概率论与数理统计整理版

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概率论与数理统计知识点总结!-知识归纳整理

《概率论与数理统计》第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件：二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“罗列组合”的想法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。

求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n n n A P !)(=∴补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。

(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅A 1所含样本点数：24234=⋅⋅836424)(1==∴A PA 2所含样本点数：363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A PA 3所含样本点数：4433=⋅C161644)(3==∴A P注：由概率定义得出的几个性质：知识归纳整理1、0<P （A ）<12、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：nnAA A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃ (2)121nnAA A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2)121§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )()(A P AB P （P(A)≠0）∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。

概率论与数理统计公式整理

概率论与数理统计公式整理在现代数学中，概率论与数理统计是两个重要的分支。

其中概率论是研究随机事件发生的可能性或概率的科学。

而数理统计则是利用概率论的方法，对已经发生的随机事件进行统计分析和推断。

本文将整理概率论与数理统计中常用的公式。

一、基本概率公式1.概率：$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$其中，$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$n(A)$表示事件$A$所包含的基本事件的个数，$n(S)$表示所有基本事件的个数。

2.加法原理：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$其中，$A$和$B$是两个事件，$A\cup B$表示事件$A$和事件$B$中至少有一个发生的概率，$A\cap B$表示两个事件同时发生的概率。

3.条件概率：$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$其中，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。

4.乘法定理：$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$其中，$P(A\cap B)$表示两个事件同时发生的概率，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。

二、概率分布1.离散随机变量的概率分布律：$\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{p(x_i)}=1$其中，$p(x_i)$表示离散随机变量取值为$x_i$的概率。

2.连续随机变量的概率密度函数：$\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)}\mathrm{d}x=1$其中，$f(x)$表示连续随机变量在$x$处的概率密度。

3.数学期望：$E(x)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{x_ip(x_i)}$或$E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)}\mathrm{d}x$其中，$E(x)$表示随机变量$x$的数学期望，$p(x_i)$表示$x_i$这一离散随机变量取到的带权概率。

概率论与数理统计各章重点知识整理

概率论与数理统计各章重点知识整理第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则交换律结合律分配律德•摩根律 B A B A I Y = B A B A Y I = 三. 概率的定义与性质1.定义对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件P(A)=0 .(2)有限可加性对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121Y ΛY Y…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,当P(A)>0, P(B i )>0时,. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P ΛΛ2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1)(3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0)三.连续型随机变量1.定义如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(x x dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 ⎩⎨⎧=-0)(1a b x f 其它b x a << .(2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0).(3)X~N (μ,σ2 )参数为μ,σ的正态分布 222)(21)(σμσπ--=x e x f -∞<x<∞, σ>0.特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(z α)=1-α , z 1- α= -z α. 四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为 ()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性 ∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-y xdudv v u f ),( 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }= ∑∞=1j ij p = p i · ( i =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p ·j ( j =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X 关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dy y f Y五.相互独立的随机变量1.定义若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称P{X=x i |Y=y j } 为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称 P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X) ∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2} []∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛),}{},{jji j j i p p y Y P y Y x X P •=====,}{},{•=====i j i i j i p p x X P y Y x X P函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) . 二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0⇔ P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X) 1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p) 2.X~ b (n,p) (0<p<1) n pn p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/125.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ26.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i iX X n S 12211 样本标准差S 样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==ni k i k X X n B 1)(1( k=1,2,…)二.抽样分布即统计量的分布1.X 的分布不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n . 特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2 /n) .2.χ2分布 (1)定义若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2). ③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P Y 的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点.3. t 分布(1)定义若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X ~t(n)自由度为n 的t 分布.(2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2)时, nS X μ-~ t (n-1) .③两个正态总体相互独立的样本样本均值样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w (3)分位点若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P Y的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章参数估计一.点估计总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμΛΛΛ解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111kk k k k μμμθθμμμθθμμμθθΛΛΛ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A ΛΛΛθθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθΛΛ为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21Λ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由似然方程组 0=∂∂i L θ 或对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量. 二.区间估计1.求参数θ的置信水平为1-α的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,θ),其中只有一个待估参数θ未知,且其分布完全确定. (2)利用双侧α分位点找出W 的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-α. (3)由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间(θθ,)为所求. 2.单个正态总体待估参数其它参数 W 及其分布置信区间μ σ2已知 nX σμ-~N (0,1) (2/ασz n X ±) μ σ2未知 nS X μ-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α σ2 μ未知 22)1(σS n -~ χ2(n-1) ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n Sn n S n ααχχ 3.两个正态总体 (1)均值差μ 1-μ 2其它参数 W 及其分布置信区间已知2221,σσ22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N(0,1) )(2221212n n z Y X σσα+±-未知22221σσσ== 212111)(n n S Y X w +---μμ～t(n 1+n 2-2) )11)2((21212n n S n n t Y X w+-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③.(2) μ 1,μ 2未知, W=22212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比σ12/σ22的置信区间为))1,1(1,)1,1(1(212/12221212/2221----⋅-n n F S S n n F S S αα注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标α/2改为α,另外的下(上)限取为-∞ (∞)即可.。

