最新中山大学数学分析考研复习资料汇总
数学专业参考材料书汇总整编推荐
学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理：从数学分析开始讲起：数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。
也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。
当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。
数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。
将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。
记住以下几点：1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。
2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。
3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。
4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。
5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。
6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。
7，经常回头看看自己走过的路以上几点请在学其他课程时参考。
数学分析书：初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。
我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。
另外建议看一下当不了教材的16，20。
中国人自己写的：1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。
我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。
网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。
不少经济类工科类学校也用这一本书。
里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。
不过仍然不失为一本好书。
能广泛被使用一定有它自己的一些优势。
2《数学分析》华东师范大学数学系著师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。
(NEW)中山大学数据科学与计算机学院数学分析(A)历年考研真题汇编
2008年中山大学636数学分析考研 真题
2009年中山大学650数学分析考研 真题
2010年中山大学651数学分析考研 真题
2011年中山大学657数学分析考研 真题
2012年中山大学657数学分析考研 真题
2013年中山大学662数学分析考研 真题
2014年中山大学668数学分析考研 真题
2015年中山大学668数学分析考研 真题
2016年中山大学663数学分析考研 真题
2017年中山大学681数学分析 （A）考研真题
2018年中山大学680数学分析 （A）考研真题
2019年中山大学682数学分析 （A）考研真题
目 录
2008年中山大学636数学分析考研真题 2009年中山大学650数学分析考研真题 2010年中山大学651数学分析考研真题 2011年中山大学657数学分析考研真题 2012年中山大学657数学分析考研真题 2013年中山大学662数学分析考研真题 2014年中山大学668数学分析考研真题 2015年中山大学668数学分析考研真题 2016年中山大学663数学分析考研真题 2017年中山大学681数学分析（A）考研真题 2018年中山大学680数学分析（A）考研真题 2019年中山大学682数学分析（A）考研真题
中山大学研究生入学考试数学分析试题解答
lim
n
(4)记上顶面为， S1 : z 1, x2 y2 1
当 z 1时，
当z
2.(15 分)考察函数
锥面： S2 : z x2 y2 , x2 y2 1 .
x2 y2 ，
1
解 本人感觉此题有问题，应该是
f
z
2 x
1
z
2 y
z
2 x
1；
S
S1
(x2 y2 )dxdy 2(x2 y2 )dxdy
x2 y2 1
(1 2) 2 d 1 r3dr
(1 2) 2
(x,
y)
0
x2 y2
x2
0
y2
0
, x2 , x2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
(整理)中山大学年数学分析部分考研题解答.
中山大学2009年数学分析考研部分试题参考解答魏春理摘要 本文给出了中山大学2009年数学分析部分考研题的一个参考解答.关键词 中山大学 数学分析 考研试题 参考解答1．（1）求21lim(ln(1))x x x x →∞-+； 解答：21lim(ln(1))x x x x →∞-+=222111lim[(())]2x x x o x x x→∞--+ =11lim(())2x x x o x→∞-++ =12□（2）220cos()sin t x t uy du u ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰，求dy dx ； 解答：2222sin()2sin()2dy t t dy dt t t dx t t dxdt-⋅===--⋅ □ （3）求21ln ln xdx x-⎰； 解答：令ln t x =，则21ln ln x dx x -⎰=21tt de t-⎰ 21t t t e dt t e dt --=-⎰⎰ 11t t e dt t e dt --=--⎰⎰ 111()t t t e t t e dt t e dt ---=---⎰⎰ 1t e t C -=-+1(ln )x x C -=-+（C 为常数） □ （4）求11x x ae dx --⎰，1a ＜；解答：1111=)axx a x ae dx x a e dx ---+-⎰⎰⎰（11()()a xx a a x e dx x a e dx -=-+-⎰⎰1111a a x x x x a a ae dx xe dx xe dx ae dx --=-+-⎰⎰⎰⎰ 12()()a x e e a e e -=--+□ （5）设sin z uv t =+，t u e =，cos v t =，求dz dt； 解答：(sin )dz d uv t dt dt +=cos du dv v u t dt dt=⋅+⋅+ cos (sin )cos t t e t t e t =+-+(cos sin )cos t e t t t =-+ □ （6）设(())u x y ϕψ=+，其中ϕ，ψ二阶可微，x ，y 为自变量，求2d u ；解答：ⅰ）x y du u dx u dy =+'()x y dx y dy ϕϕψ=+； ⅱ）就有2()d u d du = ('())x y d dx y dy ϕϕψ=+=22()('())'()x x y y d dx d x d y dy y d y ϕϕϕψϕψ+++ (x ，y 为自变量，故有220d x d y ==) ()('())x y d dx d y dy ϕϕψ=+()('()'())x x xy y y dx dy dx d y d y dy ϕϕϕψϕψ=+++2[()'()''()]xx xy yx yy y dx dydx dx dy y y dy dy ϕϕϕϕψϕψ=++++ 222'()''()xx xy yx yy y dx dydx dxdy y dy y dy ϕϕϕϕψϕψ=++++2222'()''()xx xy yy y dx dxdy y dy y dy ϕϕϕψϕψ=+++□ (7)求级数1cos n n x ∞=∑在收敛域上的和函数；解答：容易看出，当x k π=（k N ∈），时，1cos n n x ∞=∑发散，于是可以得到1cos n n x ∞=∑的收敛域为{},D x k x R k N π=≠∈∈；接下来，求1cos n n x ∞=∑在D 上的和函数：1cos nn x ∞=∑=1cos (1cos )lim cos lim 1cos n nkn n k x x x x →∞→∞=-=-∑cos 1cos xx =-，x D ∈ □ （8）判别级数1111n nn∞+=∑的敛散性；解答：由1111111limlimlim()11nnn n n nn n n nn+→∞→∞→∞+===以及级数11n n∞=∑发散，可知1111n nn∞+=∑发散□二、将区间[1,2]作n 等分，分点为0112n x x x ==＜＜＜，求n .解答：根据11111im1lim lim nni in i i nx x nn n i n n i x e e→∞==→∞→∞=∑∑⎛⎫== ⎪⎝⎭∏，以及21113im 2n i n i x xdx n →∞===∑⎰，得到32n e =□ 三、计算22()()lx y dx y x dyI x y ++-=+⎰，其中l 是从点(1,0)A -到点(1,0)B 的一条不通过原点的光滑曲线：()y f x =，[1,1]x ∈-，且当(1,1)x ∈-时，()0f x ＞. 解答：根据Green 定理，令22(,)x y P x y x y +=+，22(,)x yQ x y x y-=+.此时有 222222()Q P x xy y x y x y ∂∂--==∂∂+ 故第二型曲线积分22()()lx y dx y x dyI x y++-=+⎰的值与路径无关，为了计算该积分，构造以下曲线：1l ：0y =，(1,)x ε∈；2l ：222x y ε+=，[,]x εε∈-；3l ：0y =，(1,)x ε∈--；于是可以得到如下的过程：22()()l x y dx y x dy I x y ++-=+⎰22()()l x y dx y x dy x y-++-=-+⎰ 12322(+()()[()]l l l DQ P x y dx y x dy dxdy x y x y-+-∂∂++-=---∂∂+⎰⎰⎰） （其中123=D l l l l ∂+++，方向为顺时针旋转） 12322(+()()l l l x y dx y x dyx y -+++-=+⎰）2-122-11()()1l x y dx y x dy dx dx x x y x εε-++-=+++⎰⎰⎰ 222()()lx y dx y x dyx y-++-=+⎰ (令cos x εθ=，sin y εθ=，[0,]θπ∈) 22202(sin cos sin sin cos cos )d πεθθθθθθθε--+-=⎰ 0d πθπ=-=⎰□四、计算222x dydz y dzdx z dxdy∑++⎰⎰，其中∑为曲面222x y z +=介于平面0z =和z h =（0h ＞）之间的部分取下侧.解答：根据题意可知曲面∑不是封闭曲面，但是添加一片曲面：σ：z h =，222x y h +≤（0h ＞）；于是σ∑+就是封闭的曲面，这里σ方向取上侧，记σ∑+所围成的区域为Ω.则由Gauss 公式得：222222x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy σ∑+++++⎰⎰⎰⎰ 222x dydz y dzdx z dxdy σ∑+=++⎰⎰2()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰(令cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，其中0z r ≤≤，0r h ≤≤，02θπ≤≤)'2(cos sin )r r r z drd dz θθθΩ=++⎰⎰⎰202(cos sin )h rd rdr r r z dz πθθθ=++⎰⎰⎰42h π=此时，222x dydz y dzdx z dxdy σ++⎰⎰2z dxdy σ=⎰⎰2222x y h h dxdy +≤=⎰⎰4h π=；于是，222222=I x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy σ∑++-++⎰⎰⎰⎰42h π=-□五、设()f x 在[1,)∞连续，''()0f x ≤，(1)2f =，'(1)3f =-.证明()0f x =在(1,)∞有且仅有一个实根.证明：ⅰ)由''()0f x ≤，知'()f x 在1x ＞时单调减，所以当1x ＞时，'()'(1)0f x f ≤＜，()f x 在(1,)+∞上严格减.