一类1T2R的并联机构运动学分析

摘 要：本文介绍了一类具有1T2R的3-RSR并联机构，并对该机构的自由度、奇异位形、位置求解、工作空间等进行分析；利用基于螺旋理论（反螺旋）的自由度分析原理结合动平台约束分布给出了机构在任一位形下的自由度，并获得了运动奇异产生的几何条件和对主动件锁住后形成的新机构进行约束分析。并通过数值法给出了给出该机构位置逆解公式，并通过具体求解步骤导出了位置正解的公式；最后，通过实例分析中的具体数值出带入位置求解公式中，并利用Autocad软件绘制该机构的工作空间，本文提出的方法为机构运动学提出了科学有效的分析。
关键词：并联机构；自由度；奇异位形;位置分析；工作空间
Kinematic Analysis of a 1T2R Parallel Mechanism
LUO Jianguo1,2, WANG Ting2, WANG Yuqiang2
(1Mechanical & Electrical School, North China Institute of Science and Technology, Sanhe, Hebei, 065201, China
2Hebei?Key?Laboratory?of?Safety?Monitoring of?Mining?Equipment, Sanhe, Hebei, 065201, China
2Institute of Safety Engineering, North China Institute of Science and Technology, Sanhe, Hebei, 065201 )
Abstract:A kind of 3-RSR parallel mechanism with 1T2R is introduced including degree of freedom(DOF), singular configuration, position solution and workspace of the mechanism in this paper. According to the mobility principel based on reciprocal screw proposed and constrained distribution of mobile platform, the geometric condition of motion singularity and the constraint analysis of the new mechanism formed by the locking of the actuator are obtained by DOF of the mechanism in any configuration . At last, the inverse solution formula of the position of the mechanism is given by numerical method, and the forward solution formula of the position is derived by specific solving steps, the working space of the mechanism is drawn by using Autocad software. The method proposed in this paper provides a scientific and effective analysis for mechanism kinematics.
Keywords: Parallel Mechanisms; Degree of Freedom; Singular Configuration; Position Analysis; Workspace
1 引言
并联机构具有刚度较大、结构稳定、误差小、精度高、易于实现高速运动、结构简单等优点，使其在某些领域得到广泛的应用[1]。并联机构广泛应用于航天精密加工、医学、微电子、精密测量等精密工程等领域[2-6]。许多学者对此类具有一移两转的1T2R 3自由度并联机构进行过研究，并提出了很多不同类型的少自由度并联机构。3-RSR并联机构是一种结构简单的并联机构，在一定结构下可实现三维运动。文献[6]基于雅可比矩阵建立了动平台各个受力与驱动副之间的关系, 并运用牛顿欧拉动力学方程得到了该机构的动力学模型，文献[7-9]分别对一种各支链3运动副进行了位置分析、特殊位形分析、工作空间分析。

本文对一类各支链3运动副轴线平行的3-RRC并联机构进行了自由度分析、正逆解求解、奇异位形分析、工作空间，并给出了简洁又快速的计算分析方法。
2 坐标系的建立
图1 3-RSR并联机构
如图1所示的3-RSR并联机构，它由三条结构相同的分支及动（上）平台和静（下）平台组成，该机构移动方向始终是与其中间S平面相垂直。它有3个相同的分支,每个分支是一个RSR运动链，各支链3运动副轴线平行，其两端是两个转动副，中间是一个球铰,并且各支链的转动副（底部）和转动副（顶端）分别固定在静平台和动平台上，构成RSR运动链的上下两杆长度相等，即3个分支在上下平面上对称分布。
如图1所示，在静平台和动平台内心处固联固定坐标系、动坐标系，使轴与转动副的轴线垂直，轴与转动副的轴线垂直，轴与轴垂直于静平台竖直向上，轴与轴由右手定则坐标系确定方向。设为绕转动副的轴线逆时针旋转至与平面平行的转角，为绕球铰副的轴线逆时针旋转至与平面平行转角，、与的夹角分别为、，转动副和轴线之间的距离为，球铰副和轴线之间的距离为，动平台内接圆半径为,静平台内接圆半径为,其中、由机构的位形决定，、、、、、由机构的结构确定，下同。
3 自由度分析
本文基于螺旋理论（反螺旋）的自由度分析原理和修正的Kutzbach-Grübler公式求解机构的自由度分析空间3-RRC并联机构的自由度[11]，该方法不仅可以计算机构的自由度数目还可以通过动平台约束螺旋系的反螺旋得到动平台的自由度性质。
图2 单支链结构图
如图2所示3-RSR并联机构在任一位形下的单支链结构图，转动副、、的轴线都平行于静平台，即动平台与静平台平行，在此前提下分别分析各支链。如图2在支链的上建立坐标系，使轴平行于转动副的轴线、轴垂直转动副的轴线、轴竖直向上，则支链运动螺旋系的5个螺旋为：