概率论与数理统计基础知识和公式整理

第1章随机事件与概率A B=不可能同时发生，称事件A与事件互不相容或者互斥。

基本事件是互不相容的。

=且B互为逆事件，或对A BΦ，则(P B-A{ωω21,P) (2=ω1()(|)n i i P A P A B ==∑对全概率公式可以利用课堂讲解过的概率树来描述和分析。

设事件B 1,B 2,…,B n 及1(|))(|i n j j P A B P P A B ==∑此公式即为贝叶斯公式。

1=i 2n第二章随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布的联合分布函数。

通过全平面上的区域来形}1z-)]n第四章随机变量的数字特征第五章大数定律和中心极限定理1（数理统计部分的知识都是从样本和样本统计量出发来分析总体的属性，例如：分析已知分布中的未知参数等）第六章数理统计的基本概念与抽样分布总体有相同分布的随机变量；观察之后，样本就是nk=2,3,.()},max{n n X X =常用统计量的基本性质~X N 221)~S χ-(X-第七章参数估计,)mA θ=),,2∧m θ 即为参数n12,,,,)(;,)m i m P X θθθθ=∏=∂法的流程。

第八章假设检验假设检验的基本步骤如下：1. 根据实际问题,提出原假设0H 及备择假设1H ；（可确定是单侧还是双侧假设检验）2. 依据实际条件构造检验统计量；（检验统计量不含任何未知参数且分布已知）3.对于给定显著性水平α，确定检验统计量的拒绝域；（拒绝域要与0H 为真时检验统计量的趋势相反）4.将样本值或者样本统计量的值代入检验统计量的表达式计算实际值，判断是否落入拒绝域，若落入拒绝域，则否定0H ，否则接受0H 。

考研数学一概率论与数理统计公式整理

（6）事件的关分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
系与运算
Ai Ai
德摩根率： i1
i1
AB A B，A B AB
（7）概率的公理化定义
（8）古典概型
设为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三
个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1
第 1 章随机事件及其概率
（1）排列组合公式
Pmn
m! (m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
C
n m
m! n!(m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完
（2）加法和乘成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。
法原理
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完
成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
1 / 31
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
（12）条件概率（13）乘法公式
P( AB)
定义设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称
为事件 A 发生条件下，事件 B 发生
P( A)
P( AB)
的条件概率，记为 P(B / A)

概率论数理统计公式整理

概率论数理统计公式整理一、概率论公式1.定义公式:-事件概率的定义:若E为随机试验的一个事件，S为样本空间，则事件E发生的概率可以表示为P(E)=n(E)/n(S)，其中n(E)表示事件E中元素的个数，n(S)表示样本空间S中元素的总数。

2.概率计算公式:-加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中A,B为两个事件。

-条件概率公式:P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中A,B为两个事件，且P(B)≠0。

-乘法公式:P(A∩B)=P(A)P(B，A)，其中A,B为两个事件。

3.全概率公式与贝叶斯公式:-全概率公式:设B1,B2,...,Bn为样本空间S的一组互不相容的事件，并且它们构成了对S的一个完全划分，即Bi∩Bj=∅(i≠j)，且B1∪B2∪...∪Bn=S，则对于任意事件A，有P(A)=ΣP(A，Bi)P(Bi)，其中i=1,2,...,n。

-贝叶斯公式:设B1,B2,...,Bn为样本空间S的一组互不相容的事件，并且它们构成了对S的一个完全划分，即Bi∩Bj=∅(i≠j)，且B1∪B2∪...∪Bn=S，则对于任意事件A，有P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/ΣP(A，Bj)P(Bj)，其中i=1,2,...,n。