于是方程()0f x =在(1,)+∞中至多有一根；ⅱ)当1x ＞时，(()[(1)'(1)(1)])''()'(1f x f f x f x f -+-=-≤，故函数()[(1)'(1)(1)f x f f x -+-在(1,)+∞中单调减，从而()[(1)'(1)(1)]0f x f f x -+-≤即()[(1)'(1)(1)]f x f f x ≤+-，当(1)511'(1)3f x f =-=＞时， 55()[(1)'(1)(1)]033f f f ≤+-=，结合()f x 在(1,)+∞上严格减，得到()0f x ≤（53x ≥），这样根据连续函数的零值定理就可以得到：5(1,]3c ∃∈，满足()0f c =；综合上面的讨论可知()0f x =在(1,)∞有且仅有一个实根. □ 六、设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，试证：对一切x 满足(2)()x f x f x e =的充要条件是()(0)x f x f e =.证明：⇒）由(2)()x f x f x e =可以得到111242111()()()222x x x f x f x e f x e e ==⋅2111()2221()2nxn f x e +++==11(1)22()1121()2n x nf x e --=令n →∞即可得到：()(0)x f x f e =，必要性得证；⇐）由()(0)x f x f e =可以得到：2(0)(2)x f e f x =，可以写成(0)(2)x x f e f x e -=；这样结合()(0)x f x f e =，就可以得到()(2)x f x f x e -=； 进一步就可以得到(2)()x f x f x e =，充分性得证.□ 附最后两道题：七、求椭球面2222221x y z a b c++=在第一卦限部分的切平面与三坐标平面围成的四面体的最小体积.八、讨论1cos(ln )2n n n π∞=∑的敛散性. 参考文献[1]家里蹲大学数学杂志第三卷第83期-中山大学2011年数学分析考研试题参考解答（张祖锦）[2]《数学分析精选习题全解》（薛春华 徐森林编）2009（上册）清华大学出版社；后记本参考解答是一个不完美的解答，这不仅仅是说最后两道题（第七题太暴力了！第八题还在思考中）没有给出参考解答，也包含了给出的解答，必定会有不当之处。
《数学分析(3)》知识点整理
《数学分析（3）》复习资料第十三章 函数列与函数项级数（5%）1．（1）函数列收敛域为(),1,2,nn f x x n == (1,1]-，极限函数为0,1,()1, 1.x f x x ⎧<⎪=⎨=⎪⎩．（2）函数列sin (),1,2,n nxf x n n == 收敛域为(,)-∞+∞，极限函数为()0f x =． 2．（1）函数列在(02(),1,2,nx n f x nxe n -== ,)+∞上不．一致收敛． （2）函数列()1,2,n f x n == 在(1,1)-上一致收敛． （3）函数列22(),1,2,1n xf x n n x ==+ 在(,上一致收敛．)-∞+∞（4）函数列(),1,2,n xf x n n== 在[0上不．一致收敛． ,)+∞（5）函数列()sin,1,2,n xf x n n== 在上不．一致收敛． (,-∞+∞)3．（1）函数项级数nn x∞=∑在(1上不．一致收敛． ,1)-（2）函数项级数2sin nx n ∑，2cos nxn ∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（3）函数项级数(1)!nx n -∑在上一致收敛． [,]r r -（4）函数项级数122(1)(1)n nx x --+∑在(,上一致收敛． )-∞+∞（5）函数项级数n n x ∑在11r x r r ∙>⎧⎪>⎨=⎪⎩上一致收敛上不一致收敛．（6）函数项级数2nx n ∑在上一致收敛．[0,1]（7）函数项级数12(1)n x n --+∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（8）函数项级数221(1)n x x -+∑在(,上不．一致收敛． )-∞+∞第十四章 幂级数（10%）1．对于幂级数，若0n n n a x ∞=∑lim n ρ=（1limn n na a ρ+→∞=） 则（i ）当0ρ=时，收敛半径R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞；（ii ）当ρ=+∞时，收敛半径，仅在0R =0x =处收敛； （iii ）当0ρ<=+∞时，收敛半径1R ρ=，收敛域为(,)R R -，还要进一步讨论区间端点x R =±处的敛散性．2．幂级数展开式： （1）()2(0)(0)(0)()(0)1!2!!n nf f f f x f x x x n '''=+++++（2）011nn x x ∞==-∑，01(1)1n n n x x ∞==-+∑ (1x )<． （3）2(1)(1)(1))12!!m n m m m m m n x mx x x n ---++=+++++ (11)x -<<111]，．1110101m m m ≤--⎧⎪-<<-⎨⎪>-⎩时，收敛域为（，）时，收敛域为（，]时，收敛域为[，(1（4）1110(1)(1)ln(1)(11)1n n n n n n x x x x n n -∞∞+==--+==-<≤+∑∑，1ln(1)nn x x n∞=--=∑ (11)x -≤<． （5）210(1)sin (21)!n n n x x n ∞+=-=+∑，20(1)cos (sin )(2)!n nn x x n ∞=-'==∑ ()x -∞<<+∞．（6）10(1)arctan (11)21n n n x x n ∞+=-=-≤+∑≤（7）0)!nxn x n ∞==-∞<<+∞∑e x3．幂级数的和函数（1）1)(0,1,2,k 1knn kx x x x ∞==<-)∑ = ． （2）()(1)1)1knnn kx x x x ∞=--=<+)∑ ． (0,1,2,k = （3）1ln(1)nn x x n∞==--∑ ．(11)x -≤<（4）121111()1(1)n nn n n n x nxx x x x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x )<． （5）223)21111(1)()1(1)(1n n n n n n x n n x x x x x x ∞∞∞-==='''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-===== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x <)． 第十五章 傅里叶级数（10%）()f x 是以2π为周期且在[,]ππ-上可积的函数： 1．01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，01()a f x πππ-=⎰dx ，1()cos n a f x nx πππ-=⎰dx ，1()sin nbf x nx πππ-=⎰dx 1,2,n ，= ．