机械振动公式

弹簧串并联
单自由度无阻尼自由振动
单自由度有阻尼自由振动
单自由度有阻尼强迫振动 简谐力直接激励
2
1212
121,111k k k k k k
k k k k k +=+=+=并联
串联),(,)3(;,1,2)2(;
0)()1()(,)(),sin(,sin cos ,,0,0002012020
0022x
x A g
T f T m k dt E E d x
x tg x x A t A x t x t x x m k x x
kx x m st
n n n p k n
n n n n n n n θδωωπωωθωθωωωωωω求响应：静变形法，求固有频率：定义法能量法求微分方程：定理法，=====+=+=+=+===+=+-2
0012002
02
000212ln 1)
(,)(),sin(,1,sin cos )1(,2,2,02,0ζπζζωδζωωθωζωθωωζωωωζωωζωωζωζωζω-=
==+=++=+=-=++=====++=+++--d n j i i n d d n d t n d d d
n d n cr cr n n n T A A j x x x tg x x x A t Ae x t x x t x x m c c c m c x x x kx x c x m n λβζλλβλωω
λλζλαζλλαωω-=+-==-=
=-=+-=-==++-,,)
2()1(11,,12,)2()1(),sin(,sin 2
22221222k
F x x x k F B tg k F B t B x t F kx x c x m st st
n 无阻尼时，
单自由度有阻尼强迫振动
偏心激励
单自由度有阻尼强迫振动
支承运动激励
单自由度有阻尼强迫振动
周期激励
单自由度有阻尼强迫振动任意激励
λ
βζλλλβζλλλζλλωαωωω-+-==+-=
+-=
-==++,)
2()1(,
)
2()1()
2()1(),sin(,sin 222202
2
22
02
2
22
020e m mx m e m k e m B t B x t e m kx x c x m 隔振要有适当阻尼
,1,2,)
2()1()2(1,
)
2()1()2(1)
2()1()()12(
),sin(),2(),sin()(22222
2
222
2
2222
1122 βλζλλζλβζλλζλζλλωλ
ζλ
ααθωζλθθωω+-+==+-+=
+-+=
-=-+==++=+=++--g g g g g g X B
X k c k X B tg t B x tg t c k X kx x c kx x c x
m 1212
()()mx cx kx f t f t x x x ++=+=+叠加原理
傅立叶级数展开
()0
2211
()sin ()21
()()()(),()
1
(),(),()
31
()()(),(),n t
t d d
x F e t d m X F H F Z Z k m jc H Z X s G s F s G s ms cs k
ζωττωττ
ωωωωωωωωωωω--=
-=
==-+===
++⎰
（）时域求解：杜哈美积分（）频域求解：傅立叶变换机械阻抗，机械导纳，频响函数，（）拉氏域求解：拉普拉斯变换传递函数。

两个自由度振动 系统微分方程建立
两个自由度无阻尼自由振动
为自由度数；
为广义激振力；位移；分别为广义速度，广义散逸函数和系统势能；分别为系统动能，能量式中：
拉格郎日法
n Q q q E E E n i Q q E q E q E q E dt d i i i u d k i i u i d i k i k
),...,2,1()(==∂∂+∂∂+∂∂-∂∂再改写。

程组拉格朗日法导出微分方一般矩阵方程可以先用激振力向量；加速度、速度、位移和分别为为刚度矩阵；为阻尼矩阵；为质量矩阵；式中：矩阵法
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==++)()()(,,,,,,,,,,,,00,,,)(2121212132222122211211322221222112112122211211t f t f t f x x x x x x x x x
k k k k k k k k k k K c c c c c c c c c c C m m m m m m M t f Kx x C x
M
[]
振型中有一个节点。

阶
画振型图，在第两个固有振型，两个固有频率，的一元两次方程），
，特征方程（关于有要次代数方程），
状态方程（两元一次齐代入得为振幅向量，
设，2,,,);
(,,,,,240,0,0),sin(02112
11
2112,1112222112
12121121212
2
222212,12
1r r k m k r k m k m b k k k K c m m M a a
ac b b M K A A M K A A A t A x x K x
M n n n n n n n n --=
+-=-====--==-≠=-⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=+==+ωωωωωωωθω
4
32124212124123211312010201024232121112242312111432120100201002)2(11)1(122)2(1211)1(11)2(2)1(2222)2(111)1(1)2(1)1(11,,0,0,0,,0),sin cos ()sin cos (,sin cos sin cos ,),
sin()sin(),
sin()sin(D D D D v D r D r D D D r D r D D v x x
x x t D t D r t D t D r x t D t D t D t D x D D D D x
x
x
x x x A A t A r t A r x x x t A t A x x x n n n n n n n n n n n n n n n n 易求则如件时：
零初始条比较方便，特别有较多一般用下式求，初速度向量初位移向量可由初始条件求出；，，，四个未知量主振动的迭加，
求响应，响应应为两个=+=+=+=+====+++=+++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+++=+=+++=+=ωωωωωωωωωωωωθθθωθωθωθω
两个自由度无阻尼强迫振动
多自由度系统振动
坐标，模态分析法振型矩阵，解耦，模态刚度矩阵的正交性；振型向量对质量矩阵和法标准特征值问题的迭代;
1
,,0;,,0212
1
i n
i i n
i i
i A DA M K D Kx x
M A DA K M D Kx x
M A DA ω
ωλ===+===+=--
[][]时有两个共振点；
或当即
程，两元一次非齐次代数方代入得：
设为力幅向量；21212112
11211222222211
2
2
21,,,,,,sin ,sin n n F F M K m k k k m k A A F M K A F A M K t A x F F F t F Kx x
M ωωωωωωωωωωω==⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==-=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧==+-。