二、数理统计公式1.随机变量的概率分布:-离散型随机变量的概率分布:P(X=x)=p(x)，其中x为随机变量X的取值，p(x)为概率质量函数。

- 连续型随机变量的概率密度函数: f(x) ≥ 0，且∫f(x)dx = 12.随机变量的数学期望:- 离散型随机变量的数学期望: E(X) = Σxip(xi)，其中xi为随机变量X的取值，p(xi)为X取值为xi的概率。

- 连续型随机变量的数学期望: E(X) = ∫xf(x)dx。

3.方差和标准差:- 离散型随机变量的方差: Var(X) = E[(X - E(X))^2] = Σ(xi - E(X))^2p(xi)。

考研高数重点概率论数理统计公式整理(超全)

的事件。互斥未必对立。 ②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
∞
∞
∩ Ai = ∪ Ai
德摩根率： i=1
i=1
A∪B = A∩B， A∩B = A∪ B
（7）概率的公理化定义
设 Ω 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 Ω 表示。
一个事件就是由 Ω 中的部分点（基本事件ω ）组成的集合。通常用大写字母
A，B，C，…表示事件，它们是 Ω 的子集。 Ω 为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系：
（9）几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，
P( A) = L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。 L(Ω)
（10）加法公式
（11）减法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)
j =1
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi ) ，（ i = 1 ， 2 ，…， n ），通常叫先验概率。 P(Bi / A) ，（ i = 1， 2 ，…， n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了

概率论与数理统计公式整理

概率论与数理统计公式
随机试验和随机事件
随机事件及其及其概率第 1 章随机事件及其概率如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 ω 来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 Ω 表示。（基本事件 ω ）组成的集合。通常用大写字母 A， C， B， … 一个事件就是由 Ω 中的部分点表示事件，它们是 Ω 的子集。 Ω 为必然事件，Ø 为不可能事件。不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系：如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， A 发生必有事件 B 发生） A ⊂ B （：如果同时有 A ⊂ B ， B ⊃ A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A U B，或者 A+B。属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示为
设事件 B1 ， B 2 ，…， Bn 及 A 满足 1° B1 ， B 2 ，…， Bn 两两互不相容， P (Bi ) >0， i = 1，2，…， n ， 2° 则贝叶斯公式
n
A ⊂ U Bi
i =1
， P ( A) > 0 ，
P( Bi / A) =

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对于数理统计这个领域而言，公式的掌握是至关重要的。

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，（，，…，），通常叫先验概率。，（，，…，），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
（17）伯努利概型
我们作了次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；
次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）全概公式
设事件满足
1° 两两互不相容，，
2° ，
则有
。
（16）贝叶斯公式
设事件，，…，及满足
1° ，，…，两两互不相容， >0， 1，2，…，，
2° ，，
则
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
（13）乘法公式
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
… …… … 。
（14）独立性
①两个事件的独立性
设事件、满足，则称事件、是相互独立的。
则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
。
显然分布律应满足下列条件：
（1），，（2）。
（2）连续型随机变量的分布密度
设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有
，
则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

概率论与数理统计公式整理（大学考试必备）

设 F (x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有
x
F(x) f (x)dx
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概
率密度。密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 。
f (x)dx 1
2°
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形
式给出：
X
| x1, x2,, xk,
P( X xk) p1, p2,, pk, 。
显然分布律应满足下列条件：
（1） pk 0 ， k 1,2,，
pk 1
（2） k 1
。
（2）连续型随机变量的分布密度
（3）离散与连续型随机变量的关系
（16）贝叶斯公式
设事件 B1 ， B2 ，„， Bn 及 A 满足
1° B1 ， B2 ，„， Bn 两两互不相容， P(Bi) >0， i 1，2，„， n ，
n
A Bi
2°
i1 ， P( A) 0 ，
则
P(Bi / A)
P(Bi )P( A / Bi )
n
，i=1，2，„n。
P(Bj )P(A/ Bj )
1
概率论与数理统计公式
（13）乘法公式
例如 P(Ω /B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A)
更一般地，对事件 A1，A2，„An，若 P(A1A2„An-1)>0，则有
P( A1A2 „ An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) „„ P( An | A1A2 „