2．01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑，01()ll a f x l -=⎰dx ， 1()cos l n l n x a f x dx πl l -=⎰，1()sin l n l n xb f x dx πl l-=⎰，1,2,n = ．3．（1）偶函数的傅里叶级数：01()cos2n n a n x f x a l π∞==+∑，012()cos ()cos l l n l n x n xa f x dx f x dx πl l l l π-==⎰⎰，． 1,2,n = 01()cos 2n n a f x a nx ∞==+∑，012()cos ()cos n a f x nxdx f x nxd πππππ-==⎰⎰x ，1,2,n = ．（2）奇函数的傅里叶级数：1()sinn n n x f x b lπ∞==∑，012()sin ()sin l l n l n x n xf x dx f x dx l l l l πb π-==⎰⎰1,2,，n = ．1()sin n n f x b ∞==∑nx ，012()sin ()sin n b ，f x nxdx f x nxdx πππππ-==⎰⎰1,2,n = ．第十六章 多元函数的极限与连续（5%）1．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→，00lim lim (,)y y x x f x y →→和重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →都存在，则三者相等．2．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→存在但不相等，则重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →必不存在．3．2222(,)(0,0)lim 0x y x y x y →=+，2222(,)(0,0)1lim x y x y x y →++=+∞+，22(,)lim 2x y →=，22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y x y →+=+，2222(,)(0,0)sin()lim 1x y x y x y →+=+． 第十七章 多元函数微分学（20%）1．全微分：z zdz dx dy x y ∂∂=+∂∂． 2．zzz x y x yx x y yt t∂∂s t s sts∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z z x z y s y t∂∂∂∂∂=+s x s y z z x z t x t y ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂． 3．若函数f 在点可微，则0P f 在点沿任一方向的方向导数都存在，且0P 000(,,)l x y z 0000()()cos ()cos ()cos l x y z f P f P f P f P αβγ=++，其中cos α，cos β，cos γ为方向l x 的方向余弦，000(,,)y z即cos α=cos β=，cos γ=4．若(,,)f x y z 在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量0000(,,)P x y z 000((),(),())x y z f P f P f P 为函数f 在点的梯度，记作0P 000(),()ad )z ((),x y gr f P f =P f P f ．向量grad f 的长度（或模）为gra d f =．5．设，(,z f x y xy =+)f 有二阶连续偏导数，则有1211z 212()z f yf z x x y y y ∂⎛⎫∂ ⎪''∂+∂∂⎝⎭==∂∂∂∂2f f y f yf x∂'''=⋅+⋅=+∂'，11122212221112221(1)()f f x f y f f x f f x y f xyf ''''''''''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅=++++．6．设，令00()()0x y f P f P ==0()xx f P A =，0()xy f P B =，0()yy f P C =，则（i ）当，时，20AC B ->0A >f 在点取得极小值； 0P （ii ）当，20AC B ->0A <时，f 在点取得极大值； 0P （iii ）当时，20AC B -<f 在点不能取得极值； 0P （iv ）当时，不能肯定20AC B -=f 在点是否取得极值．0P 第十八章 隐函数定理及其应用（10%）1．隐函数，则有(,)0F x y =x yF dydx F =-． 2．隐函数，则有(,,)0F x y z =x z F zx F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v ． =⎧⎨3．隐函数方程组：=⎩，有x yu v xyuv F F F F F F F F x y u v G G G G GG G G x yuv ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 则uv uv uv F F J G G =，xv xv xv F F J G G =，uxux u x F F J G G =，y v yv y v F F J G G =，uyuy uyF F JG G =， xv uv J u x J ∂=-∂ ，ux uv J vx J ∂=-∂，yv uv J u y J ∂=-∂，uy uvJ v y J ∂=-∂． 4．平面曲线在点的切线．．方程为(,)0F x y =000(,)P x y 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=， 法线．．方程为000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y -+-=． 5．空间曲线：在点处的L (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩0000(,,)P x y z切线．．