(1)
上式中，为实数：、、、令 ,由于、为运动副之间的距离应大于0，该式可解得：或，即支链的4个运动副轴线共面。
当支链的3个运动副轴线不共面时，线性无关即为支链的运动螺旋系的基，其约束反螺旋系的基有1个螺旋，支链对动平台有1个约束分别为平行于动平台的约束力。在坐标系中可表示为：
（2）
综上可知，当3个支链各自的3个运动副轴线都不共面时，其中3个支链对动平台都施加了沿着x轴的力约束，并且都分布在中间平面内，即公共约束。并且其约束中间两个平面的移动和绕中间平面法矢的转动，从而断定该机构在是1T2R自由度为3的机构。该机构的自由度可由修正的Kutzbach-Grübler公式计算，考虑公共约束和冗余约束，有：

（3）
式中：表示机构的自由度；为机构的“阶”由公共约束确定，；表示包括机架的构件数目；g表示运动副的数目；表示第个运动副的自由度；并联冗余约束；为机构中存在的局部自由度。
假设支链的3个运动副轴线共面，同理可得到其约束反螺旋系有2个，其中多出一个力偶螺旋用
4 奇异分析
上述自由度的计算过程和分析只是机构在特定位性得到的，即机构自由度具有瞬时性。机构位型的变化有时会引起机构自由度的改变，如果这个时候机构存在奇异，那么机构的运动将不可预料，本文对机构奇异位型的分析对机构的设计过程有很大作用，减少机构损坏对企业造成的成本，按形成原因分类，奇异可分成运动奇异和约束奇异[11]。本文在分析约束奇异时，选取转动副、、作为主动件。锁住该3-RSR所有的主动件，则获得一类各支链运动副轴线平行的3-RS并联机构。
表1 3-RSR约束类型分析
分类 约束分布 动平台自由度 约束类型
仅1条支链的3个运动副轴线共面
机构自由度计算: ，， 1平移2转动运动，可在与力偶约束垂直的平面上做任意方向转动
仅2条支链各自的3个运动副轴线共面 2个力偶约束平行（当且仅当2个力约束竖直向上）
机构自由度计算:，， 2平移运动，可在水平面上做任意方向移动 运动奇异
2个力偶约束相交
机构自由度计算: ，， 1平移2转动运动，可在与2个力约束垂直的方向上做平移运动 运动奇异
其它
机构自由度计算: ，， 无运动
3条支链各自的3个运动副轴线共面 仅2个力约束平行（当且仅当2个平行的力约束竖直向上）
机构自由度计算:，，
1平移运动，当2个力偶约束竖直向上，动平台平移方向与另一力约束对应的2个力偶约束所在平面的垂直方向一致 运动奇异
1个力偶约束平行于另2个力偶约束相交形成的平面
机构自由度计算:，， 1平移2转动运动，沿与3个力约束垂直的方向做平移运动 运动奇异
3个力偶约束平行（方向竖直向上）
机构自由度计算:，， 1平移运动，可在与力偶约束垂直的轴线方向移动 运动奇异
3个力偶约束共面
机构自由度计算:，， 1平移运动，可在竖直方向做平移运动 运动奇异
其它
机构自由度计算: ，， 无运动
3条支链共面
机构自由度计算: ，， 1平移运动，可在竖直方向做平移运动 约束奇异
3条支链垂直水平面
机构自由度计算: ，， 2平移运动，可在水平面上做任意方向移动 约束奇异
仅2条支链垂直水平面
机构自由度计算:，， 1平移运动，可在水平面内移动且移动方向与非竖直支链垂直 约束奇异
2支链共面且该平面与另一支链平行
机构自由度计算:，， 1平移运动，沿2支链所形成面的法向方向

