2012年广东省育苗杯数学竞赛复赛试题与答案

2012年广东省育苗杯数学竞赛复赛试题与答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共计12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上）
1．的倒数是（）
A．B． C．D．
2．我市深入实施环境污染整治，关停40家化工企业、整改32家，每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为（）
A．B． C． D．
3．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（）
A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等D．测量其中三个角是否都为直角
4．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出了统计图（如图），则符合这一结果的实验可能是（）
A.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B.从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
C.抛一枚硬币，出现正面的概率
D.任意写一个整数，它能被2整除的概率
5.已知⊙O1的半径是2cm，⊙O2的半径是3cm，若这两圆相交，则圆心距d（cm）的取值范围是( )
A. d＜1
B. 1≤d≤5
C. d＞5
D. 1＜d＜5
6．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），将△ABC绕点A逆时针旋转90°，则在△ABC扫过的区域中（不含边界上的点），到点O的距离为无理数的格点的个数是（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
7．= ▲．
8．在函数中，自变量x的取值范围是▲．
9．已知是方程2x+my=-3的解，则m的值是▲．
10．如图，相交于点，AO=CO，试添加一个条件使得，你添加的条件是▲（只需写一个）．
11．学校篮球集训队11名队员进行定点投篮训练，11名队员在1分钟内投进篮框的球数和人数如下表：
球数/个 6 7 8 9 10 12
人数 1 1 1 4 3 1
则11名队员投进篮框的球数的众数和中位数分别是▲个、▲个．
12．如图，若将木条a绕点O旋转后与木条b平行，则旋转角的最小值为▲°．
13.如图，已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移
▲个单位时，它与轴相切．
14．根据数据变化规律，填写12所对应的值．
1 2 3 4 … 12 …
72 36 24 18 …▲…
15．如图是一个几何体的三个视图，则这个几何体的表面积为▲．（结果保留）
16．如图：在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（1，5）、（3，3），一次函数y=kx+b 的图象与x轴、y轴分别交于点M、N，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则一次函数y=kx+b的关系式为▲．
三、解答题（本大题共有12小题，共88分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题5分）计算：．
18．（本题6分）先化简：，再选择一个你喜欢的数代入求值．
19．（本题8分）江宁区随机抽取若干名八年级学生进行数学学业水平测试，并对测试成绩（x分）进行了统计，具体统计结果见下表：
八年级数学学业水平测试成绩统计表
分数段 90＜x≤100 80＜x≤90 70＜x≤80 60＜x≤70 x≤60
人数 1200 1461 642 480 217
（1）填空：
①本次抽样调查共测试了名学生；
②参加数学学业水平测试的学生成绩的中位数落在分数段上；
③若用扇形统计图表示统计结果，则分数段为90＜x≤100的人数所对应扇形的圆心角的度数为；
（2）确定数学成绩60分以上（含60分）的为合格，要求合格率不低于97%．现已知本次测试得60分的学生有117人，通过计算估计本次数学学业水平测试的合格率是否达到要求？
20．（本题6分）已知：如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点,与相交于点，与相交于点，连接BM、DN．
(1)求证：四边形是菱形；
(2) 若求MD的长．
21．（本题6分）从2名男生和2名女生中随机抽取学生参加“我爱南京，参与青奥”演讲比赛，求下列事件的概率：
（1）抽取1名，恰好是男生；
（2）抽取2名，恰好是1名女生和1名男生．
22．(本题7分) 如图，已知二次函数的图象过点A（-1，0），对称轴为过点（1，0）且与y轴平行的直线．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）结合图象，解答下列问题：
①当x取什么值时，该函数的图象在x轴上方？
②当-1＜x＜2时，求函数的取值范围．
23．（本题8分）近年来，某地区为发展教育事业，加大了对教育科研经费的投入，2010年投入6000万元，2012年投入8640万元．
（1）求2010年至2012年该地区投入教育科研经费的年平均增长率；
（2）该地区预计2013年投入教育科研经费9500万元，问能否继续保持前两年的平均增长率？请通过计算说明理由．
24．（本题7分）苏果超市进了一批成本为8元/个的文具盒. 调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示：
（1）求这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；
（2）每个文具盒的定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒（不考虑其他因素）可获得的利润最高？最高利润是多少？
25．（本题7分）据交管部门统计，超速行驶是引发交通事故的主要原因．某校数学课外小组的几个同学想尝试用自己所学的知识检测车速，双龙大道某路段的限速是：每小时80千米（即最高时速不超过80千米），如图，他们将观测点设在到公路l的距离为0.1千米的P 处．这时，一辆轿车由江宁东山向禄口机场匀速直线驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝59°，∠BPO＝45°．试计算AB并判断此车是否超速？（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）
26．（本题6分）如图，A（10，0），B（6，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点M从点N（－8，0）出发，沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．
（1）点D的坐标是；
（2）当∠BCM=15°时，求t的值．
27．（本题10分）根据三角形外心的概念，我们可引入如下概念：
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
（1）应用：如图1，PA=PB，过准外心P作PD⊥AB，垂足为D，PD= ，求∠PAD；（2）探究：如图2，在Rt△ABC中，∠A=900，BC=10，AB=6，准外心P在AC边上，试探究PA的长．
28．（本题12分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2﹣2x+2的图象与y轴交于点C，以OC为一边向左侧作正方形OCBA.
（1）判断点B是否在二次函数y=﹣x2﹣2x+2的图象上？并说明理由；
（2）用配方法求二次函数y=﹣x2﹣2x+2的图象的对称轴；
（3）如图2，把正方形OCBA绕点O顺时针旋转α后得到正方形A1B1C1O（0°＜α＜90°）。

①当tanα﹦12 时，二次函数y=﹣x2﹣2x+2的图象的对称轴上是否存在一点P，使△PB1C1为直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②在二次函数y=﹣x2﹣2x+2的图象的对称轴上是否存在一点P，使△PB1C1为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时tanα的值；若不存在，请说明理由﹒。