方程为00z x yz x y z x y z x y 0x x y y z z F F F F F F G G G G G G ---==⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎫⎪⎭00000()()()0x y z F x x F y y F z z ， 法线．．方程为． 00()()()yz xy zx yz xy zx F F F F F F x x y y z z G G G G G G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．曲面在点处的切平面．．．方程为(,,)0F x y z =0000(,,)P x y z -+-+-=， 法线．．方程为00x y 0zx x y y z z F F F ---==． 7．条件极值例题：求函数在约束条件22u x y z =++222z x y =+与4x y z ++=下的最大值和最小值．解：令，22222(,,,,)()(4)L x y z x y z z x y x y z λμλμ=+++--+++-则由，得稳定点22220222040x yz L x x L y y L z L z x y L x y z λμλμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=--=⎪=++-=⎪⎩00112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩及228x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故当1x y ==，时函数在约束条件下取得最小值， 2z =22u x y z =++28z =26当，时函数在约束条件下取得最大值．2x y ==-22u x y z =++72第十九章 含参量积分（5%）1．，；10()s xs x e +∞--Γ=⎰dx 0s >(1)(s s )s Γ+=Γ；1(2Γ=；1()2n Γ+=，1()2n Γ-=． 2．1110(,)(1)p q p q x x ---⎰)dx (0,0p q >>B =；(,)(,)p q q p B =B ；1(,)(,1)1q p q p q p q -B =B -+- ；(0,1p q >>)1(,)(1,)1p p q p q -p q B =B -+-) ；(1,0p q >>(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)p q p q p q p q p q --B =B --+-+- ．(1,1p q >>)3．()()(,)()p q p q p q ΓΓB =Γ+ ．(0,0p q >>)第二十章 曲线积分（5%）1．设有光滑曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，函数(,)f x y 为定义在L 上的连续函数，则(,)((),(Lf x y ds f t t βαϕψ=⎰⎰；当曲线由方程L ()y x ψ=，[,]x a b ∈表示时，(,)(,(bLaf x y ds f x x ψ=⎰⎰．2．设平面曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，其中()t ϕ，在[,]αβ上具有一阶连续导函数，且((),())A ϕαψα，((),())B ϕβψβ． 又设与为上的连续函数，则沿L 从A 到(,)P x y (,)Q x y L B 的第二型曲线积分(,)(,)[((),())()((),())()]LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰．第二十一章 重积分（20%）1．若(,)f x y 在平面点集}{12(,)()(),D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤（x 型区域）上连续，其中1()y x ，2()y x 在[,上连续，则]a b 21()()(,)(,)b y x ay x Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰，即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分．若}{12(,)()(),D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤，其中1()x y ，2()x y 在]上连续，则二重积分可化为先对[,c d x ，后对y 的累次积分21()()(,)(,dx y cx y D)f x y d dy f x y σ=⎰⎰⎰⎰dx ．在二重积分中，每次积分的上、下限一定要遵循“上限大，下限小”的原则，且一般来说，第一次（先）积分的上、下限一般为第二次（后）积分的积分变量的函数或常数，而第二次（后）积分的上、下限均为常数． 2．格林公式：若函数，在闭区域上连续，且有一阶偏导数，则有(,)P x y (,)Q x y D ()L DQ Pd Pdx Qdy x yσ∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ （或L Dx y d Pdx Q +dy P Qσ∂∂∂∂=⎰⎰⎰ D ），这里为区域的边界曲线，并取正方向． L 3．设是单连通闭区域．若函数，在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：D (,)P x y (,)Q x y D （i ）沿内任一按段光滑封闭曲线，有D L 0LPdx Qdy +=⎰；（ii ）对中任一按段光滑曲线，曲线积分与路线无关，只与的起点及终点有关；D L LPdx Qdy +⎰L （iii ）是内某一函数的全微分，即在内有Pdx Qdy +D (,)u x y D du Pdx Qdy =+；（iv ）在内处处成立D P Qy x∂∂=∂∂． (,)4．设f x y 在极坐标变换cos ,:sin ,x r T y r θθ=⎧⎨=⎩0r ≤<+∞，02θπ≤≤下，xy 平面上有界闭区域与D r θ平面上区域∆对应，则成立(,D)(cos ,sin )f x y dxdy f r r rdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰．通常积分区域为圆形、扇形、环形或为其一部分，或积分区域的边界线用极坐标方程表示较简单，且被积函数为22()f x y +，(y f x ，(xf y，()f x y +等形式时常选用在极坐标系下计算二重积分．