机构运动学分析-第10讲

该两点在机构图中的同名点间的相对加速度，其指向与加速度的下角标相反。例如矢量 b 'c '
代表 aCB 而不是 aBC；4）代表法向加速度和切向加速度的矢量都用虚线表示。例如矢量 b 'c ''
和 c ''c ' 分别代表 aCnB 和 aCt B 。
连杆和摇杆的角加速度可分别求出为：
2
aCt B lCB
的指向，可确定
2
为 顺v C B lC B
v
bc lC B
时针转向，其大小为 2
vCB lCB
v
bc lCB
。
（2）加速度分析。根据刚体运动的加速度合成定理，连杆 2 上的点 B、C 的加速度矢
量满足矢量方程式（5-3），进一步可以表达成式（5-4）。
aC aCn + aCt
＝
＝
a
n B
aB + a Bt
¦ Ø2
¦ 22Á C2 C
B
B2
¦ 1Ø
¦1Á1 ¦ 1ÕA
1 11
2 E 3E
¦ 3Á 1 ¦ 3Ø
D
3
3 3
D
b b
e
e
c
c
p'
c'''
e'''
e'
c'
b''
p
p
e'' b' c''
（a）
（b）
（c）
图 5-7 铰链四杆机构速度和加速度分析
首先按已知条件，并选定适当的长度比例尺 μl，作出该瞬时位置的机构运动简图，然后 再进行机构的速度分析和加速度分析。
+ + aCnB
aCB + aCt B
（5-3） （5-4）
方向 C→D ⊥CD B→A ⊥AB C→B ⊥CB
大小
vC2
lCD
？
lAB12
lAB1
vC2B lCB
？
式中只有 aCt 和 aCt B 的大小未知。根据式（5-4），画出加速度矢量多边形求解如图 5-7
（c）。取加速度比例尺
v
(m / s) mm
即
b 'c ' : b 'e ' : c 'e ' BC : EB : EC
由此可见， bce 与机构位置图中的 BCE 相似，且两三角形顶点字母顺序方向一致，
图形 bce 称为图形 BCE 的加速度影像。当已知一构件上两点的加速度时，利用加速度影像
便能很容易地求出该构件上其他任一点的加速度。必须注意：与速度影像一样，加速度的相
vD 38.5 m/s 。
（2）加速度分析
列出如下的加速度矢量方程。
aC aCn + aCt
＝
＝
a
n B
aB + a Bt
+ + aCnB
aCB + aCt B
方向 C→P36C ⊥P36C
B→A ⊥AB C→B ⊥CB
大小
l2 3 CP36
？
l
2
AB 1
0
22lCB
？
如图 5-8（c），对上述加速度矢量方程进行图解，求得 aC 35485.5 m/s2， aCt 34443 m/s2，
e
，连接
pe
，则矢量
p
'e'
即表
示 aE ，其大小 aE a p 'e ' 。
由加速度多边形可见
aCB
(aCnB )2 (aCt B )2
(lCB22 )2 (lBC2 )2 lBC
24
2 2
类似可得
aEB lEB
22
2 2
, aEC
lEC
24
2 2
所以
aCB : aEB : aEC lBC : lEB : lEC
，从任意点
p
连续作矢量
p 'b ''
、
b ''b '
和
b 'c ''
分别代表
abn
、
abt 和 aCnB ；又从 p 作 p 'c ''' 代表 aCn ，然后作 c '''c ' 垂直于 CD，作 c ''c ' 垂直于 CB，则 c '''c ' 与 c ''c '
交于点 c ' 得到矢量 c '''c ' ， c ''c ' 分别代表 aCt 、 aCt B ；再连 p 'b ' 、 p 'c ' ，则矢量 p 'b ' 、 p 'c ' 分
别代表 aB 、 aC ，这些量的大小均按比例尺 μa 计算得到。
当点 C 的加速度求得以后，即可根据方程式（5-5）求出点 E 的加速度：
aE
= aB +
a EnB
+ aEt B
=
aC
+
a EnC
+
aEt C
（5-5）
方向
p → b E→B ⊥EB
p → c
E→C ⊥EC
大小
a p 'b'
22lBE
求解。为此，取速度比例尺
v
(
m/s mm
)
，然后作速度多边形（如图
5-7（b）所示），即首先从