概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理

概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理2010-2011学年第一学期期末复习资料概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。

2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量XP{X x1}p,P{X x2}1p只有两个可能取值，且其分布为(0p1)，则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布。

两点分布的概率分布：两点分布的期望：（2）二项分布：P{X x1}p,P{X x2}1p(0p1) E(X)p；两点分布的方差：D(X)p(1p)若一个随机变量X的概率分布由式给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。

记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：二项分布的期望：（3）泊松分布：P{x k}Cnp(1p)kkn kkkn k,k0,1,...,n. P{x k}Cnp(1p),k0,1,...,n. E(X)np；二项分布的方差：D(X)np(1p)kP{X k} e若一个随机变量X的概率分布为数为的泊松分布，记为X~P () k!,0,k0,1,2,...，则称X服从参P{X k} e泊松分布的概率分布：泊松分布的期望：4.连续型随机变量：kk!,0,k0,1,2,... E(X)；泊松分布的方差：D(X)如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数F(x)P{X x}f(x)，使得对于任意实数x，有xf(t)dt，则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。

2010-2011学年第一学期期末复习资料5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：1,若连续型随机变量X的概率密度为f(x)b a 0,a x b其它，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)1,均匀分布的概率密度：f(x)b a0,a b2a xb 其它均匀分布的期望：（2）指数分布：E(X)；均匀分布的方差：D(X)(b a)122e xf(x)0若连续型随机变量X的概率密度为x00，则称X服从参数为的指数分布，记为X~e ()x0e xf(x)0指数分布的概率密度：指数分布的期望：（3）正态分布：E(X)1；指数分布的方差：D(X)2f(x)(x)222x若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为和22的正态分布，记为X~N(,)(x)222f(x)正态分布的概率密度：正态分布的期望：E(X)xD(X)x22；正态分布的方差：（4）标准正态分布：0,21(x)，2(x)xet22标准正态分布表的使用：（1）x0(x)1(x)2010-2011学年第一学期期末复习资料X~N(0,1)P{a x b}P{a x b}P{a x b}P{a x b}(b)(a)X~N(,),Y2（2）X（3）P{a X b}P{a~N(0,1),F(x)P{X x}P{X故b}(b)(a)x(x) Y2Y定理1：设X~N(,),则X~N(0,1)6.随机变量的分布函数：设X是一个随机变量，称分布函数的重要性质：0F(x) 1P{x1X x2}P{X x2}P{X x1}F(x2)F(x1)x1x2F(x1)F(x2)F()1,F()0F(x)P{X x}为X的分布函数。

