行驶时受到的阻力Ff，则静 摩擦力沿圆周切线方向的分力Ft（通常叫 做牵引力）与阻力Ff平衡，而静摩擦力指 向圆心的分力Fn就是向心力，如图丙所示，
A．先开动P1适当时间，再开动P4适当时间 B．先开动P3适当时间，再开动P2适当时间 C．开动P4适当时间 D．先开动P3适当时间，再开动P4适当时间
a
30
★解析：选A．在运动的合成、分解中，真实运动为合运动，即 “向正x偏y60º的方向以原来的速率v0平动”为合运动，x轴、y轴方 向上的运动为分运动．据平行四边形定则，由右图可得，ux<v0， vy<v0，又因为“开始时，探测器以恒定的速率v0向正x方向平动”， 所以在x轴方向上探测器做的是沿正x方向的减速运动，其加速度沿 负x方向．由牛顿第二定律，沿x轴方向的合外力必沿负x方向，所以 P1发动机开动．在y抽方向上探测器做的是沿负y方向的加速运动， 加速度方向沿负y方向，由牛顿第二定律，沿y轴方向的合外力必沿 负y方向，所以P4发动机打开．本题正确答案为A
向心力
实例分析：
1.圆锥摆
2.火车转弯
3.车过拱桥和凹桥
a
2
一、曲线运动相关概念
1．曲线运动的速度方向
BA
C
G
G
D
G
G
图5-3
在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度的方向，就是通 过这一点的曲线的切线方向。
2．物体做曲线运动的条件
物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。
注意:合力的方向一定指向曲线的内侧
a Lg h
v2 2aL 0
v L 2g
0
h
a
Fra Baidu bibliotek
26
二、解决圆周运动问题的三个要点
1.确定向心力和圆心位置
向心力并不是一种特殊的、做匀速圆周运动的物体另外 受到的力。它是按效果命名的力，任何一个或几个力的 合力只要它的作用效果是物体产生向心加速度，它就是 物体所受的向心力。
ω
θ
2.掌握脱离圆轨道的临界条件
度 v rg 压力为零。
图2
汽车对桥面的压力大于汽车的重力G，速度v 越大，压力就越大，速度v等于零时，压力就 等于汽车的重力。
a
21
第二部分 解题技巧——例析
一、如何对运动进行合成或分解？ ——需要是出发点、认清合运动是关键
二、解决圆周运动问题的三个要点： 1.确定向心力和圆心位置； 2.掌握脱离圆轨道的临界条件； 3.会灵活运用能量关系求速度。
逐渐变小，v1逐渐变大，即重物
向上做加速运动(不是匀加速)。
a
24
例2. 如图所示，一条小船位于200m宽的河正中A
点处，从这里向下游100m处有一危险区，当水流
速度为4 m/s时，为了使小船避开危险区沿直线到
达对岸，小船在静水中的速度至少是
m/s．
解:
100m
v 2 v1 sin 4 sin 45
向心力==合力
a
F1
F2
A
G
F′
G
17
4.匀速圆周运动实例分析:
（1）圆锥摆
细线一端系一小球，另一端固定于悬点， 让小球在水平面内做匀速圆周运动，细线 的运动轨迹是圆锥面，所以这个运动装置 叫圆锥摆。试推导圆锥摆的周期公式
什么力提供向心力呢？圆心位置在哪里？
mgtanmr22 rlsin
T
T 2
此时船的合速度与河岸的夹 s d
角θ最大。
sin
a
x
vv1
1
v
v
d
α
v2
v
v1
α
v2
v
v
v1
α
d
αθ
O
α v2
7
[例题2] 一只小船在静水中速度为u，若水流速度为v，要 使之渡过宽度为L的河，试分析为使渡河时间最短，应如何 行驶？
a
8
[解题过程] 依据合运动与分运动的等时性，设 船头斜向上游并最终垂直到达对岸所需时间为tA， 则
过多少?
A C
B D
ω
a
29
【例题】如图为一空间探测器的示意图，P1、P2、P3、P4四个喷气发动 机，P1、P3的连钱与空间一固定坐标系的x轴平行，P2、P4的连线与y轴 平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转 动．开始时，探测器以恒定的速率v0向正x方向平动．要使探测器改为向 正x偏负y 60º的方向以原来的速率v0平动，则可（ ）