移动 约束奇异
其它 --
机构自由度计算: ，， 无运动
从表中的不同的位型可以看出，不同位型下的奇异类型也不同，有时在某种位型下运动奇异和约束奇异有同时存在，通过奇异分析可以有效避免机构在某种位型下造成的损坏。
5 位置求解
图3 动平台俯视图
设动平台上点在固定坐标系的位置为，并且设欧拉角、、分别为平台相对于静平台的姿态。由于机构处于任一位形下都有转动副、、的轴线分别平行于转动副、、的轴线，从而恒有、、。图3为动平台俯视图，静平台在动平台上的投影为，直线、、分别与转动副、、轴线重合，、、分别为点至、、的位移。在坐标系中，、、的直线方程及、、的坐标不难得到，再由点到直线的距离公式可求得、如下：
（5）
5.1 位置逆解
位置逆解是当动平台的结构参数和位姿给定时，求各支链作为输入的转动副的转角或移动副的位移。根据主动副确定准则，以每个支链的第一个转动副作为输入，则欧拉角恒为0，取支链求解，当、、给定时可由式（5）可求出。在图2中坐标系下、坐标分别为、，则为以为圆心为半径的圆与以为圆心为半径的圆的交点，存在即逆解存在，其必要条件为：
（6）
当给定的满足式（6）时，存在，设在中的坐标为可列出下式：
（7）
式（7）是二元二次方程组最多可有2组解，每组解可确定唯一，可由下式解得：
（8）
综上可知对于本文中的3-RSR并联机构当给定位姿时，每条支链最多可有2组解，3条支链最多8组解，即8种位形。
5.2 位置正解
位置正解刚好和位置逆解的思路相反，即给定支链结构参数和输入的角度，求动平台的位姿。当给定时，在坐标系下可得、，、两点间距离即为，可列出如下关系式：
（9）
将式（6）代入式（9）整理得：
（10）
6工作空间实例分析
假设3-RSR结构参数、、、,,,，将上述参数公式（6）中，化简以后可得公式（11），此公式是一个三维圆柱体的表达式。
（11）
本文使用Autodesk公司的AutoCAD软件绘制了如图4（a）的3个圆柱体，求交得如图4（b）的可达工作空间，如图4（c）显示的工作空间质量特性。利用AutoCAD的查询功能可得到工作空间实体对象的一些信息，其中体积为，。

（a）3圆柱体 （b）工作空间实体 （c）3-RSR工作空间质量特性
图4 工作空间求解
Fig.4 Workspace Solution
7 结论
（1）利用基于螺旋理论（反螺旋）的自由度分析原理结合动平台约束分布给出了机构在任一位形下的自由度，当3个支链的3个运动副轴线都不共面时，机构自由度为3、动平台有1T2R运动。
（2）在自由度分析的基础上给出了机构发生运动奇异与约束

奇异的几何条件。
（3）给出了工作空间的表达式，发现工作空间为3个空心圆柱的交可直接用三维制图软件绘出工作空间。
（4）本文给出的计算分析方法即简洁又快速，可编制软件将该机构的自由度、位置正逆解、工作空间、奇异位形计算分析过程程序化，减少大量的重复工作将使得该类机构的设计及优化变得非常简便。
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