5（1）柱面坐标变换cos ,0,:sin ,02,.x r r T y rz z z θ,θθπ=≤⎧⎪=≤⎨⎪=-∞<<⎩<+∞≤+∞(,,)V 三重积分的柱面坐标换元公式为f x y z dxdydz ⎰⎰⎰(cos ,sin ,)V f r r z rdrd dz θθθ'=⎰⎰⎰，这里V '为V 在柱面坐标变换下的原象．（2）球坐标变换T y sin cos ,0,:sin sin ,0,cos ,02.x r r r z r ϕθϕθϕπϕθπ=≤<+∞⎧⎪=≤≤⎨⎪=≤≤⎩三重积分的球坐标换元公式(,,)Vf x y z dxdydz ⎰⎰⎰2(sin cos ,sin sin ,cos )sin V f r r r r drd d ϕθϕθϕϕϕ'=⎰⎰⎰θ，这里V '为V 在球坐标变换下的原象．DS ∆=．6．曲面面积计算公式：第二十二章 曲面积分（10%）1．设有光滑曲面)，(,:(,S z z x y =)x y D ∈，(,,)f x y z 为上的连续函数，则S (,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰． 2．设R 是定义在光滑曲面:(,S z z x y )=，(,)xy x y D ∈上的连续函数，以的上侧为正侧（这时的法线方向与轴正向成锐角），则有S S z (,,),))(,,(xySD R x y z dxdy x y dxdy =⎰⎰R x y z ⎰⎰．3．高斯公式：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面围成．若函数，，S P Q R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则(VSP Q Rdxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ，其中取外侧． S 4．斯托克斯公式：设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线．若函数，Q ，S L P R 在（连同）上连续，且有一阶连续偏导数，则S L ()(()L P =⎰ S P R Q P dydz dzdx dxdy d Q z x x y ∂∂∂∂-+-∂∂∂∂⎰⎰R Q y z ∂∂∂∂x dy +Rd +z （或-+Sdz dzdx dxdydy x y z P Q R∂∂∂∂∂∂⎰⎰ LPdx Qdy Rdz =++⎰ ），其中的侧与的方向按右手法则确定． S L。
数学分析全章复习讲义
数学分析全章复习讲义
在这份文档中，我们将对数学分析的各个章节进行复，并提供一些重点思路和要点。
第一章：实数和数列
- 实数的定义和性质
- 数列的定义和性质
- 有界数列和无界数列
- 收敛数列和发散数列
第二章：极限和连续
- 极限的定义和性质
- 数列极限和函数极限
- 极限的运算法则
- 连续函数的定义和性质
- 连续函数的运算法则
第三章：导数和微分
- 函数的导数定义和性质
- 导数与连续性的关系
- 一阶导数和高阶导数
- 微分的定义和性质
- 微分中值定理和泰勒公式
第四章：积分
- 不定积分和定积分的定义和性质
- 积分中值定理和牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的概念和判定
- 定积分的计算方法
第五章：级数
- 级数的定义和性质
- 收敛级数和发散级数的判定方法
- 常见级数的求和
- 幂级数和泰勒级数
第六章：函数序列和一致连续性
- 函数序列的极限和一致收敛
- 一致连续性的定义和性质
第七章：多元函数的极限和连续
- 多元函数的极限定义和性质
- 多元函数的连续性定义和性质
- 偏导数和全微分的概念
第八章：多元函数的导数和微分
- 多元函数的偏导数和混合偏导数
- 多元函数的全微分和复合函数的导数
- 隐函数的导数和参数方程的导数
以上是数学分析的全章复习内容，希望对你的学习有所帮助！。
广东省考研数学复习资料高等代数重要知识点梳理
广东省考研数学复习资料高等代数重要知识点梳理一、集合和二元关系1. 集合的概念和运算a. 集合的定义与表示方法b. 包含关系和等价关系c. 集合的运算：并、交、差、补集2. 二元关系的定义和性质a. 二元关系的定义与表示方法b. 关系的性质：自反性、对称性、传递性c. 关系的运算：合成关系、反关系、闭包运算二、线性代数1. 矩阵与行列式a. 矩阵的定义与运算b. 矩阵的特殊类型：对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵c. 行列式的定义与性质2. 线性方程组a. 线性方程组的定义与解的存在唯一性b. 矩阵的秩与线性方程组的解的关系c. 齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解的结构3. 向量空间与线性变换a. 向量空间的定义与性质b. 子空间的概念及其判定条件c. 线性变换的定义与性质三、群论1. 群的基本概念a. 群的定义与运算b. 群的性质：封闭性、结合性、单位元、逆元c. 子群的概念及其判定条件2. 群的同构与陪集a. 群同构的定义与性质b. 同态与同态核c. 陪集的概念与拉格朗日定理四、环论1. 环的定义与性质a. 环的定义与运算b. 环的性质：封闭性、结合性、单位元、逆元c. 子环的概念及其判定条件2. 整环与域a. 整环的定义与性质b. 域的定义与性质c. 整环的分类与域的判定条件3. 理想与商环a. 环的理想的定义与性质b. 商环的定义与性质c. 商环同构定理五、域论1. 域扩张a. 域扩张的定义与性质b. 代数元与超越元c. 代数扩张与超越扩张2. 有理函数与分式理想a. 有理函数的定义与性质b. 分式理想的概念及其判定条件c. 极大理想与素理想的关系3. 代数数与超越数a. 代数数的定义与性质b. 超越数的定义与性质c. 代数数与超越数的关系与性质六、模论1. 模的基本定义与性质a. 模的定义与运算b. 模的性质：封闭性、结合性、单位元、逆元c. 子模的概念及其判定条件2. 非零因子与素模a. 非零因子的定义与性质b. 素模的概念及其判定条件c. 素模与素理想的关系3. 环的降链条件与诺特环a. 环的降链条件的概念及其性质b. 诺特环的定义与性质c. 诺特环与素模的关系以上是广东省考研数学复习资料高等代数重要知识点的梳理，涵盖了集合和二元关系、线性代数、群论、环论、域论和模论等方面的内容。
广东省考研数学复习资料数学分析重要概念与定理归纳
广东省考研数学复习资料数学分析重要概念与定理归纳广东省考研数学复习资料：数学分析重要概念与定理归纳数学分析是研究实数、序列、函数和极限的数学学科，也是广东省考研数学科目中的重点内容之一。
