高数在经济学中的应用

《高等数学》知识在经济学中的应用举例

由于现代化生产发展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学的一些分支如数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等等已进入经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等新分支，这些新分支通常成为数量经济学。数量经济学的目的在于探索客观经济过程的数量规律，以便用来知道客观经济实践。应用数量经济学研究客观经济现象的关键就是要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。这里我们简单介绍一下一元微积分与多元微积分在经济中的一些简单应用。

一、复利与贴现问题

1、复利公式

货币所有者（债权人）因贷出货币而从借款人（债务人）手中所得之报酬称为利息。利息以“期”，即单位时间（一般以一年或一月为期）进行结算。在这一期内利息总额与贷款额（又称本金）之比，成为利息率，简称利率，通常利率用百分数表示。

如果在贷款的全部期限内，煤气结算利息，都只用初始本金按规定利率计算，这种计息方法叫单利。在结算利息时，如果将前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并以此和为下一期计算利息的新本金，这就是所谓的复利。通俗说法就是“利滚利”。

下面推出按福利计息方法的复利公式。

现有本金A 0，年利率r=p%，若以复利计息，t 年末A 0将增值到A t ，试计算A t 。

若以年为一期计算利息：

一年末的本利和为A 1=A 0（1+r ）

二年末的本利和为A 2=A 0（1+r ）+A 0（1+r ）r= A 0（1+r ）2

类推，t 年末的本利和为A t = A 0（1+r ）t （1）

若把一年均分成m 期计算利息，这时，每期利率可以认为是r m

，容易推得 0(1)mt t r A A m

=+ （2） 公式（1）和（2）是按离散情况——计息的“期”是确定的时间间隔，因而计息次数有限——推得的计算A t 的复利公式。

若计息的“期”的时间间隔无限缩短，从而计息次数m →∞，这时，由于

000lim (1)lim[(1)]m

mt rt rt r m m r r A A A e m m

→∞→∞+=+= 所以，若以连续复利计算利息，其复利公式是

0rt t A A e =

例1 A 0＝100元，r=8%，t ＝1，则

一年计息1期 1100(10.08)108()A =⨯+=元

一年计息2期 210.08100(1)108.16()2

A =⨯+

=元 一年计息4期 410.08100(1)108.243()4

A =⨯+=元 一年计息12期 1210.08100(1)108.300()12

A =⨯+=元 一年计息100期 10010.08100(1)108.325()100A =⨯+=元 连续复利计息 0.081100108.329()A e

==元 2、实利率与虚利率

由例1知，年利率相同，而一年计息期数不同时，一年所得之利息也不同。当年利率为8％，一年计息1期，确实按8％计算利息；一年计息2期，实际上所得利息是按8.16％计算的结果；一年计息4期，实际上所得利息是按8.243％计算；一年计息12期，实际上是按8.3％计算；一年计息100次，实际所得利息是按8.325计算利息。

这样，对于年期以下的复利，我们称年利率8％为虚利率或名义利率，而实际计算利息之利率称为实利率。如8.16％为一年复利2期的实利率，8.3％为一年复利12期的实利率，

8.329％为一年连续复利的实利率。

记r 为名义年利率，r m 为一年计息m 期的实利率，本金A 0，按名义利率一年计息m 期，

一年末将增值到A 0（1+

r m

）m ，按实利率计息，一年末将增值到A 0（1+r m ）。于是，有 1+r m ＝（1+r m ）m ，即(1)1m m r r m =+-是离散情况下实利率与虚利率之间的关系式。 若记r m 为连续复利的实利率，由于

lim(1)m r m r e m

→∞+= 所以，实利率与虚利率之间的关系为1r m r e =-。

3、数e 的经济解释

设年利率为100%，连续复利计息，一元本金到年末的本利和为

)()11(lim 元e m

m m =+∞→ 这就是说，按名义利率100%，连续复利计息，一元本金年末将增长到e 元。这可作为数e 的经济解释。

由于71828.2≈e ，所以，这是的实利率大约为172％。

4、贴现问题

我们已经知道，初时本金A 0，年利率r ，t 年末的本利和A t ，以年为期的复利公式是t t r A A )1(0+=，一年均分为m 期的复利公式是 mt t m

r A A )1(0+

=，连续复利公式是rt t e A A 0=。 若称A 0为现在之，A t 为未来值，一只现在值求未来值是复利问题，与此相反，若已知未来值A t 求现在值A 0，则称贴现问题，这时利率r 称为贴现率。

由复利公式，容易推得：

离散的贴现公式为 t t r A A -+=)1(0

mt t m

r A A -+=)1(0 连续的贴现公式为 rt t e A A -=0

例2 设年利率为6.5％，按连续复利计算，现投资多少元，16年之末可得1200元。 这里，贴现率r=6.5％，未来值A t =1200，t=16。所以，现在值

（元）15.4248292

.212001*********.116065.00===⋅==⨯--e e e A A rt t 增长率

设变量y 是时间t 的函数y = f (t)，则比值

)

()()(t f t f t t f -∆+ 为函数f (t)在时间区间],[t t t ∆+上的相对改变量；如果f (t)可微，则定义极限

)

()()()()(lim 0t f t f t f t t f t t f t '=⋅∆-∆+→∆ 为函数f (t)在时间点t 的瞬时增长率。

对指数函数rt

e A y 0=而言，由于r e A re A y dt dy rt rt

==00，因此，该函数在任何时间点t 上都以常数比率r 增长。

这样，关系式rt t e A A 0= （*）