【高中数学】必修5 《不等关系与不等式》优质课教案

§3.1不等式与不等关系

【教学目标】

1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；

3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.

【教学重点】

掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；

【教学难点】

利用不等式的性质证明简单的不等式。

【教法】

依据“3+1”课堂教学模式：自主探究，合作交流，展示评价，总结拓展。充分开展小组活动，实现全员参与。

【教学过程】

1.课题导入

在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。

请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；

>⇒±>±

即若a b a c b c

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；

即若,0

>>⇒>

a b c ac bc

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

即若,0

a b c ac bc

><⇒<

2.讲授新课

1、不等式的基本性质：

师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？

证明：

1）∵(a＋c)－(b＋c)

＝a－b＞0，

∴a ＋c ＞b ＋c

2）()()0a c b c a b +-+=-> ，

∴a c b c +>+．

实际上，我们还有,a b b c a c >>⇒>，（证明：∵a ＞b ，b ＞c ，

∴a －b ＞0，b －c ＞0．

根据两个正数的和仍是正数，得

(a －b)＋(b －c)＞0，

即a －c ＞0，

∴a ＞c ．

于是，我们就得到了不等式的基本性质：

（1）,a b b c a c

>>⇒>（2）a b a c b c

>⇒+>+（3）,0a b c ac bc

>>⇒>（4）,0a b c ac bc

><⇒<2、探索研究

思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：

（1）,a b c d a c b d >>⇒+>+；

（2）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；

（3）0,,1n n a b n N n a b >>∈>⇒>>。

证明：

1）∵a ＞b ，

∴a ＋c ＞b ＋c ．

①∵c ＞d ，

∴b ＋c ＞b ＋d ．

②由①、②得

a ＋c ＞

b ＋d ．2）bd a

c b

d bc b d c bc ac c b a >⇒⎭

⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,

3）反证法）假设n n b a ≤，

则：若a b a b <

⇒<=⇒=这都与b a >矛盾，∴n n b a >．

[范例讲解]：

例1、已知0,0,a b c >><求证

c c a b >。证明：以为0a b >>，所以ab>0,10ab >。于是11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a >由c<0，得c c a b >3.随堂练习1

1、课本练习3

2、在以下各题的横线处适当的不等号：

(1)（3＋2）2

6＋26；（2）（3－2）2（6－1）2；（3）2

51

-561-；(4)当a ＞b ＞0时，log 21a

log 21b 答案：(1)＜

（2）＜（3）＜（4）＜

[补充例题]例2、比较(a ＋3)（a －5）与（a ＋2）（a －4）的大小。

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。

解：由题意可知：

（a ＋3）（a －5）－（a ＋2）（a －4）

＝（a 2－2a －15）－（a 2－2a －8）

＝－7＜0

∴（a ＋3）（a －5）＜（a ＋2）（a －4）

随堂练习2

1、比较大小：

（1）（x ＋5）（x ＋7）与（x ＋6）2

（2）2256259

x x x x ++++与4.课时小结

本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：

第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；

第三步：得出结论

5.评价设计

【板书设计】

一．证明不等式的下列性质：

（1）,a b c d a c b d >>⇒+>+；

（2）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；

（3）0,,1n n a b n N n a b >>∈>⇒>>。

二．[范例讲解]：

例1、已知0,0,a b c >><求证c c a b

>。例2、比较(a ＋3)（a －5）与（a ＋2）（a －4）的大小。

三．小结：

【课后反思】

本节课成功之处在于引导学生完成了不等式的基本性质的证明及应用，达到了预期的目标。不足之处在于小组活动开展的不够充分。比如小组竞赛，小组评价不够彻底。在以后的教学过程中，继续坚持课改，努力使学生达到高效学习。