在准备考研数学分析科目时，重要概念与定理的掌握和理解至关重要。
本文将对数学分析中一些重要的概念和定理进行归纳总结，帮助考生进行系统的复习。
一、实数与函数1. 实数的性质与运算在数学分析中，实数是最基本的概念之一。
实数具有以下性质：- 实数集的闭区间套定理- 实数集的稠密性- 实数的有序性- 实数的完备性实数运算的性质包括交换律、结合律、分配律等。
2. 函数的定义与性质函数是数学分析中研究的核心对象，了解函数的定义与性质对于数学分析的学习至关重要。
常见的函数类型包括初等函数、多项式函数、有理函数、指数函数和对数函数等。
函数的基本性质主要包括函数的单调性、奇偶性、周期性、反函数等。
二、极限与连续性1. 极限的定义与性质极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在某一点或无穷远处的趋势。
通常使用极限的定义和性质来研究函数的极限。
主要包括左极限、右极限、无穷极限等。
2. 一致收敛与点态收敛函数序列的收敛性是数学分析中的重要概念之一。
一致收敛与点态收敛是序列收敛性的两个常见概念。
了解它们的定义及其性质对于分析函数序列的收敛性十分重要。
3. 连续性连续性是函数的一个重要性质，它刻画了函数在某一点的平滑性程度。
连续函数的性质包括局部有界性、零点定理、介值定理等。
对于分段函数的连续性，需要掌握分段函数的连续性的条件和性质。
三、微分与积分1. 微分学基本概念微分学是数学分析的重要分支，研究函数的变化率和函数的最值问题。
微分学的基本概念包括导数、高阶导数、隐函数与显函数等。
2. 微分的基本性质与运算法则微分的基本性质和运算法则是进行微分计算的基础。
掌握微分运算的性质和规则有助于有效地计算和分析问题。
3. 积分的定义与性质积分是数学分析中的重要内容，用于计算曲线下面的面积或者函数在一定区间上的累积量。
完整版)数学分析复习资料及公式大全
完整版)数学分析复习资料及公式大全导数公式：求导是微积分的重要内容之一，掌握导数公式对于解题至关重要。
常见的导数公式如下：tan(x)的导数为sec^2(x)cot(x)的导数为-csc^2(x)sec(x)的导数为sec(x)·tan(x)csc(x)的导数为-csc(x)·cot(x)ax的导数为ax·ln(a)log_a(x)的导数为1/(x·ln(a))基本积分表：积分是微积分的重要内容之一，掌握基本积分表对于解题至关重要。
常见的基本积分表如下：arcsin(x)的导数为1/(sqrt(1-x^2))arccos(x)的导数为-1/(sqrt(1-x^2))arctan(x)的导数为1/(1+x^2)arcctan(x)的导数为-1/(1+x^2)tan(x)dx=-ln|cos(x)|+Ccot(x)dx=ln|sin(x)|+Csec(x)dx=ln|sec(x)+tan(x)|+Ccsc(x)dx=ln|csc(x)-cot(x)|+Cdx/x=ln|x|+Csin(x)dx=-cos(x)+Ccos(x)dx=sin(x)+Cdx/(x^2+a^2)=1/a·arctan(x/a)+Cdx/(a^2-x^2)=1/(2a)·ln|(a+x)/(a-x)|+C dx/(a^2+x^2)=1/a·ln|(a+x)/x|+Cdx/(x^2-a^2)=1/(2a)·ln|(x+a)/(x-a)|+C e^x dx=e^x+Csin^2(x)dx=1/2·(x-sin(x)cos(x))+C cos^2(x)dx=1/2·(x+sin(x)cos(x))+Csec(x)·tan(x)dx=sec(x)+Ccsc(x)·cot(x)dx=-csc(x)+Ca^x dx=a^x/ln(a)+Csinh(x)dx=cosh(x)+Ccosh(x)dx=sinh(x)+Cdx/(x^2-a^2)=1/(2a)·ln|(x+a)/(x-a)|+Cπ/2+πn (n为整数)lim(1+x)→∞=e=2.xxxxxxxxxxxxxxx。
数学分析复习提纲(全部版)
数学分析（4）复习提纲第一部分 实数理论§1 实数的完备性公理一、实数的定义在集合R 内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称R 为实数域或实数空间。
（1）域公理： （2）全序公理：（3）连续性公理（Dedekind 分割原理）：设R 的两个子集A ，A '满足： 1°ΦA ΦA ≠'≠, 2°R A A ='⋃3°x x A x A x '<⇒'∈'∀∈∀,则或A 中有最大元而A '中无最小元，或A 中无最大元而A '中有最小元。
评注 域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。
二、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。
主要有如下几个公理： 确界原理： 单调有界定理： 区间套定理：有限覆盖定理：（Heine-Borel ）聚点定理：(Weierstrass)致密性定理：(Bolzano-Weierstrass) 柯西收敛准则：(Cauchy)习题1 证明Dedekind 分割原理与确界原理的等价性。
习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。
习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。
评注 以上定理哪些能够推广到欧氏空间n R ？如何叙述？§2 闭区间上连续函数的性质有界性定理：上册P168；下册P102,Th16.8；下册P312,Th23.4 最值定理：上册P169；下册下册P102,Th16.8介值定理与零点存在定理：上册P169；下册P103,Th16.10一致连续性定理（Cantor 定理）：上册P171；下册P103,Th16.9；下册P312,Th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理 习题5 用致密性定理证明一致连续性定理§3 数列的上(下)极限三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）N -ε定义 评注 确界定义易于理解；聚点定义易于计算；N -ε定义易于理论证明 习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。
中山大学数学分析考研试题(1999-2010
0,
y
0, z
0, a
0, b
0, c
0) 所围
几何体之体积，其中 a, b, c 为正常数.