点 p 作 pb 代表 vB , pb 的长度按速度比例尺 μν计算出， pb 的方向垂直 AB；然后通过 p 作 νC
的方向线，通过 b 作 vCB 的方向线，得交点 C，则矢量 pb 和 bc 分别代表 vC 和 vCB ，其大小
（1）速度分析。根据相对运动原理，连杆 2 上点 C 的速度 vC 应是基点 B 的速度 vB 和
点 C 相对点 B 的相对速度 vCB 的矢量和，如式（5-1）所示。
vC
＝
vB
+ vCB
（5-1）
方向 ⊥CD
⊥AB
⊥CB
大小 ？
ω1lAB
？
式（5-1）为一矢量方程式，仅有 vC 和 vCB 的大小未知，故可根据上式，作矢量多边形
vC 、 vB 已作出，故只要过点 b 作 vEB 的方向线，过点 c 作 vEC 的方向线得交点 e，并连接 p、
e，即可求得代表 vE 的矢量 pe ，于是可得到 vE v pe 。
对照图 5-7（a）和 5-7（b）可以看出，在速度多边形与机构图中，bc⊥BC、ce⊥CE、
be⊥BE，故 bce ~ BCE ，且两三角形顶点字符排列顺序相同，一般称图形 bce 为图形 BCE
两点的矢量便代表该两点在机构图中同名点间的相对速度，其指向恰与速度的下标相反。例
如，矢量 bc 代表 vCB 而不是 vBC 。
求得绝对速度
vC
后，很容易求得
3
，其v大C 小为 lC D
v 3lpCDclvCCD
v
pc lCD
；转向可根据 vC 的指向
与 3 转 动lvC方CD 向 相协v l调pC Dc的原则确定为逆时针转向。类似地，根据 vCB
第五章 机构运动学分析
本章学习任务：基于速度瞬心法的机构速度分析，基于矢量方程图解法的平面机构运动 分析，基于解析法的平面机构运动分析。
驱动项目的任务安排：项目中机构的运动分析，采用 Matlab 编程计算。
5.3 基于矢量方程图解法的平面机构运动分析
构件的平面平行运动可视为构件上任一点（称为基点）的牵连移动和该构件绕基点的相 对转动所组成；牵连移动的速度和加速度等于所选基点的速度和加速度，绕基点的相对转动 角速度和角加速度等于该构件的角速度和角加速度。根据这一相对运动原理可列出构件上任 一点的矢量方程，然后按一定比例画出相应的矢量多边形，由此解出机构上各点的速度和加 速度以及各构件的角速度和角加速度。根据不同的相对运动情况，机构的运动分析可按以下 两类讨论。
似原理只能应用于机构中同一构件上的各点，而不能应用于不同构件上的点。
由图 5-7（c）可知，加速度多边形也有如下特点：1）在加速度多边形中，点 p 称为极
点，代表该构件上加速度为零的点；2）连接 p 和任一点的向量便代表该点在机构图中的同
名点的绝对加速度，其指向从 p 指向该点；3）连接 b 、 c 、 e 中任意两点的向量，便代表
3 242556.34 rad/s2
，
这
样
就
可
以
知
道
at E
78830.81 m/s2
，
aEn
19541.58 m/s2
，
aDt 5407.55 m/s2， aDn 9440.09 m/s2，根据加速度多边形的原理得到 aE 81216.81m/s2，
aD = 10879.2 m/s2。
5.3.2 两构件组成移动副的重合点间的速度和加速度关系
可按速度比例尺算出为
vC v pc 及 vB v bc
当点 C 的速度 vC 求得后，可利用式（5-2）求得点 E 的速度 vE 。
vE ＝
vC
+ vEC
＝
vB + vEB
（5-2）
方向 ？
⊥CD
⊥CE
⊥AB ⊥BE
大小 ？
μν·pc
？
ω1lAB
？
式（5-2）中只有 vEC 、 vEB 的大小未知，故可用图解法求出。如图 5-7（b）所示，因
lDE 600 mm， lDG 460 mm， lEF 500 mm， xG 2200 mm， yG 550 mm， xF 1100 mm， yF 600 mm， H 是 DE 的中点， lCH 400 mm,试求 xAB 30 时的 vE ， vD ， aE ， aD 。
y
B
1
的速度影像。故当已知一构件上两点的速度时，则可利用速度影像与构件位置图相似原理求
出构件上其他任一点的速度。但必须注意：速度影像的相似原理只能应用于同一构件上的各