概率论与数理统计公式集锦完整版

概率论与数理统计公式集锦HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】概率论与数理统计公式集锦一、随机事件与概率二、随机变量及其分布1、分布函数2、离散型随机变量及其分布3、续型随机变量及其分布4、随机变量函数Y=g(X)的分布离散型：()(),1,2,j ii j g x y P Y y p i ====∑，连续型：①分布函数法，②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=⋅=单调三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律：(,),,1,2,i j ij P Xx Y y p i j ====分布函数(,)i i ijx x y yF X Y p ≤≤=∑∑边缘分布律：()i i ij jp P X x p ⋅===∑ ()j j ij ip P Y y p ⋅===∑条件分布律：(),1,2,ij i j jp P X x Y y i p ⋅====，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ⋅====2、连续型二维随机变量及其分布①联合分布函数及性质分布函数：⎰⎰∞-∞-=xydudvv u f y x F ),(),(=P （X<=x,Y<=y ）性质：2(,)(,)1,(,),F x y F f x y x y∂+∞+∞==∂∂((,))(,)GP x y G f x y dxdy ∈=⎰⎰②边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(③条件概率密度+∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(，+∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()( 3、随机变量的独立性随机变量X 、Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ⇔=，离散型：..ij i j p p p = ，连续型：(,)()()X Y f x y f x f y =4、二维随机变量和函数的分布离散型：()(,)i j kk i j x y z P Z z P X x Y y +=====∑连续型：()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰四、随机变量的数字特征1、数学期望①定义：离散型∑+∞==1)(k k k p x X E ，连续型⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(②性质：(),E C C =)()]([X E X E E =，)()(X CE CX E =，)()()(Y E X E Y X E ±=±b X aE b aX E ±=±)()( ，当X 、Y 相互独立时：)()()(Y E X E XY E =2、方差①定义：222()[(())]()()D X E X E X E X E X =-=-②性质：0)(=C D ，)()(2X D a b aX D =±，),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=±当X 、Y 相互独立时：)()()(Y D X D Y X D +=±3、协方差与相关系数①协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-，当X 、Y 相互独立时：0),(=Y X Cov ②相关系数：XY ρ，当X 、Y 相互独立时：0=XY ρ(X,Y 不相关)③协方差和相关系数的性质：)(),(X D X X Cov =，),(),(X Y Cov Y X Cov =),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+，),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++4、常见随机变量分布的数学期望和方差五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ε有2)(})({εεX D X E X P ≤≥-2、大数定律： ①切比雪夫大数定律：若n X X 1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且C i ≤2σ，则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11②伯努利大数定律：设n A 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则0ε∀>，有：lim 1A n n P p n ε→∞⎛⎫-<= ⎪⎝⎭③辛钦大数定律：若1,,n X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，则μ∞→=−→−∑n P ni iXn113、中心极限定理①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量(1,2,)i X i =，均值为μ，方差为02>σ，当n充分大时有：1((0,1)~nn k k Y X n N μ==-−−→∑ ②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量),(~p n B X ，则对任意x 有：③近似计算：1()nk k P a X b =≤≤≈Φ-Φ∑ 概率论与数理统计公式整理1、总体和样本的分布函数设总体()XF x ，则样本的联合分布函数)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量样本均值：∑==ni i X nX 11，样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11 样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11 ，样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=kXnA ni ki k样本k 阶中心距：11(),1,2,3n k k i i B X X k n ==-=∑3、三大抽样分布(1)2χ分布：设随机变量(0,1)i X N (1,2,,)i n =且相互独立，则称统计量222212n X X X ++=χ服从自由度为n 的2χ分布，记为)(~22n χχ性质：①n n D n n E 2)]([,)]([22==χχ②设)(~),(~22n Y m X χχ且相互独立，则)(~2n m Y X ++χ(2)t 分布：设随机变量)(~),1,0(~2n Y N X χ，且X 与Y 独立，则称统计量：nY X T =服从自由度为n 的t 分布，记为)(~n t T性质：①()0(1),()(2)2n E T n D T n n =>=>-②22lim ()()x n n f x x ϕ-→∞== (3)F 分布：设随机变量22~(),~()X m Y n χχ，且X 与Y 独立，则称统计量(,)X mF m n Y n=服从第一自由度为m ，第二自由度为n 的F 分布，记为~(,)F F m n ，性质：设~(,)F F m n ，则1~(,)F n m F七、参数估计1.参数估计①定义：用12(,,,)n X X X θ∧估计总体参数θ，称12(,,,)n X X X θ∧为θ的估计量，相应的12(,,,)n x x x θ∧为总体θ的估计值。

概率论与数理统计(全部公式整理)

2°
P(1 )

P( 2
)

P( n
)

1 n
。
设任一事件 A ，它是由1, 2 m 组成的，则有
P(A)=(1 ) (2 ) (m ) = P(1 ) P(2 ) P(m )

m n

A所包含的基本事件数基本事件总数
（9）几何概型
的事件。互斥未必对立。 ②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

Ai Ai
德摩根率： i1
i 1
AB AB，AB AB
（7）概率的公理化定义
设为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F(x1) F (x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
x
x
4° F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；
（5）基本事件、样本空间和事件
（6）事件的关系与运算
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。

《概率论与数理统计》复习-知识归纳整理

《概率论与数理统计》复习大纲第一章随机事件与概率基本概念随机试验E----指试验可在相同条件下重复举行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果闪现，且事先知道试验可能闪现的一切结果，但不能预知每次试验确实切结果。

样本点ω ---随机试验E的每一具可能闪现的结果样本空间Ω----随机试验E的样本点的全体随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一具子集。

