2018年中考数学 《 圆证明题》 专项复习及答案

2018年中考数学圆证明题专项复习

1、如图，点A，B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．求证：AC=CD．

2、如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C 作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．

(1)判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若AB=9，BC=6．求PC的长．

3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙O和AB相切于点P．（1）求证：BP平分∠ABC；

（2）若PC=1，AP=3，求BC的长．

4、已知：如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．

（1）求证：PB是⊙O的切线．

（2）若OP∥BC，且OP=8，∠C=60°，求⊙O的半径．

5、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N．

求证：MN是⊙O的切线．

6、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：∠BDC=∠A；

（2）若CE=4，DE=2，求⊙O的直径．

7、已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：DC=BD

（2）求证：DE为⊙O的切线．

8、如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．

9、如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ．

（1）求证：NQ⊥PQ；

（2）若⊙O的半径R=2，NP=，求NQ的长．

10、已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC；连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

(1)求证：DC=BD

(2)求证：DE为⊙O的切线

11、如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F 为BC的中点，连接EF和AD．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，∠EAC=60°，求AD的长．

12、如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED．

⑴求证：BC是⊙O的切线；

⑵已知AD=3，CD=2，求BC的长．

13、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；

（2）求证：AE是⊙O的切线；

（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．

14、已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；

（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．

15、如图，以△ABC的边AB上一点O为圆心的圆经过B、C两点，且与边AB相交于点E，D是弧BE的中点，CD交AB于F，AC=AF．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若EF=5，DF=，求⊙O的半径．

参考答案

1、∵直线AC与⊙O相切，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，即∠OAB+∠CAB=90°，

∵OC⊥OB，∴∠BOC=90°，∴∠B+∠ODB=90°，

而∠ODB=∠ADC，∴∠ADC+∠B=90°，∴OA=OB，

∴∠OAB=∠B，∴∠ADC=∠CAB，∴AC=CD．

2、（1）解：PC与圆O相切，理由为：过C点作直径CE，连接EB，如图，

∵CE为直径，∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，∵AB∥DC，∴∠ACD=∠BAC，

∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．∴∠E=∠BCP，

∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，∴CE⊥PC，∴PC与圆O相切；

（2）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，

∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM=CM=BC=3，∴AC=AB=9，

在Rt△AMC中，AM= =6，

设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6﹣r，

在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，即32+（6﹣r）2=r2，解得r=，

∴CE=2r= ，OM=6 ﹣= ，∴BE=2OM= ，

∵∠E=∠MCP，∴Rt△PCM∽Rt△CEB，∴= ，即= ，∴PC= 3、（1）证明：连接OP，

∵AC是⊙O的切线，∴OP⊥AC，BC⊥AC，∴OP∥BC，∴∠OPB=∠PBC，

∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∴∠PBC=∠OBP，∴BP平分∠ABC

（2）作PH⊥AB于H．∵PB平分∠ABC，PC⊥BC，PH⊥AB，∴PC=PH=1，

在Rt△APH中，AH= =2 ，∵∠A=∠A，∠AHP=∠C=90°，∴△APH∽△ABC，

∴= ，∴= ，∴AB=3 ，∴BH=AB﹣AH= ，

在Rt△PBC和Rt△PBH中，，∴Rt△PBC≌Rt△PBH，∴BC=BH= ．

4、（1）证明：连接OB，∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°，

∵OC=OB，∴∠OBC=∠C，∵∠PBA=∠C，∴∠PBA=∠OBC，即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，∴OB⊥PB，∵OB为半径，∴PB是⊙O的切线；

（2）解：∵OC=OB，∠C=60°，∴△OBC为等边三角形，∴BC=OB，

∵OP∥BC，∴∠CBO=∠POB，∴∠C=∠POB，

在△ABC和△PBO中∵，∴△ABC≌△PBO（ASA），∴AC=OP=8，即⊙O的半径为4．

5、证明：连接OM，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OM，∴∠B=∠OMB，∴∠OMB=∠C，∴OM∥AC，

∵MN⊥AC，∴OM⊥MN．∵点M在⊙O上，∴MN是⊙O的切线．

6、（1）证明：连接OD，

∵CD是⊙O切线，∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，∴∠BDC=∠ADO，

∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDC=∠A；

（2）∵CE⊥AE，∴∠E=∠ADB=90°，

∴DB∥EC，∴∠DCE=∠BDC，∴∠DCE=∠A，∵CE=4，DE=2

∴在Rt△ACE中，可得AE=8∴AD=6

在在Rt△ADB中可得BD=3∴根据勾股定理可得