点，而不能应用于机构的不同构件上的各点。
在速度多边形中，点 p 称为极点，它代表该构件上速度为零的点；故连接 p 与任一点的
矢量便代表该点在机构图中的同名点的绝对速度，其指向是从 p 指向该点；而连接其他任意
vC
＝
vB
+ vCB
方向 ⊥P36C
⊥AB
⊥CB
大小 ？
ω1lAB
？
1 600 3.14 / 60 62.8 rad/s ，绘制速度矢量多边形如图 5-8（b）所示，通过图解，可
以求得 3 245.21 rad/s ， 2 24.52 rad/s ，进而根据速度影像相似原理得到 vE 79.69 m/s ，
？
a p 'c
22lCE
？
从式（5-5）看到，如果知道 aEt B 、 aEt C ，就可求得 aE 。为此，继续在原加速度矢量多边
形的基础上作图求解。自点 b 作 b 'e '' 代表 aEnB ，从点 c 作 ce 代表 aEnC ，然后分别从点 e 作
a
t EB
的方向线，从点
e
作
aEt C
的方向线，此二方向线交于点
如图 5-9（a）所示的导杆机构中，已知机构的位置、各构件的长度及曲柄 1 的等角速度
1 ，现在来分析导杆 3 的角速度和角加速度。
首先按选定的比例尺 μl 画出机构位置图，然后按运动学原理求解。 （1）确定构件 3 的角速度。因为点 B 是构件 1 上的点，也是构件 2 上的点，故
vB2 vB1 1 lAB ；构件 2、3 组成移动副，其角速度应相同，即 2 3 ；但应注意， vB3 vB1 ， vB3 vB2 ， 1 2 ， 1 3 。这就是该机构组成的运动关系，一定要首先予以理
5.3.1 同一构件上两点间的速度和加速度关系
如图 5-7（a）所示铰链四杆机构，已知各构件的长度和原动件 1 的角速度 ω1 和角加速 度 α1 的大小和方向以及原动件的瞬时位置角 1 ，现求图示位置中的点 C、E 的速度 vC 、 vE 和加速度 aC 、 aE ，以及构件 2、3 的角速度 2 、 3 和角加速度 2 、 3 。
b1(b2)
B
2
p'
1
k'
b1(b2)
b1(b2)
¦ 1ØA p
B
2B
1b'3
b'3'
2 1 b1' (b'2)
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p' k'
p' k'
3
b3
¦ 1ØA p
¦ 1ØA p b'3
b'3'
b'3 b1' (b'2b)'3'
b1' (b'2)
解。根据以上分析，并由理论运动学知识可知，导杆上的点 B3 的绝对速度与其在滑块上的
重合点 B2 的绝对速度之间有下列关系方程
vB3 =
vB2
+
vB3B2
（5-6）
方向 ⊥BC
⊥AB
∥CB
大小 ？
1lAB
？
式中仅 vB3 和 vB3B2 的大小未知，故可用图解法求解。取定比例尺 μv 和极点 p，根据上式，
a cc lCB
，
3
aCt lCD
a cc lCD
将代表 aCt B 的向量 c ''c ' 平移到机构图上的点 C，可见 2 的方向为逆时针方向；将代表 aCt
的矢量 c '''c ' 平移到机构图上的点 C，可知3 的方向也为逆时针方向。
例 5-4 如 图 5-8 （ a ） 所 示 的 摇 动 筛 机 构 简 图 ， 已 知 n1 600 r/min ， lAB 200 mm,
可画出矢量多边形，如图 5-9（b）所示。由此图可知， vB3B2 v b2b3 , vB3 v pb3 ，其指
向如图所示。于是可求得构件 3 的角速度为 2 vB3 / lB3C v pb3 / lB3C 。
将代表 v3 的矢量 pb3 平移到机构图上的点 B，可知 v3 的方向为顺时针方向。
A
n1
6
F 4
E 2
3 H
C
6 5
x P36
（a）
e' c'
c
b p
e p' c'''
b' c''
e'' d''
d
d'
（b）
（c）
图 5-8 摇动筛机构简图
解：（1）速度分析
如图 5-8（a）所示， BC 杆做平面运动，对于 C 的速度，列出如下速度矢量方程。由三
心定理，可知构件 3 的绝对瞬心在点 P36 ，则该矢量方程中 vC 方向垂直于 P36C 。