第 1页
中山大学历年考研试题-数学分析（1999-2010）
六、（16
分）求幂级数
n1
n2 1 n!2n x
n
的收敛范围，并求其和函数.
七、（16 分）设 u f (r) ，其中 r
x2
y2
z2
（4）求 1 x a exdx ， a 1 ； 1
（5）设 z uv sin t ， u et ， v cos t ，求 dz ； dt
（6）设 u (x ( y)) ，其中 、 二阶可微， x 、 y 为自变量，求 d 2u ；
（7）求级数 cosn
n1
x 在收敛域上的和函数；
中山大学 2009 年硕士研究生入学考试试题
考试科目：数学分析 科目代码：650
一、（每小题 6 分，共 48 分）
（1）求 lim(x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 ln(1 1 )) ；
x
x
x cos t 2
dy
（2）
y
t2 sin u du ，求 dx ； 0u
（3）求
1 ln xdx ； ln2 x
四、（16 分）计算 x2dydz y2dzdx z2dxdy ，其中 为曲面 x2 y2 z2 介于平面 z 0
和 z h(h 0) 之间的部分取下侧.
五、（16 分）设 f (x) 在[1, ) 连续，f (x) 0 ，f (1)=2 ，f (1) 3 . 证明 f (x)=0 在 (1, )
点 P(x, y)(x 0) 处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax （ a 0 为常数）. （1）求曲线 L 的方程； （2）如果 L 与直线 y ax 所围成的平面图形的面积为 8，确定 a 的值.
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2014中山大学数学分析考研复习资料
2014中山大学数学分析考研复习资料
《复习精编》是由博学官方针对2014年全国硕士研究生入学统一考试中山大学专业课考试科目而推出的系列辅导用书。
本精编根据：
五位一体，多管齐下，博学老师与专业课权威老师强强联合共同编写的、针对2014年考研的精品专业课辅导材料。
一、博学考研寄语
1、成功，除了勤奋努力、正确方法、良好心态，还需要坚持和毅力。
2、不忘最初梦想，不弃任何努力，在绝望中寻找希望，人生终将辉煌。
二、适用专业与科目
1、适用专业：
数学与计算科学学院：数学、统计学
2、适用科目：
662数学分析
三、内容简介与价值
（1）考前必知：学校简介、学院概况、专业介绍、师资力量、就业情况、历年报录统计、学费与奖学金、住宿情况、其他常见问题。
（2）考试分析：考题难度分析、考试题型解析、考点章节分布、最新试题分析、考试展望等；复习之初即可对专业课有深度把握和宏观了解。
（3）复习提示：揭示各章节复习要点、总结各章节常见考查题型、提示各章节复习重难点与方法。
（4）知识框架图：构建章节主要考点框架、梳理全章主体内容与结构，可达到高屋建瓴和提纲挈领的作用。
（5）核心考点解析：去繁取精、高度浓缩初试参考书目各章节核心考点要点并进行详细展开解析、以星级多寡标注知识点重次要程度便于高效复习。
强化冲刺阶段可直接脱离教材而仅使用核心考点解析进行理解和背记，复习效率和效果将比直接复习教材高达5-10倍。
该内容相当于笔记，但比笔记更权威、更系统、更全面、重难点也更分明。
（6）历年真题与答案解析:反复研究近年真题，能洞悉考试出题难度和题型；了解常考章节与重次要章节，能有效指明复习方向，并且往年真题也常常反复再考。
该内容包含2007-2013考研真题与答案解析，每一个题目不但包括详细答案解析，而且对考查重点进行了分析说明。
（7）备考方略：详细阐述考研各科目高分复习策略、推荐最有价值备考教辅和辅导班、汇总考生常用必备考研网站。