必然事件---每次试验中必然发生的事件。

不可能事件∅--每次试验中一定不发生的事件。

事件之间的关系包含A⊂B相等A=B对立事件，也称A的逆事件互斥事件AB=∅也称不相容事件A，B相互独立P(AB)=P(A)P(B)例1事件A，B互为对立事件等价于（ D ）A、A，B互不相容B、A，B相互独立C、A∪B＝ΩD、A，B构成对样本空间的一具剖分例2设P(A)=0，B为任一事件，则（C ）A、A=∅B、A⊂BC、A与B相互独立D、A与B互不相容事件之间的运算事件的交AB或A ∩B 例1设事件A、B满足A B¯=∅，由此推导不出(D)A、A⊂BB、A¯⊃B¯C、A B=BD、A B=B例2若事件B与A满足B – A=B，则一定有(B)A、A=∅B、AB=∅C、AB¯=∅D、B=A¯事件的并A∪B事件的差A-B 注意：A-B= A B= A-AB = (A∪B)-BA1,A2,…,An构成Ω的一具完备事件组(或分斥)−−指A1,A2,…,An两两互不相容，且∪i=1nAi=Ω运算法则交换律A∪B=B∪A A∩B=B∩A结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) 对偶律A∪B=A∩B A∩B=A∪B文氏图事件与集合论的对应关系表记号概率论集合论Ω样本空间，必然事件全集∅不可能事件空集ω基本事件元素A 事件全集中的一具子集A A的对立事件A的补集A⊂B 事件A发生导致事件B发生A是B的子集A=B 事件A与事件B相等A与B相等A∪B 事件A与事件B至少有一具发生A与B的并集AB 事件A与事件B并且发生A与B的交集知识归纳整理A-B事件A 发生但事件B 不发生A 与B 的差集 AB=∅ 事件A 与事件B 互不相容（互斥） A 与B 没有相同的元素古典概型古典概型的前提是Ω={ω1,ω2, ω3,…, ωn ,}, n 为有限正整数，且每个样本点ωi 出现的可能性相等。

概率论与数理统计整理(一二章)

一、随机事件和概率考试内容：随机事件(可能发生可能不发生的事情)与样本空间(包括所有的样本点) 事件的关系(包含相等和积差互斥对立)与运算(交换分配结合德摸根对差事件文氏图) 完全事件组(所有基本事件的集合) 概率的概念概率的基本性质(非负性规范性可列可加性) 古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求：1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率(弄清几何意义)，掌握概率的加法公式(PAUB=PA+PB--PAB)、减法公式(P(A--B)=PA--PAB)、乘法公式(PAB=PA*PB|A)、全概率公式(关键是对S进行正确的划分)，以及贝叶斯公式．3．理解事件的独立性(PAB=PA*PB)的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．整理重点：1. 随机事件：可能发生也可能给不发生的事件。

0<概率<1。

2. 样本空间：实验中的结果的每一个可能发生的事件叫做实验的样本点，实验的所有样本点构成的集合叫做样本空间，大写字母S表示。

3. 事件的关系：（1）包含：事件A发生必然导致事件B发生，称事件B包含事件A。

（2）相等：事件A包含事件B且事件B包含事件A。

（3）和：事件的并，记为A∪B。

（4）差：A-B称为A与B的差，A发生而B不发生，A-B=A-AB。

（5）积：事件的交，事件A与B都发生，记为AB或A∩B。

（6）互斥：事件A与事件B不能同时发生，AB=空集。

（7）对立：A∪B=S。

4. 集合的运算：（1）交换律：A∪B=B∪A AB=BA (2结合律：（A∪B）∪C=A∪(B∪C)(AB)C=A（B C）(3)分配率：A (B∪C)=AB∪AC A∪(BC)=(A∪B)(A∪C) (4)德*摩根定律5. 完全事件组：如果n个事件中至少有一个事件一定发生，则称这n个事件构成完全事件组（特别地：互不相容的完全事件组）。

(完整版)概率论与数理统计知识点总结(最新整理)

当 AB 不相容 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) 法公式
当 AB 独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB) （8）减
当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 法公式
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
独立性必然事件和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
1
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F (x) 1, x ；
2° F (x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F (x1) F (x2) ；
3° F () lim F (x) 0 ， F () lim F (x) 1；
X ~ B(n, p) 。
当 n 1时， P(X k) pk q1k ， k 0.1，这就是（0-1）分布，所
以（0-1）分布是二项分布的特例。
1
泊松分设随机变量 X 的分布律为
布
P( X k) k e ， 0 ， k 0,1,2，
k!
则称随机变量 X 服从参数为的泊松分布，记为 X ~ () 或者
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；（2）基 ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。本事这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。件、样基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。本空间一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大和事件写字母 A，B，C，…表示事件，它们是的子集。